Matematik i demokratins tjänst Svante Linusson Professor i matematik KTH Populärföreläsning HT18 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 1 / 17
Vad är ett bra valsystem? Exempel på önskemål: Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 / 17
Vad är ett bra valsystem? Exempel på önskemål: 1 Rättvist, t.ex. lika för alla politiker/partier, proportionellt geografiskt, proportionellt mellan partier Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 / 17
Vad är ett bra valsystem? Exempel på önskemål: 1 Rättvist, t.ex. lika för alla politiker/partier, proportionellt geografiskt, proportionellt mellan partier Ge ett bra styre av landet, t.ex. handlingskraftig regering Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 / 17
Vad är ett bra valsystem? Exempel på önskemål: 1 Rättvist, t.ex. lika för alla politiker/partier, proportionellt geografiskt, proportionellt mellan partier Ge ett bra styre av landet, t.ex. handlingskraftig regering Begripligt: väljarna förstår systemet och hur deras röst räknas Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 / 17
Vad är ett bra valsystem? Exempel på önskemål: 1 Rättvist, t.ex. lika för alla politiker/partier, proportionellt geografiskt, proportionellt mellan partier Ge ett bra styre av landet, t.ex. handlingskraftig regering Begripligt: väljarna förstår systemet och hur deras röst räknas 4 Svårt att manipulera, undvika t.ex. så kallad gerrymandering Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 / 17
Vad är ett bra valsystem? Exempel på önskemål: 1 Rättvist, t.ex. lika för alla politiker/partier, proportionellt geografiskt, proportionellt mellan partier Ge ett bra styre av landet, t.ex. handlingskraftig regering Begripligt: väljarna förstår systemet och hur deras röst räknas 4 Svårt att manipulera, undvika t.ex. så kallad gerrymandering 5 Förtroende hos väljarna Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 / 17
Vad är ett bra valsystem? Exempel på önskemål: 1 Rättvist, t.ex. lika för alla politiker/partier, proportionellt geografiskt, proportionellt mellan partier Ge ett bra styre av landet, t.ex. handlingskraftig regering Begripligt: väljarna förstår systemet och hur deras röst räknas 4 Svårt att manipulera, undvika t.ex. så kallad gerrymandering 5 Förtroende hos väljarna 6 m.m. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 / 17
Gerrymandering Bild från wikipedia. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 / 17
Sveriges största valskandal 1887 var det val till Riksdagens andra kammare. I Stockholms valkrets skulle personer väljas. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 4 / 17
Sveriges största valskandal 1887 var det val till Riksdagens andra kammare. I Stockholms valkrets skulle personer väljas. Partier fanns inte utan vallagen krävde att varje väljare skulle skriva exakt valbara personer på valsedeln. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 4 / 17
Sveriges största valskandal 1887 var det val till Riksdagens andra kammare. I Stockholms valkrets skulle personer väljas. Partier fanns inte utan vallagen krävde att varje väljare skulle skriva exakt valbara personer på valsedeln. Efter att personer hade valts in så upptäcktes att en av de invalda, Olle "Ångköks-Olle" Larsson, hade en skatteskuld (på 11 kronor och 58 öre) och var således inte valbar. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 4 / 17
Sveriges största valskandal 1887 var det val till Riksdagens andra kammare. I Stockholms valkrets skulle personer väljas. Partier fanns inte utan vallagen krävde att varje väljare skulle skriva exakt valbara personer på valsedeln. Efter att personer hade valts in så upptäcktes att en av de invalda, Olle "Ångköks-Olle" Larsson, hade en skatteskuld (på 11 kronor och 58 öre) och var således inte valbar. Samtliga 606 valsedlar där han förekommit hade då bara 1 giltiga namn och blev därför ogiltigförklarade. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 4 / 17
Ångköksvalet Det ledde till att protektionister kom in istället för frihandelsvänner, ändrade majoritetsförhållanden och sedermera regeringen Themptanders fall. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 5 / 17
Ångköksvalet Det ledde till att protektionister kom in istället för frihandelsvänner, ändrade majoritetsförhållanden och sedermera regeringen Themptanders fall. Protektionisterna firade sin, något oväntade, valseger med en fest på Hasselbacken där varje kuvert kostade exakt 11 kronor och 58 öre. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 5 / 17
Ångköksvalet Det ledde till att protektionister kom in istället för frihandelsvänner, ändrade majoritetsförhållanden och sedermera regeringen Themptanders fall. Protektionisterna firade sin, något oväntade, valseger med en fest på Hasselbacken där varje kuvert kostade exakt 11 kronor och 58 öre. Ångköks-Olle emigrerade till Nordamerika. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 5 / 17
Rättvisa som i proportionalitet Proportionellt mellan partier i svenska riksdagsvalet: Ett parti som får 5% av rösterna skall ha 5% av platserna i riksdagen. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 6 / 17
Rättvisa som i proportionalitet Proportionellt mellan partier i svenska riksdagsvalet: Ett parti som får 5% av rösterna skall ha 5% av platserna i riksdagen. Proportionellt mellan delstater i USA: En delstat med 5% av befolkningen skall ha 5% av platserna i representanthuset. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 6 / 17
Rättvisa som i proportionalitet Proportionellt mellan partier i svenska riksdagsvalet: Ett parti som får 5% av rösterna skall ha 5% av platserna i riksdagen. Proportionellt mellan delstater i USA: En delstat med 5% av befolkningen skall ha 5% av platserna i representanthuset. Frågan är: Hur gör man avrundningen? Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 6 / 17
Exempel från Baknäs 700 personer har röstat i kommunalvalet på partierna A, B och C. Fullmäktige i Baknäs har totalt 7 platser (mandat) som skall fördelas mellan partierna utifrån röstsiffrorna. Låt oss se på några möjliga utfall. Parti A Parti B Parti C Fall 1 röster 400 00 100
Exempel från Baknäs 700 personer har röstat i kommunalvalet på partierna A, B och C. Fullmäktige i Baknäs har totalt 7 platser (mandat) som skall fördelas mellan partierna utifrån röstsiffrorna. Låt oss se på några möjliga utfall. Parti A Parti B Parti C Fall 1 röster 400 00 100 mandat 4 1 lätt Fall röster 00 00 100
Exempel från Baknäs 700 personer har röstat i kommunalvalet på partierna A, B och C. Fullmäktige i Baknäs har totalt 7 platser (mandat) som skall fördelas mellan partierna utifrån röstsiffrorna. Låt oss se på några möjliga utfall. Parti A Parti B Parti C Fall 1 röster 400 00 100 mandat 4 1 lätt Fall röster 00 00 100 mandat 1 också lätt Fall röster 80 0 100
Exempel från Baknäs 700 personer har röstat i kommunalvalet på partierna A, B och C. Fullmäktige i Baknäs har totalt 7 platser (mandat) som skall fördelas mellan partierna utifrån röstsiffrorna. Låt oss se på några möjliga utfall. Parti A Parti B Parti C Fall 1 röster 400 00 100 mandat 4 1 lätt Fall röster 00 00 100 mandat 1 också lätt Fall röster 80 0 100 mandat 4 1 Rimligt, närmare Fall 1 Fall 4 röster 7 10
Exempel från Baknäs 700 personer har röstat i kommunalvalet på partierna A, B och C. Fullmäktige i Baknäs har totalt 7 platser (mandat) som skall fördelas mellan partierna utifrån röstsiffrorna. Låt oss se på några möjliga utfall. Parti A Parti B Parti C Fall 1 röster 400 00 100 mandat 4 1 lätt Fall röster 00 00 100 mandat 1 också lätt Fall röster 80 0 100 mandat 4 1 Rimligt, närmare Fall 1 Fall 4 röster 7 10 mandat??? Matematisk metod krävs Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 7 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Parti A Parti B Parti C Röster 7 10 Mandat 1 till A Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Parti A Parti B Parti C Röster 7 10 Mandat 1 till A Jämförelsetal 111 ( ) 7 10 Mandat till B Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Parti A Parti B Parti C Röster 7 10 Mandat 1 till A Jämförelsetal 111 ( ) 7 10 Mandat till B Jämförelsetal 111 79( 7 ) 10 Mandat till C Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Parti A Parti B Parti C Röster 7 10 Mandat 1 till A Jämförelsetal 111 ( ) 7 10 Mandat till B Jämförelsetal 111 79( 7 ) 10 Mandat till C Jämförelsetal 111 79 4,( 10 ) Mandat 4 till A Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Parti A Parti B Parti C Röster 7 10 Mandat 1 till A Jämförelsetal 111 ( ) 7 10 Mandat till B Jämförelsetal 111 79( 7 ) 10 Mandat till C Jämförelsetal 111 79 4,( 10 ) Mandat 4 till A Jämförelsetal 66,6( 5 ) 79 4, Mandat 5 till B Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Parti A Parti B Parti C Röster 7 10 Mandat 1 till A Jämförelsetal 111 ( ) 7 10 Mandat till B Jämförelsetal 111 79( 7 ) 10 Mandat till C Jämförelsetal 111 79 4,( 10 ) Mandat 4 till A Jämförelsetal 66,6( 5 ) 79 4, Mandat 5 till B Jämförelsetal 66,6 47,4( 7 5 ) 4, Mandat 6 till A Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Parti A Parti B Parti C Röster 7 10 Mandat 1 till A Jämförelsetal 111 ( ) 7 10 Mandat till B Jämförelsetal 111 79( 7 ) 10 Mandat till C Jämförelsetal 111 79 4,( 10 ) Mandat 4 till A Jämförelsetal 66,6( 5 ) 79 4, Mandat 5 till B Jämförelsetal 66,6 47,4( 7 5 ) 4, Mandat 6 till A Jämförelsetal 47,6( 7 ) 47,4 4, Mandat 7 till A Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Uddatalsmetoden Den metod som används i Sverige för att ge proportionalitet mellan partier kallas uddatalsmetoden ( Sainte-Laguës metod). Jag visar hur den fungerar med ett exempel. Fall 4: 7 platser skall fördelas mellan tre partier som totalt fått 700 röster. Parti A Parti B Parti C Röster 7 10 Mandat 1 till A Jämförelsetal 111 ( ) 7 10 Mandat till B Jämförelsetal 111 79( 7 ) 10 Mandat till C Jämförelsetal 111 79 4,( 10 ) Mandat 4 till A Jämförelsetal 66,6( 5 ) 79 4, Mandat 5 till B Jämförelsetal 66,6 47,4( 7 5 ) 4, Mandat 6 till A Jämförelsetal 47,6( 7 ) 47,4 4, Mandat 7 till A Mandat 4 1 Slutresultat Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 8 / 17
Websters metod Vanlig metod som används i t.ex. Tyskland. Exempel: 7 mandat skall fördelas mellan partierna A,B och C. Totalt 700 röster har räknats och varje mandat är således värt 100 röster. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 9 / 17
Websters metod Vanlig metod som används i t.ex. Tyskland. Exempel: 7 mandat skall fördelas mellan partierna A,B och C. Totalt 700 röster har räknats och varje mandat är således värt 100 röster. parti A parti B parti C Totalt Röstetal P i 7 10 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 9 / 17
Websters metod Vanlig metod som används i t.ex. Tyskland. Exempel: 7 mandat skall fördelas mellan partierna A,B och C. Totalt 700 röster har räknats och varje mandat är således värt 100 röster. parti A parti B parti C Totalt Röstetal P i 7 10 Exakt prop. m = P i /100,,7 1, Vanlig avrundning 1 6 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 9 / 17
Websters metod Vanlig metod som används i t.ex. Tyskland. Exempel: 7 mandat skall fördelas mellan partierna A,B och C. Totalt 700 röster har räknats och varje mandat är således värt 100 röster. parti A parti B parti C Totalt Röstetal P i 7 10 Exakt prop. m = P i /100,,7 1, Vanlig avrundning 1 6 Vi justerar divisorn 100 till 95 för att få totalt 7 mandat. parti A parti B parti C Totalt Röstetal P i 7 10 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 9 / 17
Websters metod Vanlig metod som används i t.ex. Tyskland. Exempel: 7 mandat skall fördelas mellan partierna A,B och C. Totalt 700 röster har räknats och varje mandat är således värt 100 röster. parti A parti B parti C Totalt Röstetal P i 7 10 Exakt prop. m = P i /100,,7 1, Vanlig avrundning 1 6 Vi justerar divisorn 100 till 95 för att få totalt 7 mandat. parti A parti B parti C Totalt Röstetal P i 7 10 P i /95,51,49 1,7 Vanlig avrundning 4 1 7 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 9 / 17
Sats Sats: Uddatalsmetoden och Websters metod är ekvivalenta, d.v.s. ger alltid samma resultat. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 10 / 17
Divisormetoder Webster/uddatalsmetoden är en så kallad divisormetod. Det finns fler. Namn Rundningsstolpar Formel Webster / uddatal 1 5 7 9... m + 1 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 11 / 17
Divisormetoder Webster/uddatalsmetoden är en så kallad divisormetod. Det finns fler. Namn Rundningsstolpar Formel Webster / uddatal 1 5 7 9... m + 1 Jefferson (heltal) 1 4 5... m + 1 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 11 / 17
Divisormetoder Webster/uddatalsmetoden är en så kallad divisormetod. Det finns fler. Namn Rundningsstolpar Formel Webster / uddatal 1 Nya jämkade uddatal Gamla jämkade uddatal 1, 1,4 5 5 5 7 7 7 9... m + 1 9... 9... Jefferson (heltal) 1 4 5... m + 1 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 11 / 17
Divisormetoder Webster/uddatalsmetoden är en så kallad divisormetod. Det finns fler. Namn Rundningsstolpar Formel Adams 0 1 4... m Webster / uddatal 1 Nya jämkade uddatal Gamla jämkade uddatal 1, 1,4 5 5 5 7 7 7 9... m + 1 9... 9... Jefferson (heltal) 1 4 5... m + 1 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 11 / 17
Divisormetoder Webster/uddatalsmetoden är en så kallad divisormetod. Det finns fler. Namn Rundningsstolpar Formel Adams 0 1 4... m Dean 0 4 1 5 4 7 40 9... m + m m+1 Webster / uddatal 1 Nya jämkade uddatal Gamla jämkade uddatal 1, 1,4 5 5 5 7 7 7 9... m + 1 9... 9... Jefferson (heltal) 1 4 5... m + 1 Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 11 / 17
Divisormetoder Webster/uddatalsmetoden är en så kallad divisormetod. Det finns fler. Namn Rundningsstolpar Formel Adams 0 1 4... m 4 Dean 0 5 7 9... m + m m+1 Huntington-Hill 0 6 1 0.. m(m + 1) Webster / uddatal 1 Nya jämkade uddatal Gamla jämkade uddatal 1, 1,4 1 5 5 5 4 7 7 7 40 9... m + 1 9... 9... Jefferson (heltal) 1 4 5... m + 1 Ordnade så att Adams är bäst för små partier och Jefferson bäst för stora. Uddatalsmetoden är neutral. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 11 / 17
Divisormetoder Webster/uddatalsmetoden är en så kallad divisormetod. Det finns fler. Namn Rundningsstolpar Formel Adams 0 1 4... m 4 Dean 0 5 7 9... m + m m+1 Huntington-Hill 0 6 1 0.. m(m + 1) Webster / uddatal 1 Nya jämkade uddatal Gamla jämkade uddatal 1, 1,4 1 5 5 5 4 7 7 7 40 9... m + 1 9... 9... Jefferson (heltal) 1 4 5... m + 1 Ordnade så att Adams är bäst för små partier och Jefferson bäst för stora. Uddatalsmetoden är neutral. Huntington-Hill används i USA för att fördela platser proportionellt i representanthuset mellan delstaterna. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 11 / 17
Det svenska systemet i riksdagsvalet 018 De 49 platserna i den svenska rikdagen fördelas enligt följande. 1 10 fasta mandat fördelas mellan de 9 valkretsarna med Hamiltons metod baserat på antal röstberättigade före valet. Inom varje valkrets fördelas dessa mandat till partier (som klarat 4% eller 1%-spärrarna) med den nya jämkade uddatalsmetoden utifrån röstetal. Man gör sedan en beräkning hur alla 49 mandaten skall fördelas mellan partierna med uddatalsmetoden. De partier som har fått för lite tidigare får dela på de 9 utjämningsmandaten. 4 NYTT - ROBIN HOOD STEG: Om något parti i steg () fått mer än de borde ha fått enligt steg () så sker ett mellansteg (,5) där partiet får ge bort sitt svagaste mandaten till ett annat parti. 5 Ett partis utjämningsmandat fördelas mellan valkretsar med rena uddatalsmetoden. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 1 / 17
Valet 014 Avsikten med det svenska systemet är att ge proportionalitet mellan partierna och hyfsad proportionalitet mellan valkretsarna. I av de 14 riksdagsval som systemet använts har det inte blivit proportionellt. Exempel: Riksdagsvalet 014 Röster Antal mandat Borde fått Parti 014 014 Diff M 1 45 517 84 85 1 C 80 97 FP 7 77 19 0 1 KD 84 806 16 17 1 S 1 9 711 11 11 +1 V 56 1 1 1 MP 49 75 5 5 SD 801 178 49 47 + Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 1 / 17
Sveriges nya vallag Det innehåller framförallt följande ändringar: Jämkningsfaktorn 1,4 ändras till 1, för att minska behoven av utjämningsmandat. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 14 / 17
Sveriges nya vallag Det innehåller framförallt följande ändringar: Jämkningsfaktorn 1,4 ändras till 1, för att minska behoven av utjämningsmandat. Ett extra steg "Robin-Hood-steget" införs mellan utdelandet av fasta mandat och utjämningsmandat och korrigerar om någon har fått för många fasta mandat. De fasta mandaten blir lite mindre fasta. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 14 / 17
Sveriges nya vallag Det innehåller framförallt följande ändringar: Jämkningsfaktorn 1,4 ändras till 1, för att minska behoven av utjämningsmandat. Ett extra steg "Robin-Hood-steget" införs mellan utdelandet av fasta mandat och utjämningsmandat och korrigerar om någon har fått för många fasta mandat. De fasta mandaten blir lite mindre fasta. Småpartispärr och utjämningsmandat införs i kommunalvalen. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 14 / 17
Boktips Vill ni läsa om valmetoder i allmänhet och deras historia så rekommenderar jag Szpiro G., Numbers Rule: The vexing mathematics of democracy Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 15 / 17
Biproportionalitet Problemen i svenska valet 1988,010,014, då det inte blev proportionellt enligt uddatalsmetoden, kommer från att man också vill ha rättivsa mellan olika delar av landet. Riksdagen har beslutat om ändringar för att säkerställa riksproportionalitet, som börjde gälla 018. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 16 / 17
Biproportionalitet Problemen i svenska valet 1988,010,014, då det inte blev proportionellt enligt uddatalsmetoden, kommer från att man också vill ha rättivsa mellan olika delar av landet. Riksdagen har beslutat om ändringar för att säkerställa riksproportionalitet, som börjde gälla 018. Det finns en mycket snygg metod, kallad biproportionella metoden, som garanterat ger proportionalitet för både regioner och partier. Matematiken där är dock lite lurigare och den har riksdagen tyvärr inte valt. Svante Linusson (KTH) Matematik i valsystem 018-09-0 16 / 17