Marknadskonsistent värdering av en pensionsförsäkring under Solvens II

Transkript

1 Marknadskonsistent värdering av en pensionsförsäkring under Solvens II Best Estimate och SCR beräkningar för produkten Försäkrad Pension Kristoffer Nordlund Philip Wahlberg Handledare: Markus Ådahl Examinator: Lisa Hed Student VT 2015 Examensarbete, 30 hp Civilingenjörsprogrammet inom Industriell Ekonomi inriktning Risk Management, 300 hp

2

3 Förord Examensarbetet har utförts som ett avslutande moment för masterexamen på Civilingenjörsprogrammet inom industriell ekonomi vid Umeå Universitet. Examensarbetet har genomförts under vårterminen 2015 på uppdrag av Länsförsäkringar Liv AB i Stockholm. Vi vill rikta särskilda tack till Länsförsäkringars Erling Andersson och Elisabeth Äng. Erling Andersson har i form av chefsaktuarie bidragit med expertis för att leda oss i rätt riktning. Han har även hjälpt oss att komma i kontakt med andra personer inom bolaget, vilket har underlättat vid informationssökande och datainsamling. Elisabeth verkade som aktuariechef på avdelningen och gav oss chansen att skriva vårt examensarbete hos Länsförsäkringar. Vi vill även tacka hela avdelningen Länsförsäkringar Liv för det välkomnande vi mötts av. Slutligen vill vi rikta ett stort tack till Markus Ådahl som agerat handledare från Umeå Universitets sida. Markus har varit till stor hjälp tack vare sin bakgrund inom livförsäkringsbranschen men även för sin förmåga för pedagogisk vägledning under examensarbetets genomförande. Umeå Universitet, vårterminen Kristoffer Nordlund Philip Wahlberg

4 Sammanfattning Under finanskrisen 2007 och 2008 uppdagades brister i tillsynen av finansiella institut och det finansiella systemet som helhet. Anledningen ansågs vara att nationella tillsynsmodeller inte hade utvecklats i samma utsträckning som globaliseringen av det finansiella systemet. Till följd av detta antogs Solvens II-direktivet av Europaparlamentet och Europeiska Unionens råd under hösten Efter en rad fördröjningar kommer regelverket att träda i kraft i svensk lagstiftning vid årsskiftet 2015/2016. Solvens II har inneburit stora förändringar inom försäkringsbranschen gällande värdering av tillgångar och skulder, krav på intern kontroll, bedömning av risker och tillsynsrapportering. Med detta som bakgrund är Länsförsäkringar i behov av värderingsmodeller som möter regelverkets krav. Examensarbetet har genomförts på Länsförsäkringars huvudkontor i Stockholm. Uppgiften för examensarbetet har varit att göra en marknadskonsistent värdering av skulden i pensionsförsäkringen Försäkrad Pension. En marknadskonsistent värdering innebär att värdera kassaflödet i försäkringen konsistent med hur det skulle värderats på en finansiell marknad. Kassaflödet innefattar alla in- och utflöden av likvida medel över försäkringens förpliktelser under återstående ansvarstid. Vidare har även uppgiften bestått i att analysera hur en rad försäkringsrisker påverkar värderingen av skulden. Författarna har utfört uppgiften genom användning av en Economic Scenario Generator och Monte Carlo metoder. Som slutprodukt har författarna utvecklat ett verktyg i MATLAB som ger Länsförsäkringar möjlighetan att kontinuerligt uppdatera dessa beräkningar. Utöver beräkningar och utveckling av verktyget har examensarbetet involverat inläsning och förståelseskapande för de krav som Solvens II ställer på examensarbetets frågeställningar. Författarna har lyckats skapa detta verktyg på ett sätt som stöds av de teorier och regelverk som berör frågeställningarna på de punkter där författarna kunnat påverka antaganden och modellutformningen. Resultatet ger en lägre skuld än den Länsförsäkringar med nuvarande förenklade metoder har skattat. Författarna är nöjda med resultatet men kan inte garantera huruvida modellen är fullständig innan ansvarig tillsynsmyndighet gett sitt godkännande.

5 Executive summary During the financial crisis in 2007 and 2008 shortcomings in the supervision of financial institutions and the financial system as a whole were exposed. The reason was deemed to be that national supervisory models had failed to develop in the same extent as the globalization of the financial system. Following that the European Parliament and the council of the European Union adopted the Solvency II directive in the fall of After a series of delays, the regulatory framework will enter into force in Swedish law at year-end 2015/2016. Solvency II has brought great changes in the insurance industry when it comes to valuing assets and dept, requirements relating to internal control, assessment of risk and regulatory reporting. With this as a background, Länsförsäkringar are in need of models for valuation that meet the requirements of the new regulatory. The master thesis has been written at Länsförsäkringars headquarter in Stockholm. The task of the thesis has been to make a market-consistent valuation of liabilities in the pension insurance, Försäkrad Pension. A market-consistent valuation meaning that the cash-flow in the insurance is valued consistent with how it would be valued at a financial market. The cash-flow include all in- and outflows of cash and cash equivalents of the insurance, during the remainder of the future commitments. Furthermore the task has been to analyze how a number insurance risks affect the valuation of the dept in the product. The authors of the thesis have accomplished the task through the use of an Economic Scenario Generator and Monte Carlo simulation methods. As the end product, the authors have developed a tool in MATLAB which gives Länsförsäkringar a possibility to continuously update these calculations. In addition to the calculations and the development of a tool the process of the master thesis has revolved around Solvency II. To read and create understanding of the requirements that the regulatory put on the calculations and assumptions made in the thesis. The authors have been successful in creating a tool that fulfills the task and is supported by the theories and regulations at the points where the authors have been able to influence the direction. The result of the master thesis gives a lower debt estimate than Länsförsäkringar estimated with current simplified methods. The authors are satisfied with the result but can not guarantee the sufficiency of the model before the national supervisory authority have given their approval.

6 Förkortningar och begreppsförklaringar BE EIOPA ESG FTA IDF MCR NFV SCR Best Estimate. Bästa skattningen av det sannolikhetsvägda framtida kassaflödet med avseende på tidsvärde av pengar (EIOPA, 2014, 51). European Insurance and Occupation Pensions Authority. Economic Scenario Generator. Försäkringstekniska avsättningar. BE tillsammans med Risk Marginal (RM). International Derivatives Fund. Minimum Capital Requirement. Nuvärdet av framtida vinster. Solvency Capital Requirement. Diskonteringsränta Den ränta som används för att beräkna nuvärdet av framtida kassaflöden. Marknadskonsistent värdering Att värdera en tillgång eller skuld konsistent med hur den skulle värderats på en finansiell marknad. Solvens När man talar om solvens i försäkringssammanhang syftar man på solvensgraden som visar på förhållandet mellan marknadsvärdet på tillgångar och garanterade åtaganden (Svensk försäkring, 2011).

7 Innehåll 1 Inledning Länsförsäkringar AB Pensionsförsäkring Försäkrad Pension Solvensregelverk Tidigare regelverk Solvens II Bakgrund till problembeskrivning Problembeskrivning Syfte Avgränsningar Disposition Teori Solvens II Struktur Solvens II Pelare I Pelare II Pelare III Artiklar ur Solvens II direktivet Best Estimate Kassaflöden Solvency Capital Requirement SCR Life Räntor och nollkupongsobligationer Nollkupongsobligationer En värld utan osäkerhet En realistisk värld med osäkerhet Värdeutveckling nollkupongsobligation Inflation International Derivatives Fund Avkastning Tillgångsmarknaden Hävstång Marknadskonsistent värdering och riskneutralitet Samband mellan BE och NFV Economic Scenario Generator Martingale-test

8 2.10 Dödlighetsteori Genomförande och metod Data Försäkringstagare Economic Scenario Generator Kassaflöden Försäkrad Pension Skatt Utbetalningar Kostnader Avgifter Premier Klick Inflation Antaganden Dödlighet Flytt Fribrevsläggning Tillståndmodell Bearbetning av data Interpolering av räntor Replika av IDF Riskneutralitet Martingale-test Modell BE och NFV SCR Life Resultat Best Estimate SCR Life Diskussion och analys Analys av resultat Tillförlitlig efterbildning Möjligheter till vidareutveckling Referenser 47 7 Appendix Appendix I - SVJD Appendix II - Illustration av kassaflödesmodell Appendix III - Matlab kod

9 1 Inledning I detta inledande kapitel beskrivs bakgrunden, syftet, målen och frågeställningar till examensarbetet. 1.1 Länsförsäkringar AB Länsförsäkringsbolagen har en drygt tvåhundra år lång historia som kundägda försäkringsbolag. Det första länsförsäkringsbolaget grundades redan 1801 i Kronoberg följt av flertalet etableringar över landet. Samarbetet mellan länsförsäkringsbolagen inleddes 1917 och innebar från början endast erfarenhetsutbyte. Detta sammarbete har succesivt vuxit fram och idag består Länsförsäkringar av 23 lokala kundägda bolag som tillsammans äger moderbolaget Länsförsäkringar AB. Förutom moderbolaget omfattar även koncernen Länsförsäkringar Sak, Länsförsäkringar Bank, Länsförsäkringar FondLiv och Länsförsäkringar Liv samt ett antal dotterbolag till dessa (Länsförsäkringar, 2015a). Examensarbetet har utförts vid Länsförsäkringars huvudkontor på Gärdet i Stockholm, där författarna har fått tillgång till kontorsplats och datorer hos avdelningen Trad Liv. Länsförsäkringar har förutom kontorsplats även bidragit med expertis, data, handledare, tid och den programvara som varit nödvändig för att utföra arbetet. De program som har varit nödvändiga är MATLAB och Microsofts Officepaket. 1.2 Pensionsförsäkring En pensionsförsäkring är en form av sparande där försäkringstagaren betalar in premier fram till sin pensionsålder. Förhoppningsvis växer pengarna och skapar avkastning, för att sedan betalas ut när försäkringstagaren når pensionsålder. Privatpersoner har fram till och med 2014 haft möjlighet att göra avdrag för privata pensionsavsättningar om upp till kr per år i sin skattedeklaration. Sedan årsskiftet 2015 sänks avdraget till kr för att eventuellt fasas ut helt till år 2016 (Konsumenternas, 2015). Denna regelförändring kommer att ha inverkan på antaganden om kundbeteende vid modellering och beräkning senare i examensarbetet Försäkrad Pension Försäkrad Pension började tecknas i april 2006 och har idag över försäkringstagare med gemensamma tillgångar som uppgår till knappt 1.7 miljarder kr. Försäkringstagare av produkten är garanterande att minst få tillbaka det belopp de har be- 1

10 talt in med en möjlighet till avkastning. I Försäkrad Pension ingår ett återbetalningsskydd som garanterar att pengarna tillfaller förmånstagare om försäkringstagaren avlider (Länsförsäkringar 2015b). Produkten innehåller två tillgångsslag, där grunden i sparandet består av nollkupongsobligationer. Den andra delen består av en aktiederivatfond innehållande optioner och terminer kopplade till den globala aktiemarknaden. Aktiederivatfonden heter International Derivatives Fund (IDF) och förvaltas av banken BNP Paribas. För att garantera att försäkringstagare får tillbaka minst inbetalt belopp investeras en del av inbetald premien i en nollkupongsobligation som förfaller vid försäkringstagarens pensionsålder, med ett nominellt belopp som är lika med premiens värde. Resterande del av premien investeras i IDF. För att minska risken i försäkringen finns ett tak för hur stor andel som får finnas i IDF. När andelen i IDF är för stor säljs delar av fonden av och placeras i nollkupongsobligationer. Detta moment kallas för att försäkringen klickar. Summan av alla inbetalda premier plus kapitalet som har klickat kallas i produkten för Försäkrat Värde. Det Försäkrade Värdet är således det belopp kund är garanterad att minst få tillbaka i form av pensionsutbetalningar. Länsförsäkringar har tagit beslut om att inga nyteckningar får ske i Försäkrad Pension, vilket påverkar beräkningarna i examensarbetet. 1.3 Solvensregelverk Solvens II är ett mycket omfattande regelverk och därför kommer endast de delar som berör examensarbetets problembeskrivning att noggrannare redogöras för i denna rapport. Historien bakom och målen med det nya regelverket, Solvens II, kommer att beröras i kommande stycke. I rapportens teoridel kommer det redogöras hur strukturen för Solvens II ser ut och vilka krav regelverket ställer på beräkningar av Best Estimate (BE) och Solvency Capital Requirement (SCR) Tidigare regelverk Det nu gällande regelverket angående försäkringsbolags solvensnivåer, Solvens I, genomfördes i svensk lag i januari Grunderna i Solvens I återfinns redan i de första skadeförsäkrings- och livförsäkringsdirektiven från 1970 talet, där det föreskrevs att försäkringsbolag ska ha en kapitalbuffert som är tillräckligt stor i förhållande till sin verksamhet (Regeringen, 2014, 99) antogs det s.k. tredje generationens direktiv och med detta skapades en inre marknad för försäkringsbranschen. Med en inre marknad menas en gemensam marknad mellan Europeiska unionens medlemsländer. Principerna bakom tredje generationens direktiv gäller hemlandstillsyn, harmonisering och auktorisation av viktigare regler och därefter ömsesidigt erkännande av nationella regler. Denna regelharmonisering möjliggjorde för försäkringsbolag att verka på hela den europeiska marknaden med tillsyn från ett enda medlemsland (Regeringen, 2014, 100). 2

11 Efter uppdagande av svagheter i detta regelverk började ett arbete med en grundlig översyn av solvensreglerna 2001, vilket var starten på utvecklingen av det som idag är Solvens II. Ansvariga för översynen av branschen insåg redan 2003 att de behövde påskynda regleringen och antog som ett första steg Solvens I-regelverket (Regeringen, 2014, 100). Fördelen med det tidigare Solvens I regelverket är att det är enkelt att förstå och implementera. Regeringen (2014, 101) sammanfattar regelverket i tre steg. Försäkringsbolagen ska för det första estimera storleken av de försäkringstekniska avsättningarna. För det andra ska bolagen hålla tillgångar som motsvarar de försäkringstekniska avsättningarna. För det tredje ska försäkringsbolagen hålla en extra kapitalbuffert utöver det som avsatts i relation till de framtida åtagandena. Baksidan med enkelheten i det tidigare regelverket är att kapitalkraven inte replikerar de verkliga riskerna i ett försäkringsbolag. I vissa fall kommer kapitalkraven vara för höga, ibland för låga. Detta medför att bolagen inte kommer att ha en optimal kapitalstruktur, med avseende på de kostnader företaget har för att hålla kapitalet och den nivå på skyddseffekt man vill uppnå (SOU, 2011, 37). För att belysa en nackdel i det gällande Solvens I-regelverket, kopplad till problembeskrivningen i detta examensarbete, vill författarna belysa att det inte finns något krav på att marknadsvärdera varken tillgångar eller skulder. Försäkringsbolagen har idag möjlighet att värdera tillgångarna till bokfört värde. Det medför att en förändring i tillgångarnas värde inte har någon direkt inverkan på solvensen hos bolaget. Det innebär i sin tur att solvensmåtten tappar sin reliabilitet under ekonomiskt instabila tider, vilket visade sig under finanskrisen (SOU, 2011, 38). I vissa europeiska länder har ett steg på vägen redan tagits och det krävs marknadsvärdering av tillgångssidan men inte skuldsidan. Detta har sina för- och nackdelar. Fördelen är att en marknadsvärderad tillgångssida i balansräkningen bättre speglar företagets ekonomiska situation. En nackdel är att ränteförändringar innebär att solvensen förändras, positivt eller negativt. Detta sker även om skuld och tillgångssidan är perfekt durationsmatchade och ingen skillnad på solvensen då ska uppkomma (SOU, 2011, 38) Solvens II Under finanskrisen 2007 och 2008 uppdagades brister i tillsynen av finansiella institut och det finansiella systemet som helhet. Anledningen ansågs vara att nationella tillsynsmodeller inte hade utvecklats i samma utsträckning som globaliseringen av det finansiella systemet. Till följd av detta antogs Solvens II-direktivet av Europaparlamentet och Europeiska Unionens råd hösten 2009 (Europeiska unionen, 2014, 1). Efter en rad ändringar, bland annat ett ändringsdirektiv, Omnibus II, är datumet för införandet av Solvens II framflyttat och satt till 1 januari 2016 (Finansinspektionen, 2015). Solvens II innebär förändrade kapitalkrav, tydligare krav på riskhantering, förändrade regler för tillsyn och större krav på rapportering. Regelverket syftar till att öka sta- 3

12 biliteten i branschen då alla aktörer verkar under samma, strikta regelverk. Stabila försäkringsbolag ger en ökad stabilitet i hela det internationella finansiella systemet (Regeringen, ). Det nya direktivet kommer ge ett ökat konsumentsskydd då det ska förebygga att europeiska försäkringsbolag drabbas av betalningssvårigheter. Genom att öka rapporteringskraven och möjligheten till insyn kommer det även bli lättare för försäkringstagarna att kunna göra en bedömning av försäkringsbolagens finansiella ställning (Konsumentverket, 2014). Solvens II är ett fullharmoniseringsdirektiv vilket innebär att det inte längre är möjligt för enskilda länder att avvika från gällande direktiv. Regeringen (2014, 100) menar att detta kommer medföra en större konkurrens då det ökar möjligheten för bolag att agera inom hela unionen. Finansinspektionen (2010, 28) skriver dock att det nya direktivet skulle kunna leda till en ökad konsolidering inom försäkringsbranschen då direktivet medför stordriftsfördelar, vilket i sin tur skulle kunna minska konkurrensen. Till skillnad från tidigare regelverk, använder Solvens II solvensbalansräkningen som utgångspunkt istället för den traditionella balansräkningen. Solvensbalansräkningen bygger på en marknadsvärdering av både skuld- och tillgångssidan. Med en marknadskonsistent värdering av både tillgångar och skulder skulle solvensmåttet vara tillförlitligt även under tider av ekonomisk oro (SOU, 2011, 38). Detta kommer också att medföra att bolagens solvenskapital kommer att spegla verkligheten på ett bättre sätt och därmed ge företagen en bättre möjlighet att optimera kapitalkostnaden. Införandet av striktare rapportering och större möjlighet till insyn kommer att ge insynsfunktionen i respektive medlemsland en större möjlighet att verka proaktivt och identifiera problemföretag i ett tidigare skede för att minimera risken för kriser (Regeringen, 2014, 103). 1.4 Bakgrund till problembeskrivning Då Länsförsäkringar i dagsläget tillämpar en förenklad modell för värderingen av skulden i Försäkrad Pension är de i behov av en mer sofistikerad modell som möter de krav Solvens II direktivet medför. De framtida pensionsutbetalningar Länsförsäkringar har i åtaganden gentemot sina försäkringstagare bokförs som en skuld. I Solvens II-direktivet skrivs bland annat följande gällande värdering av skulder. Skulder ska värderas till det belopp för vilka de skulle kunna överlåtas eller regleras i en transaktion mellan kunniga parter som är oberoende av varandra och har ett intresse av att transaktionen genomförs (Europeiska unionen, 2009, Art 75.1b). Vidare skrivs även att Den kassaflödesberäkningen som används vid beräkningarna av bästa skattningen skall beakta alla in- och utflöden av likvida medel som krävs för att reglera försäkrings- och återförsäkringsförpliktelserna under deras återstående 4

13 ansvars- och avvecklingstid (Europeiska unionen, 2009, Art 77.2). Här definieras bästa skattningen som Det sannolikhetsvägda genomsnittliga framtida kassaflöde med beaktande av pengars tidsvärde med tillämpning av riskfria räntesatser för relevanta durationer (Europeiska unionen, 2009, Art 77.2). I och med dessa bestämmelser menar Varnell (2009, 5) att skulden enligt Solvens II endast kan värderas korrekt genom marknadskonsistent värdering. Marknadskonsistent värdering innebär att man värderar ett kassaflöde konsistent med hur det värderas på en finansiell marknad och alltså möter de krav som nämns ovan. 1.5 Problembeskrivning Med detta som bakgrund är Länsförsäkringar i behov av marknadskonsistenta värderingar av skulden för samtliga försäkringar och således även för Försäkrad Pension. Författarnas uppgift är därför att skapa en marknadskonsistent värdering av skulden i Försäkrad Pension under ramarna för regelverket Solvens II. Följande frågeställningar ska besvaras i detta examensarbete. Vad är den bästa skattningen av skulden i Försäkrad Pension, det s.k. Best Estimate idag? Hur skulle stressade scenarion, i form av livförsäkringsrisker, påverka denna skuld? Denna påverkan benämns SCR Life. Vidare ska en slutprodukt i form av ett beräkningsverktyg skapas för att Länsförsäkringar ska ha en möjlighet att kontinuerligt uppdatera och besvara de ovan nämnda frågeställningarna. 1.6 Syfte Länsförsäkringar skulle i och med detta få en korrekt skattning av BE och SCR Life för produkten Försäkrad Pension inom ramen för Solvens II. I och med detta skulle Länsförsäkringar kunna överge den nuvarande förenklade värderingen av skulden. Länsförsäkringar skulle då vara mer förberedda inför det nya direktiv som träder i kraft januari Avgränsningar Förvaltningen av Försäkrad Pension övergår hos Länsförsäkringar till enheten för Traditionell Förvaltning då försäkringstagaren går i pension. På grund av denna förvaltningsstruktur kommer de kassaflöden som värderas i modellen betraktas som en enda stor utbetalning vid respektive försäkring och pensionsålder. För den Traditionella Förvaltningen finns idag redan genomarbetande metoder för att besvara de frågeställningar som detta examensarbete berör. 5

14 I Försäkrad Pension sker köp av syntetiska nollkupongsobligationer. För att matcha durationen till varje försäkringstagares pensionsålder behövs obligationer med en förfallodag över 40 år framåt i tiden. Den svenska statsobligationen med längst löptid på marknaden idag förfaller i mars 2039 (Riksgälden, 2015). De syntetiska nollkupongsobligationerna emitteras av banken ABN AMRO. Hur de syntetiska nollkupongsobligationerna skapas ligger utanför ramen för detta arbete. Utgångspunkten bli därför att obligationer med tillräckligt långa löptider finns på marknaden. 1.8 Disposition Inom ramen för examensarbetets problemberskrivning ryms såväl juridiska, ekonomiska, matematiska och modelleringstekniska aspekter. Teoriavsnittet inleds med en övergripande bild av det regelverk som problembeskrivningens frågeställningar verkar under. Därefter följer ett avsnitt med ekonomiska teorier, vilket är tänkt att, för läsaren fungera som en brygga för förståelse mellan de juridiska och de modelleringstekniska aspekterna. Teoriavsnittet avslutas med de matematiska teorier som används i den modell som senare beskrivs i rapportens avsnitt för metod. I rapportens avslutande diskussion motiveras och kritiseras de val som har gjort och varför den modell som skapats möter regelverkets krav. 6

15 2 Teori I detta avsnitt presenteras de teoretiska grunder som är nödvändiga för att förstå hur författarna har genomfört de beräkningar som beskrivs i problembeskrivningen. 2.1 Solvens II Struktur Solvens II Strukturen för Solvens II är uppdelad i tre pelare, vilket illustreras i Figur 2.1. Pelare I innehåller ramar för hur tillgångar och skulder ska värderas. Pelare 1 innehåller även beräkning av försäkringstekniska avsättningar och kapitalkrav, samt regler om hur kapitalet får placeras. Pelare I är den viktigaste pelaren inom ramen för detta examensarbete och därför kommer störst vikt att läggas på att beskriva dess innehåll. Pelare II innefattar kraven på försäkringsbolagens styrning, riskhantering och tillsynsprocesser. Den sista pelaren, Pelare III, innefattar regler om rapportering och offentliggörande av information (SOU, 2011, 42). Figur 2.1: Strukturen för Solvens II (SOU, 2011, 42) Pelare I Fokus för Pelare I ligger på kvalitativa krav på försäkringsbolagens solvensbalansräkningar. Solvensbalansräkningarna skiljer sig något från de balansräkningar man normalt ser i bolags årsredovisningar. Solvensbalansräkningen, som illustreras i Figur 2.2, ska till skillnad från balansräkningen innefatta en marknadsvärdering av samtliga tillgångar och skulder. Värderingen av skulden ska dessutom innefatta en risk- 7

16 marginal (RM), där man beräknar beloppet som bolaget skulle få betala om man skulle bli tvungna att överföra sina åtaganden till ett annat bolag. Det man kallar försäkringstekniska avsättningar är BE adderat med RM (EIOPA, 2014, 46). Figur 2.2: Solvensbalansräkning (Finansinspektionen, 2008, 12). I Pelare I beskrivs att bolagen måste beräkna två nivåer av kapitalkrav. Den första är ett solvenskapitalkrav, SCR, som i princip alltid måste upprätthållas. Därtill har man ett minimikapitalkrav, M CR, som alltid måste upprätthållas. SCR är tänkt att motsvara det kapital som bolaget måste hålla för att täcka eventuella förluster. Nivån är satt så att bolaget endast får misslyckas att uppfylla sina åtaganden 1 år av 200 år. Med att misslyckas att uppfylla sina åtaganden, menas att bolagets tillgångar är mindre än skulderna vid årets slut. Bolaget måste med andra ord ha en kapitalbuffert som klarar 99.5 % av alla tänkbara utfall under en ettårsperiod (EIOPA, 2014, 122). Figur 2.3 illustrerar en fördelningsfunktion för kapitalbufferten över en ettårsperiod vid olika marknadsscenarion (SOU, 2011, 44). 8

17 Figur 2.3: Fördelningsfunktion kapitalbuffert (SOU, 2011, 44). Om kapitalet skulle vara lägre än SCR-nivån måste företaget lämna in en strategi för att återställa kapitalnivån till ansvarig tillsynsmyndighet. I Sverige fungerar Finansinspektionen (FI) som ansvarig tillsynsmyndighet. Tillsynsmyndigheten har rätt att kräva att bolaget tar till särskilda åtgärder för att återställa kapitalnivån (Hull, 2012, 279). M CR är tänkt att motsvara % av solvenskapitalkravet (EIOPA, 2014, 318). M CR är specificerat som den absolut minsta nivån av kapital företaget måste hålla. Om kapitalet understiger M CR är det troligt att tillsynsmyndigheten begränsar bolaget från att teckna nya försäkringar. Tillsynsmyndigheten har även mandat att i värsta fall likvidera företaget och överföra dess åtaganden till ett annat försäkringsbolag (Hull, 2012, 279) Pelare II Pelare II innehåller de kvalitativa kraven som ställs på företagsledningens förfarande vid egen bedömning av risk och solvens. Bedömningen av dessa ska göras regelbundet och dokumenteras. Syftet med att ställa krav på en egen bedömning av risken är att företagsledningen får perspektiv på hur den egna bedömningen skiljer sig från de regelmässiga kraven. Detta ger även företagsledningen en möjlighet att jämföra utfallen av de två och utvärdera om det är passande att utveckla en intern modell för beräkning kapitalbuffertar och få den godkänd av tillsynsmyndigheten. Pelare II innefattar även kvalitativa regler för tillsyn. Tillsynsmyndigheten ska verka proaktivt och försöka förutse och övervaka vilka bolag som ska klassas som riskföretag (SOU, 2014, 45). 9

18 2.1.4 Pelare III Pelare III innefattar regler om hur rapporteringen till tillsynsmyndigheten och marknaden ska vara utformad och vad denna ska innehålla. Tanken med en ökad rapportering och en ökad möjlighet till insyn i försäkringsbolagen, är att öka möjligheten för försäkringstagaren att få en uppfattning om den ekonomiska ställningen i bolaget. Att rapporteringen blir mer omfattande kommer att ge företagsledningen ytterligare incitament att bedriva en sund försäkringsverksamhet (SOU, 2014, 46) Artiklar ur Solvens II direktivet Solvens II direktivet består av en uppsjö skrivelser och bestämmelser. Nedan följer för detta examensarbete, relevanta artiklar från Solvens II-direktivet. Artiklarna beskriver vilka krav Solvens II ställer på beräkning av BE. 1. Skulder ska värderas till det belopp för vilka de skulle kunna överlåtas eller regleras i en transaktion mellan kunniga parter som är oberoende av varandra och har ett intresse av att transaktionen genomförs. (Europeiska unionen, 2009, Art 75.1.b). 2. Bästa skattningen ska motsvara det sannolikhetsvägda genomsnittet för de framtida kassaflödena med beaktande av pengarnas tidsvärde (det förväntade nuvärdet av de framtida kassaflödena) med tillämpning av riskfria räntesatser för relevanta durationer. (Europeiska unionen, 2009, Art 77.2). 3. Beräkningen av bästa skattningen ska bygga på aktuell och trovärdig information och realistiska antaganden och utföras med lämpliga, tillämpliga och relevanta försäkringsmatematiska och statistiska metoder. (Europeiska unionen, 2009, Art 77.2). 4. Den kassaflödesprognos som används vid beräkningen av bästa skattning ska beakta alla in- och utflöden av likvida medel som krävs för att reglera försäkrings- och återförsäkringsförpliktelser under deras återstående ansvarsoch avvecklingstid. (Europeiska unionen, 2009, Art 77.2). Det är i enlighet med dessa bestämmelser som beräkningarna av BE i detta examensarbete ska genomföras. Vidare i denna rapport väljer författarna att referera till dessa artiklar som Art

19 2.2 Best Estimate BE kan med fixa kassaflöden och en given räntebana matematiskt beskrivas enligt Ekvation 2.1 BE(t) = T k k=t+1 l=t+1 ( f l ) 1 12 cf(k) (2.1) BE(t) blir då det diskonterade värdet av de framtida kassaflödena cf(t + 1), cf(t + 2),..., cf(t ), där f är forwardräntor uttryckta i årstakt och T är antalet månader som BE ska beräknas över. Produkten av forwardräntorna till varje tidssteg bildar diskkonteringsräntan, vilken används till att beräkna nuvärdet av kassaflödet i varje tidssteg. För mer om forwardräntor se avsnitt Ekvation 2.1 beskriver BE för ett fixt scenario. Vid beräkningar av BE används normalt flera scenarion där BE skattas som medelvärdet över alla scenarion, mer om detta i avsnitt Kassaflöden För att möta bestämmelserna enligt Art 4 kan produktens kassaflöde delas upp i två flöden. Det första kassaflödet, cf, är det som berör BE enligt Ekvation 2.1. Detta framtida kassaflöde cf(t + 1), cf(t + 2),..., cf(t ) kan skrivas enligt Ekvation 2.2. cf(t) = claims(t) + exp(t) + tax(t) prem(t) (2.2) I Ekvation 2.2 är claims(t) utbetalningar, exp(t) kostnader, tax(t) skattekostnader och prem(t) premieinbetalningar, i tidssteg t. Senare i rapporten kommer det sannolikhetsvägda kassaflödet, beskrivet i Art 2, att behandlas. När det sannolikhetsvägda kassaflödet skattas, beror beståndsdelarna i Ekvation 2.2 på antaganden och sannolikhetsskattningar gällande händelser, så som att försäkringstagare avlider, ändrar storleken på premien eller lämnar sparformen. Storleken på claims(t), exp(t) och tax(t) beror även på storleken av pensionskapitalet vid t, vilket avgörs av hur kapitalet i försäkringen har utvecklats till t. Det andra kassaflödet cf v beskriver försäkringsbolagets framtida vinster. Nuvärdet av framtida vinster (NF V ) beräknas på samma sätt som BE i Ekvation 2.1, med skillnaden att kassaflödet är cf v, enligt Ekvation 2.3. cf v (t) = avg(t) exp(t) (2.3) I Ekvation 2.3 är avg(t) försäkringsbolagets intäkter i t, vilka skapas i form av avgifter från kund. Tillsammans beaktar dessa kassaflöden alla in- och utflöden av likvida medel som kan uppstå i försäkringen i enlighet med Art 4. 11

20 2.3 Solvency Capital Requirement SCR ska motsvara Value at Risk (VaR) av försäkringsbolagets eget kapital, Basic Own Funds (BOF ), med en konfidensnivå på 99.5 %. Danielsson (2011, 76) beskriver VaR enligt följande: Value-at-Risk är förlusten i en portfölj, så att det finns en sannolikhet p som motsvarar att förluster är lika med eller större än VaR under en given period och där (1 p) är sannolikheten att förlusterna är mindre än VaR. Det egna kapitalet beräknas enligt Solvens II som skillnaden mellan tillgångar och skulder, där skulderna vid dessa beräkningar exkluderar efterställda skulder (EIO- PA, 2014, 122). SCR kan då beräknas som förändringen av BOF ( BOF ) under stressade scenarion. Enligt standardformeln för Solvens II kan SCR delas upp i delarna Adj, BSCR och Op. Detta illustreras i Figur 2.4 (EIOPA, 2014, 120) Figur 2.4: SCR modul enligt standardformeln (EIOPA, 2014, 120) BSCR står för Basic Solvency Capital Requirement. Adj är en justering för riskdämpande effekt av försäkringstekniska avsättningar och uppskjuten skatt. Op är kapitalkrav för operativ risk (EIOPA, 2014, 125). Här delas BSCR i sin tur in i sex olika kategorier. Författarna av detta arbete kommer endast utföra beräkningar av SCR Life. 12

21 För att läsaren ska förstå hur de olika SCR kategorierna hänger samman presenteras ändå Ekvation 2.4 och 2.5, vilka beskriver sambandet mellan de olika kapitalkraven, där korrelationsmatrisen i Figur 2.5 används vid beräkningarna (EIOPA, 2014, 126). SCR = Adj + BSCR + SCR OP (2.4) BSCR = Corr ij SCR i SCR j + SCR intangeble (2.5) ij Figur 2.5: Korrelationsmatris för kategorierna i BSCR (EIOPA, 2014, 126) SCR Life Inom ramen för detta examensarbete kommer endast SCR Life beräknas, där underkategorierna Disability/Morbidity och Revision exkluderas eftersom dessa risker inte anses finnas i försäkringsprodukten. Då riskfaktorerna i SCR Life endast påverkar skuldsidan kan SCR Life istället för att beräknas som BOF beräknas som BE. EIOPA har tagit fram olika stressfaktorer som motsvarar den angivna konfidensnivån för dessa beräkningar. De procentuella förändringarna multipliceras eller adderas med antaganden om kundbeteende under normala förhållanden. Tabell 2.1 visar de procentuella förändringarna för de risker, som i detta arbete kommer att beräknas. 13

22 Tabell 2.1: Stressade scenarion Stressfaktorer Life Stress Procentuell förändring Dödlighetsrisk Mortality Shock 15% Långlevnadsrisk Longevity Shock 20% Driftkostnad -nivå Expenses Shock 10% Driftkostnad - inflation Expenses Shock 1% (additiv) Annulationsrisk Lapse Shock Up 50% Annulationsrisk Lapse Shock Down 50% Annulationsrisk MassLapse Shock 70% (momentan) Katastrofrisk CATShock 0.15% (momentan) Dödlikhets- och långlevnadsrisk innebär att sannolikheterna att avlida justeras. Driftkostnadsrisken innebär att kostnaderna för försäkringsbolaget ökar. När driftskostnadsrisken Life Expenses beräknas, används båda stressfaktorerna i Tabell 2.1 samtidigt. När Life CAT beräknas, antas dödlikhetssannolikheten öka momentant under det första året. Efter att de enskilda kategorierna Life Stress inom SCR Life beräknats, viktas de samman genom Ekvation 2.6, där korrelationsmatrisen i Figur 2.6 används. SCR Life = CorrLife rc Life r Life c (2.6) rc Figur 2.6: Korrelationsmatris för kategorierna i SCR Life (EIOPA, 2014, 202) Life Stress, i ekvation 2.6 beräknas för varje enskild risk enligt Ekvation 2.7. Life Stress = max(0, (BE Stress BE)) (2.7) Endast risker som ökar skulden är intressanta, därav max av 0 och differensen av utfallen. Life Lapse består enligt Tabell 2.1 av tre underkategorier. När varje risk värderats separat, beräknas Life Lapse enligt Ekvation 2.8. Life Lapse = max(0, max(be Lapseup, BE Lapsedown, BE Lapsemass ) BE) (2.8) 14

23 När BE Lapsemass beräknas, antas att 70 % av försäkringstagarna lämnar försäkringen i första tidssteget. För ett ge läsaren ytterligare förståelse för hur BE och SCR Life beräknas och för hur pensionskapitalets storlek förändras över tiden, följer nu avsnitt där läsaren får en förståelse för dynamiken mellan obligationspriser och marknadsräntor. De kommande avsnitten ger även läsaren en förståelse för hur tillgångsslagens avkastning beräknas. 2.4 Räntor och nollkupongsobligationer För att garantera det man i Försäkrad Pension kallar Försäkrat Värde, genomförs vid premieinbetalning köp av nollkupongsobligationer med förfallodag vid pensionsålder Z, där det nominella beloppet är lika med premieinbetalningen. Denna struktur gör att skattningen av cf(t + 1), cf(t + 2),..., cf(t ) beror av hur obligationspriser förändras över tid. Denna prisförändring avgör även hur stor andel av en inbetald premie som ska gå till obligationsköp och hur stor del som ska investeras i IDF. Med detta som grund bör läsaren därför få en förståelse för marknadsdynamiken mellan räntor och obligationspriser Nollkupongsobligationer En obligation är en typ av skuldebrev där köparen av obligationen lovas framtida utbetalningar i form av ränta (kuponger) mot en betalning idag. Vid obligationens förfallodag betalas slutligen det nominella lånebeloppet tillbaka till köparen. En nollkupongobligation är en obligation som saknar kuponger. Det nominella beloppet betalas på samma sätt tillbaka vid obligationens slutdatum men eftersom inga kupongutbetalningar sker är värdet på en nollkupongobligation normalt sett lägre än det nominella beloppet (Bodie, Kane, Marcus, 2014, 122). Priset för en nollkupongobligation bestäms av vad marknaden kräver för avkastning på investeringen. Nedan ges ett exempel på en värdeförändring av en nollkupongobligation där förfallodagen T är 30 år. Figur 2.7 Illustrerar en värdeutveckling för en nollkupongobligation med en årlig ränta r = 6% och ett nominellt belopp F om 1000 SEK. Nominellt belopp förkortas i denna rapport F, efter den engelska översättningen Face Value. Om räntan hålls konstant över tid växer värdet av obligationen och har vid förfallodagen T samma värde som det nominella beloppet. 15

24 Figur 2.7: Värdeutveckling av nollkupongsobligation Värdet B(t, T ) av obligationen bestäms i diskret tid t genom diskontering enligt Ekvation 2.9, där T-t är tiden till förfallodag T. (Bodie, Kane, Marcus, 2014, 467) B(t, T ) = F (1 + r) T t (2.9) Med kontinuerliga tidssteg kan priset skrivas enligt Ekvation 2.10 B(t, T ) = F e r (T t) (2.10) Fortsättningsvis kommer alla värderingar och beräkningar att ske i diskret tid, då den beräkningsmodell som senare skapas stegar månadsvis En värld utan osäkerhet Figur 2.4 illustrerar hur priset på en nollkupongobligation förändras med en konstant avkastningsränta. Detta är en förenkling då räntan hålls konstant över tiden. Även om räntan inte skulle vara konstant antas nu för enkelhetens skull att de framtida årsräntorna r t är kända vid t 0. Detta förklaras i följande exempel. Anta att ettårsräntan r 1 = s 1 idag är 1.0 %. Vidare antas även att ettårs räntan om två år är, r 2 = 2.0% och om tre år är, r 3 = 3.0%. Givet detta bestäms då de årliga avkastningsräntorna (spot-räntan), s t, enligt Ekvation 2.11 (Bodlie, Kane, Marcus, 2014, 493). (1 + s t ) t = (1 + s t 1 ) t 1 (1 + r t ) (2.11) 16

25 Detta ger: s 1 = 1.0%, s 2 1.5%, s 3 2.0% Figur 2.8 illustrerar hur dynamiken mellan framtida räntor och spot-räntor fungerar i en värld utan osäkerhet. Figur 2.8: Räntestruktur En realistisk värld med osäkerhet Eftersom ingen med säkerhet vet vad den framtida årsräntan r 2 kommer vara, bestäms priset på en nollkupongsobligation idag av marknadens förväntningar om framtida räntor. Om den framtida ettårs räntan r 2 är lägre än den antogs vara i t 0 minskar även s 2 och värdet av obligationen ökar. På samma sätt minskar värdet av obligationen om r 2 är högre än förväntat. Denna risk innebär att investerare troligen endast är villiga att betala ett lägre pris än vad som beskrivs i det riskfria fallet ovan (Bodie, Kane, Marcus, 2014, 496). Det pris som investerare idag är villiga att betala för en nollkupongsobligation med förfallodag t ger alltså den årliga spot-räntan, s t. Spot-räntan avspeglas i sin tur av förväntningar om framtida räntor. Bodie, Kane, Marcus (2014, 502) menar dock att till förväntningarna om räntan E(r t ), måste även en likviditetspremie adderas enligt Ekvation 2.12, vilket ger forward-räntan f t f t = E(r t ) + Liquidity Premium (2.12) Huruvida det förhåller sig om en likviditetspremie eller en riskpremie poängterar Fantacia, Marcuzzo och Sanfilippo (2014) att det råder delade meningar om bland kända ekonomer genom historien. Hicks (1939) menade att marknaden kräver en extra premie för vilken investering som helst, så länge det råder någon slags osäkerhet, oavsett om det handlar om råvarupriser eller räntor. Keynes (1936) var av en annan mening och hävdade att det var individens trygghet av att kunna likvidera tillgången snabbare och inte förbinda sig till en lång period som gör att de långa räntorna är högre än de korta, därav begreppet Liquidity premium. Det essentiella av de båda teorierna för denna rapport, är att det finns ett samband mellan långa och korta räntor. Det är även viktigt för att förstå varför långa räntor tenderar att vara högre än korta, varför ett kassaflöde med längre duration värderas lägre idag. Om t är 17

26 antalet månader och forward räntorna (f 1, f 2,..., f T ) är uttryckta i årstakt bildar de tillsammans spot-räntor enligt Ekvation { s1 = f 1 (1 + s t ) t 12 = (1 + f 1 ) 1 12 (1 + f 2 ) (1 + f t ) 1 12, t T (2.13) Vilket leder till Ekvation 2.14 f t = (1 + s t) t 1 (2.14) (1 + s t 1 ) t 1 Om s skrivs som en funktion s(t, T ) av T och t, kan obligationspriset uttryckas enligt Ekvation B(t, T ) = F (1 + s(t, T )) T t (2.15) Värdeutveckling nollkupongsobligation I den modell som skapas för att skatta de framtida kassaflödena cf(t) enligt Ekvation 2.2 och cf v (t) i Ekvation 2.3, måste pensionskapitalet beräknas framåt med månadsvisa tidssteg så att kapitalet förräntas. Detta eftersom att storleken på kassaflödena beror på kapitalet i försäkringen. Den del av pensionskapitalet som består av obligationer förräntas i diskret tid enligt,, i Ekvation 2.18, där z(t) är tiden uttryckt i år försäkringstagaren har kvar till pension, vid tidssteg t. Detta beräknas från antal månader kvar till pension vid tid t, så att z(t 1) = z(t) B(t 1, T ) = B(t, T ) = F (1 + s(t 1, T )) z(t 1) (2.16) F (1 + s(t, T )) z(t) (2.17) B(t, T ) kan beräknas direkt genom Ekvation 2.17 eller givet B(t 1, T ) från Ekvation 2.16 och observerade spot-räntor s(t, T ) och s(t 1, T ), enligt Ekvation B(t, T ) = F (1 + s(t 1, T )) z(t 1) } {{ } B(t 1,T ) (1 + s(t 1, T ))z(t 1) (1 + s(t, T )) z(t) } {{ } (2.18) 18

27 2.5 Inflation Ekvation 2.12 beskriver hur forwardräntan f t är förväntningen om den framtida räntan E(r t ) i tidssteg t, plus en likviditetspremie. För att förstå varför den framtida räntan skulle skilja sig från förväntningarna och varför räntan över huvudtaget skulle förändras behövs ett förtydligande angående detta. En del av svaret återfinns i begreppet inflation. Riksbanken förklarar inflation som stigande priser på varor och tjänster, vilket resulterar i urholkning av pengars värde (Riksbanken, 2011). För att styra inflationen justerar Riksbanken reporäntan men kan återköpa statspapper på obligationsmarknaden. Dessa åtgärder leder till förändringar på så väl långa som korta räntor. Hög inflation leder även till högre krav på avkastning från marknaden, vilket resulterar i lägre obligationspriset. Riksbankens mål är att Sverige ska ha en årlig inflation på 2 procent (Riksbanken 2012). Vid beräkning av framtida kassaflöden enligt Solvens II, skall lämpliga inflationsantaganden användas (EOIPA, 2014, 51). När man talar om räntor, används ofta begreppen nominella och reella räntor, där realräntan approximativt fås av nominalräntan minus inflationen (Bodie, Kane, Marcus, 2014, 503). Inflationen kan då utryckas enligt Ekvation Inf lation N ominell ränta Realränta (2.19) 2.6 International Derivatives Fund International Derivatives Fund förvaltas av banken BNP Paribas. Fonden investerar huvudsakligen i optioner och terminer med internationella aktieindex som underliggande tillgångar. Fonden strävar efter att upprätthålla lika vikter i regionerna Asien, Europa och Nordamerika. Investeringarna hålls i lokala valutor så att fonden även löper en valutarisk. Målet är att fonden ska avkasta en leverage (hävstång) motsvarande 2 mot de marknader fonden investerar i. Fonden löper därmed en stor risk i det avseendet att den har en hög volatilitet. Tanken bakom att välja en fond med en hävstång är att Försäkrad Pension ska uppnå en hög grad av aktieexponering och samtidigt ha en garanti som säger att kunden som sämst får tillbaka summan av inbetalda premier Avkastning Tillgångsmarknaden Avkastningen för tillgångsmarknaden, y, i tidssteg t beräknas i diskret tid enligt Ekvation 2.20, där S(t) är tillgångens värde i tidssteg t. y(t) = ( ) S(t) S(t 1) 1 (2.20) 19

28 2.7 Hävstång Hävstång kan uppnås med olika typer av finansiella instrument men ett enkelt sätt att förklara hur en hävstång fungerar är att använda belåning. Danielsson (2011, 187) beskriver hävstång som kvoten mellan det totala kapitalet och det egna kapitalt enligt Ekvation Lev = E + D E (2.21) Här är D det lånade kapitalet och E det egna kapitalet. Författarna väljer att förklara hävstång med belåning vidare genom ett exempel. Anta att en investerare vill investera i ett Index B med hävstång 2. För att uppnå en hävstång på 2, lånar investeraren 50 SEK till en månadsränta s om 2 %. Investeraren använder nu de lånade 50 SEK och 50 SEK eget kapital och investerar totalt 100 SEK i Index B. Anta vidare att Index B under en tremånadersperiod utvecklas enligt Tabell 2.2 och att månadsräntan s hålls konstant. Tabell 2.2: Illustration över hävstångseffekt Tillstånd/ Tid och Avkastning t 1 : +10 % t 2 : -5 % t 3 : +5 % Ingående Eget Kapital (E) Lånat Kapital (D) Efter Avkastning Eget Kapital (E) Lånat Kapital (D) Efter Ränta Eget Kapital (E) Lånat Kapital (D) För att alltid uppnå hävstång 2 måste det ingående egna kapitalet och det ingående lånade kapitalet i varje tidssteg vara lika stort. Anta därför att investeraren tar ett nytt lån och löser ut det gamla lånet i varje tidssteg. Avkastingen beräknas på det totala kapitalet och räntan dras från det egna kapitalet. Den totala avkastningen med denna struktur blir då = %. Samma avkastning uppnås enligt Ekvation 2.22, där avkastningen i varje tidssteg t multipliceras med hävstången 2 och subtraheras med räntan s. (1 + (0.10) 2 s) (1 + ( 0.05) 2 s) (1 + (0.05) 2 s) = 12.14% (2.22) 20

29 Mer generellt gäller avkastning med hävstång enligt Ekvation 2.23, där s(t 1, t) är räntan att låna D till t. y lev (t) = (1 + y(t) Lev) s(t 1, t) D E (2.23) På detta sätt beskriver även Bode, Kane och Marcus (2014, 644) ett företags avkastning på eget kapital beroende på dess belåningsgrad. 2.8 Marknadskonsistent värdering och riskneutralitet När man pratar om begreppet riskneutralitet är en av förutsättningarna att marknaden är fri från arbitrage. Läsaren behöver därför bli bekant med begreppet arbitragefri marknad. Kalberer (2006, 7) beskriver att en marknad är fri från arbitrage om och endas om, kassflöden som är lika för alla tänkbara framtida utvecklingar av relevanta variabler, så som tillgångspriser och dödlighet har samma nuvärde. Mer matematisk beskriver Björk (2009, 33) en arbitragefri marknad enligt flöjande sats och Ekvation 2.24: Anta att det existerar en riskfri tillgång S, och en riskfri ränta R. Då är marknaden fri från arbitrage om och endast om det existerar ett sannolikhetsmått Q så att: S i 0 = R EQ [S i 1] för alla tillgångar, i = 1,..., N på marknaden. (2.24) Marknadskonsistenta värderingar är något som blivit mer relevant de senaste åren på grund av nya regelverk och redovisningsstandarder (Kalberer, 2006, 7), ett sådant regelverk är Solvens II. Vidare beskriver Kalberer (2006, 7) att en marknadskonsistent värdering av skulden i ett livförsäkringsbolag, kan ses som en värdering av ett komplext finansiellt instrument. Ett sådant instrument skulle då kunna köpas och säljas mellan två kunniga parter i enlighet med Art 1. Kalberer förklarar vidare att det framtida kassaflödet, cf, hos ett livförsäkringsbolag kan värderas enligt Ekvation 2.25: V alue(cf) = E Q [ T t=1 cf(t) C(t) ] τ 0 (2.25) Där C(t) är den ränteavkastningen (Cash Return) fram till t, τ 0 är den tillgängliga informationen på marknaden i t 0 och Q är ett riskneutralt sannolikhetsmått. C(t) motsvarar vad författarna av denna rapport benämner som diskonteringsränta och 21

30 beräknas enligt Ekvation 2.26 om forwardräntan är uttryckt i årstakt och t är antalet månader. T C(T ) = (1 + f l ) 1 12 (2.26) l=t Denna metod av värdering kallas även Matringale Pricing. För att skatta väntevärdet av ett kassaflöde med flera olika scenarion kan Monte Carlo simulering användas. Paul Glasserman (2003, 2) beskriver det som att medelvärdet av ett stort antal slumpvisa observationer av en funktion blir Monte Carlo estimatet av funktionen. I Ekvation 2.1 beskrevs BE med ett fixt kassaflöde och en fix räntebana. Om vi låter det förväntade kassaflödet cf och forwardräntorna f utvecklas enligt N olika scenarion, kan ett Monte Carlo estimat BE uttryckas enligt Ekvation 2.27, där f är uttryckt i årstakt och t i månader. BE(t) = 1 N ( N T k 1 i=1 k=t+1 l=t f i,l Samband mellan BE och NFV ) 1 12 cf(i, k) (2.27) Kalberer (2006, 8) skriver att BE kan beräknas direkt genom värdering av de sannolikhetsvägda kassaflödena i enlighet med Ekvation BE kan även värderas indirekt genom differensen mellan det initiala marknadsvärdet av tillgångarna (IM) och NF V (Kalberer, 2006, 7). NF V skattas på samma sätt som BE med skillnaden att kassaflödena för vinsterna är differensen mellan intäkter (avgifter) och kostnader i varje tidssteg. Kassaflödet för vinsterna cf v beräknas då i varje tidssteg enligt Ekvation 2.3. Givet detta gäller då Ekvation 2.28 och Ekvation NF V (t) = 1 N ( N T k 1 i=1 k=t+1 l=t f i,l ) 1 12 cf v (i, k) (2.28) IM = BE + NF V (2.29) Ekvation 2.29 gäller eftersom att marknadsvärdet av kapitalet idag och framtida inbetalda premier prem(t), antingen kommer att gå ut som utbetalningar till kund claims(t), skatt tax(t), (vilka inkluderas i BE) eller som avgifter, avg(t) till försäkringsbolaget (vilket inkluderas i NF V ). Där avgifterna är tänkt att täcka kostnaderna för att upprätthålla försäkringen, exp(t), samt för att generera intäkter till försäkringsbolaget. 22

31 2.9 Economic Scenario Generator Eftersom de sannolikhetsvägda framtida kassaflödena cf, beror av marknadsutvecklingen av försäkringens tillgångsslag, måste en modell för att skapa de framtida tillgångslagens utveckling användas. Varnell (2011, 4) menar att man enligt Solvens II då kan använda en Economic Scenario Generator (ESG) med riskneutrala marknadsscenarion. En sådan ESG genererar riskneutrala marknadsscenarion, där den simulerade tillgångens volatilitet kalibreras efter observerade optionsprisers implicita volatilitet. Detta är även enligt Kalberer (2006, 11) en bra metod för att utföra en marknadskonsistent värdering av en pensionsförsäkring, där kassaflödet beror av en stokastisk process. Eftersom författarna inte själva har konstruerat de stokastiska processer som marknadsutvecklingarna för tillgångarna bygger på, exkluderas denna teori ur rapporten. Metoden för att skapa marknadsutvecklingen är SVJD (Stochastic Volatility Jump Diffusion). För insikt i hur SVJD fungerar hänvisas läsaren till Appendix I Martingale-test För att säkerställa riskneutraliteten i en ESG kan ett Martingale-test användas. Under riskneutralitet ska förhållandet i Ekvation 2.30 hålla. E [ ] S(T ) = 1 (2.30) C(T ) Där S(T ) är värdet av tillgången vid T, givet att S 0 = 1. Om T är uttryckt i månader och forwardräntan är uttryckt i årstakt kan C(T ) beskrivas enligt Ekvation Vänsterledet i Ekvation 2.30 kan skattas som Monte Carlo estimatet av alla scenarion i varje tidssteg, se Ekvation 2.31, där N är antalet scenarion. S est (0, T ) = 1 N N i=1 S i (T ) C i (T ) (2.31) 23

32 2.10 Dödlighetsteori För att skatta de sannolikhetsvägda framtida kassaflödena, cf(t), beror kassaflödena av sannolikheten att försäkringstagaren är vid liv vid tidssteg t. För att skatta denna sannolikhet används den parametriska livslängdsmodellen Makehams formel enligt Ekvation µ(x) = α + βγ x (2.32) I Ekvation 2.32 är µ(x) dödlighetsintensiteten för en individ med ålder x och γ x = e x ln(γ) = 10 x log(γ) (Ajne, Ohlin, 1990, 20). α, β och γ kan skattas genom att observera historiskt data över befolkningens dödlighet och därefter göra en approximation av parametrarna med hjälp av exempelvis minstakvadratmetoden. Författarna av denna rapport kommer inte att göra någon egen approximation av Makehamparametrarna, utan använda sig av redan skattade parametrar från Länsförsäkringar. Valet att använda Länsförsäkringars parametrar är för att nå enlighet med liknande beräkningar för övriga försäkringsprodukter. I och med detta inkluderas inte teori om hur Makeham-parametrarna skattas i denna rapport. Från µ(x) kan sedan dödsannolikheten q(x) approximeras genom Ekvation 2.33 (Andersson, 2005, 81). q(x) = 1 e µ(x) (2.33) Enligt Andersson (2005, 81) fungerar approximationen bra och felet är, för små icke-negativa värden på q litet. Eftersom q är lågt utom för höga åldrar är approximationen mycket användbar. För beräkningar i detta examensarbete kommer approximationen att fungera väl då åldrarna aldrig är högre än 65 år. 24

33 3 Genomförande och metod Detta kapittel beskriver hur examensarbetet har genomförts och den metod som används för att besvara examensarbetets frågeställning. Avsnitter inleds med att beskriva det data som används i den modellen. Därefter följer avsnitt om de antaganden som har gjorts, för att vara enhetliga med Art 3. Kapitlet avslutas med en beskrivning av den modell som slutligen skapas för att skatta BE, NV F och SCR Life. 3.1 Data Datat som använts kan delas upp i två delar, data över försäkringstagare och data med marknadsscenarion Försäkringstagare Data över försäkringstagarna består av en Excel-fil med information om varje försäkringstagare. Varje rad representerar en kund och uppgifter om kunden. Försäkrad Pension har idag försäkringstagare. Tabell 3.1 illustrerar Excel-filens struktur. Tabell 3.1: Illustration av Excel-fil över försäkringsbeståndet IDF OBL Skatt Premie Född Kön Start Status Pension P F FB P M FB P F FB KP F PB P F PB P M PB KP M PB I Tabell 3.1 står IDF och OBL för ingående marknadsvärde av respektive tillgångsslag. Skatt står för vilken investeringsform försäkringstagaren har, P remie den månadsvisa premien försäkringstagaren betalar, F ödd är födelsedatum, Start är teckningsdatum för Försäkrad Pension och P ension är pensionsdatum. Status beskriver vilket tillstånd försäkringstagaren befinner sig i, där P B betyder premiebetalande och F B betyder fribrev (icke premiebetalande kund). 25

34 3.1.2 Economic Scenario Generator ESG är en tjänst som Länsförsäkringar köper från Barrie and Hibbert. Filen med scenarion levereras till författarna från Länsförsäkringars enhet för riskkontroll. Länsförsäkringars enhet för riskkontroll har endast möjlighet att leverera marknadsscenarion för den svenska och den amerikanska marknaden och indexen OMXS30 samt S&P500. I den metod författarna har valt att använda innehåller ESG-filen 5000 scenarion med värdeutveckling för OMX30, nominella och reella räntor. Scenariorna stäcker sig 50 år (600 månader) framåt i tiden där startvärdet för OMX30 vid t 0 är 1. Tabell 3.2 illustererar hur denna ESG-fil är uppbyggd. Filen som används innehåller även nominella räntor i tidsstegen 3, 6 och 9 månader. Alla räntor i ESG-filen är uttryckta i årstakt. Tabell 3.2: Illustration av csv-fil från ESG. s = Scenario, t = Tidssteg, N står för nominell ränta och R för realränta. s t OMX30 N 1mån N 6mån N 1år N 2år N 50år R 1mån Kassaflöden Försäkrad Pension För att modellera kassaflödena som beskrivs i Ekvation 2.2 och 2.3 behöver produkten Försäkrad Pension specificeras mer ingående. Produktspecifikationen för Försäkrad Pension är omfattande och kommer inte att presenteras i sin helhet i denna rapport utan endast de delar som påverkar kassaflödet presenteras. I detta avsnitt beskrivs hur författarna modellerar de framtida kassaflödena cf och cf v för att beakta alla in- och utflöden av likvida medel som krävs i försäkringsproduktens struktur och således vara enhetliga med Art 4. Vidare beskrivs även de antaganden som görs för att vara enhetliga med Art Skatt I produktens försäkringsbestånd finns försäkringstagare med en sparform som tillhör antingen skattekategorin P eller KP. Skattesatsen för P-skatt uppgår till 15 % av statslåneräntan. KP-skatten är på motsvarande sätt 30 %. Statslåneräntan ska motsvara statens genomsnittliga upplåningsränta och används som en referensränta vid skattelagstiftning. Räntan bygger på genomsnittliga marknadsräntor på statsobligationer med en återstående löptid om minst 5 år. Stadslåneräntan ska avspegla den 26

35 långa marknadsräntan (Riksgälden, 2012). Skatten beräknas på hela kapitalet och tas ut från IDF. Om inget innehav finns i IDF tas inte skatten ut från kund. Om detta inträffar uppstår skattekostnad för Länsförsäkringar. Detta eftersom att skatten inte kan dras från obligationsdelen, om skatten skulle dras från obligationsdelen skulle kapitalet bolaget har garanterat försäkringstagaren urholkas. Enligt Skatteverket ska skatten betalas årsvis på hela beloppet med observerad stadslåneränta från föregående år. Författarna har av modelleringstekniska skäl valt att dra skatten månadsvis med i aktuellt scenario, observerad 10-årig spot-ränta Utbetalningar Utbetalningar benämns claims i Ekvation 2.2 och kan infalla vid tre olika händelser. Om försäkringstagaren går i pension, om försäkringstagaren flyttar sin försäkring från Försäkrad Pension eller om försäkringstagaren avlider. Utbetalningar vid pension kan vara mellan 5 och 30 år enligt överenskommelse mellan Länsförsäkringar och försäkringstagare vid teckning av försäkringen. När pensionsåldern nås säljs innehav i obligationer och IDF och flyttas till traditionell förvaltning. Enligt examensarbetets avgränsningar kommer samtliga utbetalningar vid pensionsålder att hanteras som en stor utbetalning. Storleken på pensionsutbetalningen kommer att vara marknadsvärdet av obligationerna och andelarna i IDF vid pensionsdagen. Utflytt innebär att pensionskapitalet flyttas från Länsförsäkringar till annan försäkringsgivare. Om försäkringen lämnar betalas marknadsvärdet av innehavet i obligationer och IDF. Gällande flytt har kunder i Försäkrad Pension med P-skatt flytträtt men kunder med KP-skatt har det ej. Eftersom ingen nyteckning sker i Försäkrad Pension finns det ingen möjlighet till inflytt till försäkringen. Vid dödsfall betalas marknadsvärdet av OBL och IDF ut till förmånstagare Kostnader Inom kostnader, exp(t) i Ekvation 2.2, innefattas både fasta kostnader och kapitalförvaltningskostnader. De fasta kostnaderna inflationsjusteras med den scenarioberoende inflationen som beräknas enligt Ekvation Kapitalförvaltningskostnaden är en konstant procent av det totala kapitalet. Kostnaderna belastar inte försäkringens kapital och dras därför inte från varken obligationsdelen eller IDF. Detta är kostnader som Länsförsäkringar har för att upprätthålla strukturen i produkten, se Tabell 3.3. Kostnaden måste därför tas med i kassaflödet för att modellen ska vara enhetlig med Art 4. 27

36 Tabell 3.3: Kostnader Försäkrad Pension Kostnader Per år Fast 278 kr Kapitalförvaltning IDF 0.9 % Kapitalförvaltning OBL 0.1 % Avgifter Avgifterna som belastar pensionsförsäkringen är uppdelade i två delar, kapitalbelastningsavgift och fast avgift. Kapitalbelastningsavgiften beräknas som en durationsberoende procentsats på kapitalet som är investerat i obligationer. Avgiften tas ut från obligationsdelen. För att säkerställa att det finns kapital för detta avgiftsuttag i framtiden, köps extra obligationsandelar vid premieinbetalning. En mer ingående förklaring av detta finns i det kommande avsnittet om premier. Kapitalbelastningsavgifter tas ut månadsvis som en tolftedel av procentsatsen angiven i Tabell 3.4. Tabell 3.4: Durationsberoende kapitalbelastningsavgift År Avgift(procent av kapital) 1-5 (avg1) 1.30 % 6 - (avg2) 0.99 % Den fasta avgiften är 200 kr per år och inflationsjusteras kontinuerligt. Fast avgift tas endast ut från IDF, om inget innehav finns i IDF tas inte avgiften ut. Författarna har modellerat den fasta avgiften så att den tas ut månadsvis från IDF, detta av modelleringstekniska skäl. Vid utflytt tar Länsförsäkringar ut avgifter i form av en administrativ avgift och en durationsberoende avgift enligt Tabell 3.5. Den administrativa avgiften är 500 kr och inflationsjusteras kontinuerligt. Tabell 3.5: Durationsberoende flyttavgift År Avgift(procent av kapital) 1 Flytt ej tillåtet 2 5 % 3 4 % 4 3 % 5 2 % 6-1 % 28

37 3.2.5 Premier Det tidigare nämnda regeringsbeslutet angående avdragsrätt för pensionssparande påverkar de försäkringstagare som ligger i förvaltningsformen P-skatt. Beslutet innebär att det inte längre är skatteförmånligt att pensionsspara mer än 150kr per månad. Då inget definitivt beslut har kommit över vilka ändringar som ska göras vid årsskiftet 2015/2016 har författarna tillsammans med handledare gjort antagandet att alla försäkringstagare som ligger i P-skatt kommer att ha en premie om max 150 kr per månad. För de försäkringstagare som använder en kapitalförsäkring som förvaltningsform har antagandet gjorts att de kommer att ligga kvar med samma premie och ha en premieökning om 0 %. Premieinbetalningar delas upp för köp av obligationer och andelar i IDF. För att garantera att kund minst får tillbaka inbetald premie måste köp av obligationer med ett nominellt belopp som är lika med premien genomföras. För att säkerställa att tillräckligt mycket kapital även finns för att täcka de kapitalbelastningsavgifter som tas ut från obligationsdelen, köps även extra obligationer enligt Ekvation 3.1. Köp obligation(t) = P (t) s(t, Z) Z(t) β (3.1) Där P (t) är inbetald premie i tidssteg t, Z är pensionsåldern för försäkringstagaren och s(t, Z) är i aktuellt scenario observerad spot-ränta från t till Z. β är andelen obligationer som köps för framtida avgifter och beräknas enligt Ekvation 3.2 β t = 60 ( i=t 1 avg1 12 ) m ( i=61 1 avg2 12 ) (3.2) I Ekvation 3.2 är t, tiden i månader från teckning av försäkringen. avg1 är den icke rabatterade avgiften kund betalar under de första fem åren enligt Tabell 3.4 och avg2 är den rabatterade avgiften. m är antalet månader försäkringstagaren hade till pension vid teckning av försäkringen. Den del av premien som inte investeras i obligationer investeras i IDF Klick I strukturen för Försäkrad Pension finns en inbyggd funktion som kallas Klick. Klick innebär att om IDF utvecklas bra, ska delar av IDF säljas och obligationer köpas. Detta sker om IDF i ett tidssteg motsvarar mer än 40 % av det totala marknadsvärdet i försäkringen. Om detta inträffar säljs andelar av IDF och nollkupongsobligationer med förfallodag pensionsåldern, Z, köps. Kapital säljs från IDF så att IDF efter Klick motsvarar 40 % av det totala marknadsvärdet i försäkringen. Denna kontroll sker en gång i månaden Inflation Inflationen, som används för att justera avgifter och kostnader, är scenarioberoende och beräknas som skillnaden mellan den nominella räntan och realräntan enligt 29

38 Ekvation 2.19, där likheten antas gälla. Räntorna hämtas från ESG-filen. 3.3 Antaganden Från kassaflödena måste sedan de sannolikhetsvägda kassaflödena skattas. Det innebär att antaganden måste göras över hur stor sannolikheten är att en kund befinner sig i ett specifikt tillstånd vid en given tidpunkt t. När dessa antaganden görs är det för att uppfylla Art 2 och Art 3 från Solvens II. Försäkringstagarna i Försäkrad Pension kan befinna sig i fem olika tillstånd enligt Figur 3.1. Figur 3.1: Tillstånd Försäkrad Pension Tillstånden i Figur 3.1 är premiebetalande (PB), fribrev (FB), flytt (F), död (D) och pensionsutbetald (PU). Pilarna i figuren illustrerar hur försäkringstagarna har möjlighet att flytta mellan tillstånden. Endast de rörelser som påverkar Försäkrad Pension är tagna i beaktning. Exempelvis kan personer som har lämnat Försäkrad Pension dö eller gå i pension. Då det inte påverkar kapitalet i försäkring avgränsas detta från modellen. Initialt befinner sig försäkringstagarna antingen i tillståndet PB eller FB. För att sedan skatta sannolikheten att en försäkringstagare befinner sig i ett specifikt tillstånd, vid varje tidpunkt t, måste en rad antaganden göras för sannolikheten att röra sig mellan tillstånden. Antaganden är skattade från historisk data eller modeller som Länsförsäkringar använder i andra produktformer Dödlighet Sannolikheten att en person dör under ett tidssteg beror av personens kön och ålder. För att skatta dödlighetsintensiteten, µ, används Makehams formel, Ekvation Parametrarna som används är som tidigare beskrivet givna från Länsförsäkringar. Parametrarna är olika för män och kvinnor och finns i Tabell

39 Tabell 3.6: Parametrar Makeham Kön α β γ Kvinna Man Från dessa parametrar har dödlighetsintensiteten för kvinnor respektive män skattats. Från de skattade dödlighetsintensiteterna har sedan dödlighetssannolikheterna approximerats genom Ekvation Denna ger sannolikheten för att en person av ett givet kön vid en viss ålder dör under kommande månad. Då samtliga försäkringstagare lämnar Försäkrad Pension senast vid 65 års ålder är sannolikheten att avlida i åldrar över 65 irrelevant för detta examensarbete. Sannolikheten att avlida inom kommande månad illustreras i Figur 3.2, där den övre grafen representerar män och den undre kvinnor. Figur 3.2: Den skattade sannolikheten att dö för respektive ålder Flytt Antaganden gällande flytt av försäkring är baserad på Länsförsäkringars egna data av flyttade försäkringar under de senaste fem åren. Data är uppdelat i fyra grupper över hur länge försäkringen varit tecknad och frekvenserna är medelvärdet över tidsperioden. Se Tabell

40 3.3.3 Fribrevsläggning Fribrevsläggning innebär att försäkringstagaren upphör att betala premier men det kapital som betalats in ligger kvar i produkten. Dessa frekvenser skattas från Länsförsäkringars egna data och presenteras på samma sätt som antagandet för flytt i Tabell 3.7. Tabell 3.7: Durationsberoende antaganden gällande flytt och fribrevsläggning Antagande/Duration (år) > 10 Flytt 3.05 % 2.92 % 1.59 % 0.30 % Fribrevsläggning % % % 8.98 % Anledningen till de höga procentuella antaganden gällande fribrevsläggning grundar sig i det politiska beslut som beskrevs tidigare i rapporten, gällande den minskade avdragsrätten på privat pensionssparande. 3.4 Tillståndmodell Givet antagandena om flytt, fribrevsläggning och dödssannolikhet kan en tillståndsmodell för försäkringsbeståndet skapas. Tillståndsmodellen skapas genom att för varje försäkringstagare skatta sannolikheten att befinna sig i respektive tillstånd i varje tidssteg. Dessa sannolikheter används sedan för att beräkna det sannolikhetsvägda kassaflödet i varje tidssteg. Till exempel används sannolikheten att kunden är premiebetalande för att beräkna den förväntade inbetalda premien. För att illustrera hur sannolikheterna skattas presenteras nedan ett exempel. Anta att en 60 år gammal man tecknade Försäkrad Pension för fem år sedan. Givet att mannen är premiebetalande idag och går i pension vid 65 års ålder är de beräknade tillståndssannolikheterna enligt Tabell 3.8. Notera att vid t 0 har mannen varit kund i över 5 år och därmed används antaganden från Tabell 3.7 i kolumn 4. Sannolikheten att dö (D) skattas enligt Ekvation Tabell 3.8: Exempel tillståndsmodell Tidssteg(t) Ålder PB FB F D PU

41 Beräkningsexemplet i Tabell 3.8 utfördes enligt följande. Tillståndet kunden befinner sig i vid t 0 är givet för samtliga försäkringstagare. För att beräkna tillståndet i nästa tidssteg definieras sannolikheterna att röra sig mellan tillstånden. Sannolikheterna hämtas från gjorda antaganden om kundbeteende och beror på försäkringstagarens ålder samt hur länge kunden funnits i beståndet. Exempelvis definieras sannolikheten för kunden att gå från PB till F i tidssteg t som P P B F (t). Samtliga möjliga flyttar enligt Figur 3.1 definieras på liknande sätt. Givet detta beräknas tillståndssannolikheterna i varje tidssteg t enligt följande: P B(t) = P B(t 1) (1 (P P B F B (t 1) + P P B F (t 1) + P P B D (t 1)) F B(t) = F B(t 1) (1 (P F B F (t 1)+P F B D (t 1))+P B(t 1) (P P B F B (t 1)) F (t) = F (t 1) + P B(t 1) (P P B F (t 1)) + F B(t 1) (P F B F (t 1)) D(t) = D(t 1) + P B(t 1) (P P B D (t 1)) + F B(t 1) (P F B D (t 1)) Sannolikheten att i någon form finnas kvar som kund i tidssteg t ges då av Ekvation 3.3 P K(t) = P B(t) + F B(t) (3.3) Vid pensionsålder för försäkringstagaren avslutas beräkningen. De vikter som då finns i PB och FB flyttas till PU. Efter att denna flytt är gjord hålls tillståndet i pensionsålder konstant till t 600. Figur 3.3 illustrerar hur tillståndet för det totala försäkringsbeståndet i produkten förväntas utvecklas 50 år framåt i tiden. Här har beräkningen, på samma sätt som exemplet i Tabell 3.8, genomförs för samtliga försäkringstagare och därefter har medelvärdet för hela försäkringsbeståndet beräknats. 33

42 Figur 3.3: Illustration av Tillståndsmodellen 3.5 Bearbetning av data Datat behöver efter inläsning bearbetas innan det implementeras i modellen. De bearbetningar som är nödvändiga är att skapa avkastningar som ska replikera IDFs utveckling med hjälp av värdeutvecklingen på OMX30. Dessutom måste även de räntor som ges i varje tidssteg t finnas i varje månad 1 till 600 till skillnad från ESG-filen som ger spot-räntor på årsbasis och 3, 6, 9 månader, alla uttryckta i årstakt Interpolering av räntor ESG-filen innehåller spot-räntor 50 år framåt i tiden, där alla räntor är uttryckta i årstakt. Då den modell som skapas för att skatta de framtida kassaflöden stegar med månadsvisa tidssteg behövs spot-räntor 50 år framåt i tiden för varje månad. Författarna av denna rapport har valt att använda linjärinterpolering för att skatta räntorna mellan tidssteg där räntor saknas. Detta ger för varje scenario en matris med räntor uttryckta i årstakt, där första raden är räntebanan 50 år framåt vid t 0 och sista raden är på samma sätt räntebanan vid t Replika av IDF Att replikera en derivatfond som IDF är inte trivialt. För att få en perfekt replika av fonden skulle marknadsscenarion med fondens innehav behövas. Då fonden kon- 34

43 tinuerligt förändrar sina innehav skulle även information om hur fonden väljer sina innehav krävas. Författarna av detta examensarbete har varit begränsade då Länsförsäkringars avdelning för riskkontroll endast kan leverera riskneutrala scenarion för OMX30 och S&P500. Detta eftersom att den version av ESG Länsförsäkringar köper från Barrie and Hibbert endast har möjlighet att generera scenarion för dessa två ekonomier. Författarna valde efter överläggning med handledare och test av historisk avkastning att replikera IDF genom användning av OMX30 och applicering av hävstång 2. Detta för att fånga de egenskaper som hävstångsprodukter innebär. Replikeringen av IDF från värdeutveckling på OMX30 genomförs i två steg. Först skapas avkastningen för OMX30 i varje tidssteg enligt Ekvation 2.20, där S är scenarioberoende värdet på indexet. För att applicera hävstång 2 på den beräknade avkastningen används Ekvation Vid hävstång 2 är D = E enligt Ekvation 2.21, där spot-räntan s(t 1) hämtas från ESG-filen. För att illustrerar hur en sådan replika av IDF skulle utvecklats historiskt använder författarna data från Bloomberg mellan perioden till Datat som används är historisk utveckling IDF, OMX och svenska enmånadsräntan. Anledningen till den valda tidshorisonten är att BNP Pariba ändrade villkoren för IDF i slutet av IDF ändrades då från hävstång 2.5 till nuvarande hävstång 2. Figur 3.4 illustrerar utvecklingar för tre portföljer med startvärde 1, där OMX30 (den minst volatila), IDF och IDF-replika är representerade. Replikan följer IDF väl men är något högre vid sista tidssteget. Figur 3.4: Historisk värdeutveckling OMX30, IDF och IDF-replika. Korrelationen mellan avkastningarna för IDF-replika och det historiska data för IDF 35

44 är Volatiliteten (standardavvikelsen) på avkastningarna för IDF-replikan är 2.45% på daglig basis. Detta är högre än observerad historisk volatilitetet på daglig basis för IDF, vilken uppgår till 1.5%. Ytterligare tester gjordes för att kontrollera om det fanns någon kombination av OMX30 och S&P500 som kunde replikera IDF bättre än att endast utnyttja OMX30. Testet utformades för att testa alla kombinationer av OMX30 och S&P500 med hävstänger mellan 1 och 3. Utfallet av testet var att den portfölj som minimerade felet enligt minsta kvadratmetoden, mellan replikan och historisk data för utvecklingen på IDF, var en portföljsammansättning med 91% OMX30 och 9% S&P500. Hävstången som minimerade felet uppgick till Denna portföljsammansättnings avkastning korrelerade mot IDF med Volatiliteten för portföljen var 2.31%. Efter konsultation med handledare gjordes bedömningen att marginalnyttan av att använda denna portfölj inte var tillräcklig ställd mot det modelleringstekniska arbetet. Om en sådan konstellation skulle implementeras skulle det innebära att valutaeffekter måste tas i beaktning samt att viktade diskonteringsvektorer måste implementeras, mer om detta i rapportens avslutande diskussion. Användning av OMX30 med hävstång 2 ansågs ha en tillräckligt bra korrelation samt att de egenskaper som hävstångsprodukter besitter fångas. 3.6 Riskneutralitet För att kontrollera att riskneutraliteten i scenariofilens marknadsutveckling kvarstår efter replikering av IDF utförs Martingale-tester Martingale-test Martingale-tester utförs för att säkerställa att replikeringen av IDF ökar volatiliteten på utvecklingen av tillgången utan att ändra väntevärdet på tillgångens avkastning. Om riskneutralitet råder ska väntevärdet på avkastningen vara den riskfria räntan och förhållandet i Ekvation 2.30 ska hålla. Detta kontrolleras genom att för varje scenario diskontera värdet av tillgången i varje tidssteg. Därefter beräknas medelvärdet av alla scenarion och tidssteg enligt Ekvation Vid riskneutralitet ska då medelvärdet i varje tidssteg gå mot startvärdet. ESG-filen innehåller scenarion med startvärde 1 på tillgången. Då tillgångens utveckling följer en stokastisk process kommer inte ett enskilt scenario att avkasta väntevärdet, den riskfria räntan. Därför är antalet scenarion testet utförs med av stor vikt. För att illustrera detta gjordes testet med 500, 2500 och 5000 scenarion. Figur 3.5, Figur 3.6 och Figur 3.7 illustrerar tydligt sambandet mellan antalet scenarion och utfallet av testet. I figurerna representeras utvecklingen av OMX30 från ESG-filen i den mindre volatila grafen som rör sig närmst värdet 1. Den andra grafen är utvecklingen av IDF-replika, OMX30 med hävstång 2. 36

45 Figur 3.5: Martingaltest med 500 scenarion Figur 3.6: Martingaltest med 2500 scenarion 37

46 Figur 3.7: Martingaltest med 5000 scenarion Utfallet av testet är att metoden för att replikera IDF genom att använda OMX30 med hävstång 2 är godtagbar med 5000 scenarion. Fler scenarion skulle behövas för att påvisa riskneutraliteten till fullo. Utfallet diskuteras ytterligare i rapportens avslutande kapitel. 3.7 Modell BE och NFV För att beräkna Monte Carlo estimatet för BE och NFV enligt Ekvation 2.27 och Ekvation 2.28 måste de respektive sannolikhetsvägda kassaflödena beräknas i varje tidssteg, för varje scenario. I den modell som skapas sker följande: Först definieras ett startdatum för beräkningarna. Det totala försäkringsbeståndet delas upp i fyra olika kundkategorier, Premiebetalare med P-skatt, Premiebetalare med KP-skatt, Fribrev med P-skatt och Fribrev med KP-skatt. Detta för att minimera antalet kontroller som måste göras i varje scenario. Kassaflödena för varje kundkategori beräknas separat för att slutligen summeras. Från indatat skapas för varje scenario en räntematris enligt avsnitt 3.5.1, en avkastningsvektor för att replikera IDF enligt avsnitt och en inflationsvektor enligt avsnitt Från försäkringsdata, Tabell 3.1, hämtas och utifrån startdatum, skapas information om varje kund. Låt oss benämna dessa som ålder (AGE) uttryckt i månader, 38

47 månader till pension (MTP) och månader som kund (MAC). Dessa variabler är nödvändiga för att skatta tillståndssannolikheter och för att avgöra storleken på durationsberoende avgifter avg(t). OBL och IDF är kapitalet för respektive tillgångsslag. Kassaflödena skapas sedan genom att för varje försäkring och tidssteg göra följande: 1. Kapitalet förräntas. OBL enligt scenarioberoende räntematris och Ekvation IDF enligt avkastningsvektorn för IDF-replika. 2. Klick kontrolleras och justeras enligt avsnitt Tillståndssannolikheterna skattas enligt avsnitt 3.4, där sannolikheten att finnas kvar som kund P K(t) skattas genom Ekvation Den förväntade premien prem(t), skattas genom att multiplicera kunds premie med sannolikheten att vara premiebetalande P B(t). Den förväntade premien investeras sedan i obligationer enligt Ekvation 3.1 och resterande del i IDF. 5. Avgifter beräknas enligt avsnitt 3.2.4, där förväntade avgiften avg(t) skattas genom summan av kapitalbelastningsavgiften och den förväntade fasta avgiften (Fast avgift multiplicerat med P K(t)). 6. Kostnader beräknas enligt avsnitt 3.1.3, där den förväntade kostnaden exp(t) skattas genom summan av kapitalbelastningskostnaden och den förväntade fasta kostnaden (Fast kostnad multiplicerat med P K(t)). 7. Den förväntade skatten tax(t), beräknas enligt avsnitt claims(t), beräknas enligt avsnitt Förväntad utbetalning på grund av dödsfall blir det totala kapitalet multiplicerat med sannolikheten att avlida i tidssteget, se Ekvation Förväntad utbetalning på grund av flytt är det totala kapitalet multiplicerat med sannolikheten att flytta enligt avsnitt och 3.4. I samband med flytt tas även en fast avgift och en durationsberoende procentuell avgift ut. Den förväntade fasta avgifterna fås då genom att multiplicera sannolikheten för flytt med den fasta avgiften. Den förväntade procentuella avgifter fås genom att multiplicera det förväntade flyttkapitalet med procentsatsen i Tabell Från OBL och IDF dras skatter och avgifter som belastar respektive del. AGE, MTP, MAC förändras. Tidssteget avslutas och nästa tidssteg inleds. För varje scenario beräknas det totala kassaflödena enligt Ekvation 2.2 och Ekvation 2.3 i varje tidssteg och diskonteras med scenarioberoende diskonteringsvektor. Slutligen beräknas medelvärdet för alla scenarion vilket ger Monte Carlo estimatet av BE och NFV enligt Ekvationerna 2.27 och En schematisk bild av modellens struktur visas i Appendix II. 39

48 3.7.2 SCR Life I Avsnitt beskrevs hur SCR Life kan beräknas som BE med stressade försäkringsrisker. Detta genomförs i sju olika beräkningar, där BE Stress beräknas med stressade faktorer enligt Tabell 2.1. Life Lapse, skattas genom att först utföra tre olika BE Stress skattningar, för att sedan använda Ekvation 2.8 och beräknas ett värde för Life Lapse. När de tre respektive BE LapseStress beräknas, antas både sannolikheterna för fribrevsläggning och för flytt i Tabell 3.6 att öka med procentsatserna i Tabell 2.1. När BE LapseMass beräknas antas att 70 % av försäkringstagarna lämnar sparformen. Försäkringstagare som ligger tillståndet PB och har flytträtt kan då flytta till både tillstånden FB och F. Om 70 % skulle flytta till vartdera tillstånd skulle totalen överskriva 100%. Därför antas att 35 % går till FB och 35% till F. För de övriga stressfaktorer beräknas först BE Stress med respektive stress från Tabell 2.1. Sedan beräknas Life Stress för respektive stressfaktor med Ekvation 2.7. Det totala SCR Life beräknas slutligen genom Ekvation 2.6 och korrelationsmatrisen i Figur

49 4 Resultat 4.1 Best Estimate Den första frågeställningen till examensarbetet är Vad är värdet av skulden i Försäkrad Pension, det s.k. Best Estimate idag?. Best Estimate har skattas till miljarder kr. Figur 4.1 visar det genomsnittliga kassaflödet cf i varje tidssteg för hela försäkringsbeståndet. Varje kassaflöde diskonterat med scenarioberoende diskonteringsränta ger Monte Carlo estimatet av BE. Figur 4.1: Genomsnittligt kassaflöde i varje tidssteg över 5000 scenarion. 41

50 Tabell 4.1 visar resultatet för BE, NV F och hur resultatet förhåller sig till IM. Tabell 4.1: Resultat för BE och NF V. Estimat (mnkr) BE NF V 43.8 BE + NF V IM IM (BE + NF V ) 12.4 Ekvation 4.1 ger då felmarginalen för likheten i Ekvation 2.29, vilken uppgår till 0.77% IM (BE + NF V ) = 0.77% (4.1) IM 4.2 SCR Life Examensarbetets andra frågeställning var Hur skulle stressade scenarion i form av livförsäkringsrisker påverka denna skuld? SCR Life delas upp i olika kategorierna, vilka pressenteras i Tabell 4.3. Dessa har beräknats genom att skatta BE Stress, vilka pressenteras i Tabell 4.2. Därefter har Ekvation 2.7 och 2.8 använts. Tabell 4.2: Resultat för BE Stress Stress BE Stress (mnkr) Mortality Longevity Lapse up Lapse down Lapse Mass Expenses CAT Tabell 4.3: Resultat för Life Stress Stress Life Stress (mnkr) Longevity 0.00 Mortality 0.09 Lapse Expenses CAT

51 Tabell 4.2 visar resultatet för underkategorierna i Life Lapse. Tabell 4.4: Resultat för Lapse Stress Lapse Stress (mnkr) down 0 up 9.06 mass Life Lapse har sedan beräknats genom Ekvation 2.8 SCR Life beräknas slutligen enligt Ekvation 2.6 och korrelationsmatris i Figur 2.6. SCR Life = miljoner kr Samma modell användes även för att skatta BE med OMX30 utan hävstång. Detta gav BE = miljarder kr. 43

52 5 Diskussion och analys 5.1 Analys av resultat Resultatet i Tabell 4.1 visar att BE och NF V summerar till IM med en felmarginal på 0.77 %. Detta påvisar att resultatet är trovärdigt utifrån de teorier som används. Den felmarginal som uppstår kan bero på att martingalen av avkastningsvektorn som används inte är lika med ett i alla tidssteg enligt Figur 3.7. Författarna är av uppfattningen att felmarginalen skulle minska vid användning av fler scenarion. Kassaflödet i Figur 4.1 illustrerar hur resultatet av BE är beroende av utflödena mellan tidsstegen 200 och 400. Utflödet av kapital i tidssteg 281 är särskilt anmärkningsvärd. Författarna har analyserat detta utflöde noggrannare och slutsatsen är att det beror på att en stor grupp försäkringstagare går i pension i detta tidssteg. En jämförelse av Figur 4.1 och tillståndmodellen i Figur 3.3 styrker även denna analys, då ökningen av tillståndet PU är som störst i detta tidssteg. Av resultatet från SCR Life kan följande slutsatser dras. Den stressfaktor som genererar störst påverkan på skulden är Lapse Mass. Detta beror enligt författarna i huvudsakligen på två orsaker. Den första orsaken är att, när försäkringstagare förflyttas till tillståndet FB slutar de att betala in premier. Då inget nytt kapital tillkommer, kommer IDF vid fler marknadsscenarion att tömmas på tillgångar. Då detta inträffar kan Länsförsäkringar inte ta ut avgifter eller skatt. Detta kommer att leda till en minskning av NF V. Ökningen av BE, kan då enklast förklaras via det implicita samband Kalberer (2006, 11) beskriver i Ekvation Alltså måste BE öka när NF V minskar. Samma resonemang kan föras runt resultatet av Life Expenses. Då kostnaderna ökar minskar NF V och BE blir högre. Den andra orsaken är att försäkringstagare lämnar produkten vid en tidigare tidpunkt. Detta leder till uteblivna intäkter för Länsförsäkringar, vilket i sin tur leder till minskat NF V. Resultatet av Life Mortality, Life Longevity och Life CAT kan också förklaras med resonemanget att ju längre försäkringstagaren finns kvar i produkten, desto mer intäkter, NV F ökar och BE minskar. Vid beräkning av SCR Life används korrelationsmatrisen i Figur 2.6. Då korrelationen mellan Life Expenses och Life Lapse är positiv och förhållandevis hög, ger detta även utslag på det totala SCR Life. Den positiva korrelationen är enligt författarna fullt rimligt, då kostnaderna ökar tenderar försäkringstagare att lämna och då försäk- 44

53 ringstagare lämnar bör de fasta kostnaderna per försäkring som är kvar öka Tillförlitlig efterbildning För att analysera resultatet av detta arbete måste resultatet och den metod som används ställas mot de riktlinjer som ställs vid dessa beräkningar. Förutom Art 1-4 som pressenteras i avsnitt bör ytterligare riktlinjer stämmas av. Under examensarbetets genomförande publicerade EIOPA (2015) nya riktlinjer för värdering av försäkringstekniska avsättningar. Följande riktlinjer pressenteras bland annat i denna publicering: För att påvisa att ESG är förenlig med marknaden bör åtminstone några av följande tester utföras på scenarierna som genereras av ESG och används för värdering: (EI- OPA, 2015, 19). Kalibreringstester Martingale-tester Korrelationstester Vidare skrivs även följande: Försäkrings- och återförsäkringsföretagen bör inte betrakta framtida kassaflöden förknippade med försäkrings- eller återförsäkringsförpliktelser som tillförlitligt efterbildade om: Ett eller flera särdrag i det framtida kassaflödet, bland annat dess förväntade värde, dess volatilitet eller något annat särdrag, är beroende av risker vars specifika mönster i företaget inte kan hittas i instrument som aktivt omsätts på finansmarknaderna (EIOPA, 2015, 23). Enheten för riskkontroll på Länsförsäkringar är ansvariga för kalibreringstester på den ESG som används. Författarna har därefter genomfört tester på de två andra punkterna efter det att avkastningsvektor justerats för att fånga egenskaperna hos IDF. Dessa tester indikerar att modellen är trovärdig. Slutsatsen blir dock att fler scenarion bör användas för ett ännu säkrare resultat. Författarna av detta arbete är av åsikten att tillförlitlighet uppfylls på alla punkter, med undantag för att volatiliteten i de avkastningar som används vid kassaflödesmodelleringen är högre än historisk volatilitet för IDF. För att testa hur känsligt resultatet är för volatilitet har författarna även beräknat BE med användning av OMX30 utan hävstång och således lägre volatilitet, vilket gav ett lägre BE. Med detta som resultatet antyder författarna att, om modellen brister på punkten beträffande att kassaflödet ska avspegla ett finansiellt instrument med liknande volatilitet, har BE överestimerats och inte underestimerats. 45

54 Av Martingaltestet i Figur 3.7 framgår att det förväntade värdet i Ekvation 2.29 är lägre än ett mellan månaderna Då resultatet i Figur 4.1 illustrerar att stor vikt av det totala kassaflödet ligger mellan just dessa månader skulle detta dock kunna leda till en underskattning av BE, då kassaflödena genomsnittligt har utvecklats sämre än den riskfria räntan. 5.2 Möjligheter till vidareutveckling För att uppnå en mindre felmarginal än 0.77 %, bör fler än 5000 scenarion användas vid Monte Carlo skattningen. Vid fler scenarion kommer martingalen mellan tidsstegen att ligga närmre ett, vilket åtgärdar en eventuell underskattning av BE. Författarna av detta examensarbete anser att den modell som skapas kan vidareutvecklas genom att beräkna alla de risker som SCR innefattar. Författarna anser att det i den struktur och utformning produkten har, bör finnas en betydande motpartsrisk, då nollkupongsobligationer som skapas emitteras av ABN AMRO. Dock är det Länsförsäkringar som bär ansvaret för framtida åtagandena mot kund, vilket författarna bör skapa en betydande motpartsrisk. En motpartsrisk bör även finnas gentemot BNP Paribas som förvaltar IDF. Författarna rekommenderar även Länsförsäkringar att göra en utförligare analys om hurvida IDF kan replikeras på ett bättre sätt genom användning av flera riskneutrala ekonomier i sin ESG. Om en portfölj med lägre korrelerade ekonomier används, bör volatiliteten i IDF kunna uppnås på ett bättre sätt samtidigt som applicering av hävstång kan tillämpas. Analysen av den metod som används vid modelleringen anses möta de krav som Solvens II ställer på de punkter där författarna har haft möjlighet att påverka. Författarna har därmed lyckats besvara examensarbetets problembeskrivning och möta de krav som ställs i enlighet med Solvens II. 46

55 6 Referenser Ajne Björn, Ohlin Jan Livförsäkringsmatematik (Kompendium), Stockholm: Stockholms Universitet. Andersson Gunnar Svenska Försäkringsföreningen Livförsäkringsmatematik, Stockholm: Svenska försäkringsföreningen Björk Tomas Arbitrage Theory in Continuous Time. Third Edition, New York: OUP Oxford. Bodie Zvi, Kane Alex, Marcus Alan Investments. 10th Edition, New York: McGraw-Hill Education. Danielsson Jon Financial Risk Forecasting: The Theory and Practice of Forecasting Market Risk, with Implementation in R and Matlab, Chichester: John Wiley. EIOPA Technical Specification for the Preparatory Phase (Part I) for_the_preparatory_phase Part_I_disclaimer.pdf (Hämtad ) EIOPA Riktlinjer för värdering av försäkringstekniska avsättningar. eiopa.europa.eu/publications/guidelines/tp_final_document_sv.pdf (Hämtad: ) EIOPA Solvency II. insurance/solvency-ii (Hämtad: ) Europeiska unionen Europaparlamentets och rådets direktiv 2009/138/EG av den 25 november 2009 om upptagande och utövande av försäkrings- och återförsäkringsverksamhet (Solvens II). Europeiska unionens officiella tidning. L 335/1. 17 december L0138&from=EN (Hämtad ). Europeiska unionen Europaparlamentets och rådets direktiv 2014/51/EU av den 16 april 2014 om ändring av direktiven 2003/71/EG och 2009/138/EG och förordningarna (EG) nr 1060/2009, (EU) nr 1094/2010 och (EU) nr 1095/2010 med avseende på befogenheterna för Europeiska tillsynsmyndigheten (Europeiska försäkrings- och tjänstepensionsmyndigheten) och Europeiska tillsynsmyndigheten. Europeiska unionens officiella tidning. L 153/1. 25 maj

56 europa.eu/legal-content/sv/txt/pdf/?uri=celex:32014l0051&from=en (Hämtad ). Finansinspektionen På väg mot nytt europeiskt försäkringsregelverk. (Hämtad ) Finansinspektionen Risker i det finansiella systemet. upload/43_utredningar/20_rapporter/2010/riskrapp_hela_last_ny.pdf (Hämtad ) Finansinspektionen Nya solvensregler (Solvens 2). Solvens/ (Hämtad ) Glasserman Paul Monte Carlo methods in financial engineering, New York: Springer. Hicks J.E Value and capital. 2nd ed., 1946, Oxford: Clarendon Press Hull John C Risk Management and Financial Institutions. Third Edition, New Jersey: Wiley Keynes J.M The general theory of employment, interest and money. London: Macmillan In: J.M. Keynes ( ). The collected writings of John Maynard Keynes. Vol. VII, London: Macmillan. Konsumentverket Utkast till lagrådsremiss Genomförande av Solvens IIdirektivet på försäkringsområdet, Vara-remissyttranden/Remissyttranden-2014/Utkast-till-lagradsremiss-- Genomforande-av-Solvens-II-direktivet-pa-forsakringsomradet/ (Hämtad ) Konsumenternas Om privat pension. se/pension/privat-pension-/om-privat-pension (Hämtad ) Luca Fantacci, Maria Cristina Marcuzzo, Eleonora Sanfilippo A note on the notions of riskpremium and liquidity-premium in Hicks s and Keynes s analysesof the term structure of interestrates. The European Journal of the History of Economic Thought, Vol.21(6): Länsförsäkringar. 2015a. Om länsförsäkringsgruppen, se/stockholm/om-oss/om-lansforsakringsgruppen/ (Hämtad ) Länsförsäkringar. 2015b. Försäkrad pension. stockholm/privat/pension/eget-pensionssparande/forsakrad-pension/ (Hämtad ) Regeringen (Finansdepartementet) Utkast till lagrådsremiss - Genomförandet 48

57 av Solvens II-direktivet på försäkringsområdet. Remiss , Fi 2014/ genomforande-av-solvens-ii-direktivet-pa-forsakringsomradet-utkast-tilllagradsremiss (Hämtad ) Riksbanken Vad är inflation? Inflation/Vad-ar-inflation/ (Hämtad ) Riksbanken Inflationsmålet. Inflation/Inflationsmalet/ (Hämtad ) Riksgälden Fakta om statslåneräntan. statsskulden/statslanerantan/fakta-om-statslanerantan/ (Hämtad ) Riksgälden 2015, Utestående stadspapper. (Hämtad ) Statens offentliga utredningar (SOU) Rörelsereglering för försäkring och tjänstepension Del 1. Betänkande av Solvens II-utredningen, Stockholm se/sv/dokument-lagar/utredningar/statens-offentliga-utredningar/rorelseregleringfor-forsakrin_gzb368/?html=true (Hämtad ). Svensk försäkring Livförsäkringsföretagen och olika mått på deras finansiella ställning. Kategorier/2011/Livforsakringsforetagen-och-olika-matt-pa-deras-finansiellastallning/ (Hämtad ) Tigran Kalberer Market consistent valuation of insurance liabilities. Der Aktuar, 12, Heft 1. Varnell, E. M Economic Scenario Generators and Solvency II.British Actuarial Journal, 16, pp Doi: /S

58 7 Appendix 7.1 Appendix I - SVJD ESG bygger på en SVJD-modell (Stochastic Volatility Jump Diffusion), som i sin tur bygger på två stokastiska modeller. Den första av de två modellerna är The Heston stochastic differential equation. Heston s modell beskriver utvecklingen av tillgångspriset och består av två stokastiska differentialekvationer, den ena för att styra utvecklingen av aktiepriset och den andra för att styra variansprocessen. Den andra modellen, The Merton Jump model, beskriver tillgångsprisets utveckling genom en Poisson process med oberoende log-normala fördelningshopp. SVJD modellerar tillgångens utveckling utöver den nominella räntan, S XS (t). Det betyder att om S(t) är aktiens utveckling under månaden och C(t) är den nominella månadsräntan, kan man beskriva utvecklingen utöver räntan enligt Ekvation 7.1. S XS (t) = S(t) C(t) (7.1) S XS (t) bygger som tidigare nämnts på två stokastiska modeller och kan beskrivas enligt Ekvation 7.2. S XS (t) = S SV (t) S JD (t) (7.2) Där S SV (t) är den sammanhängande stokastiska volatiliteten från Hestons modell och S JD (t) beror av de osammanhängande hoppen från Mertons modell. Heston modellerar S SV (t) enligt Ekvation 7.3. ( d ln S SV (t) = µ v(t) ) dt + 2 v(t)dw 1 (7.3) Där µ är risk premien, vilken försvinner i riskneutrala förhållanden och dw 1 är en slumpmässig Wienerprocess. Variansprocessen, v(t) i Ekvation 7.3 följer en Cox- Ingeroll-Ross process enligt Ekvation 7.4. dv(t) = α(θ v(t))dt + ξ v(t)dw 2 (7.4) I Cox-Ingeroll-Ross processen är θ mean reversion level och α är hastigheten för mean reversion, ξ är volatiliteten för variansen och dw 2 är ytterligare en Wienerprocess. De två Wienerprocesserna är korrelerade med korrelation ρ. 50

59 Mertons modell används för att fånga hopp i tillgångsvärdet genom en stokastisk Poisson process som genererar oberoende log-normal fördelade hopp enligt Ekvation 7.5. d ln S JD (t) = λ µ dt + ln J dn(t) (7.5) Där µ = exp(µ J σ2 J) som bygger på variablerna µ J, väntevärdet för det lognormal fördelade hoppet och σ 2 J, variansen för det log-normal fördelade hoppet. Dessa två variabler är kalibrerade av BH och är inte kända för författarna. J är ett log-normalfördelat slumpmässigt värde på ett hopp med fördelningen ln J N(µ J, σ 2 J). Antalet slumpmässiga hopp som uppstår under tidsperioden t bestäms av en Poisson-process med parametern λt, där λ bestämmer väntevärdet på antal hopp över tidsperioden t. 51

60 7.2 Appendix II - Illustration av kassaflödesmodell. Figur 7.1: Schematisk bild av modell där BestEstimate och CashFlow representererar två funktioner. 52