TENTAMEN TNSL011 Kvantitativ Logistik Datum: 21 augusti 2012 Tid: 08:00 12:00 i SP71 Hjälpmedel: Hjälpmedel av alla slag, förutom kommunikationsutrustning (telefoner, datorer, och andra saker som kan ta emot signaler från omvärlden) är tillåtna. Böcker, egna anteckningar och alla former av räknedosor är således tillåtna. Antal uppgifter: 7 st (21 poäng totalt). För godkänt krävs minst 1 poäng på varje enskild uppgift. För betyg 4 krävs 14 poäng, för betyg 5 krävs 17 poäng Examinator: Fredrik Persson Jourhavande lärare: Fredrik Persson, tfn 011-36 3305 Innehåll: 7 uppgifter på 9 sidor Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Om Du använder dig av bifogade lösningsblad, glöm inte att lämna in dem! Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
TNSL11- Kvantitativ logistik 2(15) (3p) Uppgift 1 Ett företag har bestämt sig för att starta upp en ny fabrik, vilket kräver ett antal aktiviteter i ett projekt innan fabriken kan tas i drift. Följande aktiviteter krävs enligt tabellen nedan. Notera att tider är angivna enligt PERT och enligt en vanlig skattning. Dessutom framgår precedensrelationer. Aktivitet Omedelbara föregångare Vanlig tid [veckor] a - 6 6,3 b - 5 5,2 c - 12 12,4 d a,b 14 14,1 e b 7 6,7 f b,c 6 5,9 g d,e 12 12,3 h d,e 7 7,2 i d,e,f 3 3,2 j h 5 4,8 k h 17 17,1 l i,j,g 12 12,0 m k,l 20 20,1 PERT tid [veckor] a) Rita upp nätverket för huvudaktiviteterna i projektet (använd AoA, Activity on Arrow). (1p) b) Bestäm kritisk linje för projektet och beräkna tiden för hela projektet baserat på dels den vanliga skattningen och dels på PERT-tiderna. (1p) c) Givet att variansen för hela projektet är 15 veckor, vad blir sannolikheten att projektet tar längre tid än 70 veckor (baserat på PERT-tider)? (1p) 2
TNSL11- Kvantitativ logistik 3(15) (3p) Uppgift 2 Sedan betjäningstiderna ökat det senaste året vill företaget Qmatic öka kundservicen i sin fysiska helpdesk. Kunder kommer och besöker helpdesken som idag bara betjänas av en enda station. Man vill nu utreda vad vinsterna skulle kunna bli om det istället infördes två stationer till (totalt alltså tre). Till helpdesken kommer i genomsnitt 20 kunder i timmen (Poissonfördelade ankomster) och stationen kan betjäna 25 kunder i timmen (exponentialfördelade betjäningstider). Om två ytterligare stationer införs, så kommer betjäningstiderna att tillåtas öka och varje station kommer att kunna betjäna 10 kunder i timmen. Din uppgift är att jämföra de två olika systemen enligt nedan: A: En kö och en betjäningsstation (20 kunder ankomst, 25 kunde betjänas) B: En kö och tre betjäningsstationer (20 kunder ankomst, 10 kunder betjänas i varje av tre lika stationer) a) Ange sannolikheten att systemet (både A och B) är ledigt, dvs. att ingen kund finns i kö eller betjänas. (1p) b) Ange genonsnittligt antal kunder i systemen A och B (2p) 3
TNSL11- Kvantitativ logistik 4(15) (3p) Uppgift 3 Betrakta följande ruttplaneringsproblem. 8 kunder skall få leverans. Varje kund skall få hela sin leverans tillgodosedd av en bil den 22 augusti, men varje bil kan naturligtvis leverera till flera kunder på samma tur. Kunderna får besökas i valfri ordning, men naturligtvis vill man göra det så billigt som möjligt. Endast en biltyp med kapacitet 30 enheter finns tillgänglig. Den beräknade kostnaden för bilen uppgår till 10 kr/km. En kartskiss, efterfrågeinformation, samt en (symmetrisk) avståndsmatris (i km) ges nedan, där 0 är depån. Kund Efterfr. (enheter) A 19 B 12 C 5 D 7 E 2 F 18 G 13 H 16 km 0 A B C D E F G H 0 0 60 70 10 60 20 45 90 50 A 60 0 130 70 50 40 70 80 90 B 70 130 0 60 110 90 70 100 65 C 10 70 60 0 60 30 40 80 40 D 60 50 110 60 0 40 50 40 100 E 20 40 90 30 40 0 40 70 60 F 45 70 70 40 50 40 0 40 70 G 90 80 100 80 40 70 40 0 110 H 50 90 65 40 100 60 70 110 0 a) Använd svepheuristiken för att hitta minst två OLIKA (tillåtna) lösningar på problemet. Beräkna och ange även totalkostnaden för de respektive lösningarna, samt ange tydligt vilken lösning du föreslår. (1,5p) Uppgiften fortsätter på nästa sida 4
TNSL11- Kvantitativ logistik 5(15) Dagen efter Kristi Himmelfärdsdagen var kundernas efterfrågan bara 3 enheter var, så man kunde köra hela turen med en enda bil. Man löste det problemet till optimum, och fick då avståndet 310 km, vilket kostade 3100 kr. b) Beräkna hur många % dyrare än optimum din föreslagna lösning för 22 augusti är, i värsta fall. Motivera ditt resonemang noggrant! (1,5p) 5
TNSL11- Kvantitativ logistik 6(15) (3p) Uppgift 4 Betrakta följande transportproblem. Tre företag, A, G, och D kör alla långväga transporter från Stockholm till västra Sverige. De har i dagsläget krav på dagliga leveranser till Uddevalla, Göteborg och Halmstad, men det gör att de måste välja mellan halvfulla lastbilar eller långa körsträckor. Genom att samarbeta kan de reducera de totala kostnaderna. En given dag vill de testa ett upplägg, och har räknat ut följande samband: Tabell: Kostnader för transporter vid olika samarbeten Samarbete Kostnad (SEK) A kör själv 4500 G kör själv 5200 D kör själv 5700 A & G kör ihop 8000 A & D kör ihop 8000 D & G kör ihop 9000 A & G & D kör ihop 12300 a) Det är uppenbart att det totalt blir billigast om alla tre samarbetar. Antag nu att totala transportkostnaden skall delas med någon kostnadsdelningsmetod. Givet detta, ange och motivera om följande delningar ligger i kärnan. (1p) Delning Kostnad till A Kostnad till G Kostnad till D Nr 1, Dela lika Totalkostnad/3=4100 4100 4100 Nr 2, D betalar sin 3300 3300 5700 självkostnad, A&G delar på resten. Nr 3, 25% rabatt på självkostnad 4500*0,75=3375 3900 4275 b) Shapleyvärdet för transportör A är 3450. Räkna ut Shapleyvärdet för transportör G. (1p) c) Ligger Shapleyvärdet i kärnan? Var noggrann med motiveringen. (1p) 6
TNSL11- Kvantitativ logistik 7(15) (3p) Uppgift 5 Betrakta följande problem, där ett antal jobb skall utföras i en maskin, som har sekvensberoende ställtider, men konstanta operationstider. Ställtiderna mellan olika jobb är inte symmetriska, t.ex. tar det 20 minuter att ställa från A till B, men 40 minuter att ställa från B till A. Före första jobbet är maskinen rengjord och nollställd ( 0 i matrisen nedan), och efter sista jobbet måste omställning ske till ursprungsläget ( 0 ). Ställtider (min) Till Till 0 A Till B Till C Till D Till E Från 0 0 15 20 30 10 25 Från A 20 0 20 5 30 40 Från B 35 40 0 70 20 10 Från C 5 25 30 0 40 20 Från D 25 50 40 60 0 35 Från E 20 40 90 30 40 0 Operationstiderna är konstanta och ges av nedanstående tabell. Operationstider Jobb (min) A 120 B 170 C 235 D 400 E 200 a) Beskriv hur man kan hitta en tillåten lösning till problemet att minimera färdigtidpunkten för sista jobbet (inklusive omställ till ursprungsläge), och utvärdera sedan hur lång tid det tar att innan sista jobbet är färdigt, och maskinen är tillbakaställd till ursprungsläge. (1p) b) Beskriv en tänkbar lokalsökningsheuristik som man kan använda för att potentiellt förbättra en valfri tillåten lösning. (1p) c) En nackdel med en lokalsökningsheuristik är att man kan hamna i ett s.k. lokalt optimum. Vad menas med det, och vad är problemet? Ange också något etablerat sätt att komma runt det problemet? (1p) 7
TNSL11- Kvantitativ logistik 8(15) (3p) Uppgift 6 Betrakta följande SCOR-mappning i nivå två. Förklara i text vad det är modellen beskriver. 8
TNSL11- Kvantitativ logistik 9(15) (3p) Uppgift 7 Inköpschefen på StorClaas AB skall välja råmaterialleverantör för nästa års produktion. Två offerter har inkommit; Goodie Co och Wolfgang Humpel AG. Båda leverantörerna erbjuder exakt samma råmaterial men deras prissättning skiljer sig något. Årsbehovet är 100 000 kg/år och kalkylräntan är 25%. Uppgiften rör vilken leverantör som StorClaas AB bör välja vid minimering av total årskostnad? Leverantör Goodie Co K 1 = ordersärkostnad = 450 kr pris [kr/kg] (gäller hela orderkvantiteten) 3.50 Q 10 000 kg 3.40 10 000 < Q 15 000 kg 3.30 15 000 < Q Leverantör Wolfgang Humpel AG K 2 = ordersärkostnad = 420 kr pris [kr/kg] (gäller för kvantitet inom intervallet) 3.50 Q 10 000 kg 3.40 10 000 < Q 20 000 kg 3.20 20 000 < Q a) Bestäm optimala orderkvantitet Q 1 för Goodie Co. (1p) b) Bestäm optimala orderkvantitet Q 2. Wolfgang Humpel AG. (1p) c) Bestäm total årskostnad utgående från båda offerterna. (1p) 9
TNSL11- Kvantitativ logistik 10(15) Lo sningsfo rslag 2012-08-21 Lösning 1 Deluppgift a) Deluppgift b) Kritiskt linje: 1. a d h k m = 64 veckor 2. a d g l m = 64 veckor 3. a d h j l m = 64 veckor PERT-tider 1. a d h k m = 6,3 + 14,1 + 7,2 + 17,1 + 20,1 = 64,8 veckor 2. a d g l m = 6,3 + 14,1 + 12,3 + 12,0 + 20,1 = 64,8 veckor 3. a d h j l m = 6,3 + 14,1 + 7,2 + 4,8 + 12,0 + 20,1 = 64,5 veckor Deluppgift c) Variansen på hela projektet = 15 veckor 10
TNSL11- Kvantitativ logistik 11(15) 70 64,8 = 1,34 15 Avläses i tabell: Φ(1,34) = 0,910 SVAR: Med 9 % sannolikhet är projektet avslutat efter 70 veckor. Lösning 2 Deluppgift a) System A: P = 1 ρ M/M/1 kö. λ ankomstintensitet = 20 st/timme µ betjäningsintensitet = 25 st / timme ρ = λ μ = 20 25 = 0,8 P = 1 ρ = 1 0,8 = 0,2 System B: M/M/3 kö. Slå i tabell på sid 189 i Övningsboken. M/M/c-tabell. λ = = (0,67) = 0,7 och c = 3 ger: P = 0,495 SVAR: System A, P 0 = 0,2, System B, P 0 = 0,495 Deluppgift b) System A: L = ρ 1 ρ = 0,8 1 0,8 = 4 st System B: ρ μc P = c! (μc λ) + P = 0,67 30 3 + 0,495 = 0,559 3! (30 3 20) ρ 0,67 L = P + ρ = 0,559 + 0,67 = 0,83 st c ρ 3 0,67 SVAR: System A har i genomsnitt 4 kunder i kö, system B har 0,83 kunder. Lösning 3 a) Hitta alternativa lösningar genom att variera startvinkel eller håll man sveper åt. Börja tex kl 12, och gå medurs. Besöksordnigen blir Ordning Efterfrågan Ack. Efterfårgan Kommentar 11
TNSL11- Kvantitativ logistik 12(15) A 19 19 E 2 21 D 7 28 Full bil G 13 13 Full bil F 18 18 B 12 30 Full bil C 5 5 H 16 21 Full bil 4 turer: 0-A-E-D-0; 60+40+40+60=200 km 0-G-0; 90+90=180 km 0-F-B-0; 45+70+70=185 km 0-C-H-0; 10+40+50=100 km Total sträcka 200+180+185+100=665 km; kostnad 6650 kr Många alternativ ger samma lösningar. Men börja tex cirka kl halv 1, och gå medurs. Besöksordnigen blir Ordning Efterfrågan Ack. Efterfårgan Kommentar E 2 2 D 7 9 G 13 22 Full bil F 18 18 B 12 30 Full bil C 5 5 H 16 21 Full bil A 19 19 Full bil 4 turer: 0-E-D-G-0; 20+40+40+90=190 km 0-F-B-0; 45+70+70=185 km 0-C-H-0; 10+40+50=100 km 0-A-0; 60+60=120 km Total sträcka 190+185+100+120=595 km; kostnad 5950 kr Välj självklart den billigaste, dvs den andra lösningen, till en kostnad av 5950. b) Det absolut bäst tänkbara är 3100 kr. 5950 kr är 92% mer än 3100 kr, så i VÄRSTA fall är lösningen 92% dyrare än optimum. (Man kan ganska enkelt hitta många sätt att utvärdera att givet total efterfrågan på 92 enheter så MÅSTE 4 bilar användas, och då kan man aldrig hamna lägre än 3100 kr; ett korrekt sånt resonemang ger förstås också poäng) Lösning 4 a) 1: Ligger inte i kärnan. A&G måste betala 8200, men de är bara beredda att betala 8000. Samma med A&D 2: Ligger inte i kärnan. A&D måste betala 900, men de är bara beredda att betala 8000. 3: Ligger inte i kärnan. Totalkostnaden fördelas inte (3375+3900+4275=11550, ej lika med 12300 b) 12
TNSL11- Kvantitativ logistik 13(15) Ordning bilda stora koalitionen Kostnad fore G Kostnad efter G Skillnad AGD 4500 8000 3500 ADG 8000 12300 4300 DAG 8000 12300 4300 DGA 5700 9000 3300 GAD 0 5200 5200 GDA 0 5200 5200 Summa 25800 Shapley=Medel 25800/6=4300 Shapley-värdet för G är 4300 kr c) Shapleyvärdet delar på totalkostnaden, så Shapleyvärdet för D är 12300-3450-4300=4550 Alla koalitioner nöjda, så det ligger i kärnan (AD får betala 8000 i Shapleyvärdet som är exakt lika de får betala sjävla, men det räcker för att vara i kärnan!) Lösning 5 a) Tillåten lösning är banal, eftersom inga krav finns i sekvensieringen. Så en lösning är helt enkelt ordningen 0ABCDE0. Men man kan tänka sig massor med svar på hur en tillåten lösning kan hittas. Tid för ställ: 15+20+70+40+35+20=200 min Operationstider: 120+170+235+400+200=1025 min Total tid för en fullständig produktionscykel (inkl återställ) blir 1225 minuter, enligt denna lösning. b) Eftersom operaitonstiderna är kostnanta behöver man inte studera dem om man skall korta ned totaltiden. En tänkbar lokalsökningsheuristik, skulle kunna vara att undersöka alla lösningar i den omgivning som ges av att man byter plats på två intilliggande jobb (för enkelhetens skull kan man strunta i att betrakta A&E som närliggande även om det skulle ge möjlighet att ha något större (och bättre) omgivning. Valet skulle i sånt fall vara att byta till den lösnignen i omgivningen som ger störst reduktion i ställtider. c) Ett lokalt optimum i en lokalsökningsheuristik är att ingen lösning i omgivningen är bättre än den man befinner sig i, och man kan därför inte komma vidare från detta lokala optimum, även om det är möjligt att det finns mycket bättre lösningar om man gör större förändringar än den definierade omgivningen. Ett sätt att hantera detta problem, kan vara att utveckla en tabusökningsheuristik, där man tillåter att gå till SÄMRE lösningar, men där man samtidigt säger att vissa byten är tabu/förbjudna, för att på så sätt hindra att man går från en lösning till en sämrre och genast tillbaks till den lösningen man kom ifrån (eftersom den garanterat är bättre (om än ej garanterat den bästa; eller ens tillåten)) i nästa iteration. Lösning 6 Se processdefinitioner i SCOR-dokumentationen. 13
TNSL11- Kvantitativ logistik 14(15) Lösning 7 Goodie Co : Rabatt på hela partiet D = 100000 r = 0.25 K 1 = 450 N j c j Q j Q* C 1 (Q*) 10000 3.5 10142 10000 358875 15000 3.4 10290 10290 348746 3.3 10445 15001 339188 Goodie Co*: Q 1 * = 15 001 st, C 1 (Q 1 *) = 339188 kr Wolfgang Humpel AG: Inkrementell rabatt D = 100000 r = 0.25 K 2 = 420 V(N 0 ) = 0 V(Q j ) = V(N j 1 ) + c j (Q N j 1 ) N j c j V(N j ) Q j Q* C 2 (Q * ) 10000 3.5 9798 9798 358573 20000 3.4 35000 18279 18279 355662 3.2 69000 36810 36810 350073 Wolfgang Humpel AG*: Q 2 * = 36810 st, C 2 (Q 2 *) = 350073 kr 14
TNSL11- Kvantitativ logistik 15(15) SVAR: Välj Goodie Co Q** = 15001 st C(Q**) = 339.188 kr 15