Bild + bild + bild är en summa av bilder.

Bild + bild + bild är en summa av bilder.

4 talföljder och summor Inledande aktivitet Undersök hittar du mönstret? Vilken figur, vilka bokstäver eller vilket tal motsvarar frågetecknet? a) b) A B C Ö A B Ä Ö A? c) 3, 4, 6, 9, 3, 8,? De tre första kvadrattalen kan beskrivas med följande figur. 4 9 3 6 a) Vilka är de fjärde och femte kvadrattalen? b) Vilket är det n:te kvadrattalet? 3 De tre första triangeltalen kan beskrivas med följande figur.? b) Det n:te triangeltalet kan beräknas med formeln T n = nn ( +) Kontrollera att formeln stämmer för de första fem triangeltalen. 4 Ett A4-papper är cirka 0, mm tjockt. a) Hur tjockt blir papperet om vi viker det på mitten 4 gånger? b) Hur tjockt blir det om vi viker det n gånger? c) Hur många gånger skulle vi behöva vika papperet för att det ska bli 0 cm tjockt? (Går det?) 5 I IQ-test finns ofta uppgifter där det gäller att upptäcka samband mellan tal. Här följer två eempel. Kan du lösa dem? a) Vilka tal fattas? 8 9 64 5? 49 4 9 3 6 a) Vilka är de fjärde och femte triangeltalen? 4 7 6 5? 343 b) Finn nästa tal och bokstav! 5 Y 4 P 3 I D 4 talföljder och summor 93

4. Talföljder Vad menas med en talföljd? En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel. Varje tal har alltså ett bestämt ordningsnummer. Eempel, 4, 9, 6, 5,, 00 Talföljden är ändlig. Talföljden ges av formeln a = n n, där n =,, 3,, 0 Det första talet är =. Vi skriver a =. Utläses a ett är lika med ett. Det andra talet är = 4. Vi skriver a = 4. Utläses a två är lika med fyra. Det tionde talet är a 0 = 0 = 00. Eempel 7, 9,, 3, 5, Talföljden är oändlig. Det första talet a = 7 Det andra talet a = 7+ = 7+ = 9 Det tredje talet a 3 = 7+ = 7+ 4 = Det fjärde talet a 4 = 7+ 3 = 7+ 6 = 3 Talen ges av formeln a = 7+ ( n n ) 40 Ange de tre första talen i den talföljd där det n:te talet är a n = 3 + 4n. Det första talet är a = 3 + 4 = 7 Det andra talet är a = 3 + 4 = Det tredje talet är a 3 = 3 + 4 3 = 5 Svar: Formeln a n = 3 + 4n ger talföljden 7,, 5, 9, 40 Vilket ordningsnummer har talet 80 i talföljden a 500 0 n? n = Vi löser ekvationen 500 0 n = 80 500 80 = 0 n 30 0 = n n = 6 Svar: Talet 80 har ordningsnummer 6. 94 4. talföljder

403 Finn en enkel formel för det n:te talet a n i talföljden a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 5, a) Vi får nästa tal genom att hela tiden lägga till. För att få t e det femte talet, börjar vi med och lägger till 4, d v s a 5 = + 8 = 9. På samma sätt får vi det n:te talet a n så här: a n = + (n ) = + n = n som ger de udda talen. b) I nämnaren har vi kvadraterna på termernas ordningsnummer. Eempelvis är a 5 = 5. Det betyder att a n = n. 404 Ange de fyra första talen i den talföljd där a) a = 5 n n c) a = n n b) a = 3 n n d) a = n( n + ) n 405 Beräkna det tolfte talet, dvs a, i talföljden n a) a n = 3 b) a = 64 ( n n + ) 409 Folkmängden i en stad var 50 000 år 000. Ange ett uttryck för folkmängden P n, där n är antalet år efter 000, om a) ökningen är 5 000 personer per år b) ökningen är % per år. 406 Ange en formel för antal punkter i figur nummer n 3 4.... 407 Vilket ordningsnummer har talet 00 i talföljden a) a n = 0 + 4n b) a n = n(n + ) + 0? 408 Finn en formel för det n:e talet a n i talföljden a) 3, 7,, 5, 9, b), 3, 9, 7, c) 4, 8,, 6, d), 5, 0, 7, 6, 40 Finn två olika formler som ger en talföljd som börjar så här:, 4, 8, 4 Skriv en formel A n som ger storleken av en vinkel i en regelbunden n-hörning (n 3). 4. talföljder 95

Historik Fibonaccis talföljd Den italienske matematikern Leonardo Fibonacci eller Leonardo från Pisa (70 50) brukar räknas som medel tidens störste. Under sin uppvät i Nordafrika och under sina resor lärde han sig de indiska (arabiska) siffrorna och såg de stora fördelar de gav för matematiken. År 0 skrev han den berömda boken Liber Abaci (boken om räkning), som gjorde honom berömd och bidrog till att de krångliga romerska siffrorna allt mer övergavs. a b I spiralmönster hos t e ananas, kottar och solrosens frön hittar vi tal ur Fibonaccis talföljd. Fibonacci har gett namn åt talföljden,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, där varje tal är summan av de två föregående. Fibonacci fann talföljden när han studerade kaniners fortplantning. Talen anger hur antalet kaninpar ökar varje månad, om vi räknar med att ett kaninpar ger upphov till ett nytt kaninpar varje månad (förutom den första månaden) samt att inga kaniner dör. Talföljden har genom åren fascinerat många människor, då den dyker upp på de mest oväntade ställen. a + b Gyllene snittet = a + b a = a b = + 5 Kvoten mellan ett tal och föregående i Fibonaccis talföljd närmar sig Gyllene snittet. 3 3 4 6 4 Pascals kända triangel gömmer också Fibonaccis talföljd. I teten ovan ser vi de första elementen i Fibonaccis talföljd. a) Beräkna de 3:e och 4:e elementen. b) Ange en rekursiv formel för talföljden. Visa hur Fibonacci fann sin talföljd. Starta med ett kaninpar och notera sedan för några månader hur många kaninpar du har, om de ökar enligt teten ovan. Rita figur. 3 Beräkna kvoterna 3/8, /3, 34/ och 55/34 och jämför med Gyllene snittet. 4 Studera Pascals triangel. a) Om vi räknar från toppen så har triangeln fem horisontella rader. Hur bör den 6:e raden se ut? b) Ritar vi om triangeln kan vi få: 3 3 4 6 4 Studera de nya diagonalerna, vad ser du? 96 4. talföljder

4. Geometrisk summa Hur beräknas en geometrisk summa? Vi har talföljden 5, 0, 0, 40, 80, 60, 30, Vi kommer från ett tal till nästa genom att multiplicera med, d v s kvoten mellan ett tal och det föregående är hela tiden. Geometrisk talföljd Vi kallar en sådan talföljd geometrisk och säger att den har kvoten k =. Första talet a = 5 Andra talet a = a k = 5 = 0 Tredje talet a 3 = a k = 5 = 5 4 = 0 3 3 Fjärde talet a 4 = a k = 5 = 5 8= 40 4 4 Femte talet a 5 = a k = 5 = 56 = 80 n:te talet a n = a k n Summan av de fem första talen skrivs s 5. s 5 = 5 + 0 + 0 + 40 + 80 = 55 Kan vi finna en formel för summan av talen i en geometrisk talföljd? Vi börjar med en formel för s 5 och kan sedan generalisera resultatet. 3 4 s = a+ ak + ak + ak + ak Båda leden multipliceras med kvoten k. 5 ks = ak + ak + ak + ak + ak 5 3 4 5 Vi tar den undre summan minus den övre summan: 5 ks s = ak a 5 5 5 s ( k ) = ak ( ) s 5 5 5 ak ( ) = k 5 5 ( ) För talföljden ovan får vi s 5 = = 55 På samma sätt visas allmänt: Geometrisk summa En geometrisk summa s n n a( k ) = k, k 4. geometrisk summa 97

40 I en geometrisk talföljd är första talet 0 och kvoten 3. Beräkna summan av de 8 första talen. Första talet a = 0, kvoten k = 3 och antal tal n = 8 Formeln för den geometriska summa s 0( 3 ) = = 65 600 3 s 8 8 n n a( k ) = ger k 40 Beräkna den geometriska summan 50 + 50, + 50, +... + 50, Första talet a = 50, kvoten k =, och antal tal n = 3 (Obs! n = 3. Summan består av tal med kvoten, samt första talet 50. ) 50(, ) = = 6, 3... 6, s 3 3 403 Skriv de fem första talen i den geometriska talföljd där a) första talet är 8 och kvoten är 3 b) a = 80 och k = 0,5. 404 Beräkna summan av de 0 första talen i den geometriska talföljd där a) a = 4 och k = 3 b) första talet är 000 och kvoten är,05 405 Beräkna den geometriska summan a) 0 + 0,0 + + 0,0 3 b) 000 + 000 0,8 + + 000 0,8 7 406 I en geometrisk talföljd med kvoten är summan av de fem första talen 860. Vilket är det första talet a? 407 Är talföljden geometrisk? Beräkna i så fall summan av de första talen. a) 5, 8,, 4, 7, b) 64, 48, 36, 7, c) 3 ; 40 ; 50 ; 6,5 ; d) 4, 5, 7, 0, 4, 408 Bestäm talet med två decimaler ur ekvationen +, +, + +, 9 = 0 000 409 I en geometrisk talföljd med 6 tal är kvoten 3 och summan 80. Vilket är det sista talet? 40 Åtta plastkuber har sidlängder som bildar en geometrisk talföljd. De tre första sidorna är 0 cm, 8 cm och 6,4 cm..... a) Vilken sidlängd har de åtta kuberna sammanlagt? Svara med en decimal. b) Vilken volym har de åtta kuberna sammanlagt? Svara med heltal. 4 I en geometrisk talföljd är första talet 00 och det andra talet 50. Hur många tal måste talföljden innehålla för att summan ska överstiga 000 000? 4 Bestäm de se första talen i en geometrisk talföljd där a 3 = 0 och a 6 = 80. 98 4. geometrisk summa

Ekonomiska och naturvetenskapliga tillämpningar 43 Tomas har ett bankkonto med 3,00 % fast ränta. Tomas farfar satte in 5000 kr på kontot för fyra år sedan. Vid nyår de senaste fem åren har Tomas morfar satt in 000 kr på kontot. Vilket belopp har pengarna från a) farfar vuit till på fyra år? b) morfar vuit till direkt efter sista insättningen? a) 5000 kr har på fyra år vuit till 5000,03 4 kr 568 kr Svar: Pengarna från farfar har vuit till 5 68 kr b) Vi ritar en tidslinje och visar vad varje insättning har vuit till vid det femte årsskiftet. år år år 3 år 4 år 5 000 000,03 4 (första insättningen) 000 000,03 3 (andra insättningen) 000 000,03 (tredje insättningen) 000 000,03 (fjärde insättningen) 000 000 (sista insättningen) Beloppet beräknas med formeln för en geometrisk summa. Första talet a = 000, kvoten k =,03 och antalet termer n = 5. s n = n a( k ) k = 5 000( 03, ) 03, 5309 Svar: Pengarna från morfar har vuit till 5 309 kr 4. geometrisk summa 99

44 En patient får var fjärde timme medicin i form av en tablett på 00 mg. När 4 timmar gått finns fortfarande 75 % av den gamla tabletten kvar i blodet. Anta att medicineringen fortsätter på detta sätt. Hur stor mängd av medicinen har patienten i blodet efter a) 3 tabletter b) 0 tabletter? Låt M n vara den mängd i milligram som finns i blodet efter n tabletter. a) M = 00 M = 00 0,75 + 00 Kvar av första tabletten Ny tablett M 3 = 00 0,75 + 00 0,75 + 00 = 3,5 Kvar av första och andra tabletten Ny tablett Svar: Efter tre tabletter finns 3 mg i blodet. b) M 0 = 00 0,75 9 + 00 0,75 8 + 00 0,75 7 + + 00 0,75 + 00 Mängden beräknas med formeln för en geometrisk summa. Första talet a = 00, kvoten k = 0,75 och antalet termer n = 0 s n n 0 a( k ) 00( 075, ) = = = 377, 474... 377 k 075, Svar: Efter 0 tabletter finns 377 mg i blodet 00 4. geometrisk summa

45 Till vilket belopp väer 0 000 kr med ränta på ränta om a) räntesatsen är 3 % och tiden 0 år b) räntesatsen är 5 % och tiden 7 år c) räntesatsen är 0,5 % och tiden är 6 år? 46 På ett bankkonto sätter Hedvig in 500 kr vid slutet av tio på varandra följande år. Ränta på ränta beräknas efter 4 %. Hur stor är behållningen omedelbart efter den sista insättningen? Ta hjälp av figuren nedan. 3 8 9 0 500 500 500 500 500 500 500 År 500,04 500,04 500,04 3 500,04 7 500,04 8 500,04 9 Vi räknar med en genomsnittlig årlig tillvät på 5 % och att hon inte behöver betala några skatter eller andra avgifter för fonden. 40 Vilket alternativ är bäst om årsräntan antas vara 6 %? A Att få 6 000 kr i början av 003 B Att få 9 000 kr i början av 00 C Att få 000 kr i början av vart och ett av åren 003, 004,, 009, 00 4 Veterinären Elsa behandlar en sjuk häst. Första dagen får hästen 0 g av en viss medicin, varefter dosen halveras varje dag. Hur mycket medicin bör Elsa skriva ut recept på, om hela behandlingen omfattar en vecka? 47 Niklas har fått en öroninfektion. Var sjätte timme får han antibiotika i form av en tablett på 00 mg. När han efter se timmar får en ny tablett på 00 mg, återstår av den gamla dosen 40 % i blodet. Vilken mängd antibiotika har han i blodet efter a) 3 tabletter b) 0 tabletter? 48 Ett nybyggt hus sjunker,8 cm det första året. Man uppskattar att huset därefter fortsätter att sjunka och att det för varje år sjunker med en tredjedel av vad det sjönk närmast föregående år. a) Hur mycket sjunker huset det andra året? b) Hur mycket räknar man med att huset sjunker de tio första åren? 49 Nilla sparar i en aktiefond. Hon satte in 000 kr i början av 00 och har sedan dess satt in 000 kr i början av varje år. Hur mycket är hennes aktiefond värd direkt efter insättningen år 00? 4 Sagan berättar om schackspelets uppfinnare, att han av Persiens konung som belöning lovades få vad han önskade. Han bad då att få sädeskorn för första rutan på ett schackbräde, för den andra, 4 för den tredje osv. För var och en av schackbrädets 64 rutor ville han ha dubbelt så mycket som för den närmast föregående. Hur många sädeskorn begärde schackspelets uppfinnare i belöning? Är det möjligt att skaffa denna belöning? Vi antar att 000 sädeskorn väger ungefär 30 g och att världsproduktionen av säd är ungefär 0 kg/år. 4. geometrisk summa 0

43 Louise ska få en gåva på 6000 kr när hon fyller 8 år. Hur stor summa bör hon få, om hon istället får gåvan idag, på sin 4-årsdag? Vi räknar med 4 % årlig ränta på ränta. Nuvärde Vi ska räkna ut nuvärdet, dvs. värdet idag av en framtida betalning. Hur mycket är pengarna värda idag, om de ska väa till 60 00 kr på fyra år? Vi kallar nuvärdet för och ställer upp ekvationen,04 4 = 6 000 6 000 = 59 4 04, Svar: Louise bör få 5 9 kr på sin 4-årsdag 44 Mona tog i början av år 008 ett lån på 00 000 kr. Hon ska Annuitet betala lånet med 0 lika stora belopp (annuiteter) i slutet av varje år med början 008. Ränta på ränta beräknas efter 6 %. Hur stor är varje annuitet? Vi ritar en tidslinje och anger vad lånet samt varje annuitet vuit till vid slutet av det 0:e året. 008 009...... 06 07 År 00 000,06,06...,06 9 Värdet av de tio avbetalningarna med ränta ska tillsammans vara lika stort som värdet av 00 000 med tio års ränta. +,06 +,06 + +,06 9 = 00 000,06 0 Vänstra ledet är en geometrisk summa. Summaformeln ger (a = och k =,06) (,06 0 ) = 00 000,06,06 0 = 3 586,80 Svar: Annuiteten är 3 600 kr (3 586,80 kr). 9 års ränta på denna avbetalning. 0 4. geometrisk summa

45 I en affärsuppgörelse ingår att Anton ska betala 75 000 kr i dag och 5 000 kr om 5 år. Vad borde Anton betala om uppgörelsen varit att hela summa ska betalas a) i dag b) om 5 år? Vi räknar med 3,5 % årlig ränta på ränta. 46 Mats lovade Carina att vid slutet av år 04 betala henne 8 000 kr. Men så småningom ändrade han sig och ville göra sig skuldfri fem år i förtid, d v s 009. Hur mycket blir nuvärdet av 8 000 kr om vi räknar med en årsränta på 5 %, d v s hur mycket ska Mats betala till Carina för att pengarna efter fem år ska vara värda 8 000 kr? 49 En patient tar varje morgon medicin i form av en tablett på 0 mg. För varje dygn utsöndrar kroppen 50 % av den ursprungliga mängden. Hur stor mängd av medicinen har patienten i blodet efter n tabletter? 430 En trissvinnare kan få 50 000 kr i månaden varje månad i 5 år. Vinnaren blir lite nyfiken på vad dessa pengar är värda idag. a) Vilken månadsränta motsvarar en årsränta på 4 %? b) Vad är nuvärdet för hela trissvinsten, om vi räknar med en årsränta på 4 %? 47 I ett kärnkraftverk frigörs energi när atomkärnor delas. En neutron som träffar kärnan av en uranatom delar den i två mindre, samtidigt som tre nya neutroner frigörs som kan dela andra urankärnor. :a generationen :a generationen Hur många kärnor kan maimalt delas av de hundra första generationerna neutroner? 48 Vid slutet av 005 tog Andrea ett lån på 00 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka genom lika stora belopp (annuiteter) vid slutet av åren 008 till och med 0. Hur stor ska annuiteten vara, om lånet ska vara helt betalt när annuiteten vid slutet av 0 är betald? Räkna med 7 % årsränta. 43 År 000 uppskattades den totala mängd olja som fanns kvar i världen till cirka 000 miljarder fat ( fat = 59 liter). Världsförbrukningen låg då på cirka 85 miljoner fat per dag. När kan oljan antas ta slut, om förbrukningen sedan dess a) ökar med 4 % årligen b) minskar med 4 % årligen? 4. geometrisk summa 03

Aktivitet Laborera Hur högt studsar bollen? Materiel: En boll (tennisboll eller liknande), tumstock eller måttband ( m). a) Låt bollen falla fritt från en viss höjd (fallhöjden cm) som du mäter. Mät den höjd som bollen kommer upp till efter studsen (studshöjden y cm). Variera fallhöjden och visa dina resultat i en tabell. b) Hur många procent av fallhöjden blir studshöjden? c) Formulera en slutsats om studshöjd och fallhöjd. Anta att bollen faller från 0 m. a) Beräkna studshöjden efter den andra studsen. b) Beräkna studshöjden efter den tionde studsen. c) Beräkna hur långt bollen har rört sig sammanlagt då den träffar marken för tionde gången. Rita figur. d) Kan den sammanlagda sträckan som bollen rört sig bli hur stor som helst? Undersök och diskutera! 04 4. geometrisk summa

4.3 Kalkylmodeller Kalkylprogram Eempel Jonna har skadat sitt knä när hon sprang tjejmilen. Mot svullnaden får hon var åttonde timme en tablett på 0 mg. När hon efter 8 timmar tar en ny dos återstår 30 % av den gamla i blodet. Hur beror den mängd medicin hon har i blodet av det antal tabletter hon tagit? Vi visar detta i en tabell. Tabell Tablett nr Kvar av gamla tabletter Efter ny tablett 0 0 + 0 = 0 0,30 0 = 63 63 + 0 = 73 3 0,30 73 = 8,9 8,9 + 0 = 9,9 4 0,30 9,9 = 87,57 87,57 + 0 = 97,57 Upprepade beräkningar i tabellform görs bäst med ett kalkylprogram. Vi kallar då tabellen för ett kalkylblad. I ett kalkylblad är raderna numrerade,, 3, 4, Kolumnerna har bokstavsbeteckningar A, B, C, D, Kalkylblad Likhetstecknet i = B3 + 0 anger att det är en formel. I ruta A har vi skrivit in teten Tablett nr I ruta B har vi skrivit in talet 0 I ruta C3 har vi skrivit in formeln = B3 + 0 Att A3 = A + betyder att värdet i A3 blir + = Att B3 = 0,3 * C betyder att värdet i B3 blir 0,3 0 = 63 Att C3 = B3 + 0 betyder att värdet i C3 blir 63 + 0 = 73 osv 4.3 kalkylmodeller 05

430 Tabellen visar några enkla ränteberäkningar. A B C D Kapital / (kr) Räntesats (%) Ränta (kr) Kapital 3/ (kr) 5 000 00 5 00 3 5 00 3 a) Beräkna värdena i rutorna C3 och D3. b) Vilka formler ska stå i rutorna C3 och D3? a) I C3 får vi värdet: 0,03 5 00 = 3 5 00 /00 = 53 I D3 får vi värdet: 5 00 + 53 = 5 53 b) C3 = B3 * A3/00 (om vi ändrar räntesatsen i B3 så ändras också värdet i C3) D3 = A3 + C3 Vi börjar nu med några enkla övnin gar på kalkylblad utan dator. 430 Petras pappa har fått diagnosen högt blodtryck. Han ska varje morgon ta en tablett Plendil på 0 mg. För varje dygn utsöndrar kroppen 50 % av den verksamma substansen. Tabellen visar mängden verksam substans i milligram efter de första tabletterna. A B C Tablett nr Kvar av gamla tabletter 0 0 3 5 5 Efter ny tablett 4 3 7,5 7,5 5 4 a) Beräkna värdena i de tomma rutorna. b) Vilka formler ger dessa värden? 4303 Den procentuella årliga ändringen av en aktieposts värde redovisas i tabellen. År A B C D E Ändring % Värde / 008 0 0 000 3 009 5 Ändring kr Värde 3/ a) Beräkna värdena i de tomma rutorna. b) Skriv formler för de beräkningar som görs i tabellen. 4304 En person betalar av (amorterar) på ett lån i slutet av varje år som tabellen visar. År A B C D E F Skuld / Räntesats Amortering 008 5 80 000 0 000 3 009 7 5 000 4 00 7,5 40 000 Ränta Skuld 3/ a) Hur stor är skulden i slutet av år 00 (efter amorteringen detta år)? b) Skriv formler för de beräkningar som görs i tabellen. 4305 Mia släpper en boll från höjden,4 m. För varje studs når bollen 75 % av den tidigare höjden. I en tabell för Mia in den sträcka i meter bollen rört sig omedelbart efter en studs. A B C D Studs nr Fallhöjd Studshöjd Sträcka,4,8,4 3,8,35 6,0 4 3 a) Beräkna värdena i rad 4 (för studs nr 3). b) Vilka formler ger dessa värden? 06 4.3 kalkylmodeller

4306 Tabellen visar behållningen i kronor på ett bankkonto där uttag görs i slutet av varje år. (Ingen hänsyn tas till att kapitalinkomster beskattas.) Nu låter vi ett kalkylprogram göra beräkningarna i våra tabeller. a) Vilka formler ska stå i rutorna D och F? b) Vilken formel ska stå i ruta B3? c) Skriv in tabellen med formler i ett kalkylprogram. Kopiera alla formler nedåt t o m rad 7. d) Vilken fördel är det att ha formler i kolumnerna C och E? e) Hur stor är behållningen på kontot 03--3? f) Hur stor hade behållningen blivit om räntesatsen varit 4 %? g) Hur stort årligt uttag (i jämna hundratal kronor) kan man högst göra, om man vill att behållningen 03--3 inte ska understiga 00 000 kr? Vi räknar med räntesatsen 4 %. a) D = C * B/00 och F = B + D E b) B3 = F c) När du skriver in formeln i t e D, skriver du bara = C * B/00. Markera kolumnerna fr o m den ruta (cell) som ska kopieras och nedåt t o m rad 7. d) Du kan då lätt ändra räntesats och uttag. Ändrar du värdet i C, så ändras allt i tabellen som beror av C. e) I ruta F 7 avläses 6 90 kr (6 89,54) f) 73 468 kr (73 468,0) g) Variera uttaget i E. Uttaget 3 000 kr ger behållningen 00 505 kr. Uttaget 3 00 kr ger behållningen 99 84 kr. Högsta uttaget är alltså 3 000 kr. Så här kan utskriften från ett kalkylprogram se ut: År Kapital / Räntesats (%) Ränta Uttag 3/ Kapital 3/ 008 00 000 4 8 000 3 000 85 000 009 85 000 4 7 400 3 000 69 400 00 69 400 4 6 776 3 000 53 76 0 53 76 4 6 7,04 3 000 36 303,04 0 36 303 4 5 45, 3 000 8 755,6 03 8 755, 4 4 750, 3 000 00 505,37 4.3 kalkylmodeller 07

4307 Aleandra satsar pengar i en aktiefond. Hon tror att den ska öka i värde med 0 % per år. I början av varje år sätter hon in ett visst belopp i fonden. Hennes kalkylmodell är a) Vilka formler ska stå i E och F? b) Vilka formler ska stå i A3, B3, C3 och D3? c) Skriv in kalkylmodellen och fyll i alla formler nedåt t o m rad (år 06). d) Vilket värde har fonden 06--3? e) Vilket blir fondens värde om tillväten är 5 % per år? f) Låt tillväten vara 5 % och variera insättningen så att värdet 06--3 blir 50 000 kr. 4308 En läkare vill ha en kalkylmodell som visar hur mängden verksam substans i kroppen ökar när patienten börjar med en ny medicin. Kalkylmodellen ska visa mängden kvarvarande substans då en ny tablett har tagits. Fullborda kalkylmodellen och använd den på följande fall: En patient tar varje dygn en tablett på 50 mg. Efter ett dygn återstår 40 % av den ursprungliga mängden. Vilken mängd av den verksamma substansen finns i kroppen efter den 0:e tabletten? 4309 Den svenske matematikern Helge von Koch studerade i början av 900- talet en kurva som efter honom brukar kallas Kochs snöflingekurva. Den konstrueras så här: Grundfiguren är en liksidig triangel med sidan 3 längdenheter. Varje sida delas sedan i tre lika delar. Den mellersta delen tas bort och ersätts med en liksidig triangel, som figuren visar. Nästa figur bildas på samma sätt. a) Gör ett kalkylblad som visar omkrets och area för figur nummer n. b) Ange det lägsta värde på n för vilket omkretsen överstiger 000 längdenheter. c) Vad händer med arean då n ökar obegränsat? 3 4 3 4 08 4.3 kalkylmodeller

Upprepade beräkningar med grafritande räknare Eempel En ny bil kostar 85 000 kr. Värdeminskningen är 5 % per år. Efter hur många år är bilen för första gången värd mindre än 50 000 kr? Beräkningsrutin Så här kan du göra med din räknare: EXE på en del räknare 85 000 ENTER Startvärdet läggs in. I räknarfönstret kan det se ut så här: Det lagras i variabeln Ans. 85000 Ans 0,85 ENTER ENTER ENTER osv Ger värdet efter år. Du får Ans genom att bara trycka på. Nu är det nya Ans-värdet = det gamla 0,85. Ger värdet efter år, d v s det nya Ans-värdet 0,85. Ger värdet efter 3 år. Efter 4 år är värdet mindre än 50 000 kr. 85000.00 Ans * 0.85 450.00 059.50 7505.63 4877.78 Värdet efter år Värdet efter 4 år 430 En villaägare har lånat 800 000 kr till en fast årlig ränta av 6 %. Hur stort är lånet efter 5 år, om det amorteras (betalas av) med 60 000 kr vid varje års slut? Beräkningsrutin: 800 000 ENTER Startvärdet har lagrats i Ans. Ans,06 60 000 ENTER Ger lånet efter år sedan avbetalningen gjorts. ENTER Ger lånet efter år sedan avbetalningen gjorts. osv Svar: Efter 5 år är lånet 73 355 kr. Ans *.06-60000 800000.00 788000.00 77580.00 76796.80 747504.6 73354.88 4.3 kalkylmodeller 09

43 Ett radioaktivt ämne väger 95 pg. Massan av ämnet minskar för varje timme med %. a) Hur mycket återstår av ämnet efter 4 timmar? b) När återstår mindre än 0 pg? 43 Klockan 08.00 finns det i en näringslösning 85 bakterier/ml. Antalet ökar med 35 % under varje 30-minutersperiod. När finns det fler än 000 bakterier/ml i lösningen? 433 En bank erbjuder sina kunder att köpa obligationer värda 0 000 kr/st. De ska väa med 8 % ränta samt en årlig bonus på 400 kr som utdelas i slutet av varje år och som också ger ränta. a) Hur ser beräkningsrutinen ut i detta fall? b) Vad är obligationen värd efter 5 år? c) När är obligationen värd 50 000 kr? 434 Den svenska björnstammens storlek är svår att uppskatta. År 008 uppskattades den till 800 djur. Hur stor är den 03 (fem år senare), om den naturliga tillväten är 4,4 % per år och man skjuter 00 björnar per år? 435 När en organism dör, avtar halten C-4 långsamt. Efter en tusenårsperiod återstår 88,6 % av den ursprungliga mängden. Hur många procent återstår efter 6 000 år? 436 Camilla får låna 50 000 kr av bilfirman, när hon köper en begagnad bil. Hon får betala,5 % i årsränta på lånet. Vid slutet av varje år ska hon betala bilfirman 000 kr. a) Hur mycket är kvar av lånet efter 3 år? b) När är lånet slutbetalt? 437 En stipendiefond på 300 000 kr förvaltas av en bank, som under en tioårsperiod garanterar en årlig tillvät på 8 %. Under de fem första åren delas vid årets slut ut ett stipendium på 5 000 kr, och under de följande fem åren delar man på samma sätt ut 0 000 kr årligen. Hur stor är fonden efter 0 år? 438 Skriv en beräkningsrutin som ger talföljden a) 0,4; 0,04; 0,004; b) 00; 40; 6; 6,4; 439 Om mönstret fortsätter oändligt långt får man en figur som brukar kallas Sierpińskis triangel, efter den polske matematikern Wacław Sierpiński (88 969). a) Hur många färgade trianglar är det i figur nr 0? b) Den första figuren är färgad till 00 %. Hur stor andel av figur nr 0 är färgad? 0 4.3 kalkylmodeller

Aktivitet Sant eller falskt? Diskutera Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt? Motivera svaret! I en talföljd är alltid det andra talet större än det första talet. Talföljden 5, 8,, 7, 3 ges av a n = 3n +. 3, 4, 6, 8, 0, är eempel på en geometrisk talföljd. 4 Alla tal i talföljden a n = n + n är jämna heltal. 6 I en geometrisk talföljd är kvoten mellan ett tal och det föregående alltid samma. 7 Summan 5 + 5, + 5, + + + 5, 0 har elva termer. 8 Den sjunde termen i den geometriska summan ovan är 5, 7. 9 00 + 00,04 + 00,04 + + + 00,04 n < 5 000 för alla värden på n. 0 00 + 00 0,96 + 00 0,96 + + + 00 0,96 n < 500 för alla värden på n. 5 Talet 54 ingår i talföljden a n = 5n 3 4 talföljder och summor

Problem för alla 4 Dela talet 47 i tre delar, så att den andra delen blir dubbelt så stor som den första och den tredje delen dubbelt så stor som den andra. I ett datorspel ska du försöka gissa ett bestämt tresiffrigt tal. För varje gissning får du en ledtråd. Vad svarar du efter denna dialog med datorn? 3 Ingen siffra rätt! 456 En siffra rätt, men i fel läge! 789 En siffra rätt, men i fel läge! 075 Två siffror rätt, varav en i rätt läge! 087 En siffra rätt, men i fel läge! 3 Ett tåg med hastigheten 30 m/s passerar en 300 m lång tunnel på 30 s. Hur lång tid tar det för tåget att passera en stolpe? 4 Bestäm det minsta antal termer som ska adderas i uttrycket + 4 + 8 + 6 + 3 + för att summan ska överstiga 999 999 000 000. 5 Efter två löneförhöjningar är den nya lönen 5/8 av den ursprungliga. Hur stor var den första höjningen (i procent), om den andra höjningen var dubbelt så stor som den första (i procent)? 6 Förenkla + 4+ 8+ 6 +...+ 4 096 3+ 6+ + 4... + 644 7 Funktionen f ( ) = ( a) 3 + (a a ) antar ett minimivärde för =. Bestäm a. 8 Figuren OAB är en cirkelkvadrant. Med OA och OB som diametrar är två cirkelbågar ritade. Bestäm förhållandet mellan de båda skuggade områdena a och b. B a b O A 9 Gränsvärdet lim ( ) h / 3 8+ h 0 h med f (a). är lika a) Vilken är funktionen f och vilket är a-värdet? b) Beräkna f (a) eakt. 0 Bestäm summan av de tio första talen i en geometrisk talföljd där a = 6 och a 5 = 6. 4 talföljder och summor

Hemuppgifter 4 4. Talföljder Ange de tre första talen i den talföljd där a) a n = 7 n b) a n + = a n + n och a = 0 Finn en formel för det n:te talet i tal följden a) 5, 8,, 4, b), 5, 0, 7, 6, 3 Ange en formel för antalet punkter i figur nr n. 3 4 4. Geometrisk summa 4 Beräkna summan av 8 tal i den geometriska talföljd, där första talet är 4 och kvoten är,5. 5 Ange den geometriska summa som kan beräknas med 0 3 6, ( ) 3 6 Beräkna den geometriska summan och avrunda resultatet till heltal. a) 5 + 5,08 + 5,08 + + 5,08 0 b) 0 + 0 0,8 + 0 0,8 + + 0 0,8 9 7 Bestäm talet med två decimaler ur ekva tionen + 0,6 + 0,6 + + 0,6 = 5 000 8 Morfar Sven vill att hans båda barnbarn ska ha 00 000 kr på var sitt konto när de fyller 0 år. Hur mycket bör han då sätta in på a) Jennys konto när hon fyller 0 år b) Martins konto när han fyller 4 år? Räntesatsen antas hela tiden vara 4,5 %. 9 Hur mycket bör Filip sätta in på ett bank - konto vid slutet av varje år, om han efter den 30:e insättningen vill ha 00 000 kr på sitt konto? Räntesatsen antas vara 5,5 %. 0 En patient får var sjätte timme medicin i form av en tablett på 00 mg. När 6 timmar har gått återstår det 0 % av den tidigare medicinen i kroppen. Hur stor mängd medicin har patienten i kroppen efter a) 5 tabletter b) 50 tabletter? 4.3 Kalkylmodeller Kalkylmodellen visar kapitalets tillvät på ett bankkonto där insättningar görs i början av varje år. Gör de beräkningar som formlerna beskriver. Hur stor är behållningen på kontot i början av år 0? A B C D E År Räntesats Insättning Kapital / Ränta 009 3 3000 = C = B*D/00 3 00 4 = C+000 = D+E+C3 = B3*D3/00 4 0 5 = C3+000 = D3+E3+C4 En villaägare tog i början av 00 ett lån på 00 000 kr till en fast årlig ränta på 7 %. Lånet amorteras (betalas av) med 75 000 kr vid slutet av varje år. Hur stor var villa ägarens skuld vid slutet av 006, omedelbart efter den sjätte amorteringen? Gör en beräkningsrutin för grafritande räknare och bestäm detta. 4 talföljder och summor 3

Sammanfattning 4 Talföljd En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel. En talföljd kan anges på olika sätt: Genom en formel för det n:te talet. Formeln a n = n(n + ) ger talföljden, 6,, 0, Genom uppräkning. Om de fyra första talen är, 6,, 0, så är det rimligt att det 5:e talet är 30. (Vi ökar med 4, 6, 8, 0, osv.) Geometrisk talföljd Det n:te talet: a n = a k n, där k = kvoten av ett tal och närmast föregående tal. I den geometriska talföljden 5, 0, 0, 40, är kvoten k =. Geometrisk summa Summan s n av de n första talen i en geometrisk talföljd beräknas med formeln s n = a k n n ( ) a( k ) = k k Eempel I den geometriska summan 64 + 64 0,5 + 64 (0,5) + 64 (0,5) 3 + + + 64 (0,5) 7 är a = 64, k = 0,5 och n = 8 s n = 64 0 5 8 (, ) = 7,5 0, 5 Modell med geometrisk talföljd En förälder sätter vid slutet av 8 på varandra följande år in 000 kr åt sitt barn på ett konto. Ränta på ränta beräknas efter 5 %. 7 År... 8 000 000 000 000 000 000,05....... 000,05 6 000,05 7 Omedelbart efter den 8:e insättningen är behållningen i kronor den geometriska summan 000 + 000,05 + 000,05 + + + 000,05 7 a = 000, k =,05 och n = 8 000( 05, ) s 8 = 56 65 05, 8 Nuvärde En skuld på 50 000 kr ska betalas tillbaka vid slutet av år 05. Om den betalas redan vid slutet av år 00, d v s 5 år i förväg, och ränta på ränta beräknas efter %, ska man betala N kr där N, 5 = 50 000, d v s N = 50 000/, 5. N kallas skuldens nuvärde år 00. 4 4 talföljder och summor