Programkonstruktion och datastrukturer. Moment 6 Om generella datastrukturer och träd. PKD 2012/13 moment 6 Sida 1 Uppdaterad

Programkonstruktion och datastrukturer Moment 6 Om generella datastrukturer och träd PKD 2012/13 moment 6 Sida 1 Uppdaterad 2012-12-05

Tabeller En viktig tillämpning är tabellen att ifrån en nyckel kunna ta fram ett tabellvärde. Ett typiskt exempel är en telefonkatalog: Avdelningen för datalogi Bol, Roland, universitetslektor, 7606 Eriksson, Lars-Henrik, universitetslektor, 1057 Flener, Pierre, universitetslektor, 1028 Åman Pohjola, Johannes, doktorand, 1030 nyckel värde PKD 2012/13 moment 6 Sida 2 Uppdaterad 2012-12-05

Implementering av tabellen En tabell implementeras naturligen som en lista: val datalogi = [("Bol, Roland",("universitetslektor",7606)), ("Eriksson, Lars-Henrik", ("universitetslektor",1057)), ("Flener, Pierre",("professor i datalogi",1028)), ("Åman Pohjola, Johannes",("doktorand",1030))] : (string * (string*int)) list; nyckeltyp värdetyp Listans typ blir alltså (nyckeltyp*värdetyp) list En invariant är att varje nyckel förekommer högst en gång. PKD 2012/13 moment 6 Sida 3 Uppdaterad 2012-12-05

Operationer på tabellen Skapa en tom tabell (empty) Lägg in en uppgift i tabellen (insert) Kontrollera om en nyckel finns i en tabell (exists) Hämta ett värde från tabellen (search) Tag bort en uppgift från tabellen (delete) (Fler operationer är tänkbara, vi kommer att diskutera några till, men nöjer oss med dessa just nu.) Exempel: search(datalogi, "Bol, Roland") = ("universitetslektor",7606) exists(datalogi, "Anka, Kalle") = false PKD 2012/13 moment 6 Sida 4 Uppdaterad 2012-12-05

Tabellprogrammet exists (* exists(t,k) TYPE: (''a*'b) list * ''a -> bool PRE: T är en korrekt tabell. POST: true om nyckeln k finns i tabellen T, false annars. *) (* VARIANT: längden hos T *) fun exists([], _) = false exists((key',value)::rest,key) = key = key' orelse exists(rest,key); PKD 2012/13 moment 6 Sida 5 Uppdaterad 2012-12-05

Tabellprogrammet search (* search(t,k) TYPE: (''a*'b) list * ''a -> 'b PRE: T är en korrekt tabell. Nyckeln k finns i tabellen T. POST: Värdet som hör ihop med nyckeln k i tabellen T. *) (* VARIANT: längden hos T *) fun search((key',value)::rest,key) = if key = key' then value else search(rest,key); Var är basfallet i rekursionen? PKD 2012/13 moment 6 Sida 6 Uppdaterad 2012-12-05

Tabellprogrammet empty, insert val empty = []; (* insert(t,k,v) TYPE: (''a*'b) list * ''a * 'b -> (''a*'b) list PRE: T är en korrekt tabell. POST: Tabellen T uppdaterad med värdet v för nyckeln k *) (* VARIANT: längden av T *) fun insert([], key, value) = [(key,value)] insert((key',value')::rest, key, value) = if key = key' then (key,value)::rest else (key',value')::insert(rest,key,value); Observera att insert respekterar datastrukturinvarianten att varje nyckel förekommer högst en gång i tabellen. PKD 2012/13 moment 6 Sida 7 Uppdaterad 2012-12-05

Tabellprogrammet delete (* delete(t,k) TYPE: (''a*'b) list * ''a -> (''a*'b) list PRE: T är en korrekt tabell. POST: Tabellen T med uppgiften om nyckeln k borttagen *) * VARIANT: längden av table *) fun delete([], key) = [] delete((key',value)::rest, key) = if key = key' then rest else (key',value)::delete(rest, key); Observera att även delete respekterar datastrukturinvarianten. PKD 2012/13 moment 6 Sida 8 Uppdaterad 2012-12-05

Tabelltyper Observera att tabellfunktionerna alla blir polymorfa: empty : (''a*'b) list search : (''a*'b) list * ''a -> 'b exists : (''a*'b) list * ''a -> bool insert : (''a*'b) list * ''a * 'b -> (''a*'b) list delete : (''a*'b) list * ''a -> (''a*'b) list Anledningen är att programmet aldrig utför någon operation på nycklar eller värden (bara likhetsjämförelser på nycklar) och därför inte bryr sig om vilka typer dessa har. Tabellerna får alltså typer på formen (''a*'b) list. Exempeltabellen hade typen (string*(string*int)) list, vilket är en instans av den polymorfa tabelltypen ovan. PKD 2012/13 moment 6 Sida 9 Uppdaterad 2012-12-05

Tabellkomplexitet En tabell med n nycklar representeras av en lista med n element. Värsta fallets tidskompexitet för search är Theta(n). Bästa fallet är Theta(1). För att slå i tabellen måste man i genomsnitt söka igenom halva listan dvs n/2 rekursiva anrop av search. Genomsnittsfallets tidskomplexitet är alltså också Theta(n). En lista med en miljon nycklar kräver i genomsnitt 500 000 anrop av lookup för att göra en tabellslagning. Detta är inte bra i praktiken. Samma resonemang gäller exists, insert och delete. Verkar det teoretiskt möjligt att implementera tabeller så att komplexiteten blir lägre? PKD 2012/13 moment 6 Sida 10 Uppdaterad 2012-12-05

Sammanblandning av representerade data I en tillämpning behöver man använda koder för veckodagar, t.ex. 1 måndag, 2 tisdag, etc. För att göra programmet mera lättläst och oberoende av de specifika koderna namnger man dem (definitionsabstraktion): val Mon = 1; (* Monday *) val Tue = 2; (* Tuesday *) val Wed = 3; (* Wednesday *) etc Koderna är nu tal och de går att räkna med (Wed*2), men de representerar egentligen veckodagar, som inte skall gå att räkna med. ML blir i praktiken otypat vad beträffar tal och veckodagar. PKD 2012/13 moment 6 Sida 11 Uppdaterad 2012-12-05

Vad definitionsabstraktion inte kan göra Felaktiga mönster: Hopblandning av data: (* weekend d (* overtimepay(d,x) TYPE: int->bool TYPE: int*int->int PRE: d är en korrekt dag PRE: d är en korrekt dag. POST: true om d är en POST: Timlönen veckodagen veckoslutsdag (lö/sö), d med hänsyn false annars *) till övertid om grundtimlönen är x. *) fun weekend Sat = true ajaj... weekend Sun = true ajaj... fun overtimepay(d,x) = weekend _ = false; ujuj... if weekend d then d * 2 ujuj... Felaktigt värde: weekend(8) ojoj... else x; Sat, Sun är identifierare vilka som helst de binds i mönster. PKD 2012/13 moment 6 Sida 12 Uppdaterad 2012-12-05

Uppräkningstyper datatype weekday = Mon Tue Wed Thu Fri Sat Sun; weekday blir en helt ny datatyp med de angivna värdena. (* weekend d (* overtimepay(d,x) TYPE: weekday->bool TYPE: weekday*int->int PRE: (inget) Obs! PRE: (inget) Obs! POST: true om d är en POST: Timlönen veckodagen veckoslutsdag (lö/sö), d med hänsyn false annars *) till övertid om grundtimlönen är x. *) fun weekend Sat = true Ok! weekend Sun = true Ok! fun overtimepay(d,x) = weekend _ = false; if weekend d then Felaktigt värde: d * 2 else Typfel! weekend(8) Typfel! x; Sat, Sun är värden som true, false de binds inte i mönster. PKD 2012/13 moment 6 Sida 13 Uppdaterad 2012-12-05

Konvertering av uppräkningstyper datatype weekday = Mon Tue Wed Thu Fri Sat Sun; ML definierar ingen speciell ordning av värdena i weekday. Inte heller finns något inbyggt sätt att omvandla dem till/från heltal som man t.ex. kan med tecken (ord, chr). Sådant får man göra själv... (* daynumber d (* numberday n TYPE: weekday->int TYPE: int->weekday PRE: (inget) PRE: 1 <= n <= 7 POST: ordningstalet POST: veckodagen med för veckodagen d *) ordningstal n *) fun daynumber Mon = 1 fun numberday 1 = Mon daynumber Tue = 2 numberday 2 = Tue daynumber Wed = 3 numberday 3 = Wed daynumber Thu = 4 numberday 4 = Thu daynumber Fri = 5 numberday 5 = Fri daynumber Sat = 6 numberday 6 = Sat daynumber Sun = 7; numberday 7 = Sun numberday _ = raise Domain; PKD 2012/13 moment 6 Sida 14 Uppdaterad 2012-12-05

Vissa inbyggda typer kan definieras datatype bool = true false; datatype unit = (); Dessa datatyper är fördefinierade i ML och kan inte definieras igen, men de fungerar som om de definierats på detta sätt. PKD 2012/13 moment 6 Sida 15 Uppdaterad 2012-12-05

Sammanblandning av representerade data Rationella tal (se exempel tidigare i kursen) har speciella egenskaper och borde ha en egen typ. Ex.vis. heltalsvektorer (punkter i rutnät eller matriser) representeras också naturligt som int*int-tupler likadant som rationella tal. Fastän datastrukturen är samma är egenskaperna helt annorlunda.t.ex. utförs addition av vektorer komponentvis (1,2) + (1,3) = (2,5). 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 ML-program blir i praktiken otypade beträffande dessa sorters data. Risk för sammanblanding: addition av vektorer med qadd eller blandning av rationella tal och vektorer. PKD 2012/13 moment 6 Sida 16 Uppdaterad 2012-12-05

Konstruerade (taggade) typer Med deklarationen datatype kan man skapa nya typer som skiljer sig från alla andra: datatype intvec = Intvec of int*int; datatype rational = Q of int*int; intvec och rational är nu helt nya datatyper som båda innehåller en int*int-tupel men som har en etikett (tag) som skiljer dem åt. Värden av typen intvec skrivs föregångna av konstruktorn Intvec, t.ex. Intvec(1,2). Samma med rationella tal, t.ex. Q(1,2). Jämför konstruktorn :: som skapar en listcell. PKD 2012/13 moment 6 Sida 17 Uppdaterad 2012-12-05

Användning av konstruerade typer Man kan betrakta en värde av en konstruerad datatyp som ett kuvert med konstruktorn påskriven, i vilken man har stoppat ned de data som ingår i värdet. Q (1,2) Försök att blanda ihop en heltalsvektor och ett rationellt tal ger typfel eftersom ML kan se på konstruktorerna att de hör till olika typer. Intvec och Q har funktionstyper: Intvec:int*int->intvec Q:int*int->rational och ser ut och kan användas som funktioner men är inte funktioner i vanlig mening eftersom de inte utför någon beräkning. De skapar ett nytt värde på samma sätt som den infixa konstruktorn ::. PKD 2012/13 moment 6 Sida 18 Uppdaterad 2012-12-05

Användning av konstruerade typer För att komma åt delarna i ett värde av en konstruerad typ måste de tas ut ur kuvertet. För detta använder man matchning på liknande sätt som man matchar på listceller med ::. Nya värden av konstruerad typ kan skapas genom att ge uttryck som beräknas som argument till konstruktorn. (* qadd(x,y) TYPE: rational*rational->rational PRE: x och y skall vara korrekta rationella tal (dvs nämnaren skall vara 0). POST: Summan av x och y EX: qadd(q(1,2),q(1,3)) = Q(5,6) *) fun qadd(q(p1,q1),q(p2,q2)) = Q(p1*q2+p2*q1,q1*q2); PKD 2012/13 moment 6 Sida 19 Uppdaterad 2012-12-05

Typsystemet förhindrar sammanblandning > qadd(q(1,2),q(1,3)); val it = Q (5,6) : rational - qadd(intvec(1,2),intvec(1,3)); Error-Type error in function application. Function: qadd : rational * rational -> rational Argument: (Intvec(1,2),Intvec(1,3)):intvec*intvec Reason: Can't unify rational with intvec (Different type constructors) Found near qadd (Intvec (1, 2), Intvec (1,...)) PKD 2012/13 moment 6 Sida 20 Uppdaterad 2012-12-05

Alternativa former för konstruerade typer Formerna hos datatype-deklarationen för uppräkningstyper och konstruerade typen kan kombineras! datatype number = Int of int Real of real; Ett värde i number är antingen ett heltal med etiketten Int eller ett flyttal med etiketten Real. Tack vare att etiketten skiljer kan man alltid veta om det handlar om ett heltal eller ett flyttal. Användning: Om man vill ha värden med olika form (utseende). Om man vill ha funktioner som kan ha olika typer som argument eller värde. (Namnet Int ovan är valt av mig för att vara likt int, men det finns ingen koppling mellan dem i ML. Samma gäller Real och real.) PKD 2012/13 moment 6 Sida 21 Uppdaterad 2012-12-05

Kombinerade typer Typen number kan innehålla ett heltal eller ett flyttal. Vid addition av number konverteras termerna automatiskt till flyttal om det behövs. (* toreal n TYPE: number -> number POST: Talet n konverterat till flyttal EX: toreal (Int 30) = Real 30.0 *) fun toreal (Real r) = Real r toreal (Int i) = Real (real i); (* addnumbers(x,y) TYPE: number*number->number POST: summan av x och y, heltal konverteras till flyttal om det behövs. EX: addnumbers(int 30, Real 2.0) = Real 32.0 *) fun addnumbers(int x, Int y) = Int (x+y) addnumbers(x,y) = let val Real xr = toreal x; val Real yr = toreal y in Real (xr+yr) end; PKD 2012/13 moment 6 Sida 22 Uppdaterad 2012-12-05

Exempel: Representation av fordon Vi definierar en datatyp för att beskriva olika fordon. Vi anger för: bilar: reg.beteckning, färg och motorstyrka cyklar: färg och hjuldiameter skateboard: färg datatype vehicle = Car of string*string*int Bicycle of string*int Skateboard of string; Olika värden av typen vehicle: Car("XYZ123","green",100) Bicycle("red",26) Skateboard "silver" PKD 2012/13 moment 6 Sida 23 Uppdaterad 2012-12-05

Exempel: räkna fordon av viss färg (* vehiclecolour vehicle TYPE: vehicle->string POST: Färgen hos vehicle. EX: vehiclecolour(bicycle("green",24)) = "green" *) fun vehiclecolour (Car(_,colour,_)) = colour vehiclecolour (Bicycle(colour,_)) = colour vehiclecolour (Skateboard colour) = colour; (* countcolourvehicles(colour,vehicles) TYPE: string*vehicle list->int POST: antal fordon i vehicles med färgen colour. EX: countcolourvehicles("green", [Car("XYZ123","green",100),Skateboard "silver", Bicycle("green",24)]) = 2 *) (* VARIANT: length vehicles *) fun countcolourvehicles(_,[]) = 0 countcolourvehicles(colour,vehicle::rest) = (if vehiclecolour vehicle = colour then 1 else 0)+ countcolourvehicles(colour,rest); PKD 2012/13 moment 6 Sida 24 Uppdaterad 2012-12-05

Intern dokumentation av datatyper Inte bara funktioner utan också konstruerade datatyper behöver dokumenteras. Varje datatype skall förses med en kommentar liknande en funktionsspecifikation som har två delar: En beskrivning av hur data är representerat Datastrukturinvarianten datatype rational = Q of int*int; (* REPRESENTATION CONVENTION: Ett rationellt tal representeras som Q(t,n) där t är täljaren och n är nämnaren. REPRESENTATION INVARIANT: Nämnaren får inte vara 0. *) PKD 2012/13 moment 6 Sida 25 Uppdaterad 2012-12-05

Polymorfa datatyper En eller flera komponentdatatyper i en konstruerad datatyp kan vara en typvariabel: datatype 'a option = NONE SOME of 'a option blir här en typkonstruktor precis som list och vector. Instansen int option är en typ med två slags värden: Konstanten NONE. Ett heltal taggat med konstruktorn SOME. Exempel på värden av typen int option: NONE, SOME 4, SOME ~2, SOME 0 Exempel på värden av typen string option: NONE, SOME "Hej", SOME "", SOME "ABC" PKD 2012/13 moment 6 Sida 26 Uppdaterad 2012-12-05

Användning av option option är en inbyggd typkonstruktor i ML. Den används t.ex. när man vill ha ett bättre sätt att hantera felsituationer i programmet än att avbryta körningen eller göra något odefinierat. (* sumuptoopt n Type: int->int option Post: SOME s, där s är summan av talen 0...n om n>=0. NONE annars. Ex: sumuptoopt 4 = SOME 10, sumuptoopt ~2 = NONE *) (* Variant: n *) fun sumuptoopt n = if n < 0 then NONE else if n = 0 then SOME 0 else SOME(n+valOf(sumUpToOpt(n-1))); Förvillkor saknas jämför med defensiva sumupto i kursmoment 4! (valof är en inbyggd funktion i ML: fun valof(some x) = x) PKD 2012/13 moment 6 Sida 27 Uppdaterad 2012-12-05

En annan användning av option (* safesearch(t,k) TYPE: (''a*'b) list * ''a -> 'b option PRE: T är en korrekt tabell. POST: SOME av värdet som hör ihop med nyckeln k i tabellen T om ett nyckeln finns i T NONE annars. *) (* VARIANT: längden hos T *) fun safesearch([], _) = NONE safesearch((key',value)::rest,key) = if key = key' then SOME value else safesearch(rest,key); Notera förvillkoret! PKD 2012/13 moment 6 Sida 28 Uppdaterad 2012-12-05

Rekursiva typer Komponenterna i en konstruerad datatyps värde får höra till datatypen själv! (En rekursiv typ.) En listcell head tail cons-cell kan definieras som en konstruerad datatyp som innehåller en tupel med två komponenter för head resp. tail: datatype 'a list = [] :: of 'a*'a list; Listor i ML fungerar exakt som om de var definierade med denna deklaration. (Man kan inte göra om deklarationen för att prova ML tillåter inte att man gör en ny deklaration av listor.) PKD 2012/13 moment 6 Sida 29 Uppdaterad 2012-12-05

Träd Listor kan representera data med linjär struktur t.ex. förteckningar och sekvenser. Ofta har dock data trädstruktur, t.ex. i ett släktträd: delträd rot gren noder Mattias Annika Lars-Henrik Yvonne Karl-Gustaf Birgit Sverker Detta är ett binärt träd varje nod har maximalt två grenar. Löv är noder som saknar grenar. Roten är trädets början. Djupet hos en nod är avståndet till roten. löv Martin PKD 2012/13 moment 6 Sida 30 Uppdaterad 2012-12-05

Hur representera ett träd? (Dålig lösning) Varje nod läggs i en lista tillsammans med delträdens rotnoder: [("Mattias","Annika","Lars-Henrik"), ("Annika", "Yvonne", "Karl-Gustaf"), ("Yvonne", "", ""), ("Karl-Gustaf", "", ""), ("Lars-Henrik", "Birgit", "Sverker"), ("Sverker", "", "Martin"), ("Birgit", "", ""), ("Martin", "", "")] : (string*string*string) list + Enkel representation Navigering i trädet kräver sökning i listan. Hur hitta farfar? Vilken nod är rotnoden? Uppdatering av trädet kräver också sökning. Denna representation är inte bra i praktiken! PKD 2012/13 moment 6 Sida 31 Uppdaterad 2012-12-05

Träddatatyper Binära träd kan representeras direkt i ML som en rekursiv datatyp! datatype familytree = Empty Person of string*familytree*familytree; Mattias Annika Lars-Henrik Yvonne Karl-Gustaf Birgit Sverker Martin Person("Mattias", Person("Annika",Person("Yvonne",Empty,Empty), Person("Karl-Gustaf",Empty,Empty)), Person("Lars-Henrik",Person("Birgit",Empty,Empty), Person("Sverker",Empty, Person("Martin", Empty,Empty)))) PKD 2012/13 moment 6 Sida 32 Uppdaterad 2012-12-05

Enkel navigering (* farfar t TYPE: familytree -> familytree PRE: Det finns en farfader till rotnoden i t. POST: Delträdet till t där farfadern är rotnod. EX: farfar (Person("Mattias",..., Person("Lars-Henrik",..., Person("Sverker",...,...)))) = Person("Sverker",...,...) *) fun farfar(person(_,_,person(_,_,ff))) = ff; PKD 2012/13 moment 6 Sida 33 Uppdaterad 2012-12-05

Rekursion över träd Rekursion över träd är normalt dubbel rekursion man måste göra rekursion över båda grenarna från en given nod. (* countpersons t TYPE: familytree -> int PRE: (inget) POST: Antal personer i trädet t EX: countpersons( Person("Ronja",Person("Lovis",Empty,Empty), Person("Mattis",Empty,Empty))) = 3 *) (* VARIANT: Antal noder i trädet t *) fun countpersons Empty = 0 countpersons(person(_,left,right)) = 1 + countpersons Left + countpersons Right; PKD 2012/13 moment 6 Sida 34 Uppdaterad 2012-12-05

Rekursion över träd (forts.) fun countpersons Empty = 0 countpersons(person(_,left,right)) = 1 + countpersons Left + countpersons Right; countpersons(person("ronja",person("lovis",empty,e mpty), Person("Mattis",Empty,Empty))) > 1+countPersons(Person("Lovis",Empty,Empty)+ countpersons(person("mattis",empty,empty)) > 1+(1+countPersons Empty+countPersons Empty)+ countpersons(person("mattis",empty,empty)) > 1+(1+0+countPersons Empty)+ countpersons(person("mattis",empty,empty)) > 1+(1+countPersons Empty)+ countpersons(person("mattis",empty,empty)) > 1+(1+0)+countPersons > 2+countPersons(Person("Mattis",Empty,Empty)) > 2+(1+countPersons Empty+countPersons Empty) > 3 PKD 2012/13 moment 6 Sida 35 Uppdaterad 2012-12-05

Syntaxträd Strukturen hos en formel kan beskrivas med ett syntaxträd. 3+2*x-1 : + 1 datatype expr = Const of int Var of string Plus of expr*expr Minus of expr*expr Times of expr*expr Div of expr*expr; Minus(Plus(Const 3,Times(Const 2,Var "x")), Const 1) PKD 2012/13 moment 6 Sida 36 Uppdaterad 2012-12-05 3 2 * x

Beräkning av uttryck (* eval(expr,table) TYPE: expr*(string*int) list -> int PRE: Alla variabler i expr finns i table. Ingen division med 0 förekommer i expr. POST: Värdet av expr uträknat. Ex: eval(minus(plus(const 3, Times(Const 2,Var "x")), Const 1), insert([],"x",4)) = 10 *) (* VARIANT: Storleken hos expr. *) fun eval(const c,_) = c eval(var v, T) = search(t,v) eval(plus(e1,e2),t) = eval(e1,t) + eval(e2,t) eval(minus(e1,e2),t) = eval(e1,t) - eval(e2,t) eval(times(e1,e2),t) = eval(e1,t) * eval(e2,t) eval(div(e1,e2),t) = eval(e1,t)div eval(e2,t) PKD 2012/13 moment 6 Sida 37 Uppdaterad 2012-12-05

Beräkning av uttryck (forts.) eval(minus(plus(const 3,Times(Const 2,Var "x")),const 1),insert([],"x",4)) > eval(minus(plus(const 3,Times(Const 2,Var "x")),const 1),[("x",4)]) > eval(plus(const 3,Times(Const 2,Var "x"))),[("x",4)])-eval(const 1,[("x",4)]) > (eval(const 3,[("x",4)])+eval(Times(Const 2,Var "x"),[("x",4)]))-eval(const 1,[("x",4)]) > (3+eval(Times(Const 2,Var "x"),[("x",4)]))- eval(const 1) > (3+(eval(Const 2,[("x",4)])*eval(Var "x",[("x",4)])))-eval(const 1,[("x",4)]) > (3+(2*eval(Var "x",[("x",4)])))-eval(const 1,[("x",4)]) > (3+(2*search([("x",4)],"x")))-eval(Const 1,[("x",4)]) >... > (3+(2*4))-eval(Const 1,[("x",4)]) > (3+8)-eval(Const 1,[("x",4)]) > 11-eval(Const 1,[("x",4)]) > 11-1 > 10 PKD 2012/13 moment 6 Sida 38 Uppdaterad 2012-12-05

Teologiska fakulteten Hum.-Sam. vetenskapsområdet Juridiska fakulteten Allmänna träd Uppsala universitet... Språkvet. fakulteten Inst. för IT... Tek.-Nat. vetenskapsområdet Tek.-Nat. fakulteten Inst. för matematik... Inst. för teknikvet. datatype 'a tree = Tree of 'a*('a tree) list; 'a är typen för informationen i varje nod. PKD 2012/13 moment 6 Sida 39 Uppdaterad 2012-12-05

Exempel på träd datatype 'a tree = Tree of 'a*('a tree) list; Tree("Uppsala universitet", [Tree("Hum.-Sam. vetenskapsområdet", [Tree("Teologiska fakulteten",[]), Tree("Juridiska fakulteten",[]), Tree("Språkvet. fakulteten",[]),...]), Tree("Tek.-Nat. vetenskapsområdet", [Tree("Tek.-Nat. fakulteten"), [Tree("Inst. för IT",[]), Tree("Inst. för matematik",[]), Tree("Inst. för teknikvet.",[]),...])]),...]) : string tree PKD 2012/13 moment 6 Sida 40 Uppdaterad 2012-12-05

Minns ni analysen av summeringsproblemet? För att summera talen från 0 till n kan jag lösa det enklare problemet att summera från 0 till n-1 och sedan lägga till n! Om n=0 kan jag direkt säga att summan är 0. fun sumupto 0 = 0 sumupto n = sumupto(n-1) + n sumupto 3 > sumupto(3-1)+3 > sumupto 2+3 >(sumupto(2-1)+2)+3 > (sumupto 1+2)+3 > ((sumupto(1-1)+1)+2)+3 > ((sumupto 0+1)+2)+3 > ((0+1)+2)+3 > (1+2)+3 > 3+3 > 6 PKD 2012/13 moment 6 Sida 41 Uppdaterad 2012-12-05

En annan analys av summeringsproblemet Start. Låt summan vara 0. Är n=0? Ja. Stopp. Nej. Addera n till summan. Subtrahera 1 från n. Konstruktionen kallas för en loop. Här adderar vi det största talet först (n+...+0) och inte det minsta (0+...+n), men det ger samma resultat. (I detta fall!!) PKD 2012/13 moment 6 Sida 42 Uppdaterad 2012-12-05

Iteration i ML Basfall fun sumupto n = sumuptoaux(n,0) Rekursivt anrop fun sumuptoaux(0,sum) = sum sumuptoaux(n,sum) = sumuptoaux(n-1,sum+n) En hjälpfunktion sumuptoaux implementerar loopen. Tekniken kallas iteration (svansrekursion) och är ett specialfall av rekursion. Argumentet sum kallas för ackumulator. Obs att nya värden för n och sum beräknas samtidigt. sumupto 2 > sumuptoaux(2,0) > sumuptoaux(2-1,0+2) > sumuptoaux(1,2) > sumuptoaux(1-1,2+1) > sumuptoaux(0,3) > 3 PKD 2012/13 moment 6 Sida 43 Uppdaterad 2012-12-05

Bindningar i iteration fun sumuptoaux(0,sum) = sum sumuptoaux(n,sum) = sumuptoaux(n-1,sum+n) sumuptoaux(2,0) > sumuptoaux(n-1,sum+n)[n >2,sum >0] > sumuptoaux(2-1,sum+n)[n >2,sum >0] > sumuptoaux(1,sum+n) [n >2,sum >0] > sumuptoaux(1,0+n) [n >2,sum >0] > sumuptoaux(1,0+2) [n >2,sum >0] > sumuptoaux(1,2) [n >2,sum >0] > sumuptoaux(n-1,sum+n)[n >1,sum >2] [n >2,sum >0] skuggas bort helt > sumuptoaux(1-1,sum+n)[n >1,sum >2] > sumuptoaux(0,sum+n) [n >1,sum >2] > sumuptoaux(0,2+n) [n >1,sum >2] > sumuptoaux(0,2+1) [n >1,sum >2] > sumuptoaux(0,3) [n >1,sum >2] > 3 PKD 2012/13 moment 6 Sida 44 Uppdaterad 2012-12-05

Funktionsspecifikationen för sumuptoaux sumuptoaux(n,sum) Type: int*int->int För att rekursionen skall terminera krävs att n inte är mindre än 0: Pre: n>=0 Man kan inte kräva sum=0. Det gäller inte för de rekursiva anropen! Eftervillkoret är inte att sumuptoaux summerar talen 0 till n. Så är den avsedd att användas men det är inte vad den faktiskt gör. Post: Summan av sum och talen från 0 till n. Exempel behövs också... Ex.: sumuptoaux(3,0) = 6 sumuptoaux(4,5) = 15 sumuptoaux(0,2) = 2 Rekursionsvarianten anges som del av programdokumentationen. Variant: n PKD 2012/13 moment 6 Sida 45 Uppdaterad 2012-12-05

Minnesbehov Rekursion i allmänhet behöver minne i proportion till antalet rekursiva anrop eftersom en del av beräkningen väntar. sumupto 3 > sumupto(3-1)+3 > sumupto 2+3 >(sumupto(2-1)+2)+3 > (sumupto 1+2)+3 > ((sumupto(1-1)+1)+2)+3 > ((sumupto 0+1)+2)+3 > ((0+1)+2)+3 > (1+2)+3 > 3+3 > 6 Uttrycket blir hela tiden större... Programmet kan få slut på minne om de rekursiva anropen är många och/eller kräver mycket minne. PKD 2012/13 moment 6 Sida 46 Uppdaterad 2012-12-05

Minnesbehov vid iteration Iteration har konstant minnesåtgång. fun sumupto n = sumuptoaux(n,0); fun sumuptoaux(0,sum) = sum sumuptoaux(n,sum) = sumuptoaux(n-1,sum+n) sumupto 3 > sumuptoaux(3,0) > sumuptoaux(3-1,0+3) > sumuptoaux(2,0) > sumuptoaux(2-1,3+2) > sumuptoaux(1,2) > sumuptoaux(1-1,5+1) > sumuptoaux(0,6) > 6 Minnet kan aldrig ta slut (inte pga rekursionen i alla fall). PKD 2012/13 moment 6 Sida 47 Uppdaterad 2012-12-05

Beräkningsordning i iteration fun foo [] = [] foo(first::rest) = first::foo rest; foo plockar isär en lista men sätter genast ihop den igen! foo [1,2,3,4] = [1,2,3,4] Vad händer om man gör samma sak iterativt? fun revaux([],ack) = ack revaux(first::rest,ack) = revaux(rest,first::ack); fun rev l = revaux(l,[]); Låt oss se rev [1,2,3,4] = [4,3,2,1] revaux gör beräkningen i omvänd ordning jämfört med foo! PKD 2012/13 moment 6 Sida 48 Uppdaterad 2012-12-05

Vänd på en lista (körexempel) fun revaux([],ack) = ack revaux(first::rest,ack) = revaux(rest,first::ack) fun rev l = revaux(l,[]) rev [1,2,3,4] > revaux([1,2,3,4],[]) > revaux([2,3,4],[1]) > revaux([3,4],[2,1]) > revaux([4],[3,2,1]) > revaux([],[4,3,2,1]) > [4,3,2,1] (rev är en inbyggd funktion i ML för att vända på listor.) PKD 2012/13 moment 6 Sida 49 Uppdaterad 2012-12-05

Kodningsmönster för iteration Flödesschema för funktionen foo: Kod för funktionen foo: Start. A. Ja. T? C. Stopp. Nej. B. fun foo x = fooaux A fun fooaux x = if T then C else fooaux B Iterativa program är i vissa fall de bästa, men i allmänhet blir programmen lättare att skriva och förstå med vanlig rekursion! PKD 2012/13 moment 6 Sida 50 Uppdaterad 2012-12-05

Ett mindre snyggt program (* notwins l TYPE: ''a list -> ''a list POST: l med alla följder av samma element ersatta av en enda förekomst. EX: notwins [1,2,2,3,4,4,4] = [1,2,3,4] *) (* VARIANT: length l *) fun notwins [] = [] notwins [x] = [x] notwins (first::rest) = if first = hd rest then notwins rest else first::notwins rest; Här skulle man vilja ha ett mönster som delar upp svansen av argumentet ytterligare så att man inte behöver använda hd. PKD 2012/13 moment 6 Sida 51 Uppdaterad 2012-12-05

Ett till mindre snyggt program för samma sak (Samma funktionsspecifikation.) fun notwins [] = [] notwins [x] = [x] notwins (first::second::rest) = if first = second then notwins(second::rest) else first::notwins(second::rest); Svansen av argumentet är nu uppdelad i second och rest, men då måste man sätta ihop dem igen i de rekursiva anropen! PKD 2012/13 moment 6 Sida 52 Uppdaterad 2012-12-05

Mönstret as Med konstruktionen as kan man både binda en datastruktur och matcha den mot ytterligare mönster. fun notwins [] = [] notwins [x] = [x] notwins (first::(rest as second::_)) = if first = second then notwins rest else first::notwins rest; I tredje klausulen kommer svansen på argumentet dels bindas till rest. dels matchas vidare mot mönstret second::_ Då behöver man varken använda hd eller sätta ihop det man redan tagit isär. PKD 2012/13 moment 6 Sida 53 Uppdaterad 2012-12-05