Kalkyler som beslutsunderlag

Kalkyler som beslutsunderlag Gör a n A n dersson Sjunde upplagan Digitalt appendix till kapitel 8. Art.nr 4350-07 ISBN 978-91-44-08096-3

Linjär programmering K a p i t e l 8 8.5 Två trånga sektioner Det finns analysmodeller som kan klara problem med många trånga sektioner och identifiera den lösning som ger det högsta totala täckningsbidraget eller den lägsta särkostnaden. Med tillgång till dator kan mycket stora och komplexa problem av denna typ lösas med standardprogram. Det slutliga beslutet bör utöver täckningsbidrag även beakta icke-finansiella och kvalitativa konsekvenser. Problem med två trånga sektioner är ett specialfall som kan lösas manuellt. Denna situation torde ha liten praktisk betydelse, men den kan fungera som en brygga för att förstå en generell lösning och därför visas denna analys nedan. Två trånga sektioner är ett specialfall ExempeL AB Furumöbler tillverkar stolar och bord och de har två trånga sektioner. Företagets hyvlar används för fullt, dvs. 450 tim/mån. Arbetstiden i slipningen är också trång sektion och där utnyttjas all tillgänglig kapacitet, dvs. 300 arbetstimmar per månad. Beräkna vilken produkt eller produktblandning som skall tillverkas. Stol Bord Tillgänglig kapacitet (tim/mån) TB (kr/st) 12 18 Resursförbrukning Hyvling (min/st) 5 10 450 Slipning (min/st) 6 3 300 1

Lösning Om företaget analyserar en trång sektion i taget finner de att hyvlingen maximalt kan producera material till 450 * 60 = 5 400 stolar eller 5 2 700 bord. Kapaciteten att slipa uppgår till högst 3 000 stolar eller 6 000 bord. Företaget kan således hyvla 5 400 och slipa 3 000 stolar. Slipning är stolarnas trånga sektion. Vid maximal slipning av stolar finns det ledig, outnyttjad kapacitet i hyvlingen. För bord är hyvling trång sektion och då finns det ledig kapacitet i slipningen. Det är också möjligt att tillverka en kombination av stolar och bord. I detta fall utnyttjas all kapacitet i både hyvling och slipning. Ledig kapacitet Utnyttjad kapacitet Stol Hyvling Slipning Hyvling Slipning Hyvling Slipning Bord Stol Bord Tre alternativ vid förädling i två sektioner. Produktionens förutsättningar sammanfattas i nedanstående tabell. Trånga sektioner har markerats med en ram. Kapacitet (tim/mån) Resursanspråk (min/st) Max. produktion (st/mån) Stol Bord Stol Bord Hyvling 450 5 10 5 400 2 700 Slipning 300 6 3 3 000 6 000 Begränsningslinje, Restriktion De trånga sektionerna kan illustreras med begränsningslinjer, restriktioner, som visar maximal volym. Begränsningslinjen för hyvling maximerar produktionen till 5 400 stolar eller 2 700 bord. Resurserna räcker alternativt till alla de kombinationer av stolar och bord som linjen visar. Begränsningslinjen för slipning anger en maximal produktion av 3 000 stolar eller 6 000 bord. Produkterna kan också kombineras i alla positioner längs linjen. 2

Stolar 5 400 Ledig kapacitet 3 000 Hyvling Enbart stolar Både stolar och bord Enbart bord Slipning 2 700 6 000 Ledig kapacitet Bord Figur 1 Två trånga sektioner ger tre möjliga lösningar. Det skuggade område som finns mellan begränsningslinjer och axlar illustrerar alla möjliga lösningar. Detta kallas ibland det möjliga området eller lösningsrummet. Optimal lösning finns oftast i en hörnpunkt. I vissa specialfall kan alla punkter på en linje mellan två hörnpunkter ge samma optimala lösning. En restriktion som bara avser en variabel är schematiskt ett lodrätt eller vågrätt streck. Möjligt område Hörnpunkt Den produktkombination som ger högst TTB skall väljas. Sammantaget finns det tre intressanta möjligheter: 1) Enbart stolar (3 000 st) 2) Enbart bord (2 700 st) 3) En kombination av stolar och bord som utnyttjar alla resurser i de båda trånga sektionerna. Detta inträffar där begränsningslinjerna korsar varandra (se figur ovan). 1) TTB enbart stolar: 3 000 * 12 = 36 000 kr. 2) TTB enbart bord: 2 700 * 18 = 48 600 kr. 3) För att kunna fastställa TTB vid produktblandningen måste vi veta hur många produkter av respektive slag som kan produceras när all kapacitet utnyttjas. Detta går att beräkna med ett ekvationssystem eller ett ut bytes resonemang. Det går också att identifiera optimal lösning genom att beräkna TB/resursenhet för de trånga sektionerna och genom att konstruera täckningsbidragslinjer. 3

Ekvationssystem Antag att vi tillverkar S st stolar och B st bord vid blandningspunkten. Resursförbrukningen vid denna produktion är lika med den tillgängliga kapaciteten. 5 * S + 10 * B = 450 * 60 (Hyvling; 1) 6 * S + 3 * B = 300 * 60 (Slipning; 2) Ekvation (1) multipliceras med 1,2. Det ger 6 * S 12 * B = 540 * 60 (1) 6 * S + 3 * B = 300 * 60 (2) Ekvation (1) och ekvation (2) adderas. Det ger 9 * B = 240 * 60 B = 1 600 Sätt in detta värde i ekvation (1). Det ger 5 * S + 10 * 1 600 = 450 * 60 S = 2 200 När alla tillgängliga resurser utnyttjas kan företaget producera 1 600 bord och 2 200 stolar. Detta ger ett högre TTB än produktion av enbart stolar eller enbart bord. TTB Stol + Bord: 2 200 * 12 + 1 600 * 18 = 55 200 kr/mån. Utbytesresonemang Som visats ovan kan blandningspunkten beräknas med ett ekvationssystem. Det går även att använda ett utbytesresonemang för att fastställa antalet stolar och bord. Det bästa enproduktprogrammet är 2 700 bord som ger ett TTB om 48 600 kr. För att produktblandning skall vara optimal, måste det vara lönsamt att minska tiden för produktion av bord i dess trånga sektion (hyvling) och ersätta den med produktion av stolar. Antag att vi minskar antalet bord med en enhet till 2 699 st. Då minskar TTB med 18 kr och det frigörs 10 minuter hyvlingstid. Under denna tid går det att tillverka 10 = 2 st stolar, vilket gene- 5 rerar 2 * 12 = 24 kr i TB. Bytet var lönsamt och ökade TTB med 24 18 = 6 kr. Antalet möjliga byten begränsas av den lediga kapaciteten i slipningen som uppgår till 300 * 60 2 700 * 3 = 9 900 minuter. Vid varje byte frigörs 3 minuter slipningstid genom minskad produktion av bord. Samtidigt åtgår det 2 * 6 = 12 minuter slipningstid genom produktion av stolar. Nettoåtgång per byte 12 3 = 9 minuter. Antal möjliga byten är 9 900 = 1 100 st. Vi skall därmed 9 producera 2 700 1 100 = 1 600 st bord och 1 100 * 2 = 2 200 st stolar. 4

TB/resurs-enhet Att blandningspunkten är optimal går också att fastställa genom att beräkna TB/enhet av trång sektion. En stol ger 12 kr i TB och kräver 5 minuters hyvlingstid. Den genererar därmed 12 5 = 2,40 kr i TB/min eller 144 kr i TB/tim för hyvlingstid. Övriga möjligheter att utnyttja resurser beräknas på samma sätt. I nedanstående tabell markeras det bästa sättet att utnyttja respektive trång sektion. Kapacitet (tim/mån) Resursanspråk (min/st) Max. produktion (st/mån) TB (kr/tim) Stol Bord Stol Bord Stol Bord Hyvling 450 5 10 5 400 2 700 144 108 Slipning 300 6 3 3 000 6 000 120 360 Hyvling är trång sektion för tillverkningen av bord, men hyvling genererar mest TB vid produktion av stolar. Om företaget tillverkar maximalt med bord ökar TTB om de frigör hyvlingstid, så att de kan producera ett antal stolar. Slipning är trång sektion för tillverkningen av stolar, men slipning genererar mest TB vid produktion av bord. När aktuella produkter inte ger högst TB/ resursenhet i sina trånga sektioner är förutsättningarna för produktblandning uppfyllda. Ytterligare ett sätt att analysera två trånga sektioner är att konstruera täckningsbidragslinjer, TB-linjer. Dessa kan illustreras i den grafiska modellen med begränsningslinjer. Figuren kompletteras med en linje som har samma TB längs hela linjen, en iso-tb-linje. En iso-bar-linje i en meteorologisk karta visar alltid samma lufttryck. Analogt visar en iso-tb-linje samma TB längs hela linjen. TB-linje Beräkna TTB vid ett godtyckligt antal av den ena produkten och beräkna hur många av den andra produkten som ger samma TTB. Antag att vi producerar 5 000 bord vilket ger 5 000 * 18 = 90 000 kr i TTB. Samma TTB erhålls 90 000 om vi producerar = 7 500 stolar. Detta ger oss två punkter på en 12 TB-linje. Om vi sammanbinder dessa med en rät linje ger alla punkter däremellan samma TTB. En parallell linje som går längre från origo ger högre TTB och en som går närmare origo ger lägre TTB. Parallellförflytta TB-linjen så att den tangerar det möjliga området. Tangeringspunkten visar optimal lösning, i detta fall en produktblandning. Antalet produkter i en eventuell produktblandning måste beräknas med ekvationssystem eller resonemang. 5

Stolar 7 500 5 400 3 000 TB-linjer Hyvling Optimal lösning Både stolar och bord Slipning 2 700 5 000 6 000 Bord Figur 2 Parallella täckningsbidragslinjer visar optimal lösning. TB-linjens lutning I AB Furumöbler gäller följande. Om TB-linjen har större, brantare, lutning än begränsningslinjen för hyvling, är den optimala lösningen att enbart producera bord. TB-linjen kommer att tangera det möjliga området vid hörnpunkten för 2 700 bord. Om TB-linjen har mindre, flackare, lutning än begränsningslinjen för slipning, skall företaget välja ett enproduktprogram av stolar. För att en produktblandning skall vara optimal måste TB-linjens lutning ligga mellan lutningarna för begränsningslinjerna. Optimal lösning finns normalt i en hörnpunkt. Om TB-linjen har samma lutning som en begränsningslinje sammanfaller dessa. Alla punkter mellan de två aktuella hörnen ger då samma optimala lösning. Ett produktvalsproblem med två produkter och många trånga sektioner kan visas grafiskt på ovanstående sätt. Antalet hörnpunkter ökar ju fler trånga sektioner som finns. Om en resurs inte ger någon begränsning av det möjliga området är den inte en trång sektion. Vanligen är det två trånga sektioner som dominerar analysen vid två variabler. 8.6 Flera trånga sektioner Ett problem med tre variabler kan illustreras i ett tredimensionellt diagram (se nedan). Grafiskt blir restriktionerna begränsningsplan. Skärningen mellan två restriktioner blir en linje. Med en tredje restriktion erhålls en hörnpunkt i detta rymddiagram. Det skuggade planet i figuren är mål funktion. Möjligt 6

område är en månghörning som begränsas av axlarna samt fyra restriktioner (plan). Det iterativa sökandet efter optimum startar vid maximeringsproblem i S och slutar i O. Om det finns fler än tre variabler kan vi inte visualisera situationen grafiskt. z O S y x Figur 3 Illustration av ett problem med tre variabler x, y och z. (Källa: Nationalencyklopedin). Med ekvationssystem går det att manuellt finna optimala lösningar till komplexa problem genom stegvisa beräkningar, iterationer. Det är ett tidsödande och komplicerat arbete och därför använder vi datorprogram för att genomföra iterationerna. Det mest spridda programmet är Microsoft Excel som innehåller en tilläggsmodul, problemlösaren, där vi kan behandla frågeställningar av detta slag. Tillvägagångssättet kallas linjär programmering, LP. Beteckningen linjär innebär att alla linjer är räta, dvs. förstagradsekvationer. Med LP kan vi lösa optimeringsproblem för ett mycket stort antal variabler och restriktioner, under förutsättning att alla samband är kända. Problemlösaren Linjär programmering Det generella problemet är att optimera något under vissa restriktioner. Optimeringen kan avse att maximera eller minimera ett utfall. Maximeringsfallet kallas simplex-metoden och minimeringsfallet för dual-formuleringen. Det gäller att fastställa vad företaget vill uppnå, det önskvärda målet. Beslutsfattaren kan bestämma över variabler som påverkar målutfallet. I ett pro- 7

duktvalsproblem handlar det om hur mycket som skall tillverkas av respektive produkt. När företag eftersträvar måluppfyllelse finns det restriktioner som hindrar eller sätter gränser. Ställ tre frågor En problemlösning med LP baseras på tre viktiga attribut: mål, variabler och restriktioner. Tänkandet i dessa tre dimensioner kan tillämpas i många situationer och har stor generalitet. LP är därmed ett exempel på ett logiskt angreppssätt för att lösa komplexa problem. Problemet struktureras genom att vi ställer tre frågor. Vad strävar vi mot (mål) Vad kan vi besluta om (variabler) Vad är det som hindrar oss (restriktioner) Problemlösaren i Excel Resonemanget nedan bygger på ett tilläggsmakro i Microsoft Excel som heter problemlösaren. Den kan användas för att lösa LP-problem. Läsaren förutsätts vara bekant med Excel. Nedan används version 12.0, Microsoft Office 2007. Andra versioner kan skilja något i terminologi. Om problemlösaren inte är installerad får du läsa i hjälpfunktionen eller i instruktionsboken för Excel om hur du installerar den. ExempeL AB Furumöbler kan nu förutom stolar och bord tillverka en egenutvecklad pall. Genom licensavtal har företaget dessutom fått möjlighet att tillverka maximalt 1 200 hyllor/månad. Antag att torkning av målade möbler har blivit en trång sektion. Det går bara att måla och torka ett visst antal stolar, bord, pallar och hyllor per månad. Övriga förutsättningar är oförändrade. Beräkna vilken produkt eller produktblandning som skall tillverkas. Stol Bord Pall Hylla Tillgänglig kapacitet (tim/mån) TB (kr/st) 12 18 16 30 Resursförbrukning Hyvling (min/st) 5 10 12 12 450 Slipning (min/st) 6 3 4 5 300 Torkn. (st/mån) 5 000 4 000 5 000 2 000 Licens (st/mån) 1 200 8

Lösning Börja med att identifiera mål, variabler och restriktioner med hjälp av de tre frågorna ovan. I detta fall strävar vi mot att generera maximalt TTB (mål). Det vi kan besluta om är vilken mängd vi skall tillverka av stolar, bord, pallar och hyllor (variabler). Det finns fyra förhållanden som hindrar oss i vår strävan och det är kapaciteten för hyvling, slipning, torkning och licensavtalets regler (restriktioner). Om vi ofta skall lösa LP-problem är det lämpligt att göra upp en Excelmall där grunddata kan registreras. 1 Nedan visas en LP-mall för fem variabler och sex restriktioner. Det går att lösa mångdubbelt större problem med problemlösaren. Mallens struktur är mål, variabler och restriktioner. Grunddata inmatas i celler utan bakgrundsfärg. Celler med ljusgrå bakgrund beräknas av programmet. Strukturera problemet Excel-mall Målet är att maximera TTB genom att tillverka stolar, bord, pallar och hyllor. Antal stolar betecknas med S, antal bord med B, antal pallar med P och antal hyllor med H. Målfunktionen Z blir då: Maximera Z = 12 * S + 18 * B + 16 P + 30 H 1 Du kan hämta en egen kopia av LP-mallen från Studentlitteraturs hemsida, där denna bok presenteras. www.studentlitteratur.se/4350. 9

Målkoefficienter Variabler Restriktioner Olikheter Slackvariabler Målkoefficienterna, i detta fall produkternas TB kr/st, matas in i cellerna B7, C7, D7 och E7. Variablerna, dvs. antal stolar, bord, pallar och hyllor beräknas av programmet och kommer att anges i cellerna B6, C6, D6 och E6. Målfunktionen finns inmatad som en formel i cell C1, se formelfältet. 12 * S anges som B7 * B6, 18 * B anges som C7 * C6, 16 * P anges som D7 * D6 och 30 * H anges som E7 * E6. Formeln i cell C1 summerar målkoefficient * variabelvärde för samtliga variabler. Vid två trånga sektioner är restriktionerna ekvationer, dvs. likheter. Vid blandningspunkten förbrukas samtliga resurser. Vid flera trånga sektioner kan optimal lösning innebära, att det finns outnyttjad kapacitet i någon eller några trånga sektioner. Därför måste begränsningar uttryckas som olikheter i stället för likheter. Den utnyttjade kapaciteten är således mindre eller lika med den tillgängliga kapaciteten. Programmet omvandlar olikheterna till likheter genom att lägga till en slackvariabel. Värdet på slackvariablerna anger ledig kapacitet vid optimal lösning. Restriktionen för hyvling är: 5 * S + 10 * B + 12 P + 12 * H 450 * 60 Olikheterna avbildas i LP-mallen. I cellerna för utnyttjad kapacitet finns formler som summerar användning av resurser, dvs. vänstra ledet i olikheten. I cellerna för tillgänglig kapacitet registreras högra ledet. För hyvling är den tillgängliga tiden 450 * 60 = 27 000 minuter. Resursanspråk per variabel avser förbrukning av en viss resurs för att tillverka en bestämd produkt, i detta fall cellerna B12:E15. Det åtgår t.ex. 5 minuter hyvlingstid till en stol. I AB Furumöbler har restriktionerna hyvling och slipning utökats med torkning och licens. Alla restriktioner avser samma period, kapacitet per månad. För torkning anges tillgänglig torkkapacitet till 5 000 stolar per månad. För att definiera torkkapacitet sätts resursanspråket för torkning av en stol till 1,00 torkenheter. Då uppgår torkkapaciteten till 5 000 torkenheter per månad. Det går bara att torka 4 000 bord, vilket betyder att ett bord kräver mer torkresurser än en stol. Resursanspråket är 5 000 4 000 = 1,25 torkenheter per bord, dvs. 25 % mer än för torkning av en stol. Motsvarande tal är för pallar 1,00 och för hyllor 2,50. Det är bara hyllor som berörs av licensavtalet som totalt omfattar 1 200 hyllor. En hylla har ett resursanspråk på ett. I ett diagram, kan en restriktion som bara berör en variabel, illustreras med en lodrät eller vågrät linje. 10

Det är inte nödvändigt att ha en mall för grunddata, men informationen måste finnas på ett arbetsblad i Excel. En fördel med en mall är att den ger en enkel och lättöverskådlig struktur. När data registrerats i mallen är det lämpligt att spara dessa i en Excel-fil. Nu är det dags att starta problemlösaren som finns under verktygsmenyn och då visas nedanstående dialogruta. 2 Det enklaste sättet att ange målcell är att markera cellen för målfunktion i LP-mallen. I cellen finns den funktion som skall optimeras, i detta fall maximeras. Alternativt går det att ställa in problemlösaren på att minimera en funktion. Inmatning i programmet Justerbara celler är de variabler, för vilka vi söker optimalt läge. I detta fall är det volymen för stolar, bord, pallar och hyllor. Volymen kommer att beräknas av programmet och anges i cellerna B6, C6, D6 och E6. I detta fall ger knappen gissa ett förslag på justerbara celler som vid behov kan korrigeras. Vi kan alternativt skriva in cellreferensen. När mål och variabler har registrerats skall vi ange begränsningar, restriktioner. Detta sker genom att vi klickar i rutan lägg till. Då visas en ny dialogruta. 2 Här används Exel 12.0. 11

Det som begränsar möjligheten till måluppfyllelse är tillgången på resurser, i mallen uttryckt som tillgänglig kapacitet. Den mängd resurser vi använder beräknas i mallen i cellerna för utnyttjad kapacitet. För hyvling måste den utnyttjade kapaciteten i cell G12 vara mindre eller lika med ( ) den tillgängliga kapaciteten i cell H12. Lättast matas detta in genom att markera celler och använda tabulatorn. Den första begränsningen registreras med kommandot lägg till och därefter kan nästa restriktion registreras. Ange logiken (, = eller ) för varje begränsning. Tryck OK när den sista begränsningen har markerats. Mål, variabler och begränsningar, dvs. hela strukturen för problemet är nu synlig i dialogrutan. Det är lämpligt att kontrollera att allt är korrekt innan vi kör programmet. Kontrollera även inställningarna genom att klicka på alternativ. Då visas nedanstående dialogruta. Det är viktigt att markera att det handlar om en linjär modell och att variabler inte får anta negativa värden. Inställningarna i alternativ för problemlösaren beskrivs i hjälpfunktionen. 3 Tryck OK och därefter på lös i den ursprungliga dialogrutan. Programmet gör då upprepade, iterativa, beräkningar med de förutsättningar du definierat. Om det finns en lösning anges detta. 3 I tidiga versioner av Excel gick det inte att markera, anta icke-negativa värden. Då fanns en risk för underliga lösningar som meddelade att företaget skulle tillverka en negativ volym, eller att de skulle ha ett negativt utnyttjande av en restriktion. För att hindra detta krävdes en kompletterande restriktion, att alla variabler skulle 0. 12

Vi kan välja att behålla problemlösningen och erhåller då ett arbetsblad där beräknade värden för mål, variabler och utnyttjad kapacitet visas i LP-mallen. Alternativt kan startvärden återställas, vilket ger ett arbetsblad som visar den ursprungliga LP-mallen. Mål samt optimal kombination av variabler och utnyttjad kapacitet visas också på olika sätt i resultatrapport, känslighetsrapport och begränsningsrapport. Markera de rapporter du vill ha redovisade och tryck OK. Presentation av lösningen Optimal lösning är 1 133 stolar, 693 bord, 0 pallar och 1 200 hyllor vilket tillsammans ger 62 080 kr i TTB. Tillgänglig kapacitet utnyttjas i hyvling, torkning och licens. I slipningen finns outnyttjad kapacitet. De rapporter som erhålls måste tolkas utifrån hur problemet är strukturerat. I detta fall är det ett produktvalsproblem för att maximera TTB. I andra fall kan det handla om att uppfylla vissa krav till lägsta möjliga kostnad. För att göra nedanstående rapporter lättlästa har kolumnbredder och antal decimaler justerats. Lösningen behöver tolkas 13

Resultatrapport Optimallösning Ledig kapacitet Känslighetsrapport Två delar Justerbara celler Begränsningar Vi börjar med resultatrapporten som visar start- och slutvärde för mål och variabler (justerbara celler). Startvärde 0 anger att sökandet efter en lösning började i origo, dvs. noll volym för alla variabler och noll i TTB. Slutvärde anger att en optimal lösning har beräknats. Siffervärdena är desamma som presenterades i LP-mallen ovan. I avsnittet begränsningar visar kolumnen cellvärde utnyttjad kapacitet. Formel anger begränsningens logik. Status klargör om restriktionen utnyttjas fullt ut eller inte. Marginal markerar vilken ledig kapacitet som finns. I detta fall finns det 3 120 minuter outnyttjad tid i slipningen per månad. En begränsning som utnyttjas helt är bindande. Det är viktigt att känna till hur stabil en lösning är och vad som händer om förutsättningarna ändras. För variabler och begränsningar visas detta i känslighetsrapporten. Den består av två delar. Den första delen har rubriken justerbara celler och där studeras känsligheten vid förändring av variablernas målkoefficienter. I denna analys är restriktionerna konstanta och därmed är det möjliga området oförändrat. Den andra delen benämns begränsningar och där studeras känsligheten vid förändring av restriktioner, vilket betyder förändring av det möjliga området. Här analyseras vad som sker om en restriktion blir mer eller mindre krävande. I denna analys är målkoefficienterna konstanta. Det är viktigt att hålla i sär dessa analyser när vi skall förstå känslighetsrapporten. 14

Först ser vi på känslighetsanalysen av justerbara celler, variablernas målkoefficienter. Ny information om variabler är reducerad kostnad som är relaterad till målkoefficienterna. Termen Reducerad kostnad passar ett problem med kostnadsminimering. Vid maximeringsproblem borde rubriken vara Krav på ökat TB/st. En möjlig generell beteckning på denna variabel är målkoefficientens känslighet. Reducerad kostnad I detta fall är målkoefficienten för en stol 12 kr/st i TB. Den reducerade kostnaden är noll, vilket beror på att stolar ingår i den optimala lösningen. Pallar ingår inte i optimal lösning, och de har en reducerad kostnad på 1,60. Om pallarnas TB/st ökar med mer än 1,60, dvs. till mer än 17,60 kr/st, kommer pallar att ingå i optimal lösning. Detta är väsentligt att veta, t.ex. vid prissättning. Observera att kolumnerna reducerad kostnad och skuggapris presenteras utan decimal. Ett värde under 0,5 anges därför efter avrundning som 0, vilket betyder att det kan finnas dolda decimaler. Här har detta korrigerats och två decimaler har synliggjorts. Tillåten ökning och minskning anger inom vilka gränser som nuvarande lösning är stabil. Målkoefficienten för stolar kan öka till 12 + 0,15 = 12,15, utan att de optimala volymerna förändras. Om TB kr/st ökar mer, finns det ett nytt optimalt läge som innebär en större mängd stolar. Motsvarande gäller för tillåten minskning. Om TB för stolar minskar mer än 3 kr/st, till under 9 kr/st, finns det ett nytt optimalt läge som innebär en mindre mängd stolar. Beteckningen 1E + 30 är programmets uttryck för oändlighet (1 * 10 30 ). Oavsett hur högt TB kr/st är för hyllor, är det inte möjligt att finna en lös- Tillåten ökning/ minskning 15

ning med fler än 1 200 hyllor, eftersom restriktionen inte tillåter det. Denna känslighetsanalys är central när vi vill veta beslutets säkerhet. Skuggapris För begränsningar erhålls information om skuggapris samt tillåten ökning respektive minskning relaterat till skuggapris. Skuggapriset anger värdet av en mer eller mindre restriktiv begränsning. AB Furumöbler har 27 000 tillgängliga hyvlingsminuter. Skuggapriset för hyvling är 0,80 och det anger hur TTB påverkas av fler eller färre hyvlingsminuter. Om företaget har tillgång till 27 001 hyvlingsminuter ökar TTB till 62 080 + 0,80 = 62 080,80 kr. Vid 26 999 hyvlingsminuter minskar TTB till 62 080 0,80 = 62 079,20 kr. Tillåten ökning och minskning anger inom vilket intervall skuggapriset är konstant. För hyvling är skuggapriset 0,80 från 24 400 (27 000 2 600) upp till 30 400 (27 000 + 3 400) minuter. Går vi utanför detta intervall ändras skuggapriset. Skuggapriset för slipning är noll, eftersom det finns ledig kapacitet. Ytterligare sliptid bidrar inte till högre TTB, utan ger bara högre ledig kapacitet. En förändring av en restriktion ger en ny optimal lösning. En mindre stram begränsning innebär t.ex. att Furumöbler kan tillverka fler produkter och uppnå högre TTB. Skuggapris ger viktig beslutsinformation Begränsningsrapport Skuggapris ger viktig information när företaget överväger åtgärder för att påverka restriktioner. Skuggapriset visar hur mycket företaget kan betala för ökad kapacitet genom eget arbete eller legoarbete. Kapacitet i hyvling har skuggapriset 0,80 kr/minut. Antag att de anställda har 160 kr/timme i lön inklusive sociala avgifter. Lön är en särkostnad och ingår i produkternas TB/st. Om vi kan använda hyvlingsutrustningen mer genom att tillgripa övertid, eller hyra tillfällig personal, kan vi för den tillkommande tiden betala upp till 160 + 0,8 * 60 = 208 kr/timme och fortfarande visa oförändrat resultat. För torkning visar skuggapriset hur mycket företaget kan betala för ökad torkningskapacitet, t.ex. i form av lokalhyra. Skuggapris anger värdet på ökade eller minskade marginalresurser. Det ger därmed information om vilka resurser som skall utökas i första hand. Den tredje rapporten kallas begränsningsrapport och den ger relativt lite ny information. Målutfall och variabelvärden finns i tidigare rapporter. Nedre begränsning anger det lägsta värde en variabel kan anta och målresultat anger vilket TTB som erhålls vid detta läge, om övriga variabler är oförändrade. Om AB Furumöbler producerar noll stolar erhålls ett TTB om 48 480 kr. Detta kan jämföras med den optimala lösningen som ger 62 080 i TTB. Stolarnas bidrag till totalresultatet är 62 080 48 480 = 13 600 kr. 16

Vid kostnadsminimering kan nedre begränsning vara lika med slutvärdet och övre begränsning kan saknas. Denna rapport ger då ingen ny information. Linjär programmering kan användas för att lösa både maximerings- och minimeringsproblem. Nedan visas ett enkelt minimeringsproblem med två variabler, vilket gör det möjligt att grafiskt visualisera känslighetsanalysen grundprinciper. Diskussionen avser ett blandningsproblem där målet är lägsta möjliga särkostnad, men resonemanget kan även överföras till andra tillämpningar. Minimering Blandningsproblem ExempeL Arlo producerar flytande livsmedel i slutna system. Företaget rengör alla delar i systemet varje dag och vill att önskad rengöringseffekt skall uppnås till så låg kostnad som möjligt. Arlo tillverkar sitt rengöringsmedel genom att blanda de kemiska komponenterna X och Y. Blandningen måste uppfylla fastställda minimikrav på verksamma beståndsdelar. Priserna på X och Y fluktuerar. Beräkna optimal blandning för en ny sats rengöringsmedel, om kostnaden för X och Y f.n. är 25 respektive 20 kr/kg. En sats räcker i en månad. Lösning Målet är låg särkostnad. Variabler vi kan besluta om är mängden av X resp. Y. De restriktioner som finns är blandningens innehållskrav. Tabellen nedan är anpassad till ett minimeringsproblem. Innehåll minimikrav viktprocent blandning x y (kg/sats) Särkostnad (kr/kg) 25 20 Fosfat 0,20 0,50 100 Blekmedel 0,50 0,20 90 Tensider 0,06 0,07 21 17

Problemlösaren visar att optimal produktblandning är 91 kg X och 222 kg Y vilket ger en särkostnad på 6 717 kr. För blekmedel och tensider uppfyller blandningen minimikravet 90 resp. 21 kg. Fosfat ingår med 129,1 kg vilket överskrider minimikravet. Det kan analogt med ledig kapacitet tolkas som att kravet på fosfat inte är trång sektion, dvs. ingen begränsande faktor. Möjligt område Särkostnadslinje Vid minimeringsproblem startar sökandet efter optimal lösning i oändligheten. Successivt söker programmet lösningar som ger allt lägre särkostnad. Det som hindrar särkostnaden från att bli noll är restriktionerna, i detta fall kraven på ingredienser i blandningen. Dessa fastställer det möjliga området, lösningsrummet. I nedanstående figur har det möjliga området skuggats. Det begränsas av axlar och restriktioner och har hörnpunkterna A, B, C, och D. I stället för TB-linje får vi tänka oss en särkostnadslinje. Optimal lösning finns inom det möjliga området. Optimal kombination av variabler finns där särkostnadslinjen tangerar lösningsrummet, i detta fall punkt B. 18

Y 450 A 300 200 Blekmedel B Tensider Optimal lösning C Särkostnadslinje Fosfat 180 350 500 D X Figur 4 Minimeringsproblem med två variabler. Känslighetsanalysen för variabler (justerbara celler) avser hur känslig lösningen är för förändring av målkoefficienter, i detta fall kostnad/kg. I denna del av känslighetsanalysen ändras inte det möjliga området. En förändring av en målkoefficient ger särkostnadslinjen en annan lutning och det kan betyda att en ny hörnpunkt blir optimal. Känslighetsrapportens första del om variabler har följande data. Känslighetsanalysen för variabler Både X och Y ingår i lösningen och de har därför 0 i reducerad kostnad (se ovan). Produktblandningen är optimal om kostnaden för X ligger mellan 50 (25 + 25) och 17,14 (25 7,86) kr/kg. Ökad kostnad per kg ger dock högre total kostnad för blandningen och vice versa. Det som varieras är variablernas relativa värde, dvs. särkostnadslinjens lutning. Linjen svänger i detta fall kring punkten B tills den når de gränser som sätts av tillåten ökning eller minskning. Om vi går utanför dessa gränser ger en annan punkt en ny optimal produktblandning. Om kostnaden för X sjunker under 17,14 är det t.ex. attraktivt att använda en större andel X och punkt C blir då optimal. Särkostnadslinjens lutning varieras 19

Y 450 A Blekmedel Tensider 300 200 B Optimal lösning C Särkostnadslinje 2 Särkostnadslinje 1 Fosfat 180 350 500 D X Figur 5 Grafisk illustration av känslighetsanalys för variabler. Känslighetsanalysen för restriktioner Den andra delen av känslighetsrapporten visar vad som sker om en restriktion blir mer eller mindre krävande. I den grafiska modellen illustreras detta genom att en begränsningslinje parallellförflyttas utåt eller inåt. När vi ändrar restriktioner, ändras det möjliga området och därmed ändras vad som är optimal lösning. En mer krävande restriktion innebär i ett maximeringsfall mindre tillgång av en resurs och en begränsningslinje som går närmare origo. I Arlo utgörs begränsningarna av kraven på den färdiga blandningen. Om ett krav höjs i denna minimeringsuppgift parallellförflyttas en begränsningslinje utåt. Känslighetsrapportens andra del om variabler har följande data. Eftersom fosfat inte är någon trång sektion är skugga priset noll. Om kravet på fosfat ökar med 10 kilo ökar inte kostnaden för blandningen, eftersom 20

vi redan har 29 kilo över minimikravet. För blekmedel är skuggapriset 23,91 vilket betyder att blandningens totala kostnad minskar med 23,91 kr, om kravet på blekmedel minskas till 89 kg. Motsatsen gäller vid ökning. Ökningen eller minskningen med 23,91 kr/kg blekmedel är konstant mellan 60 (90 30) och 131,88 (90 + 41,88) kg blekmedel. Går vi utanför detta intervall gäller ett annat skuggapris, dvs. en annan kostnad för ökad eller minskad mängd blekmedel. En förändring av en restriktion ger således ett nytt möjligt område och därmed en ny optimal lösning. Särkostnadslinjen behåller sin lutning, men parallellförflyttas så att den fortfarande tangerar det möjliga området. Detta illustreras i figuren. Särkostnadslinjens lutning är konstant Y 450 A Blekmedel Tensider 23 Tensider 21 300 B Optimal lösning 200 C Särkostnadslinje ny Fosfat 180 350 500 D X Figur 6 Grafisk illustration av känslighetsanalys för restriktioner. Om kravet på tensider höjs från 21 kg till 23 kg ger det en ny begränsningslinje som ligger längre från origo. Det mörkare prickade området visar minskningen av det möjliga området. Ny optimal lösning finns fortfarande i hörnpunkt B, men lösningen innebär nu dels en mindre mängd av X 74 (90) kg och större mängd Y 265 (222) kg, dels en högre total kostnad 7 152 (6 717) kr. Begränsningsrapporten ger ingen information vid minimeringsproblem. Nedre begränsning är lika med slutvärdet och övre begränsning saknas. 21

Förutsättningar 8.7 Förutsättningar, förenklingar och tillämpningar av LP Linjär programmering är en lösningsteknik som kan användas när modellens grundvillkor är uppfyllda. Mål, variabler och restriktioner skall vara kända, kvantifierbara och samtliga samband skall vara linjära. Varje variabel måste vara helt entydig. Vi måste t.ex. använda flera variabelbeteckningar på samma produkt, om den kan produceras på flera olika sätt. I generell matematisk form skall problemet kunna uttryckas på följande sätt: n Målfunktion: Sök max eller min Z = i *X C i i *X i i=1 i=1 n ij i Restriktioner a j ij * x i b j för j = 1, 2 m i=1 i=1 C i = Målkoefficient, t.ex. TB för variabel i X i = Antal av variabel i n = Antal variabler a ij = Förbrukning för variabel i av resurs j b j = Kapacitetstillgång av resurs j m = Antal restriktioner Förenklingar Lösningsmodellen för linjär programmering baseras på förenklingar. Detta gäller för övrigt alla modeller. I linjär programmering antas följande förhållanden gälla: Målet är kvantitativt och endimensionellt. Alla koefficienter, variabler och begränsningar är kända. Alla samband är kända och linjära. Det finns inga omställningskostnader vid lösningar som innehåller flera variabler, t.ex. produktblandning. Det finns inga intäktssamband (produkterna är varken substitut eller komplement). Det är en kortsiktig bedömning där trånga sektioner förutsätts vara opåverkbara. Komplett beslutsunderlag Vid beslutsfattande bör företag beakta de förenklingar som sker i analysen. I en långsiktig lösning måste de även ta hänsyn till samkostnader. Det finns dessutom faktorer som inte ingår i modellen som marknadsbedömningar, service, risker, följdverkningar osv. I ett komplett beslutsunderlag bör företag även inkludera icke-finansiella och kvalitativa konsekvenser. Allt kan 22

dock inte vägas in i ett beslut. Beslutsfattande är alltid en balansgång mellan kausalitetsprincipens krav på exakthet och väsentlighetsprincipens och hanterbarhetsprincipens krav på enkelhet. Linjär programmering är tillämpbar när ett problem kan struktureras enligt de ovan angivna förutsättningarna. Nedan ges några exempel på situationer där det går att bygga modeller som har denna struktur. Tillämpningar Produktionsproblem, t.ex. produktval och val av produktionsmetod vid resursrestriktioner. Kostnadsminimering vid givna förutsättningar, t.ex. bemanning enligt ett arbetsschema. Blandningsproblem med fasta regler som recept eller liknande, t.ex. raffinaderier, livsmedel, kemisk industri. Billigaste transportväg vid många produktionsenheter eller lager och många kunder. Finansiell planering för bästa avkastning på arbetande kapital, med säkrad tillgång på likvida medel. Värdepappersförvaltning för maximal avkastning med fastställd risk. Med tillgång till en vanlig persondator kan företag lösa komplexa problem av denna typ. Datorn gör snabbt och bekymmersfritt alla beräkningar och dessa utgör därmed inget hinder. Svårigheten består i att strukturera problemet entydigt och korrekt, samt att tolka det erhållna resultatet. Trång sektion innebär att det finns restriktioner av något slag. Detta är normalt i alla konkurrensutsatta företag. Sällan eller aldrig torde det finns obegränsat med resurser, i vart fall inte på lång sikt. Företagsekonomins grundproblem är just hushållning med begränsade resurser, dvs. hur företag skall utnyttja trånga sektioner. Problemlösning vid trånga sektioner är således en central uppgift i företag. 23

Diskussions- och arbetsuppgifter 1 Finns det situationer då det är lönsamhetsmässigt optimalt att inte utnyttja all befintlig kapacitet. 2 a) Ange de förenklingar som lösningsmodellen för produktval vid två trånga sektioner bygger på. b) Ange motsvarande förenklingar vid linjär programmering. 3 Vilka tillämpningsområden finns det för linjär programmering? 4 Skissera huvudstegen för att formulera (strukturera) ett problem, så att det kan lösas med linjär programmering. 5 Diskutera om och eventuellt när det kan finnas flera lösningar till problem med två eller flera trånga sektioner. 24

Övningsuppgifter i linjär programmering

Linjär programmering K a p i t e l 8 8.17 Ett företag i Skruv har bockning och svetsning som trånga sektioner. Företagets produkter Stol och Pall skall båda passera dessa avdelningar. Täckningsbidraget för stolar är 30 kr/st och för pallar 16 kr/st. resursanspråk Tillgänglig (min/st) kapacitet stol Pall (tim/mån) Bockning 25 12 1 500 Svetsning 15 10 1 000 a) Illustrera produktionssituationen i ett diagram. b) Beräkna optimalt produktprogram vid en kortsiktig lösning samt ange det optimala täckningsbidraget. 8.18 Gjuteriet Godset AB i Göteryd tillverkar produkterna Vevhus och Kåpa. Båda produkterna måste passera avdelningarna formning och gjutning. Efterfrågan överstiger företagets produktionskapacitet. Tillgänglig kapacitet i formning är 1 000 tim/mån och i gjutning 700 tim/mån. Maskinkostnad fördelas på produkterna i proportion till utnyttjad maskintid. I formningen är maskinkostnaden 60 kr/tim och i gjutningen 120 kr/tim. Bortse från omställningskostnader. Följande intäkter och kostnader gäller: Vevhus Kåpa Gemensamma (kr/st) (kr/st) kostnader (kr/år) Försäljningspris 62: 57: Direkt material 5: 3: Direkt lön 22: 18: Maskinkostnad formning 10: 8: gjutning 10: 16: Fasta tillv.omkostnader 125 000: Fasta affärsomkostnader 70 000: 27

Övningsuppgifter i linjär programmering a) Beräkna optimalt produktprogram på kort sikt. b) Rita in produktionssituationen i ett diagram samt rita en täckningsbidragslinje och markera optimal lösning. 8.19 Bitema AB tillverkar skyddshjälmar och skyddshandskar till biskötare. Båda produkterna bearbetas i avdelningarna klippning och sömnad. Som en bi produkt uppstår klippspill som säljs till lump för 20 kr per kg. Efter tillverkning sker packning och kontroll i packningsavdelningen. Täckningsbidraget är 42 kr/st för skyddshjälm och 28 kr/par för skyddshandskar. Försäljningspriset är 120 kr/st respektive 90 kr/par. Kapacitetsanspråk Tillgänglig (min/st) (min/par) kapacitet hjälm Handskar (tim/mån) Klippning 16 15 3 000 Sömnad 9 12 2 000 Packning 1 1 250 a) Illustrera produktionssituationen i ett diagram. Rita in en täckningsbidragslinje och markera optimal lösning. b) Beräkna optimalt produktprogram vid en kortsiktig lösning samt ange det optimala täckningsbidraget. c) Företaget har hittills sett tillskottet genom biprodukten lump som en separat försäljning, skild från huvudprodukterna. Ett alternativt synsätt är att analysera hela verksamheten på en gång med hjälp av en s.k. restmetod. Redogör för hur en restmetod principiellt skulle kunna tillämpas i detta fall. 8.20 Ljus och Lykta HB är ett litet familjeföretag som tillverkar belysningsarmaturer med metallstomme. Företaget tillverkar just nu två produkter Luxor och Lumen. I tillverkningen passerar produkterna en bockningsmaskin och en målningsstation, som båda har begränsad kapacitet. Nedanstående tabell visar tillgänglig kapacitet och produkternas resursanspråk. resursanspråk Tillgänglig (min/st) kapacitet luxor Lumen (tim/mån) Bockning 12 8 1 800 Målning 6 10 1 600 a) Täckningsbidraget för Luxor är 14 kr/st och för Lumen 12,50 kr/st. Beräkna optimalt produktprogram på kort sikt och ange vilket täckningsbidrag detta genererar. 28

b) Illustrera produktionssituation och lösning i ett diagram. c) Diskutera hur företagsledningen bör agera på lång sikt för att hantera denna situation. d) Formulera problemet i enlighet med linjär program merings modellen. e) Vilka begränsningar finns inbyggda i LP-modellen? 8.21 I ett möbelföretag tillverkas produkterna Dalarö och Långö. Företaget har trånga sektioner för hyvling, slipning och målning. Täckningsbidraget för Dalarö är 200 kr/st och för Långö 250 kr/st. Resursanspråk (min/st) Tillgänglig kapacitet Produkt Dalarö Långö (tim/mån) Hyvling 30 40 2 000 Slipning 25 15 1 200 Målning 10 8 800 a) Beräkna optimalt täckningsbidrag vid en kortsiktig lösning. b) Formulera en lösningsansats (målformulering och restriktioner) i linjärprogrammeringstermer för samma problem. 8.22 Ett företag har fyra trånga sektioner A, B, C och D och de kan f.n. tillverka tre alternativa produkter Conny, Ronny och Sonny. Allt som tillverkas kan säljas. Täckningsbidragen kr/st uppgår till Conny 20, Ronny 15 och Sonny 20. Det finns inga omställningskostnader vid byte av produkt. Följande information finns registrerad. Kapacitetsamspråk min/st i respektive avdelning Produkt Conny Ronny Sonny Avdelning A B C D 20 20 6 2 10 36 6 8 8 0 4 10 Tillgänglig kapacitet tim/månad 4 000 6 000 2 000 2 000 a) Företaget har ett fast kontrakt med en kund om leverans av 1 000 st av produkt Sonny varje månad. Kontraktet måste uppfylllas. Om de bryter kontraktet har kunden rätt till ett stort skadestånd. Vad bör företaget tillverka? Formulera problemet i linjär programmeringstermer och ange målfunktion och restriktioner för att beräkna optimal lösning. 29

Övningsuppgifter i linjär programmering b) Förutsätt att produkt Sonny ej kan tillverkas under en månad pga. brist på råvara. Detta täcks av en force majeureklausul i kontraktet och företaget behöver därmed inte betala skadestånd. Beräkna den mest lönsamma produktionen för denna månad. 8.23 En bonde eftersträvar att ge sina djur en så billig kraftfoderblandning som möjligt med fastställda minimikrav på näringsvärde. Han blandar sitt kraftfoder av de tre foderråvarorna Alfa, Beta och Gamma som kostar 6, 12 respektive 4 kr/kg. Viktprocent av näringsämne Foder Alfa Beta Gamma Kolhydrat Protein Fett Mineralämnen 50 10 2 0,8 70 20 2 0,1 30 5 8 0 För hans besättning är det totala näringsbehovet av kolhydrat, protein, fett och mineralämnen 200 kg, 80 kg, 30 kg respektive 0,40 kg per dag. Mineralämnen får inte heller överstiga 1,60 kg/dag på grund av risken för negativa biverkningar. Vilken foderblandning skall han välja? Formulera uppgiften med hjälp av linjär programmering. Ställ upp målfunktion samt begränsningar. 8.24 AB Magic tillverkar de tre produkterna Hokus, Pokus och Filijokus. Produkterna skall alla passera var och en av de tre maskinerna A, B och C. Vid tillverkning av enbart Hokus kan företaget på en timme i maskin A, B och C producera respektive 6, 10 och 7,5 st. För Pokus är motsvarande produktionstal 30, 7,5 och 10 st, samt för Filijokus 15, 20 och 20 st. För samtliga maskiner finns lika många maskintimmar att tillgå per år. De tre produkterna ger täckningsbidrag som uppgår till: Hokus 60 kr/st, Pokus 40 kr/st och Filijokus 25 kr/st. Vilken produktblandning är optimal? Ingen tid anses åtgå för produktbyten i maskiner. Formulera uppgiften med hjälp av linjär programmering. 8.25 AB Mums tillverkar en speciell typ av livsmedel. Vid tillverkningen använder de dels socker, dels en kombination av inköpta halvfabrikat (Hf). Ingredienserna blandas och upphettas så att de ger en homogen massa. Denna pressas till smakbitar med valfri form. Livsmedlet är efter avkylning klart för packning och distribution. Total tillverkningskapacitet är f.n. 50 000 kg färdiga produkter per månad. 30

Företaget skall nu introducera en ny produkt, Tugg-Bugg. AB Mums kan maximalt använda 15 procent av kapaciteten för produktion av Tugg-Bugg. I nedanstående tabell anges vad de olika halvfabrikaten innehåller i procent av några olika ämnen, samt de krav i procent som finns på innehållet i slutprodukten Tugg-Bugg. Det finns ingen restriktion för mängden socker som får ingå i Tugg-Bugg. Konsistensgivare Stärkelsesirap Färgämnen Gelatin Aromämnen Innehåll i % av respektive ämne Socker H Af Hf B Hf C Hf D Krav 0 30 50 70 40 10 0 30 20 20 40 4 0 20 10 10 0 3 0 20 10 0 0 = 2 0 0 10 0 20 1 Socker kostar 6 kr/kg och Halvfabrikat A-D: 25 kr/kg, 20 kr/kg, 14 kr/kg och 40 kr/kg. Avsättningsmöjligheterna för Tugg-Bugg anses vara mycket goda speciellt med tanke på den reklamsatsning på 100 000 kr som företaget just skall genomföra. Det finns även goda exportmöjligheter, men priserna på de tänkbara exportmarknaderna anses ligga 10 procent under de svenska priserna. Under den närmaste tiden avser de att enbart sälja i Sverige och beräknar då att efterfrågan kommer att vara minst 15 000 kg/månad. Vilka ingredienser skall företaget använda i en optimal blandning för Tugg- Bugg och vilken kostnad ger detta per kg? Problemet kan lösas med hjälp av linjär programmering (LP). Din uppgift är att ta fram en målformulering och erforderliga restriktioner för en LP-lösning. 8.26 Trädetaljer AB tillverkar trädgårdsmöbler i sin anläggning i Eneryda. Serien Furubo har blivit så populär att maskinparken utnyttjas till 100 procent. Företaget vill inte tillgripa tvåskift av långsiktiga personalskäl. De kan inte ta ut mer övertid än de gör och företaget kan inte heller investera mer på kort sikt, eftersom det är lång leveranstid på erforderliga maskiner. Din uppgift är att utreda hur företaget bör handla i denna situation. Furubo består av fyra delar som säljs separat; Stol, Bänk, Soffa och Bord. Allt virke bearbetas i kapningsavdelningen där det får sin slutliga dimension. Därefter hyvlas råämnena i hyvlingsavdelningen. Eftersom möblerna skruvas ihop förborras varje bit i borravdelningen. Lackering sker slutligen i en måleri avdelning. Packningen är ingen trång sektion, eftersom företaget anställt några arbetslösa ungdomar att hjälpa till med detta. Följande information gäller för den närmaste månaden. 31

Övningsuppgifter i linjär programmering Kapacitetsanspråk tillgänglig (min/produkt) kapacitet (tim) stol Bänk Soffa Bord Kapning 4 3 6 6 400 Hyvling 3 3 5 3 250 Borrning 6 4 7 3 350 Lackering 4 5 6 5 400 Täckningsbidragen har beräknats till: Stol 18 kr/st, Bänk 12 kr/st, Soffa 24 kr/st och Bord 20 kr/st. a) Din första uppgift är att formulera problemet i linjär programmeringstermer (målformulering och restriktioner). b) Trädetaljer lyckas teckna ett acceptabelt underleverantörsavtal om tillverkning av stolar och bänkar. Tillverkningen av soffor och bord behåller företaget själv. De bedömer att marknaden är så stor att det går att sälja alla soffor och bord de kan tillverka. Illustrera produktionssituationen i ett diagram. Rita in en täckningsbidragslinje och markera optimal lösning. c) Beräkna optimalt produktionsprogram vid en kortsiktig lösning enligt förutsättningarna i b). Ange det optimala täckningsbidraget. 8.27 Knixhults Mekaniska är underleverantör åt flera stora verkstadsföretag. Företaget har hittills främst ägnat sig åt enklare arbeten som borrning, bockning och stansning. Priserna har ofta varit låga och företagsledaren/ägaren Ernst Johansson har länge tänkt lansera en egen produkt, t.ex. ett trädgårdsredskap. Han har bl.a. gjort enkla ritningar av en hacka. Ernst har nyligen fått kontakt med Karl Knepig som presenterat en prototyp till en utomhuslampa. Karl Knepig har föreslagit ett avtal enligt vilket Knixhults Mekaniska antingen får betala en engångssumma på 20 000 kr för rätten att tillverka lampan, eller betala en löpande royalty om 2 kr per såld lampa under det första året plus en engångssumma på 5 000 kr. Knixhults Mekaniska utnyttjar f.n. sin kapacitet till 100 procent och har inte resurser att öka kapaciteten genom investeringar på grund av den låga lönsamheten. Många av de order som nu produceras skall slutlevereras om en månad och då är det möjligt att börja tillverka lampan. Detta betyder samtidigt att någon inarbetad kundrelation måste avbrytas eller läggas på is. Om lampan skall introduceras, måste företaget minska tillverkningen av någon av de nuvarande produkterna Fäste, Stag, Hållare eller Stöd. Dessa produkter ger täckningsbidrag på 0,40, 0,65, 0,40 respektive 0,80 kr/st. 32

Lampan beräknas ge ett täckningsbidrag om 2,50 kr/st. Marknadsutsikterna för lampan känner Ernst Johansson inte närmare. Han har dock frågat den lokale lampförsäljaren som sagt att alla nyheter är intressanta och att han mycket väl kan tänka sig en ny produkt i sitt sortiment. Den eller de produkter som eventuellt skall ersättas av lampan passerar alla de fyra funktionerna stansning, borrning, bockning och lackering, vilket även lampan kommer att göra, om den tas upp i produktion. Följande data gäller för dessa avdelningar: tillgänglig Kapacitetsanspråk (min/produkt) kapacitet Fäste Stag Hållare Stöd Lampa (tim/mån) Stansning 2 3 1 3 5 500 Borrning 3 4 2 2 6 600 Bockning 1 5 1 3 8 450 Lackning 2 1 2 1 3 250 a) Din första uppgift är att försöka strukturera Ernst Johanssons beslutssituation. Vilka alternativ står till buds? Finns det behov av ytterligare beslutsunderlag? Vilket? Hur skall det anskaffas? Illustrera gärna med en figur av något slag. b) Formulera i linjärprogrammeringstermer (målformulering och restriktioner) en lösningsansats som kan ge svar på frågan om vilken eller vilka produkter som eventuellt bör utgå till förmån för lampan. c) Samtliga köpare av Fäste och Stag meddelar brevledes att de inte kommer att göra några ytterligare beställningar. Några skriver dock att de hoppas på andra framtida givande affärsrelationer. Ernst Johansson blir bestört, men lyckas snabbt utverka ett preliminärt löfte från några gamla kunder om ökade leveranser av Hållare och Stöd. Illustrera produktionssituationen i ett diagram med förutsättningen att enbart Hållare och Stöd kommer att tillverkas. Rita in en täckningsbidragslinje och markera optimal lösning. Priserna antas bli desamma som nu och all tillgänglig kapacitet förutsätts bli utnyttjad. d) Beräkna optimalt produktionsprogram vid en kortsiktig lösning enligt förutsättningarna i c). Ange det optimala täckningsbidraget. e) Antag att Ernst Johansson beslutar sig för att börja tillverka lampan, eftersom de ökade leveranserna av Hållare och Stöd visar sig ge mycket dåliga priser. Hur många lampor måste han minst sälja under det första året, för att det skall vara mest fördelaktigt med enbart en engångsersättning till Karl Knepig? 33

Övningsuppgifter i linjär programmering 8.28 AB Snurr tillverkar och säljer de två produkterna Kullerbytta och Volt. Kuller bytta består av komponenterna Kuller och Bytta som båda kan tillverkas i maskinerna A och B. Maskin C är konstruerad enbart för produktion av Bytta och har en maximal kapacitet på 10 000 st Bytta per år. Kapaciteten i maskin A och B är 4 000 respektive 2 000 timmar per år. Volt är en ny produkt som kan tillverkas i maskinerna A och B, men även i den automatiska maskinen D. Denna används bara för produktion av Volt och kapaciteten uppgår till 20 000 st Volt/år. Maximal produktion av Kuller, Bytta och Volt i maskinerna A och B framgår av nedanstående tabell. Siffran i tabellen anger hur stort antal som kan tillverkas per timme, om företaget endast tillverkar en produkt i taget. Ingen tid anses åtgå för produktbyten. maskin A Maskin B Kuller 10 5 Bytta 7,5 7,5 Volt 6 7,5 Kullerbytta monteras och packas i monteringsavdelningen. Volt måste också passera denna avdelning men kräver förhållandevis lite tid, eftersom den inte fordrar någon montering utan bara besiktning och packning. Resurs anspråken i monteringsavdelningen är 10 min/st för en Kullerbytta och 3 min/st för en Volt. Totalt finns det en kapacitet på 10 000 timmar/år i denna avdelning. AB Snurr har f.n. kontrakt på leverans av 12 000 st Kullerbytta/år, men de bedömer att efterfrågan tveklöst överstiger företagets totala tillverkningskapacitet. Efterfrågan på Volt anses dock uppgå till max. 25 000 st/år. Täckningsbidraget för Kullerbytta är 10 kr/st och för Volt 8 kr/st. a) Vilken produktblandning skall företaget välja och hur skall de olika maskinernas resurser disponeras? Formulera målfunktion samt begränsningar för det linjära programmeringsproblemet. b) Det i uppgift a) strukturerade LP-problemet har lösts med hjälp av problemlösaren i Excel. Nedan visas den utskrivna lösningen. Svara i vardagliga ordalag på följande frågor: 1. Vilket täckningsbidrag och vilken lösning har erhållits? Hur mycket skall företaget producera av Kullerbytta och Volt och i vilka maskiner? 2. Vad betyder Cellvärde, t.ex. värdet 360 714? 3. Vad betyder Bindande/Ej bindande och Marginal, t.ex. värdet 16 571? 4. Vad betyder Reducerad Kostnad, t.ex. värdet 1,429? 5. Vad betyder Tillåten Ökning, t.ex. värdet 4,29? 6. Vad betyder Tillåten Minskning, t.ex. värdet 1E+30? 7. Vad betyder Skugga Pris, t.ex. värdet 0,714 i avd. B, Begränsningar? 34

8. Vad betyder Tillåten Ökning, t.ex. värdet 335 000, Begränsningar? 9. Vad betyder Tillåten Minskning, t.ex. värdet 5 000, Begränsningar? 35