MAPLE MIKAEL STENLUND

MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I dina inlämningsuppgifter skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett antal fördefinierade funktioner för att lösa problem inom matematik, teknik, fysik, ekonomi. Maple går också att programmera för att lösa mera komplea problem. Maples funktioner ger svaren främst i symbolisk form och om möjligt eakt. Även numeriska svar går att erhålla. För numeriska beräkningar används i huvudsak andra program, te. Matlab. Det finns två sätt att mata in kommandon i Maple det ena sättet är att via menyer välja en lämplig funktion och sedan mata in värden i funktionen. Detta sätt rekommenderar jag inte. Det andra sättet vilket jag rekommenderar är att via ett fönster där en prompt > är skriven på en rad mata in en funktion eller uttryck efter prompten och avsluta med ; semikolon. Trycker man sedan enter eller vagnretur så genomförs beräkningen. Några eempel följer nedan: Efter prompten mata in 8/6; följt av en vagnretur. Maple svarar då med 4/3 % betyder resultatet av den tidigare beräkningen. Då kan man skriva genomföra en ny beräkning med det gamla resultatet på följande sätt. > 2*%+; Högprecisionsberäkningar. /3 > 2^00; 26765060022822940496703205376 > Digits := 50: > evalf( sin(pi/3) ); \# Flyttalsberäkning av uttrycket \# sker med funktionen evalf. > Digits := 0:.86602540378443864676372370752936834740262690520 Symbolisk integration och derivering. > int(*ln(),); > int(sqrt(-^2),); 2 2 ln () 4 2

2 M.STENLUND > int(ln(),=..2); > diff(ln(),); > diff(arcsin(a*),); 2 2 + 2 arcsin() + 2 ln(2) a a2 2 Ekvationslösning och lösning av differentialekvationer. Lösning av ekvationen 3 6 = 5: > solve( ^3-6*=5, );, 2 + 2, 2 2 2 2 > fsolve( ^3-6*=5,,-2..2); # Numerisk beräkning av rötterna i # en ekvation i intervallet [-2..2]..79287847,. Lösning av differentialekvationen y()+y () = e med begynnelsevillkor y(0) = och y (0) = 0 > dsolve({y()+diff(y(),$2)=ep(), y(0)=, D(y)(0)=0}, y()); y () = 2 sin () + 2 cos () + 2 e Uppritning av funktioner i 2 dimensioner och 3 dimensioner. Observera hur man kan ange intervall både i -led och i y-led. > plot( sin()/, =-2..2 ); > plot3d( (^2-y^2)/(^2+y^2), =-.., y=-.. ); Definition i Maple av funktioner och uttryck. I Maple skiljer man mellan funktioner och uttryck nedan visas hur man kan definiera en funktion som kallas f och hur man beräknar värdet i 2.0. Numerisk beräkning sker om man anger talen med decimalkomma, vilken i Maples fall måste skrivas med punkt. > f:=->sin()/; > f(2.0); > f(t); sin ().454648734 sin (t) t Nedan följer hur man kan definiera ett uttryck sin()/ som sparas i variabeln a. > a:=sin()/;

MATEMATISKA INSTITUTIONEN VID LTU, OKTOBER 2009 3 Om man vill ersätta med värdet 2.0 i ett uttryck så måste man göra det med subs kommandot som man har beskrivning på om man söker kommandot i hjälpmenyn i Maple. Tilldelning och ekvationer. Resultat av en beräkning kan sparas i en variabel som kan användas i senare beräkningar. Detta görs med tilldelningstecknet :=. > a:=^2-; > solve(a=0,); Ovanstående uttryck har vi skrivit en ekvation a = 0 dvs. med enbart = tecken vi ser skillnaden mellan detta och en tilldelning som skrivs med :=. > eq:= ^3-=0 > solve(eq,); Vilket innebär att variabeln eq tilldelas en ekvation som sedan löses med hjälp av solve. Olikheter. Funktionen solve kan även användas för att lösa vissa olikheter, om Maple kan lösa olikheten. Testa följande kommando >solve(^2-4>0,); Denna möjlighet gör att vi kan t.e. bevisa lokala ma eller minpunkter med hjälp av förstaderivatatestet; t.e. Intervall för konveitet eller konkavitet kan hittas med hjälp av vilket tecken 2:a derivatan har i olika intervall. Detta kan användas för att bevisa att man har hittat en infleionspunkt. Tips hur man undviker fallgropar. Maple sparar resultatet av beräkningar i minnet. Om man te. har tilldelat värdet 2 och sedan försöker rita upp 2 så ger Maple ingen graf för funktionen. Detta beror på att plot funktionen i maple måste kunna sätta in värden från ett intervall i variabeln. Om detta händer dig så kan du återställa till en variabel med hjälp av kommandot > := ; dvs. med primtecken runt variabeln.(avsluta alltid med semikolon). Spara filer görs som i andra program med save som hittas i menyerna. För att inte blanda ihop räkningar och vad som har gjorts sist så bör man skriva in kommandon i den ordning de utförs. Ett förbryllande faktum kan tyckas är att Maple tömmer minnet på all information när man stänger programmet. Det innebär att din fil som du kanske öppnar vid en senare tidpunkt är nu bara en dum tetfil utan information om dina tidigare beräkningar. Åtgärd är då att sätta pekaren på de rader som du behöver resultatet ifrån och trycka enter (eller vagnretur) för att resultatet av dina räkningar skall lagras i Maples minne, om du behöver resultatet från gamla kalkyler. Obs. Kom dessutom ihåg att andvända för multiplikationstecken och att decimalkomma skrivs med punkt.

4 M.STENLUND Ett vanligt fel är också att man blandar ihop funktioner och uttryck. Om man gör detta kan det komma ut svårtolkade svar från Maple vid fortsatta beräkningar eller så går räkningarna i fortsättningen inte att utföra. OM RÄKNINGARNA INTE GÅR ATT GENOMFÖRA MED EN FUNKTION PRÖVA MED ATT GENOMFÖRA DEM MED ETT UTTRYCK, se Funktioner och uttryck ovan. 2. Några kommandon i Maple Maple kommandon Betydelse Matematisk beteckning +y addition + - och -y negativa tal och subtraktion and y *y multiplikation y /y division ^y eller **y eponentiering y k! fakultet k! I eller sqrt(-) Imaginära enheten i or Pi pi π infinity oändligheten abs() absolutbelopp sqrt() eller ^(/2) kvadratrot ep() eponentfunktionen e ln() eller log() naturliga logaritmen ln sin() sinus sin cos() cosinus cos tan() tangens tan diff(f(),); int(f(),); sum(f(n),n); Derivata Obestämd integration Obestämd summation y d d f() f()d f(n) n int(f(),=a..b); sum(f(k),k=a..b); Bestämd integration Bestämd summation b a f()d b f(k) k=a Kommandon för linjär algebra. Maple har inte alla kommandon fördefinierade utan man måste t.e. ladda in kommandon för linjär algebra med hjälp av följande kommando. > with(linearalgebra); # Obs. var stor bokstav sätts in. Ut kommer en lista på maplekommandon för linjär algebra. Följande kommandon kan det vara lämpligt att titta särskilt noga på med hjälp av hjälpmenyn i Maple, LinearSolve (lösning av linjära ekvationssystem),

MATEMATISKA INSTITUTIONEN VID LTU, OKTOBER 2009 5 GaussianElimination (Gausseliminering, Gauss Jordan elimination),det (determinantberäkning), Matri, Vector sök även på Matri and Vector Construction Shortcuts. 3. När du börjar en laboration/inlämningsuppgift När du har startat programmet Maple (eller senare) öppna ett nytt dokument via File välj New och välj sist Worksheet Mode. (Document Mode rekommenderas du inte välja). Nu kommer du in i en miljö där du kan använda instruktionerna för Maple. För vissa uppgifter krävs att man laddar in linjär algebra kommandon i Maple med hjälp av kommandot: > with(linearalgebra} Följande funktioner kan det vara lämpligt att titta på noggrant i hjälpmenyn för lösandet av linjär algebra uppgifter LinearSolve (lösning av linjära ekvationssystem), GaussianElimination (Gausseliminering, Gauss Jordan elimination), Det (determinantberäkning), Matri, Vector och det du kan hitta under rubriken Matri and Vector Construction Shortcuts eller liknande. OBS! För laborationsuppgifter/inlämningsuppgifter se separat dokument. Lycka till!