Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x)

Transkript

1 Tentamen i Matematisk anals, HF95 atum: 5 juni 9 Skrivtid: : - 8: Lärare: Marina Arakelan, Jonas Stenholm, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Jourhavande lärare: Marina Arakelan tel För godkänt betg krävs av ma poäng Betgsgränser: För betg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg F Vem som har rätt till komplettering framgår av betget F på MINA SIOR Komplettering sker inom se veckor efter att resultat meddelats Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar ( Endast svar utan tillhörande lösning ger poäng) Skriv endast på en sida av papperet Skriv TYLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tdligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget) Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad et här bladet lämnar du in tillsammans med lösningar Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( = ln( ) + b) Låt g ( ) = (5+ ) arcsin(+ ) Bestäm g ( Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Vi betraktar funktionen f (, ) = Bestäm funktionens stationära punkter och deras tp (min/ma/sadelpunkt) Uppgift (p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift ) Beräkna dubbelintegral + ( + ) dd, då definieras genom, Var god vänd Sida av 8

2 Uppgift (p) Beräkna följande gränsvärden arcsin( ) a) lim 6 + b) lim 5 + Uppgift 5(p) Låt f( = ln a) ( p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär b) (p) Bestäm eventuella lodräta asmptoter Uppgift 6 (p) Beräkna volmen av den ändliga kropp som begränsas av torna z = + Tips: Använd polära koordinater z = 8 och Uppgift 7 (p) a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen = ( + )cos + e ( + ) b) Ange lösningen på eplicit form (dvs på formen = f ( ) Uppgift 8 (p) Bestäm den lösning till differentialekvationen + = + som uppfller ( ) = och ( ) = Uppgift 9 (p) Låt och vara två olika lösningar till + a + b = där a och b är två reella tal Visa utförligt att + också är en lösning till denna differentialekvation Lcka till FACIT: Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( = ln( ) + b) Låt g ( ) = (5+ ) arcsin(+ ) Bestäm g ( a) Villkor : > ger > Villkor : ger Båda villkor är uppfllda om < b) g ( = 5 arcsin( + ) + (5 + ) ( + ) Sida av 8

3 Svar: a) Funktionen är definierad för < dvs = (, ] b) g ( = 5 arcsin( + ) + (5 + ) ( + ) Rättningsmall: p för varje del Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Vi betraktar funktionen f (, ) = Bestäm funktionens stationära punkter och deras tp (min/ma/sadelpunkt) f = + f = Stationära punkter får vi genom att lösa sstemet f = f = dvs + = Härav = och = = En stationär punkt P=(,) A f = B f = C f = = = = AC B = 8 = 8 < Punkten P=(,) är en sadelpunkt Svar: Punkten P=(,) är en sadelpunkt Rättningsmall: p för punkten (,) och p för korrekt tp Uppgift (p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift ) Beräkna dubbelintegral + ( + ) dd, då definieras genom, = ( + + ) dd = d ( + + ) d = + + = ( + ) d d [ + ] = Svar: Rättningsmall: p för korrekt beräkning till och med +p för korrekt till och med ( + ) d + + d Sida av 8

4 p om allt är korrekt Uppgift (p) Beräkna följande gränsvärden arcsin( ) a) lim 6 + b) lim 5 + a) Test om gränsvärdet kan beräknas enbart med insättning av = : arcsin( ) = Gränsvärde av tp /, använd L Hospitals regel: 6 arcsin( ) ( ) lim = L'Hospital = lim = 6 b) Förkorta först med : + + lim = lim = Svar: a) b) 5 Rättningsmall: p vardera för a) och b) Rätt eller fel Uppgift 5(p) Låt f( = ln a) ( p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär b) (p) Bestäm eventuella lodräta asmptoter a) erivera: f ( = f = = =± ( ) (Nämnare: ( ± ) ± ( ) =± 8 = 6 ) et finns alltså två stationära punkter = och = Andraderivata (tillämpa kvotregeln): f ( = 6 ( ( ) ( ) ( etta uttrck ser krångligt ut, men hanteras bäst utan förenkling Observera att nämnaren är icke-negativ, och därför beror andraderivatans tecken enbart av täljaren Vidare är den andra termen i täljaren = i de stationära punkterna (se ovan) 6 ( ) (( ) ( )) ( ) 6 f ( ) = = < (( ) ( )) () Punkten = är en mapunkt Sida av 8 (mapunkt)

5 6 ( ) ( 6) f () = = < ( ) () (mapunkt) Punkten = är en också en mapunkt b) en elementera funktionen ln( t ) har en lodrät asmptot t =, därför f( = ln har lodräta asmptoter då = = ( ) = = = Grafen till funktionen: Svar: a) Funktionen har två stationära punkter = och = Båda är mapunkter b) Tre lodräta asmptoter: =, = och = Rättningsmall: a) p för korrekt derivering +p för en korrekt punkt med korrekt karaktär Alt p för båda punkterna korrekta p om allt är korrekt b) Rätt eller fel Uppgift 6 (p) Beräkna volmen av den ändliga kropp som begränsas av torna z = + Tips: Använd polära koordinater z = och 8 Skärningslinje får vi ur 8 = + + = 8 + = (cirkeln med radien och centrum i origo) Sida 5 av 8

6 Volmen: V= ( z z ) dd = (8 ) dd ( vi substituerar polära koordinater) π π r V = dθ ( 8 r ) rdr = dθ ( 8r r ) dr = π r = π 8 = 6π Rättningsmall: p för korrekt skärningslinjen + = +p för V= ( z z ) dd = (8 ) dd π +p för V = dθ ( 8 r ) rdr p om allt är korrekt Uppgift 7 (p) a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen = ( + )cos + e ( + ) b) Ange lösningen på eplicit form (dvs på formen = f ( ) a) = ( + ) cos + ( + ) e d ( ) (cos e ) d = + + d = (cos + e ) d ( + ) arctan = sin + e + C (den allmänna lösningen på implicit form) b) = tan(sin + e + C) (den allmänna lösningen på eplicit form) Svar: a) arctan = sin + e + C b) = tan(sin + e + C) Rättningsmall: p vardera för a) och b) Rätt eller fel Uppgift 8 (p) Bestäm den lösning till differentialekvationen + = + som uppfller ( ) = och ( ) = i) Vi bestämmer först den homogena lösningen H, d vs den allmänna lösningen till ekvationen + = en karakteristiska ekvationen r r + = har två reella olika rötter r = och r = ärför är e = och e = två baslösningar och Sida 6 av 8

7 H = c + c H = c e + ce är den allmänna lösningen till homogena ekvationen ii) För att bestämma en partikulär lösning ansätter vi (vi har ett "enkelt" eftersom finns inte bland ekvationens rötter) ett polnom av andra graden p = A + B För att bestämma koefficienter A, B, och C beräknar vi derivator p = A, p = och substituerar i ekvationen + = + ( A) + ( A + B) = + A + B A = + Identifiering av koefficienter ger följande sstem med tre ekvationer: A = B A = Från första ekvationen har vi A=, andra ger B=, etta ger p = + ärmed är den allmänna lösningen (för hela ekvationen) : ( = ( + ( H p + ce + + ( = c e För att bestämma konstanterna använder vi villkoren: ( ) = och ( ) = Först ( ) = ger ekvationen c + c + = dvs c + c = (ekv) Fron ( = c e + ce + + har vi derivatan ( = c e + ce + Vi substituerar ( ) = i ( = c e + ce + och får c + c + = eller c + c = (ekv) Från ekv och ekv får vi c = och c = ärmed är ( = + Svar: ( = + Rättningsmall: p för H = c e + c e +p för H = c e + c e p om allt är korrekt Uppgift 9 (p) Sida 7 av 8

8 Låt och vara två olika lösningar till + a + b = där a och b är två reella tal Visa utförligt att + också är en lösning till denna differentialekvation Låt och vara två olika lösningar till + a + b = å gäller + a + b = (*) och + a + b = (**) Vi adderar (*) och (**) och får ( + ) + a( + ) + b( + ) = (***) Enligt deriveringsregler gäller ( + ) = ( + ) och ( + ) = ( + ) så att (***) ger ( + ) + a( + ) + b( + ) =, som visar att + är en lösning till ekvationen + a + b = (VSB) Rättningsmall: p för korrekt bevis men dåligt förklaring Sida 8 av 8