MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola"

Transkript

1 MATMATI ort förberedande material för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis formgivning: Lennart Jörelid halmers tenisa högsola

2 Till dig som söer till högre tenis utbildning Somduvetförutsätterstudieritenisaämnengodaunsaperimatematinstordelav det första året ägnas därför åt grundläggande matematisa ämnen Goda resultat i de teoretisa ämnena under första studieåret öar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna Det första läsåret vid en högsola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna Har man dålucorigymnasiematematien,andetblirättarbetsamtmduinteärsäerpåattduredan har mycet goda unsaper i matemati, gör du lot i att förbereda dig ordentligt genom att repetera gymnasieursen och läsa in avsnitt som du anse tidigare försummat Hurgörjagdå? Till hjälp får du detta ompendium Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer Arbeta igenom det så grundligt, att du behärsar de olia avsnitten De många övningsexemplen ger dig möjlighet till nyttig räneträning I början av ompendiet finns dessutom ett diagnostist prov och i slutet en provräning med blandade uppgifter ompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier Ta avsnitten i den ordning du själv finner lämplig n metod är att först räna alla[1] och[2]-uppgifterna(ompendiet rat igenom) Sedan alla[3]-uppgifterna osv Har du bra betyg i matemati från gymnasiet och tror dig unna gymnasieursen gansa bra, an du försöa dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift(uppgifterna är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad) Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, tex logaritmer, trigonometri eller derivering med hjälp av edjeregeln, an du i första hand oncentrera dig på dessa Det väsentligaärattduränar(mindreväsentligtärvadduränar)sulleduörafastpånågra uppgifter an du eventuellt få hjälp per telefon(se bilaga Upplysningar inför terminsstarten) tt syfte med ompendiet Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är att nötainvissaformler,somduansevaritvanatthittaienformelsamlingpåtentamenvidde tenisa högsolorna ommer du inte att ha formelsamlingen till hands Försö därför att lara dig utan, när du löser övningsexemplen unsapsontroll? Du ommer inte att avrävas redovisning av de här repetitionsövningarna Däremot ommer du snart att mära, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högsolestudierna inleds med en repetitionsurs i matemati Lyca till Med Hälsningar från de Tenisa Högsolorna ii

3 Tillägg av författaren I detta ompendium behandlas i huvudsa de moment, som matematilärare vid tenisa högsolor ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematien Den nuvarande gymnasieursen i matemati är gemensam för alla solor i landet, men olia solor och lärare betonar anse vissa delar mer eller mindre start Därför an några delar av ompendiet vara mer(eller mindre) välbeanta för dig Tips: Hoppa över avsnittet 3 om ellipser mm, ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasieurs bservera ocså att ompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematien i delarnaa,b,ochd,sombruargenomgåsdetvåförstaårenpågymnasietdäremotrepeteras vanligen del (med bla tillämpning av integraler och differentialevationer), samt en eventuell, frivillig del F, i samband med de ordinarie matematiurserna på de tenisa högsolorna Lyca till Rolf Pettersson Årets utgåva av Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är en grafist bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsa masinsrivet, original Jag har i samråd med författaren försöt ge häftet en så lättöversådlig och pedagogis utformning som möjligt, utan att förändra dess sainnehåll nämnvärt ftersom jag själv är tenolog vid F-setionen på halmers och därmed onfronterats en del med tenis urslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en utformning som i så hög grad som möjligt linar tenologens vardagslitteratur detta för att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tenisa Högsolornas ttgottrådär dessutomatt verligenförsöaläggaundanminiränarendåduränardigi igenom häftet nligt min egen erfarenhet, var detta en av de verligt givande poängerna med att repetera gymnasiets matemati Förståelsen för de grundläggande tenisa matteurserna öar enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i ryggmärgen Lyca till Lennart Jörelid iii

4 Innehåll DIAGNSTIST PRV 5 1 Algebraisa räningar 7 11 Addition,subtrationochmultipliationavreellatal 7 12 DivisionavreellatalBråräning Lineäraevationssystem 1 1 Absolutbelopp vadratrotenurettpositivtreellttal Ice-reellatalomplexatal AndragradsevationerFatoruppdelningavandragradspolynom Fatorsatsenvationeravstörregradtaläntvå liheter :terotenurettreellttalallmännapotenser Logaritmer 25 2 Trigonometri Vinelmätning Rätvinligatrianglar Detrigonometrisafuntionernaförgodtycligavinlar 31 2 Någraenlatrigonometrisaformler 3 25 Additions-ochsubtrationsformler Formlerfördubblaresphalvavineln 37 3 Plan analytis geometri Avståndetmellantvåpunter Rätalinjen ireln 1 3 llipsen,hyperbelnochparabeln 2 Funtionslära 1 Inledning 2 Derivatansdefinition 5 iv

5 3 nla deriveringsregler Deelementärafuntionernasderivator 6 Sammansattafuntioneredjeregeln 8 5 Tangentochnormaltillenurva 51 6 Maximi-ochminimiproblem 52 PRVRÄNING(Blandade exempel) 5 FAIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTRNA 56 Facittilldetdiagnostisaprovet 69 Facittillprovräningen(blandadeexempel) 69 v

6 A DIAGNSTIST PRV (Lämplig tid: cira 2 timmar) (Svar finns på sista sidan i ompendiet) [1] Förenla [2] Lös evationen " [3] Förenla så långt som möjligt: $&%('*) +-, ' ) / )0 / + 0 [] Förorta(ommöjligt)iuttrycet [5] Dividera(medpolynomdivision)sålångtsommöjligt 6 1 " [6] Lös evationssystemet 8 [7] Bestämexat >? : 9;: $ 9 $ 5 A [8] Bestäm rötterna till evationen [9] Förvila gälleroliheten =< %B F G D H 3 %JIL A IM 3 : [10] Förenla HN IM 1-3 IL 3 [11] Angiv exata värdet av -P RQS3T 5 UWVT RQS3 : (samt förenla) [12] Bestämallavinlar mellan Y och H [Z]\ : ^ Y som satisfiera HN _P 3 3 [13] [a]ienrätvinligtriangelärsinusförenvinelliamed2/3ochdenmotdennavinel stående sidan är 3 längdenheter Bestäm hypotenusans längd exat [b]sammauppgiftsomovan,omiställettangensförvinelnär2/3 [1] Bestäm UNVT exat,om UWV ` 3a [15] Angivpåformen = $`cb " enevationförrätalinjengenompunterna edb f 5 och d 6

7 i [16] vationen gh$ : betyder geometrist en cirel(i ett ortonormerat system) Bestäm medelpunt och radie [17] Bestäm derivatan ij (och förenla den), om < [18] Bestäm i j,om i ), 3 D [19] Bestämpåformen $b denpuntpåurvan,där [20] Bestämdetstörstavärdesom i 1 ) D enevationförtangententillurvan $ _P l7 mzn\ anantaförreella 1 i 7

8 1 Algebraisa räningar 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal För reella tal gäller bla följande enla räneregler: & f & & & f l = %? f g Jd ty? %? Man definierar potenser med heltalsexponenter som: 5o för qp dn r % osv s % ftbtbt- ^d dvsprodutenav stycenfatorer Varav följer Potenslagarna u % s uw s g s uv s 5uyx s s s ftersom? och z h & {,sågälleratt y { ovs För att förtydliga ges nedan några exempel: { dj y { 1 & { 1, xempel xempel 5 T " T b 6T b & Tl } b T b 5 T T ;bm Tl b & b $ W~ 1 %? = $ 1 $ ~ %? f25 %n W$ 1 f2 o $ ~ 8

9 Š Ö-1 Förenla Ö-2 Beräna [1] A $ :a ~ $ A 9 ~ $ [1] [2] z"6t b [2] 1 [3] b "6T b "ƒl b T [3]?f5 []?= 1 [5]? g o Ö-3 Förenla Ö- mforma(genom att multiplicera ihop parenteserna) [1] g 1 % 2g [2] 6<T5 W [3] 1W$ % $e-( % $ []?= W$1 ~ 1z% ~ y%? 1ˆ$ Följande vitiga formler bör man unna utantill: ƒ VADRRINGSRGLRNA ] ƒ Tg UBRINGSRGLRNA NJUGATRGLN ƒ ] 1 ƒ 1 &]] FATRUPPDLNINGARNA BS dw g xempel Utvecla 6 7 ~ 1 och g [1] n [2] 7" ] 1 [3] " n6 1 T g 1 1 g 1 ]]] &] nƒ g an ej fatoruppdelas med reella tal Lösning: 9 ~ 1 Š uberingsregelnmed och ~ BŒ 1 % z% ~ % {% ~ ƒ ~ : ~ m < ~ ~ xempel Fatoruppdelauttrycet 2 b 1 1ˆbˆ 2 Wbˆ1 Lösning: 2T b b 2T b 1 ŽŠ allagemensammafatorerbrytsut T Œ bl% ƒa Tg 1 b b ŽŠ anvadreringsregelnanvändas? T Œ bl% ƒg 1 % g 1 % bm 6 b Œ Š vadreringsregeln T Œ ˆbl% ƒg 1 b 9

10 i i p o xempel Fatoruppdelauttrycet Lösning: 2 $1 2 $ 1 ŽŠ anfatoruppdelningenför 1 1 användas? Œ 1 $ 1 $ ]M % $y $ $ n (F $ $ Ö-5 Utvecla Ö-6 Förenla [1] $ [1] ] 9 [2] 6< [2] T nt [3] $1 [3] 6 m 5n 5n A5 Ö-7 Utecla Ö-8 Uppdela i fatorer [1] $ 1 [1] A [2] <T [2] 7 [3] T 1 [3] 5 J: [] ƒ : 1 Ö-9 Uppdela i fatorer Ö-10 Uppdela i fatorer [1] 2 $ $ [1] 1 [2] 2 n [2] $ ~ $ [3] W$e1S $ 1W$e [3] 2 1W$ Polynom; vadratomplettering Medettpolynom(i )menasettuttrycavformen där s s s tntbt 7 dbtntbt dw o allasoefficienterför sedbtbtbt d o m s säges varaavgrad tt vitigt begrepp är vadratomplettering i andragradspolynom(jämför detta med lösning av andragradseationer[17]) vadratompletteringen ges av: 9 % %B9 " 7 " xempel Bestäm(genom vadratomplettering) minsta värdet av Lösning: " 7 m " Š vadratomplettera Œ %B % 1 1 " J

11 b b 2 ftersom 1 š viletinträffardå föralla,medlihetomochendastom 1 1,insermanatt iœ Ÿž, Ö-11 vadratomplettera Ö-12 vadratomplettera [1] [1] 7 [2] < [2] [3] $ 2 $ [3] J: Aa [] $ $e [] m [5] m: $ $" [5] $e ~ $ ~ Ö-13 Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av: Ö-1 Bestäm största värdet av [1] m [1] < [2] < [2] [3] 7 [3] 12 Division av reella tal Bråräning nligtdefinitionenpåbråharförstagradsevationen % (anocsåsrivas 3T )för 7p bl% %œb Förortning och b % %Bb förlängning: (för b p Multipliation: Division, dubbelbrå: Addition, subtration: BS nämlligen r För bråräning gäller bla följande regler: % D ) b b b b % 3T b 3 b ( b % % % och % %œb % denentydigalösningen v ärejliamed (Alltförvanligtfelatttromotsatsen)mtex v,medan Potenser med negativa exponenter definieras som b,är 11

12 Definition s s 5u s varav följer u s s u ª xempel Förenlauttrycet: «Lösning: ] z e?? œƒl? l ƒl xempel Sriv 9" somettbrå(påsåenelformsommöjligt), Lösning: 9 Š Fatoruppdelanämnarna Œ 9 7" n 7 h%b Š Förlängdeoliabråen,såattdenyabråenfårsammanämnare Vi har minsta gemensamma nämnare D %5 %B 7 % 9 % Tn T 7 ] Œ n 7 %5 ] % 9 9 n 9 Tn 1 g 12

13 Anmärning: Man an ocså(i ovanstående exempel) först addera två av bråen och sedan till summan addera det tredje brået Genomför dessa räningar Ö-15 Beräna Ö-16 Beräna [1] 1 % J 1 1 [2] -3 [1] 1 [2] 3T5 [3]?=< 1 Ö-17 Sriv som potens av 2 Ö-18 Förenla [1] 3T5 [2] T253T [3] 2T ˆ3 1 [1] $ -3 $ o [2] T 1 ;: g -3 g [3] $e ~ 1 < ~ $ < ~ W$ -3< $ ~ Ö-19 förenla Ö-20 Förorta(om möjligt) [1] ]_3 [1] g-3ƒ [2] ] 3z [2] ƒ _3 g [3] ] 3z [3] 1 _3 1 [] ze 3 1 [5] ] 3z 1 Ö-21 förenla Ö-22 Lös evationen [1] 3-3 $ 3 $ _3 &" 3 $ $ [2] 3T 3T -3 3Tz3T [1] [2] 6< 9 T-3 g 3 ƒ 7 _36 Ö-23Srivsomettbrå(påsåenelformsom möjligt): [1] 3 3 " [2] _3 7" [3] 3 3 z : _3ƒ Ö-2Srivsomettbrå(påsåenelformsom möjligt): [1] 3 3 [2] 3ƒ 6 _3 [3] 7" _36 2 " _3ƒ 2 13

14 Rationella uttryc, Polynomdivision ttrationelltuttryc(i )ansrivaspåformen,där och ärpolynomoch p,dvs ejidentistnollmnugradtaletför ärstörreänellerliamedgradtaletför, an dividerasmed, så att gradtalet för restpolynomet ± blir mindre än gradtalet för Manfår ± r²,där ² allas votpolynom Polynomen ² och ± an bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm(se följande exempel) xempel Dividera 1mm -3 7 Lösning:Srivupptäljaren ochnämnaren stolen ): så långt som möjligt med trappan (eller liggande ± 3 ² 3 ² ± 7" ³² - 1 A " n _ Metod:Dividerahögstagradstermen 1 i medhögstagradstermen i, dvs bilda 1, som blir första termen i voten Multiplicera sedan hela nämnaren med och subtrahera från Fortsätt med att dividerahögstagradstermen irestenmedhögstagradstermeni,dvsbilda,somblirnästatermi Multiplicera och subtrahera som ovan Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ärsträngtmindreängradtaletför Svar: 1 n 7" 7 7 Ö-25 Dividera så långt som möjligt: Ö-26 Dividera så långt som möjligt: [1] " _3 [1] :a T-3 [2] _3 " [2] 1 _36 [3] 1 < 7" _3 [3] m g

15 : < µ µ b : < 13 Lineära evationssystem Vid lösning av evationer med flera obeanta söer man genom elimination saffa sig en evation,sominnehållerendastenobeantmanananvändasigavenavtvåmetoder substitutionsmetoden eller additionsmetoden För att illustrera, ges nedan ett exempel:(tecnet µ betyder om och endast om ) xempel Lös evationssystemet 8 7 < $ 7 $ =< Lösning: Metod 1[Substitutionsmetoden] Denförstaevationenger ƒ < $ _3,sommansätterinidenandraDåerhålles ^ƒ< $ _3 $ =< = < $ $ µ B$ µ y=2 Alltsåär ƒ < $ -3 Svar: = d $ ƒ _3 f,ochmanfårett Lösning: Metod 2[Additionsmetoden] Multiplicera(föratteliminera )bådaledenidegivnaevationernamed3resp och addera dem: :7 < $ : $ B$ Häravfås y=2,sominsattienavdegivnaevationernager = BS ontrollera alltid svaret genom insättning i de givna evationerna Anmärning:Denlineäraevationen f $ betyder geometrist en rät linje ttsystemavsådanaevationerharalltsåa)enb)ingenellerc)oändligtmånga lösningar beroende på om de räta linjerna är a) särande b) parallella(och olia) c) sammanfallande Ö-27 Lös evationssystemet Ö-28 Lös evationssystemet 9 $ 7 $ [1] 8 9 < $ [1] 8 :7 $ $ $ [2] 8 7 $ [2] 8 : $ [3] 8 7 $ < $ Ḩ¹ [3] 9 $ ~ 7$ ~ 9 $ ~ : 15

16 < < 1 Absolutbelopp DFINITIN 8 om qš om Alltsåär éš föralla ochom såär avståndetmellanpunterna och påtallinjen Geometristan º uppfattas som xempel nligtdefinitionenär &?=,ty xempel xvationen ansrivas,varförrötternaär och = xempel liheten anävensrivas =< 7,dvs = Studera tallinjen z, Ö-29 Bestäm Ö-30 Lös evationerna [1] < [1] [2] < [2] 7 <et»< [3] Ÿ: 2 [3] [] = t»< [] 7" 3T [5] : 2 [5] 7 [6] < Ö-31Angivutanabsolutbeloppde,somsatisfiera: är: Ö-32Sriv i utan absolutbelopp, om i [1] [1] 9¼ [2] ǵ½ [2] [3] [3] 7" ˆ [] ǵ½ [] e :7 15 vadratroten ur ett positivt reellt tal ftersom ¾%œ;š š DFINITIN förallareellatal harevationen reella lösningar endast om Med,där š, menas det ice-negativa, reella tal vars vadratär Alltsåär ] för š 16

17 BS för f xempelvisär B: (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) Avdefinitionenpå följervissaräneregler: ochinte 1 % och e3 3T > för och = 2 förallareella,varför % á% för š,alla 3 3 n3 för = 3 ] ]_3 8 3 ]_3 för och = och Àp Reglerna allas förlängning med onjugatuttryc(se exempel nedan) BSIallmänhetär p?= xempel Förenla > Lösning:?= nligträneregel2ovan,är >?= n alternativ lösningsmetod är > xempel Sriv med heltalsnämnare 1 eá Lösning: Förläng med onjugatet till nämnaren: ; < < Â <nƒ < < " <T < A< < xempel Förenla ) Á ) och ange definitionsmängd Lösning: ärdefinieratför qš¼,men 3 & endastför För är: Svar:För är ) Á ) 17

18 > > 8 µ Ö-33 Förenla Ö-3 Förenla [2] [1] A [1] [2] tj: :<T?f5 [3] > [3] 2 % 2 Ö-35 Förenla Ö-36 Sriv med heltalsnämnare: [1] 2T3 A : [1] 3 [2] 2 [2] 3 [3] < 5] < 5 [3] 3 : [] 52 < ƒ <-3= < [] [5] 3 [6] 3 : Ö-37 Förenla Ö-38 Förenla följande uttryc(och angiv definitionsmängd): [1] %,om h och = [1] 7 _3 9 [2] %,om och = [2] 6< _3 < [3] % 3T,om h och = [3] _3 [] % 3T,om och [] _3 1 [5] _3 1 [6] 3 9 [7] vationen harför = tvåoliareellarötter ÄÃ Å för š œd Man sriver BS Ã Ã men xempel vationen A xempel vationen D,dvs D,dvs 3A harrötterna Å sanarlösning,ty Àš T3T 18

19 Æ Æ b Æ Æ Æ 8 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ö-39 Lös evationen Ö-0 Lös evationen [1] [2] T [3] [1] " [2] 7" " [3] 7 D [] " [5] [6] A 16 Ice-reella tal omplexa tal vationen rötter: b d "Æ sanarreellarötterom b Däremot har den ice-reella(imaginära),där Æ Man an nu(något oegentligt) sriva: b à Šb baç b Æ xempel vationen r,dvs = harrötterna Å ræ = Æ,dvs ttomplexttalansrivspåformen enheten, som satisfierar evationen Æ Æ,där och ärreellataloch Æ ärdenimaginära xempel ]6 Š onjugatregeln Œ A Ö-1 Lös evationen Ö-2 Sriv på formen [1] =A [1] " [2] m D [2] ]6 [3] J: T< " [3] _36 [] f [] 3 " 3= [5] 5 m r Æ 19

20 ¹ Ï Ê Ê < Ê Æ 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom nadragradsevation cb r an,då Àp r,srivaspånormalform: * ¼É " nandragradsevationpånormalform, h fà ",anlösasgenomvadratomplettering: 7ËÊ *Ì Ê *Ì r µ Ên9 *Ì *Ì Alltsågälleratt: vationen m 9 D harrötterna Å Dessarötter och är ŽÍ Ì [1] Reellaocholia,om 3 [2] Reellaochlia,om 3 r [3] Ice-reellaocholia,om 3 BSm D,harevationen Î D enrot r,samtroten xempel Beränarötternatillevationen < Lösning: vationenansrivaspånormalform: 1 ",ochharrötterna Å <9 ŽÍ Alltsåärrötterna Ï xempel vationen : " Å <*Ì Ê < < < < <*Ì D har rötterna A < Í BS ontrollera alltid svaret genom insättning i den givna evationen T< < < <9 < 20

21 Ñ ~ Ö-3 Bestäm rötterna till evationerna Ö- Lös evationerna, dvs bestäm alla rötter: [1] : < r [1] 7: " [2] 9;: [2] 9 D [3] < D [3] < [] n [] ;: r (Sätthär [5] < D [5] [6] A " : D [7] : D Fatoruppdelning(av andragradspolynom) mevationen Ð = r harrötterna och,såanpolynomet Ð fatoruppdelas: ] Anmärning: m 3T,såär och ice-reellaochisåfallan 9 ej fatoruppdelasmedreellatal(därmotan ¾ c alltidfatoruppdelasmedomplexatal) xempel Fatoruppdela polynomet Ñ Lösning: får Å Lösdärförförstevationen ŽÍ J: ) r Man Rötterna är alltså 8 Alltsåär 3 n Ê 7 n *Ì,varför ]6 &r 21

22 d < < Æ Ö-5 Fatoruppdela(med reella tal): Ö-6 Angiv en andragradsevation med rötterna: [1] [1]1och = [2] : º [2] och ; [3] m [3] Æ och [] 2 2 [5] :9 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Sats Fatorsatsen m ärettpolynomi och Ò,dvsom är enrottillpolynomevationen Ó,såär en fatori,dvs %J där ärettpolynomavenenhetlägregradän xempel Lösevationen 1 Tnm T 5< D Lösning: fter prövning(av tex d edbtbtbt )finnermanatt ärenrot,ty T }T 5< Ë nligtfatorsatsenäralltsåpolynomet 1 Tn T h 5< delbartmed? " Division(avpolynom,se12)ger 1 n 9 5< 7" ] < Tredjegradsevaitonensövrigarötterfåsurevationen 5< alltså Å 1 : : 5< :,dvs och 1 Svar:vationenharfötterna, och 1 Tillägg: Viharalltsåfatoruppdelningen 1 n Ô 5< <Tn BS n tredjegradsevation har alltid tre rötter(lia eller olia) D Manfår D n 22

23 ) š Ö-7 Lös evationerna Ö-8 Fatoruppdela(med reella tal): [1] 1 2 r [1] 1 2 [2] 1 " [2] 1 [3] 1 ;: r [3] 1 ;: [] 1 m D [] 1 m Ö-9 Lös evationerna Ö-50 Fatoruppdela [1] r [1] 1 [2] D [2] 1 n [3] D [3] 1 : W$ $:T$ 19 liheter xempel Förvila är 1 n 5<? Lösning: lihetenansrivas 1 n T h 5< (Haalltidförvanaatt flytta över termer, så att ena ledet blir noll) nligt exempel ovan har vi fatoruppdelningen 9 n <Tn Tecenstudium ger nu: Svar: lihetengällerför xempel Förvila är 7" š )? Lösning: liheten an srivas 7" ochför < Õ,där 7 ] I Õ harviendastfatoruppdelattäljarentecenstudiumav ger nu: Svar: lihetengällerför = ½Ö ochför qš¼ BSDengivnaoliheten(isenasteexemplet)fårejsrivas 9" š,dvsolihetenfårej 23

24 Ú > 8 µ µ, š Ú à multiplicerasmed,ty anvaranegativt h  %œb } %Jb d Allmänt gäller att 8 h  %œb %Jb d om b om b Ö-51Förvila gällerföljandeoliheter? Ö-52Förvila gällerföljandeoliheter? [1] ¼ [1] 7" _3 š [2] ½ [2] 6 _3 ½ [3] Àš [3] 3 qš [] š [5] 1m: < [6] : ½ < Ø :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Med Ù Ú menasdenreella(ochpositiva,om Û jämnt heltal) roten till evationen s Alltsåär Ù Ú s,dvs Ú ] s Fördenvanligavadratrotengälleralltsåatt Ü för m definieras potensuttrycet Wu Ü s (medrationellexponent ƒû¾3 )genom u Ü s u Mananvisaatt u Ü s satisfierar(de allmänna) potens- och exponentiallagarna: Potens- och exponentiallagarna ) % + ) 3T + ) + g ) 3T ) ) v + ) + ) x + ) % ) ) 3T ) Anmärning: Denandralagengerspeciellt 3TN+ +,om D xempel Förenal Ý Lösning: g Þ Ý 6 % Ù, Ù Ý 6 ß, Ù Ý ß, x Ù Ý Ù à 2

25 ) ) ) ~ ~ [2] á [1]2Ü Ö-53 Förenla Ö-5 Förenla [1]à [2]Ù, A [3] TÜ1 [3]ß > 2 []A Ü %Aoá []à > «< [5]5T á ˆ3 á [5]ß Þ A > : Mananallmäntdefinierauttrycet)för9 ochallareella,såatt)satisfierarpotenslagarnaovan)allasforenpotensav,därallasbasoch exponentavspecielltintresseär den(naturliga) exponentialfuntionen)med basen edˆ25t2ätbtbt För allmänt)gäller bla att [1]) [2]Wo [3]i föralla föralla )ärväxande(förväxande)om,och avtagande(förväxande)om BS Man siljer på a) potensfuntioneni och b) exponentialfuntionen i ) Lösning: vationen ) % ) v ansrivas ) % ),varför ) ) D Lösning: Sätt Dåerhållesandragradsevationen ~T och ~ f Manfårnutvåfall: [1] ~ ger " f [2] är en orimlighet, eftersom ) Svar: D xempel Lösevationen ) % ) v xempel Lös evationen % 5,dvs ) % eller ~ " medrötterna ~ förallareellatal 25

26 ) $ µ µ $ $ ) ) ) ) 1 $ µ ) µ µ ) µ : t ) ~ Ö-55 Bestäm reella lösningar till Ö-56 Bestäm reella lösningar till [1] ) 2 [2] ) v ) [3] A ) 3T [] % ) v ) [5] ) v % ) : etâ< [1] ) ) D (Sätt [2] ) ) " D [3] ) % ) 2 D [] ) v A % ) r ) 111 Logaritmer Förtio-logaritmen IMã$ ochnaturligalogaritmen ILÄ$ gäller IMã$ ),för $ IMÄ$ r,för $ BSFöratt ILãT$ resp IMÄ$ sallvaradefinieraträvsalltsåatt $ IMã d ILã D tytex $ d IM Y " d IM IMã d ILã5$ Specielltär r Av formlerna ovan följer ocså diret att ILã och IL förallareella äÿåœæ= ž + och nä xempel IMã ILã^ T xempel IMã t ILã xempel IM IL Ü = xempel Lösevationerna [1] %JILw [2] % föralla $ 3 Lösning: [1] %JILw [2] % µ IMw t»< tâ< á D IL tâ<ç Dtè 26

27 t µ µ µ ) ä 1 ) µ Ê µ Ö-57 Förenla Ö-58 Förenla [1] ILã` T [1] IL [2] ILã [2] IL ß [3] 1 á äÿå [3] IL 3 [] o á ž äÿå [] ä ž á [5] Ö-59 Lös evationerna Ö-60 Bestäm reella lösningar till: [1] ILã " [1] [2] ILw [2] %5 [3] %JILãm [3] %5 ) " ) v [] ) < ) ;: r [5] %5 ) ) : Urpotenslagarnaanmanhärledaföljandelogaritmlagar(för $ och ~ Sats Avlag2följerspecielltatt BS IL $ ~ [1] IL $&% ~ ILÄ$IL ~ [2] IL +é ILÄ$ IM ~ [3] ILÄ$aê Ô%BILÄ$ Logaritmlagarna Motsvarandelagargällerocsåförtio-logaritmen, ILã IL ~ IL ~ ärinteliamed IMÄ$IL ~ (Mycetvanligtfelatttromotsatsen) : D ): gäller enligt logaritmla- xempel Lösevationen %JIMãm %BIMã Lösning: Föratt IMãT sallvaradefinieraträvsatt garna, att %JIMãT 2 %JIMã < µ ILã ILã 1 För < 5 < < ILã ty 2 Ì Svar: <3T< 27

28 Y Ö-61 Förenla Ö-62 Sö reella lösningar till evationerna [1] ILã 2 IMã 2 [2] IL 52 :%JIL %BIL [3] ILã 2 :%JILã [] IL 3TA IL [5] IL IM < IL A IL T [6] ILã t t»< IMã IMã` t»2 IMã [1] ILw7 %BIM IL < [2] IMãy IMã [3] IL " IMw 1 : IM [] IL IMl IM [5] IL " IL IL [6] ILã ƒ IMã 9 IMã 2 Trigonometri 21 Vinelmätning Vinlar an mätas i(delar av) varv, grader eller radianer Med 1 radian menas storleen av centrumvineln i en cirelsetor, där periferibågen är lia lång som cirelns radie(rita en figur) Sambandenmellandeoliaenheternaär: varv : œq Yz radianer Härav fås: QS3 2 Y radianer och 1radian= 2 3aQqç¼<etë Y (ftasrivermaninteutenhetenradian,utansrivertex A QS3 Y ) Ö-63 Bestäm grader och radianer för Ö-6 Bestäm grader och radianer för [1] 3 varv [1] 3 varv [2] 3T varv [2] =< varv(ritafigur) Ö-65 mvandla till radianer Ö-66 mvandla till grader [1] g< Y [1] QS3 : [2] < Y [2] `QS3T2 [3] : Y [3] TQì3 [] Y [] =<aq 28

29 í 22 Rätvinliga trianglar IenrätvinligtriangelärenvinelAY Qì3(radianer)menavdeövrigavinlarnaär,blir dentredjevinelnqs3,eftersomvinelsummanientriangelär2yä QVinelnQS3T allas omplementvineln till Den sida som står mot den räta vinlen allas hypotenusa och de båda övriga sidorna allas ateter För rätvinliga trianglar gäller Pythagoras sats: b Sats Pythagoras sats De trigonometrisa funtionerna definieras(för QS3T): DFINITIN -P ƒe3 b motstånendeatet _3 hypotenusa Zn\ 3 ^ b närliggandeatet -3 hypotenusa UWVT 3T motståendeatet _3 närliggandeatet Zn\ U 3T närliggandeatet _3 motståendeatet Härur fås: bl% _P dw %BUWVT dw UWVT Ÿž5ï îí ð ñ ï bl% Zn\ ^ % Zn\ U,samtatt ð ñóò ï Föromplementvinlen( Qì3 )gäller: -P QS3T Zn\ dnz]\ RQS3 ^ -P UWVT QS3 Z]\ U dnzn\ U RQS3 UWV Man erhåller ocså: Trigonometrisa ettan Sats _P Zn\ BS -P _P (Fås diret ur Pythagoras sats) _P % _P Ç -P ärejliamed -P 29

30 Y Y b A Y b ô ô Y ç 3 < < xempel Solveraenrätvinligtraingelmed t T< och ô Y (se figur), dvs bestäm de sidorochvinlarsominteärgivna Lösning: Vinlen õ Y ô : < 3 YNuär -P ô b, varför sidan t t ç et -P -P < të5t (-P < Y fås med ränedosa, ränestica eller ur tabell) Vidareär UWV e3 ô,varför e3 UNVT ç³ t tè :: ç : tè Svar: õ : < d b ç¼ et,och wç : të (längdenheter) xempel Bestäm -P och Zn\,om UWVT 53< QS3T och Lösning: Ritaenrätvinligtriangelmedateterna och nligt Pythagoras sats är hypotenusan då < T varför -P dnz]\ ^ Dåär UNVT T 53T< Ö-67 Solvera följande rätvinliga trianglar(betecningar enligt figur ovan): [1] b t : och ô Y [2] t och t [3] t 5< och õ [] t»< och õ Y [5] et»< och b t»< [6] et» och ô QS3T Ö-68 Bestäm(för ) exata värdet av: [1] Z]\ och UNVT,om -P 3T (Ledning: Ritaenrätvinligtriangelmed och b ) [2] -P och UWVT,om Zn\ 3T [3] -P och Zn\ ^,om UWVT <3 [] -P och Zn\ ^,om Zn\ U të D 30

31 Vi härleder nu de trigonometrisa funtionernas värden förg<yd:yochty(m man inte an dessa värden utantill, måste man snabbt unna göra en härledning) För och,samthypotenusanb g<y QS3ärdenrätvinligatriangeln(figur1ovan)enhalvvadratDåärateterna,varför: _Pg<Y _P Q Z]\g<Y Z]\Q UNVTg<Y UNVT Q Z]\Ug<Y Z]\UQ För :Y QS3 n andenrätvinligatriangelnuppfattassomenhalvlisidigtriangel(figur2ovan)(ienlisidigtriangelärallavinlarnaliamed:y,varförvinlarnaienhalv lisidig triangel är:ydwayochy) Alltså är hypotenusanb T och Pythagoras sats ger,varför: För _P`:Y -P Q Z]\:Y Z]\Q UNVT`:Y UNVT Q Z]\U:Y Z]\UQ Y Qì3:erhållesunderbetratandeavsammafigursomför:Y: 31

32 : Y Q Q Q Q í _P Z]\ UNVT Z]\ U Y Y Y Y -P Z]\ UNVT Z]\ U : : :º : ty -P TY=(motsåendeatet)/(hypotenusan)= 3T 3 osv Ö-69 Bestäm exata värdet av Ö-70 Förenla [1] Zn\ [2] ƒz]\ Y [3] UNVT(: Y UWV Y Y -P _3ƒZ]\ Zn\ Y Y _3 UNVT g< Y -P : TY -P TY [1] ð ñ Ü %B Ÿž Ü 1 í ëö»ö (Ledning: använd potenslagarna) [2] òl ž Ü %B ð ñ Ü ëö í ëö [3] Ÿž Ü v ð ñ Ü 1 3 òø ž Ü v ð ñóò Ü í»ö í ëö ëö»ö 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar n vinel ränas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen ränat frånpositiva -axeln Antag,att d $ ärenpuntpåenhetscireln,varsevationär ;$ De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar definieras genom: 32

33 d 8 8 $ Q d p p 3 DFINITIN -P Zn\ UWVT Zn\ $ 3 för p dó r dvs 3 $ för $ p dù D dvs QS3T ; QS QS QS3 Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för, dvsför d $ (Ritafigur)ftersom -P $,är _P positivtförvinlariförstaochandra vadratenochnegativtitredjeochfjärdelinandereglerför Z]\ d UNVT dnz]\ U: Av definitionerna ovan följer diret att Sats [1] UNVT _P 3mZn\ ^ 3mZ]\ U och Zn\ U Z]\ _P 3 UWV [2] ½ -P ½¼ och ½ Z]\ ^ ½¼ Š förallavinlar Œ [3] _P D _P QS3T d _P Q r _P Qì3 d -P aq D [] Z]\ dnz]\ QS3 dnzn\ dnz]\ QS3T dnz]\ aq D " [5] _P -P F% aqs och Zn\ Z]\ ^ F% aqì,förvarjeheltal [6] _P Zn\ [Trigonometrisa ettan] 33

34 8 3 3 Q Q xempel Bestämexat: Z]\ ƒ5aqs3 : ) Lösning: Z]\ ƒ5aqs3 : Zn\ Qì3 : % aqs xempel Bestäm -P och Zn\,om Zn\ U Lösning: Medhälpavformeln Zn\ U Zn\ ^ Svar: _P samt triogometrisa ettan får man evationssystemet Zn\ ( -P Zn\ _P Zn\ RQS3 : och QS3 3T med lösningar 8 ftersom liggeriandravadranten,där Zn\ ^ och _P Z]\ =3 < ^ och _P 3 < Ö-71 I vilen vadrant hamnar följande vinlar? Ö-72 Bestäm exat [1] TQS3T [1] Zn\ Q [2] Y [2] -P aqs3 [3] < QS3 [3] -P TQS3g [] aqs3 : [] Zn\?=TQS35 [5] Y [5] UWV?fAQS3ag [6] Qì3T [6] Zn\ U? QS3T5 Zn\ -P ³ú T3 < 3g <,fås Ö-73Visaatt [1] 3mZn\ [2] 3 -P Ö-7Visa(förgodtycligaheltal )att UNVT [1] -P ` Q Zn\ U- D [2] Zn\ Q? s [3] -P 6 Ô QS3Ta [] Zn\ M Ô" QS3œ D s Ö-75 Bestäm exat Ö-76 Beräna exat [1] _P och UNVT,om Zn\ 53 och QS3 aq [2] Z]\ ^ och UWVT,om _P të û andra vadranten [3] -P och Zn\ ^,om QS3T UWVT [] -P och UWVT,om Zn\ ^ 3 och äri,och Q [1] -P Zn\ ^,om QS3T UWVT [2] _P Zn\ ^,om Zn\ U [3] UWVT Zn\ U,om _P Qì3 œq g3t och =3 och QS3T fa53 g<,och 3

35 2 Några enla 8trigonometrisa Z]\ _P Zn\^ _P formler 8 UNVT? UNVT _P Q¾ Z]\U ÀZ]\U -P Z]\ Q¾ qzn\ Sats 8 Z]\RQS3 _PRQS3= Zn\^ -P 8 UWVT QS3 Zn\U QS3= UNVT Z]\U 8 _P Z]\ QS Qì ÀZn\( _P 8 UWVT QS UWV Zn\U QS Z]\U Dessa formler an härledas med hjälp av spegling(se lärobo från gymnasiet) 35

36 Ê Ê Ê Q Ê xempel Bestäm Zn\ 6<aQS3 : Lösning: <œqs3 : liggeriandravadrantenanvändformeln Zn\ ÀZn\ Q Vifåralltså Z]\ <aq : Ì ÀZ]\ Ê Q¾ <aq : Ì ÀZ]\ : Ì xempel _P 5<aQ Ì -P Ê :% aq¾ Q Ì _P Ê Q Ì _P Q Ì Ö-77 Bestäm exat Ö-78 Bestäm exat [1] -P?`QS3g [1] -P Y [2] -P 6<aQì3 : [2] Zn\ Y [3] UWVT?`QS3T5 [3] -P? < TY [] Zn\ 6<aQì3g [] UWV Y [5] Zn\?=aQS3 : [6] UWVT 6aQS35 Ö-79 Bestäm exat Ö-80 Visa(utgående från formlerna ovan) att [1] -P œqs3t5 [2] UWVT 6<aQì3g [3] Zn\ 6< QS3T5 [] Zn\ U? Qì3T5 [1] UWV Q¾ [2] Zn\ U Q¾ Av formlerna ovan(i detta och föregående avsnitt) erhålles: Sats (1) _P -P hµ Ð% œq Q Ð% aq (2) Z]\ ^ Z]\ ^hµ Ð% aq Ð% aq eller eller UNVT ÀZ]\ U (3) UNVT UNVT hµ Ð% Q Isamtligaformlerovanär ettgodtycligtheltal 36

37 8 8 8 < % % % % ~ xempel Lös evationen -P Lösning: Qì3 nlösning är : Formel[1]ovanger _P Q tâ<, dvs bestäm alla vinlar som satisfierar evationen,ty -P?`QS3 : -P?`QS3 : -P QS3 : `QS3 µ : 3 Q Ql{ Qì3 eller : Svar: Qì3 : Q eller aqs3 :` Q,där ärettgodtycligtheltal Ö-81 Lös evationerna Ö-82 Lös evationerna [1] -P 3T 53T [1] -P [2] Zn\ ^ 3 [2] Zn\ 3 (Sätt < [3] UWVT [3] UWV Ö-83 Lös evationerna Ö-8 Lös evationerna [1] Zn\ Z]\ ^ [2] -P _P [3] UWVT UWV [] Zn\ _P [1] yzn\ [2] mzn\ [3] -P [] UWV "ü) Z]\ ^ (Sätt Z]\ ^ _P UNVT1 UWVT ) 25 Additions- och subtrationsformler Följande formler måste unna utantill eller unna härleda: Sats _P _P _P _P % Zn\ % Z]\ ^ ^ Zn\ Z]\ ^ ^ _P _P Z]\ Z]\ Z]\ Zn\ ^ ^ % Z]\ % Zn\ ^ ^ _P _P -P -P UNVT UNVT UWVT UNVT UWV UNVT _3 UNVT -3 zuwv %nunvt %BUWV BS -P ärinteliamed -P _P (alltför vanligt fel att tro motsatsen) 37

38 Y Y 8 8 % Q þ xempel Härledformelnför Zn\ Lösning: Zn\ Q _P Z]\ ^ % Z]\ utgående från formeln för _P Q Q -P cý óþ -P ÿý Q % Zn\ Zn\ ^ % -P ^ _P -P Ö-85Härledformelnför Ö-86Bestäm UNVT [1] -P utgående från formeln för -P [1] UWV 3 d UWVT _ (Ledning: [2] UNVT från formlerna för -P och [2] Zn\ UWV ed UNVT [3] UWVT frånformelnför UWVT Ö-87 Beräna exat Ö-88 Bestäm _P [1] -P < Y [Ledning: < g< [2] Zn\ T< [3] UWVT T<,om 3,om [1] -P 3Ted 3 -P och befinner sig i första vadranten 3T<ed 53< [2] -P -P och QS3T 26 Formler för dubbla resp halva vineln -P Zn\ % -P Zn\ % Z]\ ^ _P % Zn\ % _P -P ï Zn\ ï Zn\ Z]\ ^ ^ 38

39 attzn\ [1]Zn\ Ö-89 Härled Ö-90 Antag 3T Bestäm exat [1] formlerna förzn\ [2]-P dubbla vineln från additionsformlerna [3]-P3T []UWV3 [2] formlerna halva vineln från lämpliga formler Ö-91Bestämexat Ö-92Antagatt_P 53 ochatt [2]-P QS325 [1]-P<Y [1]-P QS3T [2]Zn\ Bestäm exat [3]UWVTTedˆ<Y [3]Zn\ 3 Plan analytis geometri 31 Avståndet mellan två punter Avståndet mellan två punterd$ochd$i ett > $ $ beränas med avståndsformeln(rita en figur): Avståndsformeln vanligt(ortonormerat) oordinatplan an Avståndsformlen bygger på Pythagoras sats [1]6edoch dˆ<t Ö-93 Bestäm avståndet mellan(och rita en figur) [3]? []?=edbf5ochdb= doch dbf5 [2]dn och origo [1]6dW5ochƒd Ö-9 [2]ƒ dw5ochdn Bestäm en punt på-axeln, som ligger lia långt från punterna 39

MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex

MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga 10000 ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola 12 96

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik 2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Proppteori Komplement till propplektionerna

Proppteori Komplement till propplektionerna Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m Problem. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är inte transversella, utan vattnet rör sig i cirklar eller ellipser. Våghastigheten beror bland annat på hur djupt vattnet är. I grunt vatten

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Variansjämförelse av excess-of-loss-kontrakt med och utan aggregerat självbehåll

Variansjämförelse av excess-of-loss-kontrakt med och utan aggregerat självbehåll Matematis statisti Stocholms universitet Variansjämförelse av excess-of-loss-ontrat med och utan aggregerat självbehåll Sabina Jusupovic Examensarbete 003:9 Postadress: Matematis statisti Matematisa institutionen

Läs mer

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 I ämnesplanen för grundskolans matematik har tidigare ering markerats om det är Matematik eller en högre kurs eller momentet

Läs mer

KOMBINATORIK. Multiplikationsprincipen

KOMBINATORIK. Multiplikationsprincipen KOMBINATORIK How to count without counting. Mar Kac In some cases, theanswermaybenothingmorethan a matter of common nowledge In other cases, the answer may require technical information. But our concern

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Vakuumpumpar/-ejektorer Large

Vakuumpumpar/-ejektorer Large P6040 Tekniska data Vakuumflöde Patenterad COAX teknologi. Trestegs COAX cartridge MIDI Välj en Si cartridge för extra vakuum flöde, en Pi cartridge för högt flöde vid lågt drivtryck och Xi cartridge om

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Rederiet Sealine AB har undersöt specialfartygsmarnaden under senaste året för 700 000 r och funnit en lämplig fartygsstorle, som det an tecna ontrat på. Vid

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Kapitel Grafer för koniska sektioner

Kapitel Grafer för koniska sektioner Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 14-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Beräkningsmodell för anslutning av vindkraftverk till elnätet

Beräkningsmodell för anslutning av vindkraftverk till elnätet Högsolan på Gotland Wind Power Technology Vårterminen 2007 Beräningsmodell för anslutning av vindraftver till elnätet Daniel Asplund 16 mars 2007 Sammanfattning Nya vindraftsanläggningar planeras på en

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012 Överbryggningskurs i matematik del I Teknik och Samhälle 0 Malmö 0 Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

5Genrepet. Mål. Arbetssätt K 5

5Genrepet. Mål. Arbetssätt K 5 Genrepet Mål I det här kapitlet får eleverna möjlighet att repetera och reparera grunderna i grundskolans matematik. apitlet är indelat i se avsnitt: Tal Bråk och procent Geometri Algebra Statistik och

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt.

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt. Föreläsning 9 0 Huvudplan Önskan: Tänk om alla optiska system vore tunna linser så att alltid gällde! Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill

Läs mer

Driftskostnader -150 tkr

Driftskostnader -150 tkr Uppgift övning I4: Uppgift nr 1 Bima AB Bima AB tär öppna en biltvättanläggning och har därför öpt in en anläggning som är installerad och färdig att tas i drift vid årssiftet. Följande gäller för biltvättanläggningens

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Kap 6 Partikelns kinetik

Kap 6 Partikelns kinetik 6.1 Histori, grundläggande lagar och begrepp 6.13 Använd resultaten i 6.1 a) och c). 6.6 Uttryc noralaccelerationen för en planet i dess banradie och oloppstid. Kraften är uttryct i banradien = avståndet

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p) Problem Energi. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (p) b) Ge en tydlig förklaring av hur frekvens, period, våglängd och våghastighet hänger

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 2005. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Matematik 3000 kurs A

Matematik 3000 kurs A Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs A Innehåll Kursöversikt...4 Vad skall du kunna efter Matematik kurs A?...5 Så här jobbar du med boken...6 Studieenhet Arbeta med tal...7 Studieenhet Procent...12

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 234 lottnummer 1.000 kronor vardera:

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 234 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 04-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Riktlinjer för rapportering av räntestatistikblankett MIR

Riktlinjer för rapportering av räntestatistikblankett MIR (5) Ritlinjer för rapportering av räntestatistiblanett MIR (200-09-30) 2 2(5) Innehållsförtecning sida Posternas innehåll... 3. Referensperiod... 3.2 Löptidsfördelning av utlåning... 4.3 Definition av

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 4, 94 Årgång 4, 94 Första häftet 47. Om en triangels hörn speglas i motstående sidor, bilda spegelbilderna en liksidig triangel. Beräkna den ursprungliga triangelns vinklar. 48. Att konstruera

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 12-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Välkommen till studier i Matematik kurs C

Välkommen till studier i Matematik kurs C Innehåll Välkommen till studier Matematik kurs C...2 Studietips...2 Kursens uppläggning och mål...5 Examination...6 Kursmaterial...7 Webbtips...8 Litteraturtips...8 Övrigt om kursen...10 Problemlösning...11

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Är talet a) 5 ett heltal b) 9 ett naturligt tal c) π ett rationellt tal d) 5 ett reellt tal 6 2 Rita av figuren och placera in talen rätt talmängd. naturliga tal hela tal rationella

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su.

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su. Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ê ÔÖÓ Ð Ö Ö Ö Ò ÓÐ Ú Ö Ä Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½ ostadress: Matematis statisti Matematisa institutionen Stocholms universitet 106 91 Stocholm Sverige Internet: http://www.math.su.se/matstat

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Laboration 1. "kompilera"-ikonen "exekvera"-ikonen

Laboration 1. kompilera-ikonen exekvera-ikonen Programmerade system I1 Syfte Laboration 1. Syftet med denna laboration är dels att göra dej bekant med de verktyg som kan vara aktuella i programmeringsarbetet, dels ge en första inblick i att skriva

Läs mer

Faktorer som påverkar aktiefondsparandet

Faktorer som påverkar aktiefondsparandet Kandidatuppsats vårterminen 2006 Nationaleonomisa institutionen EKONOMIHÖGSKOLAN VID LUNDS UNIVERSITET Fatorer som påverar atiefondsparandet en studie av fem grupper fondsparare på den svensa atiefondsmarnaden

Läs mer

Uppföljning av Ky- och Yh-utbildning 2011

Uppföljning av Ky- och Yh-utbildning 2011 Uppföljning av Ky- och Yh-utbildning 2011 Tenis rapport 2011-11-28 1(9) Inledning Enheten för statisti om utbildning och arbete vid Statistisa centralbyrån (SCB) genomförde under hösten 2011 en postenät

Läs mer

Låt oss tillsammans se till att vi blir många fler

Låt oss tillsammans se till att vi blir många fler B L L f ö j öj Ä I! D V y 2014 Fö,! D ö! E V, f E Kf D E f j P ö Ry öj, ö B! Fö ö D 200 j ö, 31 A Dö f F L j y ö-f, Ky, L ff f f MUF A jö f V ö, M f, f f ö f f! P,, f ö j f, ö j j L-I Lj Fö LAR-INGVARLJUNGMAN@VELLINGEE

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A Detta är en något omarbetad version av Studiehandledningen som användes i tryckta kursen på SSVN. Sidhänvisningar hänför sig till Quanta A 2000, ISBN 91-27-60500-0 Där det har varit möjligt har motsvarande

Läs mer

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska

Läs mer

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Arbetsutvecklingsrapport

Arbetsutvecklingsrapport Arbetsutveclingsrapport Vad tycer bruarna? Den andra länsgemensamma bruarundersöningen för personer med insatsen bostad med särsild service enligt LSS Författare: Eva Rönnbäc Rapport: nr 2011:7 ISSN 1653-2414

Läs mer

Gör Din egen kurvkatalog

Gör Din egen kurvkatalog 86 Gör Din egen kurvkatalog Hans Riesel KTH Krav på utrustning. För denna uppgift måste du ha tillgång till en grafisk dataterminal, så att Du kan rita kurvor på dataskärmen. Du behöver inte ha tillgång

Läs mer

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erion hans heikne Matematik 5000 Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur NATUR & KULTUR Bo 27 323, 02 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion:

Läs mer

Laboration 1. "kompilera"-ikonen "exekvera"-ikonen

Laboration 1. kompilera-ikonen exekvera-ikonen Syfte Laboration 1. Objektorienterad programmering, Z1 Syftet med denna laboration är dels att göra dej bekant med de verktyg som kan vara aktuella i programmeringsarbetet, dels ge en första inblick i

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

Karlstads universitet Tel 202 Elkraftteknik och kraftelektronik Bilaga 3 Avd. för elektroteknik Asynkronmotorn 1(12) Asynkronmotorn

Karlstads universitet Tel 202 Elkraftteknik och kraftelektronik Bilaga 3 Avd. för elektroteknik Asynkronmotorn 1(12) Asynkronmotorn Karltad univeritet Tel 0 Elraftteni och rafteletroni Bilaga Avd. för eletroteni Aynronmotorn 1(1) Aynronmotorn Namn: Godänd laboration: Syfte Du all underöa egenaperna ho en trefa aynronmotor. Underöningen

Läs mer