MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola
|
|
- Åsa Lindqvist
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 MATMATI ort förberedande material för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis formgivning: Lennart Jörelid halmers tenisa högsola
2 Till dig som söer till högre tenis utbildning Somduvetförutsätterstudieritenisaämnengodaunsaperimatematinstordelav det första året ägnas därför åt grundläggande matematisa ämnen Goda resultat i de teoretisa ämnena under första studieåret öar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna Det första läsåret vid en högsola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna Har man dålucorigymnasiematematien,andetblirättarbetsamtmduinteärsäerpåattduredan har mycet goda unsaper i matemati, gör du lot i att förbereda dig ordentligt genom att repetera gymnasieursen och läsa in avsnitt som du anse tidigare försummat Hurgörjagdå? Till hjälp får du detta ompendium Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer Arbeta igenom det så grundligt, att du behärsar de olia avsnitten De många övningsexemplen ger dig möjlighet till nyttig räneträning I början av ompendiet finns dessutom ett diagnostist prov och i slutet en provräning med blandade uppgifter ompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier Ta avsnitten i den ordning du själv finner lämplig n metod är att först räna alla[1] och[2]-uppgifterna(ompendiet rat igenom) Sedan alla[3]-uppgifterna osv Har du bra betyg i matemati från gymnasiet och tror dig unna gymnasieursen gansa bra, an du försöa dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift(uppgifterna är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad) Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, tex logaritmer, trigonometri eller derivering med hjälp av edjeregeln, an du i första hand oncentrera dig på dessa Det väsentligaärattduränar(mindreväsentligtärvadduränar)sulleduörafastpånågra uppgifter an du eventuellt få hjälp per telefon(se bilaga Upplysningar inför terminsstarten) tt syfte med ompendiet Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är att nötainvissaformler,somduansevaritvanatthittaienformelsamlingpåtentamenvidde tenisa högsolorna ommer du inte att ha formelsamlingen till hands Försö därför att lara dig utan, när du löser övningsexemplen unsapsontroll? Du ommer inte att avrävas redovisning av de här repetitionsövningarna Däremot ommer du snart att mära, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högsolestudierna inleds med en repetitionsurs i matemati Lyca till Med Hälsningar från de Tenisa Högsolorna ii
3 Tillägg av författaren I detta ompendium behandlas i huvudsa de moment, som matematilärare vid tenisa högsolor ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematien Den nuvarande gymnasieursen i matemati är gemensam för alla solor i landet, men olia solor och lärare betonar anse vissa delar mer eller mindre start Därför an några delar av ompendiet vara mer(eller mindre) välbeanta för dig Tips: Hoppa över avsnittet 3 om ellipser mm, ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasieurs bservera ocså att ompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematien i delarnaa,b,ochd,sombruargenomgåsdetvåförstaårenpågymnasietdäremotrepeteras vanligen del (med bla tillämpning av integraler och differentialevationer), samt en eventuell, frivillig del F, i samband med de ordinarie matematiurserna på de tenisa högsolorna Lyca till Rolf Pettersson Årets utgåva av Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är en grafist bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsa masinsrivet, original Jag har i samråd med författaren försöt ge häftet en så lättöversådlig och pedagogis utformning som möjligt, utan att förändra dess sainnehåll nämnvärt ftersom jag själv är tenolog vid F-setionen på halmers och därmed onfronterats en del med tenis urslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en utformning som i så hög grad som möjligt linar tenologens vardagslitteratur detta för att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tenisa Högsolornas ttgottrådär dessutomatt verligenförsöaläggaundanminiränarendåduränardigi igenom häftet nligt min egen erfarenhet, var detta en av de verligt givande poängerna med att repetera gymnasiets matemati Förståelsen för de grundläggande tenisa matteurserna öar enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i ryggmärgen Lyca till Lennart Jörelid iii
4 Innehåll DIAGNSTIST PRV 5 1 Algebraisa räningar 7 11 Addition,subtrationochmultipliationavreellatal 7 12 DivisionavreellatalBråräning Lineäraevationssystem 1 1 Absolutbelopp vadratrotenurettpositivtreellttal Ice-reellatalomplexatal AndragradsevationerFatoruppdelningavandragradspolynom Fatorsatsenvationeravstörregradtaläntvå liheter :terotenurettreellttalallmännapotenser Logaritmer 25 2 Trigonometri Vinelmätning Rätvinligatrianglar Detrigonometrisafuntionernaförgodtycligavinlar 31 2 Någraenlatrigonometrisaformler 3 25 Additions-ochsubtrationsformler Formlerfördubblaresphalvavineln 37 3 Plan analytis geometri Avståndetmellantvåpunter Rätalinjen ireln 1 3 llipsen,hyperbelnochparabeln 2 Funtionslära 1 Inledning 2 Derivatansdefinition 5 iv
5 3 nla deriveringsregler Deelementärafuntionernasderivator 6 Sammansattafuntioneredjeregeln 8 5 Tangentochnormaltillenurva 51 6 Maximi-ochminimiproblem 52 PRVRÄNING(Blandade exempel) 5 FAIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTRNA 56 Facittilldetdiagnostisaprovet 69 Facittillprovräningen(blandadeexempel) 69 v
6 A DIAGNSTIST PRV (Lämplig tid: cira 2 timmar) (Svar finns på sista sidan i ompendiet) [1] Förenla [2] Lös evationen " [3] Förenla så långt som möjligt: $&%('*) +-, ' ) / )0 / + 0 [] Förorta(ommöjligt)iuttrycet [5] Dividera(medpolynomdivision)sålångtsommöjligt 6 1 " [6] Lös evationssystemet 8 [7] Bestämexat >? : 9;: $ 9 $ 5 A [8] Bestäm rötterna till evationen [9] Förvila gälleroliheten =< %B F G D H 3 %JIL A IM 3 : [10] Förenla HN IM 1-3 IL 3 [11] Angiv exata värdet av -P RQS3T 5 UWVT RQS3 : (samt förenla) [12] Bestämallavinlar mellan Y och H [Z]\ : ^ Y som satisfiera HN _P 3 3 [13] [a]ienrätvinligtriangelärsinusförenvinelliamed2/3ochdenmotdennavinel stående sidan är 3 längdenheter Bestäm hypotenusans längd exat [b]sammauppgiftsomovan,omiställettangensförvinelnär2/3 [1] Bestäm UNVT exat,om UWV ` 3a [15] Angivpåformen = $`cb " enevationförrätalinjengenompunterna edb f 5 och d 6
7 i [16] vationen gh$ : betyder geometrist en cirel(i ett ortonormerat system) Bestäm medelpunt och radie [17] Bestäm derivatan ij (och förenla den), om < [18] Bestäm i j,om i ), 3 D [19] Bestämpåformen $b denpuntpåurvan,där [20] Bestämdetstörstavärdesom i 1 ) D enevationförtangententillurvan $ _P l7 mzn\ anantaförreella 1 i 7
8 1 Algebraisa räningar 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal För reella tal gäller bla följande enla räneregler: & f & & & f l = %? f g Jd ty? %? Man definierar potenser med heltalsexponenter som: 5o för qp dn r % osv s % ftbtbt- ^d dvsprodutenav stycenfatorer Varav följer Potenslagarna u % s uw s g s uv s 5uyx s s s ftersom? och z h & {,sågälleratt y { ovs För att förtydliga ges nedan några exempel: { dj y { 1 & { 1, xempel xempel 5 T " T b 6T b & Tl } b T b 5 T T ;bm Tl b & b $ W~ 1 %? = $ 1 $ ~ %? f25 %n W$ 1 f2 o $ ~ 8
9 Š Ö-1 Förenla Ö-2 Beräna [1] A $ :a ~ $ A 9 ~ $ [1] [2] z"6t b [2] 1 [3] b "6T b "ƒl b T [3]?f5 []?= 1 [5]? g o Ö-3 Förenla Ö- mforma(genom att multiplicera ihop parenteserna) [1] g 1 % 2g [2] 6<T5 W [3] 1W$ % $e-( % $ []?= W$1 ~ 1z% ~ y%? 1ˆ$ Följande vitiga formler bör man unna utantill: ƒ VADRRINGSRGLRNA ] ƒ Tg UBRINGSRGLRNA NJUGATRGLN ƒ ] 1 ƒ 1 &]] FATRUPPDLNINGARNA BS dw g xempel Utvecla 6 7 ~ 1 och g [1] n [2] 7" ] 1 [3] " n6 1 T g 1 1 g 1 ]]] &] nƒ g an ej fatoruppdelas med reella tal Lösning: 9 ~ 1 Š uberingsregelnmed och ~ BŒ 1 % z% ~ % {% ~ ƒ ~ : ~ m < ~ ~ xempel Fatoruppdelauttrycet 2 b 1 1ˆbˆ 2 Wbˆ1 Lösning: 2T b b 2T b 1 ŽŠ allagemensammafatorerbrytsut T Œ bl% ƒa Tg 1 b b ŽŠ anvadreringsregelnanvändas? T Œ bl% ƒg 1 % g 1 % bm 6 b Œ Š vadreringsregeln T Œ ˆbl% ƒg 1 b 9
10 i i p o xempel Fatoruppdelauttrycet Lösning: 2 $1 2 $ 1 ŽŠ anfatoruppdelningenför 1 1 användas? Œ 1 $ 1 $ ]M % $y $ $ n (F $ $ Ö-5 Utvecla Ö-6 Förenla [1] $ [1] ] 9 [2] 6< [2] T nt [3] $1 [3] 6 m 5n 5n A5 Ö-7 Utecla Ö-8 Uppdela i fatorer [1] $ 1 [1] A [2] <T [2] 7 [3] T 1 [3] 5 J: [] ƒ : 1 Ö-9 Uppdela i fatorer Ö-10 Uppdela i fatorer [1] 2 $ $ [1] 1 [2] 2 n [2] $ ~ $ [3] W$e1S $ 1W$e [3] 2 1W$ Polynom; vadratomplettering Medettpolynom(i )menasettuttrycavformen där s s s tntbt 7 dbtntbt dw o allasoefficienterför sedbtbtbt d o m s säges varaavgrad tt vitigt begrepp är vadratomplettering i andragradspolynom(jämför detta med lösning av andragradseationer[17]) vadratompletteringen ges av: 9 % %B9 " 7 " xempel Bestäm(genom vadratomplettering) minsta värdet av Lösning: " 7 m " Š vadratomplettera Œ %B % 1 1 " J
11 b b 2 ftersom 1 š viletinträffardå föralla,medlihetomochendastom 1 1,insermanatt iœ Ÿž, Ö-11 vadratomplettera Ö-12 vadratomplettera [1] [1] 7 [2] < [2] [3] $ 2 $ [3] J: Aa [] $ $e [] m [5] m: $ $" [5] $e ~ $ ~ Ö-13 Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av: Ö-1 Bestäm största värdet av [1] m [1] < [2] < [2] [3] 7 [3] 12 Division av reella tal Bråräning nligtdefinitionenpåbråharförstagradsevationen % (anocsåsrivas 3T )för 7p bl% %œb Förortning och b % %Bb förlängning: (för b p Multipliation: Division, dubbelbrå: Addition, subtration: BS nämlligen r För bråräning gäller bla följande regler: % D ) b b b b % 3T b 3 b ( b % % % och % %œb % denentydigalösningen v ärejliamed (Alltförvanligtfelatttromotsatsen)mtex v,medan Potenser med negativa exponenter definieras som b,är 11
12 Definition s s 5u s varav följer u s s u ª xempel Förenlauttrycet: «Lösning: ] z e?? œƒl? l ƒl xempel Sriv 9" somettbrå(påsåenelformsommöjligt), Lösning: 9 Š Fatoruppdelanämnarna Œ 9 7" n 7 h%b Š Förlängdeoliabråen,såattdenyabråenfårsammanämnare Vi har minsta gemensamma nämnare D %5 %B 7 % 9 % Tn T 7 ] Œ n 7 %5 ] % 9 9 n 9 Tn 1 g 12
13 Anmärning: Man an ocså(i ovanstående exempel) först addera två av bråen och sedan till summan addera det tredje brået Genomför dessa räningar Ö-15 Beräna Ö-16 Beräna [1] 1 % J 1 1 [2] -3 [1] 1 [2] 3T5 [3]?=< 1 Ö-17 Sriv som potens av 2 Ö-18 Förenla [1] 3T5 [2] T253T [3] 2T ˆ3 1 [1] $ -3 $ o [2] T 1 ;: g -3 g [3] $e ~ 1 < ~ $ < ~ W$ -3< $ ~ Ö-19 förenla Ö-20 Förorta(om möjligt) [1] ]_3 [1] g-3ƒ [2] ] 3z [2] ƒ _3 g [3] ] 3z [3] 1 _3 1 [] ze 3 1 [5] ] 3z 1 Ö-21 förenla Ö-22 Lös evationen [1] 3-3 $ 3 $ _3 &" 3 $ $ [2] 3T 3T -3 3Tz3T [1] [2] 6< 9 T-3 g 3 ƒ 7 _36 Ö-23Srivsomettbrå(påsåenelformsom möjligt): [1] 3 3 " [2] _3 7" [3] 3 3 z : _3ƒ Ö-2Srivsomettbrå(påsåenelformsom möjligt): [1] 3 3 [2] 3ƒ 6 _3 [3] 7" _36 2 " _3ƒ 2 13
14 Rationella uttryc, Polynomdivision ttrationelltuttryc(i )ansrivaspåformen,där och ärpolynomoch p,dvs ejidentistnollmnugradtaletför ärstörreänellerliamedgradtaletför, an dividerasmed, så att gradtalet för restpolynomet ± blir mindre än gradtalet för Manfår ± r²,där ² allas votpolynom Polynomen ² och ± an bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm(se följande exempel) xempel Dividera 1mm -3 7 Lösning:Srivupptäljaren ochnämnaren stolen ): så långt som möjligt med trappan (eller liggande ± 3 ² 3 ² ± 7" ³² - 1 A " n _ Metod:Dividerahögstagradstermen 1 i medhögstagradstermen i, dvs bilda 1, som blir första termen i voten Multiplicera sedan hela nämnaren med och subtrahera från Fortsätt med att dividerahögstagradstermen irestenmedhögstagradstermeni,dvsbilda,somblirnästatermi Multiplicera och subtrahera som ovan Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ärsträngtmindreängradtaletför Svar: 1 n 7" 7 7 Ö-25 Dividera så långt som möjligt: Ö-26 Dividera så långt som möjligt: [1] " _3 [1] :a T-3 [2] _3 " [2] 1 _36 [3] 1 < 7" _3 [3] m g
15 : < µ µ b : < 13 Lineära evationssystem Vid lösning av evationer med flera obeanta söer man genom elimination saffa sig en evation,sominnehållerendastenobeantmanananvändasigavenavtvåmetoder substitutionsmetoden eller additionsmetoden För att illustrera, ges nedan ett exempel:(tecnet µ betyder om och endast om ) xempel Lös evationssystemet 8 7 < $ 7 $ =< Lösning: Metod 1[Substitutionsmetoden] Denförstaevationenger ƒ < $ _3,sommansätterinidenandraDåerhålles ^ƒ< $ _3 $ =< = < $ $ µ B$ µ y=2 Alltsåär ƒ < $ -3 Svar: = d $ ƒ _3 f,ochmanfårett Lösning: Metod 2[Additionsmetoden] Multiplicera(föratteliminera )bådaledenidegivnaevationernamed3resp och addera dem: :7 < $ : $ B$ Häravfås y=2,sominsattienavdegivnaevationernager = BS ontrollera alltid svaret genom insättning i de givna evationerna Anmärning:Denlineäraevationen f $ betyder geometrist en rät linje ttsystemavsådanaevationerharalltsåa)enb)ingenellerc)oändligtmånga lösningar beroende på om de räta linjerna är a) särande b) parallella(och olia) c) sammanfallande Ö-27 Lös evationssystemet Ö-28 Lös evationssystemet 9 $ 7 $ [1] 8 9 < $ [1] 8 :7 $ $ $ [2] 8 7 $ [2] 8 : $ [3] 8 7 $ < $ Ḩ¹ [3] 9 $ ~ 7$ ~ 9 $ ~ : 15
16 < < 1 Absolutbelopp DFINITIN 8 om qš om Alltsåär éš föralla ochom såär avståndetmellanpunterna och påtallinjen Geometristan º uppfattas som xempel nligtdefinitionenär &?=,ty xempel xvationen ansrivas,varförrötternaär och = xempel liheten anävensrivas =< 7,dvs = Studera tallinjen z, Ö-29 Bestäm Ö-30 Lös evationerna [1] < [1] [2] < [2] 7 <et»< [3] Ÿ: 2 [3] [] = t»< [] 7" 3T [5] : 2 [5] 7 [6] < Ö-31Angivutanabsolutbeloppde,somsatisfiera: är: Ö-32Sriv i utan absolutbelopp, om i [1] [1] 9¼ [2] ǵ½ [2] [3] [3] 7" ˆ [] ǵ½ [] e :7 15 vadratroten ur ett positivt reellt tal ftersom ¾%œ;š š DFINITIN förallareellatal harevationen reella lösningar endast om Med,där š, menas det ice-negativa, reella tal vars vadratär Alltsåär ] för š 16
17 BS för f xempelvisär B: (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) Avdefinitionenpå följervissaräneregler: ochinte 1 % och e3 3T > för och = 2 förallareella,varför % á% för š,alla 3 3 n3 för = 3 ] ]_3 8 3 ]_3 för och = och Àp Reglerna allas förlängning med onjugatuttryc(se exempel nedan) BSIallmänhetär p?= xempel Förenla > Lösning:?= nligträneregel2ovan,är >?= n alternativ lösningsmetod är > xempel Sriv med heltalsnämnare 1 eá Lösning: Förläng med onjugatet till nämnaren: ; < < Â <nƒ < < " <T < A< < xempel Förenla ) Á ) och ange definitionsmängd Lösning: ärdefinieratför qš¼,men 3 & endastför För är: Svar:För är ) Á ) 17
18 > > 8 µ Ö-33 Förenla Ö-3 Förenla [2] [1] A [1] [2] tj: :<T?f5 [3] > [3] 2 % 2 Ö-35 Förenla Ö-36 Sriv med heltalsnämnare: [1] 2T3 A : [1] 3 [2] 2 [2] 3 [3] < 5] < 5 [3] 3 : [] 52 < ƒ <-3= < [] [5] 3 [6] 3 : Ö-37 Förenla Ö-38 Förenla följande uttryc(och angiv definitionsmängd): [1] %,om h och = [1] 7 _3 9 [2] %,om och = [2] 6< _3 < [3] % 3T,om h och = [3] _3 [] % 3T,om och [] _3 1 [5] _3 1 [6] 3 9 [7] vationen harför = tvåoliareellarötter ÄÃ Å för š œd Man sriver BS Ã Ã men xempel vationen A xempel vationen D,dvs D,dvs 3A harrötterna Å sanarlösning,ty Àš T3T 18
19 Æ Æ b Æ Æ Æ 8 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ö-39 Lös evationen Ö-0 Lös evationen [1] [2] T [3] [1] " [2] 7" " [3] 7 D [] " [5] [6] A 16 Ice-reella tal omplexa tal vationen rötter: b d "Æ sanarreellarötterom b Däremot har den ice-reella(imaginära),där Æ Man an nu(något oegentligt) sriva: b à Šb baç b Æ xempel vationen r,dvs = harrötterna Å ræ = Æ,dvs ttomplexttalansrivspåformen enheten, som satisfierar evationen Æ Æ,där och ärreellataloch Æ ärdenimaginära xempel ]6 Š onjugatregeln Œ A Ö-1 Lös evationen Ö-2 Sriv på formen [1] =A [1] " [2] m D [2] ]6 [3] J: T< " [3] _36 [] f [] 3 " 3= [5] 5 m r Æ 19
20 ¹ Ï Ê Ê < Ê Æ 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom nadragradsevation cb r an,då Àp r,srivaspånormalform: * ¼É " nandragradsevationpånormalform, h fà ",anlösasgenomvadratomplettering: 7ËÊ *Ì Ê *Ì r µ Ên9 *Ì *Ì Alltsågälleratt: vationen m 9 D harrötterna Å Dessarötter och är ŽÍ Ì [1] Reellaocholia,om 3 [2] Reellaochlia,om 3 r [3] Ice-reellaocholia,om 3 BSm D,harevationen Î D enrot r,samtroten xempel Beränarötternatillevationen < Lösning: vationenansrivaspånormalform: 1 ",ochharrötterna Å <9 ŽÍ Alltsåärrötterna Ï xempel vationen : " Å <*Ì Ê < < < < <*Ì D har rötterna A < Í BS ontrollera alltid svaret genom insättning i den givna evationen T< < < <9 < 20
21 Ñ ~ Ö-3 Bestäm rötterna till evationerna Ö- Lös evationerna, dvs bestäm alla rötter: [1] : < r [1] 7: " [2] 9;: [2] 9 D [3] < D [3] < [] n [] ;: r (Sätthär [5] < D [5] [6] A " : D [7] : D Fatoruppdelning(av andragradspolynom) mevationen Ð = r harrötterna och,såanpolynomet Ð fatoruppdelas: ] Anmärning: m 3T,såär och ice-reellaochisåfallan 9 ej fatoruppdelasmedreellatal(därmotan ¾ c alltidfatoruppdelasmedomplexatal) xempel Fatoruppdela polynomet Ñ Lösning: får Å Lösdärförförstevationen ŽÍ J: ) r Man Rötterna är alltså 8 Alltsåär 3 n Ê 7 n *Ì,varför ]6 &r 21
22 d < < Æ Ö-5 Fatoruppdela(med reella tal): Ö-6 Angiv en andragradsevation med rötterna: [1] [1]1och = [2] : º [2] och ; [3] m [3] Æ och [] 2 2 [5] :9 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Sats Fatorsatsen m ärettpolynomi och Ò,dvsom är enrottillpolynomevationen Ó,såär en fatori,dvs %J där ärettpolynomavenenhetlägregradän xempel Lösevationen 1 Tnm T 5< D Lösning: fter prövning(av tex d edbtbtbt )finnermanatt ärenrot,ty T }T 5< Ë nligtfatorsatsenäralltsåpolynomet 1 Tn T h 5< delbartmed? " Division(avpolynom,se12)ger 1 n 9 5< 7" ] < Tredjegradsevaitonensövrigarötterfåsurevationen 5< alltså Å 1 : : 5< :,dvs och 1 Svar:vationenharfötterna, och 1 Tillägg: Viharalltsåfatoruppdelningen 1 n Ô 5< <Tn BS n tredjegradsevation har alltid tre rötter(lia eller olia) D Manfår D n 22
23 ) š Ö-7 Lös evationerna Ö-8 Fatoruppdela(med reella tal): [1] 1 2 r [1] 1 2 [2] 1 " [2] 1 [3] 1 ;: r [3] 1 ;: [] 1 m D [] 1 m Ö-9 Lös evationerna Ö-50 Fatoruppdela [1] r [1] 1 [2] D [2] 1 n [3] D [3] 1 : W$ $:T$ 19 liheter xempel Förvila är 1 n 5<? Lösning: lihetenansrivas 1 n T h 5< (Haalltidförvanaatt flytta över termer, så att ena ledet blir noll) nligt exempel ovan har vi fatoruppdelningen 9 n <Tn Tecenstudium ger nu: Svar: lihetengällerför xempel Förvila är 7" š )? Lösning: liheten an srivas 7" ochför < Õ,där 7 ] I Õ harviendastfatoruppdelattäljarentecenstudiumav ger nu: Svar: lihetengällerför = ½Ö ochför qš¼ BSDengivnaoliheten(isenasteexemplet)fårejsrivas 9" š,dvsolihetenfårej 23
24 Ú > 8 µ µ, š Ú à multiplicerasmed,ty anvaranegativt h  %œb } %Jb d Allmänt gäller att 8 h  %œb %Jb d om b om b Ö-51Förvila gällerföljandeoliheter? Ö-52Förvila gällerföljandeoliheter? [1] ¼ [1] 7" _3 š [2] ½ [2] 6 _3 ½ [3] Àš [3] 3 qš [] š [5] 1m: < [6] : ½ < Ø :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Med Ù Ú menasdenreella(ochpositiva,om Û jämnt heltal) roten till evationen s Alltsåär Ù Ú s,dvs Ú ] s Fördenvanligavadratrotengälleralltsåatt Ü för m definieras potensuttrycet Wu Ü s (medrationellexponent ƒû¾3 )genom u Ü s u Mananvisaatt u Ü s satisfierar(de allmänna) potens- och exponentiallagarna: Potens- och exponentiallagarna ) % + ) 3T + ) + g ) 3T ) ) v + ) + ) x + ) % ) ) 3T ) Anmärning: Denandralagengerspeciellt 3TN+ +,om D xempel Förenal Ý Lösning: g Þ Ý 6 % Ù, Ù Ý 6 ß, Ù Ý ß, x Ù Ý Ù à 2
25 ) ) ) ~ ~ [2] á [1]2Ü Ö-53 Förenla Ö-5 Förenla [1]à [2]Ù, A [3] TÜ1 [3]ß > 2 []A Ü %Aoá []à > «< [5]5T á ˆ3 á [5]ß Þ A > : Mananallmäntdefinierauttrycet)för9 ochallareella,såatt)satisfierarpotenslagarnaovan)allasforenpotensav,därallasbasoch exponentavspecielltintresseär den(naturliga) exponentialfuntionen)med basen edˆ25t2ätbtbt För allmänt)gäller bla att [1]) [2]Wo [3]i föralla föralla )ärväxande(förväxande)om,och avtagande(förväxande)om BS Man siljer på a) potensfuntioneni och b) exponentialfuntionen i ) Lösning: vationen ) % ) v ansrivas ) % ),varför ) ) D Lösning: Sätt Dåerhållesandragradsevationen ~T och ~ f Manfårnutvåfall: [1] ~ ger " f [2] är en orimlighet, eftersom ) Svar: D xempel Lösevationen ) % ) v xempel Lös evationen % 5,dvs ) % eller ~ " medrötterna ~ förallareellatal 25
26 ) $ µ µ $ $ ) ) ) ) 1 $ µ ) µ µ ) µ : t ) ~ Ö-55 Bestäm reella lösningar till Ö-56 Bestäm reella lösningar till [1] ) 2 [2] ) v ) [3] A ) 3T [] % ) v ) [5] ) v % ) : etâ< [1] ) ) D (Sätt [2] ) ) " D [3] ) % ) 2 D [] ) v A % ) r ) 111 Logaritmer Förtio-logaritmen IMã$ ochnaturligalogaritmen ILÄ$ gäller IMã$ ),för $ IMÄ$ r,för $ BSFöratt ILãT$ resp IMÄ$ sallvaradefinieraträvsalltsåatt $ IMã d ILã D tytex $ d IM Y " d IM IMã d ILã5$ Specielltär r Av formlerna ovan följer ocså diret att ILã och IL förallareella äÿåœæ= ž + och nä xempel IMã ILã^ T xempel IMã t ILã xempel IM IL Ü = xempel Lösevationerna [1] %JILw [2] % föralla $ 3 Lösning: [1] %JILw [2] % µ IMw t»< tâ< á D IL tâ<ç Dtè 26
27 t µ µ µ ) ä 1 ) µ Ê µ Ö-57 Förenla Ö-58 Förenla [1] ILã` T [1] IL [2] ILã [2] IL ß [3] 1 á äÿå [3] IL 3 [] o á ž äÿå [] ä ž á [5] Ö-59 Lös evationerna Ö-60 Bestäm reella lösningar till: [1] ILã " [1] [2] ILw [2] %5 [3] %JILãm [3] %5 ) " ) v [] ) < ) ;: r [5] %5 ) ) : Urpotenslagarnaanmanhärledaföljandelogaritmlagar(för $ och ~ Sats Avlag2följerspecielltatt BS IL $ ~ [1] IL $&% ~ ILÄ$IL ~ [2] IL +é ILÄ$ IM ~ [3] ILÄ$aê Ô%BILÄ$ Logaritmlagarna Motsvarandelagargällerocsåförtio-logaritmen, ILã IL ~ IL ~ ärinteliamed IMÄ$IL ~ (Mycetvanligtfelatttromotsatsen) : D ): gäller enligt logaritmla- xempel Lösevationen %JIMãm %BIMã Lösning: Föratt IMãT sallvaradefinieraträvsatt garna, att %JIMãT 2 %JIMã < µ ILã ILã 1 För < 5 < < ILã ty 2 Ì Svar: <3T< 27
28 Y Ö-61 Förenla Ö-62 Sö reella lösningar till evationerna [1] ILã 2 IMã 2 [2] IL 52 :%JIL %BIL [3] ILã 2 :%JILã [] IL 3TA IL [5] IL IM < IL A IL T [6] ILã t t»< IMã IMã` t»2 IMã [1] ILw7 %BIM IL < [2] IMãy IMã [3] IL " IMw 1 : IM [] IL IMl IM [5] IL " IL IL [6] ILã ƒ IMã 9 IMã 2 Trigonometri 21 Vinelmätning Vinlar an mätas i(delar av) varv, grader eller radianer Med 1 radian menas storleen av centrumvineln i en cirelsetor, där periferibågen är lia lång som cirelns radie(rita en figur) Sambandenmellandeoliaenheternaär: varv : œq Yz radianer Härav fås: QS3 2 Y radianer och 1radian= 2 3aQqç¼<etë Y (ftasrivermaninteutenhetenradian,utansrivertex A QS3 Y ) Ö-63 Bestäm grader och radianer för Ö-6 Bestäm grader och radianer för [1] 3 varv [1] 3 varv [2] 3T varv [2] =< varv(ritafigur) Ö-65 mvandla till radianer Ö-66 mvandla till grader [1] g< Y [1] QS3 : [2] < Y [2] `QS3T2 [3] : Y [3] TQì3 [] Y [] =<aq 28
29 í 22 Rätvinliga trianglar IenrätvinligtriangelärenvinelAY Qì3(radianer)menavdeövrigavinlarnaär,blir dentredjevinelnqs3,eftersomvinelsummanientriangelär2yä QVinelnQS3T allas omplementvineln till Den sida som står mot den räta vinlen allas hypotenusa och de båda övriga sidorna allas ateter För rätvinliga trianglar gäller Pythagoras sats: b Sats Pythagoras sats De trigonometrisa funtionerna definieras(för QS3T): DFINITIN -P ƒe3 b motstånendeatet _3 hypotenusa Zn\ 3 ^ b närliggandeatet -3 hypotenusa UWVT 3T motståendeatet _3 närliggandeatet Zn\ U 3T närliggandeatet _3 motståendeatet Härur fås: bl% _P dw %BUWVT dw UWVT Ÿž5ï îí ð ñ ï bl% Zn\ ^ % Zn\ U,samtatt ð ñóò ï Föromplementvinlen( Qì3 )gäller: -P QS3T Zn\ dnz]\ RQS3 ^ -P UWVT QS3 Z]\ U dnzn\ U RQS3 UWV Man erhåller ocså: Trigonometrisa ettan Sats _P Zn\ BS -P _P (Fås diret ur Pythagoras sats) _P % _P Ç -P ärejliamed -P 29
30 Y Y b A Y b ô ô Y ç 3 < < xempel Solveraenrätvinligtraingelmed t T< och ô Y (se figur), dvs bestäm de sidorochvinlarsominteärgivna Lösning: Vinlen õ Y ô : < 3 YNuär -P ô b, varför sidan t t ç et -P -P < të5t (-P < Y fås med ränedosa, ränestica eller ur tabell) Vidareär UWV e3 ô,varför e3 UNVT ç³ t tè :: ç : tè Svar: õ : < d b ç¼ et,och wç : të (längdenheter) xempel Bestäm -P och Zn\,om UWVT 53< QS3T och Lösning: Ritaenrätvinligtriangelmedateterna och nligt Pythagoras sats är hypotenusan då < T varför -P dnz]\ ^ Dåär UNVT T 53T< Ö-67 Solvera följande rätvinliga trianglar(betecningar enligt figur ovan): [1] b t : och ô Y [2] t och t [3] t 5< och õ [] t»< och õ Y [5] et»< och b t»< [6] et» och ô QS3T Ö-68 Bestäm(för ) exata värdet av: [1] Z]\ och UNVT,om -P 3T (Ledning: Ritaenrätvinligtriangelmed och b ) [2] -P och UWVT,om Zn\ 3T [3] -P och Zn\ ^,om UWVT <3 [] -P och Zn\ ^,om Zn\ U të D 30
31 Vi härleder nu de trigonometrisa funtionernas värden förg<yd:yochty(m man inte an dessa värden utantill, måste man snabbt unna göra en härledning) För och,samthypotenusanb g<y QS3ärdenrätvinligatriangeln(figur1ovan)enhalvvadratDåärateterna,varför: _Pg<Y _P Q Z]\g<Y Z]\Q UNVTg<Y UNVT Q Z]\Ug<Y Z]\UQ För :Y QS3 n andenrätvinligatriangelnuppfattassomenhalvlisidigtriangel(figur2ovan)(ienlisidigtriangelärallavinlarnaliamed:y,varförvinlarnaienhalv lisidig triangel är:ydwayochy) Alltså är hypotenusanb T och Pythagoras sats ger,varför: För _P`:Y -P Q Z]\:Y Z]\Q UNVT`:Y UNVT Q Z]\U:Y Z]\UQ Y Qì3:erhållesunderbetratandeavsammafigursomför:Y: 31
32 : Y Q Q Q Q í _P Z]\ UNVT Z]\ U Y Y Y Y -P Z]\ UNVT Z]\ U : : :º : ty -P TY=(motsåendeatet)/(hypotenusan)= 3T 3 osv Ö-69 Bestäm exata värdet av Ö-70 Förenla [1] Zn\ [2] ƒz]\ Y [3] UNVT(: Y UWV Y Y -P _3ƒZ]\ Zn\ Y Y _3 UNVT g< Y -P : TY -P TY [1] ð ñ Ü %B Ÿž Ü 1 í ëö»ö (Ledning: använd potenslagarna) [2] òl ž Ü %B ð ñ Ü ëö í ëö [3] Ÿž Ü v ð ñ Ü 1 3 òø ž Ü v ð ñóò Ü í»ö í ëö ëö»ö 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar n vinel ränas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen ränat frånpositiva -axeln Antag,att d $ ärenpuntpåenhetscireln,varsevationär ;$ De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar definieras genom: 32
33 d 8 8 $ Q d p p 3 DFINITIN -P Zn\ UWVT Zn\ $ 3 för p dó r dvs 3 $ för $ p dù D dvs QS3T ; QS QS QS3 Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för, dvsför d $ (Ritafigur)ftersom -P $,är _P positivtförvinlariförstaochandra vadratenochnegativtitredjeochfjärdelinandereglerför Z]\ d UNVT dnz]\ U: Av definitionerna ovan följer diret att Sats [1] UNVT _P 3mZn\ ^ 3mZ]\ U och Zn\ U Z]\ _P 3 UWV [2] ½ -P ½¼ och ½ Z]\ ^ ½¼ Š förallavinlar Œ [3] _P D _P QS3T d _P Q r _P Qì3 d -P aq D [] Z]\ dnz]\ QS3 dnzn\ dnz]\ QS3T dnz]\ aq D " [5] _P -P F% aqs och Zn\ Z]\ ^ F% aqì,förvarjeheltal [6] _P Zn\ [Trigonometrisa ettan] 33
34 8 3 3 Q Q xempel Bestämexat: Z]\ ƒ5aqs3 : ) Lösning: Z]\ ƒ5aqs3 : Zn\ Qì3 : % aqs xempel Bestäm -P och Zn\,om Zn\ U Lösning: Medhälpavformeln Zn\ U Zn\ ^ Svar: _P samt triogometrisa ettan får man evationssystemet Zn\ ( -P Zn\ _P Zn\ RQS3 : och QS3 3T med lösningar 8 ftersom liggeriandravadranten,där Zn\ ^ och _P Z]\ =3 < ^ och _P 3 < Ö-71 I vilen vadrant hamnar följande vinlar? Ö-72 Bestäm exat [1] TQS3T [1] Zn\ Q [2] Y [2] -P aqs3 [3] < QS3 [3] -P TQS3g [] aqs3 : [] Zn\?=TQS35 [5] Y [5] UWV?fAQS3ag [6] Qì3T [6] Zn\ U? QS3T5 Zn\ -P ³ú T3 < 3g <,fås Ö-73Visaatt [1] 3mZn\ [2] 3 -P Ö-7Visa(förgodtycligaheltal )att UNVT [1] -P ` Q Zn\ U- D [2] Zn\ Q? s [3] -P 6 Ô QS3Ta [] Zn\ M Ô" QS3œ D s Ö-75 Bestäm exat Ö-76 Beräna exat [1] _P och UNVT,om Zn\ 53 och QS3 aq [2] Z]\ ^ och UWVT,om _P të û andra vadranten [3] -P och Zn\ ^,om QS3T UWVT [] -P och UWVT,om Zn\ ^ 3 och äri,och Q [1] -P Zn\ ^,om QS3T UWVT [2] _P Zn\ ^,om Zn\ U [3] UWVT Zn\ U,om _P Qì3 œq g3t och =3 och QS3T fa53 g<,och 3
35 2 Några enla 8trigonometrisa Z]\ _P Zn\^ _P formler 8 UNVT? UNVT _P Q¾ Z]\U ÀZ]\U -P Z]\ Q¾ qzn\ Sats 8 Z]\RQS3 _PRQS3= Zn\^ -P 8 UWVT QS3 Zn\U QS3= UNVT Z]\U 8 _P Z]\ QS Qì ÀZn\( _P 8 UWVT QS UWV Zn\U QS Z]\U Dessa formler an härledas med hjälp av spegling(se lärobo från gymnasiet) 35
36 Ê Ê Ê Q Ê xempel Bestäm Zn\ 6<aQS3 : Lösning: <œqs3 : liggeriandravadrantenanvändformeln Zn\ ÀZn\ Q Vifåralltså Z]\ <aq : Ì ÀZ]\ Ê Q¾ <aq : Ì ÀZ]\ : Ì xempel _P 5<aQ Ì -P Ê :% aq¾ Q Ì _P Ê Q Ì _P Q Ì Ö-77 Bestäm exat Ö-78 Bestäm exat [1] -P?`QS3g [1] -P Y [2] -P 6<aQì3 : [2] Zn\ Y [3] UWVT?`QS3T5 [3] -P? < TY [] Zn\ 6<aQì3g [] UWV Y [5] Zn\?=aQS3 : [6] UWVT 6aQS35 Ö-79 Bestäm exat Ö-80 Visa(utgående från formlerna ovan) att [1] -P œqs3t5 [2] UWVT 6<aQì3g [3] Zn\ 6< QS3T5 [] Zn\ U? Qì3T5 [1] UWV Q¾ [2] Zn\ U Q¾ Av formlerna ovan(i detta och föregående avsnitt) erhålles: Sats (1) _P -P hµ Ð% œq Q Ð% aq (2) Z]\ ^ Z]\ ^hµ Ð% aq Ð% aq eller eller UNVT ÀZ]\ U (3) UNVT UNVT hµ Ð% Q Isamtligaformlerovanär ettgodtycligtheltal 36
37 8 8 8 < % % % % ~ xempel Lös evationen -P Lösning: Qì3 nlösning är : Formel[1]ovanger _P Q tâ<, dvs bestäm alla vinlar som satisfierar evationen,ty -P?`QS3 : -P?`QS3 : -P QS3 : `QS3 µ : 3 Q Ql{ Qì3 eller : Svar: Qì3 : Q eller aqs3 :` Q,där ärettgodtycligtheltal Ö-81 Lös evationerna Ö-82 Lös evationerna [1] -P 3T 53T [1] -P [2] Zn\ ^ 3 [2] Zn\ 3 (Sätt < [3] UWVT [3] UWV Ö-83 Lös evationerna Ö-8 Lös evationerna [1] Zn\ Z]\ ^ [2] -P _P [3] UWVT UWV [] Zn\ _P [1] yzn\ [2] mzn\ [3] -P [] UWV "ü) Z]\ ^ (Sätt Z]\ ^ _P UNVT1 UWVT ) 25 Additions- och subtrationsformler Följande formler måste unna utantill eller unna härleda: Sats _P _P _P _P % Zn\ % Z]\ ^ ^ Zn\ Z]\ ^ ^ _P _P Z]\ Z]\ Z]\ Zn\ ^ ^ % Z]\ % Zn\ ^ ^ _P _P -P -P UNVT UNVT UWVT UNVT UWV UNVT _3 UNVT -3 zuwv %nunvt %BUWV BS -P ärinteliamed -P _P (alltför vanligt fel att tro motsatsen) 37
38 Y Y 8 8 % Q þ xempel Härledformelnför Zn\ Lösning: Zn\ Q _P Z]\ ^ % Z]\ utgående från formeln för _P Q Q -P cý óþ -P ÿý Q % Zn\ Zn\ ^ % -P ^ _P -P Ö-85Härledformelnför Ö-86Bestäm UNVT [1] -P utgående från formeln för -P [1] UWV 3 d UWVT _ (Ledning: [2] UNVT från formlerna för -P och [2] Zn\ UWV ed UNVT [3] UWVT frånformelnför UWVT Ö-87 Beräna exat Ö-88 Bestäm _P [1] -P < Y [Ledning: < g< [2] Zn\ T< [3] UWVT T<,om 3,om [1] -P 3Ted 3 -P och befinner sig i första vadranten 3T<ed 53< [2] -P -P och QS3T 26 Formler för dubbla resp halva vineln -P Zn\ % -P Zn\ % Z]\ ^ _P % Zn\ % _P -P ï Zn\ ï Zn\ Z]\ ^ ^ 38
39 attzn\ [1]Zn\ Ö-89 Härled Ö-90 Antag 3T Bestäm exat [1] formlerna förzn\ [2]-P dubbla vineln från additionsformlerna [3]-P3T []UWV3 [2] formlerna halva vineln från lämpliga formler Ö-91Bestämexat Ö-92Antagatt_P 53 ochatt [2]-P QS325 [1]-P<Y [1]-P QS3T [2]Zn\ Bestäm exat [3]UWVTTedˆ<Y [3]Zn\ 3 Plan analytis geometri 31 Avståndet mellan två punter Avståndet mellan två punterd$ochd$i ett > $ $ beränas med avståndsformeln(rita en figur): Avståndsformeln vanligt(ortonormerat) oordinatplan an Avståndsformlen bygger på Pythagoras sats [1]6edoch dˆ<t Ö-93 Bestäm avståndet mellan(och rita en figur) [3]? []?=edbf5ochdb= doch dbf5 [2]dn och origo [1]6dW5ochƒd Ö-9 [2]ƒ dw5ochdn Bestäm en punt på-axeln, som ligger lia långt från punterna 39
MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex
MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga 10000 ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola 12 96
Läs merProv i matematik Fristående kurs Analys MN1 distans UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Anders Källström Prov i matemati Fristående urs Analys MN1 distans 6 11 Srivtid: 1-15. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna sall åtföljas av förlarande
Läs merIV. Ekvationslösning och inversa funktioner
Analys 360 En webbaserad analysurs Grundbo IV. Evationslösning och inversa funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com IV. Evationslösning och inversa funtioner 1 (11) Introdution
Läs merSvar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Sigstam, Styf Prov i matemati Alla program o frist urs ENVARIABELANALYS 0-08- Svar till tentan 0-08-. Del A Bestäm alla punter P 0 på urvan y = x + sådana att
Läs merYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden PROVET I MATEMATIK, LÅNG LÄROKURS 5.9. BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematis analys 0820. Stationära punter. f (x, y) = 8x(x 2 y), f 2(x, y) = 4(y x 2 )). Vi ar alltså att f (x, y) = f 2(x, y) = 0 { x(x 2 y) = 0 y x 2 = 0. Första evationen ovan är uppfylld
Läs merTentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag
Tentamen SF1661 Perspetiv på matemati Lördagen 18 februari 01, locan 09.00 1.00 Svar och lösningsförslag (1) Sissera den mängd i xy-planet som består av alla punter som uppfyller oliheten (x + ) + (y )
Läs merHur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar.
Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysialisa lagar. 1. Newtons gravitationslag och Newtons andra lag. Vi placerar ett rätvinligt oordinatsystem i solsystemet med solens medelpunt
Läs merL HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.
L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs mer1 Jag själv lärde om detta av en kollega som, kanske, heter Joel Andersson
1 Kryptering 11 Vi sall 1 idag titta lite på ryptering, och mera specifit hur elliptisa urvor används i ryptering, såallad ECDSA Vi sall ocså se ett atuelt exempel på hur detta inte sall användas 12 Problemet
Läs merDeltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2
Deltentamen godäntdelen, del TMA44 Flervariabelanalys E 4-9-7 l. 8:3-:3 Eaminator: Peter Hegarty, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2017 Skrivtid 8:00 12:00
Kurs: HF9 Matemati Moment TEN Linjär lgebra Datum: augusti 7 Srivtid 8: : Eaminator: rmin Halilovic För godänt betyg rävs av ma poäng. etygsgränser: För betyg D E rävs 9 6 respetive poäng. Komplettering:
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på sammandragningarna.
Uppsala Universitet Matematisa Institutionen Bo Styf Basurs, 5 hp Distans 0-0-3 Genomgånget på sammandragningarna. Sammandragning, 5/ 0: Handlade om ombinatori multipliationsprincipen, permutationer, ombinationer,
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 0..0 BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens bedömning.
Läs mer12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER
122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB
MATEMATISK MODELLERING Att ställa upp en differentialevation som besriver ett förlopp Följande uttryc används ofta i olia problem som leder till differentialevationer: Text A är proportionell mot B (A
Läs merOm användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer
Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs merAnalys av polynomfunktioner
Anals av polnomfuntioner Anals360 (Grundurs) Blandade uppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tän igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tdligt
Läs merAnalys o linjär algebra. Fortsatt analys.. p.1/81
Analys o linjär algebra Fortsatt analys. p.1/81 Konvergenshastighet Har sett att bisetion och fixptsiteration, under lämpliga förhållanden, ger en följd, dvs onvergerar mot en lösning till den givna ev.
Läs merLösningsförslag, v0.4
, v.4 Preliinär version, 6 februari 28, reservation för fel! Högsolan i Sövde Tentaen i ateati Kurs: MA52G Mateatis analys MA23G Mateatis analys för ingenjörer Tentaensdag: 27-5-2 l 8:3-3:3 Hjälpedel :
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs mer6.4 Svängningsrörelse Ledningar
6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.166 b) Krafterna i de båda fjädrarna är lia stora och lia med raften på roppen (inses genom att man frilägger roppen och de två fjädrarna var för sig). Kroppens förflyttning
Läs merLösningar till problemtentamen
KTH Meani 2006 05 2 Meani b och I, 5C03-30, för I och BD, 2006 05 2, l 08.00-2.00 Lösningar till problemtentamen Uppgift : En platta i form av en lisidig triangel BC med sidolängderna a och massan m står
Läs merPotensserier och potensserieutvecklingar av funktioner
Analys 36 En webbaserad analysurs Analysens grunder Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com Potensserier och potensserieutveclingar
Läs mera k . Serien, som formellt är följden av delsummor
Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara
Läs meri=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n
Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Läs merMatematik 5 Kap 1 Diskret matematik I
Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet
Läs merDiagnostiskt test 1 tid: 2 timmar
Diagnostist test tid: timmar Detta är ditt första diagnostisa test i matemati å den är reetitionsursen. Ge dig själv oäng för varje rätt svar. (ge inga ½ oäng). edömning: - oäng Du ar tillräcliga förunsaer
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematisa Institutionen KTH Lösningar till tentamenssrivning på ursen Disret Matemati, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 9 mars 2009 l 14.00-19.00. DEL I 1. (p Lös reursionsevationen med
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merKursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa. Enligt
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merIdentification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm
Identification Label Student ID: h Student Name: Elevenät Fysi Solveret Bo Palaszewsi, Proetledare 106 20 Stocholm International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA,
Läs merdt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.
Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och
Läs merAlgebra och talteori MMGL31
Algebra oh talteori MMGL3 Lärarprogrammet, Göteborgsuniversitet VT 008 Samuel Bengmar Lite om mig Dotorerat i Algebrais geometri Letor vid Matematisa vetensaper, Chalmers oh Göteborgs universitet Anställd
Läs merbetecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)
PARTIELLA DERIVATOR Partiella derivator deinieras enom ränsvärden Deinition Låt vara en reellvärd untion deinierad på en öppen mänd n n Ω R Den partiella derivatan av i punten Aa a n Ω med avseende på
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna
Läs merAlgebraiska räkningar
Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merTeori för flervariabelsanalys
Teori för flervariabelsanalys Robin Andersson 28 otober 2013 1 Innehåll 1 Differentierbarhet 3 2 Kedjeregeln 4 3 Formel för beräning av ritningsderivatan av en differentierbar funtion 5 4 Taylors formel
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 2 28-8-3. Evationen är linjär och har det arateristisa polynomet p(r) r 3 r 2 + 4r 4 (r 2 + 4)(r ). Således ges lösningarna till den homogena evationen p(d)y h av y h C
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merInlämningsuppgifter i Funktionsteori, ht 2018
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, ht 208 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa.
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merRSA-kryptering. Torbjörn Tambour
RSA-rytering Torbjörn Tambour RSA-metoden för rytering har den seciella och betydelsefulla egensaen att metoden för rytering är offentlig, medan metoden för derytering är hemlig. Detta an om man funderar
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen
013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merLösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel
Lösningsförslag till deltentamen i IM601 Fasta tillståndets fysi Onsdagen den 5 maj, 011 Teoridel Magnetism i MnF 1. a) Vi ser från enhetscellen att den innehåller 8 1 =1 Mn-atom med spinn upp (hörnen)
Läs merInlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt 2016
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, vt 2016 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa.
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är
Läs merStudieplanering till Kurs 2b Grön lärobok
Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merEGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET
EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET INLEDNING Ett polyom ( i variabel λ ) av grad är ett uttryc på forme P( λ) a λ + aλ + aλ + a, där a Polyomets ollställe är lösigar ( rötter) till evatioe
Läs merComplex numbers. William Sandqvist
Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen
011-03-17 Tentamen i Meani SG1130, basurs P1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och srivdon får användas! KTH Meani 1. Problemtentamen Ett tunt hyllplan (plana) med massan m är fäst i en led (gångjärn)
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Bo Styf rasformmetoder, 5 hp gyl, I, W, X 20-0-26 Att repetera. Vi samlar här e del material frå tidigare urser som a vara avädbart uder urses gåg. Serier. E serie
Läs merStudieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux
Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLedtrå dår till lektionsuppgifter
Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011
ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs merTalmängder. Vi använder följande beteckningar för s.k. standardtalmängder:
TALMÄNGDER SUMMATECKEN PRODUKTTECKEN ---------------------------------------------------------------- Talmängder Vi använder följande etecningar för s standardtalmängder: N={0 1 } mängden av alla naturliga
Läs merBlock 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner
Läs merMultiplikationsprincipen
Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs mer