Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2011-06-04 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Yacin Ameur Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om flerdimensionella fördelningar Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan rättas upp på grund av slarvfel. På del 1 ges inga delpoäng på uppgifterna. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 17 poäng på del 1. Med 2 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det alltså med 15 poäng av de 25 möjliga för godkänt. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (7)
1. Ett företag som köper grävmaskiner från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av maskinerna kommer att vara felaktiga. Tre olika feltyper förekommer, som betcknas feltyp a, b respektive c. Sannolikheten att fel a förekommer på en slumpmässigt vald grävmaskin är 6 %. Motsvarande sannolikhet för fel b och c är 2 % respektive 5 %. Felen uppkommer oberoende av varandra. (a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald grävmaskin har minst ett av de tre felen. (b) Antag att en maskin visat sig ha felen a och b. Vad är sannolikheten att den även har fel c? 2. Trots att Victor är mycket duktig på att skriva maskin så händer det att han gör feltryckningar. Antalet feltryckningar per sida är Poissonfördelat. Det förväntade antalet feltryckningar på en sida är lika med 8. Beräkna sannolikheten att Victor gör minst 10 feltryckningar på en sida. 3. Den kontinuerliga slumpvaribeln ξ har frekvensfunktionen { cx 2 om 1 x 0, f(x) = 0 annars, där c är en viss konstant. (a) Konstanten c måste ha ett speciellt värde för att funktionen ovan skall vara en frekvensfunktion. Vilket är detta värde? (b) Beräkna väntevärdet av ξ. (Konstanten c skall ej ingå i svaret.) 4. Antag att en befolknings vuxna män har en normalfördelad längd med väntevärde 180 cm och standardavvikelse 6 cm och att befolkningens vuxna kvinnor också har normalfördelad längd, men med väntevärde 168 cm och standardavvikelse 5 cm. (a) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald kvinna är mellan 160 cm och 176 cm? Ange ditt svar i procent med två decimaler. (b) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald kvinna är längre än en slumpmässigt vald man? 5. I en dator avrundas vid addition varje tal till närmaste heltal. Antag att alla avrundningsfel är oberoende och rektangelfördelade på intervallet ( 0.5, 0.5). Om 1000 tal adderas, hur stor är sannolikheten att absolutbeloppet av det totala felet överstiger 5? 2 (7)
6. Johan är brottare. För att kunna tävla i sin viktklass får han inte väga mer än 78 kg. Johans våg är inte helt tillförlitlig. Avvikelsen mellan hans faktiska vikt och den vikt som vågen visar är normalfördelad med väntevärde noll. Den vikt som vågen visar kan därför ses som en observation från N(θ, σ) fördelningen, där θ är Johans verkliga vikt och där σ är en okänd konstant. (a) Johan väger sig en gång per dag den sista veckan innan tävlingen. Den vikt som vågen visar på dag i kan då ses som en observation från N(θ i, σ)-fördelningen, där θ i är Johans verkliga vikt dag i = 1, 2,..., 7 och där σ är en okänd konstant. Vad är sannolikheten att vågen visar en vikt som är högre än Johans sanna vikt under minst fyra av de 7 dagarna? (b) På morgonen en dag då Johan skall tävla vill han avgöra om han behöver bada bastu (för att på så vis bli av med ytterligare vikt). Han beslutar sig för att väga sig 6 gånger direkt efter varandra och testa, på 5 % signifikansnivå, om hans vikt är exakt 78 eller om den är större än 78 kilo. Som testvariabel använder han kvoten x 78 s/ 6, där x är stickprovsmedelvärdet och där s är stickprovsstandardavvikelsen. Vilket är det kritiska värdet på testvariabeln? (c) De sex mätningarna gav vikterna 1 2 3 4 5 6 77.78 78.22 77.85 78.05 77.96 78.21 Beräkna ett 99 % konfidensintervall för Johans vikt. Svara med den övre gränsen. 7. Amanda jobbar på ett företag som tillverkar elektriska komponenter. Komponenternas vikter kan betrakas som slumpmässiga med väntevärde 0.35 kilo varians 0.0025 kilo. Amanda behöver förklara detta för några amerikanska kollegor som använder pounds (lbs) istället för kilo, där 1 lb= 0.45359237 kg. Mätt i pounds, vad är väntevärdet och standardavvikelsen för komponenternas vikter? 8. Antag att de två slumpvariablerna ξ och η har den simultana sannolikhetsfunktionen p(x, y). Nedan ges p(x, y) förutom värdet p(1, 0), som medvetet har tagits bort. x\y 0 1 2 3 0 0.21 0.16 0.04 0.04 1? 0.08 0.06 0.04 2 0.05 0.03 0.02 0.03 3 0.02 0 0.04 0.01 (a) Bestäm värdet på p(1, 0). (b) Beräkna det betingade väntevärdet av η givet att ξ = 3. 3 (7)
9. (a) Den tvådimensionella slumpvariabeln (ξ, η) är likformigt fördelad på kvadraten K = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1}. Låt ζ = ξ 2 + η 2 vara avståndet mellan origo och punkten (ξ, η). Beräkna P (ζ 1). Observera att kvadraten K ovan inte är samma kvadrat som på Laboration 3. (b) Den tredimensionella slumpvariabeln ξ = (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) har en likformig fördelning på det klot som har sitt centrum i origo och vars radie är lika med 1. Beräkna sannolikheten att ξ hamnar i området A som ges av A = {(x 1, x 2, x 3 ) : 1/3 < x 2 1 + x2 2 + x2 3 2/3}. Du skall med andra ord beräkna P (1/3 < ζ 2/3), där ζ = ξ1 2 + ξ2 2 + ξ2 3. Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 4 (7)
Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Fråga Svar Poäng 1 a Sannolikhet (procent, en decimal) 2 b Sannolikhet (procent, en decimal) 1 2 Sannolikhet (procent, en decimal) 2 3 a konstanten c (tre decimaler) 1 b Väntevärde (tre decimaler) 2 4 a Sannolikhet (procent, två decimaler) 1 b Sannolikhet (procent, två decimaler) 2 5 Sannolikhet (procent, två decimaler) 2 6 a Sannolikhet (procent, två decimaler) 2 b Kritiskt värde (tre decimaler) 1 c Övre gräns (fyra decimaler) 2 7 Väntevärde i lbs=pounds (två decimaler) 1 Standardavvikelse i lbs=pounds (två decimaler) 1 8 a p(1, 0) (två decimaler) 1 b Betingat väntevärde (två decimaler) 1 9 a Sannolikhet (tre decimaler) 1 b Sannolikhet (tre decimaler) 2 Totalt antal poäng 25 5 (7)
6 (7)
Tentamen i Sannolkhetslära och statistik, S0008M, del 2 2011-06-04 Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden. 10. I uppgift 2 antog vi att antalet feltryckningar har en Poissonfördelning (med väntevärde 8). Diskutera med utgångspunkt i Binomialfördelningen varför antalet feltryckningar per sida (åtminstone approximativt) kan antas ha en Poissonfördelning. Varför är normalfördelningen inte en lämplig modell för att beskriva antalet feltryckningar? Kom ihåg att redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden! (10p) 11. Differensen av det värde som Johans våg visar och den verkliga vikten är N(δ, σ)-fördelad, där σ = 0.04 kilo. Johan misstänker att δ > 0, dvs han misstänker att vågen systematiskt visar en för hög vikt. För att testa H 0 : δ = 0 mot H 1 : δ > 0 gör Johan 18 vägningar av ett föremål som väger exakt 20 kg och noterar de 18 differenserna z i = x i 20, där x i =visad vikt på mätning nummer i, i = 1,..., 18. Johan väljer mellan två olika test. Det första testet skall baseras på d =antal positiva differenser. Det andra testet baseras på kvoten z = z 0.04/ 18. (a) Bestäm lämpliga beslutsregler för test baserade på d respektive z så att båda testen får en signifikansnivå som ligger så nära 5 % som möjligt. (b) Beräkna styrkan i = 0.0336 för de båda testen i (a). (c) Kommentera resultatet i (b). Varför tror du att styrkan skiljer sig mellan de två testen på detta sätt? (d) Vilket test bör man föredra och varför? (4p) (4p) (3p) 12. De tre första grenarna i tiokamp är (1) 100 meter, (2) längdhopp och (3) kula. Tiokamparen Thomas förväntar sig i toppform ett resultat på 950, 1025 respektive 890 poäng i dessa tre grenar. De faktiska resultaten beror på faktorer som dagsform och väderförhållanden och kan därför betraktas som slumpmässiga. Antag att resultaten i de tre grenarerna är normalfördelade med standardavvikelserna σ 1 = 120, σ 2 = 190, σ 3 = 145. Antag också att resultaten korrelerar med varandra, där ρ 12 = 0.8, ρ 13 = 0.4, ρ 23 = 0.5. Efter dom första två grenarna har Thomas totalt 2075 poäng. Beräkna väntevärdet av resultatet i kula. (7p) 7 (7)