Matemática A Extensivo V. 3

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1 Matemática A Etensivo V. Resolva Aula 9 9.0) 0. Verdadeira E = ( 7 ) = = = 0 0. Verdadeira Se <, então < 0. Assim: = Verdadeira Se, então 0 e 0. Assim: E = + = + = 08. Verdadeira A = {,,,, 0} N o de subconjuntos: 5 = 6. Verdadeira Teoria. 9.0) a) 5 = 5 = = 8 = 5 = = = S = {, } b) = + 6 = + 6 = 9 = 6 = = S = { } Se = 9, teremos o absurdo =. c) + = + + = + = 0 ' = " = + = + + = 0 ' = " = S = {,, } d) + 5 = 0 Se 0, então =. + 5 = 0 ' = 5 " = Nesse caso, ficamos apenas com =. Se < 0, então =. 5 = 0 ' = 5 " = Nesse caso, somente = satisfaz a equação. S = {, } 9.0) C Inicialmente, observe que: 6, se = 6, se 6 0 6, se = 6, se = 6 = Assim: I. Para : = = 0 5 = 0 = II. Para : = = 0 = 8 = 8 (Não serve, pois.) III.Para : = = 0 5 = 0 = S = {, } Soma: + = 0 Matemática A

2 Aula 0 b) 5 = 0.0) a) = 0 = y y 0y + 9 = 0 y 9 y " = 9 = = = S = {, } b) = 0 = y y 9 y + 5y 6 = 0 y " = = = 9 (impossível em R) S = { } c) = 0 5 = y y 5 y 6y + 5 = 0 y " 5 = 5 = 5 = = 0 S = {0, } d)(!) + 9(!) 0 = 0 (!) = y y 0 y + 9y 0 = 0 y "! = = 0 =! = 0 (sem solução) S = {0, } 0.0) C sen 5sen + = 0 0, sen = y y y 5y + = 0 y " sen = (impossível) sen = 0.0) a) = = 0º = () = 9 = 8 = S = { } 5 = 5 = ( ) = = 0 ( ) 0 = 0 " Verificando na equação inicial, obtemos: S = {} c) = = 6 = (). ( + 6) = + = 8 + = 0 ( ) + 6 = 0 " Verificando na equação inicial, temos: S = { } Aula.0) a) É função. b) Não é função. Sobra elemento e um elemento tem imagens. c) É função. d) Não é função. Reta paralela ao eio y corta o gráfico em mais de um ponto. e) Não é função. Eiste uma reta paralela ao eio y que corta o gráfico em mais de um ponto. f) É função..0) Domínio projeção no eio : [ 5, 7] Imagem projeção no eio y: [, ].0) 6 0. Correta. n(a B) = n(a) n(b) =. = 9 0. Incorreta. = y = 5 B 0. Correta. f() + f() = + 8 = 9 Matemática A

3 08. Correta. f() = a + + b f(0) = 7 b = 7 f() = a + 7 = a = f() = + 7 f() = = 6 6. Correta. 0 e 6 0 e 6. Correta. f( ) f +. f( ) = +. = Testes Aula 9 9.0) 0. Verdadeira E = = 0. Verdadeira Se <, então 0 < +. Assim, + = Verdadeira Se <, então < 0. Assim, = Verdadeira Para, tem-se: E = + + = = + + = 6. Verdadeira Teoria.. Falsa alsa. Os valores inteiros que satisfazem a inequação são:, 0,,,. Soma: = 5 9.0) a) + = 5 + = 5 = + = 5 = 8 S = { 8, } b) 5 = 5 = = 9 = 5 = = = S = {, } c) = = = = = = = S = {, } d) + = + = = 6 + = + = 0 = 0 (Não satisfaz a equação.) S = {6} e) = 7 = 7 = 6 = (Não satisfaz a equação.) = + 7 = 8 = (Não satisfaz a equação.) S = f) 5 = 5 = 5 = 9 = = + = S =, 9 5 Matemática A

4 g) 5 = 5 S = R A igualdade é verdadeira para qualquer valor de. h) Observe que =. Assim, fazendo = y, temos y y + = 0. y' = y " = = = = = S = {, } i) 5 =.. 5 = 0 = y y y 5 = 0 y' = 5 y" = = 5 = 5 = (impossível) S = { 5} 9.0) A + + = 9, para 0 + =, para 0 =, para 0, para 0 Para < : + + = 9 + = 9 = 6 = Para < : + + = = 9 = = (Não está no intervalo <.) Para : + + = = 9 = = Solução: {, } Soma: + = 9.0) B Eemplo = A = {, } Maior valor: = = 5 A = { 5, 5} Maior valor: 5 = ) C 5 = 6 5 = 6 5 = 7 = = 6 5 = 5 = Soma: ) E + =. + = + = = 6 + = + = = Soma: 6 + = ) B 5 = 5 5 = 5 = = (Não satisfaz a equação.) 5 = = 6 = S = 9.08) C = Observe que a = a a 0. Assim, =. 9.09) E 0 S =, = + = + Matemática A

5 = + = 5 = 5 = = = 6 = (Não satisfaz a equação.) S = 5 9.0) E < 5 = 0,,,,, 5, 6 9.) C < < 8 (I) b < 5 (II) 5 < b < b < < b + 5 b 5 < < b 5 Assim, para satisfazer simultaneamente I e II, devemos ter: b 5 = b = b 5 = 8 b = 9.) B + = 0 = y y y + = 0 y' = 8 y" = = 8 = 8 = = Soma das raízes: = 0 9.) C + = + = = = + = + = Produto:. ( ) = 8 9.) C 5 < < 5 < < < 8 < < 8 9.5) C < < < Inteiros:,, 0,, 9.6) E + y = + y é uma sentença falsa. Eemplo = 8 y = 8 + y = = 0 + y = = 6 9.7) A = { N / 5} = {0,,,,, 5, 6, 7} B = { Z / + > } = {..., 8, 7, 6,,,, 5, 6, 7, 8,...} A B = {,,, 5, 6, 7} Soma: = 7 9.8) E = 6 = 6 0 = 6 (Absurdo!) = + 6 = 6 = (Não satisfaz a equação.) S = 9.9) D 6 = 0 = y y y y 6 = 0 y " = = = (Não tem solução.) S = {, } Assim, e são raízes da equação a + b = 0. Soma: a = a = 0 Produto: b =. b = 9 9.0) A. + = 0 = y y y y + = 0 y " = = = Matemática A 5

6 = = = = = = = 0 Produto: (). ( ). (). (0) = 0 9.) C 0 9.) a) 6 = 6 = = 8 = 8 = 8 = 6 = 6 = = = = = = 0 S = {6,,, 0} b) + = 5 + = 5 + = 6 + = 6 + = 6 = = 9 + = 5 + = (Absurdo!) S = { 9, } c) + + = 5, se 0 + =, se 0 =, se 0, se 0 Para < : + + = 5 + = 5 = 6 = Para < : + + = = 5 = (Não está no intervalo <.) Para : + + = = 5 = = S =, d) + + = = + = Para < : + = =, se 0 se 0,, se 0, se 0 = (Não está no intervalo <.) Para < : = = = (Não está no intervalo <.) Para : + + = = = (Não está no intervalo.) S = e) + + = 7, se 0 + =, se 0 = Para < : + = 7 = 6 =, se 0, se 0 6 Matemática A

7 Para < : + + = 7 5 = 7 (Absurdo!) Para : + + = 7 = 8 = S = {, } f) + 5 =, se 0 =, se 0 5 = 5, se , se Para < : = = = (Não está no intervalo <.) Para 5: + 5 = = (Note que a equação é satisfeita para todo [, 5]). Para 5: + 5 = = 0 = 5 Solução: [, 5] g) = = = = = + = = (Não satisfaz a equação.) S = {} h) ( ) = + + = + + = + = + = = = S =, 9.) D ) E ) A b =. Se < <, concluímos que: + > 0 + = + < 0 = + + > 0 + = + Assim: b =. = = ( ).( ) = = = 9.6) E 8 = 0 8 = 8 = = = 8 = = = Produto: ( ). ( ). (). ( ) = 8 Matemática A 7

8 Aula 0 0.0) a) = 0 = y y 9y + 00 = 0 = 5 = 5 = = S = { 5, } b) = 0 = y y y y = 0 y " y 5 y " = = = (impossível em R) S = { } c) = 0 = y y 8 y 0y + 6 = 0 y " = 8 = = = S = {, } d)(!) (!) + = 0! = y y y y + = 0 y "! = = 0 =! = (Não tem solução.) S = {0, } e) = = y y 5 y 0y + 5 = 0 y " 5 5 = 5 = 5 = 5 = S = {, } 0.0) A cos 5cos = 0 0, cos = y y 0 y 5y = 0 y " 5 cos = 0 = 90º cos = 5 (Não tem solução.) 0.0) a) + = = ( ) = ( ) = = + 9 ' = " = 9 Verificando na equação inicial, obtemos: S = {} b) + = = ( ) = ( ) = = " Verificando na equação inicial, temos: S = {5} c) = (). = 0 = (0) + + = 0 S = {, } d) 7 " = () = + 0. = + 9 = ( + 9) = =. ( + + ) 9 6 = 0 " Verificando na equação original, obtemos: S = {} 8 Matemática A

9 0.0) a) + 6 = 0 = y y y + 6 = 0 y y " 9 = = = 9 = Produto: ( ). (). ( ). () = 6 b) = 0 = y y y = 0 y " = = = (impossível em R) Produto:. ( ) = c) ( + ) 9 = 0 = y (y + ) 9y = 0 y + y + 9y = 0 y 6 y 5y + = 0 y " 9 = 9 = = 6 = Produto: ( ). (). ( ). () = 0.05) a) 9 8 = = y 9 8 = y y 9y 8 y y y 0 = y 9y + 8 = 6 = 6 = = y 6 y " Soma: = 0 b) = 0 = y 6y 7y + = 0 = = y y " = = Soma: + = 8 9 = 7 c) = 0 = y 8y 6y + = 0 = = = = Soma: + = ) D 5 + = 0 = y y 5y + = 0 = = = = 6 y y " y y " S =, ) C I. Incorreta. Se =, a epressão não é v II. Incorreta. Se a =, a = =, mas a = =. 0.08) A III.Incorreta Incorreta. ( ) = 5 = 0 = y y y 5 = 0 = 5 = 5 y 5 y " = = 7 Soma: 5 7 = ) 0 = 0 = y y y 0 = 0 = = 6 = 5 = 5 6 y y " 5 Matemática A 9

10 0.0) B Produto: = 5. + = 0 = y y y + = 0 y y " = = 9 = 6 = = = S = {, 6} 0.) C + 6 = 0 = y y y + y 6 = 0 y " = = = (impossível) S = { } 0.) C + = 0 = y y y y + = 0 y " = = 0.) B + = 0 = y y y y + = 0 y " = = = 8 = 8 0.) E = ( ) = 8 + = + = 5 0 = 0 " = ( Não satisfaz a equação.) S = {5} 0.5) B + = = ( + ) = + + =. ( ) = 0 " S = {, 5} Produto:. 5 = 5 0.6) + + = = = ( ) + = + 0 = ' = 0 " = Verificando na equação inicial, obtemos S = {}. 0.7) B = 0 = = 0 = a + b = + = 0.8) + = 0 0.9) C = = ( ) + = + = 0 " Verificando na equação inicial, obtemos S = { }. = = ( ) = 0 Matemática A

11 = 0. ( ) = 0 = 0 = 0 = 0 = Verificando na equação inicial, obtemos S = { }. Soma: + = 0 0.0) B y 5 y y y = (5) + y + y = 5 + y + y = 5 + y = 5 y = y = 6 ( y ) = 6 y = 6 Note que temos um problema de soma e produto. y. y 6 Solução: {(, 9); (9, )} 0.) E 7 = 7 7 = (7 ) 7 = 7 = = S = {, } 0.).. 9 Fazendo = y, obtemos: y + 9 y 9 y 8y 9y y y y 7y + = 0 Retornando, temos: y y " (Não satisfaz a equação inicial, pois teríamos.) = + = + = 0 S = {, } 0.) D " ( + ) = = 5 6 = 9 = S = 6 0.) + 6 = 8 = y y + y 6 = 8 y 6 = 8 y y 6 = (8 y) y 6 = 6y + y 5 Matemática A

12 0 = y 7y + 0 y' = y" = 5 Retornando, temos: = (Não satisfaz a equação inicial, pois teríamos + 6 = 6.) = 5 5 = 0 S = 5, " 5 0.5) A ( ) = + 6 = + 6 = = = = 0 ' = " = + = = 0 ' = " = S = {,, } Produto: ( ). ( ). () = 8 Aula.0) a) É função. b) Não é função, pois f() = e f() = 6. c) É função. d) Não é função. Eiste uma reta paralela ao eio y que corta o gráfico em pontos. e) Não é função. Veja a justificativa anterior. f) É função..0) Domínio: [, 8) Imagem: [, 5].0) 0 0. Incorreta. n(b A) = n(b). n(a) =. = 6 n(b ) = n(b B) =. = 0. Incorreta. Se = 5, então y =. Mas y = B. 0. Correta. f(). f(). f(7) = 0. f(). f(7) = Incorreta. Se f(0) =, então c =. f() = a + + b + = a + b = f() = 8a b + = 8a + b = 6 a b ( ) 8a b 6 a b 6 8a b 6 6a = a = b = 5 f() = f( ) = = 9 6. Correta e Incorreta. f( ) =. ( ) = 7 f( ) =. ( ) = 7 f =. = E = = 6.0) B R = {(, y) A B/ é divisor de y} A; y B Pares: (, ) (, 8) (, 9) (, ) (, 8) (, 9) (, 8) Matemática A

13 .05) C + y = 6 A; y B Pares: (, 5) (, ).06) B A = {,, 0,,,, } B = {, 0,,, } A; y B = (y ) Pares: (, ) (, ) (, 0) (, ) (0, ) (, 0) (, ) (, ) (, ) Imagem: {, 0,,, }.07) D Conceito de função..08) C f() = + f() = 0 B f() = 0 B.09) A f() = f(0) = f() = 0 f() = Im = {, 0, }.0) D Definição de função. Nas alternativas a, b, c, e, obtemos retas paralelas ao eio y que cortam os gráficos em mais de um ponto..) A Retas paralelas ao eio y cortam os gráficos em mais de um ponto..) A Imagem = projeção no eio y Im = [0, ].) A ' ".) B = 9 = 7 = 7.5) E a) Incorreta. O máimo ocorreu em tubro. b) Incorreta = 600 c) Incorreta. A diferença entre tubro e fevereiro foi de = 00. d) Incorreta. Em fevereiro ocorreu o mínimo. e) Correta. J + A + S = = 700.6) f =.7) E g( ) = = 8 5 f + 5. g( ) = = = 0 5 f 6 = = 6 = 5. = ) C f(6) = = 00 f(9) = = 50 f(9) f(6) = 50.9) E a) Incorreta. Se = 6, y,. b) Incorreta. Se = 6, y,. c) Incorreta. Se =, y,. d) Incorreta. Se = 6, y,..0) a) f( ) = + k = k = 5 b) f = 0 7 Matemática A

14 c) f(f()) = f(. + 5) = f(9) = =.) C f() =.) B f() = = 6 f( ) = 0 f( ) = 0 f() + f( ) f( ) = = f( ) = 9 6 h() = f( ) f( ) 9 f( ). f( ) =.) E f() = q() = f ( ) f ( ) f( ) =.) f =. + = 5 f(0) =. 0 + = f() = + 5 = 8 f + f(0) + f() = 6 = =..5) f( + ) = f() 5 = 0 f() =. f(0) 5 =. f(0) 5 58 =. f(0) f(0) = 9 Aula.0) A A = {,, } B = {,,,, 5} A y B y = = y = = y = = y = 5 Pares: (, ) (, ) (, 5).0) D A = {0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0} A y A y = Pares ordenados: (, ) (, ) (, 5) (, 7) (5, 9) Domínio: {,,,, 5} Imagem: {,, 5, 7, 9}.0) C Conceito de função ver teoria..0) C Em a, b, d eistem retas paralelas ao eio y que tocam o gráfico em mais de um ponto. Em e há elementos do domínio sem imagem..05) D Como f() = 0, temos f(). f(). f() = 0..06) h = 7 = g() = = Matemática A

15 f( ) = + 5 =. h g( ). = f( ) =. = Em módulo: =.) C f( ) +. f( 5 ) + f( ) = = 5 +. () + ( 5) =.) E.07) B 00 = = = 50 = 0.08) D, 8 f() =, f(8) = 8 f() = 5 f() = 7 f(5) = 9 f() = f() = f(8) = 8 Novo número: ) E (k, k) f() = + k k. k + k = k k k = 0 k k. (k ) = 0 k " 0.0) A f() = + b + c Par (0, 0): 0 + b. 0 + c = 0 c = 0 Par (, ): + b + c = b = f() = + f ) E f( ) + f() + f() = =.) B f() + f( ). f = = +. ( ). = = + = 5 Os dois triângulos formarão o retângulo: cuja área é. Área para pipas 0 = 600.5) B Tirando %, restam 97%. Assim, o valor será de: (97%). = = 0,97.6) B f( + ) = + Para =, obtemos: f( + ) = ( ) + f( ) = 8.7) f( + ) = f() + f() f() = 6 a) = f( + ) = f() + f() f() = f() 6 = f() f() = b) = f( + ) =. f() + f() f(5) =. 6 + f(5) =.8) B f() = f ( h) f ( h) ( h) ( h) h h = = h h h ( h h h h = Matemática A 5

16 = 6 h h h( h ) h h h.9) D f(a + b) = f(a). f(b) Para a = b =, temos: f( + ) = f(). f() f() = [f()] Para a = e b =, temos: f( + ) = f(). f() f() = [f()]. f() f() = [f()].0) E f(n + ) = n Vamos trocar n por n : f(n + ) = n f(n ) = n.) D f( + ) = + Queremos aplicar na função a epressão y +. Fazendo + = y +, temos: = y = y Assim, f(y + ) =. y + = = 9 y + = 9 y.) C g() = + g() + g() g(0) = S n = ( a a ) n n = = ( 5 6 ). 0 = 00.) B f(n + ) = f(n) + f(0) = n = 0 f(0 + ) = f(0) + = 9 y = 9 y + f() = n = f( + ) = f() + f() = 5 Assim: f(00) = a 00 = a + 99r = = 0.) D f(n + ) = fn () f() = n = f( + ) = f( ) f() = 5 =,5 n = f( + ) = f( ) f() = P. A. (;,5; ;...) f(), f(),... f(0) = a 0 = a + 00r = (0,5) = 5.5) 0 = 0 = f() = = f( 0 ) = f(0) = 0 = f( ) = f(0) = 5 = f( ) = f(5) = = S = a 0 0 q = 0.6) E f() = g() = ( ) = = Isso ocorre somente quando 0, isto é,. Assim, se f = g, então D = [, + ). 6 Matemática A