XVIII. Mawells ekvationer och elektromagnetiska vågor I detta kapitel lär vi oss att förstå hur elektromagnetiska vågor (e. ljus) kan fortplantas i vakuum och andra media. lektromagnetiska vågor är t.e. radiovågor, snligt ljus, röntgenstrålning och gammastrålning. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 1 Man kan förstå egenskaperna hos dessa på basen av samma lagar vi kommit fram till under förra och denna kurs! Vi har lärt oss att beräkna det elektriska fältet från stationära laddningar och det magnetiska fältet från konstanta strömmar. När sedan dessa fält blir tidsberoende, kommer de att bero av varandra; ett magnetfält som förändras inducerar ett elektriskt fält och vice versa. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 2
XVIII.1. Mawells ekvationer För att förstå hur dessa fält väelverkar, sammanfattar vi de elektromagnetiska lagarna vi lärt oss hittills. (1) Gauss lag (elektrostatik) (2) Gauss lag (magnetism) (3) Amperes lag (4) Faradas lag da = ɛ B da = B dl = µi dl i q i i p i = dφ M = d ( B da ) Dessa är dock inte ännu de fullständiga ekvationerna. Man kan på följande sätt resonera sig fram till detta. I ekvation (3) ger en ström upphov till ett magnetfält. På samma sätt borde en ström av monopoler (ifall de finns) ge upphov till ett elektriskt fält i ekvation (4), vilket ger att (3) och (4) blir (3) Amperes lag (4) Faradas lag B dl = µi ( ) dl = IM d B da där I M = dp skulle vara den magnetiska strömmen. Jämför vi nu Amperes lag. kv. (3) med Faradas lag kv. (4), ser vi att de inte är smmetriska. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 3 Betrakta en kondensator som har blivit adderat till en väelströmkrets: Vi använder Amperes lag som ger att magnetfältet runt cirkeln C med radien r, blir B dl = B 2πr = µi B = µi 2πr där strömmen I kan skrivas som en areaintegral av strömdensiteten I = J da där J är strömdensiteten [J] = A/m 2. Nu kan vi välja att tan istället för en platt circel dras som en påse runt kondensatorn: ~ C lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 4
I detta fall är strömmen genom påstan (I = J da) lika med noll, så att Amperes lag ger att magnetfältet runt ledningen är noll. tt magnetfält finns dock där eftersom väelström hela tiden går i ledaren! Med andra ord, två olika val av tan i strömintegralen ger två olika svar, trots att själva fsikaliska sstemet är oförändrat. Detta är en uppenbar parado, och något måste saknas ur ekvationerna. Amperes lag kv. (3) är alltså otillräcklig för att beskriva situationen i detta fall. tt tips till vad som saknas kan man får då man jämför ekvationerna (3) och (4). I kv. (4) ger en magnetisk flödesförändring upphov till ett elfält: dl = dφ M = d ( ) B da (1) På samma sätt kunde en elektrisk flödesförändring ge upphov till ett magnetfält. Detta är just vad som sker, så att till Amperes lag kv. (3) bör adderas den elektriska flödestermen dφ = ɛ d ( ) da lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 5 Amperes lag, som efter denna modifikation kallas Ampere-Mawells lag blir ( B dl = µ I + dφ ) ( = µ I + ɛ d ) da = µ(i + I D ) där termen I D kallas för förskjutningsströmmen (ng. displacement current). Ser vi på ntt på kondensatoreemplet ovan, är det elektriska flödet vid tidpunkten t mellan kondensatorplattorna: Φ = ɛ da lika med laddningen q på plattorna enlig Gauss lag kv. (1). Detta ger då att förskjutningsströmmen mellan kondensatorplattorna blir just samma ström som går i ledningen: I D = dφ = dq = I. Vi kan nu slutligen sammanfatta alla lagarna, kallade Mawells lagar följande: (1) Gauss lag (elektrostatik) (2) Gauss lag (magnetism) (3) Ampere-Mawells lag (4) Faradas lag da = i q i ɛ B da = 0 ( ) B dl = µ I + ɛ d da dl = d B da lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 6
där vi lämnat bort termerna som de fria magnetiska monopolerna skulle ge upphov till ifall de skulle finnas. Mawells ekvationer tillsammans med Lorentz kraftlag (F = q + qv B) beskriver fullständigt klassisk elektrodnamik. Alla elektrodnamik kan i princip härledas från dem! De utgör också det historiskt första eemplet av en förenad ( unified ) teori i fsiken, då de binder ihop elektricitet och magnetism i en enda sammanlänkad matematisk teori. n tterligare stor betdelse av Mawells ekvationer är att man kan sälja ett otal nördiga T-skjortor för fsiker med dem! lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 7 XVIII.2. lektromagnetiska vågor Från Mawells lagar ser vi att en laddning i vila producerar ett elfält omkring sig men inget magnetfält. n laddning i rörelse ger upphov till både ett elektriskt och magnetiskt fält. För att producera elektromagnetiska vågor, måste en laddning vara i accelererad rörelse. n accelererande laddning strålar alltid ut elektromagnetiska vågor, vilka är magnetiska och elektriska störningar som fortplantas i ett icke ledande medium. I figuren nedan ser vi en schematisk bild av hur en elektron sänder iväg en elektromagnetisk störning (foton) då den faller från en högre energibana till en lägre. Vi skall nu härleda den elektromagnetiska vågekvationen med hjälp av Mawells lagar. I den elektromagnetiska vågen finns inga källor: I = 0 och q = 0. så ekvationerna (3) och (4) blir B dl = µɛ dφ dl = dφ M (2) (3) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 8
z z B Q + P S B+B Vi betraktar figuren ovan, där vi har ett elfält i -riktningen och ett magnetfält i z-riktningen. Magnetfältet ändras från plats till + från B till B + B. Vi använder nu ekv. (2) R B dl = Q P B dl + R Q B dl + S R B dl + P S B dl (4) = Bz z(b + B) = z B (5) Detta skall vara lika med tidsförändringen av det elektriska flödet i samma ekvation µɛ dφ d( A) = µɛ = µɛa d = µɛ zd vilket ger z B = µɛ z d B = µɛ t (6) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 9 Likadant, genom att använda kv. (3) får vi = B t (7) Vi multiplicerar kv. (6) med / och kv. (7) med / t vilket B t = µɛ t = B t t 2 B = µɛ 2 t t = 2 B t 2 Vi sätter ihop dessa ekvationer för att få den endimensionella vågekvationen för magnetfältet 2 B t 2 = 1 µɛ 2 B 2 (8) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 10
där 1 µɛ = v2, vilket ger hastigheten i -riktningen för den transversella magnetiska vågen v = 1 µɛ = λf (9) där λ är våglängen och f är frekvensen för vågen. I vakuum blir denna hastighet c = 1 µ ɛ = 299792458m/s 3.0 10 8 m/s (10) där c är ljusets hastighet i vakuum. Detta förklarar nu det som konstaterades under förra kursen om sambandet mellan c, µ och ɛ : dessa naturkonstanter beror på varandra, så en av de tre kan definieras med hjälp av de två andra. lfältets vågekvation får man liknande magnetfältets, då man multiplicerar ekv. (6) med / t och ekv. (7) med / : 2 t 2 = 1 µɛ 2 2 (11) n naturlig lösning till dessa ges av de trigonometriska funktionerna, för deras andra derivata är ju samma funktion. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 11 Vi kan alltså beskriva magnetfältet och elfältet som sinusvågor (eller cosinus) som rör sig i + riktning (, t) = ĵ sin(k ωt) (12) B(, t) = ˆkB sin(k ωt) (13) där k = 2π/λ är vågtalet och ω = 2πf är vinkelfrekvensen. Förhållandet mellan elfältets och magnetfältets maimivärden fås då cosinusvågorna deriveras enligt kv. (7) = B t k sin(k ωt) = [ B ( ω) sin(k ωt)] = ω k B = 2πfλ 2π B = v B (14) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 12
XVIII.2.1. perimentell observation av M-vågor Vi sätter två ledande antenner 1 parallellt som i figuren. ~ V Till den vänstra antennen kopplar man en spänningskälla vars spänning ändrar som en funktion av tiden som en sinusfunktion. Laddningarna i antennen oscillerar i takt med sinusspänningen. Då laddningar accelererar eller retarderar, ger de upphov till ett tidsberoende elektriskt fält, som i detta fall också är av sinusform. Detta tidsberoende elfält fortplantas i alla riktningar med elfältskomponenten lodrät, se bilden nedan. a ~ - - - - v Detta oscillerande elfält kan nu eperimentellt observeras med en annan antenn. De fria laddningarna i den andra antennen börjar oscillera i takt med elfältet och producerar en 1 n antenn kallas en strålningskomponent som används för att sända och motta radiosignaler. För att antennen skall vara effektiv, måste den vara utformad och dimensionerad så att resonans uppnås med den radiofrekvens man vill motta eller sända. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 13 spänning som kan förstärkas, och signalen har nu skickats från en plats till en annan med ljusets hastighet. Vidare har man visat eperimentellt att en antenn gjord av ferrimagnetiskt material 2 som är placerad vinkelrät mot både M-vågens rörelseriktning och elfält kan också användas för att detektera det oscillerande magnetfältet i en M-våg, se bild. ~ B v ferrit ~ periment har alltså visat att elfältet och magnetfältet för en M-våg är vinkelrät mot varandra. TV- och radio-signaler med våglängen kring 1 m skickas och mottas på detta sätt. M-vågor, där det oscillerande elfältet (och magnetfältet) alltid är i samma riktning, kallas för lineärpolariserat ljus. 2 Ferrimagnetiskt material kallas ett magnetiskt material som inte har elektrisk ledningsförmåga och där de magnetiska momentena för atomerna i olika undergitter är motsatt riktade. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 14
nergidensiteten i ett elektriskt fält XVIII.2.2. nergi och rörelsemängd för M-vågor Den totala energin som är lagrad i en kondensator finns i det elektriska fältet mellan kondensatorplattorna. Vi skall uppskatta energidensitet, u för denna. nergidensitet definierar vi här som energi per volmenhet u = W Volm [u] = J/m 3 d För en kondensator, som är uppbggd av parallella plattor, fick vi att elfältet var ungefär konstant mellan plattorna, och att kapacitansen är ɛa/d, där A är arean och d avståndet mellan plattorna. Volmen mellan plattorna är: V = A d. nergidensiteten för det elektriska fältet mellan plattorna får vi då som u = W 1 V olm = 2 CV 2 A d Storleken på elfältet får vi från potentialskillnaden mellan plattorna: V = d, vilket tillsammans med ekvationen för kapacitansen C = ɛa/d ger u = 1 2 (ɛa/d)( d)2 A d = 1 2 ɛ2 lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 15 Denna ekvation ger också allmänt energidensiteten för ett elektriskt fält. nergidensiteten i ett magnetiskt fält l nergin lagrad i ett magnetiskt fält får vi genom att betrakta en spole. Spolens induktans: L = µn 2 l la (från kapitel XVII) och den konstanta magnetiska flödesdensiteten inne i spolen: B = n l Iµ (Härleddes med hjälp av Amperes lag för en solenoid i M-I). Den totala energin lagrad i spolen med strömmen I bestämdes vara: A B W L = 1 2 LI2 Denna energi är lagrad i magnetfältet som omger spolen. Detta ser vi genom att insätta spolens induktans: L och den konstanta magnetiska flödesdensiteten B in i den totala energiformeln W M = 1 ( ) B 2 2 µn2 l la = 1 lab 2 µn l 2 µ där n l är antalet varv per längdenhet, A arean och l är längden för spolen. nergidensiteten för ett magnetiskt fält blir u M = W M V olm = 1 lab 2 2 µ Al = 1 2 B 2 µ lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 16
nergidensiteten i en elektromagnetisk våg De elektromagnetiska vågorna har energi både i det elektriska och magnetiska fältet. Den totala energidensiteten (energi/volm) för en elektromagnetisk våg kan skrivas i många olika former: u M = 1 2 ɛ2 + 1 2 µh2 = 1 2 [D + HB] = 1 2 [ɛ2 + B 2 /µ] (15) där vi använt likheterna: lektriska flödesdensiteten D = ɛ ( är elektriska fältstrkan ) Magnetiska flödesdensiteten B = µh (H är den magnetiska fältstrkan) Vidare ser vi från ekvationerna (14) [ = v B ] och (9) [v 2 = 1/(µɛ)] att energin för en M-våg är jämnt fördelat mellan el- och magnetfältet i ett icke-ledande medium: u u M = 1 2 ɛ2 1 2 2 B2 /µ = µɛ = µɛv 2 = 1 (16) B 2 Vi kan alltså skriva M-vågens energidensitet som en funktion av endast det elektriska fältet u M = 1 2 ɛ2 + 1 2 µh2 = ɛ 2 (17) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 17 Så vi ser att hälften av energin i en M-våg är i magnetfältet och hälften i det elektriska fältet. I figuren beräknar vi energin för M-vågen i en volmenhet dv. På tiden t går M-vågen en sträcka t v, och energin i volmen A t v är: z v A t S W = u M V = u M (A t v) Vi definierar energin som passerar genom en area A per tidsenhet att vara S, vilket blir S = 1 W A t = u Mv = ɛv 2 = ɛv 2 B = B µ (18) nheten för S är W/m 2, och den är i -riktning, vinkelrät mot både och B. För att få med riktningen, blir S en vektor S = 1 µ B (19) som kallas för Ponting-vektorn. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 18
För cosinusvågor, får vi att medel-ponting vektorn blir < S >=< ɛv 2 >= ɛv 2 < cos(k ωt) >= 1 2 ɛv2 (20) Rörelsemängden för en elektromagnetisk våg Betrakta figuren, där en M-våg träffar materia med fria elektroner. M-vågens oscillerande elfält ger upphov till en ström uppåt i materialet: J = σ, där J är strömdensiteten, σ konduktiviteten och den momentana elektriska fältstrkan för M-vågen. Strömmen i en liten areaenhet i riktning av elfältet blir I = Area J = b J = bσ z B S J b F Denna ström känner en Lorentz-kraft från magnetfältet B i M-vågen F M = I l B F M = abσ B Observera att riktningen på denna kraft är alltid i M-vågens rörelseriktning. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 19 Trcket på materia från en M-våg är kraften dividerat med arean P M = F M ab lektromagnetiska vågor har alltså förutom energi också rörelsemängd! = σ B (21) Rörelsemängden för massa i rörelse definieras som: mv. Ljuset har ingen massa, men ändå rörelsemängd. Vi antar att hela M-vågens energi absorberas i materialet. Denna energi eller arbetet går åt att trcka in arean A en sträcka W = F M = P M A (22) vilket ger att trcket på materialet kan skrivas som ( V är volmen) P M = W A = W V = u M Detta kan med hjälp av kv. (18) [S = u M v] skrivas som en funktion av Ponting vektorn, och vi får att strålningstrcket för elektromagnetiska vågor som inkommer vinkelrät och absorberas helt i materialet är P M = S v (23) Ifall M-vågen totalreflekteras, blir strålningstrcket dubbelt större. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 20
Division med ljusets hastighet gör att detta trck vanligen är mcket liten: solljusets effekt per ta eller Ponting vektorn är ca. 1 kw/m 2, vilket motsvarar ett mcket litet trck P M = 1 103 W/m 2 3 10 8 m/s 0.3 10 5 P a empel: n 10 10 12 W/m 2 laserstråle med tvärsnittsta av 1 cm 2 ger ett trck P M 10 4 P a 0.1 atm. vilket ger en ganska stor kraft: F M 10 4 P a 1 10 4 m 2 = 10 N 1 kg på 1 cm 2 tan. empel: 6.0 km från en radiosändare är amplituden för elfältet i M-vågen = 0.13 V/m. a) Vad är tidsmedeltalet för energiflödet? b) Vad är den totala effekten som radiosändaren producerar? a) Tidsmedeltalet för energiflödet ges av medelvärdet på ponting vektorn < S >= 1 2 ɛ c 2 = 8.85 10 12 F/m 3 10 8 m/s (0.13 V/m) 2 2 2.24 10 5 W m 2 b) Den totala effekten får man som arean på sfären gånger effekt/area (ponting vektorn) P T otala = 4πr 2 S = 4π(6000 m) 2 2.24 10 5 W/m 2 10 4 W = 10 kw lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 21 empel: n dammpartikel känner en kraft bort från solen p.g.a. solvinden (trcket från M-strål-ningen från solen). Hur stor är denna kraft vid jordens avstånd från solen? Totala effekten för solen 4 10 26 W Diametern för partikeln 1 µm = 10 6 m Avstånd Jord - Sol 1.5 10 11 m Densiteten för partikeln 1.5 10 3 kg/m 3 Solens massa 2 10 30 kg Gravitationskonstanten G 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 nergiflödet från solen vid jordens avstånd är P V idjorden = P Sol 1.4 kw/m2 4πR2 Strålningstrcket från M-vågorna från solen på dammpartikeln vid jordens avstånd från solen blir P M = < S > c 1400 W 3 10 8 m/s = 1.4 10 5 P a lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 22
Då partikelns area är π(0.5 10 6 m 2 ), blir kraften på partikel från M-strålningen F M = < S > A c 3.7 10 18 N Som jämförelse, är gravitationskraften mellan partikeln och solen F G = G M Solm R 2 = G M SolρVolm R 2 4.7 10 18 N Så vi ser att solvinden kan vara starkare än gravitationen för små partiklar. Nämnas kan att kometernas svansar består av små dammpartiklar som blåser bort från kometen. Dessa svansar är alltid riktade bort från solen. Faktisk kom första iden att en solvind eisterar från dessa kometsvansar. empel: lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 23 n metod för att resa i rmden har varit att man sätter ett segel på en rmdfarkost och låter solvinden accelerera farkosten. n rmdfarkost med massan 10 ton befinner sig i vila vid jordens avstånd R J = 1.5 10 11 m från solen (vars massa är 2 10 30 kg). Man vill accelerera rmdfarkosten med ett segel som drivs av strålningstrcket från solen. Hur stor måste radien för en rund, masslös segel vara så att rmdfarkostens hastighet vid Plutos medelavstånd, R P = 5.9 10 12 m, från solen är 0.01c? Solens totala strålningseffekt är 4 10 26 W, gravitationskonstanten G=6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 och anta att all strålning som träffar segeln reflekteras. F Gravitationskraften på farkosten som en funktion av avståndet till solen är: F G = G M Sol m r 2. Vid totalreflektion är strålningstrcket från M-vågor: P M = 2<S> c. Kraften p.g.a. strålningen från solen på farkosten som en funktion av avståndet till solen blir F M = 2 < S > A c = 2A P Sol c 4πr 2 där A är segelns area. Den totala kraften på rmdfarkosten är F T ot = F M F G = 1 ( ) 2A PSol r 2 c 4π GM Solm = K 1 r 2 där alla konstanta termer beskrivs med en parameter K. Arbetet som krafterna gör på farkosten lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 24
då den går från Jordens till Plutos avstånd från solen blir W = RP R J F T ot (r)dr = K RP R J 2A P Sol c 4π GM Solm = mv 2 / dr r 2 = K RP R J 1 r = K Detta arbete går åt att ge farkosten fart: W = mv 2 /2 vilket ger ( 2 Vi löser ut arean A: A P Sol c 2π = mv2 / A = c 2π P Sol [ 2 1 R 1 J ( 2 [ 1 R 1 J [ 1 R J 1 R P ]) R + GM Sol m P mv 2 ] + GM Sol m = c π m [ P Sol R P [ 1 1 ] R J R P ]) v 2 ] + 2GM Sol 1 R 1 J R P Vi sätter in värdena (v=0.01c) A = 3 108 π10 4 4 10 26 (0.01 3 108 ) 2 [ ] + 2 6.67 10 11 2 10 30 1 1.5 10 11 3.26 10 10 m 2 1 5.9 10 12 vilket ger att radien på en rund segel (A = πr 2 ) skulle bli R = A/π 1.02 10 5 m 100 km lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 25 Rmdfarkoster med solsegel accelereras alltså långsamt, men har den enorma fördelen att de inte behöver bära med sig sitt bränsle. Därmed är de faktiskt ett attraktivt koncept. Solsegel har vecklats ut i rmden i test, men tillsvidare inte använts för framfart av rmdfarkoster [http://en.wikipedia.org/wiki/solar_sail lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 26
XVIII.2.3. Polarisation av elektromagnetiska vågor lektromagnetiska vågor som emitteras från en simpel lineär antenn är lineärpolariserade, vilket betder att M-vågens elfältsvektor hålls i samma plan, och likaså magnetfältsvektorn. Anta nu att istället för en lineär antenn, har vi två antenner korsade som i bilden. Antennerna får spänning från två sinusvåg-generatorer med identisk frekvens, men deras fas till varandra kan vara olika. ~ p Z Vi har valt att den ena antennen är i - och den andra i -riktning. M-vågen som emitteras rör sig i z-riktningen. Vi skall nu se hur elfältskomponenten för M-vågen ser ut vid en punkt p på z-aeln. På ett avstånd z komponenterna: från antennerna blir elfältet för M-vågen summan av de enskilda = 1 sin(kz ωt)î + 2 sin(kz ωt + φ)ĵ där 1 och 2 är amplituden för elfältet från antenn 1, respektive antenn 2. Vi bter variabler för att få kortare ekvationer: kz ωt = θ, 1 = a och 2 = b. Vi tittar nu på superpositionen av elfältskomponenten i --planet: = a sin(θ) = b sin(θ + φ) = b sin(θ) cos(φ) + b cos(θ) sin(φ) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 27 liminering av θ med hjälp av: sin(θ) = /a ger b a cos(φ) = b sin(φ) cos(θ) = b sin(φ) 1 2 a 2 där vi har använt likheten: sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1 cos(θ) = båda sidorna och dividerar sedan med b 2 1 sin 2 (θ). Vi kvadrerar 2 2b a 2 b 2 2 ba cos(φ) + b2 2 cos 2 (φ) a 2 cos(φ) + 2 a 2 = sin2 (φ) = b 2 sin 2 (φ) b2 2 sin 2 (φ) a 2 Ifall källorna är koherenta d.v.s. fasskillnaden är konstant (φ = konstant) beskriver ekvationen en ellips i --planet, där vinkeln mellan -aeln och ellipsens huvudael är α = arctan(b/a) = arctan( 2 / 1 ) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 28
Vi säger att M-vågen är elliptiskt polariserat, och märkbart är att elfältskomponenten aldrig är noll. Bilderna nedan visar hur elfältskomponenten för M-vågen rör sig i 3-D rummet. lliptiskt polariserad: φ = 0.8 lliptiskt polariserad: φ = 0.8 Y Y X Z X lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 29 Ifall fasvinkeln φ = 0, får vi 2 b 2 2 ba + 2 a 2 = ( b a ) 2 = 0 Lineär polariserad: φ = 0 = 2 1 Y Alltså är M-vågen lineärpolariserat, där elfältskomponenten oscillerar vid en vinkel: α = atan( 2 / 1 ) från -aeln. I figuren till höger har vi ritat både elfältet (röd, snett uppåt) och magnetfältet (grön, snett åt sidan) för lineärpolariserat ljus. Z X Då fasvinkeln mellan källorna är: φ = ± π 2, och 1 = 2 =, får vi cirkulärt polariserade vågor 2 b 2 + 2 a 2 = 1 2 + 2 = 2 vilket är cirkelns ekvation. lfältskomponenten roterar med- eller motsols, vilket betder att då vågen träffar materia åstadkommer den vridmoment (M-vågor kan ha rörelsemängdsmoment!) Ifall fasvinkeln mellan källorna varierar kontinuerligt, vilket är fallet då eempelvis antennerna består av ett stort antal oscillerande atomer eller molekler, kommer M-vågorna att vara opolariserade, vilket eempelvis ljuset från en glödlampa är. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 30
n opolariserad M-våg kan lineärpolariseras med en polarisator. Man sätter M-vågen att gå genom en anordning kallad polarisator, som består av parallella, långa och tunna, ledande trådar nära varandra. n M-våg, vars elfälts-komponent är i -riktning, se bild, absorberas av de fria laddningarna i polarisatorledningarna. Däremot passerar en M-våg med elfältskomponenten i -riktning, polarisatorn oföränd-rad ifall vågens våglängd λ är mcket större än polarisatorledningarnas diameter. Den riktning, där M-vågens elfältskomponent går oförändrad genom en polarisator, kallas för polarisationsael. Ledande ledningar Ingenting igenom z Polarisationsael Allt igenom z Snligt ljus, λ 500 nm, behöver mcket tunna polarisationsledningar, vilket är möjligt med ett skikt av långa polmermolekler vilka är parallella till varandra. Anta nu att vi har en M-våg, vars elfält vinkelrät till dess färdriktning i z-led ges av = cos(θ)î + sin(θ)ĵ Polarisatorn absorberar elfältskomponenten i -led ( sin(θ)ĵ = 0), vilket ger att vågens elfält efter att den passerat polarisatorn är = cos(θ)î lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 31 Tidigare såg vi att intensiteten (Pontingvektorn) för M-våg är proportionellt till elfältskomponenten i kvadrat, kv. (18): I 2. Intensiteten för en M-våg efter att den passerat en polarisator ges av Malus lag I = I cos 2 (θ) (24) där I är intensiteten före polarisatorn, och θ är polarisationsvinkeln, vilken är vinkeln mellan M-vågens elfältskomponent och polarisationsael. I dimma eller rök kan man bra se en ljusstråle från sidan. Detta är möjligt eftersom de små vattendropparna eller rökpartiklarna sprider ljuset. M-vågens elfält gör att laddningarna i de små partiklarna börjar oscillera, och fungera som små antenner genom att sedan stråla ut M-vågor till sidorna. ftersom en oscillerande laddning inte kan stråla ut vågor i oscillationsriktningen, kommer de spridda strålarna att vara delvis polariserade. B Se figuren till höger, där en opolariserade M-vågor går i z-riktning mot höger. Betraktar man de spridda vågorna i punkten A, är de polariserade i -riktning. Inga komponenter i z- eller -riktning observeras. Liknande, ser man i punkten B bara M-vågor med elfältskomponenten i -riktning. A z lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 32
XVIII.2.4. Polarisation genom reflektion från tor Inkommande våg opolariserad Reflekterad våg delvis polariserat När opolariserat ljus reflekteras från en jämn ta, kommer en del av ljuset att reflekteras och en del att gå in i materialet (brtning). Anta att ljuset som träffar en plan ta har en elfältskomponent parallellt med tan (går in och ut från sidan), ritad som cirklar. Den andra inkommande komponenten i --planet är ritad som pilar. När detta ljus sedan träffar tan, kommer en del av ljuset att brtas in i materialet, men en del kommer att reflekteras. Ytatomerna kommer alltså att endera oscillera parallellt med tan (in och ut från sidan), vilket kan ge reflekterat ljus, där elfältskomponenten inte har minskat nämnvärt. Den andra elfältskomponenten i --planet kan inte reflekteras effektivt, så att det reflekterade ljuset är delvis polariserat. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 33 Bäst ser man detta då vinklarna är så att den reflekterade vågen är vinkelrät till den brutna: Inkommande våg opolariserad B Reflekterad våg lineärpolariserat B θ B + π 2 + α B = π α B = π 2 + θ B vilket enligt Snells brtningslag inträffar då ljus kommer från luft till ett material med brningsinde n B 1 sin(θ B ) = n sin(α B ) = n sin( π 2 + θ B) = n cos(θ B ) tan(θ B ) = n (25) där θ B kallas för Brewster vinkeln. I detta fall är elfältskomponenten i --planet för det reflekterade ljuset lika med noll, och det reflekterade ljuset är lineärpolariserat. Vi ser att då ljus reflekteras från hav och andra blanka tor, har majoriteten av de reflekterade strålarna elfältskomponenten parallellt med jordtan. Solglasögon med polarisationsael vinkelrät mot jordtan minskar effektivt den parallella komponenten av det reflekterade ljuset. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 34
XVIII.2.5. Dimensionsanals för spridning av ljus För att förstå spridning av ljus bättre, skall vi kvalitativt 3 härleda hur ljus sprids som en funktion av dess frekvens. För att göra detta introduceras en i många områden användbar teknik kallad dimensionsanals (DA). Iden är mcket simpel, man har variabler som påverkar en storhet. För att få storhetens funktion, måste enheterna i funktionen ge storhetens enhet: Du har glömt hur man beräknar sträckan, som en funktion av tid ([t]=s), och hastighet ([v]=m/s). För att få sträckans enhet [s] = m, måste man multiplicera hastighet med tiden, och vi får ekvationen: s = vt. empel: Men notera att om man skulle försöka liknande resonemang för konstant acceleration, skulle man lätt resonera sig fram till s = at 2, alltså missa en faktor 2! Dimensionsanals skall alltså användas försiktigt, speciellt prefaktorer kan lätt bli borta. 3 Med kvalitativa metoder försöker man förstå karaktären och egenskaperna för något, utan att bevisa det. Motsatsen till kvalitativ är kvantitativ, vilket kommer från latinets quantum eller mängd, vilket betder att man härleder en storhet eller egenskap matematiskt. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 35 Anta att man filmar en atombombssprängning som görs på marktan. Bilden nedan visar hur den halvsfäriska sprängningsfronten, radien 110 m, ser ut 15 ms efter sprängningen. Uppskatta hur mcket eplosionsenergi atombomben hade. 110 m Problemet verkar vara helt omöjlig att lösa, för inte vet vi hur luften påverkas av eplosionen, eller hur snabbt chockvågen breder ut sig. Vi skall nu använda dimensionsanals, vilket Amerikanen G. I. Talor gjorde då han till mndigheternas häpnad beräknade den frigjorda energin i en atombombseplosion från en film gjord av eplosionen. Han gjorde de logiska antaganden att chockvågens radie, [r]=m, efter sprängningen beror av: Den frigjorda energin, [] = J = kg m 2 /s 2 Tiden efter sprängningen, [t] = s Luftens densitet, [ρ] = 1.293 kg/m 3 vilket ger ekvationen för chockvågens radie r = f(, t, ρ) = K a t b ρ c där han approimerade konstanten K från chockvågsteorin till 1. heltalen a, b och c skall vi nu bestämma via dimensionsanals. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 36
Tittar vi nu på ekvationen från enheterna sett, blir den m = ( kg m 2 s 2 ) a (s) b ( kg m 3)c = (kg a kg c )(m 2a m 3c )(s 2a s b ) kg 0 m 1 s 0 = kg a+c m 2a 3c s b 2a Vi ser nu att på vänstra sidan av funktionen har vi inga kg (kg 0 ), vilket funktionens högra också ger ifall likheten: a + c = 0 gäller. Vi får alltså att a = c, vilket vi insätter i den andra termen i funktionens högra sida för att ge den rätta enheten m m 1 = m 2a 3c = m 2c 3c = m 5c c = 1/5 a = 1/5 Den sista ekvationen med tiden ger likheten: b = 2a = 2/5. kvationen för radien är alltså: r = 1/5 t 2/5 ρ 1/5, vilket ger ekvationen för den totala energin: 1/5 = rρ 1/5 /t 2/5, vilket i kortare form ger (+ insättning) r5 ρ t 2 (110 m)5 1.293 kg/m 3 (15 10 3 s) 2 1.4 10 12 J (26) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 37 Atombombers strka ges av historiska skäl i enheter ton trotl eller ton TNT, dvs. energimängden som en ton trinitrotoluen (trotl) friger då den eploderar. n gram av TNT frigör 980 1100 kalorier. Detta har standardiserats för enkelhets skull till 1000 kalorier, vilket ger att 1 ton TNT = 4.2 10 9 J. De minsta kärnvapnena har strkor kring 1 kiloton TNT = 1 kt, de största ungefär 10 Mt = 4.2 10 1 6 J. A 0 d Vi skall nu genom dimensionsanals härleda hur ljus sprids som en funktion av dess frekvens (Raleigh 1871). Vi har alltså ljus med amplituden A som sprids från luftens molekler. Det spridda ljusets amplitud med avståndet r till spridningsstället betecknas med A S, se bild. A S r ftersom ljusets intensitet bestämmer hur stark ljuset är, och ljusets intensitet är amplituden i kvadrat, vill vi nu bestämma hur den spridda ljusets amplitud [A S ] = m, beror av följande parametrar Luftpartiklarnas diameter: [d] = m Inkommande ljusets amplitud: [A ] = m lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 38
Våglängden för ljuset, [λ] = m Avståndet från observatören till spridningsstället: [r] = m Det spridda ljusets amplitud kan nu skrivas som A S = f(d, A, λ, r) (27) Vi har nu ett problem som dimensionsanalsen inte kan lösa. Alla parametrars enhet är meter. För att fortsätta, använder man följande logiska och eperimentellt bestämda relationer för det spridda ljusets amplitud A S : Den är proportionerlig till den inkommande amplituden: A S A Den är inverst proportionerlig till avståndet från spridningsstället: A S 1 r Den är proportionerlig till de spridande moleklernas volm: A S d 3 Dessa ger nu en ekvation som dimensionsanals biter på: A S = K A d 3 där K igen är en konstant som måste bestämmas eperimentellt. För att enheterna i föregående ekvation skall stämma, måste eponenten a vara -2, vilket ger att den spridda ljusets amplitud är inverst proportionerligt till våglängden i kvadrat: A S λ 2. Den spridda intensiteten som man observerar är amplituden i kvadrat, vilket slutligen ger r λa I S A 2 S 1 λ 4 (28) lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 39 Resultatet är att ljus som har kortare våglängd sprids mcket effektivare än ljus med längre våglängd! Detta är orsaken till att himlen ser blå ut. Solljuset innehåller ljus av alla våglängder. Det blåa ljuset, med kortare våglängd sprids däremot mcket effektivare än ljusstrålar med längre våglängd, med den påföljden att den omgivande luften ser blå ut. Intensitetsförhållandet mellan det spridda blåa och röda ljuset är ca. (700 nm/400 nm) 4 10, vilket betder att det blåa ljusets intensitet är tiofaldig jämfört med det röda ljusets intensitet. Går solljuset en lång sträcka genom jordens atmosfär, har de kortare våglängdskomponenterna i solljuset minskat, med den påföljden att luften och solen ser röd ut vid kvällsskmningen. Moln innehåller stora mängder vattendroppar eller iskristaller som effektivt sprider alla våglängdskomponenter, vilket gör att molnen ser vita ut. lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 40
Solnedgång över Columbia-floden i Richland, WA, USA lektromagnetism I, Kai Nordlund 2009 41