Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt. Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson
|
|
- Magnus Lindqvist
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson 25 April 2010
2 0.1 Förord Gruppen vill tacka Adam Grudzinski för att ha fått tillåtelse att använda hans arbete och för den hjälp och det stöd han har gett oss under arbetets gång.
3 Sammanfattning Detta är en rapport för ett projekt i kursen TNM085 - Modelleringsprojekt, Linköpings Universitet, Campus Norrköping. Projektet gick ut på att i grupper under sex veckor framställa en grafisk animation av ett fysiskt system. Denna grupps valda system blev en simulering av hur Cheopspyramiden byggdes och hur mekanikens lagar påverkar de stenblock som användes då. Systemet simulerades i OpenGL.
4 Innehållsförteckning 1 Inledning Inledning Syfte Modellen 3 3 Det fysikaliska systemet Förenklingar Numeriska metoder Animeringen Mjuk- och hårdvarukrav Hur man kör animationen Avslutning Epilog Diskussion Litteraturförteckning 13
5 Figurer 1.1 Cheops pyramiden [1] Exempel på hur blocktransporten kunde ha sett ut Systemet av taljor [2] De krafter som påverkar blocket Resultatet av simuleringen av blockdiagrammet i Simulink Blockdiagramet i Simulink Plot i Matlab av blockets rörelse Skärmbild vid 3D-simuleringen av systemet vid en viss tidpunkt. Fås vid körning av C++-koden
6 Kapitel 1 Inledning 1.1 Inledning Kursen Modelleringsprojekt är en del i utbildningen Medieteknik på Linköpings universitet, campus Norrköping. Kursen ges i årskurs 3 och examineras genom ett projekt. Studenterna ska under några veckor, i små grupper, utforma en simulering av ett fysiskt system. Denna grupp, nummer 10, valde att simulera en teori om hur byggandet av den berömda Cheopspyramiden gick till. Teorin är en vidareutveckling av Adam Grudzinskis patentsökta system. Adam är en polsk fysiker som tror att egyptierna har använt taljor, rep och speciella gångar, funna i pyramiden, för att förflytta stenblocken inuti pyramiden upp till de olika nivåerna. Cheopspyramiden eller Khufuspyramiden som den också kallas, påbörjades år 2550 f. Kr [3]. Pyramiden, som är den största i världen, lät byggas av farao Khufu i Giza, Egypten. Den består av 2,3 miljoner stenblock med en medelvikt som varierade från 2,5 till 15 ton och är 147 meter hög. Inuti pyramiden finns det flera gångar och begravningskammare. Farao Khufu begravdes i en av dessa kammare (kungens kammare). Figur 1.1: Cheops pyramiden [1] 1
7 1.2 Syfte Syftet med projektet är att de studerande ska använda de kunskaper man fått genom tidigare kurser på medieteknikprogrammet. Dessa ska, tillsammans med programmeringskunskaper, användas för att animera ett fysiskt sytem. 2
8 Kapitel 2 Modellen Vår teori hävdar att man med manskraft drog upp de tunga stenblocken inuti gångarna som finns i pyramiden. Längs sidorna i dessa har man har funnit håligheter som placerats ut med ungefär 1m mellan varandra. I dessa tror Grudzinski att man satt stora trästockar med sågtandad sida för att underlätta vid transporten av blocken. Dessa har varit vinklade så att blocken kunnat vila på varje tand (se fig. 2.1). Med hjälp av dessa antas man ha dragit blocken 1/4m åt gången. Stockarna har även varit inoljade med hampaolja för att minska friktionen. Utöver detta tror Adam att ett system av taljor användes för att göra det lättare att forsla upp blocken (Se fig. 2.2). Taljsystemet består av 6 ihopsatta block vilket gör att det då krävs 6 gånger mindre kraft för att dra upp blocken. Eftersom gångarna har begränsat utrymme användes vevar för dra in blocken. Figur 2.1: Exempel på hur blocktransporten kunde ha sett ut 3
9 Figur 2.2: Systemet av taljor [2] 4
10 Kapitel 3 Det fysikaliska systemet Det fysiska systemet visar hur mekanikens lagar påverkar blocken då de transporteras uppför gångarna (se figur 3.1). Följande faktorer påverkar blocken när detta sker: tyngdkraften lutningen på gången friktionen mot underlaget dragkraften av arbetarna taljornas påverkan För att räkna ut hur blocket rör sig i rampen räknas först den kraft som drar blocket nedåt i rampen enligt ekvation 3.1. F block = µ s mgcosθ + mgsinθ (3.1) Där µ betecknar friktionskoefficienten, m är blockets massa, g är gravitationen och Θ är lutningen på gången (se fig. 3.1). Sedan beräknas hur stor den kraft som påverkar blocket i positiv riktning, enligt ekvation 3.2. F = F human g (3.2) Där F human är den kraft som arbetarna drar med. Skillnaden mellan dessa används för att få fram en resulterande kraft på blocket. Om den resulterande kraften är positiv kommer blocket att röra sig uppåt och på samma sätt kommer den att glida ned om kraften är negativ. För att få fram accerelationen på blocket i en aktuell tidpunkt använder man sedan ekvation 3.3. a = F res (3.3) m Där F res är skillanden mellan F och F block. Man kan nu beräkna aktuell hastighet och position för blocket i backen med hjälp av evkvationerna 3.4 och 3.5. Detta görs med eulers stegmetod, som beskrivs mer utförligt i avsnitt 3.2. V och x blir resultatvektorer, de kommer innehålla alla värden för hastighet och position under simuleringen. Dessa båda ekvationer är tidsberoende dvs. att varje nytt resultat beror på det föregående värdet i tidspositionen före. 5
11 v(t) = v 0 + at (3.4) x(t) = x 0 + v 0 t (3.5) Där v 0 är utgångshastighet, x 0 är startposition och t är tiden i sekunder. Innan vi implementerade fysiken i systemet testade vi att implementera den i simulink med blockdiagram. Som stegmetod valdes Euler. Fig. 3.2 nedan visar den plott som simuleringen gav. I figur 3.3 syns själva blockdiagrammet. Figur 3.1: De krafter som påverkar blocket Figur 3.2: Resultatet av simuleringen av blockdiagrammet i Simulink Blockets rörelse plottade vi även i matlab med hänsyn till att de som drog blocket bara drog 25 cm åt gången (se fig. 3.4). Detta gjordes för att spara energi och var möjligt tack vare de sågtandade stockarna. De aktuella parameterna i figur 3.4 är: m = 10000kg, µ = 0.63, Θ = 45, antalpersoner = 8st, taljor = 13st. Vi räknar med att varje person kan dra 70 kg. 6
12 Figur 3.3: Blockdiagramet i Simulink Graf över blockets rörelse Blockets rörelse 1 position [m] tid [s] 3.1 Förenklingar Figur 3.4: Plot i Matlab av blockets rörelse I det fysikaliska systemet har vissa förenklingar gjorts. För det första har det inte räknats på hur friktionen i taljorna påverkar systemet. Istället har gruppen utgått från det kända taljsambandet. Där anger antalet block som används hur många gånger lättare det är att dra en vikt. Anledningen till denna förenkling i systemet är att den påverkan friktionen i taljorna har anses marginell. Dessutom blir ekvationerna betydligt mer avancerade då flera block används. Att ta med detta i beräkningarna ansågs inte ge någon direkt vinning. För det andra valde gruppen att inte ta med friktionen som uppstår mellan vevhjulet och dess ställning. Anledningen till detta är precis som föregående, att det har marginell påverkan på slutresultatet. För det tredje räknas det med att varje man som arbetar trycker/drar med samma kraft, samtidigt på veven. Detta är förstås inte realistiskt på grund av de varierande fysiska förutsättningarna mellan olika människor. Då detta inte var en viktig del i vårt arbete gjorde vi det enkelt för oss 7
13 och räknade med en medelkraft som varje man kan uträtta. 3.2 Numeriska metoder Den numeriska metod som användes för att lösa vår differentialekvation var Eulers metod[4]. Metoden används för att approximera en differentialekvation. Metoden är en så kallad återkopplande metod. Man börjar med funktionsderivatan i en punkt på kurvan och ett funktionsvärde i samma punkt, se ekvation 3.6. y = f(x,y) y(x 0 ) = y 0 (3.6) För att räkna ut nästa värde på kurvan räknar man fram med en vald steglängd, h. Därefter räknar man ut funktionsderivatan och ett nytt funktionsvärde i den aktuella punkten enligt ekvation 3.7. y (x 0 ) = f(x 0,y 0 ) y(x 0 + h) y(x 0 ) + hf(x 0,y 0 ) (3.7) Detta tillämpas sedan tills man fått det antal punkter man vill ha enligt följande: y 1 = y 0 + hf(x 0,y 0 ) y 2 = y 1 + hf(x 1,y 1 )... y n = y n 1 + hf(x n 1,y n 1 ) Eulers stegmetod är den allra enklaste möjliga metoden för lösning av differentialekvationer. Metoden ger i allmänhet ganska dålig noggranhet. Ett exempel på en bättre metod är fjärde ordningens Runge-Kutta [5]. Vi valde dock att använda Euler efter som den metoden är lättare att implementera. Ett test där Runge-Kutta implementerades gjordes också men det blev ingen större skillnad mellan de hastigheter och positioner vi fick ut från de båda metoderna. 8
14 Kapitel 4 Animeringen Själva animationen av systemet gjordes i OpenGL som är ett API för att programmera datorgrafik. OpenGL finnas till flera programmeringsspråk. Det språk vi programmerade i var C++. Själva programmet består av sju filer: Main.cpp Själva huvudprogrammet. Här sköts all grafik, alla anrop till de olika standardbiblioteken i OpenGL (glut och glu). Programmet ritar upp själva scenen, laddar texturer, sköter all fönsterhantering, uppdateringar scenen som gör att vi får en animation och gör funktionsanrop till beräkningar. Mechanichs.cpp Här görs alla fysiska beräkningar. Implementeringen av Eulers stegmetod görs också i det här programmet. Mechanics.h Definerar alla funktioner som finns i mechanics.cpp. Meny.cpp Denna fil tar hand om all användarinmatning av parametrar. Meny.h Definerar alla funktioner som finns i meny.cpp. Imageloader.cpp Denna fil sköter inläsningen av bilder för användning till texturer. Filen har gruppen hämtat med tillåtelse från skaparen, från dennes webbplats [6]. Imageloader.h Definerar alla funktioner som finns i imageloader.cpp. För mer information om kodens uppbygnad, se bifogad kod och dess kommentarer. 4.1 Mjuk- och hårdvarukrav Mjukvarukrav Vid kodning behövdes en C++ kompilator utrustad med glu.h och glut.h bibliotek. När animeringen skall köras är det enda kravet operativsystemet Windows. Hårdvarukrav OpenGL-kompatibelt grafikkort. 9
15 4.1.1 Hur man kör animationen För att köra programmet gör följande: Kör exekveringsfilen. Välj menyalternativ för att ändra parametrar och att starta animeringen Figur 4.1: Skärmbild vid 3D-simuleringen av systemet vid en viss tidpunkt. Fås vid körning av C++-koden 10
16 Kapitel 5 Avslutning 5.1 Epilog Under de veckor som projektet har genomförts har vi som grupp fått utnyttja våra kunskaper som vi införskaffat oss i tidigare kurser. Projektet gav oss en möjlighet att kombinera kunskaper i allt från matematik och fysik till modellbygge och simulering och även kunskaper inom programmering. Detta har producerat ett resultat som är unikt i denna mening. 5.2 Diskussion Vid valet av vad projektet skulle handla om hade gruppen flera alternativ att välja mellan. Bland annat diskuterades bilsimulator och simulering av fluider. Anledningen till att vi till slut valde att simulera byggnationen av Cheopspyramiden var att det alternativet är unikt och nytt. Att vi dessutom under projektets gång hade kontakt med en fysiker och fick möjlighet att visualisera hans arbete har gjort arbetet mer intressant. Under de sex arbetsveckor som ägnats till projektet har arbetet flytit på i varierande takt. De problem som dykt upp har mestadels haft med fysiken att göra. Själva grunddelen av fysiken med block i lutande backe är väldigt basic och var inga problem. För att göra systemet mera avancerat tänkte vi därför i början även ta med hur mycket friktionen i varje block påverkade systemet. Efter en tids försök med detta insåg vi att det försvårade beräkningarna till den grad att det inte lönade sig att ta med dem då de inte påverkade systemet särskilt mycket. Många problem som vi stötte på berörde OpenGL. OpenGL är nytt för alla i gruppen och därför gick det mycket tid till att både lära sig språket och felsöka olika komplieringsfel. De problem som uppstod i OpenGL var bland annat att få till cylindrar. Efter många timmars sökande på lösningar och egna försök tvingades vi efter uteblivet resultat konstatera att vi var tvugna att ge upp. Detta medför att vi inte har kunnat illustrera taljorna och veven i våran animation. Själva beräkningarna för taljor och vev är dock med i uträkningen av hur blocket rör sig. Utöver taljorna och veven saknas även det rep som blocket drogs upp med. Anledningen till att vi inte tagit med det är återigen problemet vi hade med att modellera cylindrar, ett rep kan ju liknas med en smal avlång cylinder. Alternativ hade vi kunnat rita ut ett streck för att symbolisera repet med. Då detta inte blev särskilt visuellt tilltalande valde gruppen att även utesluta detta. Det resultat som stod klart efter de sex veckorna är gruppen nöjd med. Vi har fått fram det resultat vi satte som mål i början av projektet; en visualisering av hur blocken uppför sig enligt 11
17 mekanikens lagar. Vi hade dock önskat att vi haft mer tid för att även kunna modellera hela systemet med taljor, rep och vev. 12
18 Litteraturförteckning [1] Franchi L. Cheops Pyramid;. Tillgänglig: Mars 14, Website. [2] Carhart H Henry; Chute. Six-Pulleys;. File:Six-Pulleys.png. Tillgänglig: Mars 14, Website. [3] Wonder of the world;. khufu.html. Tillgänglig: Februari 25, Website. [4] Göran Forsling MN. Matematisk analys en variabel. Stockholm: Liber AB; [5] Fiedler G. Integration Basics;. integration-basics/. Tillgänglig: April 25, Website. [6] Jacobs B. Imageloader.cpp;. tutorial/textures/textures.zip. Tillgänglig: Mars 14, Website. 13
Inledning. Kapitel 1. 1.1 Bakgrund. 1.2 Syfte
Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika typer av fjädrar med olika parametrar.
Läs mer9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:
9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner
Läs merLABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merTvå gränsfall en fallstudie
19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merIntegration av matematik och teknik på ingenjörsutbildningar
Integration av matematik och teknik på ingenjörsutbildningar BTH, Sektionen för teknik: Anders Hultgren Wlodek Kulesza Magnus Nilsson Lunds universitet, Matematikcentrum Björn Walther m m v2(t) 2 k2 b2
Läs mer2014:2 RIKSFÖRENINGEN FÖR LÄRARNA I MATEMATIK, NATURVETENSKAP OCH TEKNIK
ISSN 1402-0041 Utdrag ur 2014:2 RIKSFÖRENINGEN FÖR LÄRARNA I MATEMATIK, NATURVETENSKAP OCH TEKNIK Filip, Gustav, Tove och några klasskamrater från årskurs 5 på Byskolan i Södra Sandby arbetar med friktion
Läs merDataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008
Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt 1: Fourierserier Två av fysikens mest centrala ekvationer är vågekvationen och värmeledningsekvationen. Båda dessa ekvationer är
Läs merInlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler.
Inlämningsuppgift 1 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler. Oftast använder vi apparater och motorer till att omvandla
Läs mer2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2.
Kursöversikt Numme för V, 2003. 1 Beatrice Frock NADA, KTH 030612 ANADA 2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2. Kursprogram. Läsanvisningar. Om WWW: I World Wide Web på Internet finns aktuell information
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs merGel esimulering 22 mars 2008
Gelésimulering 22 mars 2008 2 Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika
Läs merDigitalt lärande och programmering i klassrummet. Introduktionsworkshop - Bygg ett akvarium i Scratch
Digitalt lärande och programmering i klassrummet Introduktionsworkshop - Bygg ett akvarium i Scratch Introduktion Scratch är en programmeringsomgivning utvecklad av forskare på Massachusetts Institute
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs merInför provet mekanik 9A
Inför provet mekanik 9A Pär Leijonhufvud BY: $ \ 10 december 2014 C Provdatum 2014-12-12 Omfattning och provets upplägg Provet kommer att handla om mekaniken, det vi gått igenom sedan vi började med fysik.
Läs merLAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod
TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi
Läs merELEVINSTRUKTION - BILSIMULERING ALGODOO
- BILSIMULERING ALGODOO Startinställningar Rita en bil i Algodoo Titta på Youtube- klippet Rita en bil i Algodoo (Fröken Ulle 2014) och följ instruktionen. Ställa in startparametrar Titta på Youtube- klippet
Läs merVrid och vänd en rörande historia
Vrid och vänd en rörande historia Den lilla bilden nederst på s 68 visar en låda. Men vad finns i den? Om man vrider den vänstra pinnen, så rör sig den högra åt sidan. Titta på pilarna! Problemet har mer
Läs merPeter Ottosson 31/8-2012 petott@kth.se Introduktionskurs i datateknik II1310
KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN Robotlabb En introduktion till Datateknik 31/8-2012 petott@kth.se Introduktionskurs i datateknik II1310 1 Innehållsförteckning 1. Inledning... 3 1.1 Bakgrund... 3 1.2 Syfte
Läs mer8-1 Formler och uttryck. Namn:.
8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?
Läs merMekanik III, 1FA103. 1juni2015. Lisa Freyhult 471 3297
Mekanik III, 1FA103 1juni2015 Lisa Freyhult 471 3297 Instruktioner: Börja varje uppgift på nytt blad. Skriv kod på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur. Motivera uppställda
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet (fylls i av ansvarig) Datum för tentamen Sal Tid Kurskod Provkod Kursnamn/benämning Institution Antal uppgifter i tentamen Antal sidor på
Läs merLinnéuniversitetet. Naturvetenskapligt basår. Laborationsinstruktion 1 Kaströrelse och rörelsemängd
Linnéuniversitetet VT2013 Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Program: Kurs: Naturvetenskapligt basår Fysik B Laborationsinstruktion 1 Kaströrelse och rörelsemängd Uppgift: Att bestämma
Läs merÖvningar för finalister i Wallenbergs fysikpris
Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris 0 mars 05 Läsa tegelstensböcker i all ära, men inlärning sker som mest effektivt genom att själv öva på att lösa problem. Du kanske har upplevt under gymnasiet
Läs merBASFYSIK BFN 120. Laborationsuppgifter med läge, hastighet och acceleration. Epost. Namn. Lärares kommentar
BASFYSIK BFN 120 Galileo Galilei, italiensk naturforskare (1564 1642) Laborationsuppgifter med läge, hastighet och acceleration Namn Epost Lärares kommentar Institutionen för teknik och naturvetenskap
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer
2 mars 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer Syftet med denna matlab-övning är att studera differentialekvationer och introducera hur man använder
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
Läs merGrunderna i stegkodsprogrammering
Kapitel 1 Grunderna i stegkodsprogrammering Följande bilaga innehåller grunderna i stegkodsprogrammering i den form som används under kursen. Vi kommer att kort diskutera olika datatyper, villkor, operationer
Läs merPost Mortem för Get The Treasure!
Post Mortem för Get The Treasure! Av: Emil Lindberg - Grupp 15 Vi skulle göra ett action multiplayerspel som spelades över nätverket. Vilket vi nästan lyckades göra. Tiden tog slut och programmerarna han
Läs merSeparata blad för varje problem.
Institutionen för Fysik och Materialvetenskap Tentamen i FYSIK A 2008-12-12 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Johan Larsson, Lennart Selander, Sveinn Bjarman, Kjell Pernestål (nätbasår) Skrivtid
Läs merMatematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 2 digitala övningar med TI 82 Stat, TI 84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel
Läs merTeknikprogrammet, inriktning informations- och medieteknik
Teknikprogrammet, inriktning informations- och medieteknik Varför välja oss? Kursplan Presentation av våra datatekniska kurser Eftersom företag mycket sällan anställer gymnasieelever (de vill att ni ska
Läs merVetenskapsdagen 2016 SciLab för laborativa inslag i matematik eller fysik
Vetenskapsdagen 2016 SciLab för laborativa inslag i matematik eller fysik Fredrik Berntsson (fredrik.berntsson@liu.se) 5 oktober 2016 Frame 1 / 23 Bakgrund och Syfte Inom kursen Fysik3 finns material som
Läs merAtt välja kurser på Datateknik år 4-5
Att välja kurser på Datateknik -5 Inledning På D-programmet är alla kurser i årskurs 1-3 obligatoriska. Efter det är alla kurser valfria. Det skapar möjligheter för dig att sätta din egen prägel på utbildningen
Läs merMatematik E (MA1205)
Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND
Läs merFria matteboken: Matematik 2b och 2c
Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons
Läs mer4.2 Fastställ en referenslösning... 6 4.2.1 Kundvärde... 6
Inlämning 4 IKOT Inlämningsuppgift 4 Anders Segerlund andseg@student.chalmers.se Joakim Larsson joakiml@student.chalmers.se Toni Hastenpflug tonih@student.chalmers.se Fredrik Danielsson fredani@student.chalmers.se
Läs merEvaluation Summary - CD5570 DoA, distans VT 2004 Dan Levin
Evaluation Summary - CD7 DoA, distans VT Dan Levin Antal kursutvärderingar: 7. Hur tycker du informationen kring kursen har varit? (=dålig... =bra) Medel:.7 6 Det har varit bra information på alla plan
Läs merRedovisning av inlämningsuppgifter
Bilaga B Redovisning av inlämningsuppgifter 1 Rapportens innehåll Varje inlämningsuppgift ska redovisas med en skriftlig rapport. Rapporten ska vara häftad och försedd med ett försättsblad med uppgiftens
Läs merMODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2
UPPSALA UNIVERSITET AVDELNINGEN FÖR SYSTEMTEKNIK EKL och PSA, 2002, rev BC 2009, 2013 MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM DATORSTÖDD RÄKNEÖVNING OCH INLUPP 2 1. Överföringsfunktioner 2. Tillståndsmetodik Förberedelseuppgifter:
Läs merPositiv Ridning Systemet Arbetar min häst korrekt? Av Henrik Johansen
Positiv Ridning Systemet Arbetar min häst korrekt? Av Henrik Johansen Detta test på hur din häst arbetar tar ca tre minuter och bör ingå i uppvärmningen varje dag. Du måste veta vad du vill när du sitter
Läs merViktiga moment i kursplanen
En process där eleverna medverkar aktivt genom att tillsammans bygga, experimentera, undersöka, ställa frågor och kommunicera ger en mängd fördelar inlärningsmässigt. Även de mer traditionella kunskaperna
Läs merInledande matematik M+TD
Introduktionsföreläsning p. 1/13 Introduktionsföreläsning Inledande matematik M+TD Stig Larsson http://www.math.chalmers.se/ stig Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Göteborgs universitet
Läs merBeräkningsuppgift I. Rörelseekvationer och kinematiska ekvationer
1 Beräkningsuppgift I Vi skall studera ett flygplan som rör sig i xz planet, dvs vi har med de frihetsgrader som brukar kallas de longitudinella. Vi har ett koordinatsystem Oxyz fast i flygplanet och ett
Läs merConsump. Om du kör miljövänligt så visar den grön text och kör du inte miljövänligt så visar rött, kör du något där emellan visar den gult.
Consump Consump är en produkt som ska få dig att köra miljövänligare. Den består av en display som visar hur mycket din bil drar och priset per mil. Den har tre olika lägen som lyser grönt, gult eller
Läs merProcedurell stad. Projekt i kursen TNM022 Procedurella metoder för bilder. Tobias Heldring, tobhe335 2011-02-09
Procedurell stad Projekt i kursen TNM022 Procedurella metoder för bilder Tobias Heldring, tobhe335 2011-02-09 Sammanfattning Jag har gjort en enkel stadsgenerator med fokus på stadssiluett. Programmet
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merProcessidentifiering och Polplacerad Reglering
UmU/TFE Laboration Processidentifiering och Polplacerad Reglering Introduktion Referenser till teoriavsnitt följer här. Processidentifiering: Kursbok kap 17.3-17.4. Jämför med det sista exemplet i kap
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merTI-89 / TI-92 Plus. en ny teknologi med
TI-89 / TI-92 Plus en ny teknologi med När nya verktyg för matematik och naturvetenskapliga applikationer kommer på räknare behöver du nu inte köpa en ny. Om du har en Plus modul installerad i din TI-92
Läs mer(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).
STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när
Läs merMekaniska vågor. Emma Björk
Mekaniska vågor Emma Björk Olika typer av vågfenomen finns överallt! Mekaniska vågor Ljudvågor Havsvågor Seismiska vågor Vågor på sträng Elektromagnetiska vågor Ljus Radiovågor Mikrovågor IR UV Röntgenstrålning
Läs merTentaupplägg denna gång
Några tips på vägen kanske kan vara bra. Tentaupplägg denna gång TIPS 1: Läs igenom ALLA uppgifterna och välj den du känner att det är den lättaste först. Det kan gärna ta 10-20 minuter. Försök skriva
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 9 mars 6 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 5 april 6 Efter den här laborationen
Läs merGrafisk visualisering av en spårbarhetslösning
Datavetenskap Opponenter Johan Kärnell och Linnea Hjalmarsson Respondenter Agni Rizk och Tobias Eriksson Grafisk visualisering av en spårbarhetslösning Oppositionsrapport, C-nivå Report 2011:06 1. Generell
Läs merDAGBOK HB ADVENTURE TEAM. Vårat lag: Jinci, Ida, Jennifer, Felicia Lagledare: Hans
DAGBOK HB ADVENTURE TEAM Vårat lag: Jinci, Ida, Jennifer, Felicia Lagledare: Hans HB Adventure TEAM Vi anmälde ett lag under våren men bestämde sedan att vi skulle ha två lag eftersom de flesta som var
Läs merVar försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.
Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.
Läs merFunktioner och grafritning i Matlab
CTH/GU LABORATION 3 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på (elementära) matematiska funktioner i Matlab, som sinus och cosinus.
Läs merFöreläsning 3.1: Datastrukturer, en översikt
Föreläsning.: Datastrukturer, en översikt Hittills har vi i kursen lagt mycket fokus på algoritmiskt tänkande. Vi har inte egentligen ägna så mycket uppmärksamhet åt det andra som datorprogram också består,
Läs merUppdrag för LEGO projektet Hitta en vattensamling på Mars
LEGO projekt Projektets mål är att ni gruppvis skall öva på att genomföra ett projekt. Vi använder programmet LabVIEW för att ni redan nu skall bli bekant med dess grunder till hjälp i kommande kurser.
Läs merReglerteknik M3. Inlämningsuppgift 3. Lp II, 2006. Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:...
Reglerteknik M3 Inlämningsuppgift 3 Lp II, 006 Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:... Uppskattad tid, per person, för att lösa inlämningsuppgiften:... Godkänd Datum:... Signatur:... Påskriften av
Läs merTrycket beror på ytan
Inledning Trycket beror på ytan Du har två föremål med samma massa och balanserar dem på varsin handflata. Det ena föremålet har en mycket smalare stödyta än det andra. Förmodligen känns föremålet med
Läs merMATEMATIK FÖR KURS B (B-boken version 2)
NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (B-boken version 2) Provets omfattning: t o m kapitel 4.1 i Matematik 2000 kurs B (version 2). PROVET BESTÅR AV TVÅ DELAR Del 1 testar huvudsakligen
Läs merLektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys
Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, 1 2 3 X 4 6 7 Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över
Läs merFigur 1. Skärmbild med markerade steg i videon. Diagram och tabell som visar positionerna som funktion av tiden.
Videomodellering I tillägg till videoanalys är det möjligt att skapa modeller i Tracker. Genom att använda en video av ett försök kan man utifrån denna skapa en modell som beskriver förloppet. Det finns
Läs merREPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN
REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN Automatisk styra processer. Generell metodik Bengt Carlsson Huvudantagande: Processen kan påverkas med en styrsignal (insignal). Normalt behöver man kunna mäta
Läs merAlgoritm för uppskattning av den maximala effekten i eldistributionsnät med avseende på Nätnyttomodellens sammanlagringsfunktion
Algoritm för uppskattning av den maximala effekten i eldistributionsnät med avseende på Nätnyttomodellens sammanlagringsfunktion Carl Johan Wallnerström December 2005 Kungliga Tekniska Högskolan (KTH),
Läs merNXT LEGO-robot laboration Programmering och felsökning av en LEGOrobot
KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN NXT LEGO-robot laboration Programmering och felsökning av en LEGOrobot Gabriel Vilén 30/8-2012 gvilen@kth.se Introduktionskurs i datateknik II1310 Sammanfattning Vi har programmerat
Läs merObjektorienterad programmering
Objektorienterad programmering Emil Ahlqvist (c10eat@cs.umu.se) Didrik Püschel (dv11dpl@cs.umu.se) Johan Hammarström (c08jhm@cs.umu.se) Hannes Frimmel Moström (c10hml@cs.umu.se) 1 1. Introduktion 1.1 Objektorienterad
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merÖverföringsfunktioner, blockscheman och analys av reglersystem
Övning 3 i Mät- & Reglerteknik 2 (M112602, 3sp), MT-3, 2013. Överföringsfunktioner, blockscheman och analys av reglersystem Som ett led i att utveckla en autopilot för ett flygplan har man bestämt följande
Läs merJust nu pågår flera satsningar för att förbättra svenska elevers måluppfyllelse
Andersson, Losand & Bergman Ärlebäck Att uppleva räta linjer och grafer erfarenheter från ett forskningsprojekt Författarna beskriver en undervisningsform där diskussioner och undersökande arbetssätt utgör
Läs mer4 Numerisk integration och av differentialekvationer
Matematik med Matlab M1 och TD1 1999/2000 sid. 27 av 47 4 Numerisk integration och av differentialekvationer Redovisning redovisas som tidigare med en utdatafil skapad med diary 4.1 Numerisk av ekvationer.
Läs merAtt använda pekare i. C-kod
Att använda pekare i C-kod (Bör användas av de som känner sig lite hemma med C-programmering!) Rev 1, 2005-11-23 av Ted Wolfram www.wolfram.se Syfte: Man kan tycka att det är komplicerat att använda pekare
Läs merNr 1 år 2007 Årgång 25
FLASKPOSTEN Nr 1 år 2007 Årgång 25 Bättre sent än aldrig eller hur? Så nu kommer äntligen en tidning lagom till sommarlovet, när alla får gunga vidare på egen hand ett tag. Här kan ni läsa om vad vi gjort
Läs merIntegration av matematik och teknik på ingenjörsutbildningar
Integration av matematik och teknik på ingenjörsutbildningar Anders Hultgren universitetslektor i reglerteknik BTH, Sektionen för teknik anders.hultgren@bth.se Wlodek Kulesza professor i mätteknik BTH,
Läs merLiTH. WalkCAM 2007/05/15. Testrapport. Mitun Dey Version 1.0. Status. Granskad. Godkänd. Reglerteknisk projektkurs WalkCAM LIPs
Testrapport Mitun Dey Version 1.0 Status Granskad Godkänd 1 PROJEKTIDENTITET Reglerteknisk projektkurs, WalkCAM, 2007/VT Linköpings tekniska högskola, ISY Namn Ansvar Telefon E-post Henrik Johansson Projektledare
Läs merProjekt i Bildanalys: Automatisk detektion av lungemboli ur scintbilder
: Automatisk detektion av lungemboli ur scintbilder Susann Stjernqvist, F00 och Handledare: Anders Ericsson HT2003 1 Innehåll 1 Syfte 3 2 Teori 3 2.1 SCINTbilder............................. 3 2.2 Snakes.................................
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merPartiklars rörelser i elektromagnetiska fält
Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning
Läs merBrandsäker rökkanal. Skorstensfolkets guide till en trygg stålskorsten 2008-06-16 1
Brandsäker rökkanal Skorstensfolkets guide till en trygg stålskorsten 2008-06-16 1 1 Introduktion Det är bra att anpassa skorstenen efter eldstadens behov. Risken för överhettning till följd av för stora
Läs merGPS-sändare: en ny era för studier av beteendeekologi hos vilda djur
GPS-sändare: en ny era för studier av beteendeekologi hos vilda djur Håkan Sand, Per Ahlqvist och Olof Liberg I slutet av 196-talet revolutionerades viltforskningen genom att det blev möjligt att studera
Läs merTHALASSOS C o m p u t a t i o n s. Ny hamn i Trelleborg. Modellberäkning av vattenomsättningen öster och väster om hamnen.
THALASSOS C o m p u t a t i o n s Ny hamn i Trelleborg. Modellberäkning av vattenomsättningen öster och väster om hamnen. Jonny Svensson Innehållsförteckning sidan Sammanfattning 3 Bakgrund 3 Metodik 3
Läs merMa2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov.
Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov. (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C Kravgränser 110 minuter för Del B, C och Del D. Du får påbörja del D (och börja använda
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs merAllmän studieplan för utbildning på forskarnivå i
ÖREBRO UNIVERSITET Allmän studieplan för utbildning på forskarnivå i MATEMATIK Mathematics Studieplanen är utfärdad den 8 december 2015 (dnr ORU 5.1-04970/2015). 1 Med stöd av 6 kap. 26 högskoleförordningen
Läs merHÖGSKOLAN I KALMAR Institutionen för teknik Erik Loxbo 06 03 04 LABORATION I PLC-TEKNIK SEKVENSSTYRNING AV TRANSPORTBAND SIMATIC S7 - GRAPH
HÖGSKOLAN I KALMAR Institutionen för teknik Erik Loxbo 06 03 04 LABORATION I PLC-TEKNIK SEKVENSSTYRNING AV TRANSPORTBAND SIMATIC S7 - GRAPH Uppgift: Lös nedanstående problemställning med hjälp av programvaran
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs merSplitsning av flätade linor gjorda av polyester eller nylon.
Denna splits är inte lämplig för dubbelflätade linor vars styrka enbart beror på styrkan i kärnan. Öglesplitsen används för att placera en permanent ögla i änden av ett rep, i allmänhet för förtöjning
Läs merMA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.
MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning
Läs merD I G I TA LT S K A PA N D E
DIGITALT SKAPANDE Innehåll WEBBPLATS PRESENTATION AV DIN KARMTAT... 4 Översiktsplan för arbetets olika moment... 4 Intervjuguide... 5 Inlämning senast onsdagen den 9 december... 5 Redovisning onsdagen
Läs merÖstbergsskolans loggbok!
Östbergsskolans loggbok! Dag 1 det första vi gjorde var att gå varvet runt och lärde oss varandras namn. Det gick ganska snabbt,gruppen var ganska blandad,vissa gick i 6:an vissa i 7:an och några från
Läs merGrupp 1: Kanonen: Launch + Top Hat + Lilla Lots
Grupp 1: Kanonen: Launch + Top Hat + Lilla Lots Kanonen liknar inte en vanlig berg- och dalbana. Uppdraget- den långa backen där berg- och dalbanetåg sakta dras upp - har ersatts med en hydraulisk utskjutning.
Läs merGunnesboskolan, miljövänlig? Energi och Miljö tema VT-10
Gunnesboskolan, miljövänlig? Energi och Miljö tema VT-10 Fredrik Ossiannilsson & Jakob Eriksson Klass 9a Inlämnat 21 maj 2010 Handledare Olle Nyhlén Johansson Innehållsförteckning Inledning... sida 2 Bakgrund...
Läs merInformation om ämnet Militärteknik med diagnostiskt självtest av förkunskaper till blivande studerande på Stabsutbildningen (SU)
Sida 1 (6) Information om ämnet Militärteknik med diagnostiskt självtest av förkunskaper till blivande studerande på Stabsutbildningen (SU) Militärteknik kan sägas vara läran om hur tekniken interagerar
Läs merIntroduktion till kursen och MATLAB
Introduktion till kursen och MATLAB TNA005: Tillämpad matematik i teknik och naturvetenskap för ED1, KTS1, och MT1 vårterminen 2018 Berkant Savas Kommunikations- och transportsystem Institutionen för teknik
Läs merTentamen, EDA501 Programmering M L TM W K V
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA 1(0) Institutionen för datavetenskap Tentamen, EDA501 Programmering M L TM W K V 2010 05 31, 8.00 13.00 Anvisningar: Denna tentamen består av 4 uppgifter. Preliminärt ger uppgifterna
Läs mer