Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-06-02 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Mikael Stenlund Examinator: Adam Jonsson Tel: 0920-491948 Jourhavande lärare: Mikael Stenlund Tel: 0920-492877 Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om regressionsanalys Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas så finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs godkända webbuppgifter och minst 17 poäng på del 1. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. Om inte det ifyllda svarsbladet lämnas in bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (7)
1. I textilfabriken kontrollerar de två kontrollanterna Kurt och Berit alla plagg efter att de sytts ihop. De ska båda två granska alla plagg, och de ska också genomföra granskningarna så att de är oberoende av varandra. Anta att en viss typ av plagg är defekt, och att sannolikheten att Kurt missar defekten är 7 % och motsvarande för Berit är 10 %. Hur stor är sannolikheten att båda upptäcker defekten? 2. För många sjukdomar gäller att diagnosen inte alltid är säker. Dels kan en person med sjukdomen bli friskförklarad, dels kan en frisk person få diagnosen sjuk. Antag att en godtycklig person har en viss sjukdom med sannolikhet 0.07. Antag vidare att diagnosmetoden ger rätt resultat om en person är frisk med sannolikhet 0.8, och rätt resultat om personen är sjuk med sannolikhet 0.88. Hur stor är sannolikheten för att diagnosen blir korrekt? 3. Den stokastiska variabeln ξ 1 är antalet ettor vid kast med tolv vanliga tärningar. Den stokastistiska variabeln ξ 2 är P o(2)-fördelad och ξ 1 och ξ 2 är oberoende. (a) Bestäm väntevärdet för ξ = 2ξ 1 + ξ 2. (b) Bestäm variansen för ξ 1. (c) Bestäm variansen för ξ = 2ξ 1 + ξ 2. 4. Livslängden ξ i timmar hos en viss typ av säkríngar är exponentialfördelad och Exp(0.01)- fördelad. (a) Vad är sannolikheten att en sådan säkring har en livslängd som överstiger 100 timmar? (b) Vad är sannolikheten för att av 4 st sådana säkringar exakt 2st har en livslängd som överstiger 100 timmar. Antag att säkringarnas livslängder är oberoende. 5. Två st hundrameterslöpare har tider på 100 meter som kan anses vara normalfördelade. Tid anges i sekunder. Tiden för löpare 1 N(10, 0.2)- fördelning med tiden för löpare 2 är N(9.5, 0.6)- fördelad. Vad är sannolikheten att löpare 1 vinner över löpare 2 i ett hundrameterslopp? De två löparnas tider får anses oberoende. 6. Vid en kaj får lastbilar vänta på att köra in på en färja. Väntetiden ξ antas rektangel fördelad R(0, 280) min. Väntetiderna för olika lastbilar antas vara oberoende. Beräkna sannolikheten att medelväntetiden för 100 lastbilar överstiger 143 minuter. Tips: använd lämplig approximation. 2 (7)
7. Man gör 5st oberoende mätningar med avseende på koncentrationen (mikrogram/liter) av ett ämne i vatten på två prover, dvs 5st mätningar på prov 1 respektive 5st mätningar på prov 2, där prov 1 är hämtat från en sjö och prov 2 från en annan sjö och får fram följande tabell. Mätning 1 2 3 4 5 Prov 1: x i 52 45 46 54 44 Prov 2: y i 47 55 54 46 66 Beräkningar av medevärden och standardavvikseler för x 1,..., x 5, för x 1,..., x 5, samt för differenserna z i = x i y i, i = 1,..., 5, anges nedan. x = 48.20 s x = 4.49 ȳ = 53.60 s y = 8.02 z = 5.40 s z = 12.16 Antag att mätningarna av proverna kommer från två normalfördelningar mätningarana av prov 1 kommer från N(µ 1, σ) och mätningarana av prov 2 kommer från N(µ 2, σ). Beräkna ett lämpligt 90% konfidensintervall för den genomsnittliga skillnaden mellan prov 1 och prov 2, dvs genomsnittet av prov 1 minus genomsnittet av prov 2. Kan man med 90% säkerhet säga att det finns en genomsnittlig skillnad? Ange JA eller NEJ på svarsbladet. 8. Antag att ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4 är oberoende och N(µ, σ)-fördelade, där σ = 1 och där µ är okänd. För att testa H 0 : µ = 125 mot H 1 : µ < 125 har man bestämt sig för att använda testvariabeln w = ξ 125 och beslutsregeln: förkasta H 0 om w < 1. Beräkna testets styrka då µ = 123. 9. En forskargrupp vill testa H 0 mot H 1. Forskargruppen består av tio personer. Var och en av dom tillämpar ett test med 5 % signifikansnivå och 85 % styrka. Testen baseras på 10 oberoende stickprov som vart och ett består av 25 observationer. Antag att H 0 är sann. Hur stor är sannolikheten att minst två av de tio forskarna (felaktigt) drar slutsatsen att H 0 är falsk. Var god vänd! 3 (7)
10. Vid en amerikansk undersökning studerades hur livslängden, Y, hos ett skärverktyg på en svarv kunde relateras till svarvens maxhastighet, X 1, och verktygstyp, X 2, där två olika verktygstyper A (X 2 = 0) och B (X 2 = 1) förekommer, samt samspelsvaribeln X 3 = X 1 X 2. Man tittade på 20 svarvar och observerade deras livslängd (enhet: timmar), maxhastighet (enhet: 100 varv per minut) samt verktygstyp. En linjär regressionsmodell användes. Minsta-kvadrat-skattningarna av regressionskoefficienterna samt deras skattade standardavvikelser blev: b 0 = 32.775 s b0 = 4.633 b 1 = 2.0970 s b1 = 0.6074 b 2 = 23.971 s b2 = 6.769 b 3 = 1.1944 s b3 = 0.8842 Residualkvadratsumman blev 140.98 och den totala kvadratsumman blev 1575.09. (a) För en av dom 20 svarvarna gällde att Y = 35.2, X 1 = 7, X 2 = 1. Vad är residualen för den svarven, dvs för den observationen? (b) För svarvar av typ A (X 2 = 0), hur mycket förändras i genomsnitt livslängden om maxihastigheten ökar med 100 varv/minut? (c) För att på 1% signifikansnivå avgöra om maxhastighetens effekt på livslängden beror på verktygstypen skall en t-kvot beräknas och sedan jämföras med ett visst tal. Vad är värdet på t-kvoten? Vilket tal ska t-kvoten jämföras med? För att avgöra om maxhastighetens effekt på livslängden beror på verktygstypen kan man också utgå från ett lämpligt P-värde. Är P-värdet i fråga större eller mindre än 1%? För 2 poäng på denna uppgift krävs rätt t-kvot, rätt tal som t- kvoten ska t-kvoten jämföras med, samt rätt svar (STÖRRE eller MINDRE). Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 4 (7)
Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Sannolikheter anges som ett tal mellan 0 och 1 i decimalform om inte annat anges. Man kan inte få avdrag för att man anger fler decimaler än vad som efterfrågas. Fråga Svar Poäng 1 Sannolikhet (tre decimaler) 0.837 2 2 Sannolikhet (tre decimaler) 0.806 2 3 a Väntevärde (tre decimaler) 6.000 1 b Varians (tre decimaler) 1.667 1 c Varians (tre decimaler) 8.667 1 4 a Sannolikhet (tre decimaler) 0.368 1 b Sannolikhet (tre decimaler) 0.3245 2 5 Sannolikhet (tre decimaler) 0.215 2 6 Sannolikhet (tre decimaler) 0.356 2 7 Nedre och övre gräns (tre decimaler) -13.04, 2.24 JA eller NEJ NEJ 2 8 Styrka (tre decimaler) 0.977 2 9 Sannolikhet (tre decimaler) 0.0861 2 10 a residual (två decimaler) 1.494 2 b Skattning (tre decimaler) -2.097 (2.097 OK) 1 c värde på t-kvot (tre decimaler) 1.351 t-kvot jämförs med (tre decimaler) 2.901 MINDRE eller STÖRRE STÖRRE 2 Totalt antal poäng 25 5 (7)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2017-06-02 Till uppgifterna på del 2 krävs fullständiga lösningar. 11. Antag att ξ 1, ξ 2, ξ 3,..., ξ n är oberoende och har samma fördelning och att n är stort. I kursen har du lärt dig om centrala gränsvärdessatsen, som säger att summan ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 + ξ n är approximativt normalfördelad. Om man istället för summan betraktar produkten ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ n så gäller det inte längre att vi får normalfördelning. Istället får vi (approximativt) så kallad log-normalfördelning. En slumpvariabel ξ sägs ha log-normalfördelning om slumpvariabeln η = log(ξ) har en vanlig normalfördelning. Log-normalfördelningen dyker upp inom till exempel finansiell statistik. Dess frekvensfunktion visas i Figur 1. Din uppgift är att med utgångspunkt i centrala gränsvärdessatsen ge ett resonemang som förklarar varför produkten ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ n, under lämpliga antaganden, borde ha log-normalfördelning. Resonemanget behöver inte vara långt, men du ska använda slumpvariablerna ξ 1,..., ξ n och andra relevanta beteckningar. (10p) Figur 1: Frekvensfunktion för normalfördelning och log-normalfördelning 12. Ett otroligt stort parti av enheter skall kontrolleras genom att man tar ut och undersöker ett lämpligt antal enheter. Producenten vill att om 5% av de tillverkade enheterna är defekta så skall partiet godkännas med 95 % sannolikhet medan konsumenten vill att om 8% av enheterna är defekta så skall partiet underkännas med minst 90% sannolikhet. Hur stort stickprov behöver man ta ut? Ledning: Det blir ett ganska stort stickprov. (10p) 6 (7)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2017-06-02 13. Det är som bekant inte ovanligt att statistik ibland används för att framställa olika förhållanden på ett fördelaktigt sätt. Detta gäller inte minst i diskussioner som rör förhållanden på arbetsmarknaden. Där kan man ibland höra uttalanden typ inom en tio-årsperiod kommer 20 % av dom anställda inom den här yrkeskategorin att gå i pension, då oftast för att påtala ett ovanligt (?) stort framtida rekryteringsbehov. (a) Låt ξ beteckna den tid som en slumpmässigt vald person i arbetsför ålder (25-65 år) har kvar till pension. Föreslå en lämplig stokastisk modell för ξ, dvs föreslå en lämplig fördelning, inklusive parametrarna i fördelningen. (b) Använd ditt svar i (a) för att kommentera påståendet ovan. Med andra ord, tycker du att det verkar som att en större andel än vad man skulle förvänta sig kommer att gå i pension inom 10 år? (5p) (5p) 7 (7)