Extremvärdens påverkan på beräkning av standardavvikelser Stig-Arne Mattsson Sammanfattning Även om efterfrågan under normala omständigheter varierar från period till period, är variationerna i allmänhet måttliga i förhållande till medelefterfrågan. Det kan emellertid inträffa att efterfrågan mer eller mindre oförutsägbart kan bli extremt stor under enstaka perioder. Fenomenet kallas extremvärden eller outliers, och definieras som ett markant avvikande värde i en serie av variabelvärden (Mattsson, 2004b). Dessa efterfrågevärden representerar kvantiteter som är klart större än vad man normalt förväntar sig och de kan få en avsevärd påverkan på efterfrågans standardavvikelse och därmed på storleken av säkerhetslagret. Syftet med den här studien är att analysera i vilken utsträckning extrema efterfrågevärden påverkar standardavvikelsen för en i övrigt normalt varierande efterfrågan och därmed också hur de påverkar säkerhetslagrets storlek. Analyserna har utförts på efterfrågedata från ett fallföretag. Resultaten från de genomförda analyserna visar att förekommande extremvärden påtagligt ökar beräknade standardavvikelser och leder därmed till väsentligt ökade säkerhetslager. Analyserna visar också att beräknade standardavvikelser varierar betydligt mer från period till period om extrema efterfrågevärden ingår i beräkningarna. Dessa variationer leder i sin tur till varierande säkerhetslagerstorlekar och därmed till variationer i erhållna servicenivåer. 1 Bakgrund och forskningsfråga Hög leveransförmåga är ofta ett villkor för att framgångsrikt kunna konkurrera på marknaden. Bland annat kan detta innebära att vid order kunna leverera från lager i en utsträckning som minst motsvarar vad konkurrerande företag klarar av. För att åstadkomma en konkurrenskraftig leveransförmåga på ett kostnadseffektivt sätt är det nödvändigt att dimensionera sina säkerhetslager med utgångspunkt från en önskad servicenivå, exempelvis uttryckt som andel av den totala efterfrågan som kan tillfredsställas direkt från lager. En sådan säkerhetslagerdimensionering ställer emellertid också krav på att man kan beräkna eller uppskatta hur mycket efterfrågan varierar från period till period eftersom säkerhetslagret är en funktion av dessa variationer. I den statistiska teorin finns det sedan länge ett antal etablerade mätetal för att uttrycka hur mycket en storhet varierar. Av dessa alternativa mätetal är standardavvikelsen det vanligast använda för efterfrågevariationer. För att kunna beräkna standardavvikelsen som mått på hur mycket efterfrågan av en produkt varierar krävs tillgång till efterfråge- Teknisk Logistik stig-arne.mattsson@swipnet.se Lund Universitet Februari, 2006
historik, exempelvis i form av utleveranser per period. Trots att det principiellt och tekniskt inte föreligger några egentliga svårigheter att beräkna och uttrycka efterfrågevariationer med hjälp av sådana standardavvikelser finns det emellertid vid praktisk användning ett antal problem att ta ställning till. Även om efterfrågan under normala omständigheter varierar från period till period, är variationerna i allmänhet, med undantag för mycket lågrörliga artiklar, måttliga i förhållande till medelefterfrågan. Det kan emellertid inträffa att efterfrågan mer eller mindre oförutsägbart kan bli extremt stor under enstaka perioder. Fenomenet kallas extremvärden eller outliers, och definieras som ett markant avvikande värde i en serie av variabelvärden (Mattsson, 2004b). Dessa efterfrågevärden representerar kvantiteter som är klart större än vad man normalt förväntar sig. De får också en avsevärd påverkan på efterfrågans standardavvikelse och därmed på storleken av säkerhetslagret, samtidigt som den säkerhetslagerökning extremvärdena medför oftast ändå inte räcker till för att säkerställa att dessa stora efterfrågekvantiteter kan levereras direkt från lager. En konsekvens kan därför bli att förekommande extremvärden bidrar till att öka kapitalbindningen i lager utan att denna kapitalbindningsökning i tillräcklig omfattning bidrar till att säkerställa en önskad leveransförmåga. En naturlig forskningsfråga är därför följande. I vilken utsträckning påverkar extrema efterfrågevärden standardavvikelsen för den i övrigt normalt förekommande efterfrågan och därmed säkerhetslagrets storlek? 2 Teoretiska utgångspunkter Företeelsen extremvärden och de problem de medför är mycket begränsat behandlat i litteraturen. Bland dem som i någon utsträckning diskuterar problemet kan Sullivan och Claycombe (1977), Fogarty och Hoffman (1983), Bodenstab (1993) samt Wallace (1998) nämnas. Ingen har emellertid studerat om extremvärdens påverkan på beräknade standardavvikelser är av signifikant betydelse eller inte. Extrema efterfrågevärden per period kan uppstå av olika orsaker. En orsak kan vara att man erhållit en speciell exportorder, en stor order från en ny kund eller dylikt. Om sådana stora order kan anses vara något av engångsföreteelser som inte förväntas upprepas rimligt ofta i framtiden eller som återkommer med mycket låg frekvens bör de inte ingå i den efterfrågan som skall ligga till underlag för beräkning av standardavvikelser och inte heller vara en del av lagerstyrningen. De bör om möjligt i stället hanteras inom ramen för en leverera-från-tillverkning-strategi i stället för en leverera-från-lagerstrategi. En annan orsak till att perioder med exceptionellt stor efterfrågan kan uppstå är att ett par eller några förhållandevis stora kundorder av en slump råkar komma under samma period. Extremvärden kan också uppstå på grund av felaktigheter vid registrering och behandling av orderdata eller som ett resultat av leveranssvårigheter under en period. Mattsson (2004a) har studerat vilken betydelse förekomsten av extremvärden kan ha på standardavvikelsens storlek. Beräkningarna har gjorts på slumpgenererad efterfrågan för tre olika scenarier med olika hög efterfrågan och olika många order per månad. Inflytandet av extremvärden har åstadkommits genom att till den slumpmässigt genererade efterfrågan lägga enstaka kvantiteter 2, 4 respektive 6 gånger per år. Dessa kvantitets- 2
tillägg kan betraktas som exceptionella kundorder och kvantiteterna har satts till olika multiplar av medelefterfrågan per dag. Av de redovisade resultaten framgår att extremvärdenas påverkan på standardavvikelsen oftast är avsevärd. Exempelvis visas att om 4 exceptionella kundorder, vardera med orderkvantiteter på 75 stycken, erhålls per år vid en årlig omsättning på 3600 st och med 150 kundorder på månad, kommer standardavvikelsen att bli nästan 50 % högre än vad den skulle blivit om extremvärden uteslutits från beräkningarna. Denna påtagliga inverkan på standardavvikelsens storlek uppstår trots att de 4 kundorderna var för sig inte representerar mer än storleksordningen 25 % av medelefterfrågan per månad. Ju större och ju högre och jämnare efterfrågan är utan extremvärden och ju fler och större extremefterfrågevärdena är, desto större blir standardavvikelsen när extremvärdena inkluderas i beräkningarna jämfört med att de inte ingår. Eftersom extremvärden inte är representativa för efterfrågefördelningen i övrigt kan det med tanke på resultaten från denna studie finnas skäl att eliminera dem vid beräkningen av standardavvikelser. Ett sätt att åstadkomma detta är att göra så kallade efterfrågetest för att kontrollera om en periods utleveransvolym kan betraktas som representativ för den normalt varierande efterfrågan och därmed skall tillåtas påverka standardavvikelseberäkningen. Se exempelvis Andersson Lungfeldt Wandel (1970, sid 85). Testen görs med hjälp av en kontrollgräns beräknad på ett sådant sätt att man med en önskad konfidensgrad kan avgöra om en periods utleveransvolym kan anses vara rimligt stor eller ej. Perioder vars utleveransvolymer överskrider denna kontrollgräns exkluderas vilket i princip är detsamma som att vid standardavvikelseberäkningen sätta periodens efterfrågan lika med medelefterfrågan. Om standardavvikelseberäkningen i stället bygger på prognosfel motsvaras detta förfarande av att sätta periodens verkliga utleveransvolym lika med gällande prognos och att följaktligen inte ändra aktuell prognos. Ett annat sätt att hantera utleveransvolymer som hamnar utanför kontrollgränsen redovisas av Bodenstab (1993). Han förslår att när den övre kontrollgränsen överskrids, det värde som motsvarar den övre kontrollgränsen används som verklig utleveransvolym i stället för den verkligt erhållna volymen och därmed som senaste efterfrågevärde vid prognosberäkningen. 3 Empiriska data och beräkningsmetodik För att komplettera den mer teoretisk orienterade studien vars resultat översiktligt redovisades ovan har fördjupade beräkningar och analyser genomförts på faktiska efterfrågedata från ett fallföretag. Sammanlagt har 300 olika artiklar, vardera med två års efterfrågan per dag och med varierande efterfrågestruktur och med förekomst av extremvärden studerats. I figur 1 illustreras efterfrågan per dag under två månader för en av de studerade artiklarna. Förekomsten av extremvärden framgår tydligt. 3
Efterfrågan per dag 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 Dagar Figur 1 Efterfrågan per dag under 40 dagar för en av de studerade artiklarna Artiklarna i det studerade sortimentet har grupperats i följande fem olika rörelseklasser. Antalet artiklar per klass visas inom parentes. Klass 1: Mer än 1 uttag per dag (53 artiklar) Klass 2: Mer än 1 uttag per vecka men mindre än 1 uttag per dag (109 artiklar) Klass 3: Mer än 1 uttag per månad men mindre än 1 uttag per vecka (60 artiklar) Klass 4: Mer än 1 uttag per kvartal men mindre än 1 uttag per månad (48 artiklar) Klass 5: Färre än 1 uttag per kvartal (30 artiklar) För artiklar med mycket låg rörlighet, dvs med få uttag per dag, kan man inte tala om extremvärden och om att eliminera dem eftersom praktiskt varje efterfrågevärde kan betraktas som ett extremvärde i förhållande till medelförbrukning per dag. Av detta skäl har klass 4 och 5 uteslutits från beräkning och analys. En beräknad standardavvikelse utgör ett stickprov från en efterfrågefördelning och i allmänhet dessutom ett mycket begränsat stickprov (Vaughan, 1995). Successivt beräknade standardavvikelser, exempelvis månatligen beräknade, varierar därför oftast ganska kraftigt under året (Mattsson, 2004a). För att kunna studera om det föreligger skillnader mellan standardavvikelser från efterfrågehistorik med och utan extremvärden med acceptabel noggrannhet krävs mer än de två år av efterfrågan som erhållits från fallföretaget. Från de erhållna verkliga efterfrågevärdena per artikel har därför efterfrågevärden per dag under 25 år motsvarande 6000 dagar genererats med samma värden och med samma fördelning som den verkliga. Metoden med kontrollgränser har använts för att eliminera extremvärden. Värdet 3,29 har använts som kontrollgränsfaktor vilket motsvarar en konfidensgrad på 99.9 %. Det innebär att om en periods efterfråga exkluderas som extremvärde är sannolikheten endast 0,1 % att den egentligen tillhör den aktuella efterfrågefördelningen. I medeltal, för alla artiklar tillhörande rörelseklass 1, 2 och 3, har 1.7 % av alla analyserade dagar en 4
extrem efterfrågan. Detta motsvarar att extrem efterfrågan i medeltal förelåg under 4 dagar per år och artikel. 4 Beräkningsresultat och analyser Resultaten av de genomförda beräkningarna för artiklar tillhörande respektive rörelseklass framgår av tabell 1. I den vänstra kolumnen visas hur många procent lägre standardavvikelsen i medeltal blir om man eliminerar extremvärden från efterfrågehistoriken och i den högra kolumnen hur mycket variationerna för de månatligt beräknade standardavvikelserna uttryckta som standardavvikelser minskas i procent om man eliminerar förekommande extremvärden. Rörlighets- Klass Minskning av standardavvikelse vid eliminering av extremvärden i procent Minskning av variation i standardavvikelse vid eliminering av extremvärden i procent 1 40,5 50,5 2 40,7 47,9 3 48,6 46,5 Tabell 1 Skillnader i medelstandardavvikelser och variation i standardavvikelser i procent vid eliminering av extremvärden Av tabellen framgår att standardavvikelsen för efterfrågevariationer kan reduceras med storleksordningen 40 % och mer om man eliminerar förekommande extremvärden. Inga påtagliga skillnader föreligger mellan de olika rörelseklasserna. Även variationer i standardavvikelser månad för månad reduceras påtagligt om extremvärden elimineras, storleksordningen nästan 50 % 5 Sammanfattning och slutsatser Den efterfrågehistorik som beräkningar av standardavvikelser baseras på innehåller i många fall perioder med extremt stora värden. De är inte heller representativa för den efterfrågefördelning som övriga perioder motsvarar. Förekomst av extrema värden kan bland annat uppkomma på grund av enstaka exceptionellt stora kundorder. De analyser som genomförts visar klart att förekommande extremvärden påtagligt ökar den beräknade standardavvikelsen. Denna ökning av beräknade standardavvikelse leder till ökade säkerhetslager. Säkerhetslagerökningen är emellertid i allmänhet ändå inte tillräcklig för att säkerställa leverans när efterfrågetopparna inträffar. Den har därför ett mycket begränsat värde. De genomförda analyserna visar också att de periodiskt återkommande beräknade standardavvikelserna varierar betydligt mer från period till period om extrema efterfrågevärden ingår i beräkningarna. Varierande standardavvikelser leder till varierande säkerhetslagerstorlekar och därmed till variationer i erhållna servicenivåer. Det blir då svårare att upprätthålla en hög och jämn leveransförmåga till kund. 5
Slutsatsen blir därför att extremvärden i efterfrågan på olika sätt bör elimineras från efterfrågestatistiken i samband med beräkning av standardavvikelser. Förekommande exceptionellt stora order bör antingen delas upp i smärre och periodiskt fördelade leveranser eller levereras direkt från produktionen eller extern leverantör och inte via lager. De bör med andra ord inte ingå i den löpande lagerstyrningen. Referenser Andersson, J. Ljungfeldt, S. Wandel, S. (1970) Produktionsstyrning. Studentlitteratur. Bodenstab, C. (1993) A new era in inventory management. Hilta Press. Fogarty, D. Hoffmann, T. (1983) Production and inventory management. South- Western Publishing. Mattsson, S-A. (2004a) Standardavvikelse som mått på efterfrågevariationer vid säkerhetslagerberäkning. Arbetspapper. Institutionen för Teknisk ekonomi och logistik. Lunds Tekniska Högskola. Mattsson, S-A. (2004b) Logistikens termer och begrepp. PLAN Föreningen för Produktionslogistik. Sullivan, W. Claycombe, W. (1977). Fundamentals of forecasting. Reston Publishing Company. Vaughan, T. (1995) The effect of sampling variability on statistical order point computation. Production and Inventory Management Journal. 3 rd Qtr, sid 84-87. Wallace, T. (1998) Controlling abnormal demand. The Performance Advantage, Mars 1998, sid 92-93. 6