LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK"

Transkript

1 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra, mer fullstädiga, tabeller ä vad som ormalt är tillgägliga för studetera. Därför ka t.ex. kvatiler i ormalfördelige och t-fördeligar i lösigara vara bestämda med mycket god ograhet.. a Utfallsrummet består av 8 elemet. Ω {DDD, DDK, DKD, DKK, KDD, KDK, KKD, KKK} där A {exakt två defekta} består av utfalle A {DDK, DKD, KDD}. b Utfallsrummet består av 3 elemet Ω {,,, 3} där A {exakt två defekta} består av utfallet A {}. c Utfallsrummet är överuppräkeligt och ges av Ω {x : x } R + [,. Hädelse är {x : a < x < b} a, b. Utfallsrummet är överuppräkeligt och ka ges av Ω {x, y : x, y } R +. Hädelse är {x, y : x > a, y > a} a, a,. 3 Utfallsrummet är överuppräkeligt och ges av Ω {x,..., x : x,..., x } R +.. Utfallsrummet består av de 36 utfalle Ω {x, y : x, y {,, 3, 4, 5, 6}}. Med beteckigara a A {Poägsumma midre ä 6} så är A {x, y Ω : x+y < 6}, dvs. A består av de utfalle {,,,,, 3,, 4,,,,,, 3, 3,, 3,, 4, }. Således är P A /36. b B {Samma poäg vid båda kaste} så är B {x, x Ω}, dvs. B består av de 6 utfalle {,,,, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6}. Således P B /6. Ma ka också täka sig att ma kastar de ea tärige före de adra. De första tärige bestämmer det värde som ma skall träffa med de adra tärige. För varje utfall på de första tärige är saolikhete /6 att tärig kommer att visa samma värde tärigara är oberoede. c C { Åtmistoe ett av kaste ger precis två poäg } {,,,, 3,, 4,, 5,, 6,,,,, 3,, 4,, 5,, 6} och P C /36. d Slutlige, D { Åtmistoe ett av kaste ger mist fem poäg } iehåller distikta utfall och P D /36.

2 PSfrag replacemets :a tärige 4 3 PSfrag replacemets :a tärige 4 3 PSfrag replacemets :a tärige 4 3 PSfrag replacemets :a tärige :a tärige :a tärige :a tärige :a tärige.3 Givet är P A., P B. och P A B.5. Ett Ve-diagram för hädelsera ka se ut som: A B PSfrag replacemets Alltså, a P { Åtmistoe ett av fele } P A B P A+P B P A B b P {A me ej B} P A B P A P A B c P {B me ej A} P B A P B P A B d P {exakt ett av fele} P B A A B P B A + P A B Om A B så är P A B P A + P B vilket ite är möjligt. Alltså, A och B ka ite vara oföreliga disjukta..5 Rita figur! a Eftersom A och B är disjukta så är P A B P A + P B b Additiosformel för uioer ger P A C P A + P C P A C c Additiosformel för uioer ger P B C P B + P C P B C d Slutlige, P A B C P A B + P C P A B C P A + P B + P C P A C B C P A + P B + P C P A C + P B C

3 alterativt ka saolikhete beräkas via additiosformel för tre hädelser P A B C P A + P B + P C P A B P A C P B C + P A B C PSfrag replacemets A... C.3. B Vediagram där A och B är disjukta..6 Rita figur! a Ma ser att P B P B A + P B A där P B A P B A 7/8 /8. Alltså, P B /9 + /8 7/7. b Nu är P A B P A + P B P A B Rita figur! P A B P A A B P A + P A B , eftersom hädelsera är disjukta..8 Rita figur! Hädelse A ka delas i i två disjukta mägder: A B och A B. Alltså är P A P A B + P A B vilket omformas till P A B P A P A B. På samma sätt är P B A P B P A B, och då A B och B A är disjukta, så P A B B A P A B + P B A P A + P B P A B..9 a på samma sätt P A A P A A A P A + P A A P A A A } {{ } P A + P A A 3

4 och så vidare... P A + P A + P A 3 A P A + P A + + P A b P A A {de Morga} P A A P A A P A i P A i.. Mägde av alla stryktipsrader Ω {, x, } {, x, } har eligt multiplikatiospricipe m elemet vardera med saolikhet /m. a Låt A vara hädelse att ma får 3 rätt. Atalet elemet i A är eligt multiplikatiospricipe och P A g/m / g A 3 b Låt B vara hädelse att de första matchera är rätt. Atalet elemet i B ges av g B ty de första tolv matchera ka edast tippas på ett sätt och sista matche på godtyckligt sätt. Alltså P B g/m 3/ Notera att detta problem är ekvivalet med att få alla rätt då e stryktipsrad omfattar matcher. c Låt C vara hädelse att få precis rätt. Atalet stryktipsrader med tolv rätt där match i, i,..., 3, är fel är } {{ } } {{ }, i st 3 i st eftersom ma ka tippa match i fel på två sätt. Med 3 möjliga värde på i så är atalet stryktipsrader med exakt rätt C 3 6 och P A g/m 6/ Geerellt, låt D k vara hädelse precis k rätt. Eligt multiplikatiospricipe är atalet utfall i D k, # sätt att # sätt att # sätt att 3 D k välja ut k tippa k tippa 3 k k 3 k k matcher matcher rätt matcher fel så saolikhete för att e stryktipsrad har exakt k rätt ges av 3 k k 3 k k 3 k 3 P precis k rätt 3 3 k 3 3 för k,,..., 3. PSfrag replacemets.5. Saolikhet Atal rätt, k Saolikhetera för att få k rätt på stryktipset med e på måfå ifylld rad. 4

5 . Mägde av alla stryktipsrader Ω {, x, } {, x, } har eligt multiplikatiospricipe m elemet vardera med saolikhete /m. Låt A vara hädelse att ma får rätt. Atalet elemet i A är eligt multiplikatiospricipe g 3 eftersom varje match ka tippas fel på två sätt. Således, P A g/m /3 / Saolikhete för rätt beräkas på samma sätt till /3 så saolikhete för iget rätt är 496 gåger större ä saolikhete för alla rätt.. Saolikhete att det blad persoer ite fis ågo gemesam födelsedag är P Ige gemesam Atalet sätt vi ka välja ut födelsedagar uta par. Atalet sätt vi ka välja ut födelsedagar Uder ett atagade om att varje år har 365 dagar och att födelsedagar är likformigt fördelade över åre ka med multiplikatiospricipe bestämma saolikhete till P Ige gemesam ! !. Saolikhete för mist att det blad persoer fis mist e gemesam födelsedag är således PSfrag replacemets P Mist e gemesam P Ige gemesam 365! !..9 P Mist e gemesam fodelsedag Atal persoer För olika värde på bestäms saolikhete till P Mist e gemesam , och ma ser att för 3 eller fler persoer är saolikhete större ä 5%..3 Slumpförsöket består av att dra 5 kort uta återläggig på måfå ur e kortlek om 5 kort. Utfallsrummet består då av de m sätt som detta ka göras på. Atalet utfall som motsvarar e had med korte... a ess, kug, dam, kekt, tio i samma färg, är eligt multiplikatiospricipe # följder g # färger 4 ess,...,tio så saolikhete är g/m 4/

6 b fem kort i följd i samma färg, är eligt multiplikatiospricipe # följder om g # färger fem kort så saolikhete är g/m 36/ 5 5. c fem kort i samma färg, är eligt multiplikatiospricipe # sätt att g # färger välja fem kort 4 så saolikhete är g/m / Slumpförsöket består av att dra 3 kort uta återläggig på måfå ur e kortlek om 5 kort. Utfallsrummet består då av de m sätt som detta ka göras på. Atalet utfall som motsvarar e had med korte... a 5, 3, 3, är eligt multiplikatiospricipe # sätt att # sätt att # sätt att # sätt att g välja 5 välja 3 välja 3 välja så saolikhete är g/m.93. b fördelige 5,3,3, på godtyckliga distikta färger. Eligt ova är # sätt att välja 5 av färg # sätt att välja 3 av färg # sätt att välja 3 av färg 3 # sätt att välja av färg 4 så det som återstår är att bestämma på hur måga olika sätt ma ka fördela,, och över färg 4. Välj först vilka färger vi skall plocka tre kort av. Det ka göras på 4 6 sätt. För vart och ett av de sätte skall vi bestämma de färg som vi skall plocka 5 kort av. Vi har två färger kvar så detta ka göras på sätt. De sista färge ka bara väljas på ett sätt. Det totala atalet sätt som färgera ka fördelas är 4 och saolikhete är svaret i a Saolikhete att de två maskiera står bredvid varadra ka beräkas eligt Betrakta figurera P Bredvid varadra Atalet sätt att välja ett par Atalet sätt att välja två 6

7 Atalet sätt som ma ka välja ut två maskier är 8 8. Atalet par i de första kofiguratioe är 7 och i de adra 8, så saolikhetera blir 7/8 /4 och 8/8 /7 respektive..6 Betrakta de hög där ligger. Saolikhete att ligger i samma hög är /3 ett kort av tre möjliga, dvs. med saolikhet /3 ligger de i olika högar..7 Av N distikta eheter är s 6 defekta. Om ma väljer ut 5 på måfå uta återläggig så är eligt multiplikatiospricipe #sätt att välja #sätt att välja 5 blad de blad de defekta P defekta hela #sätt att välja 5 blad alla På samma sätt ka ma räka ut P eller defekt Om ma låter {X k} betecka hädelse att det fis k defekta blad de utvalda så ka ma på samma sätt bestämma saolikhete för hädelsera #sätt att välja #sätt att välja k blad de defekta hela k 5 k 5 k blad de 6 94 P X k. #sätt att välja 5 blad alla 5 för k,,..., 5 PSfrag replacemets P X k Atal defekta, k.8 Låt ura iehålla s svarta och v vita kulor och låt N s + v. Adele svarta är p s/n och adele vita v/n p. Dragig av kulor med återläggig ka ske på N sätt, ty vid varje dragig har ma N kulor att välja på. Av dessa är atalet dragigar av kulor som iehåller precis k svarta Välj ut vilka k dragigar av som skall ge svart kula a Saolikhete för exakt k svarta är P exakt k stycke k Välj ut k svarta sk v k N 7 Välj ut k vita s k v k. k s k v k p k N N k k p k,

8 för k,,...,. b Nu är c och P ågo blir fel P mist e svart P ige svart p p p P högst e fel P eller svart P svarta + P svart p p + p p p + p p. d Med 3 och p. fås de umeriska svare.7 och Att sigla ett myt gåger ka eligt multiplikatiospricipe ge olika resultat. Atalet av dessa som iehåller precis klave och kroor är att blad myt välja ut vilka som är klavar. Detta ka göras på sätt så saolikhete för lika måga kroor som klavar i e sekves om sigligar är P lika måga /!!!!!! π e π e π e π e. π. Låt s vara atalet svarta och v atalet vita kulor i ura. Vi drar e kula på måfå tills vi får e svart kula. Med återläggig. Om varje drage kula återförs till ura är saolikhete att ma får e svart kula s/s + v i varje dragig. Hädelse att vi måste dra fler ä k kulor är hädelse att de k första kulora är vita. Saolikhete för detta är v v P fler ä k s + v s + v v s + v } {{ } k stycke k v, s + v för k,,,.... Hädelse att vi måste dra precis k kulor är hädelse att ma sett sekvese k vita kulor följt av e svart. Saolikhete för sekvese är k v v v s v s P precis k, s + v s + v s + v s + v s + v s + v } {{ } k stycke för k,, 3,.... Uta återläggig. Hädelse att vi måste dra fler ä k kulor är hädelse att de k första kulora är vita. Vi ka välja ut k kulor blad s + v stycke på s+v k sätt. Atalet sätt av dessa som ebart iehåller vita kulor är v k så saolikhete att de k första är vita är / v s + v P fler ä k, k k för k,,..., v. Hädelse att vi måste dra precis k kulor är hädelse att ma sett sekvese k vita kulor följt av e svart. 8

9 Alterativ : Vi ka välja ut k kulor blad s + v stycke på s+v k sätt. Atalet sätt som vi ka välja ut k kulor så att k är vita och är svart är v s k. Detta är oavsett ordig så av dessa sätt är det bara adele /k stycke som har de svarta sist. Alltså är P exakt k v s k k s+v k v k s+v k Alterativ : Välj kula e i taget. Första kula har saolikhet v/s + v att vara vit. Om första är vit så är ästa vit med saolikhet v /s + v eftersom det är s + v kulor kvar i ura varav v är vita. Skall ma välja precis k vita följt av e svart får ma P exakt k v s + v s k. v s + v v k + s + v k + v! s s + v k s + v k! s v k! s + v! v! s + v k!k! s k! v k!k! s + v! k! v s + v s k! k! s v k. k k k Alterativ 3: Att välja ut bara vita kulor för de k första dragigara har saolikhet v k / s + v k för k,,..., v +. När ma valt ut dessa k vita fis det s + v k kulor kvar i ura varav s är svarta så saolikhete att de k vita följs av e svart är s/s+v k. Slutlige för k,..., v +. P precis k v k s+v k s s + v k s v k k s+v k s+v k,. a Med defiitioe av betigad saolikhet har ma att P adra sida röd sedd sida röd P adra sida röd sedd sida röd P sedd sida röd /3 / 3, eftersom täljare är saolikhete för hädelse att ma ser det helröda kortet och ämare fås av att hälfte av kortsidora är röda. b Det är ite samma chas för båda falle. Av ovaståde följer att P rödröd sedd sida röd P adra sida röd sedd sida röd /3 meda P rödvit sedd sida röd P adra sida vit sedd sida röd /3.. Låt A k vara hädelse ige sexa blad de k första kaste för k,,... Då är P A k P {ej 6:a i kast } {ej 6:a i kast } {ej 6:a i kast k} {ober} P {ej 6:a} P {ej 6:a} k

10 för k,,... Vidare så är eligt defiitioe av betigad saolikhet P A k+ A P A k+ A P A Om A k+ iträffar så iträffar äve A, dvs A k+ A A k+ P A k+ A P A k+ 5/6k+ P A 5/6 5/6k P A k..3 Låt A, B och C vara hädelse att perso A, B och C får vistlotte. Notera att hädelsera är disjukta och P A B C. Eftersom A tar första lotte är P A /3 P A B C. P B P B A P A + P B A P A eftersom PSfrag replacemets givet A fis två lotter kvar och P B A är således e halv. Slutlige, P C P C B P B + P C B P B 3 + Resoemaget illustreras ekelt med ett träddiagram: 3 3. /3 A vist B it C it A B C.4 Betrakta träddiagrammet över testförfaradet. PSfrag replacemets / B vist /3 C it A B C A it / B it C vist A B C Träddiagram som visar de tre möjliga falle: A vier, B vier och C vier. p Hitta defekt p Ej hitta defekt q q Träddiagram över testförfaradet. < defekta defekta Vid första steget udersöks 5 på måfå utvalda eheter av 5. Vi ka välja ut 5 av 5 på sätt. Av dessa är atalet sätt som ma ebart väljer felfria eheter # sätt att # sätt att välja blad defekta välja 5 blad hela 5 så saolikhete att ite fia ågo defekt vid första steget är 45 5 p P ige defekt

11 Om ma ite fuit ågo defekt ileds steg två där av de kvarvarade 45 ehetera udersöks. Dessa ka väljas ut på sätt. Atalet sätt av dessa som motsvarar ett val av eller defekt är så saolikhete q för färre ä två defekta är 5 4 q Saolikhete för att paritet accepteras är p q.434 och partiet avvisas med saolikhet.6..5 Frå e ura med v vita och s N v svarta kulor drar ma på måfå uta återläggig tills ma får e svart kula. Bestäm med successiv betigig saolikhete att ma får de första svarta kula i dragig k, k,,..., v +. Då har ma dragit sekvese k vita kulor följt av e svart. Alterativ : Betigig på varje dragig. Välj kula e i taget. Första kula har saolikhet v/s + v att vara vit. Givet att de första är vit så är de betigade saolikhete att ästa är vit v /s + v eftersom det är s + v kulor kvar i ura varav v är vita. Har ma dragit k vita kulor är äve kula k + vit med saolikhet v k/s + v k. Skall ma välja precis k vita följt av e svart får ma för k,..., v +. P exakt k v s + v v s + v v k + s + v k + v! s s + v k s + v k! s v k! s + v! v! s + v k!k! s k! v k!k! s + v! k! v s + v s k! k! s v k, k k k Alterativ : Betiga på dragige av de vita kulora. Att välja ut bara vita kulor för de k första dragigara har saolikhet / v s + v k k för k,,..., v +. När ma valt ut dessa k vita fis det s + v k kulor kvar i ura varav s är svarta så saolikhete att de k vita följs av e svart är s/s + v k. Slutlige s P precis k s + v k s v k, k för k,..., v +. v k s+v k s+v k s+v k.6 Låt A, B och C betecka hädelsera att ett på måfå valt batteri kommer frå fabrik A, B eller C. Vidare, låt R betecka hädelse att valt batteri har e låg livslägd. Eklast illustreras sambadet mella hädelsera och deras betigade saolikheter i ett träddiagram såsom det eda. Saolikhete för tex. hädelse att ma väljer ett batteri frå fabrik A som räcker läge, P A R, ka beräkas som P R A P A, dvs. geom att multiplicera grearas saolikheter.

12 PSfrag replacemets.5 Fabrik A.95.5 Räcker läge Räcker ite läge A R A R. Fabrik B.97.3 Räcker läge Räcker ite läge B R B R.3 Fabrik C.98. Räcker läge Räcker ite läge C R C R Alltså, P A R P R A P A P B R P R B P B P C R P R C P C och P R P A R B R C R P A R + P B R + P C R.963. Vidare så är och P A R P A R P A R P R P A R P R P R A P A P R E jämförelse mella P A R, P A R och P A ger vid hade att P A R skiljer sig midre frå P A.5 ä vad P A R gör. Notera att P A P A R P R + P A R P R och att alla saolikheter är på itervallet [, ]. Ma ka se P A som ett viktat medelvärde av P A R och P A R med viktera P R och P R respektive. Detta medför att om P A R är midre ä P A så måste detta balaseras av att P A R är större ä P A och vice versa. Om P R är ära ett, så att P A R har e stor vikt, så måste e lite avvikelse mella P A R och P A balaseras av e större motsatt avvikelse mella P A R och P A..7 Låt F vara hädelse de flyttade kula är vit och V hädelse de draga kula är vit. a Då är F hädelse flyttad kula svart och P V P V F V F P V F + P V F P V F P F + P V F P F

13 PSfrag replacemets b Vi söker u P F V. P F V P F V P V P V F P F P V /5 Flytta vit /3 /3 Drag vit Drag svart P V F P V F P F /3 /5 4/5 P V F /3 /5 /5 3/5 Flytta svart /3 /3 Drag vit Drag svart P V F /3 3/5 3/5 P V F /3 3/5 6/5 PSfrag replacemets.8 Låt S vara hädelse att e skickad bit är e :a och M vara hädelse att e :a mottagits. Beroedet mella S och M ges av träddiagrammet eda..4 Säd.99. Mottag Mottag P S M P M S P S P S M Säd..98 Mottag Mottag P S M..6. P S M De sökta saolikhetera är kolla figure! P S M P S M P M P M S P S P M S P S + P M S P S och P fel P S M S M Låt p vara perso A:s träffsaolikhet och q vara perso B:s träffsaolikhet. Persoera träffar oberoede av varadra och A börjar skjuta. Saolikhete att A träffar först är ett jämt atal missar följt av e träff. P A träff + P A miss, B miss, A träff + P A miss, B miss, A miss, B miss, A träff + p + p qp + p q p qp + p p q k p s k {geometrisk serie} } {{ } k k s p s p p q. Med p / och q /9 blir saolikhete p p q / / /9 /9. 3

14 .3 Låt p k vara saolikhete att A vier givet att A har k kroor. Betigig på hur första siglige utfaller ger.3 p k P A vier med k + kroor A vier första P A vier första + P A vier med k kroor A förlorar första P A förlorar första p k+ + p k. Vi skall lösa p k p k + p k+, k,,..., a + b eller p k+ p k+ + p k för k,,..., a+b, uder bivillkor att p om A ite har ågra pegar förlorar A och p a+b A vier om B ite har ågra pegar. De homogea differesekvatioe har allmäa lösigar på forme p k Ac k för kostater A och c. Isatt i differesekvatioe fås Ac k+ Ac k+ + Ac k Ac k c c +. De karaktäristiska ekvatioe c c+ c har dubbelrote c som lösig. Det allmäa lösige för p k blir då p k A k + A c k A k + A k A k + A för kostater A och A. Bivillkore bestämmer kostatera p A + A A p a+b A a + b + A A a + b + A /a + b Alltså: p k A k + A a + b k. för k,,..., a + b, och speciellt p a a/a + b och p a a/a + b b/a + b. a Med data: k t s v 4 fås P S /4 /, P T /4 / och P S T /4. Alltså är och hädelsera är oberoede. b Med data: P S T 4 P S P T k t s v fås P S / /, P T / / och P S T /. Alltså är P S T 4 P S P T och hädelsera är ite oberoede. Givet iformatio att det draga föremålet är säg svart ökar saolikhete att det också är e tärig. P T S /. 4

15 .3 a A B och C är disjukta, dvs A B C så P A B C. b P A B C {disjukta} P A B + P C P A + P B P A B + P C {A och B oberoede} P A + P B P A P B + P C c P A B C P A B + P C P A B C P A P B + P C PSfrag replacemets.4 A.6.4 B.5 C.6 Vediagram där C är disjukt med de oberoede hädelsera A och B.33 För att udersöka om A och B oberoede skall ma svara på fråga om P A B är lika med P A P B. Nu är P A B P A B.88.. P A B P A B Likhete P A B P A B + P A B + P A B ger P A B P A B P A B P A B P A P A B + P A B P B P A B + P A B Alltså är P A B P A P B och A och B är oberoede. PSfrag replacemets A B.8 Vediagram där hädelsera A och B är oberoede. 5

16 .34 Saolikhete att e tillverkad kompoet har mist ett av fele Alterativ : Hädelse ågot av fele A B C och P A B C {de Morga} P A B C {oberoede} P A P B P C Alterativ : Hädelse ågot av fele A B C och P A B C P A + P B + P C P A B P A C P B C + P A B C {oberoede} P A + P B + P C P A P B P A P C P B P C + P A P B P C Alterativ 3: Låt X beskriva atalet fel hos produkte. {X } A B C så utyttjades oberoedet P X P A P B P C.684 och på samma sätt fås P X P A P B P C + P A P B P C + P A P B P C.83 P X P A P B P C + P A P B P C + P A P B P C.3 P X 3 P A P B P C. Vi söker P X P X PSfrag replacemets A C Vediagram där hädelsera motsvarade fele A, B och C är oberoede. B.35 Låt A vara hädelse att det draga kortet är hjärter och B hädelse att det draga kortet är ess. Vi får omedelbart att P A 3/5 /4 och P B 4/5 /3. Hädelse A B är hädelse att det draga kortet är hjärter ess och vi får då att P A B /5. Det iebär att P A B P A P B varför A och B är oberoede. b Defiiera A och B som i a ova. Vi får då att P A 3/48 och P B 4/48 /. Vidare ser vi att P A B P draga kortet är hjärter ess /48 varför vi ite har att P A B P A P B. Hädelsera A och B är ej oberoede..36 Låt A och B vara två hädelser med P A > och P B >. 6

17 a Om A och B är oföreliga disjukta, A B, så är och hädelsera är ite oberoede. b Om A och B är oberoede så är så A B och A och B är ej oföreliga. P P A B P A P B > } {{ } } {{ } > > P A B P A P B > } {{ } } {{ } > >.37 Låt K,..., K vara de oberoede hädelsera att kompoeter,..., fugerar e give tid. P K i p i. a Då gäller för ett seriesystem P Syst. fugerar P K K {ober.} P K P K p p. b För ett parallellsystem har vi att P Syst. fugerar P K K P K K {ober.} c Med 4 och p i.9 får ma P K P K p p. P Seriesystem fugerar P Parallellsystem fugerar Ett elektrorör håller mer ä t timmar med saolikhet e.t för t. Saolikhete att ett elektrorör går söder iom 5 timmar p 5 e. 5 e.63. Saolikhete att två oberoede elektrorör går söder iom 5 timmar blir således p 5 p 5 e Att ett elektrorör håller mer ä timmar ges av q e. e.353. De sökta saolikhete är P Rör <5 och Rör> eller Rör > och Rör<5 P Rör <5 och Rör> + P Rör > och Rör<5 P Rör <5 P Rör> + P Rör > P Rör<5 pq + qp pq Se äve uppgift.37. För två kompoeter, låt A och B vara de oberoede hädelsera att respektive kompoet fugerar. Notera att med två kompoeter är hädelsera {seriesystem fugerar} A B och {parallellsystem fugerar} A B A B. a Hädelse {seriesystem fugerar} A B så med oberoedet P {seriesystem fugerar} P A B P A P B

18 b Kompoetredudas motsvaras av e seriekopplig av två parallellsystem där parallellsystem fugerar med saolikhet P {parallellsystem fugerar} P A A P A A P A P A Motsvarade för parallellsystem är P A P A P {parallellsystem fugerar} P B B P B B P B P B P B P B Seriekopplige av dessa två system har fuktiossaolikhet P {system fugerar} P {parallells. fugerar} {parallells. fugerar} c Systemredudas iebär e parallellkopplig av två seriesysteme, där varje seriesystem har fuktiossaolikhet.7. Parallellkopplige har fuktiossaolikhet P {system fugerar} P {seriesystem fugerar} {seriesystem fugerar} P {series. fug} P {series fug} Låt A och B vara hädelsera att resp. vattekraftverk fugerar och C att värmekraftverket fugerar. Vi vet att P A.98, P B.98, P C.9 samt att hädelsera är oberoede. Följade 8 sceario är möjliga. Ett x markerar att hädelse har iträffat. Saolikhete i rad 3, säg, bestäms som P A B C {ober.} P A P B P C A B C saolikhet effekt x x x x x x x x x x x x Modellerar vi de möjliga effektera som utfall tillskriver vi effektera utfalle {,,, 3, 4} saolikheter: utfall saolikhet De maximala effekte är 4MW. Hädelse att mist hälfte av de maximala effekte är tillgäglig består av utfalle {, 3, 4} med saolikhet Rita ett träddiagram. Låt p.6 vara saolikhete att A vier e match, dvs p.4 är saolikhete att B vier. 8

19 PSfrag replacemets p A vist B vist p p A vist B vist A vist p p A vist B vist A vist B vist B vist Träddiagram för de möjliga utgågara är A och B spelar teis Matche är slutar efter set om A vier båda eller B vier båda. Detta sker med saolikhet p p + p p Således slutar matche efter tre set med saolikhet Vidare A vier med saolikhet se träddiagrammet p p + p pp + pp p 3 pp Om det sjätte skottet träffar måltavla tre har ma blad de fem första skotte haft två träffar och det sjätte skottet är e träff. Alltså, saolikhete är P { träffar och 3 missar blad de 5 första} {sista träff} {oberoede skott} Låt X betecka det ummer där lyckohjulet med ummer staar. De möjliga värdea på X är S X {,,..., }. Ett rättvist hjul har samma saolikhet för alla ummer, dvs p X k P X k p beror ej av k. Eftersom p X k p p k S X PSfrag replacemets. så är p /, dvs P X k / för k S X. Med. ummer så är. P.4 < X 5 P {X 3} {X 4} {X 5} P X 3 + P X 4 + P X PSfrag replacemets k P X k P X k P X k Vistummer, k P X k Vistummer, k 3. Låt de stokastiska variabel X ha saolikheter P X k mk k! e m 9

20 för ågot tal m > och k,,,.... Vi söker saolikhete P < X < 5. Alltså, P < X < 5 P {X 3} {X 4} P X 3 + P X 4 m3 3! e m + m4 4! e m 43 6 e e e Lottera i lotteriet fördelas eligt Atal lotter vistbelopp Totalt Låt X beskriva vistbeloppet av e på måfå vald lott. De möjliga värdea på X är S X {, 5,, }. Saolikhetsfuktioe för X ges av och p X x för övrigt. p X P X 964/.964 p X 5 P X 5 3/.3 p X P X 5/.5 p X P X /. 3.4 De möjliga värdea på X är S X {,, 3,...}, ett uppräkeligt oädligt atal värde. Hädelse X k, där k,,..., är hädelse att ma sett sekvese k defekta eheter följt av hel ehet. Saolikhete för e såda sekves är, med hjälp av oberoedet P X k P {k- defekta följt av hel} p p p p p k p } {{ } k st för k,, 3, Låt A k stå för hädelse att termial k aväds, k,, 3. De stokastiska variabel X ka ata värdea,, och 3. Vi erhåller att Vi ser också att P X P A A A 3 {oberoede} P A P A P A P X 3 P A A A 3 {oberoede} P A P A P A Hädelse {X } är hädelse {A A A 3 } {A A A 3} {A A A 3 }. Vi erhåller P X P A A A 3 A A A 3 A A A 3 P A A A 3 + P A A A 3 + P A A A 3 P A P A P A 3 + P A P A P A 3 + P A P A P A 3 4. De sista saolikhete P X fås eklast som P X P X P X + P X + P X 3. Vi har alltså 4 för k, 6 p X k P X k 4 för k, 4 för k, 6 4 för k 3.

21 3.6 Hädelse A består av utfalle {,, }, hädelse B av {,, } samt C av {, }. Varje tärigsutfall har saolikhet /6 och följade schema ger viste som fuktio av utfallet: utfall A B C vist etto x x x x x + 3 x x x 3 3 Låt X beskriva spelares ettovist. De möjliga värdea på X är { 3,,, 3}. Saolikhetsfuktioe p X x ges av p X 3 P X /6 p X P X 3 /6 p X P X 5 /6 p X 3 P X 6 /6 och p X x för övrigt. 3.7 Låt A och B vara hädelsera att resp. vattekraftverk fugerar och C att värmekraftverket fugerar. Vi vet att P A.98, P B.98, P C.9 samt att hädelsera är oberoede. Följade 8 sceario är möjliga. Ett x markerar att hädelse har iträffat. Saolikhete i rad 3, säg, bestäms som P A B C {ober.} P A P B P C A B C saolikhet atal fugerade effekt x x x x x x x x x x x x Låt X beskriva tillgäglig effekt och Y atalet fugerade kraftverk. De möjliga värdea på X är {,,, 3, 4} med saolikhetsfuktioe: och p X x för övrigt. utfall, x p X x De möjliga värdea på Y är S Y {,,, 3} med saolikhetsfuktioe: utfall, x p Y x och p Y x för övrigt.

22 3.8 De möjliga värdea på X är S X {,,,...} där P X k p k för k,, 3,... och ågot p >. Nu är så k S X P X k P X + k p k P X k P X + P X k k P X + p P X k p p p p. k p k P X + p p. Om uttrycke för P X k, k S X, skall vara giltiga så skall P X k vilket ger eller < p /. p p 3.9 a Låt X vara ffgp-fördelad. Då är P X k p k p för k,, 3,...,. Vidare P X udda udda k P X k P X i + p i+ p i p p i p q i p } {{ } q p p p. i i q Notera att p ger P X udda och p ger P X udda /. b Låt X vara Pom-fördelad. Då är P X k mk k! e m för k,,,...,. Vidare Vi vet att för alla x. Alltså är och P X udda e x + e x e x e x Utyttjas detta får vi att k k udda k x k k! + P X k k x k k! k P X udda e m udda k e x x k k! x k k! m k k! udda k k k k x k k! e m i m k k! e m e m x k k + k k! x k k k k! e m e m udda k jäma k udda k m k k!. x k k! x k k!. e m. Saolikhete P X jäm P X udda. 3. De möjliga värdea på X ges av itervallet S X [,. Itervallet iehåller ett överuppräkeligt atal värde och dessa ka ite alla tillskrivas positiva saolikheter.

23 Ett rimligt utseede på fördeligsfuktioe är F X t P X t t för t < eftersom saolikhete att få väta högst t miuter är saolikhete att komma till statioe uder ett tidsitervall om t miuter före ästa tåg av möjliga miuter. Med P a < X b F X b F X a och P a < X b fås att F X t är primitiv fuktio till f X t och likformig fördelig på itervallet [, ]. f X t d dt F Xt, t, 3. Låt X beskriva lägde av ett telefosamtal. Givet är att för t är e t/m P Samtal lägre ä t P X > t för ågo kostat m >. Alltså är fördeligsfuktioe för X: för t. Således har X täthetsfuktio F X t P X t P X > t e t/m f X t d dt F t/m Xt e m m e t/m, för t. Saolikhete P < X bestäms på två alterativa sätt: b a f X x dx Alterativ : Med m.5 fås P < X [ ] f X x dx m e x/m dx m e x/m m e /m e /m.5. Alterativ : Med m.5 fås P < X F X F X e /m e /m e /m e /m Vi söker saolikhete P X > 6.3 där X har täthetsfuktioe för m.35. f X x m e x/m, då x. Alterativ : Direkt frå täthetsfuktioe. P X > f X x dx e x/.35 dx [ e x/.35 ] 6.3 e 6.3/

24 Alterativ : Via fördeligsfuktioe. För t är Nu är F X t P X t t f X x dx t m e x/m dx e t/m. P X > 6.3 P X 6.3 F X 6.3 e 6.3/m e 6.3/ De stokastiska variabel X har fördeligsfuktio F X x P X x e x / för x. Vi söker mediae µ, de pukt såda att P X µ P X µ. Me då är så µ bestäms ur P X µ P X µ + P X µ + P X µ } {{ } P X µ F X µ. Med uttrycket för fördeligsfuktioe får ma / e µ / e µ / / µ / l/ µ / l µ l. Täthete för X fås ur f X x d dx F Xx e x / x xe x /, x. 3.4 De stokastiska variabel X har fördeligsfuktio för x. Parameter b a c. Täthete för X fås ur F X x P X x e x/ac e xc /b f X x d dx F Xx e xc /b Vi söker mediae µ, de pukt såda att b cxc cxc b P X µ P X µ. e xc /b cxc a c e x/ac x. Me då är P X µ P X µ + P X µ + P X µ } {{ } 4

25 så µ bestäms ur P X µ F X µ. Med uttrycket för fördeligsfuktioe får ma / e µc /b e µc /b / µ c /b l/ µ c /b l µ b l /c al /c. PSfrag replacemets.8.6 a, c a, c a, c Täthetsfuktioe f Xx för Weibullfördelige vid ågra värde på a och c. 3.5 Låt X beskriva avstådet mella parkerigsfickas börja och bile. Om vi parkerar bile på måfå i ficka asätter vi modelle att X är likformigt fördelad på itervallet till meter, dvs. f X x /8 då x 8. 3 meter PSfrag replacemets Vår bil X meter 5 meter 8 X meter E aa bil får plats om vår bil står tidigt X < 3 eller set X > 5 i ficka. Med siffror P {aa bil får plats} P {X < 3} {X > 5} 3 f X x dx f X x dx Låt X beskriva livslägde för e trasistor. Modell: X är expoetialfördelad med parameter m, dvs. f X x m e x/m e x/, för x och f X x om x <. 5

26 a Vi erhåller P X < 6 6 f X x dx 6 m e x/m dx [ e x/m] 6 e.6.45 b Låt A k vara hädelse att trasistor k upphör att fugera iom 6 timmar, k,,3,4,5. Motsatse till att ågo upphör att fugera iom 6 timmar är att alla fugerar mist 6 timmar. Härav får vi att och P mist e upphör fugera iom 6 timmar P alla fugerar mist 6 timmar P mist e upphör fugera iom 6 timmar P A A A 5 P A P A P A Felitesitete λx ka uttryckas i f X x och F X x geom följade iakttagelse: λx lim P x < X X + h X > x h h defiitio av betigig lim P {x < X X + h} {X > x} /P X > x h h hädelse {x < X < x + h} {x < X} lim P x < X X + h / P X x h h uttryck saolikhetera med hjälp av fördeligsfuktioe lim h h F Xx + h F X x/ F X x F X x lim h idetifiera defiitioe av derivata d F X x dx F Xx F X x f Xx. F X x + h F X x h Om X är expoetialfördelad så är f X x m e x/m för x. Således är och F X x P X x x f X t dt x m e t/m dt e x/m λx f Xx F X x m e x/m e x/m m, dvs. kostat felitesitet. Detta defiierar expoetialfördelige. Om X är Weibullfördelad så är F X x e x/ac för x. Således är f X x d dx F Xx e x/ac cxc a c cxc a c e x/ac. 6

27 och Alltså är λx c λx f cx Xx F X x a e x/ac c e x/ac cxc a c. avtagade för c < kostat för c. Då c är X expoetialfördelad med parameter a. växade för c > 3.8 Låt X vara tide då maski A går söder. Modell: X är expoetialfördelad med E X m. Då är saolikhete att P X + k, + k] +k +k f X x dx +k +k Saolikhete att maski A får söder meda arbetare är vid maski B är P X + k, + k] P {X + k, + k]} k k P X + k, + k] k e +k/m e +k/m k m e x/m dx e +k/m e +k/m. e /m e /m e k/m e /m e /m e /m } {{ } k k q e /m e /m q k e /m e /m q k e /m e /m e e/m /m e /m e /m e /m e /m + e /m +. Notera att då m så går saolikhete mot och då m så går saolikhete mot /. Med m fås saolikhete till e Då X har f X x /4 för x 4 och Y har f Y y /6 för y 6 och X och Y är oberoede så är f X,Y x, y f X x f Y y för x, y [, 4] [, 6]. Bestäm P X < Y. k Alterativ : Eligt defiitioe P X < Y x<y 4 f X,Y x, y dydx 6 x 4 dx x ] 4 [6x x 3. f X,Y x, y dydx 4 6 x 4 dydx Alterativ : Ur figure. Uder likformig fördelig att få ett utfall i det markerade området ges som förhålladet mella areora. Rektagel har area Triagel med hör i,, 4, 4 och 7

28 4, har area 4 4/ 8. Saolikhete är alltså y 6 PSfrag P X < Y 4 replacemets x < y x > y 4 x 4. Låt X beskriva tide tills perso A får app och Y tide tills B får app. Modell: X och Y är oberoede och expoetialfördelade med parametrar a resp. b. Då X har f X x a e x/a för x och Y har f Y y b e y/b för y och X och Y är oberoede så är f X,Y x, y f X x f Y y a e x/a b e y/b för x, y [, [,. A vier om A får app först, dvs om X < Y. Så P A vier P X < Y och eligt defiitioe P X < Y f X,Y x, y dydx f X,Y x, y dydx a e x/a b e y/b dydx a x<y [ ] a e x/a e y/b b b [ e x/a+/b x x dx ] a + a b Om a b är saolikhete b/b + b /3. a + b 4.3 De tvådimesioella stokastiska variabel X, Y har simulta täthet x a e x/a e x/b dx a e x/a+/b dx b a + b. för x, y. f X,Y x, y xy + ce x+y + c a Margialfördeligara bestäms ur f X x f Y y b Då c är + c e x c + x c + e x. f X,Y x, y dy + c xy + ce x+y dy + c e x [xy + ce y ] + xe y dy } {{ } + c e x c f X,Y x, y dx + c xy + ce x+y dx c + y c + e y. f X x f Y y xe x ye y xy e x+y f X,Y x, y xy + ce y dy c + [ xe y ] } {{ } x för x och y. Alltså är f X xf Y y f X,Y x, y för alla x och y så X och Y är oberoede. Om c så är f X xf Y y f X,Y x, y, dvs X och Y är ej oberoede. 8

29 4.4 Låt X, Y beskriva skillade mella puktes utprickade och faktiska positio där X och Y är oberoede N, -fördelade stokastiska variabler. Avstådet mella utprickad och faktisk positio ges av R X + Y och vi söker P R. P R P X + Y P X + Y 4 f X,Y x, y dx dy x,y:x +y 4 utyttja oberoedet f X xf Y y dx dy e x / e y / dx dy π π x,y:x +y 4 x,y:x +y 4 π e x +y / dx dy x,y:x +y 4 iför polära koordiater r och θ r 4,θ [,π] substitutio u r /, du r dr π e r / r dr dθ e u du e. π e r / r dr π dθ } {{ } 4.5 Iakttagelse att bolle uddar ätet om bolles cetrum är ärmre ä avstådet r frå e tråd, ger att saolikhete för att ite udda ät ka skrivas som e kvot mella träffyta på avståd r frå tråd och hela träffyta. a De totala träffyta har area a a a, meda yta på avståd r frå tråde är a r. Alltså, a r P {ej udda ät} a a r. b E hexago med sidlägd a ka delas i i triaglar eligt figure. Triagels höjd är m.h.a. Pythagoras 3a/ så träffyta blir 3a /8. Yta på avståd större ä r frå triagels bas är så saolikhete blir bas höjd a/ r 3 3a/ r P {ej udda ät} a/ r 3 3a/ r 3a /8 r 3a. Om ma iser att areora är proportioerliga mot kvadratera på hypoteusora får ma direkt kvote a r/ 3 /a. a r a PSfrag replacemets r r PSfrag replacemets a r a/ a/ a 9

30 5. Fuktioe gx cosx 3π avbildar x,... 5, eligt x cosx 3π dvs de möjliga värdea för Y gx ges av S Y {, }. Vi erhåller därför p Y P Y P X + P X 4 5 p Y P Y P X + P X 3 + P X Låt U vara likformigt fördelad på [, ] Då är f U x då x och för t. F U t P U t t f X x dx t dx t a Med X a+b au så ges de möjliga värdea för X av S X [a, b] och X har fördeligsfuktio F X t P X t P a + b au t P U t a t a F U t a b a b a b a för a t b. Deriveras dea fås täthete dvs likformig fördelig på [a, b]. f X t d dt F Xt b a Med X m lu så ges de möjliga värdea för X av S X [, och X har fördeligsfuktioe F X t P X t P m lu t P lu t/m P U e t/m P U e t/m F U e t/m e t/m. för t. Deriveras dea fås täthete dvs expoetialfördelige med parameter m. f X t d dt F Xt m e t/m, t, b Avbildige t F t är e avbildig, till [, ]. Iverse F avbildar [, ] på,. Med X F U så har X fördeligsfuktio: F X t P X t P F U t {Kolla figur.} P U F t F U F t F t. 3

31 F u F t PSfrag replacemets t F u Sambad mella fuktioe F t och iverse F u. 5.3 Låt X beskriva positioe för e jordbävigs epicetrum i förkastigsspricka. Modell: X är R[ a, a], dvs f X x, a x a. a Med Y som avstådet mella damm och epicetrum fås med Pythagoras sats Y X + d. De möjliga värdea på Y är S Y [d, a + d ]. För ett t S Y så är F Y t P Y t P X + d t P X t d P X t d P t d X t d t t d d f X x dx. t d a Täthetsfuktioe fås geom deriverig [ ] f Y t d dt F Y t d t d t dt a a t d, för d t a + d. 5.4 Låt X t beskriva atalet samtal uder itervallet [, t]. Låt T beskriva tide till första samtalet. PSfrag replacemets T t Atal samtal X t De möjliga värdea på T är S T [,. Notera att {T > t} och {X t } är samma hädelse. Så, med modelle att X t är Poλt så T har fördeligsfuktio F T t P T t P T > t P X t λt e λt e λt! för t. Deriveras dea fås täthetsfuktioe f T t d dt F T t λe λt m e t/m för t och m /λ. Alltså, T är expoetialfördelad med vätevärde /λ. 3

32 5.5 Låt X beskriva de tid som fru Svesso parkerar. Modell X är likformigt fördelad på itervallet [, 6], dvs f X x x 6. 4 Med Y som de avgift fru Svesso betalar i parkerigsavgift ges de möjliga värdea på Y av S Y {4, 6, 8}. Vidare så är p Y 4 P 5 X < 3 p Y 6 P 3 X < 45 p Y 8 P 45 X < f X x dx f X x dx f X x dx 3 8. f X x dx Om X är kotiuerlig och har möjliga värde på, så har Y X möjliga värde på S Y [,. Där har Y fördeligsfuktio F Y t P Y t P X t P t X t P t < X t F X t F X t. Deriveras fördeligsfuktioe fås täthete f Y t d dt [F Xt F X t] f X t f X t f X t + f X t. för t. Om X har täthet f X t πσ e t /σ. så har Y täthet f Y t e t /σ + e t /σ e t /σ. πσ πσ πσ 5.7 Låt θ vara likformigt fördelad på itervallet [ π, π ], dvs har täthet f θx /π för π x π. Då är fördeligsfuktioe för θ F θ t P θ t t f θ x dx t π/ t + π/ dx π π π t π. Träffpukte läge på y-axel ges av Y d ta θ. De möjliga värdea på Y ges av S Y, och Y har fördeligsfuktio F Y t P Y t P d taθ t P θ ta t/d F θ ta t/d Deriveras dea fås täthete π ta t/d +. f Y t d dt F Y t π + t/d d π d d + t. 5.8 Låt Y mix,..., X och Z maxx,..., X. Lösige till problemet bygger på iakttagelse att om maxx,..., X t så är alla X,..., X högst t. På samma sätt att om mix,..., X > t så är alla X,..., X större ä t. 3

33 Med Z eligt ova så har Z fördeligsfuktio F Z t P Z t P maxx,..., X t P X t,..., X t {oberoede} P X t P X t F X t F X t. På samma sätt har Y fördeligsfuktio F Y t P Y t P Y > t P mix,..., X > t P X > t,..., X > t {oberoede} P X > t P X > t P X t P X t F X t F X t. 5.9 Låt Y mix,..., X. Lösige till problemet bygger på iakttagelse att mix,..., X > t är ekvivalet med X > t,..., X > t. För e expoetialfördelig så är för t. Alltså är P X > t t f X x dx t m e x/m dx [ e x/m] e t/m t P Y > t P mix,..., X > t P X > t,..., X > t {oberoede} P X > t P X > t e t/m e t/m e t/m. Detta ger att Y har fördeligsfuktio F Y t P Y t P Y > t e t/m för t. Med m m/ så är och F Y t e t/m f Y t d dt F Y t m e t/m då t, dvs. Y är expoetialfördelad med parameter m m/. 5. Uder likformig fördelig är saolikhete att få ett utfall med radie högst r, kvote mella area med högst t, dvs. cirkelskiva med radie t, och de totala area, cirkelskiva med radie r. Alltså, med X som avståd till mittpukte är F X t πt πr t/r för t r. Låt Y vara avstådet för e aa pukt vald på måfå oberoede av X. Då, med Z mix, Y, är F Z t P Z t P mix, Y t P mix, Y > t P X > t, Y > t för t r. P X > t P Y > t P X t P Y t F X t F Y t t/r, 5. Låt X och X beskriva oberoede belastigsgräsera för tråd resp. tråd i wire. Wire går söder vid belastig a om mix, X < a/ och maxx, X < a. 33

34 Alterativ : Wire går söder med saolikhet P {mix, X < a/} {maxx, X < a} {utyttja P A B P B P B A } P maxx, X < a P {maxx, X < a} {mix, X a/} { } utyttja maxa, b < t a < t, b < t och mia, b > t a > t, b > t P X < a, X < a P a/ X < a, a/ X < a {utyttja oberoedet} P X < a P X < a P a/ X < a P a/ X < a F X a F X a F X a/ F X af X a/ F X a/. Alterativ : Låt p vara saolikhete att e tråd har e belastigsgräs på itervallet [, a/] och p att de har det på itervallet a/, a]. Då är p F X a/ och p F X a F X a/. Wire går söder om båda trådara ligger på itervallet [, a/] sker med saolikhet p eller om de ea ligger på itervallet [, a/] och de adra på a/, a] sker med saolikhet p p. Saolikhete för att wire går söder blir alltså p + p p F X a/ + F X a F X a/f X a/ F X af X a/ F X a/. 5. E pukt vald på måfå i itervallet [, ] delar itervallet i två bitar av lägd U och U där U är likformigt fördelad på [, ] och av symmetriskäl, äve U. a Med X miu, U så ges de möjliga värdea på X av S X [, /] och P X > t P miu, U > t P U > t, U > t P t < U < t t t t för t /. Alltså är F X t P X t P X > t t och har täthete f X t d dt F Xt då t /. Alltså, X är likformigt fördelad på itervallet [, /]. b Låt Y maxu, U då är med X eligt är de möjliga värdea på kvote Y/X [, och fördeligsfuktioe för kvote ges av F Y/X t P Y/X t P Y tx P Y tx, U < + P Y tx, U P U tu, U < + P U t U, U P /t + U < + P U t/ + t t + t + + t t t +, för t. 5.3 Låt X och X beskriva livslägde för elektroröre. Modell: X och X är oberoede och expoetialfördelade med parameter m >. 34

35 Alterativ : Med T X + X så har T fördeligsfuktio F T t P X t P X + X t f X,X x, y dxdy för t. t t y f X xf X y dxdy t [ m e y/m e x/m m m [ e y/m m e t/m y Alterativ : Med faltigsformel får T täthete f T t för t. Nu är och för t. t P T > t f X xf X t x dx t m e t/m t f T x dx t m e t/m + t [ e x/m] t ] t y ] t x,y:x+y t t t y dy m m e x/m m e y/m dxdy t e t/m e t/m t m e y/m e t/m dy m e x/m m e t x/m dx m x m e x/m dx t t m e t/m + e t/m [ ] x m e x/m + t t F T t P T t P T > t t m e t/m e t/m t e t/m dx m e x/m dx Vi söker P T > 4 P T 4 F T 4 e 4/m 4/m 4 + e m 3e Med X och Y som oberoede Poissofördelade stokastiska variabler med parametrar m x och m y. Vi skriver hädelse {X + Y } {X k, Y k} k så saolikhete P X + Y P {X k, Y k} P X k, Y k k k m k x m k y P X k P Y k e mx k! k! e my k k m k x my k! k! k!! e mx+my! e mx+my k k m x + m y! e mx+my m! e m. 35 k m k x m k y } {{ } m x+m y

36 där m m x + m y, för,,,...,. Dvs, X + Y är Poissofördelad med parameter m m x + m y. 5.5 Låt X, X,..., X vara oberoede expoetialfördelade stokastiska variabler med parameter m. Låt Y X i. a Med iduktio visar vi att Y följer e Γ, m-fördelig. Basfall: Med får vi att Y X är expoetialfördelad, dvs har täthete f Y x f X x m e x/m täthete för e Γ, m-fördelig,. m Γ x e x/m Iduktiossteg. Atag att Y har Γ, m-fördelig. Visa att detta leder till att Y + har e Γ +, m-fördelig. f Y+ t t f Y sf X t s ds m + Γ e t/m t m + Γ + t e t/m, t m Γ s e s/m m e t s/m ds s ds m + Γ e t/m t m + t e t/m Γ } {{ } Γ+ för t, dvs täthete för e Γ +, m-fördelig. b Låt X och Y vara två oberoede Γ, m- och Γ, m-fördelade stokastiska variabler. Alterativ : Via represetatioe av Γ, m-fördelige i a. Om och är positivt heltaliga så ka eligt a X och Y skrivas X X i Y Y i där X,..., X, Y,..., Y är oberoede expoetialfördelade med parameter m. Me då är X + Y X i + e summa av + oberoede expoetialfördelade stokastiska variabler med parameter m och alltså är Γ +, m-fördelad. Alterativ : Via faltigsformel. Y i f X+Y t t t f X sf Y t s ds m Γ s e s/m m + Γ Γ e t/m m Γ t s e t s/m ds t s t s ds 36

37 Partialitegrerig ger t Så täthete är s t s ds [ s t s ] t } {{ } t + t s t s ds + s 3 t s + ds t+!! +! Γ Γ Γ + t+ t + f X+Y t Γ Γ m + Γ Γ e t/m Γ + t+ m + Γ + t+ e t/m för t > är täthete för e Γ +, m-fördelig. 5.6 Låt X och Y vara oberoede och N,. I polära koordiater R, Θ är X, Y R cosθ, R siθ. P R s, Θ t P X + Y s, ta Y/X t P X + Y s, ta Y/X t P X, Y D f X,Y x, y dxdy f X xf Y y dxdy D D D π e x / π e y / dxdy π e r / r } {{ } f R,Θr,θ drdθ D t s Alltså: f R,Θ r, θ π e r / r. Vidare fås fördeligsfuktioera F R s P R s P R s, Θ π π s / π π π e u dudθ π [ e s / ] dθ e s / D f R,Θ r, θ drdθ π s [ π e u π e x +y / dxdy π e r ] s / / r drdθ dθ 37

38 så f R s d ds F Rs e s / s se s /. På samma sätt F Θ t P Θ t P R, Θ t t t så f Θ t d dt F Θt π. Alltså är π dθ π e u dudθ t π t t [ π e u ] f R,Θ s, t π e s / s f Θ t f R s för alla s och t, vilket säger att R och Θ är oberoede. / π e r r drdθ 5.7 Låt X och X vara oberoede och expoetialfördelade med parameter m. Då är täthete f X x e x, för x. Med Y X /X så ges de möjliga värdea för Y av S Y [, och Y har fördeligsfuktio F Y t P Y t P X /X t P X tx f X,X x, y dxdy ty Således är täthete för Y f X xf X y dxdy [ e y + e t+y t + ] ty dθ x,y:x ty e x e y dxdy t + t t +. f Y t d dt F Y t t + t t + t +, t. e y [ e ty] dy Låt u Y X + X och Y X /X + X. Då har Y möjliga värde [, och Y möjliga värde [, ]. För ett s och t [, ] är X t P Y s, Y t P X + X s, t P X X s X X + X t Itervallet [ t t X, s X ] iebär att t + X s t X st så t P Y s, Y t P X X s X t för s och t [, ]. ts s y ts ty/t e y/t e s dy e y e x dxdy 38 ts ts s y [ e y/t t e s y ty/t f X yf X x dxdy e y [ e x ] s y ty/t dy ] ts t e s + s

39 Nu är F Y s P Y s P Y s, Y e s + s så f Y s d ds F Y s se s för s. Vidare, F Y t P Y t P Y, Y t t så f Y t d dt F Y t för t. Vi ser äve att de simultaa täthete så Y och Y är oberoede. f Y,Y s, t s t P Y s, Y t se s f Y sf Y t 6. Låt X beskriva vistbeloppet av e på måfå vald lott. De möjliga värdea på X är S X {, 5,, }. Saolikhetsfuktioe för X ges av p X P X 964/.964 p X 5 P X 5 3/.3 p X P X 5/.5 p X P X /. och p X x för övrigt. Det förvätade vistbeloppet är E X k kp X k P X + 5 P X 5 + P X + P X.35. Variase ka beräkas på två sätt: Alterativ : Ur defiitioe V X E X E X k k.35 P X k.35 P X P X P X +.35 P X.68. Alterativ : Via E X k k P X k P X + 5 P X 5 + P X + P X.75 och seda V X E X E X

40 Stadardavvikelse fås till D X V X Nettoviste Y ges av Y X.5. Vätevärdet och variase för Y ka bestämmas på tre sätt. Alterativ : Ur fördelige för ettoviste Y. De möjliga värdea är {.5, 4.5, 9.5, 99.5} med saolikheter.964,.3,.5,. respektive. E Y k kp Y k.5 P Y P Y P Y P Y och V Y E Y E Y k k +.5 P Y k P Y P Y Alterativ : Via fördelige för X. E Y E X.5 k k.5p X k.5p X + +.5P X.5 och V Y E Y E Y E X E X.35 k k.35 P X k.68. Alterativ 3: Via liearitete för vätevärde. E Y E X.5 E X och V Y V X.5 V X Mätistrumetet ger ett mätfel X med täthet f X x x för. x.. Då är E X x f X x dx.. x x dx {Symmetriskt itervall, udda itegrad}. Vidare så är V X E X E X E X x f X x dx {Symmetriskt itervall, jäm itegrad} [ ] x 3. 3 x x x dx x x dx

41 så D X V X / Låt X vara e kotiuerlig stokastisk variabel. Dess täthetsfuktio fås geom att derivera fördeligsfuktioe, dvs f X x d dx F Xx x, för x, och f X x för övrigt. Vi erhåller vätevärdet eligt E X Vi beräkar häräst E X. x f X x dx x x dx ] [ x x E X Det ger oss variase och stadardavvikelse x f X x dx V X E X E X 3 D X V X 3 x x dx ] [ x3 3 x X är expoetialfördelad med parameter m >, dvs Vi får då att E X xf X x dx f X x m e x/m, x >. [ ] e x/m m m. Vi ka bestämma V X på två sätt. x m e x/m dx [ x ] m e x/m m + } {{ } e x/m dx Alterativ : V X E X E X x m f X x dx x m m e x/m dx [ x m ] m e x/m m + x m e x/m dx } {{ } m [ ] m + x me x/m m + } {{ } m [ ] m + me x/m m } {{ } m 4 m. e x/m m dx

42 Alterativ : E X Vidare så är Alltså är x f X x dx [ x ] m e x/m m + } {{ } x [ ] xe x/m m +m } {{ } m e x/m dx xe x/m dx e x/m dx V X E X E X m m m. D X V X m m. [ ] me x/m m m. 6.5 X är Pom dvs. Nu är Vidare så E X k m P X k mk k! e m, k,,,... kp X k k k m k k! e m m k mk k! e m k k m k k! e m m k mk k! e m k m k k! e m P X k m. k } {{ } E X E XX + X k kk + kp X k Alltså är och D X m. kk P X k + kp X k m + k k k } {{ } EXm m + kk mk k! e m m + k m + m k m k k! e m m + m k m k k! e m m + m P X k m + m. k } {{ } V X E X E X m + m m m kk mk k! e m k m k k! e m 6.6 Låt X vara likformigt fördelad på itervallet [.5,.5], dvs f X x då.5 x.5. Sätt Y /.5 + X. De möjliga värdea på Y ges av [/9, /] [.88,.]. Vätevärdet är.5 E Y E.5 + X.5 + x f Xx dx dx [l.5 + x] x l/

43 och variase fås geom att först beräka E Y.5 E.5 + X.5 + x f Xx dx dx x [ ] x.5 99 så V Y E Y E Y 4 99 l/ De stokastiska variabel X har täthete f X x π e x /σ. Bestäm E X. Alterativ : Nu har X fördeligsfuktio F X t P X t P t X t P t < X t F X t F X t. Deriveras fördeligsfuktioe fås täthete f X t d dt [F Xt F X t] f X t f X t f X t + f X t. för t. Om X har täthet f X t πσ e t /σ. så har X täthet f X t e t /σ + e t /σ e t /σ. πσ πσ πσ Alltså är vätevärdet E X xf X x dx πσ e u/σ dx x πσ e x /σ dx {Subst. u x /} [ ] e u/σ σ πσ π σ. Alterativ : Ur fördelige för X får vi E X x f X x dx x πσ e x /σ dx {Jäm itegrad, symmetriskt itervall} x πσ e x /σ dx [ e u/σ dx e u/σ σ πσ πσ x πσ e x /σ dx {Subst. u x /} ] π σ. 43

44 6.8 Ur fördeligsfuktioe F X x x /π för x π bestäms för x π. Med Y six så är och Alltså är f X x d dx F Xx d dx π x x π. E Y E six six f X x dx π siu π du π [ cosu]π π π six x π dx {Subst. u x } E Y E si X si x π f X x dx si x x π dx {Subst. u x } π si u π [ ] π π du cosu u siu/ du π π. och D X V X V X E X E X π 6.9 Låt Y vara fuktiostide för seriekopplige av kompoet och. Då är Y mix, X och P Y > t P mix, X > t P X > t, X > t P X > t P X > t. Då X och X är expoetialfördelade så är P X > t t, och P X > t e t/a. Alltså är och t f X x dx P Y > t e t/a e t/a e t/a t a e x/a dx e t/a, F Y t P Y t P Y > t e t/a för t. På samma sätt, med Y som fuktiostide för seriekopplige av kompoet 3 och 4, är F Y t e t/a. Fuktiostide för systemet Y ges av och för t. Deriverig ger Nu har Y vätevärde E Y tf Y t dt + Y maxy, Y F Y t P Y t P maxy, Y t P Y t, Y t P Y t P Y t e t/a f Y t d dt F Y t e t/a e t/a a 4 a e t/a e 4t/a. e t/a dt t 4 a e t/a e 4t/a dt 4 a e 4t/a dt a/ a/4 3 4 a. 44 [ ] t e t/a a/ e 4t/a a/4

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Lösningsförslag till valda uppgifter i SANNOLIKHETSTEORI och STATISTIKTEORI med TILLÄMPNINGAR av Blom, Enger, Englund, Grandell & Holst.

Lösningsförslag till valda uppgifter i SANNOLIKHETSTEORI och STATISTIKTEORI med TILLÄMPNINGAR av Blom, Enger, Englund, Grandell & Holst. Lösningsförslag till valda uppgifter i SANNOLIKHETSTEORI och STATISTIKTEORI med TILLÄMPNINGAR av Blom, Enger, Englund, Grandell & Holst. Version 8 februari 5 Fel i lösningarna mottages tacksamt till mattsson@math.kth.se.

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual SE 65.044.20-1 INNEHÅLL Tekiska data Sida 2 Motage Sida 3-5 Programmerig Sida 6-11 Admiistrerig Sida 12-13 Hadhavade Sida 14-16 TEKNISKA DATA TEKNISK SPECIFIKATION

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ]

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 04--6 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 9.00-15.00 Tllåta hjälpmedel: Utdelad

Läs mer

Datastrukturer och algoritmer

Datastrukturer och algoritmer Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter.

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter. 1(10) Svar lämat av (kommu, ladstig, orgaisatio etc.): Remiss Remissvar lämas i kolume Tillstyrkes term och Tillstyrkes (iitio) och evetuella sypukter skrivs i kolume Sypukter. Begreppe redovisas i Socialstyrelses

Läs mer

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Enkät inför KlimatVardag

Enkät inför KlimatVardag 1 Ekät iför KlimatVardag Frågora hadlar om dia förvätigar på och uppfattigar om projektet, samt om hur det ser ut i ditt/ert hushåll idag. Ekäte är uderlag för att hushållet ska kua sätta rimliga och geomförbara

Läs mer

Frasstrukturgrammatik

Frasstrukturgrammatik UALA UNIVERITET Metoder och tillämpigar i språktekologie Istitutioe för ligvistik och filologi Föreläsigsateckigar Mats Dahllöf http://stp.lig.uu.se/~matsd/uv/uv07/motist/ Oktober 2007 Frasstrukturgrammatik

Läs mer

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter

Läs mer