Alternativa sätt att beräkna standardavvikelser

Alternativa sätt att beräkna standardavvikelser Stig-Arne Mattsson Sammanfattning I affärssystem är det vanligt att standardavvikelser beräknas per prognosperiod motsvarande en månad eller en fyraveckorsperiod. För att kunna användas vid lagerstyrning måste de då periodlängdjusteras till aktuell ledtid med hjälp av ett approximationsförfarande. Det finns emellertid också andra beräkningssätt som kan vara av intresse att studera. I den här studien har standardavvikelser för ledtidsefterfrågan beräknats på fyra olika sätt; med utgångspunkt från efterfrågans standardavvikelse per dag, med utgångspunkt från efterfrågans standardavvikelse per månad och direkt från beräknade efterfrågevärden per ledtid från överlappande respektive icke överlappande serier av ledtidsefterfrågan. Av de erhållna resultaten framgår att skillnaderna mellan beräkningssätten är försumbara. Däremot ger alternativet med beräkning av efterfrågans standardavvikelse under ledtid med utgångspunkt från standardavvikelse per dag betydligt mindre variationer i beräknade standardavvikelser än vad övriga metoder ger. Eftersom variationer i beräknade standardavvikelser leder till variationer i servicenivåer är slutsatsen av den genomförda studien att företag bör övergå till att beräkna efterfrågans standardavvikelse under ledtid med utgångspunkt från efterfrågans standardavvikelse per dag i stället för från efterfrågans standardavvikelse per månad eller direkt från serier av ledtidsefterfrågan. 1 Bakgrund och forskningsfråga För att med analytiska metoder kunna dimensionera säkerhetslager vid lagerstyrning är det nödvändigt att ha någon form av mått för att uttrycka efterfrågevariationer. Ett sedan länge använt mått för sådana variationer är standardavvikelse. Standardavvikelser kan antingen beräknas exakt eller med hjälp av ett approximationsförfarande som 1,25 gånger MAD, dvs. den absoluta medelavvikelsen. I affärssystem är det vanligt att standardavvikelser beräknas per prognosperiod motsvarande en månad eller en fyraveckorsperiod. För att kunna användas vid lagerstyrning måste de då periodlängdjusteras till aktuell ledtid med hjälp av ett approximationsförfarande. I affärssystemsystem finns det emellertid också i allmänhet tillgång till förbrukningsstatistik per dag. Det är med andra ord också möjligt att approximativt beräkna standardavvikelser för efterfrågan under ledtid med samma kvadratrotsformel men utgående från efterfrågans standardavvikelse per dag. Ett ytterligare alternativ är att beräkna standardavvikelser direkt från serier summerad ledtidsefterfrågan utan approximation. Att i stället tillämpa något av dessa tillvägagångssätt kan vara av intresse, inte minst eftersom ledtider i storleksordningen enstaka dagar eller veckor är vanligt förekommande i industrin. Mot denna bakgrund har följande forskningsfråga formulerats. Teknisk Logistik stig-arne.mattsson@swipnet.se Lund Universitet Februari, 2006

Vad innebär det att beräkna efterfrågans standardavvikelse under ledtid med utgångspunkt från standardavvikelsen per dag i stället för från standardavvikelsen per prognosperiod månad? 2 Teoretiska utgångspunkter Som påpekades ovan beräknas i allmänhet standardavvikelser för artiklars efterfrågevariationer per prognosperiod, oftast lika med en månad eller fyra veckor. För att dimensionera säkerhetslager måste man emellertid känna till standardavvikelsen under ledtid. Under förutsättning att ledtiden är konstant gäller följande samband mellan standardavvikelsen under ledtiden och standardavvikelsen under en prognosperiod (Silver Peterson, 1985, sid 131). lt lt n..(1) där σ (lt) = standardavvikelsen under ledtid lt = ledtidens längd i prognosperioder σ = efterfrågans standardavvikelse per period n = koefficient vars storlek beror på karaktären på efterfrågevariationerna Koefficienten n kan bestämmas med hjälp av simulering baserad på emiriska data. För vanligt förekommande efterfrågemönster ligger den mellan 0,5 och 1 (Hax Candea, 1984, sid 177). Om man antar att de periodvisa efterfrågevariationerna varierar slumpmässigt och oberoende av varandra, dvs. att det inte föreligger någon autokorrelation, är koefficienten lika med 0,5. Sambandet mellan standardavvikelsen under ledtiden och standardavvikelsen under en prognosperiod blir då följande. lt lt..(2) Detta samband är vanligt använt i praktiken (Se exempelvis Flagan,1984). Förhållandet är något annorlunda om autokorrelation föreligger. Sådan autokorrelation kan innebära att det är större sannolikhet att en viss periods värde liknar de närmst föregående än att det liknar värden längre tillbaka i tiden, så kallad positiv korrelation. Den kan också innebära att variationen i en period i viss utsträckning tar ut variationer i efterföljande perioder, så kallad negativ korrelation. Brown (1967, sid 116) har visat att det i praktiken ofta uppstår beroendeförhållanden och därmed korrelation mellan olika perioder vid användning av exponentiell utjämning eller motsvarande metoder för att prognostisera. Eftersom den här studien avser efterfrågevariationer i förhållande till medelvärden och inte prognosfelsvariationer kan formel 2 anses vara ett fullt tillfredsställande sätt att beräkna standardavvikelser under ledtid. Detta har bland andra visats av Mattsson (2004). 2

3 Använd metodik För att besvara forskningsfrågan har standardavvikelser för fem olika efterfrågescenarier beräknats med utgångspunkt från standardavvikelser per dag och standardavvikelser per prognosperiod motsvarande 20 dagar. Beräkningarna har genomförts för ledtiderna 1, 3, 5, 10 och 20 dagar. För båda beräkningsalternativen har beräknade värden jämförts med standardavvikelser beräknade direkt för respektive ledtider. Två alternativ av direktberäkning av ledtidsefterfrågan har testats. Den ena alternativet innebär att serier av ledtidsefterfrågan skapas för överlappande ledtidsintervall och att standardavvikelserna därefter beräknas dessa serier. Med överlappande ledtidsintervall menas att varje ledtidsintervall påbörjas dagen efter föregående ledtidsintervall påbörjats. Enligt det andra alternativet görs motsvarande beräkningar men för icke överlappande ledtidsintervall, dvs för ledtidsintervall som påbörjas när föregående ledtidsintervall avslutats. Beräkningarna har genomförts i Excel. Scenario Order per dag Kvantitet per order Variationskoefficient under ledtid 1 Hög efterfrågan 16 1 3 0,39 0,22 0,17 0,12 0,09 - Låg variation 2 Hög efterfrågan 4 16 48 0,59 0,34 0,26 0,19 0,13 - Moderat variation 3 Hög efterfrågan 0,5 32 96 1,47 0,85 0,66 0,46 0,33 - Hög variation 4 Låg efterfrågan 1 1 5 1,10 0,63 0,49 0,35 0,25 - Moderat variation 5 Låg efterfrågan - Hög variation 0,25 1 7 2,04 1,18 0,91 0,65 0,46 Tabell 1 Använda efterfrågescenarier vid analys av alternativa sätt att beräkna standardavvikelser för efterfrågan under ledtid Den efterfrågan som beräkningarna utförts från har åstadkommits genom att kombinera slumpmässigt genererade antal order per dag från Poissonfördelningar och slumpmässigt genererade orderkvantiteter från likformiga fördelningar. De fem olika scenarierna karakteriserar olika lagerstyrningssituationer. Scenario 1 avser en situation med hög efterfrågan och låg efterfrågevariation, scenario 2 en situation med hög efterfrågan och moderat efterfrågevariation och scenario 3 en situation med hög efterfrågan och hög efterfrågevariation. De två förstnämnda scenarierna förekommer exempelvis i lager av färdiga produkter i tillverkande företag och i lokala distributionslager medan det tredje scenariot förekommer i lager av komponenter och halvfabrikat avsedda för montering i tillverkande företag och i centrallager med förhållandevis få lokallager att leverera till. Scenario 4 och 5 avser båda låg efterfrågan. Skillnaden mellan dem är att scenario 4 har en moderat efterfrågevariation och scenario 5 en hög efterfrågevariation. Båda scenarierna förekommer bland annat i reservdelslagerverksamheter. Karakteriserande data för de fem scenarierna framgår av tabell 1. Variationskoefficienterna i kolumn 4 avser i tur och ordning variationskoefficienter för ledtiderna 1, 3, 5, 10 respektive 20 dagar. För var och en av de fem efterfrågescenarierna har 20 serier om 360 dagars efterfrågan genererats. 360 dagar motsvarande ett och ett halvt år har valts eftersom denna tid erfarenhetsmässigt representerar något av ett medelvärde av den historikhorisont som före- 3

tag brukar använda vid prognostisering och beräkning av standardavvikelser. Standardavvikelser per dag och per månad har därefter beräknats för respektive efterfrågeserie. Slutligen har standardavvikelsen per ledtid för var och en av de olika inkluderade ledtiderna beräknats på följande tre sätt. 1 Som standardavvikelsen per dag gånger roten ur ledtiden i dagar enligt formel (2) 2 Som standardavvikelsen per månad gånger roten ut ledtiden i dagar i förhållande till 20 dagar enligt formel (2) 3 Direkt från beräknade serier av ledtidsefterfrågan där varje ledtidsefterfrågan i sin tur beräknats genom att summera efterfrågan per dag under det antal dagar som ledtiden motsvarar och för överlappande ledtidsperioder 4 Direkt från beräknade serier av ledtidsefterfrågan där varje ledtidsefterfrågan i sin tur beräknats genom att summera efterfrågan per dag under det antal dagar som ledtiden motsvarar och för icke överlappande ledtidsperioder 4 Beräkningsresultat och analyser De beräknade standardavvikelserna i medeltal för de 20 efterfrågeserierna och för respektive beräkningssätt, efterfrågescenario och ledtid framgår av tabell 2 till 6 nedan. 1 Std per dag Medel 12,38 21,45 27,69 39,16 55,39 Std avvik 0,39 0,68 0,88 1,25 1,76 2 Std per månad Medel 12,36 21,41 27,64 39,09 55,28 Std avvik 1,66 2,87 3,71 5,24 7,42 3 Std per ledtid 1 Medel 12,38 21,66 27,75 39,02 53,77 Std avvik 0,39 1,13 1,62 3,23 6,55 4 Std per ledtid 2 Medel 12,38 21,90 27,69 38,86 55,28 Std avvik 0,39 1,12 1,76 3,95 7,42 Tabell 2 Medelvärden och standardavvikelser för beräknade standardavvikelser för efterfrågan under ledtid enligt efterfrågescenario 1 med 16 order per dag 1 Std per dag Medel 18,93 32,78 42,32 59,85 84,65 Std avvik 0,62 1,08 1,39 1,97 2,78 2 Std per månad Medel 17,95 31,09 40,13 56,76 80,26 Std avvik 3,05 5,28 6,81 9,63 13,62 3 Std per ledtid 1 Medel 18,93 32,21 41,25 57,45 78,52 Std avvik 0,62 2,06 3,43 5,79 9,79 4 Std per ledtid 2 Medel 18,93 32,51 41,66 58,36 80,26 Std avvik 0,62 2,15 3,73 7,39 13,62 Tabell 3 Medelvärden och standardavvikelser för beräknade standardavvikelser för efterfrågan under ledtid enligt efterfrågescenario 2 med 4 order per dag 4

1 Std per dag Medel 46,89 81,22 104,86 148,29 209,72 Std avvik 1,75 3,02 3,90 5,52 7,81 2 Std per månad Medel 46,54 80,62 104,08 147,19 208,15 Std avvik 6,87 11,90 15,37 21,73 30,74 3 Std per ledtid 1 Medel 46,89 81,24 104,72 145,32 201,08 Std avvik 1,75 3,40 6,07 13,31 25,83 4 Std per ledtid 2 Medel 46,89 82,62 106,12 147,85 208,15 Std avvik 1,75 4,20 8,23 13,44 30,74 Tabell 4 Medelvärden och standardavvikelser för beräknade standardavvikelser för efterfrågan under ledtid enligt efterfrågescenario 3 med 0,5 order per dag 1 Std per dag Medel 3,30 5,71 7,37 10,42 14,74 Std avvik 0,10 0,18 0,23 0,33 0,46 2 Std per månad Medel 3,08 5,34 6,89 9,74 13,78 Std avvik 0,49 0,84 1,09 1,54 2,18 3 Std per ledtid 1 Medel 3,30 5,70 7,30 10,08 13,69 Std avvik 0,10 0,28 0,45 0,99 2,40 4 Std per ledtid 2 Medel 3,30 5,76 7,52 10,41 13,78 Std avvik 0,10 0,40 0,54 0,96 2,18 Tabell 5 Medelvärden och standardavvikelser för beräknade standardavvikelser för efterfrågan under ledtid enligt efterfrågescenario 4 med 1 order per dag 1 Std per dag Medel 2,04 3,53 4,56 6,45 9,12 Std avvik 0,12 0,22 0,28 0,39 0,56 2 Std per månad Medel 1,95 3,37 4,35 6,15 8,70 Std avvik 0,38 0,67 0,86 1,22 1,72 3 Std per ledtid 1 Medel 2,04 3,50 4,51 6,22 8,44 Std avvik 0,12 0,21 0,33 0,78 1,43 4 Std per ledtid 2 Medel 2,04 3,51 4,58 6,38 8,70 Std avvik 0,12 0,22 0,38 1,05 1,72 Tabell 6 Medelvärden och standardavvikelser för beräknade standardavvikelser för efterfrågan under ledtid enligt efterfrågescenario 5 med 0,25 order per dag Av tabellerna framgår att skillnaderna mellan de fyra beräkningssätten är praktiskt sett försumbara med avseende på standardavvikelsens medelvärden för ledtider på 10 dagar och mindre. Även vid ledtider på 20 dagar är skillnaderna tämligen måttliga. Med tanke på att noggrannheten vid säkerhetslagerberäkning har mindre betydelse ju längre ledtiderna är enligt en studie av Mattsson (2006) kan de båda approximativa beräkningssätten anses tillräckligt noggranna för praktiskt bruk även för fallet med 20 dagars ledtid. För att värdera i vilken utsträckning som standardavvikelsernas medelvärden från de 20 efterfrågeserierna skiljer sig åt beroende på beräkningssätt har parvisa jämförelser gjorts och eventuellt signifikanta skillnader testats med hjälp av t-fördelning. De approximativa metoderna har då endast jämförts med det direktberäkningssätt som avser icke överlappande serier av ledtidsefterfrågan. Orsaken till detta är att överlappning av ledtidsserier kan ge en utjämnande effekt på serierna av ledtidsefterfrågan och de beräknade standardavvikelserna därför bli något för små eftersom på varandra följande ledtidsefterfrågevärden har gemensamma dagsefterfrågevärden vid beräkningar med utgångspunkt från överlappande ledtidsserier. Att så också blir fallet framgår av tabellerna. 5

Enda undantaget är scenario 1 men detta efterfrågescenario har den minst varierande efterfrågan vilket innebär mindre utrymme för efterfrågeutjämning från ledtidperiod till ledtidsperiod. Standardavvikelser beräknade direkt från icke överlappande serier av ledtidsefterfrågan kan därför anses vara lämpligast som jämförelse för att värdera de båda indirekta beräkningssätt som baseras på kvadratrotsformel (2). Resultaten redovisas i tabell 7 med avseende på en jämförelse mellan standardavvikelser per ledtid beräknade med utgångspunkt från standardavvikelser per dag och direktberäknade standardavvikelser per ledtid. I tabell 8 redovisas motsvarande jämförelse mellan standardavvikelser per ledtid beräknade med utgångspunkt från standardavvikelser per månad och direktberäknade standardavvikelser per ledtid. Det kritiska t-värdet för signifikant skillnad mellan de båda beräkningssätten är 2,845 på 1 %-nivån. 1-16 order Skillnad i % 0-2,1 0,0 0,8 0,2 t-värde 0-1,5 0,0 0,3 0,1 2-4 order Skillnad i % 0 0,9 1,6 2,6 5,5 t-värde 0 0,5 0,7 0,9 1,4 3-0,5 order Skillnad i % 0-1,7-1,2 0,3 0,8 t-värde 0-1,2-0,6 0,1 0,2 4-1 order Skillnad i % 0-0,9-2,0 0,1 6,9 t-värde 0-0,5-1,2 0,1 1,9 5-0,25 order Skillnad i % 0 0,6-0,5 1,1 4,8 t-värde 0 0,3-0,2 0,3 1,0 Tabell 7 Skillnader mellan standardavvikelser per ledtid beräknade med utgångspunkt från standardavvikelser per dag och direktberäknade standardavvikelser per ledtid i procent vid icke överlappande serier av ledtidsefterfrågan 1-16 order Skillnad i % -0,2-2,2-0,2 0,6 0,0 t-värde -0,1-0,7-0,1 0,2 0,0 2-4 order Skillnad i % -5,2-4,4-3,7-2,8 0,0 t-värde -1,4-1,1-0,9-0,6 0,0 3-0,5 order Skillnad i % -0,7-2,4-1,9-0,5 0,0 t-värde -0,2-0,7-0,5-0,1 0,0 4-1 order Skillnad i % -6,5-7,3-8,4-6,4 0,0 t-värde -1,9-2,0-2,3-1,6 0,0 5-0,25 order Skillnad i % -4,6-4,0-5,1-3,6 0,0 t-värde -1,0-0,9-1,1-0,7 0,0 Tabell 8 Skillnader mellan standardavvikelser per ledtid beräknade med utgångspunkt från standardavvikelser per månad och direktberäknade standardavvikelser per ledtid i procent vid icke överlappande serier av ledtidsefterfrågan 6

Som framgår av tabellerna finns det inte några signifikanta skillnader mellan de olika beräkningssätten vad gäller standardavvikelserna under ledtid och oavsett efterfrågescenario och ledtidsfall. De procentuella skillnaderna är emellertid klart mindre mellan standardavvikelser per ledtid beräknade med utgångspunkt från standardavvikelser per dag och direktberäknade standardavvikelser per ledtid jämfört med standardavvikelser per ledtid beräknade med utgångspunkt från standardavvikelser per månad och direktberäknade standardavvikelser per ledtid. Det kan också noteras att standardavvikelser beräknade med utgångspunkt från standardavvikelser per månad genomgående är mindre än de mest troligt sanna standardavvikelser som direktberäknats från icke överlappande serier av ledtidsefterfrågan. Se tabell 8. Att utgå från standardavvikelser per månad ger sålunda något för små värden på efterfrågans standardavvikelse under ledtid, alldeles speciellt för de kortaste ledtiderna. Även om några signifikanta skillnader inte kunnat påvisas kan man konstatera att de procentuella skillnader som erhållits inte är försumbara. Av tabell 2 6 framgår också att det föreligger påtagliga skillnader mellan de olika beräkningssätten med avseende på standardavvikelsens variation. Standardavvikelser per ledtid beräknade med utgångspunkt från standardavvikelser per dag varierar betydligt mindre än standardavvikelser beräknade med utgångspunkt från standardavvikelse per månad och de direktberäknade standardavvikelserna. Standardavvikelser beräknade med utgångspunkt från standardavvikelse per månad är till exempel storleksordningen 4 5 gånger större än motsvarande beräknade från standardavvikelser per dag. Att dessa skillnader föreligger kan förklaras av att antalet observationer som underlag för de beräknade standardavvikelserna är störst då ledtidsefterfrågans standardavvikelse beräknas från standardavvikelser per dag, i det här fallet 360 observationer vid tre dagars ledtid. Motsvarande antal observationer då ledtidsefterfrågans standardavvikelse beräknas från standardavvikelser per månad blir 20. Att standardavvikelserna varierar så lite som möjligt har stor betydelse ur lagerstyrningssynpunkt eftersom det innebär att säkerhetslagren kommer att variera mindre och därmed servicenivåerna mot kund att bli mer stabila. 5 Sammanfattning och slutsatser I denna studie har standardavvikelser för ledtidsefterfrågan beräknats på fyra olika sätt; med utgångspunkt från efterfrågans standardavvikelse per dag, med utgångspunkt från efterfrågans standardavvikelse per månad och direkt från beräknade efterfrågevärden per ledtid från överlappande respektive icke överlappande serier av ledtidsefterfrågan. Av de erhållna resultaten framgår att skillnaderna mellan beräkningssätten är försumbara. Däremot ger alternativet med beräkning av efterfrågans standardavvikelse under ledtid med utgångspunkt från standardavvikelse per dag betydligt mindre variationer i beräknade standardavvikelser än vad övriga metoder ger. För att vara konkurrenskraftig är det inte bara väsentligt att ha en genomsnittligt hög servicenivå. Det är också viktigt att variationerna i servicenivå över tiden är så måttliga som möjligt. Eftersom variationer i beräknade standardavvikelser leder till variationer i servicenivåer är slutsatsen av den genomförda studien att företag bör övergå till att beräkna efterfrågans standardavvikelse under ledtid med utgångspunkt från efterfrågans 7

standardavvikelse per dag i stället för från efterfrågans standardavvikelse per månad eller direkt från serier av ledtidsefterfrågan. Referenser Brown, R. (1967) Decision rules for inventory management. Holt, Rinehart and Winston. Flagan, M. (1984) Determination of safety stock: A practical approach. APICS s Conference Proceedings, Production & Inventory Control and Planning, sid 84-88. Hax, A. Candea, D. (1984) Production and inventory management. Prentice-Hall. Mattsson, S-A. (2004) Standardavvikelse som mått på efterfrågevariationer vid säkerhetslagerberäkning. Working paper. Institutionen för Teknisk ekonomi och logistik, Lunds Tekniska Högskola. Mattsson, S-A. (2006) Säkerhetslagrets andel av beställningspunkten som funktion av ledtid. Working paper. Institutionen för Teknisk ekonomi och logistik, Lunds Tekniska Högskola. Silver, E. Peterson, R. (1985) Decision systems for inventory management and production planning. John Wiley & Sons. 8