TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 15 december 2008 Tid: 8 12 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p. Poängkrav: För godkänt krävs 12p, betyg 4 kräver 16p, och betyg 5, 21p. Examinator: Clas Rydergren Jourhavande lärare: Anders Peterson, 0730 77 1924 Resultat anslås senast: 7 januari 2009. Tentan kan hämtas ut hos Åsa Dahl, plan 5 hus Täppan. Kortfattade lösningsförslag anslås vid skrivningstidens slut. Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 1 Uppgift 1 Person X går just nu på civilingenjörsprogrammet Kommunikations- och transportsystem, och kommer om ett drygt år att välja kurser inom en av tre möjliga profiler. Alternativt kan en egen profil skapas eller så kan X hoppa av utbildningen. X är intresserad av att rangordna de fem alternativen, en rangordning som bli en del av underlaget till det framtida valet. X gör tillsammans med sina kompisar ett antal uppskattningar av diverse kriterier för de 5 alternativen. Kriterierna som används är 1) Förväntat total livsinkomst, 2) Arbetsinsats, 3) Personligt intresse. Det personliga intresset anges som mycket intressant, intressant, sådär, lite ointressant och ointressant. X tycker att det är bra att tjäna mycket pengar och att arbeta få timmar. Uppskattningarna ha sammanfattats i följande tabell: Kriterier Livsinkomst Arbetsinsats Personligt Alternativ (Mkr) (timmar) intresse (skala) Kvantitativ logistik 18 2800 intressant Trafikinformatik 17 2700 mycket intressant Data- telekommunikation 19 2750 sådär Egen profil 16 2600 intressant Hoppa av 9 2634 ointressant (3p) a) Använd metoder från kursen för att transformera tabellen ovan till en nyttomatris. Använd nyttomatrisen för att göra en rangordning av alternativen baserat på TOPSIS-metoden och med det euklidiska avstånd (p = 2) som avståndsmått. Personligt intresse anses vara dubbelt så vikitgt som övriga kriterier. b) X kompis, laborationskamrat och tentapluggargruppsvän, Y, överväger att hoppa av sin utbildning precis innan profil-delen av utbildningen startar. Person Y har ett lite annat personligt intresse och Y:s personligt intresse-kolumn är istället sådär, sådär, sådär, intressant respektive intressant för de fem alternativen, uppifrån och ner. Nu vill X försöka övertyga Y om att det är ett dåliga alternativ att hoppa av och vill använda DEA för att visa detta. Hjälp X att ställa upp en DEA-modell för att beräkna effektiviteten i alternativet att hoppa av. Motivera dina val av inputs och outputs i modellen. Uppgift 2 Lågprismatkedjan Brutto avser att etablera sig i en större ort. Etableringen skulle kräva köp av affärsbyggnader, kallade respektive A-Norrtull, B-Norrtull och Plattan1, och det beslut som behöver fattas är att förvärva inget, ett eller två av områdena. Brutto är för närvarande bara intresserat av den kortsiktiga vinsten av en ökning eller nedgång i värdet av byggnaderna. Man räknar med tre möjliga utfall vad gäller
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 2 konjunkturen: försämrad, stabil, eller förbättrad konjunktur. Följande tabell visar det kortsiktiga värdet av varje byggnaderna, såväl som deras nuvarande pris (i tusentals euro): Kortsiktigt värde Byggnad Marknadspris Försämrad Stabil Förbättrad konjunktur konjunktur konjunktur A-Norrtull 245 210 275 340 B-Norrtull 460 460 480 525 Plattan1 730 620 755 960 a) Definiera varje möjligt inköpsbeslut och konstruera betalmatrisen bestående av kortsiktiga netto-vinster. Vilka är de maximin-optimala besluten? b) Beräkna grämelsematrisen och bestäm alla optimala minimax-grämelse-beslut. Antag nu att Nodl har uppskattat att sannolikheterna för de tre konjunkturutfallen (försämrad, stabil, förbättrad) är (0.45; 0.25; 0.30). c) Vilka är de optimala besluten om Bayes EMV-kriterium används? d) Vilka är de optimala besluten om det förväntade grämelse (EOL)-kriteriet används? e) Visa, dels genom direkt uträkning för tre av besluten att EMV + EOL är konstant för alla beslut och dessutom lika med EMV med perfekt information, dels att det gäller generellt. Uppgift 3 I en hemlig skattkammare finns 800 urnor av typ I och 200 urnor av typ II. Alla urnor ser likadana ut, men typ I innehåller sex blåa kulor och fyra röda kulor; typ II innehåller en blå kula och nio röda kulor. En urna tas på måfå från skattkammaren och du måste gissa vilken typ av urna det är. Om du gissar att det är en urna av typ I och du gissar rätt får du 20 euro, men om du gissar fel så förlorar du 10 euro. Om du gissar att det är en urna av typ II och du gissar rätt så får du 80 euro, men om du gissar att det är en urna av typ II och du gissar fel så förlorar du 10 euro. Antag att din förväntade nytta alltid är lika med din förväntade pengingvist (dvs. att du är riskneutral) och att du strävar efter att maxmimera din förväntade nytta. a) Ställ upp en vinstmatris och räkna ut din förväntade penningvist för valet att gissa att det är en urna av typ I respektive valet att gissa att det är en urna av typ II. Vad väljer du? b) Vad är det högsta du skulle vara beredd att betala, innan du fattar ditt beslut men efter att urnan tagits fram, för att få veta säkert vilken typ av urna som tagits fram från skattkammaren? (Dvs. vad är värdet av perfekt information?)
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 3 c) Antag att en blå boll har dragits från urnan. Uppdatera beslutsmatrisen och beräkna ny förväntad vinst för vardera alternativet. Vad väljer du nu? d) Gör om föregående uppgift, men antag istället att en röd kula har dragits från urnan. e) Vad är det högsta pris du skulle vara beredd att betala, innan du fattar ditt beslut men efter det att urnan dragits fram, för att få dra en kula och se vilken färg den har? Uppgift 4 a) Nedanstående konfliktsituation kommer från Conan Doyles Sherlock Holmes berättelse The Final Problem. Moriarity (spelare 2) förföljer Holmes (spelare 1) på ett tåg med syfte att döda Holmes och själv överleva. Tåget stannar vid Canterbury på sin färd mot Paris. Om båda stiger av i Canterbury så fångar Moriarity Holmes (dvs., Moriarity vinner och Holmes förlorar spelet). Samma sak händer om båda stiger av i Paris. Omvänt, om båda stiger av vid olika platser, så kan Holmes smita (dvs., Moriarity förlorar och Holmes vinner). Antag att värdet av vinst är 1 för respektive spelare, och att värdet av förlust är 1 för respektive spelare. Ställ upp vinstmatrisen för att modeller konflikten som ett två-persons nollsummespel. I berättelsen så stiger Holmes av i Canterbury medan Moriarity fortsätter till Paris. Är detta en optimal ren strategi? b) Utgå från spelet som beskrivs i a). Holmes uttalar sig There are limits, you see, to our friend s intelligence. It would have been a coup-de-matre had he deduced what I would deduce and acted accordingly. vilket jag skulle översätta till ungefär Det finns uppenbara begränsningar i vår väns intelligens. Han hade gjort ett genidrag om han bara föregripit mitt beslut och handlat därefter. I ljus av svaret på deluppgift a, vad kan du dra för slutsats om Holmes kunskap om spelteori? Bestäm de optimala blandade strategierna för spelet. Glöm ej att redovisa modeller och beräkningar noggrannt. c) Betrakta ett nollsummespel där vinstmatrisen för radspelaren har följande utseende B A 1 2 1 1 2 2 3 1 3 q 4 Vinstmatrisen anger radspelarens vinster. Bestäm q så att spelet är rättvist.
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 4 Uppgift 5 (4p) a) I de flesta fall är det av intresse att se till så att t.ex. det totala transportavståndet minimeras. I sådana fall så kan en p-median modell användas. I situationer när oattraktiva resurser ska lokaliseras så vill vi isället att lokaliseringar sker långt från kunderna. I en sådan situation kan en p-maxian-modell användas. p-maximan-modellen har stora likheter med p-median-modellen, men istället för minimering så ska samma målfunktion maximeras. Dessutom behöver modellen också kompletteras så att man kan garantera att när avståndet beräknas, så används avståndet mellan terminal och närmaste kund. För att åstadkomma det så måste modellen kompletteras med en ny grupp bivillkor. Formlera en p-maxian-modell och visa med hjälp av ett exempel hur denna nya grupp av bivillkor fungerar. b) Kärvare tider förväntas för företaget Z. Management-konsulterna X och Y har gjort en omfattande kartläggning av hur företagets distributionsterminaler, kunder och kundefterfrågan ser ut. Kartläggningen omfattar konstruktionen av en digital karta där företagets n kunder och m terminaler finns utsatta. Från kartdata har avståndet mellan varje kund och varje terminal tagits fram. Data för hur mycket som transporteras totalt till varje kund har samlats in. Kunsulterna konstaterade att det krävdes ett omfattande dataunderlag att ta reda p vilken terminal som servade vilken kund. Istället har X och Y har antagit att en p-median-modell kan användas för att beskriva vilka av de m terminalerna som server vilka av de n kunderna. Konsulterna använder viktningen w i för alla i = 1,..., n, vilken speglar kundefterfrågan. Lösningen till p-median problemet, med p satt till m, har de nu i en matris x ij där varje element är noll eller ett; ett om kund i servas av terminal j, och noll annars. Till det kommer värden på elementen ȳ j, j = 1,..., m som alla har fått värdet 1, och varje terminal har åtminstone en kund att serva. Nu har det bestämts att k av de m terminalerna, av personalskäl, måste avvecklas. Konsulterna har nu fått i uppdrag att peka ut vilka terminaler som bör stängas. Som mått på vilka terminaler som bör avvecklas vill konsulterna minimera en så kallad displacement distance. Måttet innebär att de antar att samma kunder kommer att fortsätta behöva servas av någon terminal, men att det extra totala transportarbetet som kommer att uppstå när k terminaler avvecklas ska minimeras. Konstruera en modell som kan användas för att lösa detta minimum displacement distance -problem.