Matematiken i KTHs utbildningsprogram ett utvecklingsprojekt

Matematiken i KTHs utbildningsprogram ett utvecklingsprojekt Delprojekt 4: Mötet med gymnasieskolan Delprojektet skall identifiera och analyser kritiska framgångsfaktorer för mötet mellan gymnasiets studenter och KTHs matematikutbildning. 1. Rekrytering ur andra program än NV. Vilka andra program kan komma ifråga? Vad ställer det för krav på (matematik)undervisningen det första året? 2. Kan vi skapa andra former av basår för att bredda rekrytering med bibehållen kvalitet / prestationsgrad? 3. Vad innebär gymnasium 2000 för behörigheten till högre studier? Hur möter vi studenterna från de nya NV och T-programmen? 4. Vad är matematik på gymnasiet? Vad är matematik på KTH? Hur överbryggar vi den förmodade klyftan? 5. Skall vi börja med poänggivande matematik redan i introduktionsveckorna? 6. Tag fram ett introduktionshäfte i matematik, att användas av gymnasieskola och antagna. 1. Bakgrund I Sverige, liksom i hela Europa, har civilingenjörsutbildningarna fått problem med matematikkurserna. Två nationella studier har gjorts under senare år: [1] Lars Brandell, högskoleverket; Räcker kunskaperna i matematik? och [3] Bengt Johansson, Göteborgs Universitet: Förkunskapsproblem i matematik?. Gunnel Roman, institutionen för matematik, KTH, har gjort en intervjustudie av kvinnliga nybörjare på KTH: Studieorientering, anpassning och intellektuell utveckling; Kvinnligt lärande på KTH [5]. SEFI (Société Européenne pour la Formation des Ingénieurs) har också i sin skrift Mathematics for the European Engineer; a Core Curriculum for the Twenty-first Century [4] observerat problemet: engineering has grown increasingly unpopular and, consequently, has struggled to find sufficient numbers of recruits with the desired level of entry qualification. On the other hand, some very able and well-qualified students continue to wish to study engineering and this has led to cohorts with a wide spread of mathematical preparedness and ability. En väsentlig andel av studenterna på KTH har på senare år haft stora problem med matematikkurserna; speciellt programmen L, V och B har uppenbara problem: efter en tentamen på Linjär Algebra 4p (den första kurs studenterna läser; kursen går i period ett första läsåret) har B, L och V programmen en examinationsgrad på mellan 37 och 60%. Den stora spridningen i nybörjarnas förmåga att lära sig matematik illustreras av att examinationsgraden läsåret 2000-01 på B var 40% medan den på M var 85% efter en 1

tentamen trots att dessa program läste kursen gemensamt, och alltså hade identisk undervisning, med samma lärare och samma tentamensskrivning. Då är ändå inte M- programmet det som generellt har de allra bästa matematikstudnterna; mer om detta senare. Vi kan se hur intagningskraven varierar mellan programmen: UTBILDNING GRUPP BP BL HP HA Arkitektutbildningen 180 poäng 19,03 4,64 1,9 2,1 Civilingenjörsutbildningen 180 poäng BP BL HP HA Bioteknik 18,97 4,50 1,7 1,7 Datateknik 17,37 4,31 1,8 1,8 Elektroteknik 16,53 4,00 1,4 1,4 Farkostteknik 15,07 3,72 1,2 1,4 Informationsteknik 16,41 4,06 1,5 1,5 Industriell ekonomi 19,01 4,50 1,9 1,9 Kemiteknik 15,38 3,57 1,3 1,3 Lantmäteri 13,53 3,21 0,9 1,0 Maskinteknik 14,93 3,53 1,2 1,3 Materialteknik * * * * Medieteknik 19,05 4,23 1,9 2,0 Teknisk fysik 18,34 4,58 1,8 1,8 Väg- och vattenbyggnadsteknik 13,91 3,38 1,1 1,1 BP = bokstavsbetyg, programgymnasiet BL = sifferbetyg eller blandbetyg, linjegymnasiet, utländska betyg HP = högskoleprovsresultat HA = högskoleprovsresultat plus eventuella poäng för arbetslivserfarenhet * = samtliga behöriga i urvalsgruppen har antagits Ett fundamentalt problem med KTH-studierna, åtminstone vad gäller matematiken, är att studenterna ges för litet tid att lära sig stoffet. Normalstudietiden för 10 universitetspoäng är 10 veckors heltidsstudier, medan man på KTH förväntas klara av 10 poäng på 7 8 veckor (beroende på om tentamen hamnar i början eller slutet av tentamensperioden). Argumentet som KTH i sin irriterande självgodhet implicit framför är att KTH-studenterna är så mycket bättre än genomsnittsstudenten, att detta är rimligt. Visst har vi många studiebegåvade studenter, men alla är inte det, och även dessa måste ges en rimlig chans att klara studierna på ett meningsfullt sätt. Låt oss titta på gymnasiebetyget för studenterna antagna läsåret 2000-01 på de viktiga matematikkurserna C, D, E: 2

Betyg från nya gymnasiet, kurs C G VG MVG Total % % % % Utbildningsprogram Materialteknik 41,3 43,5 15,2 100 På KTH Bioteknik 6,1 22,4 71,4 100 Datateknik 3,2 21,1 75,8 100 Elektroteknik 5,7 40,2 54,1 100 Teknisk fysik 1,1 11,4 87,5 100 Industriell ekonomi 3,8 15,2 81,0 100 Informationsteknik 7,4 36,8 55,8 100 Kemiteknik 13,9 44,6 41,6 100 Lantmäteri 29,8 52,4 17,9 100 Maskinteknik 15,6 50,0 34,4 100 Mediateknik 5,0 20,0 75,0 100 Farkostteknik 12,1 48,4 39,6 100 Väg- och vattenbyggnadsteknik 32,2 50,0 17,8 100 Totalt 13,1 37,3 49,6 100 Betyg från nya gymnasiet, kurs D G VG MVG Total % % % % Utbildningsprogram Materialteknik 51,1 44,4 4,4 100 På KTH Bioteknik 10,6 25,5 63,8 100 Datateknik 3,3 19,6 77,2 100 Elektroteknik 10,3 35,9 53,8 100 Teknisk fysik 15,3 84,7 100 Industriell ekonomi 5,2 26,0 68,8 100 Informationsteknik 10,6 40,4 48,9 100 Kemiteknik 21,6 50,5 27,8 100 Lantmäteri 40,5 45,6 13,9 100 Maskinteknik 23,3 52,8 23,9 100 Mediateknik 28,9 71,1 100 Farkostteknik 18,0 44,9 37,1 100 Väg- och vattenbyggnadsteknik 37,5 55,7 6,8 100 Totalt 17,8 39,2 43,0 100 3

Betyg från nya gymnasiet, kurs E G VG MVG Total % % % % Utbildningsprogram Materialteknik 66,7 31,1 2,2 100,0 På KTH Bioteknik 10,9 30,4 58,7 100,0 Datateknik 7,9 16,9 75,3 100,0 Elektroteknik 10,4 40,9 48,7 100,0 Teknisk fysik 1,2 14,3 84,5 100,0 Industriell ekonomi 8,2 20,5 71,2 100,0 Informationsteknik 16,1 44,1 39,8 100,0 Kemiteknik 21,9 51,0 27,1 100,0 Lantmäteri 42,3 42,3 15,5 100,0 Maskinteknik 32,2 46,6 21,3 100,0 Mediateknik 8,1 27,0 64,9 100,0 Farkostteknik 30,3 38,2 31,5 100,0 Väg- och vattenbyggnadsteknik 44,2 46,5 9,3 100,0 Totalt 22,9 36,6 40,5 100,0 På B-programmet (materialteknik) har t.ex. alltså två tredjedelar av studenterna endast G i betyg på kurs E, och nästan ingen MVG. Samtidigt har vi givetvis också studenter med en fantastiskt hög studiekapacitet. Den stora spännvidden visar sig också i matematikinstitutionens diagnostiska test. På testet kan man totalt få 14 poäng. Fyra poäng eller mindra är ett synnerligen dåligt resultat. Följande tabell med kommentarer är hämtad ur Lars Brandells analys [2]: Andelar (procent) med resultat i intervallet: 4 och 10 och under 4,5-6,5 7-9,5 över Summa Teknisk fysik 1,6 14,6 46,3 37,4 100,0 Datateknik 4,0 16,7 49,2 30,2 100,0 Bioteknik 7,6 21,2 42,4 28,8 100,0 Mediateknik 14,0 17,5 40,4 28,1 100,0 Industriell ekonomi 10,4 23,6 42,5 23,6 100,0 Informationsteknik 4,7 26,8 48,0 20,5 100,0 Elektroteknik 8,4 28,6 46,8 16,2 100,0 Kemiteknik 9,5 31,0 45,7 13,8 100,0 Farkostteknik 7,1 33,0 47,3 12,5 100,0 Maskinteknik 14,7 46,3 33,9 5,0 100,0 Lantmäteri 23,6 38,2 34,5 3,6 100,0 Materialteknik 33,3 45,6 17,5 3,5 100,0 Väg- och vatten 26,5 49,6 23,1 0,9 100,0 Samtliga teknologer 2000 11,9 31,3 40,5 16,3 100,0 Samtliga teknologer 1999 10,4 25,4 43,5 20,7 100,0 Samtliga teknologer 1998 7,4 25,3 43,7 23,6 100,0 Som synes har andelen teknologer som klarat högst fyra av de fjorton uppgifterna, ökat mellan 1998 och 1999 från sju till tio procent, och nu ökat ytterligare till cirka tolv procent. Även om provet görs under något pressade förhållanden och direkt efter sommaren är det inte bra att nära en av åtta nya 4

teknologer har 4 poäng eller därunder. För att få fyra poäng räcker det t ex att klara de fyra uppgifter som här redovisas under rubriken Grundkunskaper. Även om testet inte med säkerhet kan säga något om den enskilde teknologen (alla kan ha en dålig dag), kan man nog konstatera att prognosen (som grupp) för dem som fått högst fyra poäng inte är speciellt god inför de kommande matematikstudierna. I detta perspektiv är det också anmärkningsvärt att på tre av programmen (L, B och V) är det en fjärdedel eller mer av de skrivande som har max fyra poäng på provet. De teknologer som klarat minst 7 rätt på provet har löst åtminstone en uppgift utöver det som kan ses som standarduppgifter från grundskola och gymnasium. Andelen som har minst sju poäng på provet har minskat från 67 procent år 1998 till 57 procent innevarande år. Andelen som har sju poäng eller mer varierar också kraftigt mellan de olika programmen. Nio program ligger här på 60 procent eller mer (med F i topp på 83 procent). Två program (M och L) ligger något under 40 procent och för två av programmen (B och V) är det mindre än en fjärdedel som har sju rätt eller mer. Matematikundervisningen har totalt sett fått färre timmar på gymnasiet än tidigare. På 60-talet läste man på reallinjens matematiska gren c:a 4.7 timmar (60-minuters) matematik per vecka under de sista två åren, numera är den tiden ungefär 3-3.3 timmar. Dessutom har systemet med kurserna A, B, C, D, E på gymnasierna fått en oförutsedd konsekvens: Eftersom kurs A har hela 110 poäng (B=40, C=50, D=40, E=60) är det viktigt för studenterna att få högt betyg på den kursen, eftersom kurserna viktas med sina poäng vid antagningen till högre studier. Därför ägnas mycket tid åt den kursen, och resultatet för NV-studenterna är att därigenom mycket tid ägnas åt väsentligen grundskolematematik, medan de viktiga C, D och E kurserna som konsekvens får onödigt litet tid. Vi står alltså inför två problem: dels har förkunskaperna i matematik generellt sett försämrats bland nybörjarna på KTH, dels har spännvidden i förkunskaper och studieförmåga ökat enormt, både inom programmen och mellan programmen. Gunnel Roman drar också följande slutsatser av sin intervjustudie: I min intervjustudie kommer det fram tydligt att teknologerna tycker att studierna på KTH är oerhört krävande. Speciellt gäller det här nybörjarna. Flertalet påpekar att de fått information i förväg om att det skulle bli svårt och ta mycket tid. Men att det skulle vara så svårt och så tidspressat som det i verkligen är hade de inte kunnat föreställa sig. Därför tvekar många efter ett tag på KTH och ställer sig frågan om de verkligen skall fortsätta med studierna. Eftersom matematik är ett av de största ämnena i årskurs ett är det därför av stor vikt att vi kan möta de nyantagna teknologerna på ett värdigt och förtroendeingivande sätt. Dåliga resultat i matematik ger onödiga avhopp ifrån utbildningen. Som det är nu upplever de studierna som ett hastverk i stora anonyma grupper och att det är knappast någon som bryr sig. (Kom ihåg att min undersökning gjordes innan vi på matematik drabbades av stora nedskärningar.) Omställningen från gymnasieskolan är stor. 5

De studenter i ettan som jag undervisade i höstas (HT 00) förmedlade en stor uppgivenhet och besvikelse. 2. Problemen De problem vi står inför kan samanfattas i följande punkter: 1. Förkunskaperna hos dem som börjar på KTH (liksom vid andra högskolor) är svaga hos många studenter och framförallt ojämna. Kanske också felaktiga. [1], [2], [3], [7]. 2. Samtidigt som problemen med förkunskaperna i matematik började bli akut, inte bara på KTH utan generellt, och samtidigt som KTH inrättade nya program och ökade antalet antagna studenter, valde KTH:s ledning att kraftigt minska resurserna till matematikinstitutionen, varför den nu är underbemannad. 3. KTH tar inte tillräcklig hänsyn till de stora variationerna i förkunskaper och studieförmåga hos nybörjarna. 4. Antagningsreglerna är sådana att det lönar sig dåligt att satsa på matematik i gymnasiet. Det betalar sig meritmässigt mer att satsa på höga betyg i andra ämnen, eftersom det säkrare leder till högre betyg. 5. KTH:s periodsystem, med extremt korta studieperioder, är bland de sämsta system ett universitet kan ha när det gäller studier i matematik. Mindre än hälften av årets veckor används för undervisning. Det går inte att forcera studietakten förbi en viss gräns (som är personlig) utan att resultatet degenererar till en fragmenterad pseudokunskap som väsentligen är oanvändbar. Den forcerade studietakten, då 10 poäng skall läsas in på 7-8 veckor, fungerar dåligt för studiebegåvade studenter, som får för litet tid för eftertanke och att internalisera stoffet, och inte alls för andra studenter, som tvingas tentalätt-läsa och att lära sig förståendets gester utan att förstå. 6. Universitetsstudier i matematik, eller vilket ämne som helst, bör innehålla ett mått av ämnets vetenskapshistoria. Detta är inte bara en mycket väsentlig del av vår kultur, och således en del av det kulturarv vi bör bära med oss, utan ger också en utomordentlig inblick i ämnets natur, dess vetenskapliga paradigm och hur denna utvecklats och förändrats över tiden. Detta i sin tur kan hjälpa studenter att förstå hur de intellektuellt skall ta itu med att lära sig matematik; många har ingen uppfattning om vad det innebär att kunna matematik och kan följaktligen inte heller söka denna kunskap. Den studiemetod som då står till buds är att försöka lära sig härma exempel från läroboken eller lärarens föreläsninger (eller typtal från gamla tentamina) utan förståelse. I gymnasiets läroplan finns glädjande nog numera matematikens idéhistoria med. Följande är hämtat ur skolverkets skrift [6]: Matematiken har genom en mångtusenårig utveckling bidragit till det kulturella arvet. Matematiken är en förutsättning för stora delar av samhällets utveckling och den genomsyrar hela samhället, ofta på ett sätt som är osynligt för den ovane betraktaren. Matematiken har utvecklats ur såväl praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska och utvidga matematiken som sådan. Matematikens begrepp, metoder och teorier har vuxit fram inom olika kulturer. Matematik är en 6

livaktig internationell vetenskap, vars metoder, begrepp och kunskapsområden ständigt utvecklas. I matematik arbetar man med väldefinierade begrepp och bygger upp teorier genom att logiskt och strikt bevisa att formulerade hypoteser är giltiga. Resultaten av bevisen formuleras som satser eller samband, som visar hur begreppen kan användas. Nya begrepp införs som följd av frågeställningar i tillämpningsämnen eller av idéer inom matematiken som sådan. Matematik är en mänsklig tankekonstruktion och matematisk problemlösning är en skapande aktivitet. Samtidigt kräver matematiken uthållighet i tankeverksamheten och förståelse för att problemlösning är en process som kräver tid. Denna process skall kunna utvecklas i en grupp men även genom att individer reflekterar över sin egen kunskap och inlärning. Detta gäller även matematikämnet i skolan. Problemlösning, kommunikation, användning av matematiska modeller och matematikens idéhistoria är fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som genomsyrar undervisningen. Det är inte realistiskt att tro att gymnasieskolan skall lyckas realisera dessa mål. Men på ett tekniskt universitet som KTH borde vi ha mål som i akademisk höjd som åtminstone är i paritet med det som skolverket satt upp för gymnasiet. För närvarande finns inget utrymme för detta. Den extremt uppdrivna studietakten medger inte att individer reflekterar över sin egen kunskap och inlärning. Den respekterar inte heller förhållandet Samtidigt kräver matematiken uthållighet i tankeverksamheten. Inte heller finns utrymme för matematikens och naturvetenskapens vetenskapshistoria. 3. Förslag till projekt Projekt 1. Betygssystemet i gymnasiet tillsammans med antagningsreglerna till KTH gör det olönsamt och strategiskt olämpligt för gymnasisterna att satsa på matematiken i gymnasiet. För att förbättra denna situation föreslår vi följande pilotprojekt: KTH verkar för att meritvärderingarna vid antagning till något eller några program ändras som ett pilotprojekt. För att bli antagen till programmet skall den sökande göra ett matematikprov, och resultatet på detta prov vägs samman med övriga meriter. Man kan tänka sig att dessutom kräva betyget VG eller MVG på kurserna matematik C-E från gymnasiet för behörighet. [7] Detta projekt bör kunna genomföras till läsåret 2002-3. Institutionen för matematik konstruerar och rättar matematikprovet; KTH centralt ansöker och beslutar om den förändrade antagningsregeln och avgör vilket eller vilka program som skall deltaga i projektet. Projekt 2. Studenterna behöver mer tid för studier. Det finns ingen kungsväg till matematiken, dvs. någon pedagogisk metod som radikalt förkortar den nödvändiga tid som krävs för att studenterna skall uppnå en viss kunskaps- och färdighetsnivå och mognad. Alltså föreslår vi följande projekt: KTH ändrar sitt periodsystem så att en period innebär 8 veckors undervisning och en veckas tentamensperiod. Detta kan genomföras till läsåret 2002-3. Detta är såvitt vi 7

förstår redan beslutat, och är tillsammans med projekt 1 den enskilt absolut viktigaste åtgärden. Projekt 3. Studenterna är i genomsnitt mindre förberedda för universitetsstudier i matematik än tidigare. För att möta denna situation föreslår vi följande projekt: Vi kopierar Linköpingsmodellen på några program, som pilotprojekt. Förslag på program är B, L och V, där de största problemen med matematiken finns. Projektet innebär att en introduktionskurs ges med låg intensitet under höstterminen; först mer intensivt och gradvis avtagande. Kursen är på 4 poäng och dessa poäng tas från andra ämnen på linjen, dvs, det är fyra nya matematikpoäng (detta har genomförts på alla linjer vid Linköpings t.h.) [8] Kursen är inte avsedd att endast repetera gymnasiematematiken, utan skall (hämtat från Linköpingsmodellen): öva kalkylfärdighet och lösningskontroll träna logiskt tänkande (logik, bevis mm.) öva i att skriva matematik, dvs. att formulera lösningar av matematiska problem så att tankegången går att följa utan att läsaren behöver fylla i en mängd icke triviala detaljer ge en stabil grund för de fortsatta studierna Matematikinstitutionen får i uppdrag att utveckla en sådan kurs (Linköpings-kursen kan vara en förebild). Programansvariga på B, L och V får i uppdrag att allokera de fyra nya poängen till matematik i LOT-planen. Även detta projekt bör genomföras till läsåret 2002-3 Projekt 4. Nybörjarna på KTH spänner över att oerhört stort spektrum vad gäller förkunskaper och studiebegåvning, både mellan program och inom program. Dessutom har olika studenter olika mål med sin egen matematikutbildning; somliga studerar på KTH bl.a. för att de har ett stort intresse för matematik och vill skaffa sig en så bra utbildning i matematik som möjligt, medan andra ser matematiken som ett nödvändigt hjälpmedel för en del andra ämnen och har inga ambitioner vad gäller matematiken utöver att skaffa sig de nödvändigaste färdigheterna. Vi föreslår därför följande projekt: Undervisningen på något eller några program nivådifferentieras så att studenterna själva väljer nivå. Projektet genomförs av institutionen för matematik tillsammans med respektive program / programansvarige. Det finns många praktiska deltaljer att lösa, och projektdeltagarna måste själva få komma fram till hur detta skall göras. Redan från början skall en plan för utvärdering finnas. [7] Projekt 5. Ett webb-baserat repetitionsmaterial tas fram av institutionen för matematik. Detta ersätter det material som tidigare skickades ut till alla sökande. Detta projekt är redan påbörjat, och resultatet kommer att vara klart i maj 2001. 8

4. Övriga synpunkter och förslag till åtgärder, inte nödvändigtvis projekt 1. KTH bör inte ta emot studenter från annat än NV-programmet och det nya Teknikprogrammet med bibehållna krav på särskild behörighet, dvs. matematik Α-E och fysik Α-B. Många av dem som inte läser matematik E läser över huvud taget ingen matematik under sista året på gymnasiet, och därmed förlorar de träning i matematiskt tänkande, förutom de explicita kunskaperna i just den kursen. Vi har redan stora problem med den stora spännvidden av förkunskaper i matematik som det är. Studenter från andra program än NV-programmet läser dessutom mycket litet fysik. Återigen är det inte bara de explicita fysikkunskaperna dessa studenter saknar, utan också träning i det naturvetenskapliga tänkesättet, som är så viktigt även för matematiken (och, naturligtvis för andra ämnen på civilingenjörsprogrammen.) Det finns ett bra fungerande system med naturvetenskapligt basår för dem som inte gått NV-programmet, men som vill sadla om och ägna sig åt naturvetenskap och teknik. På kort sikt kan man tänka sig att rekryteringsbasen skulle öka om man antoge studenter även från andra gymnasieprogram, men på litet längre sikt skulle i stället färre studenter söka sig till NV-programmet, eftersom det inte behövs för att få studera på KTH (och andra tekniska universitet, får man förmoda), och vi har då bara kommit ur askan i elden. 2. Programansvariga och matematikinstitutionen bör får i uppdrag att planera utbildningen med hänsyn till att förkunskaperna i matematik bland de nyantagna är så varierande. 3. Det finns ingen anledning att tro att de nya gymnasiekurserna kommer att innebära någon försämring vad gäller studenternas förkunskaper i matematik, varför inga speciella beredskapsplaner behövs av den anledningen. Det totala kursinnehållet i gymnasiet förblir detsamma, men poängtalen på kurserna ändras, och en del stoff omallokeras mellan kurserna. Nominellt kommer också totala undervisningstiden att öka med c:a 15% för matematik, men det är osäkert om detta också blir en realitet, eftersom några andra ämnen då måste miska i omfattning. I vilket fall som helst ser vi inte gymnasiereformen som något hot, möjligen kan det innebära en liten förbättring, dels därför att matematiken kan få något mer utrymme, dels därför att man på NV-programmet kan använda mer tid till de viktigare C-E kurserna och inte behöver ägna så onödigt mycket tid åt A kursen. Se skolverkets kursplaner [6] 4. Det bör utredas om en kurs i matematikens och naturvetenskapernas idéhistoria skall inrättas. Detta skulle tjäna flera syften: Det matematiska och naturvetenskapliga tänkesättet skulle tydliggöras. Det skulle vara inspirerande och faschinerande och skapa studiemotivation. Det skulle bidra i hög grad till den kulturella bildningen, eftersom detta är en stor och oerhört viktig del av vårt kulturarv. Poängen för en sådan kurs skulle kunna tas från TMS -ämnena. 5. Matematiska institutionen måste anställa fler lärare. Idag kan vi bara ge massföreläsningar, och studenterna klagar nu högljutt över att de nästan aldrig får möjlighet att ställa frågor eller prata med en lärare. Detta är otillfredsställande för både lärare och studenter. 9

Harald Lang Institutionen för matematik, Ansvarig för Delprojekt 4: Mötet med gymnasieskolan Övriga projektdeltagare: Regina Kevius, teknolog Sören Östlund, programansvarig T Karl Hult, programansvarig Bio Gunnel Roman, inst. för matematik Ola Svärd, IS. Lars Brandell, HSV Agneta Avasjö, gymnasielärare Per Lundqvist, programansvarig M Referenser [1] Brandell, Lars: Räcker kunskaperna i matematik?, Högskoleverket 1999, <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/lars_br.pdf> [2] Brandell, Lars: Matematikkunskaperna 2000 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH, bearbetning av ett förkunskapstest, KTH, institutionen för matematik, 2000, <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/dia2000.pdf> [3] Johansson, Bengt: Förkunskapsproblem i matematik?, Göteborgs Universitet 1998, <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/forkunsk.pdf> [4] Mathematics for the European Engineer; a Core Curriculum for the Twenty-first Century, Société Européenne pour la Formation des Ingénieurs (CEFI) 2000, <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/sefi.pdf> [5] Roman, Gunnel: Studieorientering, anpassning och intellektuell utveckling; Kvinnligt lärande på KTH, KTH, enheten för didaktik, 1999, <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/gunnels.htm> [6] Skolverkets kursplaner och betygskriterier för gymnasieskolans matematik. pdfdokument sammanställt från skolverkets webb-sida, <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/matematik.pdf> [7] Ny Teknik 27/01/00, Usla mattekunskaper massutbildningens fel, <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/nyt5.pdf> [8] Matematisk grundkurs i Linköping, <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/grundkur.pdf> [9] Om First Year Experience av Gunnel Roman. <http://www.math.kth.se/~lang/matteprojekt/first.pdf> 10