Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Relevanta dokument
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

SF1625 Envariabelanalys

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).

Modul 1 Mål och Sammanfattning

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.

SF1625 Envariabelanalys

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

Teorifrå gor kåp

Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

TMV225 Kapitel 3. Övning 3.1

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

III. Analys av rationella funktioner

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

Lösningsförslag TATM

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

6.2 Implicit derivering

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

SF1625 Envariabelanalys

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

x 1 1/ maximum

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Lektion 1, Envariabelanalys den 8 september ε < 1 < ε för alla x > N. ( ) I vårt exempel är f(x) = 1/x, så vi ska alltså ta fram ett N så att

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Lösningsskisser för TATA

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =

SF1625 Envariabelanalys

Ensidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande:

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,

Lösningsförslag till TATA42-tentan

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

Funktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:

Tentamen i Envariabelanalys 1

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

Modul 4 Tillämpningar av derivata

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Lösningsskisser för TATA

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 14, H15

Transkript:

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av det som redovisas i föreläsningarna. 1 Standardgränsvärden Vi presenterar utan bevis en lista av standard gränsvärden som involverar elementära funktioner: α (1) e = 0, (obestämd form: ) ln (2) = 0, för α > 0 (obestämd form: α ) (3) = 1 (obestämd form: 0 0 ) (4) e 1 = 1 (obestämd form: 0 0 ) (5) (1 + ) 1/ = e. (obestämd form: 1 ) Anmärkningar. Alla gränsvärden (1)-(5) har obestämd form. Den geometriska tolkningen av (1) är att funktionen e divergerar mot då snabbare än α ; på liknande sätt innebär (2) att α (α > 0) divergerar snabbare än ln då. Gränsvärdet (3) betyder att konvergerar mot 0 då 0 lika snabbt som. Gränsvärdet (4) har en liknande tolkning. Gränsvärdet (5) kan användas för att definiera talet e. I flera fall kan gränsvärden med obestämd form reduceras till ett i lista (1)-(5) genom variabelsubstitution. Eempel 1. Beräkna e 3 1. 1

Vi omskriver gränsvärdet som e 3 1 = 3 e3 1 3 Sätt y = 3; då 0 är ekvivalent med y 0. Därför e 3 1 = 3 e y 1 y = 3 e 3 1 3 = 3 2. Beräkna ln(1 + ). 7 Låt = e y 1. Då 0 är ekvivalent med y 0. Därför 3. Beräkna ln(1 + ) 7 = ln(1 + (e y 1)) 7(e y 1) = 2 ln(5) + ln e y 7(e y 1) = 1 7 Låt = 1/y. Då 0 + är ekvivalent med y +, därmed y e y 1 = 1 7. 2 2 ln(5) = + y y ln 5 y = 2 2 ln 5 ln y (ln 5 ln y) = 2 y y y y y y = 0. 4. Beräkna Vi skriver Vi har Därför 5. Beräkna Vi skriver 1 då 0 och sin(3) sin(3) = sin(3). sin(3) = 1 3 3 sin(3) 1 3, då 0 sin(3) = 1 3 ( 1 + 1 ) 2n n n ( 1 + 1 2n [( = 1 + n n) 1 ) n ] 2 = e 2 n n 2

2 Gränsvärden av rationella funktioner Låt p() = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0 vara ett polynom med grad n > 1. Då har vi Till eempel, p() = p( 0 ), för alla 0 R. 0 1 2 + 3 4 = 1 2 + 3(1) 4 = 0 Gränsvärden av p() när ± beror på tecknet av a n och på om n är udda eller jämn enligt följande reglerna: 1. Om a n > 0 då p() när ; om a n < 0 då p() när. Eempel: 2 = ; 2 + 3 + 1 = Notera att i första eemplet divergerar båda termer 2 och till då och därmed deras summa har obestämda formen " ". För att bestämma gränsvärdet i detta fall använder vi att 2 = 2 (1 1 ). Eftersom 1 1/ 1 då då har vi 2. Om n är jämn då gäller att 2 = 2 (1 1 ) = 1 =. p() =, om a n > 0 och Om n är udda då gäller att Till eempel p() =, om a n > 0 och p() =, om a n < 0. p() =, om a n < 0. 3 2 + 3 =, 6 + 6 3 12 = etc. Låt p() = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0 vara ett polynom med grad n > 1 och q() = b m m + b m 1 m 1 + + b 1 + b 0 vara ett polynom med grad m > 1. Betrakta rationella funktionen f() = p() q(). 3

Notera att en rationell funktion får alltid definieras på mängder av formen (, a] och [b, ) (varför?). Därför kan vi studera gränsvärdet av f då ±. Detta gränsvärde beror på endast högsta potenserna i polynomen. Till eempel: 5 + 512 3 + 27 2 + 7 3 5 + 134 4 + 457 2 + 1 = 5 (1 + 512/ 2 + 27/ 3 + 7/ 5 ) 5 (3 + 134/ + 457/ 3 + 1/ 5 I allmänhet har vi = 5 3 = 1 5 3 Sats 2.1. Det gäller att p() ± q() = a n n b m. m Eempel: 4 6 5 2 + ± 10 + 1 3 5 + 3 1 = ± 6 5 + 4 ± 4 6 5 2 + 3 3 + 2 1 = 4 6 = ± = 10 3 5 6 5 = 4 6 3 = 3 ± ± 4 4 = 0. 3 6 = 1 2. 4 3 3 = Om 0 tillhör definitionsmängden av f() då har vi f() f( 0 ) när 0. Till eempel 4 6 5 2 + 1 3 3 + 2 1 = 4 5 1 3 + 1 1 = 2 3 = 2 3. Låt oss nu betrakta ett eempel med kvadratroten av polynom. Till eempel 6 + 3 3 1 3. Detta gränsvärde har obestämd form. För att bestämma värdet beräknar vi 6 + 3 3 1 3 = ( 6 + 3 3 1 3 ) 6 + 3 3 1 + 3 6 + 3 3 1 + 3 = 6 + 3 3 1 6 6 + 3 3 1 + 3 = 3 3 1 6 (1 + 3/ 3 1/ 6 ) + 3 = 3 3 1 3 ( 1 + 3/ 3 1/ 6 + 1 Därför 6 + 3 3 1 3 3 3 1 = 3 + 1 = 3. 4

3 Asymptoter Definition 3.1. Låt f : D R vara en funktion så att (a, ) D, för något reellt tal a R. En rät linje y = k + m kallas asymptot till f då om [f() (k + m)] = 0. I detta fall skriver vi f() k + m då. På liknande sätt definieras vad som menas med asymptot av en funktion då. Därför om y = k + m är en asymptot till f då, så blir grafen av f närmare och närmare till grafen av räta linjen y = k + m då blir större och större (rita figur) Eempel. 1. f() = 33 +4+1. Då är 4 2 ++8 Därmed 3 3 f() = 4 = 3 2 (f() 3) = (3 3) = 0 Därför är y = 3 asymptot till f då, d.v.s., f() 3 då. 2. f() = 3 + 2 sin(1/). Eftersom och 1/ 0 + då då har vi Därmed f() 3 + då. 2 sin( 1 ) = sin(1/) (1/) f() = 3 + sin(1/) (1/) = 3 + 4 Kontinuerliga funktion Definition 4.1. En funktion f : D R sägs vara kontinuerlig i 0 om 0 D och f() = f( 0 ) (1) 0 Om f är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd kallas den kontinuerlig. 5

Anmärkning: om 0 är en inre punkt i D är gränsvärdet i (1) lika med både höger och vänstergränsvärdet (om dessa två gränsvärden inte är lika med varandra då är es i (1) inte ens definierad). Om 0 inte är en inre punkt i D då står es i (1) för höger eller vänstergränsvärdet, beroende på vilket kan definieras. Till eempel betrakta funktion { 2 vid = 0 f() = Då är f() kontinuerlig för > 0 men f() = + + Alltså är f inte kontinuerlig i = 0. då > 0 Uppgift 4.1. Kom ihåg att stegfunktion definieras av { 1 då > 0 H() = 0 då < 0 Är H kontinuerlig? = 1 f(0) = 2. Alla elementära funktioner diskuterades hittills är kontinuerliga. Därmed om f, g är kontinuerliga så är även f f + g, fg, g, f g kontinuerliga i respektive definitionsmängder. I själva verket, för att definiera en diskontinuerlig funktion, måste man ange två olika funktionsregler på två olika mängder, som visades i eempel (2) ovan. Om f inte är kontinuerlig i 0 D då säger man att f är diskontinuerlig i 0. Detta betyder att åtminstone ett av höger/vänstergränsvärden av f då 0 är inte lika med f( 0 ). Om f är diskontinuerlig i 0 då gör grafen av f ett hopp vid = 0 (rita figur) Två viktiga egenskaper av kontinuerliga funktioner är följande: 1. Om en funktion f är definierad och kontinuerlig i ett intervall [a, b] och f(a) f(b) då antar f varje värde mellan f(a) och f(b). (Rita figur) 2. Om funktionen f är kontinuerlig på slutet intervallet [a, b] så har f ett största och ett minsta funktionsvärde på detta intervall, d.v.s., det finns 0, 1 [a, b] så att f( 0 ) f() f( 1 ) Eempel på tillämpning av 1. Visa att funktionen f() = 1/2 50 2 e 2 cos har en rot i intervallet [0, π] (d.v.s., finns 0 [0, 1] så att f( 0 ) = 0). Lösningen: f(0) = 1/2 1 = 1/2 < 0 och f(π) = 1/2 50π 2 + e 2π 42.5 > 0. Eftersom f är kontinuerlig då, enligt 1, måste f antar alla värden mellan f(0) och f(π) och därmed måste det finna 0 [0, π] så att f( 0 ) = 0. 6 (2)