Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Kalkylator Bifogad formelsamling: Formelblad och tabeller i statistik Språklexikon: Persiska - Svenska, Svenska - Persiska. Engelska - Svenska, Svenska - Engelska Totalt antal poäng på tentamen: För att få respektive betyg krävs: 3 = 20, 4 = 30, 5 = 40. 50 poäng Allmänna anvisningar: Rättningstiden är som längst tre veckor Viktigt! Glöm inte att skriva namn på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Rustan Halldin Telefonnummer: 4354672
1
Högskolan i Borås Tentamen i Matematisk statistik, 7.5 hp, TT091A. Ingenjörshögskolan 2012-05-29 Rustan Halldin Fullständiga lösningar krävs. Enbart svar ger 0 poäng på uppgiften. Varje lösning skall börja överst på nytt blad. 1. a) Varukoderna i en affär består av två bokstäver och följt av tre siffror. Hur många varor räcker detta till om 26 bokstäver och 10 siffror får användas? (1p) b) P(A) = 0.3, P(B) = 0.5 och P(A B c ) = 0.2 (c är komplement). Beräkna P(A B). (2 p) c) Ett varuparti om 50 enheter innehåller 6 defekta enheter. En köpare tar på måfå och utan återläggning ut 5 enheter och undersöker dessa. Vad är sannolikheten att exakt 2 av dessa är defekta? (1 p) d) Den stokastiska variabeln X är Poissonfördelad med väntevärdet 3. Beräkna P(2 X < 4). (1 p) 2. Man vill jämföra två maskiner A och B med avseende på en viss kvalitetsvariabel hos de tillverkade enheterna. För båda maskinerna kan kvalitetsvariabeln antas vara normalfördelad med okänd standardavvikelse. För maskin A har man under 6 slumpmässigt utvalda dagar erhållit följande observationer: 21 22 23 22 23 21 För maskin B har man under 8 slumpmässigt utvalda dagar erhållit följande observationer: 23 24 23 22 23 22 24 23 Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för µ A - µ B under antagandet att populationsvarianserna är lika. Ange lämplig nollhypotes och mothypotes. Föreligger det någon skillnad mellan maskin A och maskin B? (5 p) 3. Fakturabeloppen under ett år för ett företag antas vara normalfördelade med väntevärde 32000 kronor och standardavvikelse 2000 kronor. a) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald faktura överstiger 35000 kronor. (1 p) b) Under en normal dag skickas 5 fakturor från företaget. Bestäm sannolikheten att det genomsnittliga beloppet för fakturorna av en slumpmässigt vald dag är högst 30000 kronor. (2 p) c) Om totala beloppet av fakturorna under en dag är mer än 175000 kronor, skulle detta vara oväntat mycket? Motivera din slutsats med hänvisning till ovanstående uträknade sannolikheter. (1 p)
4. En kontinuerlig stokastisk variabel X har frekvensfunktionen: f ( x) 1 x, 6 0, 1 x 3 för övrigt a) Bestäm väntevärde och varians till X. (2 p) b) Bestäm fördelningsfunktionen till X. (1 p) c) Bestäm medianvärdet till X. (2 p) 5. Vid en fabriksanläggning har man för 7 månader mätt produktionskostnader i 1000-tals kronor och produktion i ton för en viss produkt. Man erhöll följande resultat: Produktion (x) 1 2 8 6 5 8 6 Produktionskostand (y) 14 21 56 42 35 63 49 För detta datamaterial har följande summor beräknats: x 36 x 2 230 y 280 y 2 13132 Datamaterialet beskrivs av en linjär regressionsmodell y x. a) Skatta α och β samt tolka skattningen av β i ord. (2 p) b) Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för β. (2 p) c) Beräkna determinationskoefficienten och tolka det erhållna värdet. (2 p) 6. En amerikansk tillverkare av sprinklersystem, som används för brandskydd i kontorsbyggnader, påstår att systemet aktiveras vid en genomsnittlig temperatur på 130. Man tar ett stickprov om 9 sprinklersystem och erhåller en genomsnittlig aktiveringstemperatur på 131.08. Aktiveringstemperaturen antas vara normalfördelade med väntevärde µ och standardavvikelse 1.5. För att undersöka om tillverkarens påstående är korrekt utför man ett klassiskt hypotestest. a) Testa hypotesen H 0 : µ = 130 mot H 1 : 130 på signifikansnivån α = 0.01. Finns det anledning att förkasta nollhypotesen? Motivera din slutsats! (2 p) b) Beräkna testets styrka för µ = 132 och µ = 129. (2 p) c) Beräkna testets p-värde. (1 p) d) Förändras testet om mothypotesen är H 1 : > 130? Motivera din slutsats! (1 p)
7. En produkt förpackas i stora partier med två olika kvaliteter, ordinär och prima. Andelen felaktiga komponenter i ett parti av ordinär kvalitet är 5 %, medan andelen felaktiga i ett parti av prima kvalitet är 1 %. En tredjedel av alla partier är av prima kvalitet och resten är av ordinär kvalitet. För att kvalitetsbestämma ett parti av okänd kvalitet tar man ut tre slumpmässigt valda komponenter. a) Bestäm sannolikhetsfördelningen för antalet felaktiga produkter av de tre uttagna för ett parti av ordinär kvalitet. (1 p) b) Bestäm sannolikheten att få precis en trasig komponent av de tre uttagna från ett slumpmässigt valt parti. (2 p) c) Bestäm sannolikheten att ett slumpmässigt valt parti är av prima kvalitet, givet att precis en av de tre uttagna komponenterna var felaktig. (2 p) 8. Man har ett slumpmässigt stickprov x 1,, x n från en stokastisk variabel X som har frekvensfunktionen f ( x) x 2 0, e 3 x 3, x 0 för övrigt där θ är en okänd parameter. Härled maximum-likelihood-skattningen av parametern θ. (4 p) 9. En 25W glödlampa på en arbetsplats förbrukar under en arbetsdag energin X (enhet: 0.1kWh), med frekvensfunktionen x f ( x), 0 x 2 2 där X = 2 motsvarar en maximal brinntid om 8 timmar. Beräkna approximativt sannolikheten att den totala energiförbrukningen hos glödlampan under 100 på varandra följande arbetsdagar överstiger 140. Energiförbrukningen under olika dagar beskrivs av oberoende stokastiska variabler med samma fördelning som X. (5 p) 10. Ett tåg ska enligt tidtabellen anlända till Station A klockan 9.00 dagligen. Tåget är sällan exakt i tid utan ofta något försenat vid ankomsten och den verkliga ankomsttidens variation, i minuter, från tidtabellen kan beskrivas med en normalfördelad stokastisk variabel N(3, 2). Då tåget anlänt så måste det gå igenom obligatoriska kontroller som startar omedelbart efter ankomst till Station A. Tiden, i minuter, det tar att utföra dessa kan antas vara normalfördelad N(9, 3). Tåget avgår omedelbart då kontrollerna är avslutade. Tåget skall enligt tidtabell anlända till Station B klockan 10.30 varje dag. Tiden, i minuter, det tar att åka mellan stationerna kan antas vara normalfördelad N(75, 4). Hur stor är sannolikheten att tåget under en period på 10 dagar anländer försenat till Station B minst två gånger? (5 p)