Varför behövs logaritmer? Det enkla svaret

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Varför behövs logaritmer? Det enkla svaret"

Transkript

1 Om logaritmens historia och dess betydelse Anders Källén Matematikcentrum, LTH Varför behövs logaritmer? Det enkla svaret är att inte mycket matematik klarar sig utan dem. Men intressantare är kanske att förstå varför någon kom att tänka på dem för första gången. Logaritmer uppkom för att förenkla rent räknearbete. Multiplikation (och ännu mer division) har alltid varit besvärligt, speciellt när man måste arbeta med stora tal, såsom inom astronomin. Finessen med logaritmer är att de överför den komplicerade multiplikationen på den betydligt enklare additionen. Och division på subtraktion. I den här artikeln ska vi diskutera den historiska utvecklingen som ledde först till detta, och sedan vidare till sambandet med de trigonometriska funktionerna. 1 Om ränteräkning och potensfunktioner Vid medeltidens slut skapades de långa oceangående handelslederna, och för att kunna navigera rätt krävdes av kaptenen att han rimligt fort kunde utföra komplicerade numeriska räkningar (involvernade de trigonometriska funktionerna). En annan nödvändighet var upprättandet av finansiella institutioner typ banker, som kunde låna ut pengar. Sedan kyrkan väl accepterat att man fick ta ut ränta, så kan man säga att en nödvändig förutsättning för den spirande kapitalismen var att metoder uppfanns för snabb ränteräkning. Om jag lånar ut K kr till en räntesats på 100r% årlig ränta, så ska jag efter ett år ha tillbaka K(1 + r) kronor. Men om jag ska låna ut pengarna på 2 år blir situationen lite mer komplicerad. Man vill nämligen se det som att man först lånar ut K kronor på ett år, och därefter summan K(1 + r) kr ett år, vilket betyder att det jag ska ha tillbaka är K(1 + r) 2 kr. Man säger att lånet kapitaliserar sig årligen. Med årlig kapitalisering blir alltså lån som löper över n år värda K(1 + r) n kr. Det räcker om vi ser efter vad som händer med en enda utlånad krona (K = 1), och det är bekvämt att skriva a = 1 + r. Talet a n betyder då a multiplicerat med sig självt n gånger, och vi har den självklara räkneregeln, känd redan av Arkimedes 1, a n a m = a n+m (1) där n, m är positiva heltal. Vi ser att vi måste definiera a n = 1 a n, om vi vill att Arkimedes potensregel ska gälla för alla heltal, eftersom det ska gälla att a n a n = a 0 = 1. Men då ser vi också att a n /a m = a n m. Observationen man gör är väldigt viktig: addition i exponenten svarar mot multiplikation av talen. Det är denna observation som ligger bakom det stora steg mot att förenkla komplicerade räkningar som logaritmerna innebär. En annan viktig observation är att (a m ) n = a nm, vilket vi inser av att (a m ) n = a m... a m = (a... a)... (a... a) = a nm. Men man måste definiera a x också för tal x som inte är heltal. Vad händer t.ex. om du ska låna ut 1 kr till en årlig ränta på 100r%, men ska ha tillbaka 1

2 pengarna på ett halvår? Om vi betecknar det du ska betala med a 1/2, så är det väl rimligt att, om vi lånar ut de pengarna i ytterligare ett halvår, så ska det vara samma sak som att vi lånat ut pengarna ett helt år från början. Detta betyder a 1/2 a 1/2 = a, så a 1/2 ska lösa ekvationen x 2 = a. Med andra ord, vi måste ha att a 1/2 = a. Allmänt är det inte svårt att se att a p/q = q a p, eftersom vi ska ha att (a p/q ) q = a q p/q = a p. Vi har därför definierat en funktion x a x för alla rationella x. Den är växande, eftersom a > 1, vilket betyder att det finns bara ett sätt att definiera den för irrationella x, så att den förblir växande. Med andra ord: funktioner som uppfyller Arkimedes potensregel går att definiera på precis ett sätt för alla reella tal x så att det blir växande funktioner, och regeln fortsätter att gälla. Kravet är att a > 1, men vi kan också definiera den för 0 < a < 1, genom a x = ( 1 a ) x, och vi ser att sådana funktioner blir avtagande istället. För alla gäller att a 0 = 1. Exempel 1.1. Låt oss repetera diskussionen ovan genom att beräkna 2 x för olika x. Låt oss börja med att beräkna uttrycket för alla naturliga tal mellan 1 och 15: n n Vi kan rita detta så att vi plottar dessa punkter i en graf och förbinder de olika punkterna med räta linjer. En del av denna kurva illusteras nedan. 2 n n Från en sådan figur kan vi, för olika reella tal x, avläsa en approximation av vad 2 x är, genom att se vilket y-värde som svarar mot x. Detta ger oss rätt svar i heltalspunkterna, men endast en approximation däremellan 2. Vi kan förbättra approximationen genom att också räkna ut värdet av 2 x för alla mittpunkter i intervallen ovan, alltså i punkter på formen k + 1/2. Först beräknar vi 2 1/2 = 2 = till en hög (16 decimaler) precision 3. Sedan kan vi beräkna 2 x när x är mittpunkten i ett intervall genom att multiplicera detta med en lämplig potens av två: = 2 2, = etc. Början på den delen av tabellen, med en precision av fyra decimaler, blir x x Ritar vi figuren som ovan, får vi rätt värden på 2 x för alla x på formen x = n/2, där n är heltal, och bättre approximation än i tabellen ovan för övriga reella tal. Vi fortsätter sedan detta genom att halvera även de nya, kortare intervallen. Vi måste då först räkna ut 2 1/4 = , för att sedan få 2 3/4 = 2 1/4 2 1/2 = Sedan kan vi hitta motsvarande punkter i de övriga mittpunkterna genom att multiplicera en av dessa med en lämplig multipel av två. Vi får en tabell som börjar x x Om vi tittar på grafen vi ritar, så kan vi göra en liten observation. När vi gör bättre och bättre approximationer av kurvan y = 2 x, så går vi tillväga på följande sätt. Till ett givet heltal p > 0 beräknar vi a x i alla punkter k/2 p där k genomlöper heltal från 1 till T 2 p där T är höger ändpunkt i intervallet (13 i vårt exempel). Sedan förbinder vi dessa punkter med räta linjer. Varje approximation är därför en polygon, vars graf är en styckvis linjär kurva. När vi gör indelningen finare och finare, kommer dessa kurvor att närma sig (konvergerar mot) en kurva som helt saknar (utom i ändpunkterna). 2 x x Om logaritmens historia och dess betydelse epost: anderskallen@gmail.com page 2 of 8

3 Slutligen kan vi utvidga tabellen/grafen till att gälla för x < 0 genom att använda att 2 x = 1 2 x. Från denna diskussion är det mindre än ett stenkast till logaritmerna. Men trots att potensfunktionen i princip var känd åtminstone på 1300-talet, gjorde användandet av romerska siffror att det inte gick att genomskåda dess värde för beräkningar. Dess användning vid ränteräkning sköttes under lång tid genom att man gjorde omfattande tabeller för utlåning under olika långa tidsrymder, för olika räntesatser 4. Men när behovet av snabba beräkningsmetoder kom, tillsammans med införandet av det decimala talsystemet, så gjordes en av historiens viktigaste upptäckter av personer som nog inte riktigt förstod vad de gjorde. Innan vi diskuterar logaritmen, låt oss återvända till problemet att beräkna räntan och när man ska kapitalisera. När man lånar ut pengar kan man fixera den årliga räntan, men låta låntagaren betala tillbaka lånet lite när det passar denne. Hur mycket ska hen då betala tillbaka? Om vi kapitaliserar n gånger per år, och utlåningsräntan är 100r%, så ska man efter ett år betala tillbaka (1 + r n )n kr per lånad krona. I tabellen nedan ser vi vad som händer om vi har 100% ränta (r = 1). Antal Att betala Kommentar månatlig daglig varje timme varje minut varje sekund tal är troligen den högre matematikens viktigaste tal, t.o.m. viktigare än π. Vi ser nu att (1 + r n )n = (1 + r n ) n r r = ((1 + r n ) n r ) r e r, när antalet kapitaliseringar n går mot oändligheten (n måste inte vara ett heltal i diskussionen). Funktionen x e x, som alltså är en av potensfunktionerna, kallas exponentialfunktionen. Dess matematiska betydelse kan inte nog understrykas, vilket vi snart ska se. Anmärkning 1. Exponentialfunktion eller potensfunktion? Uttrycket x y definierar en funktion som rätteligen ska kallas en potensfunktion om vi håller y fix, och ser uttrycket som en funktion av x. Det definierar en exponentialfunktion om vi håller x fix och ser det som en funktion av y. Inte helt i linje med hur vi gjorde diskussionen ovan. 2 Multiplikationens och divisionens bemästring logaritmfunktionen Vi ska nu göra följande viktiga observation som en fortsättning på exemplet i föregående avsnitt. Nämligen att vi kan använda diskussionen där till att multiplicera två tal genom att bara addera och läsa av resultatet från grafen till exponentialfunktionen, kurvan y = 2 x. Som exempel vi tar Vi söker då det x som uppfyller 35 = 2 x, och för det går då in på värdet 35 på y axeln i figuren för att, via grafen, finna värdet x = På samma sätt ser vi att 174 = 2 y då y = Detta är illustrerat nedan, 2 x Vi ser att det vi ska betala växer med antalet kapitaliseringar, men det växer mot en gräns som börjar med Det exakta talet är irrationellt, och därför inte möjligt att skriva exakt. Istället har man, efter Euler, gett det den universella beteckningen e. Detta 35 x y x + y x Nu gäller att = = = Om logaritmens historia och dess betydelse epost: anderskallen@gmail.com page 3 of 8

4 För att få det slutliga svaret behöver vi avgöra vilket tal är, och det ser vi direkt i grafen. Det visar sig vara ungefär Nästan rätt, men inte helt. Och det beror på att vi inte räknar med oändlig precision, utan bara en ganska låg sådan. Den observation vi gjorde ovan ligger till grund för en oerhört viktig uppfinning: logaritmerna. Den som brukar anges som logaritmens uppfinnare är John Napier. Men det låg i tiden, och ett motsvarande arbete gjordes mer eller mindre samtidigt av schweizaren Bürgi. Men ingen av dessa två förstod nog egentligen vilken upptäckt de gjort, och hade det inte varit för andra hade deras arbete förmodligen mest varit historiska paranteser. I modern terminologi kan man säga att Napiers metod svarar mot att man som logaritm tar 10 7 log 1/e medans Bürgis logaritm hade basen (av beräkningsmässiga skäl). Upptäckten dessa män gjorde, var att man kunde skapa en speciell sorts tabellverk som gjorde det möjligt att på ett mycket enklare sätt än tidigare utföra inte bara komplicerade multiplikationer och divisioner, utan också rotutdragningar. Här var det Napiers tabellverk, vilket han efter 20 års idogt arbete presenterade år 1614 i en bok som bar den latinska titeln Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Beskrivning av den underbara logaritmregeln), som kom att få den överlägset största betydelsen. Detta, i sin tur, berodde inte på Napier själv, utan på att professorn i geometri i Oxford, Henry Briggs, plötsligt såg ljuset och reste till Edinburgh för att träffa Napier. Troligen förklarade Briggs då för Napier vad denne gjort. Och vad som borde göras istället nämligen tabeller över det vi kallar 10-logaritmen. Briggs första tabell publiserades 1617 och innehöll logaritmen för alla heltal mellan 1 och 1000, med 8 siffrors noggrannhet utkom Arithmetica Logarithmica som innehöll logaritmer, för vilket Briggs hade tvingats beräknat rötter upp till 54:e ordningen 5 och gett resultaten med 30 decimaler. Men med Briggs verk fick astronomer och andra i sin hand ett verktyg som, enligt Pierre-Simon Laplace, var ett beundransvärd knep som, genom att reducera till ett par dagar arbete som tidigare tog många månader, fördubblar livslängden för astronomen, och skonar honom fråm de fel och den avsky som är oskiljaktig från långa beräkningar. Det Briggs upptäckte är egentligen den praktiska betydelsen av diskussionen vi startade detta avsnitt med. Vad han insåg var att man behövde göra tabellverk som gav potenser av olika reella tal, så att man kunde använda dessa när man skulle multiplicera (eller dividera eller beräkna rötter). Med tanke på att vi skriver tal i decimalsystemet, så insåg han fördelen med att använda basen 10 istället. Vi behöver nämligen då bara hitta exponenterna x för tal mellan 1 och 10. Och multiplikation med 10 är väldigt enkelt. För att förtydliga, för att beräkna räcker det om vi kan hitta x och y sådana att 3.5 = 10 x och 1.74 = 10 y, eftersom vi har att = Briggs och hans medarbetare byggde upp tabellen i vilka första kolonnen innehåller 10 x, medan den andra innehåller x (alltså givet y, vad är x). Man kunde därför slå upp i tabellen att 3.5 = , 1.74 = Med hjälp av detta får vi nu att = = = Sedan går vi baklänges i tabellen och letar i andra kolonnen upp och ser efter vad det står i första kolonnen på samma rad. Det visar sig vara Multiplicera med 1000 och vi får tillbaka vårt gamla svar I mer matematiskt språkbruk: om talet i första kolonnen är y, så innehåller andra kolonnen det tal x som är sådant att y = a x (där vi ovan hade a = 10). Detta tal x kallas a-logaritmen för y och vi betecknar den x = log a y. Omvänt kallade man y för antilogaritmen för x (medan vi kallar det en potens). I Briggs tabeller var alltså a = 10, och det är detta tal som kallas basen för logaritmen (det finns alltså en logaritmfunktion till varje a > 0). Man skriver ofta lg y för log 10 y, så vi gör så också. Men logaritmerna förenklar inte bara multiplikation, utan också division och rotutdragningar. Om vi t.ex. vill räkna ut 174/35, så beräknar vi lg 174 lg 35 = , och slår sedan upp att detta svarar mot talet (eller vad nu tabellverket ger). På samma sätt drar vi lätt tredje roten ur 174 genom att först beräkna (lg 174)/3 = och sedan slå upp att det svarar mot talet Sin fundamentala roll i praktiskt räknearbete kom logaritmerna att spela ända fram till 1970-talet, då miniräknarna började dyka upp. Till sin hjälp hade den som gjorde bräkningarna 6 en enkel men viktig uppfinning: räknestickan (se Box 1). Om logaritmens historia och dess betydelse epost: anderskallen@gmail.com page 4 of 8

5 Box 1 Räknestickan En räknesticka är ett mekaniskt redskap för numeriska beräkningar, som var vanlig innan miniräknare fanns. Räknestickan är ett linjalliknande verktyg med en mittendel som kan skjutas i sidled. Alla tre delar är försedda logaritmiska skalor vilket gör att man genom att flytta mittendelen kan muliplicera och dividera tal. På så sätt utnyttjar en räknesticka det faktum att summan av logaritmerna av två tal är lika med logaritmen av produkten av talen. (På många räknestickor finns även andra skalor för beräkning av t.ex. trigonometriska funktioner.) baklänges, alltså till ett givet x vill hitta det y som är sådant att log a y = x sa man tidigare att man tog anti-logaritmen. Motsvarande funktion är exponentialfunktionen f(x) = a x, för vilken vi har den fundamentala likheten f(x + y) = f(x)f(y). Ur detta följer att f(0) = 1 och vi har också att f(1) = f(log a a) = a. y y = a x 1 y = log a (x) Antalet nollor eller läget för decimalkomma ingår inte i räkningarna. Det får man själv hålla reda på. Som räknestickans uppfinnare räknas den engelske matematikern William Oughtred, som 1622 kombinerade två skalor med John Napiers logaritmer för att direkt utföra multiplikation och division. 3 Logaritmer som funktioner och den fundamentala exponentialfunktionen Finessen med logaritmfunktionen är alltså att den överför multiplikation på addition. Om vi låter f(x) beteckna någon av logaritmfunktionerna (dvs efter att vi valt en bas a), så gäller att f(xy) = f(x) + f(y). Det som skiljer logaritmfunktionerna åt, är för vilket tal funktionen antar värdet ett. Det är det som definierar basen; om alltså f(a) = 1 så gäller att f(x) = log a x. Vi kan notera att för alla logaritmfunktioner gäller att f(1) = 0, vilket å ena sidan är självklart om vi tänker på vad det betyder, men å andra sidan följer av formeln ovan om vi tar x = y = 1. Då får vi nämligen att f(1) = 2f(1), vilket betyder att f(1) = 0. När man läser en logaritmtabell 1 Relationen mellan logaritmfunktionen och exponentialfunktionen i samma bas åskådliggörs i figuren ovan. Om vi t.ex. tar en logaritm-tabell (säg 10-logaritmen) och plottar för varje tal x vad logaritmen y blir, så får vi den blå kurvan i figuren. Där kan vi för varje x läsa av y. Men vi kan också för varje y avläsa vilket x som har den som logaritm. Exponentialfunktionen är denna, omvända, process, men när vi ritar denna funktion, vill vi avläsa dess värde y för olika x. För att få exponentialfunktionens graf ska vi därför spegla logaritmfunktionen i linjen y = x. År 1647 observerade en fransman vid namn Grégoire de Saint-Vincent att om vi beräknar arean under kurvan z = 1/x ovanför intervallet [1, x], så får vi en funktion som uppfyller logaritm-relationen ovan. Detta påstående är ekvivalent med att arean över intervallet [y, xy] under kurvan ifråga alltid är lika stor för fixt x, oberoende av vad y är. Det är egentligen bara ett skalargument som ligger bakom, see Box 2. Logaritmfunktion i fråga får som bas det tal a som är sådant att arean ovanför [1, a] är ett. Detta tal visar sig vara e, och motsvarande logaritmfunktion skrivs ln x och kallas den naturliga logaritmen. Det finns egentligen ingen anledning att diskutera allmänna logaritm- eller potensfunktioner, ty känner vi en, känner vi alla. Inom matematiken har det visat sig bekvämt att arbeta med basen e, vilket x Om logaritmens historia och dess betydelse epost: anderskallen@gmail.com page 5 of 8

6 Box 2 Logaritm-funktionen som en area För att se varför de Saint-Vincent s observation är sann, låt oss kalla arean under kurvan z = 1/x ovanför intervallet [1, x] för A(x). Den är illustrerad i gult i figuren nedan för x = 3. För detta ska vi använda de svarta siffrorna som anger skalan, och storleken på arean är hur många kvadrater med sidan 1 den utgörs av (klipp sönder den gula arean och försök passa in den i enhetskvadraten, så ser vi att den fyller den och det blir lite över. Mer precist är arean , så det blir ungefär en tiondels gul area över.) Om längdenheten är cm, är detta vad det betyder att A(3) = cm 2. z (1) ( 1 2 ) z = 1 x z = x ( 1 ) x (1) ( 3 ) 2 Låt oss nu ändra längdskala. Vi kallar den nya längdskalan fot, och är sådan att 1 cm = y fot. I figuren är det illustrerat i blått för y = 1/2. Vi ser att 1 cm svarar mot 1/2 fot etc. Ekvationen för kurvan ändras nu, eftersom det är nya x-värden som ska ge de gamla höjderna. Den blir z = 1/y 2 x, vilket är y 2 gånger den gamla ekvationen. Intervallet vi integrerar över blir nu [y, xy], så det gula området har en area som är y 2 gånger A(x) fot 2. Men 1 fot 2 = y 2 cm 2, så det följer att arean under kurvan z = 1/x över intervallet [y, xy] är lika med A(x) oavsett vad y är. Men den arean är A(xy) A(y), så vi får att A(xy) = A(x)+A(y). A(x) måste alltså vara en logaritmfunktion (att A(1) = 0 är självklart). Ytterst handlar alltså observationen av att arean under kurvan y = 1/x över ett intervall [a, ab] är oberoende av a. betyder att vi bara använder oss av den naturliga logaritmen och exponentialfunktionen. Till allmän potensfunktion går vi genom och till allmän logaritm a x = (e ln a ) x = e (ln a)x, log a y = ln x ln a. Läsaren kan övertyga sig själv om hur dessa formler hänger ihop. Den inversa operationen, exponentialfunktionen, är kanske matematikens viktigaste funktion. Vi ska därför titta närmare på den här. Först konstaterar vi två saker En exponentialfunktion f(x) = e x uppfyller villkoret f(x + y) = f(x)f(y), och är de enda (differentierbara) funktionerna som gör det. Det gäller att f (x) = f(x). Det första påståendet har vi redan diskuterat. Det andra kan förklaras och motiveras på en mängd olika sätt. Det enklaste är kanske att utgå ifrån funktionalekvationen och derivera den 7 med avseende på y, vilket ger att f (x + y) = f (y)f(x). Sätter vi nu y = 0, så följer att f (x) = f (0)f(x), och det vi måste visa är att riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = e x är ett då x = 0. Tangenten till y = e x i punkten där x = 1 är spegelbilden i linjen y = x av tangenten till grafen till y = ln x i x = 1, som vi vet är 1, vilket visar påståendet.(vi kan f.ö. notera att om f(x) = a x så gäller att f (x) = kf(x), k = ln a, vilket kan motiveras på olika sätt beroende på vad man vill använda; ytterst handlar det om att skillnaden mellan a x och e x är en skaländring.) Så vad vi har visat är att sambandet f(x + y) = f(x)f(y) innebär att f(x) = e kx för någon konstant k. Men det finns en annan operation som uppfyller samma additionsformel, nämligen en rotation. Om vi låter R(θ) beteckna rotation runt en punkt, moturs vinkeln θ, så gäller att R(θ 1 )R(θ 2 ) = R(θ 1 + θ 2 )! Dessutom är R(θ) en 2π-periodisk funktion, vilket gör att det verkar på något sätt finnas ett samband mellan exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna. 4 Komplexa tal För att förstå exponentialfunktionen bättre, liksom dess relation till de trigonometriska funktionerna, måste vi binda ihop de reella talen med rotationer i planet till att skapa en utvidgning av de reella talen. Denna utvidgning, de komplexa talen, har visat sig bli av oändlig betydelse inom matematiken. Här ska vi dock nöja oss med att använda de komplexa talen till att förklara en metod för multiplikation som användes några årtionden innan logaritmen dök upp, bl.a. av den danske astronomen Tycho Brahë, och som byggde på additionsformler för sinus och cosinus funktioner. Låt oss först förklara vad vi menar med en utvidgning av de reella talen. Det vi vill ha är tal z sådana att Om logaritmens historia och dess betydelse epost: anderskallen@gmail.com page 6 of 8

7 vi kan addera och multiplicera olika sådana på ett sådant sätt att det gäller att Addition är kommutativ, vilket betyder att z 1 + z 2 = z 2 + z 1 Den distributiva lagen gäller, vilket betyder att z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3. Vi definierar dessa tal z utifrån postiva reella tal och rotationer. Varje komplext tal kan skrivas på precis ett sätt som z = R(θ)r, vilket betyder att vi tar talet r på den reella halvstrålen från origo O och roterar den vinkeln θ. R(θ)r Lägg märke till att vi än så länge bara kan peka på dessa komplexa tal och med hjälp av passare och linjal addera och multiplicera dem. De är väldigt abstrakta än så länge. Men vi ska snart råda bot på det. Först dock några specialfall. Linjen R(π)R + blir en stråle som utgår från O men går i motsatt riktning till de reella talen. Men det betyder att att talen där blir de negativa talen, vilka erhålls genom att vi multiplicerar med ( 1). Alltså: R(π) = 1. Subtraktion av reella tal blir då addition av två komplexa tal: r 1 r 2 = r 1 + ( 1)r 2. Inget nytt: vi brukar sätta ihop de två strålarna till en oändlig linje, de reella talen. Däremot förklarar det varför ( 1) 2 = 1: ( 1) 2 = R(π)R(π) = R(2π) = R(0) = 1. I ord: ( 1) 2 betyder rotera först ett halvvarv, sedan ytterligare ett, vilket betyder att vi kommer tillbaka till utgångspunkten. θ r 1 1 = ( 1) 2 Men hur ska vi då definiera dessa operationer, addition och multiplikation? För addition tänker vi på addition av två positiva reella tal som förflyttningar: för att få r = r 1 + r 2 ska vi utgå ifrån en punkt, som vi kallar 0, och gå först r 1 längdenheter för att sedan gå r 2 längdenheter i samma rikning. Då har vi gått r längdenheter från 0. En förflyttning beskrivs av en vektor, vilket är något som har både längd och riktning. Talet z = R(θ)r definerar en förflyttning längden r i rikning av vinkeln θ (relativt den positiva reella axeln). Addition får vi genom två på varandra följande förflyttningar, såsom visas i figuren nedan. z 2 z 1 z 1 z 1 + z 2 Denna figur visar också varför additionen blir kommutativ. Multiplikation definierar vi på det uppenbara sättet: om z i = R(θ i )r i så gäller att z 2 z 1 z 2 = R(θ 1 + θ 2 )r 1 r 2. Att den distributiva lagen gäller följer direkt av den geometriska betydelsen se figur xx. Om vi roterar R + bara 90 grader moturs så får vi en stråle vinkelrät mot den reella axeln. Av bekvämlighetsskäl inför vi en speciell beteckning för det tal man får om man roterar ett: i = R(π/2)1. Det kallas den imaginära enheten, av skäl som snart ska framgå. Dess kanske viktigaste egenskap är att i 2 = R(π/2)i = R(π/2)R(π/2)1 = R(π/2 + π/2)1 = R(π)1 = 1, vilket är skälet till att man ofta skriver i = 1. Den motsatta halvstrålen är R(3π/2)R +, och tillsammans utgör dessa två den imaginära axeln där varje tal kan skrivas ir, där r är ett reellt tal (positivt eller negativt). Men nu ser vi också att p.g.a. hur additionen är definierad gäller att varje komplext tal kan skrivas z = a+ib där talen a och b är reella tal. Dessutom att z 1 +z 2 = (a 1 +ib 1 )+(a 2 +ib 2 ) = (a 1 +a 2 )+(b 1 +b 2 )i och att z 1 z 2 = (a 1 + ib 1 )(a 2 + ib 2 ) = a 1 (a 2 + ib 2 ) + a 2 (a 2 + ib 2 ) = a 1 a 2 + i 2 b 1 b 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i = a 1 a 2 b 1 b 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i. Vi kan definiera exponentialfunktionen e z för komplexa tal som e z = R(b)e a om z = a + ib. Den funktion vi då skapar får den egenskap som definierar en exponentialfunktion: e z 1+z 2 = R(b 1 + b 2 )e a 1+a 2 Om logaritmens historia och dess betydelse epost: anderskallen@gmail.com page 7 of 8

8 Speciellt följer nu att = R(b 1 )e a 1 R(b 2 )e a 2 = e z 1 e z 2. e ib = R(b)1, vilket är den beteckning vii fortsättningen använder för att beskriva det tal vi får om vi roterar ett b radianer moturs. Om vi tänker oss detta som en rörelse, så ser vi att eftersom vinkelns storlek är lika med längden av den båge man rör sig längs enhetscirkeln, och rörelsen sker vinkelrätt mot ortsvektorn för talet att derivatan av e it är ie it (se figur). 5 Trigonometriska identiteter och prostaferesis Om vi använder att e iθ = cos θ + i sin θ Identifierar vi här real- och imaginärdelarna får vi att cos(θ 1 + θ 2 ) = cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 (2) sin(θ 1 + θ 2 ) = cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 (3) Exempel 5.1. Låt oss illustrera förfarandet genom att (som vanligt) multiplicera 174 och 35. Det första vi gör är att skriva = Sedan slår vi i en tabell upp vilka vinklar θ 1 och θ 2 som svarar mot de två första faktorerna, dvs lösa cos θ 1 = och cos θ 2 = Tabellerna på den tiden gav resultat i grader, minuter och sekunder, men om vi arbetar med radianer ska vi få att (med fyra decimaler) θ 1 = och θ 2 = Sedan beräknar vi θ 1 +θ 2 = och θ 1 θ 2 = och motsvarande cosinus-värden: cos(2.6091) = och cos( ) = Sätter vi nu in i formeln ovan får vi att = 0.5( ) = Multiplicerar vi med 10 5 får vi att = 6091, vilket igen är nästan rätt (men inte helt). Denna multiplikationsmetod kallas prostaferesis, en tillsammans med potenslagen term som kommer från de grekiska orden för addition e i(θ 1+θ 2 ) = e iθ1 e iθ och subtraktion. Den hade en del praktiska problem, 2 bl.a. (som vi såg) måste man ha trigonometriska tabeller till hög precision om man vill ha god precision får vi att cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 ) = i svaret. Dessutom var det så att man vid tiden då cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 +i(cos θ 1 sin θ 2 +sin θ 1 cos θ 2 ) metoden dök upp (1500-talet), mätte vinklar i grader, minuter och sekunder, och då är addition och subtraktion av vinklar inte helt trivialt (sexigesimalt system). Division med två var också ett litet problem, så det är inte konstigt att Brigg s logaritm-tabeller snabbt kom att ersätta dessa. Dessa trigonometriska formler är alltså ett sätt att uttrycka potenslagen för den komplexa exponentialfunktionen och är äldre än logaritmlagarna. Faktum är att de t.o.m användes ett kort tag som ett hjälpmedel för att multiplicera tal. Detta var så sent som i slutet av 1500-talet, och t.ex. Tycho Brahe och hans medarbetare använde dessa metoder (medan Kepler räknade med logaritmer). Det man behöver är följande konsekvens av den första lagen ovan cos θ 1 cos θ 2 = 1 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + cos(θ 1 θ 2 )) (4) som följer av att cos( θ) = cos θ medan sin( θ) = sin θ. För att använda detta för multiplikation krävs att man redan konstruerat trigonometriska tabeller, och sådana fanns sedan länge eftersom eftersom de trigonometriska funktionera var helt fundamentala för astronomin den äldsta av vetenskaperna. Nästa exempel visar hur man gick tillväga. Noteringar 1. Arkimedes hade funderingar kring hur många sandkorn som fanns i världen och insåg att det var ett stort tal. Han föreslog faktiskt att skriva väldigt stora tal ska man använda 10-potenser istället för de bokstäver som användes för mindre tal. 2. En approximation som fås genom linjär interpolation 3. Vi behöver många decimaler eftersom vi ska multiplicera med stora tal. 4. Vilket förenklades av att kyrkan hade anbefallt en maximal räntesats på 10%. 5. Alltså 54 x 6. computern på engelska 7. Vi får då anta att funktionen är deriverbar. Om logaritmens historia och dess betydelse epost: anderskallen@gmail.com page 8 of 8

Varför behövs logaritmer? Det enkla svaret

Varför behövs logaritmer? Det enkla svaret Om logaritmens historia och dess betydelse Anders Källén Matematikcentrum, LTH Varför behövs logaritmer? Det enkla svaret är att inte mycket matematik klarar sig utan dem. Men intressantare är kanske att

Läs mer

4 Fler deriveringsregler

4 Fler deriveringsregler 4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018 Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59 Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är

Läs mer

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,... Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 6..019 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska

Läs mer

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Utvidgad aritmetik. AU

Utvidgad aritmetik. AU Utvidgad aritmetik. AU Delområdet omfattar följande tio diagnoser som är grupperade i tre delar, negativa tal, potenser och närmevärden: AUn1 Negativa tal, taluppfattning AUn Negativa tal, addition och

Läs mer

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018 Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2. Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891 KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det

Läs mer

Kontrollskrivning KS1T

Kontrollskrivning KS1T Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger

Läs mer

a = a a a a a a ± ± ± ±500

a = a a a a a a ± ± ± ±500 4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1 Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna

Läs mer

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till 3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8

Läs mer

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Sidor i boken KB 6, 66

Sidor i boken KB 6, 66 Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Talmängder. Målet med första föreläsningen: Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

Potenser och logaritmer på en tallinje

Potenser och logaritmer på en tallinje strävorna 2A 7B Potenser och logaritmer på en tallinje begrepp matematikens utveckling taluppfattning algebra Avsikt och matematikinnehåll I läroböcker är det standard att presentera potenslagarna som

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65 Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade

Läs mer

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e 5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r. Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där

Läs mer

Om konvergens av serier

Om konvergens av serier Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie

Läs mer

MVE465. Innehållsförteckning

MVE465. Innehållsförteckning Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Komplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna.

Komplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna. Komplexa tal Komplexa tal stötte vi på redan i kurs 2 i samband med lösningar till andragradsekvationer. Detta är startpunkten för denna ganska omfattande aktivitet om komplexa tal, som behandlas i kurs

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad

Läs mer

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

Instuderingsfrågor i Funktionsteori Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer