Multipel regressionsanalys av variabler som påverkar BNP Kanditatexamensarbete

Transkript

1 Multipel regressionsanalys av variabler som påverkar BNP Kanditatexamensarbete Stockholm, 26 Maj Carl Cronsioe Marcus Ribbenstedt Handledare: Jimmy Olsson Kungliga Tekniska Högskolan 2014

2 Sammanfattning Idennarapportharenmodelltagitsframsombeskriverhurbruttonationalprodukten, BNP, påverkas av ett antal kovariater, t.ex.befolkningensutbildning och livslängd. Data för BNP samt för samtliga kovariater har inhämtats från Världsbanken. ModellenförattbeskrivaBNPhartagitsframmedhjälpavmultipel linjär regression. För att nå en slutgiltig modell med god tillförlitlighet har antalet kovariater successivt minskats för att utesluta insignifikanta kovariater. För att minimera feltermen och hitta en tillförlitlig modell har Baysian Information Criterion använts i kombination med hypotestest. Den slutgiltiga modellen kunde med ett konfidensintervall på 95% prediktera 111 av 139 länders BNP. Den slutgiltiga modellen stämmer väl med den förväntade bilden av kovariaternas inverkan på BNP. Exempelvis syns en positiv relation mellan utbildning och ett lands BNP. Abstract In this report a model was constructed in order to determine how a number of covariates influence the gross domestic product, GDP. The covariates were chosen depending on their expected influence on GDP, for example education and life expectancy. The data used in this report are collected from the World Bank. The model to describe GDP has been calculated using multiple linear regression. In order to reach a reliable final model the number of covariates has been gradually decreased to eliminate insignificant covariates. In order to minimize the error term and find a reliable model the Baysian Information Criterion has been used together with hypothesis testing. At a 95% confidence interval the final model could predict 111 of 139 countries GDP. The influences of the covariates in the final model is well in line with the expectations. For instance a positive relationship between GDP and education is observed. 1

3 Innehåll 1 Inledning 3 2 Generellt om regressionsanalys Linjär regression Ordinary Least Squares Antaganden Överträdelse av antaganden Korrelation Intervallskattning Hypotestest Dummys Transformation av variabler R Bayesian information criterion Metod Beroende variabel Kovariater Insamling av data Resultat Inledande regressioner BIC Korrelation Slutlig modell Prediktion av slumpvis utvalda länder Diskussion 19 6 Referenser 20 A Appendix 21 A.1 Länder

4 1 Inledning Syftet med detta kandidatexamensarbete är att studera hur ett antal faktorer påverkar BNP samt att kunna prediktera ett lands BNP med hjälp av modellen. Detta ska genomföras med hjälp av multipel linjär regression. Ett lands BNP används ofta som ett mått på hur rikt ett land är, men är inget perfekt mått. Men då det används frekvent är det av intresse att se hur det påverkas av olika kovariater i dagens samhälle. Med dagens tekniska utveckling är det speciellt intressant att studera hur internet påverkar ett lands BNP. Ytterligare en faktor som är särskilt intressant är CO 2 -utsläpp per person då det ger en uppfattning om kostnaden för ett högt BNP. All data är hämtad från Världsbanken och omfattar 139 av världens länder. Övriga kovariater samt en beskrivning av metoden ges i kapitel 3. I kapitel 2 presenteras en teoridel för att fördjupa förståelsen av multipel linjär regression och närliggande statistiska verktyg som t.ex. hypotestest. Kunskapen om vad som påverkar ett lands BNP kan förhoppningsvis utvidga kunskapen om hur länder utvecklas och vad som är viktigt för att höja ett lands BNP. Resultaten presenteras i kapitel 4 och diskuteras närmare i kapitel 5. 2 Generellt om regressionsanalys 2.1 Linjär regression Den modell som vanligen används vid multipel linjär regression är y i = kx x ij j + e i i =1,...,n, (1) j=0 där y är den beroende variabeln och x är de oberoende variablerna ofta kallade kovariater. Antaletobservationeravdenberoendevariabelnärn och antalet kovariater är k.parametrarna är okända och skattas med hjälp av minstakvadratmetoden som beskrivs i avsnitt 2.2. Termen e är en felterm som även kallas residual. Förfeltermenantasföljandetvåsambandgälla, där X är en stokastisk variabel och E(e X) =0, (2) E(e 2 X) = 2, (3) där 2 är variansen.dessutomkrävsdetattresidualernaäroberoende.summan av alla residualernas kvadrater är ofta av intresse när modellens noggrannhet ska analyseras. Denna summa definieras som n X X sse = ê 2 i = (y i ȳ) 2 n i=1 i n X (ŷ i ȳ) 2. (4) i 3

5 där det predikterade y-värdena betecknas ŷ samt att ȳ är medelvärdet av alla y. Ett annat begrepp som används är modellens frihetsgrader df = n k 1, (5) där det är synligt att fler observationer ökar frihetsgraderna. För att underlätta notationen skrivs (1) på matrisform där Y = X + e, (6) och Y =[y 1...y n ] t, (7) x 11 x 1k 1 x 21 x 2k X = , (8) 1 x n1 x nk =[ 0,..., k] t. (9) Med ettor i första kolumnen i X blir 0 intercept. Intercept används eftersom regressionen kan ha ett affint samband. Ett sätt att beräkna standardavvikelserna för skattningarna av då modellen är skriven på matrisform är att utnyttja kovariansmatrisen, Cov( X) =(X t X) 1 2. (10) Standardavvikelsen SE( j ) erhålls genom att ta roten ur diagonalelementen ur (10). 2.2 Ordinary Least Squares Den bästa linjära skattningen för regressionsanalysen är Ordinary Least Squares (OLS) och fungerar genom att minimera felet. Notera att residualerna kan skrivas som e = Y X, (11) efter omskrivning av (6). De som minimerar summan av residualerna (4), betecknas ˆ. Dessa ˆ bestäms genom minstakvadratmetoden. Mer precist genomförs detta genom att finna ett ˆ som löser normalekvationerna kan skrivas på matrisform med hjälp av norma- Denna bästa skattning av lekvationerna enligt X t ê =0. (12) 4

6 ˆ =(X t X) 1 X t Y. (13) En viktig egenskap hos ˆ är att den är en väntevärdesriktig skattning av tidigare notation skrivs detta.med 2.3 Antaganden E( ˆ X) =. (14) För att göra en regressionsanalys kräver metoden att ett antal antaganden är uppfyllda. Om det sker överträdelser av antaganden fungerar inte metoden och svaren blir inte tillförlitliga. Först beskrivs alla antaganden som krävs och i avsnitt 2.4 beskrivs vad som sker vid överträdelse av dem och vad man kan göra för att lösa problemet. Antagande ett Den beroende variabeln kan skrivas som en linjär funktion av de oberoende variablerna och en felterm. Antagande två Väntevärdet på feltermen är noll, Antagande tre Alla feltermer har samma varians och är okorrelerade. Antagande fyra E(e X) =0. (15) E(e 2 X) = 2. (16) Värdet på kovariaterna är konstanta oavsett om man gör flera mätningar. Detta antagande uppfylls t.ex. inte om det finns fel i mätningen av kovariaterna eller om det finns simultanitet, som förklaras i avsnitt 2.4 Antagande fem Antalet observationer är mycket större än antalet kovariater, d.v.s. antal frihetsgrader är stort, och kovariaterna är linjärt oberoende. 5

7 2.4 Överträdelse av antaganden Antagande ett Överträdelse av detta antagande kan ske på två vis. Dels kan relevanta kovariater uteslutas ur ekvationen, dels kan det finnas irrelevanta kovariater i ekvationen. Att utesluta en relevant kovariat kan höja eller sänka medelkvadratfelet (MSE) av ˆ. Endogenitet betyder att en eller flera kovariater är korrelerade med feltermen. Detta sker när en utesluten kovariat är korrelerad med en annan. I det här fallet kan endogeniteten åtgärdas genom att hitta den relevanta uteslutna kovariaten och föra in den i modellen Om ekvationen innehåller en irrelevant kovariat blir ˆ inte lika effektiv och MSE av ˆ höjs. Att ha väldigt många kovariater kan verka bra eftersom man inte riskerar att utesluta en viktig kovariat och på så vis förhindra endogenitet, men de irrelevanta kovariaterna kan höja variansen och sänka frihetsgraderna (5). Ett bra sätt att undvika detta problem är att börja med för många kovariater och senare rensa ekvationen från kovariater som bedöms vara irrelevanta med hjälp av olika metoder, t.ex. Baysian information criterion. Antagande två Om det finns en relevant kovariat som inte är med i modellen kommer den finnas i feltermen och då kommer feltermen inte ha medelvärdet noll. Lösningen till det är att föra in den uteslutna kovariaten i ekvationen Om väntevärdet för felen är nollskilda skapar det inga större problem då detta kan skrivas in i intercept. Problemet med det är att incercept inte blir väntevärdesriktig, dock är detta inte alltid negativt eftersom man inkluderar väntevärdet av residualen iprediktionen,vilketärönskvärt. Antagande tre Om detta antagande inte är uppfyllt uppstår heteroskedasticitet. Direktöversatt betyder heteroskedasticitet olika varians och innebär att alla feltermer inte kommer från samma fördelning. Om modellen behandlas som om den varit homoskedastisk men inte är det blir standardavvikelsen på ˆ inte konsekvent och det går inte att använda F-test. Ettsättattbehandlaheteroskadisitetäratt använda White s consistent Variance Estimator. Man kan också omformulera modellen genom att t.ex. logaritmera variabler. Antagande fyra Ett av de stora problemen när man gör en regressionsanalys är att data som används inte är korrekt. Anledningen till mätfelen kan bero på dålig mätutrustning men också på att insamlingen av data inte utförts på rätt sätt. Data som ska samlas in kan ha olika definition beroende på var den samlas in. Till exempel kan arbetslöshet mätas på olika sätt i olika länder. Finns det mätfel i 6

8 den beroende variabeln skapar detta inte så mycket problem då detta hamnar i feltermen. Det blir dock större problem när de oberoende variablerna inte mäts korrekt. Detta skapar endogenitet vilket enkelt kan visas. Antag att modellen är definierad som: y = x + e. (17) Om det finns ett mätfel u imätningenavx blir den nya variabeln Detta ger den nya modellen där x = x + u. (18) y = x +ẽ (19) ẽ = e u. (20) Ekvationen visar att x och ẽ är korrelerade vilket ger upphov till endogenitet. Denna korrelation kan visas genom Cov( x, ẽ) = Cov(e, x)+cov(e, u) Cov(u, x) Cov(u, u) = Var(u)6=0. (21) Om den beroende variabeln är korrelerad med en eller flera kovariater sker även en överträdelse av antagande fyra. Detta kallas simultanitet och ett vanligt fall när detta sker är om man ska beräkna tillgång och efterfrågan. Båda variablerna påverkar varandra och även här uppstår endogenietet. För att råda bot på endogenitet kan man införa en instrumentvariabel. Instrumentvariabeln ska vara korrelerad med den endogena variabeln men inte med feltermen. Det krävs minst en instrumentvariabel för varje endogen variabel i modellen. Antagande fem Är kovariaterna linjärt beroende med varandra uppstår multikolinjäritet.linjärt beroende kan ske i varierande utsträckning. Är kovariaterna direkt beroende är det typiskt så att modellen är uppsatt fel. Det kan t.ex. vara att det finns en dummy för både kvinna och man. Dessa kovariater kommer vara helt linjärt beroende och lösningen för det problemet är att ta bort en av dummy-kovariaterna. Relativt andra problem som kan uppstå vid regressionsanalys är multikolinjäritet inte så skadligt. Regressionen fortsätter att vara väntevärdesriktig och R 2 förändras ej. Den negativa påverkan är att variansen på ˆ ökar eftersom det inte finns tillräckligt med variation i kovariaten för att veta vad den har för påverkan på den beroende variabeln. 7

9 2.5 Korrelation En metod för att analysera korrelationen mellan två olika stokastiska variabler X 1 och X 2 är att studera korrelationsmatrisen. Matrisenbeskriverkorrelationen mellan de stokastiska variablerna och definieras corr(x 1,X 2 )= Cov(X 1,X 2 ) X 1 X 2, (22) detta ger en symmetrisk matris med ettor i diagonalen. De anti-diagonala elementen beskriver korrelationen mellan X 1 och X 2 och antar ett värde mellan 1 och 1. Ettvärdenära1tyderpåenstarkpositivkorrelationochettvärde nära -1 tyder på en stark negativ korrelation. Två stokastiska variabler som är okorrelerade har korrelationen Intervallskattning Ett konfidensintervall för j beräknas genom ˆj ± p F (1,df)SE( ˆj) (23) där F är kvantilen för F-fördelningen på den valda signifikansnivån. Ett konfidensintervall är användbart för att få en uppfattning om vilka värden ˆ kan anta då en given signifikansnivå valts. En viktig distinktion mellan en strukturtolkning och en prediktion bör göras. Prediktion innebär att man vill prediktera ett värde på den beroende variabeln utifrån värden på kovariaterna. Vid en strukturtolkning antas den beroende variabeln påverkas av kovariaterna men inte det omvända. Denna diskrepans är avgörande då modellen ska analyseras. Vid en prediktion kan istället ett konfidensintervall för det predikterade ŷ p vara av intresse. Då predikteras y som q y =ŷ p ± 1+x 0 (X t X) 1 x t 0 s2p F (1,df), (24) där x 0 är kovariaterna för den observation som ska predikteras s 2 är en väntevärdesriktig skattning av x 0 =(1x 0,1...x 0,k ), (25) 2 som beräknas och ŷ p är det värde som fås från s 2 = sse/df, (26) ŷ p = X ˆ. (27) 8

10 2.7 Hypotestest Vid statistisk analys är det ofta intressant att testa vissa hypoteser, kallade nollhypoteser, H 0 : = 0 j, (28) där 0 j kan väljas fritt. Ofta används F-fördelningen för att genomföra testet, F-statistikan definieras som F = ˆj 0 j SE( ˆj)! 2, (29) och kan användas för att beräkna p-värdet. Omresidualernaärnormalfördelade ger F-statistikan ett exakt svar, om de inte är det är F-statstiken ändå giltig vid stort antal observationer. I en regressionsmodell med hypotesen H 0 : = 0 j =0 (30) är p-värdet sannolikheten att ˆj påverkar den beroende variabeln y trots att vi accepterat nollhypotesen. Med hjälp av (29) kan p-värdet bestämmas genom sannolikheten att F-statistikan antar ett mer extremt värde än det som observerats, p = P (X >F), (31) där X har en F (1,df) fördelning och kan väljas valfritt, ofta 5%. Detta leder till att nollhypotesen kan förkastas om p-värdet understiger 5%. 2.8 Dummys Ivissafallkanenkovariatbästbeskrivassomsannellerfalsk.Dettakandå inkluderas i modellen genom att införa en kovariat x som har värdet 1 om den är sann och 0 om falsk. Exempel på situationer där dummy-variabler kan användas är vid situationer där man skiljer mellan man och kvinna. I dessa fall används då en dummy-variabel för t.ex. man. Denna dummy är 1 om det är en man och 0 om det är en kvinna. 2.9 Transformation av variabler Då den beroende variabeln antas vara större än noll kan den naturliga logaritmen användas så att modellen skrivs ln(y )=X + e. (32) Antagandet är att det finns ett exponentiellt samband mellan x och y. Detta gör att en förändring 4x ger en relativ förändring i y. Dettaskiljersigmot Y = X + e där det ger en absolut förändring. Användandet av logaritmen kan även minska problem med heteroskedasticitet. 9

11 Om en kovariat misstänkas ha avtagande marginalnytta kan det vara lämpligt att införa en kvadrering av den kovariaten. Då t.ex. en regression på lön används enligt y lön = 0 +(utbildning) 1 + e, (33) kan utbildning misstänkas ha avtagande marginalnytta. En kvadratisk term inkluderas enligt y lön = 0 +(utbildning) 1 +(utbildning) e. (34) Om avtagande marginalnytta gäller förväntas 1 > 0 och 2 < R 2 Ett sätt att avgöra hur väl modellen beskriver verkligheten är att använda R 2. Den är definierad som R 2 sse =1 (35) tss där sse är sum of squares of residuals och tss är total sum of squares och definieras n X tss = (y i ȳ) 2. (36) i=1 Eftersom minsta kvadratmetoden minimerar sse kommer metoden att maximera R 2.EnkeltbeskrivetkanmansägaattR 2 är ett mått på hur väl modellen beskriver verkligheten. Ett högt värde på R 2 är oftast positivt men behöver inte betyda att modellen är korrekt. Eftersom R 2 beror på felet kan den inte bli mindre om man inför nya kovariater. Detta betyder att om man fortsätter att införa fler kovariater, även fast de är statistiskt insignifikanta, kan de verka som att de ska tillhöra modellen eftersom R 2 ökar. För att lösa detta problem används istället R 2 adj som är en justerad version av R2 och definieras R 2 adj =1 n 1 n k 1 (1 R2 ), (37) där n är antal observationer och k är antalet kovariater. Detta tar hänsyn till antalet kovariater i modellen och ger ett rättvisare mått på hur korrekt modellen är Bayesian information criterion Bayesian information criterion (BIC) är ett kriterium för att avgöra om en kovariater ska uteslutas ur modellen. Enligt kriteriet utelämnas en kovariat om BIC med den kovariaten utelämnad blir lägre än BIC för den fulla modellen. Om fler kovariater ger ett lägre BIC än den fulla modellen, utesluts den kovariat som ger lägst värde och så utförs nya BIC-beräkningar. Genom att använda denna 10

12 metod kan en reducerad modell tas fram som enbart har signifikanta kovariater. Uttrycket för BIC som ska minimeras är BIC = n ln(sse)+(k + 1) ln(n), (38) där BIC beror på antalet observationer, antalet kovariater samt sum of squares of residuals. Det finns även andra liknande metoder för att välja rätt kovariater exempelvis Akaike information criterion (AIC), se s.101 i A Guide to Econometrics. 3 Metod 3.1 Beroende variabel Den beroende variabeln är BNP per person i amerikanska dollar och är hämtad från Världsbanken. Denna data är från Eftersom befolkningsmängden i olika länder varierar kraftigt är det fördelaktigt att välja BNP per person för att undvika heteroskedasticitet. 3.2 Kovariater Livslängd Beräknad livslängd kan även tolkas som ett tecken på bra hälsa hos en befolkning. Den beräknade livslängden i år vid födelsen har använts som data. Denna information är från Denna kovariat misstänks påverka BNP positivt. CO 2 -utsläpp För att mäta hur ett lands BNP påverkas av CO 2 -utsläpp per person har data från 2010 inkluderats. Denna kovariat antas påverka BNP positivt. Bredband Antalet abonnemang för fast bredband per 100 personer. Denna information är från Denna kovariat antas påverka BNP positivt. Utbildning Antalet år med eftergymnasial utbildning per capita. Data som används är från Den förväntas påverka BNP positivt. Denna kovariat antas ha avtagande marginalnytta, därför inkluderas den även i kvadrat. Barn per kvinna För antalet barn per kvinna inhämtades data från Denna kovariat antas påverka BNP negativt. 11

13 Befolkning under 14 Hur stor andel av befolkningen som är 14 år eller yngre. Data är från Antas påverka BNP negativt. Europa En dummy för om landet ligger i Europa. Det är intressant att veta om ett lands geografiska placering har en inverkan på dess BNP. Data hämtades Denna kovariat förväntas ej ha någon påverkan. 3.3 Insamling av data I detta arbete har Världsbankens länder valts som utgångspunkt. Ingen hänsyn har tagits till olika politiska situationer. Vid enstaka fall har data saknats för ett land vid det angivna året, då har närmast föregående år med data tagits, max tre år. Då många av kovariaterna förändras minimalt mellan tre år anses metoden acceptabel. Det är värt att notera att BNP inte är ett perfekt mått på hur välmående ett land är, BNP exkluderar många viktiga faktorer som t.ex. inkomstklyftor och mänskliga rättigheter. Efter rensning av länder med otillräcklig data fanns 139 länder kvar. Namnen på alla länder som används finns i Appendix. 4 Resultat 4.1 Inledande regressioner Den första regressionen som gjordes inkluderade kovariaterna Livslängd CO 2 -utsläpp Bredband Utbildning Utbildning i kvadrat Befolkning under 14 Europa Resultatet för denna regression ses i Tabell 1 där p-värdet är beräknat för nollhypotesen H 0 : j =0, (39) och där konfidensintervallet för ˆ är presenterat med övre och undre gräns. Konfidensintervallet är beräknat enligt (23) med 95% signifikansnivå. 12

14 Namn ˆ SE( ˆ) p-värde undre gräns övre gräns Intercept < Livslängd < CO 2 -utsläpp < Bredband < Utbildning < Utbildning i kvadrat < Befolkning under Europa Tabell 1: Första regressionen. För att bedöma regressionens tillförlitlighet beräknades Radj 2 =0.848, vilketär ett förhållandevis högt värde men som syns i tabellen är p-värdena inte acceptabla. Även feltermen beräknas till sse = 45.3 för att senare kunna jämföras med ytterligare regressioner. På grund av det höga p-värdet hos Befolkning under 14 bedöms det att den inte har någon påverkan på den beroende variabeln. Även kovariaten för Europa har ett högt p-värde men inte tillräckligt högt för att direkt kunna uteslutas ur ekvationen. Om Befolkning under 14 försvinner finns det ingen kovariat som förklarar hur befolkningens ser ut. Därför introduceras en ny kovariat, Barn per kvinna. Ennyregression utförs där Befolkning under 14 är utesluten och Barn per kvinna införs. Namn ˆ SE( ˆ) p-värde undre gräns övre gräns Intercept < Livslängd CO 2 -utsläpp < Bredband < Utbildning < Utbildning i kvadrat < Barn per kvinna < Europa Tabell 2: Andra regressionen. Den nya kovariaten, Barn per kvinna, bedöms vara signifikant eftersom dess p-värde är väldigt lågt. Det är något överraskande att p-värdet skiljer kraftigt mellan Befolkning under 14 och Barn per kvinna då de till viss del mäter liknande faktorer. Men en viktigt skillnad är att Barn per kvinna antas påverkas mindre av landets generella sjukvårdskvalité. Ett land med ung befolkning kan t.ex. ha många barn per kvinna under en kort tid till skillnad från en befolkning med medelhög ålder. En befolkning kan ha medelhög ålder och fortfarande ha många barn per kvinna eftersom att barn per kvinna kan 13

15 ha varit konstant under lång tid. Kovariaten för Europa har fått ett lägre p-värde och behålls tills vidare. Det noteras att Radj 2 är nästintill oförändrat med ett värde på Radj 2 = Enskillnadmotföregåenderegressionäratt sse = 41.4 vilket är en minskning jämfört med tidigare regression. För att ta reda på om modellen kan reduceras ytterligare tillämpas BIC. 4.2 BIC Namn n k sse BIC Full modell ,02 Livslängd ,77 CO 2 -utsläpp ,62 Bredband ,66 Utbildning ,75 Utbildning i kvadrat ,76 Barn per kvinna ,244 Europa ,85 Tabell 3: Första BIC. Analysen säger att BIC för både Livslängd och Europa är lägre än för den fulla modellen, men kovariaten som indikerar om landet är i Europa har lägst BIC vilket betyder att den inte ska vara kvar i modellen. Kovariaten Livslängd är kvar och ännu en BIC analyseras med den nya modellen utan Europa. Förden nya modellen blir BIC följande. Namn n k sse BIC Full modell Livslängd CO 2 -utsläpp Bredband , Utbildning Utbildning i kvadrat Barn per kvinna Tabell 4: Andra BIC. I den nya analysen beräknas BIC för den fulla modellen till att vara lägst. Detta föreslår att denna modell ej ska reduceras ytterligare. En slutlig modell är bestämd. 14

16 4.3 Korrelation För att studera modellens multikolinjäritet används en korrelationsmatris. Matrisen presenteras i Tabell 5 Livslängd CO 2 -utsläpp Bredband Utbildning Utbildning i kvadrat Barn per kvinna Tabell 5: Korrelationsmatris. Korrelationsmatrisen visar att det finns en stark positivt korrelation mellan Utbildning och Utbildning i kvadrat vilket var väntat. Det syns också en tydlig negativ korrelation mellan Livslängd och Barn per kvinna. Dettakantolkas som att länder där det föds många barn per kvinna har lägre medellivslängd. Detta kan bero på exempelvis sjukvårdskvalité och social oro. Det finns en positiv korrelation mellan samtliga kovariater förutom Barn per kvinna. 4.4 Slutlig modell En regression utförs på den slutliga modellen ln(bnp) = (Livslängd)+ 2 (CO 2 )+ 3 (Bredband) (40) + 4 (Utbildning)+ 5 (Utbildning) (Barn Per Kvinna)+e, och resultatet visas i tabellen nedan. Namn SE( ) p-värde undre gräns övre gräns Intercept < Livslängd CO 2 -utsläpp < Bredband < Utbildning Utbildning i kvadrat Barn per kvinna < Tabell 6: Slutlig modell. 15

17 För att bekräfta resultaten och kontrollera feltermens fördelning plottas feltermen i ett histogram, se Figur 1. Figur 1: Histogram över residualerna. Här syns att feltermens fördelning liknar en normalfördelning vilket är ett antagande som gjordes i teoriavsnittet. Linjen representerar en perfekt normalfördelning. 16

18 För att få en tydligare bild och jämföra feltermens fördelning med en normalfördelning används en normplot, se Figur 2. Figur 2: Normalplott över feltermen. Om feltermen hade följt en exakt normalfördelning hade punkterna i figuren legat på den streckade linjen. Nu syns det tydligt att vissa länder inte följer linjen och har avvikande feltermer. Men överlag följer residualerna en normalfördelning. 17

19 Figur 3: Residualen som funktion av BNP. För att avgöra om det finns endogenitet i modellen ställs residualen som funktion av BNP. Figur 3 visar att det finns en viss korrelation mellan BNP och feltermen. Detta beror troligtvis på att det finns en utesluten relevant kovariat eller att det sker simultanitet. 4.5 Prediktion av slumpvis utvalda länder För att testa den slutgiltiga modellens prediktionsförmåga plockas slumpmässigt 10 av de 139 länderna ut. Därefter görs en regression med kovariaterna från den slutgiltiga modellen (40) och de 129 länderna som är kvar. Detta ger nya värden på ˆ. Dessaanvändsförattpredikteray för de 10 länderna enligt (24), där konfidensintervallet är beräknat på nivån 95%. Gränserna för detta prediktionsintervall samt det verkliga värdet på BNP presenteras i Tabell 7. 18

20 Land Undre gräns BNP Övre gräns Inom intervall Honduras Ja Canada Ja Mauritius Ja El Salvador Ja Austria Ja Rwanda Ja Ecuador Ja Jordan Ja Papa New Guinea Ja Hungary Ja 5 Diskussion Tabell 7: Resultat för 10 slumpade länder. De värden på ˆ som presenteras i Tabell 6 visar att kovariaternas effekt på BNP stämmer med förväntningarna beskrivna i avsnitt 3.2. Antagandet om avtagande marginalnytta för utbildningen bekräftas av ekvation (40) där ˆ4 är positiv och ˆ5 är negativ. Då den beroende variabeln har logaritmerats är det som relativa förändringar av BNP som en förändring av kovariaterna ska tolkas. Från resultatet syns även att samtliga p-värden är under 3% vilket pekar på att samtliga kovariater i den slutgiltiga modellen är signifikanta. Dessutom ses från Tabell 6 att intervallet för ˆ inte täcker noll för någon kovariat, vilket är positivt och tyder på att ˆ har korrekt tecken. Från graferna som beskriver felet syns att modellen till stor del är homoskedastisk vilket säger att standardavvikelserna är konsekventa och F-testet är giltigt. En kontroll har gjorts för att se om det finns tydliga samband mellan länder med störst felterm men inget tydligt mönster hittades. Att ett prediktionsintervall för BNP täcker in 111 av 139 länder vid en signifikansnivå på 95% tyder på en god skattning av BNP med modellen även om det fortfarande finns utrymme för förbättring. Genom att försöka hitta data för fler länder och därefter även inkludera fler kovariater skulle regressionen troligtvis kunna genomföras med högre tillförlitlighet. För att minska risken för felmätningar rekommenderas att man spenderar mycket tid på att samla in data. En annan möjlig förbättring är att data samlas in under samma år. Givetvis är ett så sent år som möjligt att föredra om man är intresserad av BNP idag. En felkälla som är uppenbar i denna modell är att den beroende variabeln med stor sannolikhet påverkar kovariaterna och tvärtom. Detta verkar stämma till en viss grad enligt Figur 3. Denna effekt kan beskrivas som simultanitet och är svår att undvika då BNP troligtvis påverkar de flesta kovariater. Ett land med högt BNP har troligtvis större möjlighet att ge bra sjukvård och öka livslängden. Samtidigt kan en befolkning som är friskare och lever längre producera mer till BNP. Detta gäller flera kovariater vilket gör att det är svårt att avgöra orsak och verkan. Exempelvis har länder med högt BNP ofta möjlighet att spendera 19

21 mer pengar på utbildning. Då utbildning antas positivt för landets utveckling kan det vara svårt att avgöra om landet har högt BNP på grund av utbildningen eller har högt BNP och då kan betala för utbildningen. Liknande resonemang kan göras gällande BNP då bredband kräver att landet har finansiell styrka att underhålla bredband och infrastrukturen. Men å andra sidan kan ett utbyggt bredbandsnät hjälpa ett land att höja BNP. Regressionsanalysen kräver att ekvationen innehåller alla relevanta kovariater för att ge exakta skattningar. I detta arbete är detta antagande inte uppnått. Det finns oändligt många kovariater som influerar BNP och det är omöjligt att inkludera alla i en ekvation. Kovariater som är uteslutna i analysen men som kan vara relevanta är t.ex. arbetslöshet, historia, statsskick och korruption. Ytterligare en intressant aspekt är det faktum att länder ständigt genomgår olika utvecklingsstadier. Exempelvis genomgår Sverige en övergång från industri till tjänstesamhälle. Detta gör att det kan vara svårt att avgöra sambandet mellan CO 2 -utsläpp och BNP. Exempelviskanettindustrisamhällemedhög tillväxttakt uppleva att BNP ökar i takt med CO 2 -utsläpp.menettlandmed hög tillväxttakt kan även uppnås med lägre CO 2 -utsläpp ietttjänstesamhälle. Kovariaten Europa utesluts ur modellen vilket stämmer med tidigare antagande. Detta upplevs rimligt då Europa är en kontinent där BNP skiljer sig kraftigt mellan länder. En annan tänkbar geografisk indelning är att använda länderna i västvärlden eller länder som är medlemmar i OECD. Problemet med en sådan dummy är att det leder till självselektion. Därför utesluts geografisk placering helt ur modellen vilket är synd då en korrekt formulerad dummy skulle kunna ha en viss förklaringsgrad. Författarna överlåter konstruktion av en sådan dummy till vidare studier. Eftersom data som används i denna rapport är insamlad över hela världen och av olika länder är givetvis felmätningar en felkälla. Det kan också variera mellan länder hur man definierar olika kovariater. Exempelvis är detta en anledning till att arbetslösheten inte kunde användas som en kovariat. Definitionen av arbetslöshet skiljer sig alltför mycket mellan länderna så data är inte pålitliga. Det kan heller inte uteslutas att länder gör optimistiska antaganden när de samlar in data eller döljer vissa siffror. Vissa felmätningar kan också knytas till social oro och extrema situationer som naturkatastrofer. 6 Referenser Lang, Harald Topics on Applied Mathematical Statistics. KTH Världsbanken Kennedy, Peter A Guide to Econometrics. 6. uppl. Oxford: Blackwell Publishing 20

22 A Appendix A.1 Länder Afghanistan Egypt Liberia Rwanda Albania El Salvador Libya Saudi Arabia Algeria Estonia Lithuania Senegal Argentina Fiji Luxembourg Serbia Armenia Finland Macao Singapore Australia France Malawi Slovak Republic Austria Gabon Malaysia Slovenia Bahrain Gambia Maldives South Africa Bangladesh Germany Mali Spain Barbados Ghana Malta Sri Lanka Belgium Greece Mauritania Sudan Belize Guatemala Mauritius Swaziland Benin Haiti Mexico Sweden Bolivia Honduras Moldova Switzerland Botswana Hong Kong Mongolia Syria Brazil Hungary Morocco Tajikistan Brunei Iceland Mozambique Tanzania Bulgaria India Namibia Thailand Burundi Indonesia Nepal Togo Cambodia Iran Netherlands Tonga Cameroon Iraq New Zealand Trinidad and Tobago Canada Ireland Nicaragua Tunisia Chile Israel Niger Turkey China Italy Norway Uganda Colombia Jamaica Pakistan Ukraine Congo Japan Panama United Arab Emirates Costa Rica Jordan Papua New Guinea United Kingdom Cote d Ivoire Kazakhstan Paraguay United States Croatia Kenya Peru Uruguay Cuba South Korea Philippines Venezuela Cyprus Kuwait Poland Vietnam Czech Republic Kyrgyz Republic Portugal Yemen Denmark Laos Qatar Zambia Dominican Republic Latvia Romania Zimbabwe Ecuador Lesotho Russia 21