- Kalkylator - MAOLs tabeller - handskriven minneslapp max storlek A5 som inlämnas med tentamenssvaret

Transkript

1 EKONOMISK MATEMATIK OCH STATISTIK Statistik Motivera dina svar! Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: - Kalkylator - MAOLs tabeller - handskriven minneslapp max storlek A5 som inlämnas med tentamenssvaret Provtexten får bortföras. 1. I en grupp bestående av tio personer finns fem män och fem kvinnor. Bland dessa väljs två personer slumpmässigt. Bestäm sannolikheten att man då väljer en man och en kvinna om valet görs a) med återläggning b) utan återläggning 2. Antalet personer som står i kö till en bankautomat kan anses vara en Poissonfördelad stokastisk variabel. I medeltal finns det två personer i kön. Bestäm sannolikheten att det vid en given tidpunkt finns a) exakt två personer i kön b) minst två personer i kön 3. En kontinuerlig stokastisk variabel X är definierad på intervallet [0, 1] och har täthets-funktionen (frekvensfunktionen) f(x) = 1,5 x a) Bestäm variabelns väntevärde. b) Bestäm P(X > 0,5). c) Bestäm P(X = 0,5). 4. Du investerar i ett projekt vars förväntade vinst är 200 mk. Antag att vinsten är normal-fördelad. Bestäm dess varians då du vet att sannolikheten för att vinsten ska överstiga 250 mk är 0, En ask innehåller tre mynt: M1, M2 och M3. Mynten M1 och M2 är symmetriska, dvs. P(krona) = P(klave) = 0,5. Det tredje myntet (M3) är preparerat så att P(krona) = 0,3 och P(klave) = 0,7. Ett mynt väljs slumpmässigt och kastas. Bestäm sannolikheten att a) resultatet blir klave b) att det valda myntet är M1, givet att resulatet var klave Lycka till!

2 TENTER I EKONOMISK MATEMATIK OCH STATISTIK Matematik Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Kalkylator samt handskriven minneslapp max storlek A5 som inlämnas med tentamenssvaret Motivera dina svar! Provtexten får bortföras. 1. Det finns forskare som tror att jordens befolkning aldrig kommer att överstiga 40 miljarder. I så fall kunde antalet människor P, i miljarder, t år efter år 1990, beskrivas med formeln a) Rita en graf över P som funktion av t. b) Vilket år kommer jordens befolkning att uppgå till 20 miljarder? (Enbart grafisk lösning eller prövning duger inte) 2. Bestäm a och b så att funktionen f(x)=a(x-b ln x) har ett lokalt minimum i punkten (2,5), dvs minimivärdet 5 då X=2. 3. Försäljningsintensiteten för en viss vara sedan första januari ges i sålda enheter per månad av funktionen, där t betecknar månaderna sedan årets början ( ). Räkna ut hela försäljningsvolymen för årets 6 första månader (dvs mellan ) samt för årets 6 sista månader. 4. Maximera funktionen f(x,y) = x2 + y under bivillkoret x2 - y2 = Kostnaden i euro för att producera q enheter av en vara ges av för. Produkten kan säljas för 588 euro per enhet. För vilken produktionsnivå maximeras vinsten? Visa att ett maximum verkligen uppnås. Sök den totala kostnaden, de totala intäkterna och vinsten vid denna produktionsnivå. Ekonomisk matematik och statistik Matematikdelen. Tentamen tid: 3h hjälpmedel: räknare, handskriven A5-lapp, som lämnas in med tenten. Uppgifterna ger 6 poäng var.

3 EKONOMISK MATEMATIK OCH STATISTIK Matematik Motivera dina svar! Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: - Kalkylator - MAOLs tabeller - handskriven minneslapp max storlek A5 som inlämnas med tentamenssvaret Provtexten får bortföras. 1. Vilken ränta vid kontinuerlig ränteberäkning ger samma tillväxthastighet åt kapitalet som 10% årlig ränta som tillförs kapitalet en gång per år? (Med samma tillväxthastighet avses här att kapitalet vid slutet av varje helt år är lika stort enligt de båda räknesätten) 2. Ett företag marknadsför två produkter. Efterfrågefunktionerna för dessa är q 1 = 150-2p 1 - p 2 respektive q 2 = p 1 3p 2 där q 1 och q 2 är efterfrågan på de två produkterna samt p 1 och p 2 deras respektive priser. (a) Formulera den totala intäktsfunktionen R(p 1, p 2 ) som en funktion av priserna p 1 och p 2. (b) Bestäm de priser p 1 och p 2 som maximerar den totala intäkten, visa att det är maximum som erhålles samt bestäm även maximala intäkten. 3. Beräkna (a) nuvärdet, och (b) slutvärdet av en konstant kontinuerlig inkomstström av 5000 EURO per år över fem år med användning av 4% årlig kontinuerlig ränta. 4. Bestäm med användning av Lagrange metoden de värden på x och y som maximerar funktionen f(x,y) = 25 - x 2 - y 2 under restriktionen 2x + y = 4, samt bestäm även ifrågavarande maximivärde av funktionen. 5. (a) Utgående från matriserna 1 3 a b 1 0 A =, B = 3 15 och I = b c 0 1 bestäm a, b och c så att AB = I. (b) Vad kallas matriserna I och B. Lycka till!

4 EKONOMISK MATEMATIK OCH STATISTIK Statistik Motivera dina svar! Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: - Kalkylator - MAOLs tabeller - handskriven minneslapp max storlek A5 som inlämnas med tentamenssvaret Provtexten får bortföras. 1. Enligt Statistikcentralens konsumentbarometer var mobiltelefonerna i juli 1999 för första gången vanligare än trådtelefoner i privata hushåll. Av hushållen hade 75,8 procent trådtelefon. Av de hushållen som hade trådtelefon hade 73,4 procent också tillgång till mobiltelefon, och av de hushållen som inte hade trådtelefon hade 94,6 procent tillgång till mobiltelefon. a) Hur många procent av hushållen hade således tillgång till mobiltelefon i juli 1999? b) Hur många procent av de hushåll som hade tillgång till mobiltelefon hade inte tillgång till trådtelefon? 2. Ett postorderföretag har 6 ingående telefonlinjer. Låt X beteckna antalet linjer som är upptagna vid en given tidpunkt och antag att X har följande sannolikhetsfunktion: x p(x) 0,052 0,154 0,232 0,240 0,174 0,105 0,043 a) Är X en diskret eller en kontinuerlig stokastisk variabel? b) Vad är sannolikheten att minst 4 linjer är upptagna vid en given tidpunkt? c) Vad är sannolikheten att högst 4 linjer är upptagna vid en given tidpunkt? d) Beräkna väntevärdet E(X) för antalet linjer som är upptagna vid en given tidpunkt! 3. Till ett möte infinner sig två representanter per företag från totalt 10 olika företag. Varje representant skakar hand med alla de andra, utom med sin kollega från samma företag. Hur många handskakningar äger rum? 4. I undersökningar gjorda bland universitetsstuderande har det visat sig att ca 20,2% av dem har en intelligenskvot över 0 och ca 1% över 142. Antag att intelligenskvoten är normal-fördelad och bestäm fördelningens väntevärde µ och standardavvikelse σ! 5. Betrakta data i tabellen nedan a) Beräkna medeltalet, medianen och typvärdet. b) Utnyttja förhållandet mellan de tre centralmåtten till att avgöra om fördelningen är sned och i så fall i vilken riktning. Motivera ditt svar! Lycka till!

5 1. Antag att du placerar pengar mot 9% årlig ränta för ditt barns utlandsstudier. Du behöver ha euro om tio år. Hur mycket bör du placera nu om räntan tillförs kapitalet a. varje månad b. kontinuerligt? 2. Antag att storleken av Mexikos befolkning (miljoner) ges av funktionen tiden i år sedan 1980 (se figuren)., där t betecknar a. Vilket var medeltalet av befolkningsstorleken i Mexiko mellan åren 1980 och 1990? b. Vilket var medeltalet av Mexikos befolkning år 1980 och befolkningen år 1990? c. Förklara med hjälp av grafen för P i figuren varför ditt svar på (b) skiljer sig från ditt svar på (a). 3. En ekonom är intresserad av hur priset på en vara påverkar försäljningen av denna. Antag att q st. av varan säljs ifall priset är p euro, och att sambandet mellan p och q ges av funktionen f, dvs ekonomiska termer betydelsen av likheterna 4. Följande matriser är givna: och. Förklara i A = B = Beräkna a. A - B

6 b. AB c. A(A + B) 5. Antalet besökare per dag i en nöjespark ges av sambandet, där p är priset för inträdet i euro och q antalet besökare. a. Vid vilket pris besöks parken av 3000 personer? Hur stora är de totala intäkterna vid detta pris? Hur stora är de totala intäkterna om priset är 20 euro? b. Skriv intäktsfunktionen som en funktion av antalet besökare q i nöjesparken. c. Vilket antal besökare maximerar intäkterna? Visa att det är fråga om ett maximum. d. Vilket borde priset vara för att maximera intäkterna? e. Hur stora är de maximala intäkterna? Ekonomisk matematik och statistik Skrivtid: 3 timmar Statistik Hjälpmedel: Kalkylator samt en handskriven minneslapp storlek A5 som lämnas in Motivera dina svar! Provtexten får bortföras kunder i en affär tillfrågades hur många gånger de handlat i affären under den senaste månaden. De erållna svaren var: a. Beräkna medelvärde och median. Hur skulle dessa förändras om det sista svaret varit 32 istället för?(3 poäng) b. Gör en lämplig klassindelning och åskådliggör det klassindelade materialet med en lämplig graf.(3 poäng) 2. Antalet personer som står i kö till en bankautomat kan anses vara en Poisson-fördelad variabel med väntevärdet 1,75. Beräkna sannolikheten att a. ingen står i kö(2 poäng) b. högst tre personer står i kö(2 poäng) c. minst två personer står i kö(2 poäng) 3. Du har köpt två fröpåsar, en påse med morotsfrön (innehåller 100 frön) och en påse med rödbetsfrön (innehåller 300 frön). Sannolikheten att ett morotsfrö ska gro är 0,9 och sannolikheten att ett rödbetsfrö ska gro är 0,7. Av misstag råkar du blanda ihop alla frön i en påse. a. Om du sår ett slumpmässigt valt frö, vad är sannolikheten att det gror?(3 poäng) b. Om det visar sig att fröet faktiskt gror, vad är då sannolikheten att det är ett morotsfrö? (3 poäng) 4. En person som bor långt ute i skärgården måste promenera, åka båt och cykla för att komma fram till sin närmaste granne. "Resetiderna" kan anses vara oberoende normalfördelade variabler med väntevärdena 10, 30 och 25 minuter samt varianserna 1, 4

7 och 4 minuter. Vad är sannolikheten att den sammanlagda resetiden är mindre än en timme? (6 poäng) 5. Den kontinuerliga stokastiska variabeln X har sannolikhetsfunktionen f(x) = Beräkna a. P(0 < X < 1)(3 poäng) b. E(X)(3 poäng) Matematikdelen tid: 3h hjälpmedel: räknare, handskriven A5-lapp som lämnas in med tenten 1. Hur mycket pengar bör du deponera nu för att om 10 år ha en balans på mk på ditt konto? Du erbjuds 9% årlig ränta, som tillförs kapitalet a. fyra gånger per år b. kontinuerligt. 2. Graferna för intäktsfunktionen R(q) och kostnadsfunktionen C(q) för ett företag är givna i figuren. C (q) betecknar totala kostnaderna för att producera q enheter av en vara och R(q) motsvarande totala intäkter. a. Uppskatta ur figuren marginalkostnaden vid q = 400 b. Hur stora är de fasta kostnaderna? c. Är det lönsamt för företaget att producera den 500:de enheten? Förklara! d. Ungefär vid vilken produktionsnivå maximeras vinsten? (Tyvärr finns graferna inte med i tentbibban pga att de klipptes och kopierades in i tenten och

8 inkluderades därför ej i elektronisk form, beklagar.) 3. Ett företag kan sälja 2000 av sina produkter då priset är 40 mk/st. Av tidigare erfarenhet vet man att varje gång priset ökar en mark så minskar efterfrågan med 10 st. a. Hur stor är efterfrågans elasticitet? b. Vilken prisnivå maximerar intäkterna? Visa att det faktiskt är fråga om ett maximum. 4. En konstant betalningsström som fortgår under 10 år ger 1000 mark per år. Den kontinuerliga räntan är 5%. Beräkna a. Nuvärdet av betalningsströmmen. b. Slutvärdet av betalningsströmmen. c. Hur länge måste betalningsströmmen fortgå för att slutvärdet ska vara mark. 5. En missil kan kontrolleras från marken ända upp till en höjd som (i fot) ges av funktionen där t betecknar temperaturen (i F) och f luftfuktigheten (i procent). Vilken höjd kan vi nå för temperaturen 50 och fuktigheten 20 %? Partialderivera funktionen och visa att den har ett maximum. För vilka temperatur- och fuktighetsvärden uppnås detta? Statistik Sannolikheten att en viss typ av frön skall gro och ge upphov till en planta är 0,6. Man planterar tio sådana frön. Händelserna att olika frön gror och ger upphov till plantor är oberoende. Låt x vara antalet erhållna plantor. Beräkna (6p) a. E[x] och Var[x] b. P( x > 0 ) c. P( x - 6 < 2 ) 2. Antalet passagerare som önskar åka med ett visst tåg kan betraktas som en stokastisk variabel som är Poissonfördelad med parametern λ = 400. Hur många platser behöver man ha i tåget för att sannolikheten att det ska bli fullsatt skall vara högst 0,01? (6p) 3. I en förpackning med 18 elproppar finns av typen 10A och sex av typen 16A. Man väljer utan återläggning tre proppar. Beräkna sannolikheten att man erhåller i ordning: (6p) a. proppar av typen 10A, 16A och 10A b. proppar av typen 16A, 10A och 10A c. proppar av typen 10A, 10A och 10A

9 4. Ett stort franching företag påstår att andelen nya restauranger som öppnas kommer att visa vinst under första året, kan beskrivas med följande sannolikhetsfunktion: (6p) f(x) = x(1-x)², 0 x 1 a. Vad är sannolikheten att mindre än 40 % av de nyöppnade restaurangerna kommer att visa vinst? b. Vad är sannolikheten att mer än 50 % av de nyöppnade restaurangerna kommer att visa vinst? 5. Eastern Airlines har observerat att antalet passagerare per dag på linjen New York - Washington är normalfördelat med med µ = 6850 och σ = 214. a. Vilken är sannolikheten att en given dag skulle platsbehovet ligga mellan 6700 och 7000? (2p) b. Anta att flygbolaget har 29 turer dagligen och varje plan tar 250 passagerare. Vilken är sannolikheten att bolaget en viss dag inte skall kunna fylla behovet av platser? (2p) c. Hur många dagliga turer bör bolaget ha för att sannolikheten i fall b) skall fås under 0,005? (2p) Statistik I tabellen nedan framgår importen av peronbilar till USA åren 1964 och Ursprungsland Japan Västtyskland Italien UK Sverige Frankrike Kanada Åskådliggör i en graf den procentuella förändringen i importen landsvis. Kommentera kort grafen! (6p) 2. För ett antal år sedan stod det i Wendy's Hamburgers reklam att Du kunde beställa din hamburgare på 256 olika sätt (vilket syftade på tillbehören, kryddorna). Du kunde välja att ta med eller lämna bort vilka som helst av följande 8 tillbehör: senap, ketchup, lök, vitlök, tomat, gurkrelish, majonäs och sallad. Är påståendet i reklamen korrekt? Motivera med uträkningar! (6p) 3. För att få slut på stölder i lagret i ett bryggeri testades alla lagerarbetare med en lögndetektor. Detektorn ger rätt utslag i 90 % av fallen (både skyldiga och oskyldiga). Bryggeriets VD har beslutat sig för att avskeda alla som inte klarar testet. Antag att 5 % av lagerarbetarna de facto är skyldiga till stölder. a. Hur stor del av lagerarbetarna kommer att avskedas? (3p)

10 b. Hur stor del av de avskedade är oskyldiga? (3p) 4. Den årliga försäljningen av kärleksnoveller är normalfördelad kring ett okänt väntevärde µ med en okönd varians σ². I 40 % av fallen (åren) överskrider försäljningen ex. och i 10 % av fallen överskrider den ex. Bestäm väntevärdet och variansen! (6p) 5. Försäljningen av Lexus-bilar i Detroit följer en Poissonfördelning med ett medeltal om 3 st/dag. a. Vad är sannolikheten att det inte säljs en enda Lexus under en given dag? (3p) b. Vad är sannolikheten att det under en vecka (5 dagar) säljs minst en Lexus? (3p) Statistik Vid ett flertalsprov gäller det att svara på tio olika frågor. Till varje fråga ges fem alternativa svar. Betrakta en person som väljer svar helt på måfå. Beräkna sannolikheten att hon svarar rätt på åtminstone två frågor. (6p) 2. Meddelande kodade i binära tecken 0 och 1 överföres i ett telekommunikationssystem. Signalerna störs av ett brus och därför förekommer felaktiga överförningar. Ett utsänt tecken 0 mottas som 1 med sannolikheten 0,01. Ett utsänt tecken 1 mottas som 0 med sannolikheten 0,02. Vidare förekommer tecken 1 i en proportion 0,6 och tecken 0 i en proportion 0,4. (6p) a. Om 1 mottagits vad är då den betingande sannolikheten att 1 har sänts? b. Hur stor proportion av tecken överförs felaktigt? Dvs vad är sannolikheten att ett på måfå utvalt tecken är felaktigt mottaget? 3. En kvalitetsvariabel för ett visst slags tillverkade produkter kan antas ha en normalfördelning med µ = 150 och σ = 50. (6p) a. Bestäm sannolikheten att s.v. x antar ett värde utanför intervallet [138;162]. b. Bestäm x så att x antar värden utanför intervallet [150 - x,150 + x] med sannolikheten 0, Vid ett Ässä-lotteri är sannolikheten för en högvinst ( eller mk) 60/ Hur många lotter måste man minst köpa för att sannolikheten för åtminstone en högvinst skall vara minst 0,3? (6p) 5. Man antar att den kontinuerliga stokastiska variabeln x har följande sannolikhetsfunktion: a. Beräkna P(3000 < x < 4000) (3p) b. Beräkna P( x > 2000) (3p)