Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del : 5 uppgifter) Tentamensdatum 08-08-8 Poäng totalt för del : 0 uppgifter) Skrivtid 9.00 4.00 Lärare: Niklas Grip, Adam Jonsson Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: 090-49 9 48 Examinator: Jesper Martinsson Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om flerdimensionella fördelningar Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen del ), som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas så finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs minst 7 poäng på del. Svaren för del ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in även lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. OBS! Om inte det ifyllda svarsbladet lämnas in bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen del ), som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på del samt minst poäng på del. För betyg 5 krävs godkänt på del samt minst poäng på del. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på del av tentamen med poäng från del. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8. Låt A och B vara två disjunkta händelser med sannolikheter P A) = 0, och P B) = 0,7. Bestämd den betingade sannolikheten P A B). p). LTU-studenten Lisa läser en kurs med tre problemseminarier. Vid varje seminarietillfälle lottas sex stycken studenter ut, vilka får redovisa sin lösning på var sitt i förhand utdelat problem. Lisa konstaterar efteråt att sannolikheten att behöva redovisa sin lösning på en uppgift var 6 5, 6 4 och 6 0 vid seminarie, respektive. Betrakta detta som sannolikheterna för tre oberoende händelser. Vad blir då sannolikheten att Lisa får redovisa sin lösning på en utdelad uppgift vid högst ett av de tre problemseminarierna? p). LTU-studenten Lasse deltar i en frågesport där man får + poäng för varje korrekt svar och - poäng för varje felaktigt svar eller för inget svar). Totala antalet poäng kan alltså bli negativt. Från tidigare omgångar bedömer han att att han i genomsnitt ger rätt svar på 60 % av frågorna. Betrakta poängtilldelningen på olika frågor som oberoende slumpvariabler och räkna ut sannolikheten att Lasse efter 0 besvarade frågor har minst 4 poäng. p) 4. Slumpvariablerna ξ, ξ och ξ är oberoende, där ξ R0, 0), ξ N6, ) och där ξ Exp). Bestäm väntevärde och standardavvikelse för slumpvariabeln ξ = ξ + ξ + ξ. p) 5. Slumpvariabeln ξ har en kontinuerlig fördelning med fördelningsfunktion 0, om x, F x) = x+, om x,, om x >. a) Bestäm sannolikheten P 0 < ξ ). p) b) Bestäm medianen i fördelningen för ξ. p) c) Bestäm väntevärdet Eξ). p) 6. För en viss typ av elektroniska komponenter är livslängden exponentialfördelad med genomsnittlig livslängd 00 veckor. Man har 00 sådana komponenter i en låda, och en apparat som bara behöver en fungerande komponent. Varje gång en sådan komponent går sönder så byter man omedelbart till en ny från lådan. Antag att livslängden för de olika komponenterna är statistiskt oberoende. Räkna ut sannolikheten att sammanlagda livslängden för alla de 00 komponeneterna blir högst 000 veckor. p) 7. I ett laboratorium finns två olika maskiner för torsionsprov på stålvajrar. Man vill undersöka om det finns någon skillnad mellan mätresultat från de två maskinerna. Fem vajrar av olika typer delas därför i två likadana bitar som testas i var sin maskin. Detta ger följande resultat Typ av vajer 4 5 Maskin A 7 5 8 8 40 Maskin B 5 4 9 6 7 )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 Mätresultat för olika vajertyper betraktas som oberoende normalfördelade variabler. Beräkna ett 95 % konfidensintervall för den genomsnittliga skillnaden mellan mätresultaten från de två maskinerna det vill säga Maskin A) Maskin B)). Ange intervallets övre gräns =höger ändpunkt) i svarsbladet. p) 8. En läkare vill undersöka om svenska kvinnor har större underarmsmått på den dominanta sidan till exempel höger sida för högerhänta) eller om måttet på höger och vänster sida i genomsnitt är detsamma. Han har tillgång till en undersökning på 0 kvinnor där man inte noterat de faktiska mätvärdena, utan endast angivit med + när personens dominanata mått var större och - annars. Resultaten sammanfattas i följande tabell: Kvinna nr 4 5 6 7 8 9 0 Mätning + + - + + - - + + + Läkaren förutsätter att mätvärdena för olika kvinnor är oberoende och väljer att använda ξ = antal plustecken för att testa hypoteserna H 0 : ingen genomsnittlig skilllnad, H : genomsnittlig skillnad finns. Han väljer beslutsregeln Förkasta H 0 om antalet plustecken är högst eller minst 9. Vilken signifikansnivå har den beslutsregeln? p) 9. Antag att x, x,..., x 5 är ett observerat stickprov från Nµ, ). För att testa H 0 : µ = 5 mot H : µ 5 på 5 % signifikansnivå har man beslutat sig för att använda testvariabeln och beslutsregeln där k är en konstant. z = x 5 / 5 Förkasta H 0 om z k Din uppgift är att bestämma värdet på k och tillämpa testet för följande datamaterial: i 4 5 x i,6,8 5,9, 0,6 På denna uppgift ska du på svarsbladet ange värde på k och svar på frågan om H 0 ska förkastas: JA om H 0 ska förkastas och NEJ om H 0 inte ska förkastas. p) 0. Två personer kommer överens om att träffas på ett fik någon gång mellan :00 och :00 och vänta på den andra i exakt 0 minuter men inte längre än till klockan :00. Båda anländer oberoende av varandra någon gång mellan tolv och ett som planerat. Vad är sannolikheten att de träffas? p) )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8. För universitetskursen i Uppgift var man intresserad av den simultana fördelningen för en students resultat på seminarier och tenta. Låt ξ tenta beteckna resultat på tenta, där ξ tenta är om tentan godkänns och 0 annars. Låt ξ sem beteckna resultat på seminarier, där ξ sem är om man närvarat på alla seminarier och 0 annars. Av erfarenhet vet man att den simultana sannolikhetsfunktionen px tenta, x sem ) för ξ tenta och ξ sem kan beskrivas enligt följande tabell. x tenta x sem 0 0 0,0 0,0 0,5 0,5 där Nej är kodat som 0 och Ja som. a) Givet att en student inte deltagit på problemseminarierna, vad är sannolikheten att studenten klarar tentamen? p) b) Bestäm korrelationen mellan att klara tentamen och delta på alla seminarierna. p) Slut på del. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 4 )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 Tabell för svar till del Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Sannolikheter anges som ett tal mellan 0 och i decimalform om inte annat anges. Fråga Svar Poäng Sannolikhet exakt) Sannolikhet tre decimaler) Sannolikhet fyra decimaler) 4 Väntevärde exakt) Standardavvikelse två decimaler) 5 a Sannolikhet exakt eller tre decimaler) b c Median exakt) Väntevärde exakt) 6 Sannolikhet fyra decimaler) 7 Övre gräns tre decimaler) 8 Signifikansnivå tre decimaler) 9 Värde på k fyra decimaler) JA =förkasta H 0 ) eller NEJ 0 Sannolikhet exakt eller fyra decimaler) a Sannolikhet exakt eller två decimaler) b Korrelation fyra decimaler) 0 0,89 0,8 9, 0, = 0,5 = 0,5 0,84 [ 0,48;,8] 0,0 k =,9600 NEJ 5 9 0,5556 0,40 0,0090 Totalt antal poäng 5 5 )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 Till uppgifterna på del krävs fullständiga lösningar.. Fortsättning på problem nummer : a) Låt ξ i = { om Lisa får redovisa på seminarie nummer i, 0 om Lisa inte får redovisa på seminarie nummer i. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för ξ. b) Låt ξ = antal uppgifter som Lisa totalt får redovisa under de tre seminarierna. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för ξ. 0p). Fem stolar står runt ett cirkulärt bord. Fem personer A E sätter sig slumpmässigt på stolarna. Vad är sannolikheten att A och B hamnar bredvid varandra? 0 p) 4. En synål med längd a tappas på ett furugolv med plankbredd b. Man kan ange nålens läge relativt närmaste skarvarna mellan plankor med avståndet x och vinkeln y i principskissen nedan, där 0 x b och π y π. a) Om x,y ses som observerade stickprov av stokastiska variabler ξ, η, vad är då rimliga antaganden om dessa variabler gällande fördelning och eventuellt beroende? p) b) Ange den simultana frekvensfunktionen för ξ, η). p) c) Antag att a < b och räkna ut sannolikheten att nålen ligger helt på plankan, det vill säga att den ej nuddar eller korsar någon av skarvarna. 7 p) skarv mellan plankor x synål y a/ a/ b skarv mellan plankor 6 )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 Lösningsförslag Det som följer är bara lösningsförslag. Det finns som regel flera olika sätt att lösa en uppgift, så det är inget måste att följa dessa lösningsförslag om man tycker att en annan lösning känns enklare eller mer naturlig och den ger samma svar.. P A B) = P A B) Svar: 0 P B) = 0 P B) = 0.. Låt A,B,C vara händelserna att Lisa får redovisa en lösning på seminarium, respektive. Sannolikheten att hon får redovisa sin lösning på en uppgift vid högst ett av problemseminarierna är då P A C B C C C ) A B C C C ) A C B C C ) A C B C C)) = P A C B C C C ) + P A B C C C ) + P A C B C C ) + P A C B C C) = 9 8 4 5 4 0 + 6 8 4 5 4 0 + 9 6 4 5 4 0 + 9 8 6 5 4 0 = 0,89. Svar: 0,89. Minst 4 poäng motsvarar att han svarar rätt på minst 7 frågor av 0. Låt ξ vara antalet korrekt besvarade frågor. Då är ξ Bin0; 0,6) och ) ) ) ) 0 0 0 0 P ξ 7) = 0,6 7 0,4 + 0,6 8 0,4 + 0,6 9 0,4 + 0,6 0 0,4 0 7 8 9 0 0,8. Alternativt kan tabellen i läroboken användas, men för sannolikhet 0,6 behöver vi då även en variabel η Bin0; 0,4): P ξ 7) = P ξ 6) = P η 4) = P η ) 0,8. Svar: 0,8 4. För ξ R0, 0), ξ N6, ) och ξ Exp) är den sökta summan ξ def = ξ + ξ + ξ. Från formelbladet fås att Eξ ) = 0 + 0 = 5, Eξ ) =6, Eξ ) =, 0 0) V ξ ) = = 75, V ξ ) =9, V ξ ) =. Detta ger att Eξ) = 5 + 6 + = och σ = 75 + 9 + = 85 9,. Svar: Väntevärde och standardavvikelse 9,. 7 )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 5. a) P 0 < ξ ) = F ) F 0) = =. Svar: / 0, b) Medianen är ett tal m sådant att Svar: m = 0,5 c) För frekvensfunktionen så blir väntevärdet Eξ) = fx) = F x) = xfx) dx = 0,5 = F m) = m +,5 =m + m =0,5. {, om x 0, annars, x dx = [ x ] = 4 ) =. Väntevärdet kan alternativt fås från formelblad för rektangelfördelning.) Svar: / = 0,5 p) 6. Låt ξ k vara livslängden antal veckor) för komponent nummer k med k =,,..., 00. Enligt formelbladet så gäller att ξ k Expλ) med λ = Eξ k ) = 0,0 och σ k def = V ξ k ) = λ = 00. För ξ def = 00 k= ξ k så ger centrala gränsvärdessatsen approximationen ξ N00 00, 00 00) = N0 000, 000) och ξ 0 000 P ξ 000) = P 000 Svar: 0,84 ) 000 0 000 = Φ) 0,84. 000 7. Då det är olika vajrar så är det metoden för stickprov i par som skall användas. Låt ζ k vara differensvärderna för Maskin A Maskin B. Observerat stickprov blir k 4 5 z k - Med formler från formelbladet fås stickprovets medelvärde och standardavvikelse till z =,4 och s =, För α = 0,95 = 0,05 så blir det sökta konfidensintervallet I = s [z a,z + a] för a = t α/ 4) 5 =,776, 5 Svar: Avrundning utåt ger I = [ 0,48;,8]. 8 )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 8. Om H 0 är sann så är det 50 % sannolikhet att en slumpvis vald kvinna har större mått på dominant sida. Eftesom de 0 måtten i stickprovet antas vara oberoende så följer att ξ Bin0; 0,5) då H 0 är sann. Signifikansnivån är då α =P H 0 förkastas H 0 sann) =P ξ eller ξ 9 ξ Bin0; 0,5)) =P ξ ξ Bin0; 0,5)) + P ξ 9 ξ Bin0; 0,5)) =P ξ ξ Bin0; 0,5)) + P ξ 8 ξ Bin0; 0,5)) 0,007 + 0,989 = 0,04 Alternativt, utan tabell och med 0,5 k 0,5 0 k = 0,5 0 : Svar: 0,0 α =P ξ eller ξ 9 ξ Bin0; 0,5)) ) ) ) )) 0 0 0 0 = + + + 0,5 0 0,05. 0 9 0 9. Om H 0 är sann så är z en observation från N0, ). För att få ett test med 5 % signifikansnivå så skall H 0 förkastas om z λ 0,05 eller z λ 0,05, det vill säga om z k = λ 0,05,9600. För det givna datamaterialet har vi x =,44 och z,744, så H 0 skall inte förkastas. Svar: k,9600 och NEJ, H 0 förkastas ej. 0. Då inget annat anges måste vi anta att ingen ankomsttid är mer trolig än någon annan. De två personernas ankomsttid mätt i antal timmar efter klockan tolv) har då rektangelfördelning ξ, ξ R0, ). Eftersom variablerna är oberoende så har de simultana frekvensfunktionen { om x, x [0,], fx,x ) = 0 annars. I figuren nedan begränsas det röda området av linjerna L : x = x + och L : x = x. x L x - x < L x 9 )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 Det röda området motsvarar alltså händelsen att de två personerna anländer inom 0 min = h efter varandra. Det röda områdets area ger därmed sannolikheten att de båda träfffas: P personerna träffas) =P ξ ξ < ) = fx,x ) dx dx Svar: 5 9 0,5556 = röda området = 4 9 = 5 9.. I följande tabell ges den marginaliserade sannolikhetsfunktionen för deltagande i problemseminarier i högra kolumnen. På nedersta raden anges den marginaliserade sannolikhetsfunktionen för godkänd tentamen. a) x tenta x sem 0 Radsumma 0 0,0 0,0 0,50 0,5 0,5 0,50 Kolumnsumma 0,55 0,45 P klarar tentamen inte deltagit på alla seminarier) Svar: 0,40 b) Vi har här = P ξ tenta = ξ sem = 0) = P ξ tenta =, ξ sem = 0) P ξ sem = 0) = 0,0 0,50 = 0,40. Eξ tenta ) def = 0 0,55 + 0,45 = 0,45, σ ξ tenta def = V ξ tenta ) = 0 0,45) 0,55 + 0,45) 0,45 = 0,475, Eξ sem ) def = 0 0,5 + 0,5 = 0,5, σ ξ sem def = V ξ sem ) = 0 0,5) 0,5 + 0,5) 0,5 = 0,5, covξ tenta, ξ sem ) def = E ξ tenta 0,5)ξ sem 0,45)) och = 0,5) 0,45) 0, + 0,5 0,45) 0, =0,05 ρξ tenta, ξ sem ) def = covξ tenta, ξ sem ) σ ξtenta σ ξsem = Svar: 0,0090 + 0,5) 0,55 0,5 + 0,5 0,55 0,5 0,05 0,475 0,5 0,0090. 0 )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 Lösningsförslag Del. a) För i =,, har vi { om Lisa får redovisa på seminarie nummer i, ξ i = 0 om Lisa inte får redovisa på seminarie nummer i. Detta ger väntevärden 6 Eξ ) = 0 P ξ = 0) + P ξ = ) = 5, 6 Eξ ) = 0 P ξ = 0) + P ξ = ) = 4, Eξ ) = 0 P ξ = 0) + P ξ = ) = Motsvarande varianser blir V ξ ) = V ξ ) = V ξ ) = 0 6 5) P ξ = 0) + 6 = 5 ) 9 5 + ) 9 6 5 0 6 4) P ξ = 0) + 6 = 4 = ) 8 4 + ) 8 6 4 0 6 0) P ξ = 0) + ) 6 4 0 0 + 6 0. 6 5) P ξ = ) 5 = 0,84, 6 4) P ξ = ) 4 = 0,875, ) 4 6 0 0 = 0,. 6 0) P ξ = ) Svar: Eξ ) = 6 5 = 0,4 och σ = 0,84 0,47 b) Använd att ξ = ξ + ξ + ξ, och att dessa tre variabler enligt uppgiftstexten i uppgift ) är oberoende. Eξ) = Eξ + ξ + ξ ) = Eξ ) + Eξ ) + Eξ ) = 6 5 + 6 4 + 6 0 = 0,79, V ξ) = V ξ + ξ + ξ ) = V ξ ) + V ξ ) + V ξ ) = 0,84 + 0,875 + 0, = 0,5799. σ = 0,5799 0,765. En alternativ beräkning av väntevärde och standardavvikelse Låt A,B,C vara händelserna att Lisa får redovisa en lösning på seminarium, respektive. Låt ξ vara totalla antalet uppgifter hon får redovisa under de tre seminarierna. Vi behöver först räkna ut sanno- )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8 likhetsfunktionen för ξ: P ξ = 0) = P A C B C C C ) = 9 5 8 4 4 0 = 0,99. P ξ = ) = P A B C C C ) A C B C C ) A C B C C)) = 6 5 8 4 4 0 + 9 5 6 4 4 0 + 9 5 8 4 6 0 = 0,4. P ξ = ) = P A C B C) A B C C) A B C C )) = 9 5 6 4 6 0 + 6 5 8 4 6 0 + 6 5 6 4 4 0 = 0,5. P ξ = ) = P A B C) = 6 5 6 4 4 0 = 0,08. Detta ger att Eξ) =0 0,99 + 0,4 + 0,5 + 0,08 = 0,79, V ξ) =0 0,79) 0,99 + 0,79) 0,4 + 0,79) 0,5 + 0,79) 0,08 =0,5799, σ = 0,5799 0,765. Ytterligare en alternativ beräkning av väntevärdet: Låt A,B,C vara händelserna att Lisa får redovisa en lösning på seminarium, respektive. Vi har då Eξ) = P A)+P B)+P C) = 6 5 + 6 4 + 6 = 0,4+0,5+0, = 0,79 0 eftersom P A)+ P B)+ P C)= P A B C C C )+P A B C C)+P A B C C )+P A B C)) + P A C B C C )+P A C B C)+P A B C C )+P A B C)) + P A C B C C)+P A C B C)+P A B C C)+P A B C)) = P A B C C C )+P A C B C C )+P A C B C C)) + P A B C C)+P A B C C )+P A C B C)) + P A B C) =0 P studenten får visa sin lösning för exakt noll uppgifter) + P studenten får visa sin lösning för exakt en uppgift) + P studenten får visa sin lösning för exakt två uppgifter) + P studenten får visa sin lösning för exakt tre uppgifter) =Eantal redovisade uppgifter)=eξ). )
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 08-08-8. För antal gynnsamma utfall kan man tänka sig att utplaceringen går till så att A först sätter sig vid en slumpvis vald stol, vilket kan göras på 5 olika sätt. Kvar finns fyra lediga stolar, varav två intill A, så det finns två gynnsamma sätt att placera ut B. För de tre återstående stolarna kan C, D och E utplaceras på = 6 olika sätt. Antalet gynnsamma utfall är alltså g = 5 6 = 60, och antalet möjliga utfall är på vanligt vis m = 5 4 = 0. Alltså sannolikhet g m = 60 0 =, det vill säga 50 % sannolikhet. Alternativt resonemang: A kommer att hamna på en av stolarna. Av övriga 4 som B kan hamna på med likformig fördelning) är det som är bredvid A, vilket ger sannolkihet g/m = /4 = /. 4. a) Oberoende variabler ξ R0,b) och η R π, π ). b) Eftersom variablerna är oberoende så blir simultana frekvensfunktionen { fx,y) = bπ, om 0 x b och π y π, 0, annars. c) Nålen ligger helt på plankan om det vill säga om x a cosy) 0 och x + a cosy) b, a cosy) x b a cosy). Sannolikheten för denna händelse fås genom att integrera fx,y) över motsvarande område i planet: P nål helt på plankan) = π π = bπ = bπ = bπ b a cosy) π π π fx,y) dx dy a cosy) b a cosy) a ) cosy) dy π b a cosy)) dy bπ a sin = a bπ a) = bπ bπ. π ) + a sin π )) )