Föreläsning 13. Dynamisk programmering
|
|
- Cecilia Lund
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 13 Dynamisk programmering
2 Föreläsning 13 Dynamisk programmering Fibonacci Myntväxling Floyd-Warshall Kappsäck Handelsresandeproblemet Uppgifter
3 Dynamisk programmering Dynamisk programmering används typiskt när man vid uppdelning av ett problem i subproblem får subproblem som överlappar. En naiv metod blir då ineffektiv eftersom den löser samma problem flera gånger. Grundtanken med dynamisk programmering är då att (genom tabellering) se till att vi löser varje subproblem endast en gång. Top-down: Rekursiv uppdelning där vi memorerar (memoize) subproblem när de är lösta och alltid kontrollerar om vi redan löst ett problem innan vi löser det. Bottom-up: Här börjar vi med de minsta subproblemen och bygger i steg upp lösningar på större och större problem. Ibland behöver man även här tabulera resultat och ibland blir det helt enkelt en iterativ lösning. En del programspråk har automatiskt stöd för memoreringen via funktionsanrop som sparar resultat av tidigare anrop.
4 Fibonacci static long fib(int n){//fib(40) ger anrop if(n==1 n==2) return 1; return fib(n-1)+fib(n-2); } Dynamiskt top-down: static long[] tab = new long[100000]; for(int i=0;i<tab.length;i++) tab[i]=0; tab[1]=tab[2]=1; static long fibdyn(int n){ if(tab[n]!=0) return tab[n]; return tab[n]=fibdyn(n-1)+fibdyn(n-2); } fibdyn(40) ger 77 anrop! Dynamiskt bottom-up: static long fibiterativ(int nfinal) { long fn=0,fnminus1=1,fnminus2=1; for(int n=3;n<=nfinal;n++){ fn=fnminus1+fnminus2; fnminus2=fnminus1; fnminus1=fn; } return fn; }
5 Myntväxling Input: belopp kr i växel mynt[n] array med de n olika valörerna växel(belopp) För i = 0 till n-1 Om mynt[i]=belopp return 1 v=belopp För i = 1 till belopp/2 v=min(v,växel(i)+växel(belopp-i)) return v Hur gör vi dynamiskt?
6 Myntväxling - dynamiskt växel(belopp) Om tab[belopp] 0 return tab[belopp] För i = 0 till n-1 Om mynt[i]=belopp tab[belopp] = 1 return tab[belopp] v=belopp För i = 1 till belopp/2 v=min(v,växel(i)+växel(belopp-i)) Sätt tab[belopp] = v return tab[belopp]
7 Floyd-Warshall Löser kortaste vägen i en viktad graf. Hittar kortaste vägen mellan varje par av noder i O( V 3 ) vilket är ganska snabbt med tanke på att det kan finnas O( V 2 ) bågar. Använder dynamisk programmering, bottom up, för att åstadkomma detta.
8 Princip Input: V mängden av noder numrerade 1,, N w(i,j) vikt för båge från nod i till nod j kortastevägen(i,j,k) kortaste vägen från nod i till nod j endast användande noderna 1,, k som mellannoder. kortastevägen(i,j,k+1) = min(kortastevägen(i,j,k), kortastevägen(i,k+1,k)+ kortastevägen(k+1,j,k)) där kortastevägen(i,j,0) = w(i,j) Här kund man nu ha löst detta top-dowm och tabellerat svar. Bottom-up blir dock mycket effektivare:
9 Algoritm Input: V mängden av noder numrerade 1,, N w(i,j) vikt för båge från nod i till nod j Output: a(i,j) 2D-array för avståndet från i till j (kortaste) Sätt a(i,j) = för alla i,j Sätt a(i,i) = 0 för alla i För alla bågar sätt a(i,j) = w(i,j) För k = 1 till N För i = 1 till N För j = 1 till N a(i,j)=min(a(i,j),a(i,k)+a(k,j)) Observera att vi endast får avståndet ej vägen!
10 Kappsäck Det finns n olika sorters varor vars värde är v i och vikt är w i. Av varje sorts vara finns det obegränsat antal. Hur ska vi packa en kappsäck som maximalt tar vikten W så att vi får med oss det maximala värdet? Låt m(w) vara det maximala värdet vi kan få i i en kappsäck av storlek w. Då gäller: m(w) = max(v 1 +m(w-w 1 ), v 2 +m(w-w 2 ),, v n +m(w-w n )) där endast de fall då w-w i 0 är med. Vi har också att: m(0) = 0. Precis som i förra exemplet bygger vi enklast upp detta genom bottomup där vi bestämmer maximala värdet för en kappsäck med plats för 1, 2,, W.
11 Handelsresandeproblemet Givet n städer (1, n) och avståndet mellan varje par av städer, w(i,j). Vilken väg ska en handelsresande välja för att minimera resvägen och besöka alla städer exakt en gång och börja och sluta i samma stad? Kan vi inte bara prova alla kombinationer? O(n!)
12 Algoritm dynamisk, bottom-up Låt oss bestämma oss för att börja och sluta i stad 1. V - mängden av alla städer utom stad 1. S V och S Låt j S. Då är a(s,j) kortaste vägen som börjar i 1 passerar alla städer i S exakt en gång och slutar i j För alla j a({j},j) = w(1,j) För s = 2 till n-1 //s är storleken på S För alla subset S av storlek s För alla j S a(s,j)=min i S-{j} [a(s-{j},i)+w(i,j)] return min j V [c(v,j)+w(j,1)] blir O(n 2 2 n )
13 Exempel w(i,j)
14 w(i,j) För alla j a({j},j) = w(1,j) a({j},j) j=2 j=3 j=4 j=
15 j=2 j=3 j=4 j=5 a({j},j) a({2,3},j) a({2,4},j) a({2,5},j) w(i,j) För s = 2 till n-1 //s är storleken på S För alla subset S av storlek s För alla j S a(s,j)=min i S-{j} [a(s-{j},i)+w(i,j)] j=2 j=3 j=4 j=5 min[a({3},3)+ w(3,2)] = 10 min[a({4},4)+ w(4,2)]=10 min[a({5},5)+ w(5,2)]=12 min[a({2},2)+ w(2,3)]=7 a({3,4},j) - min[a({4},4)+ w(4,3)]= min[a({2},2)+ w(2,4)]=8 - - min[a({2},2)+ w(2,5)]=9 min[a({3},3)+ w(3,4)]=9 -
16 För s = 2 till n-1 //s är storleken på S För alla subset S av storlek s För alla j S a(s,j)=min i S-{j} [a(s-{j},i)+w(i,j)] j=2 j=3 j=4 j=5 a({2,3,4},j) min[a({3,4},3)+w(3,2),a({3,4},4)+w(4,2)] - a({2,3,5},j) min[a({3,5},3)+w(3,2),a({3,5},5)+w(5,2)] -
17 Uppgifter NB54 Skriv en funktion som beräknar högsta summan man kan få genom att lägga ihop talen längs valfri väg från toppen av en taltriangel till botten. a) Lös problemet med enkel rekursion b) Förbättra effektiviteten genom att tabulera värden du räknat ut (dynamisk programmering top-down). Jämför antalet anrop med a) för en 30-tal hög triangel. c) Skriv en funktion som bygger upp lösningen nerifrån och upp (dynamisk programmering bottom up)
18 NB55 Skriv en funktion som löser det generella myntväxlingsproblemet med hjälp av dynamisk programmering a) top-down b) bottom-up
19 NB56 Floyd-Warshall Implementera Floyd-Warshall.
20 NB57 Implementera ett program som löser kappsäcksproblemet enligt föreläsningen. Skriv också ett enkelt gränssnitt.
21 NB58 Hur många unika vägar finns det från övre högra hörnet till nedre vänstra hörnet om vi bara får gå väst och syd? Förbättra vår lösning med hjälp av dynamisk programmering. Hur många funktionsanrop blir det för (12,6)? Jämför med vår gamla algoritm utan tabulering.
22 NB59 I en följd av heltal ska vi försöka hitta den längden hos den längsta sekvensen stigande tal. Alla stigande sekvenser i talföljden 5, 2, 8, 6, 3, 6, 9, 7 är markerade ovan. Den längsta blir då 4 lång och är 2, 3, 6, 9 eller 2, 3, 6, 7. a) Skriv en funktion som löser problemet ovan. Tänk fritt. b) Börja längst till vänster. Varje nytt tal ger två alternativ: Talet är större än föregående tal i vår sekvens: 1. Ta med talet 2. Hoppa över talet Talet är inte större än föregående tal i vår sekvens: 1. Påbörja ny sekvens 2. Hoppa över talet Skriv en rekursiv lösning som använder detta. c) Effektivisera den rekursiva lösningen med tabulering av beräknade delresultat. Försök också gärna att göra en bottom-up lösning.
23 NB60 Implementera en dynamisk algoritm som löser handelsresandeproblemet
Föreläsning 13. Dynamisk programmering
Föreläsning 13 Dynamisk programmering Föreläsning 13 Dynamisk programmering Fibonacci Myntväxling Floyd-Warshall Kappsäck Handelsresandeproblemet Dynamisk programmering Dynamisk programmering används typiskt
Läs merFöreläsning 11. Giriga algoritmer
Föreläsning 11 Giriga algoritmer Föreläsning 11 Giriga algoritmer Användning Växelproblemet Kappsäcksproblemet Schemaläggning Färgläggning Handelsresandeproblemet Giriga algoritmer (Greedy algorithms)
Läs merFöreläsning 12. Söndra och härska
Föreläsning 12 Söndra och härska Föreläsning 12 Söndra och härska Maximal delsekvens Skyline Closest pair Växel Uppgifter Söndra och härska (Divide and conquer) Vi stötte på dessa algoritmer när vi tittade
Läs merFöreläsning 5. Rekursion
Föreläsning 5 Rekursion Föreläsning 5 Algoritm Rekursion Rekursionsträd Funktionsanrop på stacken Binär sökning Problemlösning (möjliga vägar) Algoritm En algoritm är ett begränsat antal instruktioner/steg
Läs merFöreläsning 5: Dynamisk programmering
Föreläsning 5: Dynamisk programmering Vi betraktar en typ av problem vi tidigare sett: Indata: En uppsättning intervall [s i,f i ] med vikt w i. Mål: Att hitta en uppsättning icke överlappande intervall
Läs merFöreläsning 12. Söndra och härska
Föreläsning 12 Söndra och härska Föreläsning 12 Söndra och härska Maximal delsekvens Skyline Closest pair Växel Söndra och härska (Divide and conquer) Vi stötte på dessa algoritmer när vi tittade på sortering.
Läs merFöreläsning 5. Rekursion
Föreläsning 5 Rekursion Föreläsning 5 Algoritm Rekursion Rekursionsträd Funktionsanrop på stacken Binär sökning Problemlösning (möjliga vägar) Läsanvisningar och uppgifter Algoritm En algoritm är ett begränsat
Läs merAlgoritmer och datastrukturer H I HÅKAN S T R Ö M B E R G N I C K L A S B R A N D E F E L T
Algoritmer och datastrukturer H I 1 0 2 9 HÅKAN S T R Ö M B E R G N I C K L A S B R A N D E F E L T Föreläsning 1 Inledande om algoritmer Rekursion Stacken vid rekursion Rekursion iteration Möjliga vägar
Läs merTentamen TEN1 HI
Tentamen TEN1 HI1029 2014-03-14 Skrivtid: 8.15-13.00 Hjälpmedel: Referensblad (utdelas), papper (tomma), penna Logga in med tentamenskontot ni får av skrivvakten. Det kommer att ta tid att logga in ha
Läs merFöreläsning 9 Innehåll. Söndra och härska. Fibonaccitalen. Söndra och härska. Divide and conquer teknik för att konstruera rekursiva algoritmer.
Föreläsning 9 Innehåll Mer om rekursion söndra-och-härska-algoritmer dynamisk programmering backtracking Orientering om versionshantering med git Söndra och härska Divide and conquer teknik för att konstruera
Läs merFöreläsning 11. Giriga algoritmer
Föreläsning 11 Giriga algoritmer Föreläsning 11 Giriga algoritmer Användning Växelproblemet Kappsäcksproblemet Schemaläggning Färgläggning Handelsresandeproblemet Uppgifter Giriga algoritmer (Greedy algorithms)
Läs merFöreläsning 8 Innehåll
Föreläsning 8 Innehåll Orientering om samarbete om Eclipse-projekt med git Orientering om konstruktion av användargränssnitt i Android Mer om rekursion söndra-och-härska-algoritmer dynamisk programmering
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merDekomposition och dynamisk programmering
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet, hösten 2016 Uppgifter till övning 3 Dekomposition och dynamisk programmering Max och min med dekomposition I vektorn v[1..n] ligger n tal. Konstruera en dekompositionsalgoritm
Läs merTillämpad Programmering (ID1218) :00-13:00
ID1218 Johan Montelius Tillämpad Programmering (ID1218) 2014-03-13 09:00-13:00 Förnamn: Efternamn: Regler Du får inte ha något materiel med dig förutom skrivmateriel. Mobiler etc, skall lämnas till tentamensvakten.
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Läsanvisning och uppgifter Broarna
Läs merDynamisk Programmering
Kapitel 11 Dynamisk Programmering När man väl har förstått idén bakom dynamisk programmering så är tekniken ganska enkel för att lösa problem och skapa algoritmer. Men det hindrar dock inte att det hela
Läs merFöreläsning 9 Innehåll. Söndra och härska. Fibonaccitalen. Söndra och härska. Divide and conquer teknik för att konstruera rekursiva algoritmer.
Föreläsning 9 Innehåll Mer om rekursion söndra-och-härska-algoritmer dynamisk programmering backtracking Orientering om versionshantering med git Söndra och härska Divide and conquer teknik för att konstruera
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Läsanvisning och uppgifter Broarna
Läs merTentamen TEN1 HI
Tentamen TEN1 HI1029 2015-03-17 Skrivtid: 8.15-13.00 Hjälpmedel: Referensblad (utdelas), papper (tomma), penna Logga in med tentamenskontot ni får av skrivvakten. Det kommer att ta tid att logga in ha
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet
Föreläsning Metoder för algoritmdesign TDDD86: DALP Utskriftsversion av föreläsning i Datastrukturer, algoritmer och programmeringsparadigm 7 december 015 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet.1
Läs merExempel: Förel Rekursion III Nr 14. Uno Holmer, Chalmers,
Exempel: Kappsäcksproblemet Backtracking Dynamisk programmering Föreläsning (Weiss kap..-) Kan man ur en grupp föremål F,,F N med vikterna V,,V N välja ut en delgrupp som väger exakt M kilo? Exempel: föremål
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 4 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 25 september 215 Anton Grensjö ADK Övning 4 25 september 215 1 / 28 Översikt Kursplanering F9: Dynamisk programmering
Läs merFÖRELÄSNING 2, TDDC74, VT2018 BEGREPP PROBLEMLÖSNING MED HJÄLP AV FALLANALYS PROBLEMLÖSNING MED HJÄLP AV REKURSION
FÖRELÄSNING 2, TDDC74, VT2018 Begrepp och definitioner (delvis från föreläsning 1) Fallanalys som problemlösningsmetod Rekursivt fallanalys Rekursiva beskrivningar och processer de kan skapa Rekursiva
Läs merFöreläsning 1: Dekomposition, giriga algoritmer och dynamisk programmering
2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 1: Dekomposition, giriga algoritmer och dynamisk programmering Datum: 2007-09-04 Skribent(er): Anders Malm-Nilsson och Niklas Nummelin Föreläsare:
Läs merFöreläsning 6 Innehåll. Rekursion. Rekursiv problemlösning Mönster för rekursiv algoritm. Rekursiv problemlösning. Rekursion. Rekursivt tänkande:
Föreläsning 6 Innehåll Rekursion Begreppet rekursion Rekursiv problemlösning Samband mellan rekursion och induktion Söndra-och-härska-algoritmer Dynamisk programmering Undervisningsmoment: föreläsning
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Broarna i Königsberg, Euler, 17 Grafer
Läs merUppgifter föreslagna från vår kursbok markeras med avsnitt och sedan: SC Self Check, P Programing, PP Programing Projects.
Övningsuppgifter Till varje föreläsning hör ett antal uppgifter. Förutom dessa bör man programmera när man går igenom föreläsningarna och när man läser boken. Vissa uppgifter kommer från gamla tentor.
Läs merRekursion och induktion för algoritmkonstruktion
Informationsteknologi Tom Smedsaas, Malin Källén 20 mars 2016 Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion Att lösa ett problem rekursivt innebär att man uttrycker lösningen i termer av samma typ av
Läs merFöreläsning 5: Giriga algoritmer. Kruskals och Prims algoritmer
Föreläsning 5: Giriga algoritmer Kruskals och Prims algoritmer Spännande träd: Om G är en sammanhängande graf så är ett spännande träd ett träd som innehåller alla noder i V (G). Viantarattviharkantvikterw(e)
Läs merRekursion och induktion för algoritmkonstruktion
Informationsteknologi Tom Smedsaas 22 januari 2006 Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion Att lösa ett problem rekursivt innebär att man uttrycker lösningen i termer av samma typ av problem som
Läs merIntroduktion till programmering D0009E. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner
Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 5: Fruktbara funktioner 1 Retur-värden Funktioner kan både orsaka en effekt och returnera ett resultat. Hittills har vi ej definierat några egna funktioner
Läs merFöreläsning 9: NP-fullständighet
Föreläsning 9: NP-fullständighet Olika typer av problem: 1. Beslutsproblem: A(x) =Ja. 2. Optimeringsproblem: A(x) =m Vanligen max/min. 3. Konstruktionsproblem: A(x) =En struktur. Vanligen lösningen till
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merFöreläsning 5: Giriga algoritmer. Kruskals och Prims algoritmer
Föreläsning 5: Giriga algoritmer Kruskals och Prims algoritmer Spännande träd: Om G är en sammanhängande graf så är ett spännande träd ett träd som innehåller alla noder i V (G). Viantarattviharkantvikterw(e)
Läs merUppgift 1 ( Betyg 3 uppgift )
2006-12-08.kl.08-13 Uppgift 1 ( Betyg 3 uppgift ) Implementera följande funktion: fun(1) = 1 fun(n) = fun(n / 2), för jämna n fun(n) = n / (fun(n - 1) + fun(n + 1)), för udda n Exempel på korrekta resultat:
Läs merAlgoritmanalys. Inledning. Informationsteknologi Malin Källén, Tom Smedsaas 1 september 2016
Informationsteknologi Malin Källén, Tom Smedsaas 1 september 2016 Algoritmanalys Inledning Exempel 1: x n När vi talade om rekursion presenterade vi två olika sätt att beräkna x n, ett iterativt: x n =
Läs merPseudokod Analys av algoritmer Rekursiva algoritmer
Föreläsning 7 Pseudokod Analys av algoritmer Rekursiva algoritmer För att beskriva algoritmer kommer vi använda oss av en pseudokod (låtsas programspråk) definierad i kursboken Appendix C. Vi går igenom
Läs merSCB :-0. Uno Holmer, Chalmers, höger 2 Ex. Induktiv definition av lista. // Basfall
Rekursiva funktioner Föreläsning 10 (Weiss kap. 7) Induktion och rekursion Rekursiva funktioner och processer Weiss 7.1-3 (7.4, 7.5.3 utgår) Fibonaccital (7.3.4) Exempel: Balansering av mobil (kod se lab
Läs merRekursion. Rekursiv lösningsstrategi. Algoritmkonstruktion. Exempelproblem Hitta största elementet i en sekvens v i där i 1... n.
Rekursion Dubbel Algoritmkonstruktion Rekursiv lösningsstrategi Vanliga strategier Brute-Force (ren råstyrka) Gå igenom alla fall Greedy (girig strategi) Välj nästa steg efter vad som lokalt verkar bäst
Läs merAlgoritmanalys. Genomsnittligen behövs n/2 jämförelser vilket är proportionellt mot n, vi säger att vi har en O(n) algoritm.
Algoritmanalys Analys av algoritmer används för att uppskatta effektivitet. Om vi t. ex. har n stycken tal lagrat i en array och vi vill linjärsöka i denna. Det betyder att vi måste leta i arrayen tills
Läs merBEGREPP HITTILLS FÖRELÄSNING 2 SAMMANSATTA UTTRYCK - SCHEME DATORSPRÅK
FÖRELÄSNING 2 Viss repetition av Fö1 Rekursivt fallanalys Rekursiva beskrivningar BEGREPP HITTILLS Konstant, Namn, Procedur/Funktion, LAMBDA, Parameter, Argument, Kropp, Villkor/Rekursion, Funktionsanrop,
Läs merTentamen: Programutveckling ht 2015
Tentamen: Programutveckling ht 2015 Datum: 2015-11-04 Tid: 09:00-13:00 Sal: Ansvarig: Resultat: Hjälpmedel: Maxpoäng: Betygsgränser: Anslås inom 3 veckor. Inga 40 p 20 p för G, 32 p för VG. Iakttag följande:
Läs merIntroduktion till programmering SMD180. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner
Introduktion till programmering Föreläsning 5: Fruktbara funktioner 1 Retur-värden Funktioner kan både orsaka en effekt och returnera ett resultat. Hittills har vi ej definierat några egna funktioner med
Läs merFöreläsningsanteckningar F6
Föreläsningsanteckningar F6 Martin Andersson & Patrik Falkman Kortaste vägen mellan en nod och alla andra noder Detta problem innebär att givet en graf G = (E,V) hitta den kortaste vägen över E från en
Läs merTentamen TEN1 HI1029 2014-05-22
Tentamen TEN1 HI1029 2014-05-22 Skrivtid: 8.15-13.00 Hjälpmedel: Referensblad (utdelas), papper (tomma), penna Logga in med tentamenskontot ni får av skrivvakten. Det kommer att ta tid att logga in ha
Läs merÖvningsuppgifter. Uppgifter föreslagna från vår kursbok markeras med avsnitt och sedan: SC Self Check, P Programing, PP Programing Projects.
Övningsuppgifter Till varje föreläsning hör ett antal uppgifter. Förutom dessa bör man programmera när man går igenom föreläsningarna och när man läser boken. Vissa uppgifter kommer från gamla tentor.
Läs mer6 Rekursion. 6.1 Rekursionens fyra principer. 6.2 Några vanliga användningsområden för rekursion. Problem löses genom:
6 Rekursion 6.1 Rekursionens fyra principer Problem löses genom: 1. förenkling med hjälp av "sig själv". 2. att varje rekursionssteg löser ett identiskt men mindre problem. 3. att det finns ett speciellt
Läs merFöreläsning 6. Rekursion och backtracking
Föreläsning 6 Rekursion och backtracking Föreläsning 6 Bredden först med hjälp av kö Lista rekursivt Tornet i Hanoi Backtracking Hissen i lustiga huset Huset har n antal våningar (bottenvåningen som räknas
Läs merDynamisk programmering
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet, hösten 27 Uppgifter till övning 4 Dynamisk programmering På denna övning är det också inlämning av skriftliga lösningar av teoriuppgifterna till labb 2 och muntlig
Läs merTDIU Regler
Regler Student får lämna salen tidigast en timme efter tentans start. Vid toalettbesök eller rökpaus ska pauslista utanför salen fyllas i. All form av kontakt mellan studenter under tentans gång är strängt
Läs merFöreläsning 7 Innehåll. Rekursion. Rekursiv problemlösning. Rekursiv problemlösning Mönster för rekursiv algoritm. Rekursion. Rekursivt tänkande:
Föreläsning 7 Innehåll Rekursion Rekursivt tänkande: Hur många år fyller du? Ett år mer än förra året! Rekursion Rekursiv problemlösning Binärsökning Generiska metoder Rekursiv problemlösning: Dela upp
Läs merDynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering
Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar
Läs merN = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.
Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar
Läs merTvå fall: q Tom sekvens: () q Sekvens av element: (a b c) ; (sum-rec '(2 4 6)) = 12. q Första elementet uppfyller vissa villkor: (2 a b c)
Programmönster: # Listan som sekvens, Rekursiv process Enkel genomgång av sekvens (element på toppnivån i en lista)) TDDC60 Programmering: abstraktion och modellering Föreläsning 5 Rekursiva och iterativa
Läs merFöreläsning 5: Grafer Del 1
2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 5: Grafer Del 1 Datum: 2006-10-02 Skribent(er): Henrik Sjögren, Patrik Glas Föreläsare: Gunnar Kreitz Den här föreläsningen var den första
Läs merint iarray[]= new int[3]; // deklarera ett heltalsfält med tre heltal int jarray[]={ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; // initierat fält 8 element
1 Arrayer Vid beräkningar med större datamängder än några enstaka tal är det bekvämt att kunna betrakta en talmängd som en enhet. Detta åstadkommer man genom att deklarera och instantiera fält. Ett annat
Läs merpublic static void mystery(int n) { if (n > 0){ mystery(n-1); System.out.print(n * 4); mystery(n-1); } }
Rekursion 25 7 Rekursion Tema: Rekursiva algoritmer. Litteratur: Avsnitt 5.1 5.5 (7.1 7.5 i gamla upplagan) samt i bilderna från föreläsning 6. U 59. Man kan definiera potensfunktionen x n (n heltal 0)
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 10 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 november 2017 1 Idag En konstruktionsreduktion Fler bevis av NP-fullständighet 2 Teori Repetition Ett problem tillhör
Läs merInstruktioner - Datortentamen TDDD73 Funktionell och imperativ programmering i Python
Instruktioner - Datortentamen TDDD73 Funktionell och imperativ programmering i Python Hjälpmedel Följande hjälpmedel är tillåtna: Exakt en valfri bok, t.ex. den rekommenderade kursboken. Boken får ha anteckningar,
Läs merFöreläsning 6. Rekursion och backtracking
Föreläsning 6 Rekursion och backtracking Föreläsning 6 Bredden först med hjälp av kö Lista rekursivt Tornet i Hanoi Backtracking Läsanvisningar och uppgifter Hissen i lustiga huset Huset har n antal våningar
Läs merFöreläsning 7. Träd och binära sökträd
Föreläsning 7 Träd och binära sökträd Föreläsning 7 Träd Binära träd Binärt sökträd som ADT Implementering av binärt sökträd Travestera binärt sökträd Sökning Insättning/borttagning Läsanvisningar och
Läs merRekursion. Att tänka rekursivt Att programmera rekursivt i Java Exempel. Programmeringsmetodik -Java 254
Rekursion Rekursion är en grundläggande programmeringsteknik M h a rekursion kan vissa problem lösas på ett mycket elegant sätt Avsnitt 11 i kursboken: Att tänka rekursivt Att programmera rekursivt i Java
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 4 oktober 2017 1 Idag Algoritmkonstruktion (lite blandat) Redovisning och inlämning av labbteori 3 2 Uppgifter Uppgift
Läs merFöreläsning 13. Rekursion
Föreläsning 13 Rekursion Rekursion En rekursiv metod är en metod som anropar sig själv. Rekursion används som alternativ till iteration. Det finns programspråk som stödjer - enbart iteration (FORTRAN)
Läs merFöreläsning 9. Sortering
Föreläsning 9 Sortering Föreläsning 9 Sortering Sortering och Java API Urvalssortering Instickssortering Söndra och härska Shellsort Mergesort Heapsort Quicksort Bucketsort Radixsort Läsanvisningar och
Läs merLösningar Datastrukturer TDA
Lösningar Datastrukturer TDA416 2016 12 21 roblem 1. roblem 2. a) Falskt. Urvalssortering gör alltid samma mängd av jobb. b) Sant. Genom att ha en referens till sista och första elementet, kan man nå både
Läs merTentamen, Algoritmer och datastrukturer
UNDS TEKNISKA ÖGSKOA (6) Institutionen för datavetenskap Tentamen, Algoritmer och datastrukturer 23 8 29, 8. 3. Anvisningar: Denna tentamen består av fem uppgifter. Totalt är skrivningen på 36 poäng och
Läs merSökning och sortering
Sökning och sortering Programmering för språkteknologer 2 Sara Stymne 2013-09-16 Idag Sökning Analys av algoritmer komplexitet Sortering Vad är sökning? Sökning innebär att hitta ett värde i en samling
Läs merFöreläsning 4. Kö Implementerad med array Implementerad med länkad lista Djup kontra bredd Bredden först mha kö
Föreläsning 4 Kö Implementerad med array Implementerad med länkad lista Djup kontra bredd Bredden först mha kö Kö (ADT) En kö fungerar som en kö. Man fyller på den längst bak och tömmer den längst fram
Läs merDatastrukturer och algoritmer
Innehåll Datastrukturer och algoritmer Föreläsning14 Abstrakta datatyper Generella teorier Algoritmer Problemlösningsstrategier Typer av algoritmer 418 419 Abstrakta datatyper Ett koncept för att kunna
Läs merFÖRELÄSNING 11 DATALOGI I
Föreläsning I07 FÖRELÄSNING DATALOGI I Grafer Beatrice Åkerblom beatrice@dsv.su.se Institutionen för Data- och Systemvetenskap SU/KTH Föreläsning I07 Läsanvisningar Michael Main Data Structures & Other
Läs merFöreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer
Föreläsning 4: Giriga algoritmer Giriga algoritmer Denna typ av algoritmer arbetar efter följande princip: Gör i varje situation det som är lokalt optimalt, d.v.s. bäst för stunden. Några exempel vi redan
Läs merGiriga algoritmer och dynamisk programmering
Föreläsning 1 Giriga algoritmer och dynamisk programmering Douglas Wikström KTH Stockholm popup-help@csc.kth.se Dagens citat Using the wrong algorithm to solve a problem is like trying to cut a steak with
Läs merOptimala koder. Övre gräns för optimala koder. Gränser. Övre gräns för optimala koder, forts.
Datakompression fö 3 p.3 Datakompression fö 3 p.4 Optimala koder Övre gräns för optimala koder En prefixkod kallas optimal om det inte existerar någon annan kod (för samma alfabet och sannolikhetsfördelning)
Läs merOptimala koder. Det existerar förstås flera koder som har samma kodordsmedellängd. Enklaste fallet är att bara byta 0:or mot 1:or.
Datakompression fö 3 p.1 Optimala koder En prefixkod kallas optimal om det inte existerar någon annan kod (för samma alfabet och sannolikhetsfördelning) som har lägre kodordsmedellängd. Det existerar förstås
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning Datastrukturer (DAT037) Nils Anders Danielsson 2015-11-23 Idag Mer om grafer: Minsta uppspännande träd (för oriktade grafer). Djupet först-sökning. Minsta uppspännande träd Träd (utan rot)
Läs merFöreläsning 1, vecka 7: Rekursion
TDA 548: Grundläggande Programvaruutveckling Föreläsning 1, vecka 7: Rekursion Magnus Myréen Chalmers, läsperiod 1, 2016-2017 Nytt: Extra labbtillfälle för Grupp B (för att grupp Bs labbtider har på senaste
Läs merMetodanrop - primitiva typer. Föreläsning 4. Metodanrop - referenstyper. Metodanrop - primitiva typer
Föreläsning 4 Metodanrop switch-slingor Rekursiva metoder Repetition av de första föreläsningarna Inför seminariet Nästa föreläsning Metodanrop - primitiva typer Vid metodanrop kopieras värdet av en variabel
Läs merMagnus Nielsen, IDA, Linköpings universitet
Föreläsning 7 Introduktion till sortering TDDC91,TDDE22,725G97: DALG Utskriftsversion av föreläsning i Datastrukturer och algoritmer 24 september 2018 Magnus Nielsen, IDA, Linköpings universitet 7.1 1
Läs meri=1 c i = B och c i = a i eller c i = b i för 1 i n. Beskriv och analysera en algoritm som löser detta problem med hjälp av dynamisk programmering.
Algoritmer och Komplexitet ht 8 Övning 3+4 Giriga algoritmer och Dynamisk programmering Längsta gemensamma delsträng Strängarna ALGORITM och PLÅGORIS har den gemensamma delsträngen GORI Denlängsta gemensamma
Läs merString [] argv. Dagens Agenda. Mer om arrayer. Mer om arrayer forts. String [] argv. argv är variabelnamnet. Arrayer och Strängar fortsättning
Dagens Agenda String [] argv String [] argv Arrayer och Strängar fortsättning Booleska operatorer if, for, while satser Introduktion till algoritmer public static void main(string [] argv) argv är variabelnamnet
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre
Läs merFöreläsning 2 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 2 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-02 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Tidskomplexitet
Läs merObjektorienterad programmering
Objektorienterad programmering Föreläsning 22 Copyright Mahmud Al Hakim mahmud@dynamicos.se www.webacademy.se Agenda Rekursion Samlingar Listor Mängder Avbildningstabeller 1 Rekursion För att förstå rekursion
Läs mer1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs merFöreläsning 7+8: NP-problem. Begreppet effektiv algoritm är alltså synonymt med går i polynomisk tid i den här kursen. Är detta en rimlig uppdelning?
Formalisering av rimlig tid Föreläsning 7+8: NP-problem En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1 är för långsam.
Läs merTDDC74 Programmering, abstraktion och modellering. Tentamen
AID-nummer: Datum: 2011-01-11 1 Tekniska högskolan vid Linköpings universitet Institutionen för datavetenskap Anders Haraldsson TDDC74 Programmering, abstraktion och modellering Tentamen Tisdag 11 januari
Läs merIndicerade variabler
Indicerade variabler ARRAYER kan vara VEKTORARRAYER eller MATRISARRAYER Deklaration och användning av array (=vektorarray) Array och for-loop Slumptal Arrayer i två dimensioner (= matrisarray, matris)
Läs merEkvivalensrelationer
Abstrakt datatyp för disjunkta mängder Vi skall presentera en abstrakt datatyp för att representera disjunkta mängder Kan bl.a. användas för att lösa ekvivalensproblemet avgör om två godtyckliga element
Läs merProblemlösning och funktioner Grundkurs i programmering med Python
Hösten 2009 Dagens lektion Problemlösningsstrategier Repetition av funktioner Mer om funktioner 2 Problemlösningsstrategier 3 PROBLEMLÖSNINGSSTRATEGIER Strategier Det finns ett flertal olika ansatser till
Läs merAnmälningskod: Lägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer (gäller B-delen) och din kod överst i högra hörnet på alla papper
Tentamen Programmeringsteknik II 2018-10-19 Skrivtid: 8:00 13:00 Tänk på följande Skriv läsligt. Använd inte rödpenna. Skriv bara på framsidan av varje papper. Lägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer
Läs merDatastrukturer D. Föreläsning 2
Datastrukturer D Föreläsning 2 Jämförelse mellan olika sorteringsalgoritmer n Selection sort T(n) Insertion sort T(n) 2 1 1 1 Merge sort T(n) 4 6 3-6 4-5 8 28 7-28 12-17 16 120 15-120 32-49 Analysis of
Läs merTeoretisk del. Facit Tentamen TDDC (6)
Facit Tentamen TDDC30 2013-06-05 1 (6) Teoretisk del 1. (3p) "Snabba frågor" Alla svar motiveras väl. a) Vad skiljer en statisk metod från en icke-statisk? (0.5p) Svar:En statisk metod är associerad till
Läs merTentamen Datastrukturer (DAT036/DAT037/DIT960)
Tentamen Datastrukturer (DAT036/DAT037/DIT960) Datum och tid för tentamen: 2016-04-07, 14:00 18:00. Författare: Nils Anders Danielsson. (Tack till Per Hallgren och Nick Smallbone för feedback.) Ansvarig:
Läs merFöreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori
Föreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori Formalisering av rimlig tid En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1
Läs merFunktioner. Programmering. Egendefinierade funktioner i Java. En Java-funktions anatomi. hh.se/db2004. Statiska metoder. Funktioner. resultatvärde.
Programmering hh.se/db2004 Föreläsning 7: Funktioner Verónica Gaspes www2.hh.se/staff/vero www2.hh.se/staff/vero/programmering Funktioner Statiska metoder 1 Kan ta 0 eller flera argument. 2 Kan producera
Läs merObjektorienterad programmering Föreläsning 8. Copyright Mahmud Al Hakim Agenda (halvdag)
Objektorienterad programmering Föreläsning 8 Copyright Mahmud Al Hakim mahmud@webacademy.se www.webacademy.se Agenda (halvdag) Objektorienterad programutveckling Algoritmer Algoritmkonstruktionerna Relationer
Läs mer