7 Eponeniële en logarimische geallen ladzijde a De groeifacor per kwaraal is De groeifacor per jaar is 9 per half jaar is de groeifacor 0 en per maand is de groeifacor 0 c Toenamepercenage per jaar: ( 9 ) 00% 9% per half jaar : ( 0 ) 00% 0% en per maand: ( 0 ) 00% % n log d Dan moe en dus n 9 dus na maanden log Bank B is voordeliger wan per jaar heef ank B een ies hoger renepercenage omda 0 00 > 0 He kan eponenieel zijn omda seeds me dezelfde facor word vermenigvuldigd Bepaal eers he grondal g Deze is 9 per sappen van Per sap van is di 0 Dus g 0 He eginpun is e vinden door drie keer e delen door 0 Di geef 0 Een formule is N () 0 0 a De grafiek is sijgend di is e zien aan de groeifacor Deze is groer dan De asmpoo is 0 0000 000 000 000 000 O 0 c De eace oplossing van 9 70 is 70 log log 9 De eace oplossing van 9 0 07 is 0 07 log Een enadering is: log 9 d K () + 0 0 ( ) 9 q q q e Aq ( ) + 0 0 0 0 0 0 log 0 0 log 0 log Aq ( ) Dus a en N log 9 70 log 9 0 07 De oplossing is: Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v 0
0 ladzijde 0 N N en dus log N 0 0 en is + log N 0 N N + en dus is + N en is log + N zoda log + N 0 a Ui + log 0 volg 0 log en dus is 0 Ui log( ) 0 volg 0 en dus is 7a Voor he domein geld > Nulpun: 0 log( ) + 0 Asmpoo: c 0 0 f 7 9 0 0 d Sel log( ) dan is 0 log( ) en dus is 0 Me ehulp van de grafiek vind je 0 < 0 + a log log log log+ log log + log log log c Geruik da log dan is log0 log log0 log log 0 d log log log log log log log 7 Logarimische schalen ladzijde 00 9a 00 000 keer zwaarder 0 0 Omda enkele gewichen erg groo zijn en enkele andere erg klein zijn He verschil is ruim de facor 00 miljoen c log 0 0 9 0 d a log log 0 7 e dieren gewich in kg gewich 0 a kg huisvlieg 0000 0 huismus 00 0 kip 0 0 leeuw 0 0 olifan 00 0 lauwe vinvis 0000 0 Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v
f g De afsand ussen en 0 is 9 de afsand ussen 0 en 00 is 90 ec De eponenen van 0 nemen wel lineair oe 0 0a A 0 00 ; B 0 0 ; D 0 0 0 0 0 0 0 0 dus word er seeds me 0 vermenigvuldigd 0 0 ladzijde 7 0 a logschaal I : 0 0 0 0 0 0 0 0 logschaal II : 0 0 0 ; de mach c ; de mach d logschaal I: 0 ; logschaal II: e lineaire schaal: 0 ; logschaal I: 0 7 ; logschaal II: 9 a c acd 0 00 0 log a log 0 ; 0 0 log 0 0 ; 0 00 log 0 7 ; 0 07 log 7 0 ; 7 0 0 log 0 90 ; 0 090 log 9 0 9 ; 9 0 09 a a 0 ; c ; h 000 0 0 c d ; e 7; f 0; g 00 7 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 huisvlieg 0 0 huismus kip leeuw olifan lauwe vinvis 0 00 0 0 0 00 0 070 0 07 0 0 0 090 Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel 7 0 09 9 0 0 Noordhoff Uigevers v 07
0 7 Enkellogarimisch papier ladzijde a De helling is per gaa wee sappen en 0 00 Omda de -waarden seeds me een vas geal worden vermenigvuldigd c De groeifacor is 0 00 d 0 00 0 7a 0 0 De coördinaen zijn (0 ) Omda 0 0 c Ui 0 0 volg 0 0 0 0 log en dus is log log 0 0 De coördinaen zijn ( ) d e 0 000 00 00 0000 0 0 0 0 0 7 9 0 0 7 0 0 0 0 9 0 7 00 000 000 0 0 000 0 7 9 0 Als me oeneem word me 0 vermenigvuldigd c In sappen word me 0 vermenigvuldigd Per sap is di 0 7 d is he snijpun me de -as hier 0 en is g 7 Dus geld 0 7 9a 00 0 0 00 0 0 0 0 0 7 0 7 Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v
0 000 000 00 0 0 0 7 ladzijde 9 0a A () 000 0 B () 00 0 c Afname me ( 0 ) 00% 0% a 0 0 0 c 0 0 0 d Wanneer je de grafiek van eken op normaal papier krijg je dezelfde figuur e 0 a 0 000 000 00 0 0 0 7 9 0 000 0 0 000 0 0 7 0 9 0 0 7 A 000 0 0 000 0 0 7 0 9 0 0 0 0 7 0 7 9 0 B 000 00 0 0 7 C D Omda de formules hezelfde zijn: 0 0 ( 0 ) 000 00 Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v 09
0 7 Eponeniële funcies differeniëren ladzijde 0 a g ( ) h ( ) Bereken een enadering van ijvooreeld c a f( + 0 00) f( ) f () 0 00 0 00 f () word Omda de eponen is 0 00 O f f 0 f () 09 9 77 09 De groeifacor is ongeveer c f ( ) 09 d g ( ) 0 a funcie f afgeleide f f() f () 0 f() f () 09 f() f () 09 f() f () 0 f() f () 0 f() f () 9 7 erwijl de uikoms volgens Anne a 7 c a : f ( ) 09 a 7 : f ( ) 099 7 De afgeleide voor a 7 geef f ( ) 00 a f( ) d Proeren me a 7 en a 7 laa zien da voor a 7 geld f ( ) 00 f( ) ladzijde a h () e K ( q) q e q + q e q Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v
c m ( ) e + ( + ) e d f ( ) e e h ( ) 0 e + f W ( p) p p e 7a e 79 dus geld f( ) ( e ) 79 e a log ln 09 c ( e a ) geef e a e Dan is a log ln Dus h ( ) e d h ( ) e a g () 7 7 n W ( n) 07 0 + + c H ( ) 0 ln 97 d K q q q ( ) + ( q + 7) 00 q 9a N () 97 07 N ( ) 9 7 07 0 miljoen per jaar Per dag is di 0 0 miljoen c log 07 97 Ui 9 7 07 volg 07 en dus is log 7 jaar 97 97 log 07 Dus in he jaar 00 0a 7 Logarimische funcies differeniëren ladzijde O 7 9 0 0 0 f () 0 0 0 0 0 f c 0 0 0 0 f () 00 0 0 0 0 0 0 d f ( ) Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v
a - g () 07 0 09 0 9 O 9 c 0 0 g () 009 0 00 0 09 09 0 00 0 009 d e Seeds geld g ( ) zoda g ( ) Geruik da ln 0 0 h () 009 0 00 0 09 09 0 00 0 009 Seeds geld h ( ) 090 en dus 090 h( ) ln ladzijde a h ( ) ln K ( p) pln 09 q c W ( q) 0q + 0q + q ln q ln d H () ( + 0)ln 0 ( 7m + ) e L ( m) ( m + m)ln f P ( ) e ( e + 7)ln a g + ( ) log log + ln ln 07 G ( a) log a + a 9 a ln 07 c h () ln log + ln Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v
d D ( w) wln 0 wln 0 e log s k () s log s s ln 0 s ln 0 a f ( ) ( ) ln f ( ) en f ( ) ( 9 ) ln ln Een enadering van de vergelijking van de raaklijn: ( ) + + 7 c Maak aellen voor f ( ) f( )/ en zoek ui voor welke waarde van de uikomsen gelijk zijn Je vind dan 9 en 0 Dus is de richingscoëfficiën ongeveer 0 9 a geef s en geef s He auooje heef km afgelegd s( ) s() 0 km c s () s ( ) 0 km/uur log 0 s( ) + log km d Plo de grafieken van Y en Y Dan is er een snijpun ij log 0 Dus na uur Je kun ook oplossen 99 log 0 log 0 a Na één uur is de emperauur: T( 0) log( 0+ ) 9 C Gemiddeld per minuu is di 9 C 0 Na wee uur is de emperauur: T log( 0 + ) 09 C 09 9 Gemiddeld per minuu is di C c T () 70 0 ( + ) ln 0 + d T ( ) 0 C + e f 00 000 00 00 00 00 0 7 0 0 0 0 0 0 00 0 0 In de ekening zie je da de grafiek van T vlak na he egin van de rand veel sneller sijg dan laer De grafiek van T is afnemend sijgend 0 geef + minuen Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v
7 Gemengde opdrachen ladzijde 0 7a 7 9 kg He verschil in gewich na 0 maanden is 7 9 7 9 kg 7 9 Per maand is de gewichsoename 79 kg 0 c Eponenieel: ; lineair: 79 + d De afgeleide van de eponeniële funcie is () ln De afgeleide van de lineaire funcie is () 79 Gelijksellen: 79 geef en dus is log maanden a Dan is La ( ) 9 9 9log 0a+ 0 0 00 a en dus is L ( a) 99 00 < 0 dus als a oeneem neem L af 0a ln 0 Dan is Lv () 9 9 9 log 00v+ 0 v en is 99 L () v + 0 + 0 0 v 9 kilomeer per uur 00vln 0 v 9a in uren 0 oppervlake A in km 0 0 0 97 9 7 Ui 0 0 0 0 volg 0 en dus is log 0 0 Na 0 uur is de oppervlake 0 km di is om ongeveer uur s middags c 0a oppervlake A in km 00 0 0 0 in uren ladzijde aanal A 00 000 0 000 000 00 0 0 7 jaar Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v
c A () 9000 0 B () 0 0 aanal A 00 000 0 000 000 00 0 0 7 jaar d jaar di is in 00 e jaar di is in 0 a Bij een reche lijn op enkellogarimisch papier word he aanal ransuilen na elk jaar me een vas geal vermenigvuldigd Van 977 o 997 seeg (volgens de geekende reche lijn) he aanal ransuilen van 0 naar 700 0 700 00 Als g de groeifacor per jaar is dan geld g en dus is g 0 0 He percenage waarmee he aanal ransuilen jaarlijks oenam is 0% Er geld als enadering voor he aanal ransuilen: R () 0 0 me in jaren vanaf 977 c 0 is minder dan R( ) 0 0 7 d Ui R( 0) a 0 en R( ) a 0 7 volg 0 0 7 7 en dus 9 Dan is a 9 7 a 0 9 e Ui R () 0 9 9 0 volg R () 9 0 ln 0 0 > 0 en dus sijg R Omda R () 0 ln 0 0 0 < 0 daal R Dus een afnemende sijging Tes jezelf ladzijde T-a log 00 07 0 log 9 00 c log d 70 e f T-a De sappen op de geallenlijn worden seeds vermenigvuldigd me 0 c 0 a en f 0 0 00 c a 00 0 0 ; 00 0 0 7 ; c 0 ; d 0 7 Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v
T-a 0 A 0 00 000 Elke word A me 0 vermenigvuldigd Dan is A () 0 0 0 c 0 B 0 00 0 0 d 000 00 0 0 00 000 0000 0 0 0 00 000 0 T-a f ( ) 0 ln 0 0 0 n n T ( n) 09 ln 0 9 0 0 9 c G ( q) e q+ d H ( ) 009 ln 09 0 0 09 e h () 0 ( 0 + ) ladzijde 9 T-a f ( ) ln g () z 00 zln 0 c T ( q) 0 ( q)ln 0 99 ln ( 0 + ) 0 7 p d H ( p) p log p+ pln 07 e n () ln log + + ln 0 000 000 0 7 0 k 0 0k f Y ( k) ( 0 k )ln 009 ( 0 k )ln 009 Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel 00 0 0 0 Noordhoff Uigevers v Noordhoff Uigevers v
T-a 00 0 lier m Cm ( ) 00 0 c C ( m) 00 0 m ln 0 C () 7l/min m m d Ui C ( m) 00 0 ln 0 0 00 ln 0 volg 0 m log min Dus na zo n 7 seconden 00 ln 0 T-7a f ( ) 0 en g ( ) ln T-a 9 0 ln Omda de grafiek op enkellogarimisch papier vrij goed een reche lijn volg 90 0 7 00 0 0 9 T-9a Omda 0 geen uikoms kan zijn van g Bijvooreeld f( ) k e voor een willekeurig geal k Noordhoff Uigevers v Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel Noordhoff Uigevers v 7