Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 5:E APRIL 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta, miniräknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 10 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 24 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med, preliminärt, 22 23 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Poäng från kontrollskrivning och laborationer under period 3, VT2018 får tillgodoräknas under förutsättning att tentanden erhållit minst 20 poäng på denna tentamen. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift 1 a Låt A och B vara två händelser. Följande sannolikheter är kända: P (A B = 0.92 P (A B = 0.88 P (A B = 0.68 Avgör om händelserna A och B oberoende? Noggrann motivering krävs. (5 p b I en känd tävling möts 18 tävlande i en första semifinal och 19 andra tävlande i en andra semifinal. Från varje semifinal går 10 tävlande vidare till final. I finalen deltar förutom de 20 som kvalificerat sig från semifinalerna även 6 direktkvalificerade tävlande. Antag att alla dessa 26 som deltar i finalen är lika bra i den meningen att deras placering i finalen sker helt slumpvis. Bestäm sannolikheten att minst 2 av de 5 tävlande som placerar sig bäst i finalen var direktkvalificerade? (5 p Uppgift 2 Arrangörerna av en stor skidtävling planerar att köpa in 35 500 liter blåbärssoppa för att kunna servera åkarna under loppet. De antar att den volym blåbärssoppa som en åkare dricker är oberoende av hur mycket blåbärssoppa de andra åkarna dricker och att den mängd blåbärssoppa som en enskild åkare dricker kan beskrivas av en stokastisk variabel X som uppfyller E(X = 0.7 och D(X = 0.6. Beräkna med lämplig och välmotiverad approximation sannolikheten att blåbärsoppan räcker till de 50 000 åkare som förväntas genomföra loppet. (10 p Var god vänd!
forts tentamen i SF1901 2018-04-05 2 Uppgift 3 a I en butiksundersökning köpte 23 av 200 utvalda kunder minst en vara. Låt detta vara ett slumpmässigt urval ur en mycket stor konsumentpopulation. Bestäm ett 95% konfidensintervall för andelen kunder, p, som köper minst en vara i en affär. (7 p b Testa hypotesen p = 0.15 mot hypotesen p 0.15 på signifikansnivån 5%. Slutsatsen ska tydligt framgå. (3 p Uppgift 4 En glasskiosk på en badstrand håller öppet när det inte regnar. Antalet kunder som handlar i glasskiosken en godtyckligt vald dag antas vara Po(λt-fördelat där λ är en okänd konstant och t är antalet timmar som det inte regnar den dagen. Nedanstående tabell innehåller antalet regnfria timmar t i och antalet kunder x i samtliga dagar under en godtyckligt vald vecka. t i 2 8 12 11 7 5 1 x i 10 65 150 135 62 66 0 a Tag, baserat på observationerna t 1,..., t n och x 1,..., x n fram ett uttryck för ML-skattningen av λ. Beräkna även denna skattning numeriskt med hjälp av informationen i tabellen. (4 p b Visa att ML-skattningen av λ är väntevärdesriktig. (2 p c En annan väntevärdesriktig skattning av λ ges av λ obs = 1 n x i t i. Visa att för n = 2 så är variansen av denna skattning alltid större än eller lika med variansen av ML-skattningen. (4 p Uppgift 5 Vädret i Skandinavien påverkas av vilken bana som lågtrycken tar då de rör sig österut över Atlanten. Om lågtrycken rör sig längs en nordligare bana, så kommer de in över Skandinavien och ger i allmänhet upphov till milt och fuktigt väder. Om lågtrycken istället rör sig längs en sydligare bana, så kommer de in över den europeiska kontinenten och detta gör i allmänhet att arktiska luftmassor rör sig ned över Skandinavien med kallt och torrt väder här som föjd. Detta mönster är särskilt tydligt vintertid. Lågtryckens bana över Atlanten påverkas i sin tur av skillnaden i lufttryck mellan Island och Azorerna, något som kallas för den Nordatlantiska oscillationen (NAO. NAO sägs vara i sin positiva fas när skillnaden i lufttryck är mindre än normalt och i sin negativa fas när skillnaden i lufttryck är större än normalt. Medeltemperaturen i Stockholm under mars 2018 var omkring två grader lägre än normalvärdet på 0.1 C. Nedanstående tabell innehåller information om medeltemperaturen T (mätt i C i Stockholm under mars månad åren 1900 2016 och information om vilken NAO-fas som varit förhärskande motsvarande månad.
forts tentamen i SF1901 2018-04-05 3 T < 2 2 T < 0 0 T < 2 T 2 Positiv NAO-fas 2 14 26 25 Negativ NAO-fas 22 18 8 2 Testa på signifikansnivån 0.1% hypotesen att T är oberoende av NAO-fasen. (10 p Uppgift 6 Medeltemperaturen (mätt i C i Stockholm under en marsmånad kan antas ges av en N(θ, 2.5- fördelad stokastisk variabel. Vi vill bestämma θ och mäter därför medeltemperaturen t 1,..., t n i Stockholm under n på varandra följande marsmånader. a Utforma ett statistiskt test på signifikansnivån 5% för att testa om θ är signifikant större än värdet θ = 0.1 C (som angavs i uppgift 5. Ange noga noll- och mothypoteserna samt kriterier för när nollhypotesen ska förkastas. (5 p b Under hur många marsmånader behöver vi mäta medeltemperaturen för att testets styrka ska vara 90% om det sanna värdet är θ = 2 C. (5 p Lycka till!
Avd. Matematisk statistik LÖSNINGSFÖRSLAG TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK. TORSDAGEN DEN 5 APRIL 2018 KL 14.00 19.00 Uppgift 1 a Händelserna A och B är oberoende om P (A B = P (AP (B. Vi har att P (A B = 1 P (A B och P (A B = 1 P (A B. och får P (A B = P (A B P (A B P (A B = 0.92 (1 0.68 (1 0.88 = 0.48. Vidare gäller det att P (A = P (A B P (A B = 0.92 (1 0.88 = 0.8, samt P (B = P (A B P (A B = 0.92 (1 0.68 = 0.6. Detta ger P (AP (B = 0.8 0.6 = 0.48 = P (A B. Svar: A och B är oberoende händelser. b Låt X vara antalet direktkvalificerade tävlande som hamnar bland de 5 bästa. Då har vi att X Hyp(N, n, p, där N = 26, n = 5 och p = 6/26. Den sökta sannolikheten blir därmed ( 6 ( 20 ( 0 5 6 ( 20 1 4 P (X 2 = 1 P (X 1 = 1 ( 26 = 0.3224 5 Svar: Sannolikheten att minst 2 av de 5 bästa var direktkvalificerade är 0.3224. Uppgift 2 Låt X i vara mängden blåbärssoppa som åkare nr i dricker. Då är Y = 50000 X i den mängd soppa som behövs. Vi har och V (Y = 50000 E(Y = 50000 E(X i = 50000 0.7 = 35000 V (X i = 50000 0.6 2 = 18000 vilket ger D(Y = 18000.
forts tentamen i SF1901 2018-04-05 2 Då 50000 är ett mycket stort antal och de stokastiska variablerna X i är oberoende och likafördelade, så kan vi tillämpa CGS på Y och det följer att Y är approximativt N(35000, 18000-fördelat. Detta ger ( Y 35000 P (soppan räcker = P (Y 35500 = P 18000 ( Y 35000 = P 3.727 18000 35500 35000 18000 Φ(3.727 = 0.99990. Svar: Sannolikheten att blåbärssoppan räcker är 99.990%. Uppgift 3 a Vi antar att varje kund har samma sannolikhet p att handla minst en vara. Då gäller att antalet undersökta kunder X som handlar minst en vara uppfyller X Bin(n, p = Bin(200, p i vårt fall. En punktskattning av sannolikheten p ges nu av p obs = x n = 23 200 = 0.115. Vi vill nu ta fram ett approximativt konfidensintervall för p och för att vi ska kunna använda normalapproximation krävs att n p obs (1 p obs 10. Eftersom p obs = 0.115 och n = 200 så gäller det att np obs(1 p 23 obs = 200 200 177 = 20.355 > 10, 200 varför normalapproximationen till binomialfördelningen är tillåten. Vi bildar nu ett konfidensintervall för p. p I p = p obs ± obs (1 p obs 0.115 0.885 λ α 2 n = 0.115 ± λ 0.025 200 0.115 0.885 = 0.115 ± 1.96 = 0.115 ± 0.044 = (0.071, 0.159 200 Svar: Ett approximativt konfidensintervall för p med konfidensgrad 95% ges av I p = (0.071, 0.159. b Vi ska nu testa nollhypotesen H 0 : p = 0.15 mot mothypotesen H 1 : p 0.15 på (approximativa risknivån 5%. Vi ser att 0.15 I p = (0.071, 0.159, och eftersom intervallet innehåller p = 0.15, så förkastar vi ej H 0 på den approximativa nivån 5%. Svar: Vi kan på nivån 5% ej förkasta hypotesen att sannolikheten att en kund handlar minst en vara är p = 0.15.
forts tentamen i SF1901 2018-04-05 3 Uppgift 4 a ML-skattningen av λ är det värde som maximerar likelihoodfunktionen L(λ = f X1 (x 1 f Xn (x n = (λt 1 x 1 x 1! Det värde på λ som maximerar L(λ maximerar även ( (λt1 x 1 ln(l(λ = ln x 1! Derivering med avseende på θ ger e λt1 (λt n xn e λtn = x n! e λt1 (λt n xn e λtn. x n! (x i ln(λ x i ln(t i ln(x i! λt i. 0 = d dθ ln(l(θ = 1 λ x i t i, så likelihoodfunktionen maximeras av λ = x i/ t i. För de sju observationerna (x 1,..., x n = (10, 65, 150, 135, 62, 66, 0 och (t 1,...t n = (2, 8, 12, 11, 7, 5, 1 fås skattningen λ obs = (10 65 150 135 62 66 0/(2 8 12 11 7 5 1 = 10.61. Svar: ML-skattningen ges av λ obs = x i/ t i = 10.61. b Stickprovsvariabeln för ML-skattningen ges av λ = X i t i där X i är Poissonfördelade s.v. med väntevärde λt i. Alltså är E (λ = E ( X i t = i 1 t i och skattningen λ obs är väntevärdesriktig. Svar: ML-skattningen av θ är väntevärdesriktig. c Variansen för ML-skattningen ges av ( V X i t = V ( X i i ( t = i 2 och variansen för den andra skattningen ges av ( ( 1 X i V = 1 n t i n V X i = 1 V 2 t i n 2 = λ 1, n 2 t i E (X i = V (X i ( t = i 2 ( Xi t i 1 t i λt i = λ, λt i ( t i = λ 2 n t, i = 1 1 V (X n 2 i = 1 n 2 t 2 i 1 λt i t 2 i
forts tentamen i SF1901 2018-04-05 4 Antag nu att n = 2 och sätt t 1 = αt samt t 2 = (1 αt, för ett godtyckligt tal α [0, 1], så att t 1 t 2 = t. Då blir variansen för ML-skattningen λ/t och variansen för den andra skattningen λ ( 1 2 2 αt 1 = (1 αt λ 4α(1 αt. Funktionen f(α = 4α(1 α maximeras på intervallet α [0, 1] av α = 0.5 och antar där värdet f(0.5 = 1. Därmed uppfyller variansen för den andra skattningen λ 4α(1 α t λ t }{{} 1 = variansen för ML-skattningen, vilket skulle bevisas. Uppgift 5 Vi gör här ett test av oberoende. Som nollhypotes H 0 väljer vi att medeltemperaturen i Stockholm i mars är oberoende av NAO-fasen, medan mothypotesen H 1 är att medeltemperaturen och NAOfasen är beroende. Vi gör här en tabell med observerade antal enligt T < 2 2 T < 0 0 T < 2 T 2 Positiv NAO-fas 2 14 26 25 Negativ NAO-fas 22 18 8 2 Låt x ij beteckna antalet marsmånader som faller inom kategori i gällande NAO-fas och inom kategori j gällande medeltemperaturen. Låt vidare n i beteckna det totala antalet marsmånader som faller inom kategori i gällande NAO-fas och låt m j beteckna det totala antalet marsmånader som faller inom kategori j gällande medeltemperatur. Om vi låter N beteckna det totala antalet undersökta år, så blir teststorheten Q = 2 4 j=1 (x ij n im j N 2 n i m j N = 67 24 (2 2 67 24 50 24 (22 2 50 24 67 32 (14 2 67 32 50 32 (18 2 50 32 67 34 (26 2 67 34 50 34 (8 2 50 34 (25 67 27 2 67 27 (2 50 27 2 50 27 = 44.76. Om H 0 är sann så är 44.76 ett utfall av en stokastisk variabel som är approximativt χ 2 -fördelad med (2 1(4 1 = 3 frihetsgrader. Approximationen är applicerbar eftersom n i m j /N 50 24/ = 10.26 > 5. Eftersom χ 2 0.001(3 = 16.3 < 44.76, så kan H 0 förkastas på signifikansnivån 0.1%. Vi drar följande slutsats. Svar: På signifikansnivån 0.1% finns ett beroende mellan medeltemperaturen i Stockholm i mars och NAO-fasen.
forts tentamen i SF1901 2018-04-05 5 Uppgift 6 a Antag att vi mäter medeltemperaturen under n stycken marsmånader. De uppmätta temperaturerna t 1,..., t n är enligt problemformuleringen observationer av N(θ, 2.5-fördelade stokastiska variabler T 1,..., T n. Då vi vill undersöka om medeltemperaturen är signifikant större än θ = 0.1 C, så väljer vi att testa H 0 : θ = 0.1 mot H 1 : θ > 0.1. Under H 0 är stickprovsmedelvärdet T fördelat enligt N(0.1, 2.5/ n, och vi förkastar därför H 0 till förmån för H 1 på signifikansnivån 5% om t 0.1 2.5/ n > λ 2.5 0.05 t > 0.1 λ 0.05. n Detta kritiska område bildar, tillsammans med de båda hypoteserna ovan, svar på a. b Testets styrka för θ = 2 C beräknas enligt h(2 = P (H 0 förkastas θ = 2 är det rätta parametervärdet ( 2.5 θ = P T > 0.1 λ 0.05 = 2 = P n ( T 2 n ( = P 2.5/ n > 1.9 2.5 λ 0.05 θ = 2 = 1 Φ ( T 2 > 1.9 λ 0.05 2.5 n θ = 2 n 1.9 2.5 λ 0.05 eftersom (T 2/(2.5/ n är standardiserat normalfördelat om θ = 2 är rätt parametervärde. Enligt problemformuleringen ska det gälla att h(2 = 0.9, d.v.s. Φ( 1.9 n/2.5 λ 0.05 = 0.1, vilket, på grund av symmetrin hos den standardiserade normalfördelningen, betyder att 1.9 ( 2 2.5 n/2.5 λ 0.05 = λ 0.1 n = (λ 0.05 λ 0.1 2 1.9 ( 2 2.5 (1.6446 1.2816 2 14.82, 1.9 där vi erhåll de två kvantilerna ur tabell. Vi avrundar uppåt och konstaterar att vi bör mäta medeltemperaturer under femton års tid. Svar: Vi bör mäta medeltemperaturen under 15 marsmånader.,