MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola"

Transkript

1 MATMATI ort förberedande material för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis formgivning: Lennart Jörelid halmers tenisa högsola

2 Till dig som söer till högre tenis utbildning Somduvetförutsätterstudieritenisaämnengodaunsaperimatematinstordelav det första året ägnas därför åt grundläggande matematisa ämnen Goda resultat i de teoretisa ämnena under första studieåret öar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna Det första läsåret vid en högsola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna Har man dålucorigymnasiematematien,andetblirättarbetsamtmduinteärsäerpåattduredan har mycet goda unsaper i matemati, gör du lot i att förbereda dig ordentligt genom att repetera gymnasieursen och läsa in avsnitt som du anse tidigare försummat Hurgörjagdå? Till hjälp får du detta ompendium Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer Arbeta igenom det så grundligt, att du behärsar de olia avsnitten De många övningsexemplen ger dig möjlighet till nyttig räneträning I början av ompendiet finns dessutom ett diagnostist prov och i slutet en provräning med blandade uppgifter ompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier Ta avsnitten i den ordning du själv finner lämplig n metod är att först räna alla[1] och[2]-uppgifterna(ompendiet rat igenom) Sedan alla[3]-uppgifterna osv Har du bra betyg i matemati från gymnasiet och tror dig unna gymnasieursen gansa bra, an du försöa dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift(uppgifterna är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad) Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, tex logaritmer, trigonometri eller derivering med hjälp av edjeregeln, an du i första hand oncentrera dig på dessa Det väsentligaärattduränar(mindreväsentligtärvadduränar)sulleduörafastpånågra uppgifter an du eventuellt få hjälp per telefon(se bilaga Upplysningar inför terminsstarten) tt syfte med ompendiet Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är att nötainvissaformler,somduansevaritvanatthittaienformelsamlingpåtentamenvidde tenisa högsolorna ommer du inte att ha formelsamlingen till hands Försö därför att lara dig utan, när du löser övningsexemplen unsapsontroll? Du ommer inte att avrävas redovisning av de här repetitionsövningarna Däremot ommer du snart att mära, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högsolestudierna inleds med en repetitionsurs i matemati Lyca till Med Hälsningar från de Tenisa Högsolorna ii

3 Tillägg av författaren I detta ompendium behandlas i huvudsa de moment, som matematilärare vid tenisa högsolor ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematien Den nuvarande gymnasieursen i matemati är gemensam för alla solor i landet, men olia solor och lärare betonar anse vissa delar mer eller mindre start Därför an några delar av ompendiet vara mer(eller mindre) välbeanta för dig Tips: Hoppa över avsnittet 3 om ellipser mm, ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasieurs bservera ocså att ompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematien i delarnaa,b,ochd,sombruargenomgåsdetvåförstaårenpågymnasietdäremotrepeteras vanligen del (med bla tillämpning av integraler och differentialevationer), samt en eventuell, frivillig del F, i samband med de ordinarie matematiurserna på de tenisa högsolorna Lyca till Rolf Pettersson Årets utgåva av Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är en grafist bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsa masinsrivet, original Jag har i samråd med författaren försöt ge häftet en så lättöversådlig och pedagogis utformning som möjligt, utan att förändra dess sainnehåll nämnvärt ftersom jag själv är tenolog vid F-setionen på halmers och därmed onfronterats en del med tenis urslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en utformning som i så hög grad som möjligt linar tenologens vardagslitteratur detta för att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tenisa Högsolornas ttgottrådär dessutomatt verligenförsöaläggaundanminiränarendåduränardigi igenom häftet nligt min egen erfarenhet, var detta en av de verligt givande poängerna med att repetera gymnasiets matemati Förståelsen för de grundläggande tenisa matteurserna öar enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i ryggmärgen Lyca till Lennart Jörelid iii

4 Innehåll DIAGNSTIST PRV 5 1 Algebraisa räningar 7 11 Addition,subtrationochmultipliationavreellatal 7 12 DivisionavreellatalBråräning Lineäraevationssystem 1 1 Absolutbelopp vadratrotenurettpositivtreellttal Ice-reellatalomplexatal AndragradsevationerFatoruppdelningavandragradspolynom Fatorsatsenvationeravstörregradtaläntvå liheter :terotenurettreellttalallmännapotenser Logaritmer 25 2 Trigonometri Vinelmätning Rätvinligatrianglar Detrigonometrisafuntionernaförgodtycligavinlar 31 2 Någraenlatrigonometrisaformler 3 25 Additions-ochsubtrationsformler Formlerfördubblaresphalvavineln 37 3 Plan analytis geometri Avståndetmellantvåpunter Rätalinjen ireln 1 3 llipsen,hyperbelnochparabeln 2 Funtionslära 1 Inledning 2 Derivatansdefinition 5 iv

5 3 nla deriveringsregler Deelementärafuntionernasderivator 6 Sammansattafuntioneredjeregeln 8 5 Tangentochnormaltillenurva 51 6 Maximi-ochminimiproblem 52 PRVRÄNING(Blandade exempel) 5 FAIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTRNA 56 Facittilldetdiagnostisaprovet 69 Facittillprovräningen(blandadeexempel) 69 v

6 A DIAGNSTIST PRV (Lämplig tid: cira 2 timmar) (Svar finns på sista sidan i ompendiet) [1] Förenla [2] Lös evationen " [3] Förenla så långt som möjligt: $&%('*) +-, ' ) / )0 / + 0 [] Förorta(ommöjligt)iuttrycet [5] Dividera(medpolynomdivision)sålångtsommöjligt 6 1 " [6] Lös evationssystemet 8 [7] Bestämexat >? : 9;: $ 9 $ 5 A [8] Bestäm rötterna till evationen [9] Förvila gälleroliheten =< %B F G D H 3 %JIL A IM 3 : [10] Förenla HN IM 1-3 IL 3 [11] Angiv exata värdet av -P RQS3T 5 UWVT RQS3 : (samt förenla) [12] Bestämallavinlar mellan Y och H [Z]\ : ^ Y som satisfiera HN _P 3 3 [13] [a]ienrätvinligtriangelärsinusförenvinelliamed2/3ochdenmotdennavinel stående sidan är 3 längdenheter Bestäm hypotenusans längd exat [b]sammauppgiftsomovan,omiställettangensförvinelnär2/3 [1] Bestäm UNVT exat,om UWV ` 3a [15] Angivpåformen = $`cb " enevationförrätalinjengenompunterna edb f 5 och d 6

7 i [16] vationen gh$ : betyder geometrist en cirel(i ett ortonormerat system) Bestäm medelpunt och radie [17] Bestäm derivatan ij (och förenla den), om < [18] Bestäm i j,om i ), 3 D [19] Bestämpåformen $b denpuntpåurvan,där [20] Bestämdetstörstavärdesom i 1 ) D enevationförtangententillurvan $ _P l7 mzn\ anantaförreella 1 i 7

8 1 Algebraisa räningar 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal För reella tal gäller bla följande enla räneregler: & f & & & f l = %? f g Jd ty? %? Man definierar potenser med heltalsexponenter som: 5o för qp dn r % osv s % ftbtbt- ^d dvsprodutenav stycenfatorer Varav följer Potenslagarna u % s uw s g s uv s 5uyx s s s ftersom? och z h & {,sågälleratt y { ovs För att förtydliga ges nedan några exempel: { dj y { 1 & { 1, xempel xempel 5 T " T b 6T b & Tl } b T b 5 T T ;bm Tl b & b $ W~ 1 %? = $ 1 $ ~ %? f25 %n W$ 1 f2 o $ ~ 8

9 Š Ö-1 Förenla Ö-2 Beräna [1] A $ :a ~ $ A 9 ~ $ [1] [2] z"6t b [2] 1 [3] b "6T b "ƒl b T [3]?f5 []?= 1 [5]? g o Ö-3 Förenla Ö- mforma(genom att multiplicera ihop parenteserna) [1] g 1 % 2g [2] 6<T5 W [3] 1W$ % $e-( % $ []?= W$1 ~ 1z% ~ y%? 1ˆ$ Följande vitiga formler bör man unna utantill: ƒ VADRRINGSRGLRNA ] ƒ Tg UBRINGSRGLRNA NJUGATRGLN ƒ ] 1 ƒ 1 &]] FATRUPPDLNINGARNA BS dw g xempel Utvecla 6 7 ~ 1 och g [1] n [2] 7" ] 1 [3] " n6 1 T g 1 1 g 1 ]]] &] nƒ g an ej fatoruppdelas med reella tal Lösning: 9 ~ 1 Š uberingsregelnmed och ~ BŒ 1 % z% ~ % {% ~ ƒ ~ : ~ m < ~ ~ xempel Fatoruppdelauttrycet 2 b 1 1ˆbˆ 2 Wbˆ1 Lösning: 2T b b 2T b 1 ŽŠ allagemensammafatorerbrytsut T Œ bl% ƒa Tg 1 b b ŽŠ anvadreringsregelnanvändas? T Œ bl% ƒg 1 % g 1 % bm 6 b Œ Š vadreringsregeln T Œ ˆbl% ƒg 1 b 9

10 i i p o xempel Fatoruppdelauttrycet Lösning: 2 $1 2 $ 1 ŽŠ anfatoruppdelningenför 1 1 användas? Œ 1 $ 1 $ ]M % $y $ $ n (F $ $ Ö-5 Utvecla Ö-6 Förenla [1] $ [1] ] 9 [2] 6< [2] T nt [3] $1 [3] 6 m 5n 5n A5 Ö-7 Utecla Ö-8 Uppdela i fatorer [1] $ 1 [1] A [2] <T [2] 7 [3] T 1 [3] 5 J: [] ƒ : 1 Ö-9 Uppdela i fatorer Ö-10 Uppdela i fatorer [1] 2 $ $ [1] 1 [2] 2 n [2] $ ~ $ [3] W$e1S $ 1W$e [3] 2 1W$ Polynom; vadratomplettering Medettpolynom(i )menasettuttrycavformen där s s s tntbt 7 dbtntbt dw o allasoefficienterför sedbtbtbt d o m s säges varaavgrad tt vitigt begrepp är vadratomplettering i andragradspolynom(jämför detta med lösning av andragradseationer[17]) vadratompletteringen ges av: 9 % %B9 " 7 " xempel Bestäm(genom vadratomplettering) minsta värdet av Lösning: " 7 m " Š vadratomplettera Œ %B % 1 1 " J

11 b b 2 ftersom 1 š viletinträffardå föralla,medlihetomochendastom 1 1,insermanatt iœ Ÿž, Ö-11 vadratomplettera Ö-12 vadratomplettera [1] [1] 7 [2] < [2] [3] $ 2 $ [3] J: Aa [] $ $e [] m [5] m: $ $" [5] $e ~ $ ~ Ö-13 Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av: Ö-1 Bestäm största värdet av [1] m [1] < [2] < [2] [3] 7 [3] 12 Division av reella tal Bråräning nligtdefinitionenpåbråharförstagradsevationen % (anocsåsrivas 3T )för 7p bl% %œb Förortning och b % %Bb förlängning: (för b p Multipliation: Division, dubbelbrå: Addition, subtration: BS nämlligen r För bråräning gäller bla följande regler: % D ) b b b b % 3T b 3 b ( b % % % och % %œb % denentydigalösningen v ärejliamed (Alltförvanligtfelatttromotsatsen)mtex v,medan Potenser med negativa exponenter definieras som b,är 11

12 Definition s s 5u s varav följer u s s u ª xempel Förenlauttrycet: «Lösning: ] z e?? œƒl? l ƒl xempel Sriv 9" somettbrå(påsåenelformsommöjligt), Lösning: 9 Š Fatoruppdelanämnarna Œ 9 7" n 7 h%b Š Förlängdeoliabråen,såattdenyabråenfårsammanämnare Vi har minsta gemensamma nämnare D %5 %B 7 % 9 % Tn T 7 ] Œ n 7 %5 ] % 9 9 n 9 Tn 1 g 12

13 Anmärning: Man an ocså(i ovanstående exempel) först addera två av bråen och sedan till summan addera det tredje brået Genomför dessa räningar Ö-15 Beräna Ö-16 Beräna [1] 1 % J 1 1 [2] -3 [1] 1 [2] 3T5 [3]?=< 1 Ö-17 Sriv som potens av 2 Ö-18 Förenla [1] 3T5 [2] T253T [3] 2T ˆ3 1 [1] $ -3 $ o [2] T 1 ;: g -3 g [3] $e ~ 1 < ~ $ < ~ W$ -3< $ ~ Ö-19 förenla Ö-20 Förorta(om möjligt) [1] ]_3 [1] g-3ƒ [2] ] 3z [2] ƒ _3 g [3] ] 3z [3] 1 _3 1 [] ze 3 1 [5] ] 3z 1 Ö-21 förenla Ö-22 Lös evationen [1] 3-3 $ 3 $ _3 &" 3 $ $ [2] 3T 3T -3 3Tz3T [1] [2] 6< 9 T-3 g 3 ƒ 7 _36 Ö-23Srivsomettbrå(påsåenelformsom möjligt): [1] 3 3 " [2] _3 7" [3] 3 3 z : _3ƒ Ö-2Srivsomettbrå(påsåenelformsom möjligt): [1] 3 3 [2] 3ƒ 6 _3 [3] 7" _36 2 " _3ƒ 2 13

14 Rationella uttryc, Polynomdivision ttrationelltuttryc(i )ansrivaspåformen,där och ärpolynomoch p,dvs ejidentistnollmnugradtaletför ärstörreänellerliamedgradtaletför, an dividerasmed, så att gradtalet för restpolynomet ± blir mindre än gradtalet för Manfår ± r²,där ² allas votpolynom Polynomen ² och ± an bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm(se följande exempel) xempel Dividera 1mm -3 7 Lösning:Srivupptäljaren ochnämnaren stolen ): så långt som möjligt med trappan (eller liggande ± 3 ² 3 ² ± 7" ³² - 1 A " n _ Metod:Dividerahögstagradstermen 1 i medhögstagradstermen i, dvs bilda 1, som blir första termen i voten Multiplicera sedan hela nämnaren med och subtrahera från Fortsätt med att dividerahögstagradstermen irestenmedhögstagradstermeni,dvsbilda,somblirnästatermi Multiplicera och subtrahera som ovan Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ärsträngtmindreängradtaletför Svar: 1 n 7" 7 7 Ö-25 Dividera så långt som möjligt: Ö-26 Dividera så långt som möjligt: [1] " _3 [1] :a T-3 [2] _3 " [2] 1 _36 [3] 1 < 7" _3 [3] m g

15 : < µ µ b : < 13 Lineära evationssystem Vid lösning av evationer med flera obeanta söer man genom elimination saffa sig en evation,sominnehållerendastenobeantmanananvändasigavenavtvåmetoder substitutionsmetoden eller additionsmetoden För att illustrera, ges nedan ett exempel:(tecnet µ betyder om och endast om ) xempel Lös evationssystemet 8 7 < $ 7 $ =< Lösning: Metod 1[Substitutionsmetoden] Denförstaevationenger ƒ < $ _3,sommansätterinidenandraDåerhålles ^ƒ< $ _3 $ =< = < $ $ µ B$ µ y=2 Alltsåär ƒ < $ -3 Svar: = d $ ƒ _3 f,ochmanfårett Lösning: Metod 2[Additionsmetoden] Multiplicera(föratteliminera )bådaledenidegivnaevationernamed3resp och addera dem: :7 < $ : $ B$ Häravfås y=2,sominsattienavdegivnaevationernager = BS ontrollera alltid svaret genom insättning i de givna evationerna Anmärning:Denlineäraevationen f $ betyder geometrist en rät linje ttsystemavsådanaevationerharalltsåa)enb)ingenellerc)oändligtmånga lösningar beroende på om de räta linjerna är a) särande b) parallella(och olia) c) sammanfallande Ö-27 Lös evationssystemet Ö-28 Lös evationssystemet 9 $ 7 $ [1] 8 9 < $ [1] 8 :7 $ $ $ [2] 8 7 $ [2] 8 : $ [3] 8 7 $ < $ Ḩ¹ [3] 9 $ ~ 7$ ~ 9 $ ~ : 15

16 < < 1 Absolutbelopp DFINITIN 8 om qš om Alltsåär éš föralla ochom såär avståndetmellanpunterna och påtallinjen Geometristan º uppfattas som xempel nligtdefinitionenär &?=,ty xempel xvationen ansrivas,varförrötternaär och = xempel liheten anävensrivas =< 7,dvs = Studera tallinjen z, Ö-29 Bestäm Ö-30 Lös evationerna [1] < [1] [2] < [2] 7 <et»< [3] Ÿ: 2 [3] [] = t»< [] 7" 3T [5] : 2 [5] 7 [6] < Ö-31Angivutanabsolutbeloppde,somsatisfiera: är: Ö-32Sriv i utan absolutbelopp, om i [1] [1] 9¼ [2] ǵ½ [2] [3] [3] 7" ˆ [] ǵ½ [] e :7 15 vadratroten ur ett positivt reellt tal ftersom ¾%œ;š š DFINITIN förallareellatal harevationen reella lösningar endast om Med,där š, menas det ice-negativa, reella tal vars vadratär Alltsåär ] för š 16

17 BS för f xempelvisär B: (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) Avdefinitionenpå följervissaräneregler: ochinte 1 % och e3 3T > för och = 2 förallareella,varför % á% för š,alla 3 3 n3 för = 3 ] ]_3 8 3 ]_3 för och = och Àp Reglerna allas förlängning med onjugatuttryc(se exempel nedan) BSIallmänhetär p?= xempel Förenla > Lösning:?= nligträneregel2ovan,är >?= n alternativ lösningsmetod är > xempel Sriv med heltalsnämnare 1 eá Lösning: Förläng med onjugatet till nämnaren: ; < < Â <nƒ < < " <T < A< < xempel Förenla ) Á ) och ange definitionsmängd Lösning: ärdefinieratför qš¼,men 3 & endastför För är: Svar:För är ) Á ) 17

18 > > 8 µ Ö-33 Förenla Ö-3 Förenla [2] [1] A [1] [2] tj: :<T?f5 [3] > [3] 2 % 2 Ö-35 Förenla Ö-36 Sriv med heltalsnämnare: [1] 2T3 A : [1] 3 [2] 2 [2] 3 [3] < 5] < 5 [3] 3 : [] 52 < ƒ <-3= < [] [5] 3 [6] 3 : Ö-37 Förenla Ö-38 Förenla följande uttryc(och angiv definitionsmängd): [1] %,om h och = [1] 7 _3 9 [2] %,om och = [2] 6< _3 < [3] % 3T,om h och = [3] _3 [] % 3T,om och [] _3 1 [5] _3 1 [6] 3 9 [7] vationen harför = tvåoliareellarötter ÄÃ Å för š œd Man sriver BS Ã Ã men xempel vationen A xempel vationen D,dvs D,dvs 3A harrötterna Å sanarlösning,ty Àš T3T 18

19 Æ Æ b Æ Æ Æ 8 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ö-39 Lös evationen Ö-0 Lös evationen [1] [2] T [3] [1] " [2] 7" " [3] 7 D [] " [5] [6] A 16 Ice-reella tal omplexa tal vationen rötter: b d "Æ sanarreellarötterom b Däremot har den ice-reella(imaginära),där Æ Man an nu(något oegentligt) sriva: b à Šb baç b Æ xempel vationen r,dvs = harrötterna Å ræ = Æ,dvs ttomplexttalansrivspåformen enheten, som satisfierar evationen Æ Æ,där och ärreellataloch Æ ärdenimaginära xempel ]6 Š onjugatregeln Œ A Ö-1 Lös evationen Ö-2 Sriv på formen [1] =A [1] " [2] m D [2] ]6 [3] J: T< " [3] _36 [] f [] 3 " 3= [5] 5 m r Æ 19

20 ¹ Ï Ê Ê < Ê Æ 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom nadragradsevation cb r an,då Àp r,srivaspånormalform: * ¼É " nandragradsevationpånormalform, h fà ",anlösasgenomvadratomplettering: 7ËÊ *Ì Ê *Ì r µ Ên9 *Ì *Ì Alltsågälleratt: vationen m 9 D harrötterna Å Dessarötter och är ŽÍ Ì [1] Reellaocholia,om 3 [2] Reellaochlia,om 3 r [3] Ice-reellaocholia,om 3 BSm D,harevationen Î D enrot r,samtroten xempel Beränarötternatillevationen < Lösning: vationenansrivaspånormalform: 1 ",ochharrötterna Å <9 ŽÍ Alltsåärrötterna Ï xempel vationen : " Å <*Ì Ê < < < < <*Ì D har rötterna A < Í BS ontrollera alltid svaret genom insättning i den givna evationen T< < < <9 < 20

21 Ñ ~ Ö-3 Bestäm rötterna till evationerna Ö- Lös evationerna, dvs bestäm alla rötter: [1] : < r [1] 7: " [2] 9;: [2] 9 D [3] < D [3] < [] n [] ;: r (Sätthär [5] < D [5] [6] A " : D [7] : D Fatoruppdelning(av andragradspolynom) mevationen Ð = r harrötterna och,såanpolynomet Ð fatoruppdelas: ] Anmärning: m 3T,såär och ice-reellaochisåfallan 9 ej fatoruppdelasmedreellatal(därmotan ¾ c alltidfatoruppdelasmedomplexatal) xempel Fatoruppdela polynomet Ñ Lösning: får Å Lösdärförförstevationen ŽÍ J: ) r Man Rötterna är alltså 8 Alltsåär 3 n Ê 7 n *Ì,varför ]6 &r 21

22 d < < Æ Ö-5 Fatoruppdela(med reella tal): Ö-6 Angiv en andragradsevation med rötterna: [1] [1]1och = [2] : º [2] och ; [3] m [3] Æ och [] 2 2 [5] :9 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Sats Fatorsatsen m ärettpolynomi och Ò,dvsom är enrottillpolynomevationen Ó,såär en fatori,dvs %J där ärettpolynomavenenhetlägregradän xempel Lösevationen 1 Tnm T 5< D Lösning: fter prövning(av tex d edbtbtbt )finnermanatt ärenrot,ty T }T 5< Ë nligtfatorsatsenäralltsåpolynomet 1 Tn T h 5< delbartmed? " Division(avpolynom,se12)ger 1 n 9 5< 7" ] < Tredjegradsevaitonensövrigarötterfåsurevationen 5< alltså Å 1 : : 5< :,dvs och 1 Svar:vationenharfötterna, och 1 Tillägg: Viharalltsåfatoruppdelningen 1 n Ô 5< <Tn BS n tredjegradsevation har alltid tre rötter(lia eller olia) D Manfår D n 22

23 ) š Ö-7 Lös evationerna Ö-8 Fatoruppdela(med reella tal): [1] 1 2 r [1] 1 2 [2] 1 " [2] 1 [3] 1 ;: r [3] 1 ;: [] 1 m D [] 1 m Ö-9 Lös evationerna Ö-50 Fatoruppdela [1] r [1] 1 [2] D [2] 1 n [3] D [3] 1 : W$ $:T$ 19 liheter xempel Förvila är 1 n 5<? Lösning: lihetenansrivas 1 n T h 5< (Haalltidförvanaatt flytta över termer, så att ena ledet blir noll) nligt exempel ovan har vi fatoruppdelningen 9 n <Tn Tecenstudium ger nu: Svar: lihetengällerför xempel Förvila är 7" š )? Lösning: liheten an srivas 7" ochför < Õ,där 7 ] I Õ harviendastfatoruppdelattäljarentecenstudiumav ger nu: Svar: lihetengällerför = ½Ö ochför qš¼ BSDengivnaoliheten(isenasteexemplet)fårejsrivas 9" š,dvsolihetenfårej 23

24 Ú > 8 µ µ, š Ú à multiplicerasmed,ty anvaranegativt h  %œb } %Jb d Allmänt gäller att 8 h  %œb %Jb d om b om b Ö-51Förvila gällerföljandeoliheter? Ö-52Förvila gällerföljandeoliheter? [1] ¼ [1] 7" _3 š [2] ½ [2] 6 _3 ½ [3] Àš [3] 3 qš [] š [5] 1m: < [6] : ½ < Ø :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Med Ù Ú menasdenreella(ochpositiva,om Û jämnt heltal) roten till evationen s Alltsåär Ù Ú s,dvs Ú ] s Fördenvanligavadratrotengälleralltsåatt Ü för m definieras potensuttrycet Wu Ü s (medrationellexponent ƒû¾3 )genom u Ü s u Mananvisaatt u Ü s satisfierar(de allmänna) potens- och exponentiallagarna: Potens- och exponentiallagarna ) % + ) 3T + ) + g ) 3T ) ) v + ) + ) x + ) % ) ) 3T ) Anmärning: Denandralagengerspeciellt 3TN+ +,om D xempel Förenal Ý Lösning: g Þ Ý 6 % Ù, Ù Ý 6 ß, Ù Ý ß, x Ù Ý Ù à 2

25 ) ) ) ~ ~ [2] á [1]2Ü Ö-53 Förenla Ö-5 Förenla [1]à [2]Ù, A [3] TÜ1 [3]ß > 2 []A Ü %Aoá []à > «< [5]5T á ˆ3 á [5]ß Þ A > : Mananallmäntdefinierauttrycet)för9 ochallareella,såatt)satisfierarpotenslagarnaovan)allasforenpotensav,därallasbasoch exponentavspecielltintresseär den(naturliga) exponentialfuntionen)med basen edˆ25t2ätbtbt För allmänt)gäller bla att [1]) [2]Wo [3]i föralla föralla )ärväxande(förväxande)om,och avtagande(förväxande)om BS Man siljer på a) potensfuntioneni och b) exponentialfuntionen i ) Lösning: vationen ) % ) v ansrivas ) % ),varför ) ) D Lösning: Sätt Dåerhållesandragradsevationen ~T och ~ f Manfårnutvåfall: [1] ~ ger " f [2] är en orimlighet, eftersom ) Svar: D xempel Lösevationen ) % ) v xempel Lös evationen % 5,dvs ) % eller ~ " medrötterna ~ förallareellatal 25

26 ) $ µ µ $ $ ) ) ) ) 1 $ µ ) µ µ ) µ : t ) ~ Ö-55 Bestäm reella lösningar till Ö-56 Bestäm reella lösningar till [1] ) 2 [2] ) v ) [3] A ) 3T [] % ) v ) [5] ) v % ) : etâ< [1] ) ) D (Sätt [2] ) ) " D [3] ) % ) 2 D [] ) v A % ) r ) 111 Logaritmer Förtio-logaritmen IMã$ ochnaturligalogaritmen ILÄ$ gäller IMã$ ),för $ IMÄ$ r,för $ BSFöratt ILãT$ resp IMÄ$ sallvaradefinieraträvsalltsåatt $ IMã d ILã D tytex $ d IM Y " d IM IMã d ILã5$ Specielltär r Av formlerna ovan följer ocså diret att ILã och IL förallareella äÿåœæ= ž + och nä xempel IMã ILã^ T xempel IMã t ILã xempel IM IL Ü = xempel Lösevationerna [1] %JILw [2] % föralla $ 3 Lösning: [1] %JILw [2] % µ IMw t»< tâ< á D IL tâ<ç Dtè 26

27 t µ µ µ ) ä 1 ) µ Ê µ Ö-57 Förenla Ö-58 Förenla [1] ILã` T [1] IL [2] ILã [2] IL ß [3] 1 á äÿå [3] IL 3 [] o á ž äÿå [] ä ž á [5] Ö-59 Lös evationerna Ö-60 Bestäm reella lösningar till: [1] ILã " [1] [2] ILw [2] %5 [3] %JILãm [3] %5 ) " ) v [] ) < ) ;: r [5] %5 ) ) : Urpotenslagarnaanmanhärledaföljandelogaritmlagar(för $ och ~ Sats Avlag2följerspecielltatt BS IL $ ~ [1] IL $&% ~ ILÄ$IL ~ [2] IL +é ILÄ$ IM ~ [3] ILÄ$aê Ô%BILÄ$ Logaritmlagarna Motsvarandelagargällerocsåförtio-logaritmen, ILã IL ~ IL ~ ärinteliamed IMÄ$IL ~ (Mycetvanligtfelatttromotsatsen) : D ): gäller enligt logaritmla- xempel Lösevationen %JIMãm %BIMã Lösning: Föratt IMãT sallvaradefinieraträvsatt garna, att %JIMãT 2 %JIMã < µ ILã ILã 1 För < 5 < < ILã ty 2 Ì Svar: <3T< 27

28 Y Ö-61 Förenla Ö-62 Sö reella lösningar till evationerna [1] ILã 2 IMã 2 [2] IL 52 :%JIL %BIL [3] ILã 2 :%JILã [] IL 3TA IL [5] IL IM < IL A IL T [6] ILã t t»< IMã IMã` t»2 IMã [1] ILw7 %BIM IL < [2] IMãy IMã [3] IL " IMw 1 : IM [] IL IMl IM [5] IL " IL IL [6] ILã ƒ IMã 9 IMã 2 Trigonometri 21 Vinelmätning Vinlar an mätas i(delar av) varv, grader eller radianer Med 1 radian menas storleen av centrumvineln i en cirelsetor, där periferibågen är lia lång som cirelns radie(rita en figur) Sambandenmellandeoliaenheternaär: varv : œq Yz radianer Härav fås: QS3 2 Y radianer och 1radian= 2 3aQqç¼<etë Y (ftasrivermaninteutenhetenradian,utansrivertex A QS3 Y ) Ö-63 Bestäm grader och radianer för Ö-6 Bestäm grader och radianer för [1] 3 varv [1] 3 varv [2] 3T varv [2] =< varv(ritafigur) Ö-65 mvandla till radianer Ö-66 mvandla till grader [1] g< Y [1] QS3 : [2] < Y [2] `QS3T2 [3] : Y [3] TQì3 [] Y [] =<aq 28

29 í 22 Rätvinliga trianglar IenrätvinligtriangelärenvinelAY Qì3(radianer)menavdeövrigavinlarnaär,blir dentredjevinelnqs3,eftersomvinelsummanientriangelär2yä QVinelnQS3T allas omplementvineln till Den sida som står mot den räta vinlen allas hypotenusa och de båda övriga sidorna allas ateter För rätvinliga trianglar gäller Pythagoras sats: b Sats Pythagoras sats De trigonometrisa funtionerna definieras(för QS3T): DFINITIN -P ƒe3 b motstånendeatet _3 hypotenusa Zn\ 3 ^ b närliggandeatet -3 hypotenusa UWVT 3T motståendeatet _3 närliggandeatet Zn\ U 3T närliggandeatet _3 motståendeatet Härur fås: bl% _P dw %BUWVT dw UWVT Ÿž5ï îí ð ñ ï bl% Zn\ ^ % Zn\ U,samtatt ð ñóò ï Föromplementvinlen( Qì3 )gäller: -P QS3T Zn\ dnz]\ RQS3 ^ -P UWVT QS3 Z]\ U dnzn\ U RQS3 UWV Man erhåller ocså: Trigonometrisa ettan Sats _P Zn\ BS -P _P (Fås diret ur Pythagoras sats) _P % _P Ç -P ärejliamed -P 29

30 Y Y b A Y b ô ô Y ç 3 < < xempel Solveraenrätvinligtraingelmed t T< och ô Y (se figur), dvs bestäm de sidorochvinlarsominteärgivna Lösning: Vinlen õ Y ô : < 3 YNuär -P ô b, varför sidan t t ç et -P -P < të5t (-P < Y fås med ränedosa, ränestica eller ur tabell) Vidareär UWV e3 ô,varför e3 UNVT ç³ t tè :: ç : tè Svar: õ : < d b ç¼ et,och wç : të (längdenheter) xempel Bestäm -P och Zn\,om UWVT 53< QS3T och Lösning: Ritaenrätvinligtriangelmedateterna och nligt Pythagoras sats är hypotenusan då < T varför -P dnz]\ ^ Dåär UNVT T 53T< Ö-67 Solvera följande rätvinliga trianglar(betecningar enligt figur ovan): [1] b t : och ô Y [2] t och t [3] t 5< och õ [] t»< och õ Y [5] et»< och b t»< [6] et» och ô QS3T Ö-68 Bestäm(för ) exata värdet av: [1] Z]\ och UNVT,om -P 3T (Ledning: Ritaenrätvinligtriangelmed och b ) [2] -P och UWVT,om Zn\ 3T [3] -P och Zn\ ^,om UWVT <3 [] -P och Zn\ ^,om Zn\ U të D 30

31 Vi härleder nu de trigonometrisa funtionernas värden förg<yd:yochty(m man inte an dessa värden utantill, måste man snabbt unna göra en härledning) För och,samthypotenusanb g<y QS3ärdenrätvinligatriangeln(figur1ovan)enhalvvadratDåärateterna,varför: _Pg<Y _P Q Z]\g<Y Z]\Q UNVTg<Y UNVT Q Z]\Ug<Y Z]\UQ För :Y QS3 n andenrätvinligatriangelnuppfattassomenhalvlisidigtriangel(figur2ovan)(ienlisidigtriangelärallavinlarnaliamed:y,varförvinlarnaienhalv lisidig triangel är:ydwayochy) Alltså är hypotenusanb T och Pythagoras sats ger,varför: För _P`:Y -P Q Z]\:Y Z]\Q UNVT`:Y UNVT Q Z]\U:Y Z]\UQ Y Qì3:erhållesunderbetratandeavsammafigursomför:Y: 31

32 : Y Q Q Q Q í _P Z]\ UNVT Z]\ U Y Y Y Y -P Z]\ UNVT Z]\ U : : :º : ty -P TY=(motsåendeatet)/(hypotenusan)= 3T 3 osv Ö-69 Bestäm exata värdet av Ö-70 Förenla [1] Zn\ [2] ƒz]\ Y [3] UNVT(: Y UWV Y Y -P _3ƒZ]\ Zn\ Y Y _3 UNVT g< Y -P : TY -P TY [1] ð ñ Ü %B Ÿž Ü 1 í ëö»ö (Ledning: använd potenslagarna) [2] òl ž Ü %B ð ñ Ü ëö í ëö [3] Ÿž Ü v ð ñ Ü 1 3 òø ž Ü v ð ñóò Ü í»ö í ëö ëö»ö 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar n vinel ränas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen ränat frånpositiva -axeln Antag,att d $ ärenpuntpåenhetscireln,varsevationär ;$ De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar definieras genom: 32

33 d 8 8 $ Q d p p 3 DFINITIN -P Zn\ UWVT Zn\ $ 3 för p dó r dvs 3 $ för $ p dù D dvs QS3T ; QS QS QS3 Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för, dvsför d $ (Ritafigur)ftersom -P $,är _P positivtförvinlariförstaochandra vadratenochnegativtitredjeochfjärdelinandereglerför Z]\ d UNVT dnz]\ U: Av definitionerna ovan följer diret att Sats [1] UNVT _P 3mZn\ ^ 3mZ]\ U och Zn\ U Z]\ _P 3 UWV [2] ½ -P ½¼ och ½ Z]\ ^ ½¼ Š förallavinlar Œ [3] _P D _P QS3T d _P Q r _P Qì3 d -P aq D [] Z]\ dnz]\ QS3 dnzn\ dnz]\ QS3T dnz]\ aq D " [5] _P -P F% aqs och Zn\ Z]\ ^ F% aqì,förvarjeheltal [6] _P Zn\ [Trigonometrisa ettan] 33

34 8 3 3 Q Q xempel Bestämexat: Z]\ ƒ5aqs3 : ) Lösning: Z]\ ƒ5aqs3 : Zn\ Qì3 : % aqs xempel Bestäm -P och Zn\,om Zn\ U Lösning: Medhälpavformeln Zn\ U Zn\ ^ Svar: _P samt triogometrisa ettan får man evationssystemet Zn\ ( -P Zn\ _P Zn\ RQS3 : och QS3 3T med lösningar 8 ftersom liggeriandravadranten,där Zn\ ^ och _P Z]\ =3 < ^ och _P 3 < Ö-71 I vilen vadrant hamnar följande vinlar? Ö-72 Bestäm exat [1] TQS3T [1] Zn\ Q [2] Y [2] -P aqs3 [3] < QS3 [3] -P TQS3g [] aqs3 : [] Zn\?=TQS35 [5] Y [5] UWV?fAQS3ag [6] Qì3T [6] Zn\ U? QS3T5 Zn\ -P ³ú T3 < 3g <,fås Ö-73Visaatt [1] 3mZn\ [2] 3 -P Ö-7Visa(förgodtycligaheltal )att UNVT [1] -P ` Q Zn\ U- D [2] Zn\ Q? s [3] -P 6 Ô QS3Ta [] Zn\ M Ô" QS3œ D s Ö-75 Bestäm exat Ö-76 Beräna exat [1] _P och UNVT,om Zn\ 53 och QS3 aq [2] Z]\ ^ och UWVT,om _P të û andra vadranten [3] -P och Zn\ ^,om QS3T UWVT [] -P och UWVT,om Zn\ ^ 3 och äri,och Q [1] -P Zn\ ^,om QS3T UWVT [2] _P Zn\ ^,om Zn\ U [3] UWVT Zn\ U,om _P Qì3 œq g3t och =3 och QS3T fa53 g<,och 3

35 2 Några enla 8trigonometrisa Z]\ _P Zn\^ _P formler 8 UNVT? UNVT _P Q¾ Z]\U ÀZ]\U -P Z]\ Q¾ qzn\ Sats 8 Z]\RQS3 _PRQS3= Zn\^ -P 8 UWVT QS3 Zn\U QS3= UNVT Z]\U 8 _P Z]\ QS Qì ÀZn\( _P 8 UWVT QS UWV Zn\U QS Z]\U Dessa formler an härledas med hjälp av spegling(se lärobo från gymnasiet) 35

36 Ê Ê Ê Q Ê xempel Bestäm Zn\ 6<aQS3 : Lösning: <œqs3 : liggeriandravadrantenanvändformeln Zn\ ÀZn\ Q Vifåralltså Z]\ <aq : Ì ÀZ]\ Ê Q¾ <aq : Ì ÀZ]\ : Ì xempel _P 5<aQ Ì -P Ê :% aq¾ Q Ì _P Ê Q Ì _P Q Ì Ö-77 Bestäm exat Ö-78 Bestäm exat [1] -P?`QS3g [1] -P Y [2] -P 6<aQì3 : [2] Zn\ Y [3] UWVT?`QS3T5 [3] -P? < TY [] Zn\ 6<aQì3g [] UWV Y [5] Zn\?=aQS3 : [6] UWVT 6aQS35 Ö-79 Bestäm exat Ö-80 Visa(utgående från formlerna ovan) att [1] -P œqs3t5 [2] UWVT 6<aQì3g [3] Zn\ 6< QS3T5 [] Zn\ U? Qì3T5 [1] UWV Q¾ [2] Zn\ U Q¾ Av formlerna ovan(i detta och föregående avsnitt) erhålles: Sats (1) _P -P hµ Ð% œq Q Ð% aq (2) Z]\ ^ Z]\ ^hµ Ð% aq Ð% aq eller eller UNVT ÀZ]\ U (3) UNVT UNVT hµ Ð% Q Isamtligaformlerovanär ettgodtycligtheltal 36

37 8 8 8 < % % % % ~ xempel Lös evationen -P Lösning: Qì3 nlösning är : Formel[1]ovanger _P Q tâ<, dvs bestäm alla vinlar som satisfierar evationen,ty -P?`QS3 : -P?`QS3 : -P QS3 : `QS3 µ : 3 Q Ql{ Qì3 eller : Svar: Qì3 : Q eller aqs3 :` Q,där ärettgodtycligtheltal Ö-81 Lös evationerna Ö-82 Lös evationerna [1] -P 3T 53T [1] -P [2] Zn\ ^ 3 [2] Zn\ 3 (Sätt < [3] UWVT [3] UWV Ö-83 Lös evationerna Ö-8 Lös evationerna [1] Zn\ Z]\ ^ [2] -P _P [3] UWVT UWV [] Zn\ _P [1] yzn\ [2] mzn\ [3] -P [] UWV "ü) Z]\ ^ (Sätt Z]\ ^ _P UNVT1 UWVT ) 25 Additions- och subtrationsformler Följande formler måste unna utantill eller unna härleda: Sats _P _P _P _P % Zn\ % Z]\ ^ ^ Zn\ Z]\ ^ ^ _P _P Z]\ Z]\ Z]\ Zn\ ^ ^ % Z]\ % Zn\ ^ ^ _P _P -P -P UNVT UNVT UWVT UNVT UWV UNVT _3 UNVT -3 zuwv %nunvt %BUWV BS -P ärinteliamed -P _P (alltför vanligt fel att tro motsatsen) 37

38 Y Y 8 8 % Q þ xempel Härledformelnför Zn\ Lösning: Zn\ Q _P Z]\ ^ % Z]\ utgående från formeln för _P Q Q -P cý óþ -P ÿý Q % Zn\ Zn\ ^ % -P ^ _P -P Ö-85Härledformelnför Ö-86Bestäm UNVT [1] -P utgående från formeln för -P [1] UWV 3 d UWVT _ (Ledning: [2] UNVT från formlerna för -P och [2] Zn\ UWV ed UNVT [3] UWVT frånformelnför UWVT Ö-87 Beräna exat Ö-88 Bestäm _P [1] -P < Y [Ledning: < g< [2] Zn\ T< [3] UWVT T<,om 3,om [1] -P 3Ted 3 -P och befinner sig i första vadranten 3T<ed 53< [2] -P -P och QS3T 26 Formler för dubbla resp halva vineln -P Zn\ % -P Zn\ % Z]\ ^ _P % Zn\ % _P -P ï Zn\ ï Zn\ Z]\ ^ ^ 38

39 attzn\ [1]Zn\ Ö-89 Härled Ö-90 Antag 3T Bestäm exat [1] formlerna förzn\ [2]-P dubbla vineln från additionsformlerna [3]-P3T []UWV3 [2] formlerna halva vineln från lämpliga formler Ö-91Bestämexat Ö-92Antagatt_P 53 ochatt [2]-P QS325 [1]-P<Y [1]-P QS3T [2]Zn\ Bestäm exat [3]UWVTTedˆ<Y [3]Zn\ 3 Plan analytis geometri 31 Avståndet mellan två punter Avståndet mellan två punterd$ochd$i ett > $ $ beränas med avståndsformeln(rita en figur): Avståndsformeln vanligt(ortonormerat) oordinatplan an Avståndsformlen bygger på Pythagoras sats [1]6edoch dˆ<t Ö-93 Bestäm avståndet mellan(och rita en figur) [3]? []?=edbf5ochdb= doch dbf5 [2]dn och origo [1]6dW5ochƒd Ö-9 [2]ƒ dw5ochdn Bestäm en punt på-axeln, som ligger lia långt från punterna 39

MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex

MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga 10000 ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola 12 96

Läs mer

Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar.

Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar. Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysialisa lagar. 1. Newtons gravitationslag och Newtons andra lag. Vi placerar ett rätvinligt oordinatsystem i solsystemet med solens medelpunt

Läs mer

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER. L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

6.4 Svängningsrörelse Ledningar

6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.166 b) Krafterna i de båda fjädrarna är lia stora och lia med raften på roppen (inses genom att man frilägger roppen och de två fjädrarna var för sig). Kroppens förflyttning

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet

Läs mer

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara

Läs mer

Diagnostiskt test 1 tid: 2 timmar

Diagnostiskt test 1 tid: 2 timmar Diagnostist test tid: timmar Detta är ditt första diagnostisa test i matemati å den är reetitionsursen. Ge dig själv oäng för varje rätt svar. (ge inga ½ oäng). edömning: - oäng Du ar tillräcliga förunsaer

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm Identification Label Student ID: h Student Name: Elevenät Fysi Solveret Bo Palaszewsi, Proetledare 106 20 Stocholm International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA,

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour RSA-rytering Torbjörn Tambour RSA-metoden för rytering har den seciella och betydelsefulla egensaen att metoden för rytering är offentlig, medan metoden för derytering är hemlig. Detta an om man funderar

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former:

KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former: KVADRAISKA FORMER Definition. ( av en vadratis form) En vadratis form är ett uttryc av typ nn nn aa iiii xx ii xx jj ii= jj= Några exempel på vadratisa former: QQ = 4xx + 5xx xx + 8xx xx 3 + 9xx + xx xx

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I SF2715 Tillämpad ombinatori Kompletterande material och övningsuppgifter Del I Jaob Jonsson 2 augusti 2009 Detta häfte innehåller ompletterande material till Del I av ursen SF2715 Tillämpad ombinatori,

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

geometri ma B 2009-08-26

geometri ma B 2009-08-26 OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel , ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: Georgi.Tchilikov@ide.hh.se, tel.035-167124, http://www.hh.se/staff/getc Ett försök till "strukturering" av innehållet (skrivet i första hand med

Läs mer

Lösningsförslag Dugga i Mekanik, grundkurs för F, del 2 September 2014

Lösningsförslag Dugga i Mekanik, grundkurs för F, del 2 September 2014 Lösningsförslag Dugga i Meani, grundurs för F, del 2 Septemer 2014 Till varje uppgift finns det ett lösningsförslag som exempel på hur uppgiften an lösas. Lösningsförslaget visar även hur lösningen ungefärligt

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

x(t) =A cos(!t) sin(!t)

x(t) =A cos(!t) sin(!t) Lösningsförslag. Rörelseevationen för roen ger som vanligt ẍ +! =,! = som tillsamman med begynnelsevilloren () = A, ẋ() = ger a) Så varför mavärdet av hastighetens belo är!a. q m A (t) =A cos(!t) ẋ(t)

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

Diagnostiskt test för Lp03

Diagnostiskt test för Lp03 Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick..

Läs mer