Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-08-22 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Jourhavande lärare: Mykola Shykula Tel: 0920-493056 Examinator: Mykola Shykula Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om regressionsanalys Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen (del 1), som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas så finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs godkända webbuppgifter och minst 17 poäng på del 1. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. Om inte det ifyllda svarsbladet lämnas in bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen (del 2), som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på del 1 av tentamen med poäng på del 2. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (6)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1 2017-08-22 1. På en muntlig tenta finns det 20 examinationsfrågor varav 5 frågor anses vara lättare än de andra, så kallade vinstlott. Varje student som tenterar ska få en fråga. Det är 15 studenter som tenterar och de kommmer att på måfå dra en fråga i tur och ordning, en efter en och utan återlägning. Vad är sannolikheten att den andra studenten drar en vinstlott? 2. Låt sannolikheten att en skruvdragare är defekt vara 0.03. Vad är då sannolikheten att av 8 skruvdragare så är högst 1 skruvdragare defekt? 3. Slumpvariabeln ξ har sannolikhetsfunktionen x 0 1 2 3 4 P (ξ = x) 0.15 0.3? 0.1 0.02 Värdet på P (ξ = 2) har medvetet tagits bort från tabellen. a) Bestäm väntevärdet för ξ. (1p) b) Bestäm standardavvikelsen för ξ. 4. Antag att slumpvariablerna ξ 1 N(1, 1) och ξ 2 N(0, 1) är oberoende. Bestäm P (ξ 2 < ξ 1 ). 5. Slumpvariabeln ξ är exponentialfördelad. Väntevärdet för ξ är lika med 1. Bestäm medianen i fördelningen. 6. Antag att slumpvariablerna ξ 1,..., ξ 40 är oberoende och exponentialfördelade Exp(λ) med parameter λ = 1. Bestäm P ( 40 i=1 ξ i 48) med hjälp av en lämplig approximationsmetod. 7. På ett sjukhus där man skickar vissa av sina blodprover till två olika laboratorier för analys ville man utföra en undersökning för att testa om laboratorierna mäter likvärdigt. Vid undersökningen tog man ett enda blodprov på 6 ml från en enda patient och sände 3 ml var till de två laboratorierna, som vart och ett fick göra 8 oberoende mätningar på provet. Man antog att mätningarna på proven kan beskrivas som observationer på normalfördelade slumpvariabler. För att beräkna ett 95% konfidensintervall för, den genomsnittliga skillnaden mellan laboratorium 1 och laboratorium 2, valde man mellan (1): metoden för stickprov i par, (2): metoden för två stickprov och (3) ett teckenintervall. Vilket alternativ bör man välja: (1), (2) eller (3)? (1p) 8. Ett visst mätinstrument ger slumpmässiga fel. Mätfelen vid 16 upprepade mätningar kan betraktas som observationer x 1, x 2,..., x 16 från en normalfördelning N(µ, σ), där µ är okänd och σ = 1 (enhet: mm). Man vill veta om µ = 0, eller om instrumentet i genomsnitt ger ett mätfel som är större än noll. Man vill därför ha ett test av H 0 : µ = 0 mot H 1 : µ > 0. (a) Anna använder medelvärdet x som testvariabel och förkastar H 0 om x > c, där c är en konstant. Vilket värde på c gör att testet får 1% signifikansnivå? 2 (6)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1 2017-08-22 (b) Stefan avser att testa samma hypotes med en annan signifikansnivå. Hans beslutsregel är: Förkasta H 0 om x > 0.683. Beräkna styrkan för Stefans test i punkten µ = 0.9. 9. En forskargrupp vill testa H 0 mot H 1. Forskargruppen består av 8 personer. Var och en av dom tillämpar ett test med 10 % signifikansnivå och 75 % styrka. Testen baseras på ett stickprov som består av 10 observationer. Antag att H 0 är sann. Hur stor är sannolikheten att minst en av de åtta forskarna (felaktigt) drar slutsatsen att H 0 är falsk. 10. Vid en amerikansk undersökning studerades hur livslängden, Y, hos ett skärverktyg på en svarv kunde relateras till svarvens maxhastighet, X 1, och verktygstyp, X 2, där två olika verktygstyper A (X 2 = 0) och B (X 2 = 1) förekommer, samt samspelsvaribeln X 3 = X 1 X 2. Man tittade på 20 svarvar och observerade deras livslängd (enhet: timmar), maxhastighet (enhet: 100 varv per minut) samt verktygstyp. En linjär regressionsmodell användes. Minsta-kvadrat-skattningarna av regressionskoefficienterna samt deras skattade standardavvikelser blev: b 0 = 32.775 s b0 = 4.633 b 1 = 2.0970 s b1 = 0.6074 b 2 = 23.971 s b2 = 6.769 b 3 = 1.1944 s b3 = 0.8842 Residualkvadratsumman blev 140.98 och den totala kvadratsumman blev 1575.09 (a) Bestäm förklaringsgraden. (b) För svarvar av typ B (X 2 = 1), hur mycket förändras i genomsnitt livslängden om maxhastigheten minskar med 200 varv/minut? Ange en skattning. Svara även på frågan om livslängden kommer då att öka eller minska (med ett ord, dvs ÖKAR eller MINS- KAR)? (c) För att på 2% signifikansnivå avgöra om maxhastigheten har någon effekt på livslängden skall en t-kvot beräknas och sedan jämföras med ett visst tal. Vad är värdet på t-kvoten? Vilket tal ska t-kvoten jämföras med? För att avgöra om maxhastigheten har någon effekt på livslängden kan man också utgå från ett lämpligt P-värde. Är P-värdet i fråga större eller mindre än 2%? För 2 poäng på denna uppgift krävs rätt t-kvot, rätt tal som t- kvoten ska t-kvoten jämföras med, samt rätt svar (STÖRRE eller MINDRE). (1p) Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 3 (6)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1 2017-08-22 Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Sannolikheter anges som ett tal mellan 0 och 1 i decimalform om inte annat anges. Fråga Svar Poäng 1 Sannolikhet (två decimaler) 2 2 Sannolikhet (tre decimaler) 2 3 a Väntevärde (två decimaler) 1 b Standardavvikelse (tre decimaler) 2 4 Sannolikhet (tre decimaler) 2 5 Median (tre decimaler) 2 6 Sannolikhet (fyra decimaler) 2 7 Metod: (1), (2) eller (3) 1 8 a Värde på c (fyra decimaler) 2 b Styrka (tre decimaler) 2 9 Sannolikhet (fyra decimaler) 2 10 a Förklaringsgrad (två decimaler) 1 b Skattning på förändring (två decimaler) ÖKAR eller MINSKAR 2 c värde på t-kvot (tre decimaler) t-kvot jämförs med (tre decimaler) MINDRE eller STÖRRE 2 Totalt antal poäng 25 4 (6)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2017-08-22 Till uppgifterna på del 2 krävs fullständiga lösningar. 11. Antag att ξ 1, ξ 2, ξ 3,..., ξ n är oberoende och har samma fördelning och att n är stort. I kursen har du lärt dig om centrala gränsvärdessatsen, som säger att summan ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 + ξ n är approximativt normalfördelad. Om man istället för summan betraktar produkten ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ n så gäller det inte längre att vi får normalfördelning. Istället får vi (approximativt) så kallad log-normalfördelning. En slumpvariabel ξ sägs ha log-normalfördelning om slumpvariabeln η = log(ξ) har en vanlig normalfördelning. Log-normalfördelningen dyker upp inom till exempel finansiell statistik. Dess frekvensfunktion visas i Figur 1. Din uppgift är att med utgångspunkt i centrala gränsvärdessatsen ge ett resonemang som förklarar varför produkten ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ n borde ha log-normalfördelning. Resonemanget behöver inte vara långt, men du ska använda slumpvariablerna ξ 1,..., ξ n och andra relevanta beteckningar. (10p) Figur 1: Frekvensfunktion för normalfördelning och log-normalfördelning 12. Vi fortsätter med Uppgift 1 från Del 1. Antag nu att det är N examinationsfrågor varav n är vinstlotter, N > n + 1. Vad är sannolikheten att den andra studenten drar en vinstlott? Vad är sannolikheten att den tredje studenten drar en vinstlott? (1p) (9p) Kommentera dina iakttagelser. Kan man dra en allmän slutsats? Utförliga beräkningar krävs för full poäng. 5 (6)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2017-08-22 13. Det är inte ovanligt att statistik används för att framställa olika förhållanden på ett fördelaktigt sätt. Detta gäller inte minst i diskussioner som rör förhållanden på arbetsmarknaden. Där kan man ibland höra uttalanden typ inom en tio-årsperiod kommer 25 % av dom anställda inom den här yrkeskategorin att gå i pension, då oftast för att påtala ett ovanligt (?) stort framtida rekryteringsbehov. (a) Låt ξ beteckna den tid som en slumpmässigt vald person i arbetsför ålder (25-65 år) har kvar till pension. Föreslå en lämplig stokastisk modell för ξ, dvs föreslå en lämplig fördelning, inklusive parametrarna i fördelningen. (b) Använd ditt svar i (a) för att kommentera påståendet ovan. Med andra ord, tycker du att det verkar som att en större andel än vad man skulle förvänta sig kommer att gå i pension inom 10 år? (5p) (5p) 6 (6)