rapporter från tankesmedjan Rapport 4, 2011; Matematik en demokratisk rättighet

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "rapporter från tankesmedjan Rapport 4, 2011; Matematik en demokratisk rättighet"

Transkript

1 rapporter från tankesmedjan Rapport 4, 2011; Matematik en demokratisk rättighet

2 2 Rapporter från Tankesmedjan

3 Rapporter från Tankesmedjan rapport 4, 2010 Matematik en demokratisk rättighet Publikationen finns även elektroniskt, se Tankesmedjan är ett samarbete mellan skolförvaltningarna i Bromölla, Hörby, Kristianstad, Lomma, Lund Stad, Lund Öster, Fosie stadsdel i Malmö, Skurup, Staffanstorp, Trelleborg och Åstorps samt kommunförbundet Skåne och högskolorna i Kristianstad och Malmö.

4 Innehåll Förord...7 Inledning Vad påverkar intresset för matematik? Matematik En demokratisk rättighet. Vad innebär det?...11 Matematikundervisning i det interkulturella och flerspråkiga klassrummet...24 Problem med traditionen? Finns det alternativ?...32 Exempel och erfarenheter från undervisning...37 Utvärdering med hjälp av öppna och undersökande uppgifter...57 Forskning om undervisning med hjälp av öppna uppgifter...66 Matematik en demokratisk rättighet: Hinder och möjligheter...70 Referenser...79 Bilaga Tankesmedjan, 2011 redaktörer Lars Lundström, Högskolan Malmö, Anders Jakobsson, Malmö högskola, Ingemar Holgersson, Högskolan Kristianstad, formgivning above.se tryck Holmbergs, Malmö 2011 issn

5 Förord enligt missivet för tankesmedja nr 4, förväntas vi under rubriken Matematik en demokratisk rättighet att utgå från och bearbeta följande frågeställningar: Enligt internationella undersökningar minskar matematikkunskaperna i den svenska skolan. Hur ska vi kunna bryta den trenden? Hur ska vi få barn och elever som tappat intresset för matematik att komma tillbaka? Hur möter vi alla barn och elever på deras nivå och hur stimulerar vi deras matematiska tänkande? Hur skapar vi och underhåller intresset för matematik för alla barn och elever i perspektivet 1 20 år? Hur öppnar vi dörren igen för dem som stängt den för matematik? Detta är stora och omfattande frågor utan enkla svar, och det kan synas förmätet att tro att en tankesmedja som träffats ungefär en gång i månaden under ett års tid och med begränsad tid för inläsning och skrivande, ska kunna ge annat än allmänna och översiktliga svar på dessa frågor. En tankesmedja förväntas dock enligt den allmänna instruktionen kunna redovisa resultat i form av konkreta handlingsalternativ användbara för den lokala skolan och väga in yrkesverksamma lärares erfarenheter, svensk och internationell forskning samt aktuell debatt i samhälle och massmedia inom tankesmedjans område. För att hantera denna uppgift har vi på olika sätt analyserat vad rubriken står för: Vad innebär det att matematik är en demokratisk rättighet? I frågeställningarna ovan finns ett starkt fokus på intresse eller bristande intresse för matematik. Vår analys ger vid handen att 7

6 de samband och faktorer, som påverkar intresset för matematik och vilka kunskaper eleverna erövrar, är komplexa. I bilaga 1 finns en tankekarta som vi hade som underlag för redovisningen vid tankesmedjans slutseminarium den 3 februari Där har vi identifierat 12 olika, men sinsemellan samverkande, faktorer som bidrar till det eleverna möter i matematikundervisningen. I denna rapport utgår vi från dessa faktorer och försöker ge svar som åtminstone i viss mån ger konkreta handlingsalternativ användbara för den lokala skolan. Inledning Vad påverkar intresset för matematik? allmänt sett verkar det som om intresse befordras av antingen lust, dvs. att vi tycker något är kul, eller av nytta, dvs. att vi på något sätt upplever det som användbart. Det ena utesluter givetvis inte det andra. I argumenten för matematik i skolan dominerar ofta nyttan, antingen för livet eller för vidare studier. Men Skolverket har också fokuserat på lusten att lära i matematik i en rapport (Skolverket, 2003). Frågar man lärare eller elever om när matematik är kul, får man ganska entydiga svar: matematik är kul när man kan, men det får inte heller vara för lätt för då blir det tråkigt. Det blir också roligare om det handlar om något man tycker är intressant. Vad som är intressant för elever är emellertid inte alltid lätt att förutse. Att se mönster eller hur saker hänger ihop är också lustfyllt, i synnerhet om man upptäcker det själv. I grunden handlar all matematik om aktiviteter, och den mest grundläggande aktiviteten är olika former av problemlösning. Det är också den som har störst potential att generera lust till matematik och detta gäller oberoende av om man är hög- eller lågpresterande. Det gäller bara att problemen har rätt nivå och utformning. I denna rapport kommer vi att förorda de möjligheter som ligger i att arbeta med s.k. open-ended questions, vilket vi väljer att kalla öppna problem. Att få erfarenhet av att vara intellektuellt aktiv i matematik och lyckas se mönster eller lösa problem, även om de utifrån kan tyckas banala eller enkla, påverkar självkänsla och intresse för att lära matematik. Att ofta misslyckas med förelagda uppgifter som har ett starkt fokus på rätt eller fel, fordrar mycket av en annan typ av motivation än lust för att orka med och inte ge upp. 8 9

7 I denna bok skall vi försöka visa på vilka sätt kunskaper i matematik är en viktig förutsättning för att kunna fungera i ett modernt samhälle och på detta sätt blir det en demokratisk rättighet att få lära sig matematik. Matematik En demokratisk rättighet. Vad innebär det? günter grauman (2005) diskuterar matematikutbildningens allmän-bildande uppgifter utifrån fyra dimensioner: Förklaringsdimensionen individens förståelse av världen Den pragmatiska dimensionen vardagsnyttan av matematiken Personlighetsdimensionen individens rätt att lära sig matematik. Den sociala dimensionen att använda matematiken kommunikativt. (Grauman, 2005, s 17) Vi bestämde oss för att göra en liten och enkel undersökning bland lärarkollegor och andra i vår omgivning. Vad innebär egentligen rubrikens fråga för dem? Resultatet framgår av tabell 1. Tabell 1: Olika sätt att se på Matematik En demokratisk rättighet kategoriserat efter Graumans dimensioner och vilket arbete man har. Lärare Övriga lärare Övriga som Personer i matematik Inkl. för/fri arbetar utanför på skolan skolan Förklaringsdimensionen Den pragmatiska dimensionen Personlighetsdimensionen Den sociala dimensionen Undersökningen visade att lärare i förskola/skola främst tolkar frågan utifrån förklaringsdimensionen och den pragmatiska dimensionen

8 Övrig skolpersonal tolkar främst utifrån en personlighetsdimension. Personer utanför skolans värld har svårt att hantera frågan. Matematik väcker obehagliga minnen hos en del. Men alla förklaringsdimensionerna fanns med bland svaren. Enligt Lpo 94, är matematikämnets syfte och roll i undervisningen, att beakta alla de fyra dimensionerna. Uttrycket Matematik En demokratisk rättighet ger emellertid många olika associationer och är därför inte alldeles lätt att hantera. För att belysa detta ger vi några axplock bland svaren: Du har en rättighet att få lära dig matte men också en skyldighet Matte är elände. Jobbig fråga. Klara vardagen. Något man lär sig i skolan. Matematik är lika viktigt för människor som det skrivna ordet. Vi är omringade av siffror som vi måste tolka, t.ex. räkningar vi får hem, skattedeklarationer vi måste ha koll på om det som står skrivet på blanketterna är det rätta. Kunna påverka samhället, kunna överleva, få bort analfabetism, inget jobb, du är ingenting. Makt bygger på matematik. Klara samhället. Alla ska få lov att lära sig matte. Ser inget samband mellan matte och demokrati. Varje elevs rättighet till likvärdig utbildning i matematik utifrån elevernas behov och förutsättningar. Ahlberg (2001) skriver att bristande kunskaper i matematik kan visa sig i vardagen genom svårigheter med att planera sina handlingar, orientera sig i tid och rum samt planera sin tid, vilket framkommer i så vardagliga saker som att läsa av klockan och tidtabeller. Det kan visa sig i sättet att hantera ekonomin och lösa de problem av matematisk natur som genomsyrar dagens samhälle. Att ha kunnande och kompetens i matematik inbegriper således demokrati- och likvärdighetsaspekter i flera bemärkelser. (a.a. s 113) Vilken matematik är viktig Matematik i den vuxnes vardag Matematik genomsyrar det vuxna livet mer än vi ofta tänker på. Sällan i form av att vi måste göra exakta beräkningar, men mer ofta i form av att kunna uppskatta och bedöma och ta ställning till olika alternativ, både i det privata livet och inom opinionsbildning av olika slag. Inspirerade av McCloskey (2007) ger vi exempel inom några olika områden där man behöver matematiskt kunnande: Rationella tal speciellt andelar av olika slag, decimaltal och procent är viktiga för att kunna hantera olika former av lån t ex sms-lån, olika former av större inköp t ex av en bil eller något annat på avbetalning, för att kunna förstå och bedöma olika former av skatter, försäkringar, avtal etc. Rumsuppfattning är viktigt för att kunna läsa kartor, t ex bilkartor eller följa en gps. Men även för att förstå mer schematiska kartor såsom över järnvägsnät eller tunnelbanor. Rumsuppfattning spelar också en roll när vi ska handla färg till att måla om eller beställa byggmaterial eller grus till projekt i trädgården. Funktioner kommer indirekt in när det gäller att t ex förstå beskrivningar av hur hög vår el- eller värmeförbrukning är, eller vilket elbolag eller telebolag som passar de egna behoven bäst. Men även när en diabetiker ska bedöma hur stor dos han behöver ta i förhållande till hur mycket mat han planerar att äta. Kunskaper om statistik och sannolikheter kan vara viktiga för att kunna planera sin pension, för att förstå olika försäkringsvillkor, och för att förstå olika former av lotterier, tips och spel. Är man företagare finns det mycket man behöver kunna hantera som kräver rimliga kunskaper i matematik, t ex för att göra faktureringar, kunna bedöma avtalsvillkor, kunna använda kalkylblad och kunna planera inköp och kampanjer. Det finns många anställningar som kräver ganska ingående matematiska kunskaper. Detta gäller inte enbart för ingenjörer, utan även för många olika former av mer kvalificerade och välavlönade arbeten. Men det kan även gälla för arbeten vi inte alltid förknippar med matematik som att göra bedömningar vid lastning och lossning med t ex gaffeltruck, eller att ansvara för en god lagerhållning. Men även under fritiden kommer det in matematik inom t ex trädgårdsskötsel, handslöjd, matlagning eller ombyggnation. Gemensamt för dessa är att de kräver förmåga att uppskatta hur mycket vi behöver, att kunna planera så att underlaget för att göra uppskattningar blir rimligt, och att kunna jämföra pris och kvalitet med varandra

9 Lära matematik Som att bygga ett hus eller väva en matta? Vad innebär det att lära matematik? När det gäller komplexa fenomen som detta använder man ofta metaforer för att utveckla förståelsen av fenomenet. En vanlig metafor är att jämföra det att lära sig matematik med att lägga sten på sten av begrepp eller färdigheter, som när man murar ett hus. Vad händer då om det blir luckor eller någon färdighet inte är pålitlig, jo det blir ganska instabilt och ingen bra grund att bygga vidare på. Fast man behöver ju fönster också, kanske. Ingen metafor är enkel. Därför blir det i det här perspektivet viktigt att inte låta elever gå vidare förrän de bemästrar de grundläggande färdigheterna så pass att man kan bygga vidare. Och får elever problem med dessa färdigheter, så delar vi gärna upp stenarna i mindre bitar, i tron att när man behärskar varje delbit för sig så kan man också det som motsvarar hela stenen. Om man ser på modern kognitionspsykologisk forskning blir det mer och mer klart att lärande är mer som att väva en matta, men en matta utan gränser, utan kanter. I denna metafor består varpen av våra grundläggande erfarenheter, och till dem lägger vi färdigheter och kunskaper i form av trådar av olika färg och kvalitet. I denna bild har begrepp och färdigheter mer oklara gränser. Forskning visar att det inte heller är så att man antingen har ett begrepp eller inte. Det finns sällan någon polett som trillar ner, för att använda en annan metafor. Ett begrepp som talbegreppet är rikt på relationer, och man kan tala om ett mer eller mindre utvecklat talbegrepp beroende på hur många kopplingar och associationer till olika erfarenheter och situationer eller till andra begrepp som en elev kan visa upp. Det är denna rikedom av relationer som utmärker en adaptiv kompetens jämfört med en mer ensidig rutinkompetens som är begränsad till bestämda problemsituationer. I den vävda mattan motsvaras detta av att väven kan vara tät och sammanhängande och med olika inslag av trådar istället för mer gles och osammanhängande. Väven utvidgas också hela tiden, men förfinas och förtätas också. Den kan få inslag av guldtrådar och andra färgade trådar, vara tätare i vissa delar och mer gles i andra. I en översiktsartikel om s.k. mikrogenetiska studier av lärande diskuterar kognitionspsykologen Robert Siegler från usa de senaste rönen om hur barn lär med många exempel från just matematik (Siegler, 2006). Att förstå orsakssamband visar sig spela en avgörande roll i lärandet, liksom att få förklara det man observerar ofta ger ett större utbyte än vad övning och feedback gör. Ett genuint lärande försiggår oftast utan trial and error, och drivs istället nästan alltid av begreppslig förståelse. Hur erövrar då barn en ny kompetens, nya strategier? Jo, för att utveckla nya strategier behöver barn en mångsidig och varierad erfarenhet. Denna får de bäst genom att få undersöka olika saker. De kan då upptäcka olika strategier eller sätt att lösa t ex ett problem. Om olika strategier visas fram kan de också börja härma hur andra gör och göra någon annans strategi till sin egen. Genom att få många tillfällen att använda sin förmåga så konsoliderar de en ny strategi och blir efterhand säkrare. Lärandet utvidgas också genom att de lär sig använda en strategi i nya situationer av olika slag. Detta underlättas om de har en förmåga att se samband mellan olika situationer. I en närstudie av hur ett barn utvecklar sina kunskaper om antal ifrågasätter Mix (2002) en mer traditionell syn på lärandet. Hon menar att man kan säga att lärande i matematik inte tycks bygga på enskilda färdigheter som sedan sätts ihop till en komplex kompetens. Tvärtom utvecklas en kompetens först i en begränsad kontext, och först därefter utvecklas den i nya och efter hand allt mer komplexa situationer. Det som begränsar en situation kan vara vilka tal det är fråga om, ifall det finns en tydlig struktur eller inte. I lärandet av matematik finns det en stor individuell variation. Utveckling av matematiskt tänkande är heller ingen självklarhet, som naturligt kommer med ålder. För att barn ska kunna utveckla sitt matematiska tänkande verkar det vara viktigt med strukturer som hjälper dem att dels se matematiken, dels att kunna utveckla sitt matematiska tänkande. Tillvaratar skolan matematiken som en demokratisk rättighet? Hur bedriver vi matematikundervisning idag? Tillgodoser vi de perspektiv på demokratiska rättigheter som nämns ovan? Bidrar skolans matematikundervisning till att individen får en bättre förståelse av världen, eller att hon/han kan använda matematiken i vardagen och få en större förståelse för olika fenomen och förhållanden i den? Bidrar den till att hon/han tillägnar sig en förmåga att kommunicera och förstå beskrivningar av matematiska resonemang? En grundläggande fråga för denna tankesmedja blev vilken kunskap som finns om hur man lär matematik. I usa har man sedan bör

10 jan av 90-talet på bred front arbetat med att försöka reformera undervisningen i matematik. Ledande i detta arbete har den amerikanska lärarföreningen i matematik, nctm, varit med sina s.k. Standards, dvs en mönsterläroplan för matematikämnet. Denna förordar mindre tonvikt på färdighetsträning och mer arbete med förståelse och kommunikation i matematiken. Den blev också vägledande för förändringsarbetet i många delstater runtom i usa. Det dröjde dock inte många år förrän en motreaktion som förordade mer traditionell undervisning med tonvikt på färdighetsträning växte sig ganska stark. Argumentationen mellan förespråkare och motståndare till reformsträvandena blev allt intensivare och fick namnet The Math War. Efter några år tillsatte det amerikanska utbildningsdepartementet tillsammans med det nationella forskningsrådet för undervisning en kommission för att undersöka vilken forskningsbas det egentligen finns för påståenden om hur matematikundervisning bäst ska bedrivas. Denna kommission bestod av ledande forskare inom bl a matematikdidaktik, kognitionspsykologi och utvecklingspsykologi tillsammans med matematiker, erfarna lärarutbildare och lärare i matematik. Deras arbete resulterade i en bok med titeln Adding it up (Kilpatrick e.a., 2001). I boken tar de ett brett grepp på problematiken, och med utvecklingen av förståelse av och färdigheter med tal som exempel illustrerar de hur modern, företrädesvis amerikansk forskning ser på hur lärande i matematik bäst iscensätts. Ett par exempel är (i vår översättning): En del studier antyder att grunden till skillnaderna mellan elevers prestationer beror på de möjligheter eleverna får, inklusive möjligheterna att gå i inspirerande, effektiva skolor med rimliga ekonomiska förutsättningar och med möjligheter till stimulans att fortsätta sina studier i matematik (a.a. s 143). Om en grupp elever berövas sina möjligheter att lära med förståelse, döms dom till att bli andra ordningens medborgare eller ännu värre (a.a. s 144). I boken argumenterar författarna också för att framgång i yrkeslivet i hög grad beror på förmågan att hantera matematisk information och att lösa problem. Har du inte denna förmåga begränsas dina möjligheter till många kvalificerade jobb ganska drastiskt. I rapporten beskrivs målet med undervisning i matematik som att utveckla det de kallar mathematical proficiency. Detta begrepp är inte helt lätt att översätta. Proficiency innebär att man kan saker och har gott förtroende till det man kan. Så mathematical proficiency innebär väl närmast en kompetens som innebär en god förtrogenhet med matematik och förtroende till den egna förmågan att använda matematik. För att utveckla denna kompetens behöver man utveckla delkompetenser. Men dessa kan inte utvecklas var för sig, utan behöver utvecklas parallellt. Summan av isolerade delkompetenser genererar inte en god helhetlig kompetens. Inte ens delkompetenserna får en hög kvalitet om de utvecklas i isolering, utan det är i sammanflätningen som styrkan ligger. I de här delkompetenserna ingår att man förstår det man gör (conceptual understanding), det ingår också att man har rimligt bra färdigheter (procedural fluency), dvs att man kan göra beräkningar eller algebraiska förenklingar med flyt. Men det ingår också andra saker, t ex strategic competence som omfattar förmåga att lösa problem, förmåga att formulera problem, och förmåga att dra slutsatser av lösningar. Sammantaget kan vi kanske översätta detta till problemlösningskompetens. En annan förmåga som lyfts fram är adaptive reasoning, dvs förmåga att vara logisk och följa logiska resonemang, något vi kan kalla förmåga att motivera och följa matematiska resonemang. En sista förmåga som tas med är det de kallar productive disposition, vilket innefattar förhållningssätt och attityder till att lära och att använda sig av matematik. Den innebär inte bara tilltro till egen förmåga, utan även att man får förtroende till att matematik är något man har nytta av att lära och att det är användbart för att ta reda på saker om världen. Möjligen kan man översätta detta med att ha ett förtroendefullt och nyfiket förhållningssätt till matematiken. Det sistnämnda är det ju tyvärr många elever som inte utvecklar i dagens skola, men som de ur demokratisk synvinkel borde ha rätt att få bättre möjligheter att utveckla. För att utveckla dessa delkompetenser är det alltså viktigt att arbeta med aktiviteter som ger möjligheter att resonera och argumentera, diskutera lösningar och vara intellektuellt aktiv. Aktiviteter där det 16 17

11 kan finnas flera möjliga lösningar, vilka kan utnyttjas för matematiska resonemang, systematik och mönster. Ska vi få till detta står matematikundervisningen inför en mycket stor utmaning, eftersom traditionen vi bedriver matematikundervisning på är så stark och nästan enbart är inriktad på att utveckla rutinfärdigheter. Tittar man på målen i kursplanerna i matematik för den svenska grundskolan och gymnasieskolans kurser, så uttrycker målen att sträva mot en liknande syn på att det är utvecklingen av matematisk kompetens som står i centrum. Om man däremot läser målen att uppnå så är fokus reducerat till nästan enbart färdigheter. Även i andra länder har rapporter skrivits för att ligga som grund för matematikutvecklingen i det egna landet och i Sverige fick Utbildningsdepartementet 2003 i uppgift av regeringen att tillsätta en delegation med uppdrag att utarbeta en handlingsplan med förslag till åtgärder för att öka intresset för matematik och utveckla matematikundervisningen. Rapporten kom ut 2004 och heter Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens, (sou, 2004). I Danmark hade ett likartat projekt startat något år tidigare och resulterade i rapporten Kompetenceudviklingen og matematklæring (Niss & Höjgaard Jensen, 2002). Projektet initierades år 2000 av det danska Naturvetenskapliga Utbildningsrådet och hade som uppgift att starta en utveckling av matematikundervisningen, som eventuellt även kunde påverka utvecklingen av undervisningen i andra ämnen. Arbetsgruppen bestod av 12 personer med olika kopplingar till matematikämnet t.ex. matematiker, matematiklärare från olika stadier, naturvetare och matematikdidaktiker. Rapporten beskriver hur olika matematiska kompetenser tillsammans utgör grunden för matematiskt kunnande. Författarna till rapporten anser att ha matematisk kompetens innebär att kunna förstå, använda och kunna ta ställning till matematik och matematiska verksamheter i en rad olika sammanhang där matematik ingår eller kan komma att ingå. Den övergripande matematiska kompetensen delas in i åtta mer specialiserade kompetenser med egna identiteter som på olika sätt är sammankopplade så att en specialiserad kompetens inte kan uppnås utan hjälp av en eller flera av de andra, se figur 1. De mer specialiserade kompetenser som bygger upp matematiskt kunnande enligt den danska rapporten (Niss & Höjgaard Jensen, 2002) är: Tankegångskompetensen som består i att kunna var klar över vilken typ av frågeställningar som är karakteristiska för matematiken och själv kunna ställa sådana frågor och ha blick för vilken typ av svar som kan förväntas. Det ingår också att kunna förstå skillnaden mellan olika matematiska utsagor som definitioner, satser, antaganden och deras räckvidd eller begränsningar. Problemhanteringskompetensen består i att kunna ställa upp och lösa problem. Problemen ska vara av sådan art att en matematisk undersökning är tvungen för lösningen och inte bara innebära användning av rutinfärdigheter. Det som anses vara ett matematiskt problem är därför inte ett absolut begrepp utan kopplat till personen som ska lösa det. En rutinuppgift för en person kan vara ett problem för en annan person. Modelleringskompetensen består i att kunna analysera och bygga matematiska modeller för situationer som ligger utanför matematikens eget område, dvs. att översätta en situation till matematiskt språk. I kompetensen ligger också att kunna tolka och jämföra modellen med andra modeller samt att kommunicera med andra personer om modellen och dess resultat. Resonemangskompetensen består dels i att kunna följa och bedöma ett matematiskt resonemang och förstå vad ett matematiskt bevis är och hur det skiljer sig från andra matematiska resonemang och dels i att själv kunna tänka ut och genomföra ett resonemang. Resonemanget gäller inte bara matematisk bevisföring utan även resonemang om problems lösningar är korrekta och fullständiga. Representationskompetensen innebär att kunna förstå och använda sig av olika matematiska representationsformer, t.ex. geometriska illustrationer, tabeller, diagram, grafer, muntliga presentationer och konkreta representationer med materiella föremål. Inom kompetensen ingår också att förstå kopplingen mellan de olika representationsformerna och deras begränsningar. Symbol- och formalismkompetensen innebär att kunna avkoda och översätta matematiskt symbol- och formelspråk till naturligt språk 18 19

12 och tillbaka. Kompetensen fokuserar på symbolernas karaktär, status och betydelse och på själva hanteringen av dessa inklusive reglerna för deras användande. Kommunikationskompetensen innebär att kunna förstå och tolka matematisk text eller information samt själv kunna uttrycka sig matematiskt på olika sätt. Exempel på kommunikationskompetens kan visa sig genom att tydligt kunna redovisa och att kunna diskutera en lösning till ett problem, eller att kunna tolka och förstå exempel och uppgifter i läroboken. Hjälpmedelskompetensen innebär att man känner till olika matematiska hjälpmedel och deras fördelar och begränsningar. Som hjälpmedel räknas inte bara miniräknare, datorer och beräkningsprogram utan även tabeller, linjaler, passare, gradskivor, kulramar m.m. Kompetenser och den svenska kursplanen I inledningen av de svenska kursplanerna i matematik och i beskrivningen av grundskolans Mål att sträva mot kan man utläsa kopplingar till flera av de tidigare angivna kompetenserna som bygger upp elevens matematiska kunskap. Några exempel på sådana kopplingar till målen att sträva mot är: Inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer Representationskompetens och Symbol- och formalismkompetensen. Utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande Resonemangskompetens och Modelleringskompetens. Utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen Problemhanteringskompetens och Modelleringskompetens Utvecklar sin förmåga att utnyttja miniräknarens och datorns möjligheter Hjälpmedelskompetens. Utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande Resonemangskompetens och Kommunikationskompetens. Kompetenser och undervisning I ett av de inledande styckena i den svenska kursplanen står det följande: Gemensamt för alla ämnen i grundskolan är att de skall förmedla glädje att skapa och lust att fortsätta lära. I undervisningen skall eleverna få utveckla förmågan att dra slutsatser och generalisera samt förklara och argumentera för sitt tänkande och sina slutsatser. Med utgångspunkt i egna erfarenheter och frågor kan eleven utveckla ett gott omdöme och få känsla för vad som är väsentligt. Figur 1: Illustration av de olika matematikkompetenserna enligt Niss & Höjegaard Jensen (2002) För pedagogen innebär det att vi i vår undervisning och vårt sätt att utvärdera elevernas matematiska kunskap behöver använda arbetssätt som stimulerar och utvecklar de åtta olika kompetenserna som den danska rapporten beskriver eller de fem kompetenserna som den amerikanska rapporten beskriver (för jämförelser se tabell 2). Vi 20 21

13 måste hela tiden ifrågasätta varför vi arbetar med en viss aktivitet i klassrummet och vilka kompetenser den valda aktiviteten utvecklar. Kan vi inte motivera användandet av aktiviteten får vi söka efter andra. Det finns så mycket bra material och tankar om stimulerande matematikundervisning i rapporter, böcker och idéer hos kolleger ute på skolorna att det inte är något problem att hela tiden utveckla de aktiviteter vi använder oss av i matematikundervisningen ett steg till. Som pedagoger måste vi i många fall våga lämna invanda spår som präglats av traditionen inom ämnet och istället få hjälp och möjlighet att ta till oss information om den nya forskningen för att lära oss att använda och arbeta med nya typer av problem som uppmuntrar fler elever till att våga utveckla förmågan att dra slutsatser och generalisera samt förklara och argumentera för sitt tänkande och sina slutsatser. Alla känner glädje i att utmanas och uppleva en ökad självtillit i sitt eget tänkande utifrån den nivå man befinner sig på. Utvecklingsarbetet med att skapa nya arbetssätt är en spännande resa som kan ta lång tid både för eleven och pedagogen. Begreppsförståelse Nyfiken, förtroendefull hållning Goda färdigheter utnyttja miniräknarens och datorns möjligheter Tabell 2: Jämförelse mellan beskrivningarna av matematisk kompetens och den svenska kursplanen i matematik. Rapporterna jämfört med kursplanen Kompetenceudviklingen og matematiklaering Problemhanteringskompetens Tankegångskompetens Modelleringskompetens Resonemangskompetens Representationskompetens Symbol- och formalismkompetens Hjälpmedelskompetens Adding It Up, 2001 Matematisk kompetens: Förmåga att resonera och motivera Problemlösningskompetens Mål att sträva mot i grundskolan intresse för matematik tilltro till det egna tänkandet inser att matematiken har spelat och spelar en stor roll matematikens uttrycksformer förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera argumentera för sitt tänkande formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska modellernas förutsättningar 22 23

14 Matematikundervisning i det interkulturella och flerspråkiga klassrummet Hela världen representerad i klassrummet En ny utmaning har kommit in i det svenska matematikklassrummet under de senaste decennierna genom att många elever har ett annat modersmål och en annan kulturell bakgrund än den svenska. I vissa skolor kan det finnas upp till 95 % av eleverna som har ett annat modersmål än svenska. Dagens klassrum kan innehålla lärare och elever med olika språkliga, kulturella, religiösa och sociala bakgrunder. En demokratisk rättighet måste då förstås vara att varje lärare ser de enskilda eleverna utifrån deras egna erfarenheter, och inte bemöter dem utifrån schabloniserade kategorier såsom svensk eller invandrare. Statistik från Skolverket har under flera år visat att elever med annat modersmål än svenska och/eller annan kulturell bakgrund är överrepresenterade bland de elever som inte når målen i skolans matematikundervisning. Enligt pisa 2003 och 2006, visar det sig också att första generationens invandrare i Sverige presterar lägre i matematik än jämförbara elevgrupper i andra länder (Skolverket, 2007). Det var också nästan 50 % av denna elevgrupp som inte nådde upp till den lägsta av undersökningens nivåer. Däremot har det visat sig att elever som är födda i Sverige av utländska föräldrar inte klarar sig sämre i olika ämnen, inklusive matematik. I detta kapitel görs ett försök att lyfta fram olika orsaker till detta faktum, problematisera dessa och ge åtgärdsförslag utifrån forskningsresultat och beprövad erfarenhet. Matematikens mångkulturella ursprung Det matematikinnehåll som finns beskrivet i kursplanerna och som är vårt uppdrag som lärare att behandla, är i sig tvärkulturella. Mate- matikens rötter har sitt ursprung i människors upptäckter och behov av att skapa redskap och förstå och se mönster i sin omvärld, likaväl som att hantera och hitta principer för fördelning av t ex skatter och landområden. Men matematiken har också spelat roll inom design och utsmyckning av olika föremål. Denna utveckling har skett och sker inom alla kulturer, och detta kan vara en utgångspunkt för matematikundervisningen. Det kan ske genom att eleverna får arbeta med matematiken via en historisk metod där målet är att i någon mening låta elever återskapa eller återupptäcka matematiken eller genom att ta upp exempel på matematik från olika kulturer. Elevers erfarenhetsbakgrund I mångkulturella klassrum finns det en stor erfarenhetsbakgrund som arbetet med att lära sig olika begrepp kan knyta an till. Det kan handla om fritidsaktiviteter, leksaker, mat, lekar, spel mm. Kanske har eleven t ex förståelse för ett visst matematiskt begrepp men saknar det svenska ordet. För tvåspråkiga elever, vinner elevens båda språk på att utvecklas parallellt med lärandet i ett ämne, alltså även i matematik. För att stötta inlärningen bör läraren skapa tillfällen där det ges utrymme för en mer varierad och dialoginriktad interaktion i matematikundervisningen. Men enligt Lindberg (2002) finns det många myter som figurerar om tvåspråkighet. En är att forskarna är oeniga. Den slår hon hål på genom att lyfta fram Thomas och Colliers longitudinella studier från USA. Dessa visar att satsningar på modersmålet har en avgörande betydelse i positiv riktning för tvåspråkiga elevers skolframgång. Resultaten understryker att man lär sig bäst på det språk man förstår. Elever som inte behärskar undervisningsspråket har följaktligen sämre förutsättningar än enspråkiga elever att lyckas nå målen för matematik i skolan. En annan myt är att språk bör hållas isär. Som argument mot denna myt kan kunskapen om att flerspråkigas språkanvändning skiljer sig från enspråkigas lyftas fram. Språken hos en flerspråkig elev utvecklas inte likartat eftersom eleverna använder sig av sina olika språk i olika sammanhang. Språken kompletterar varandra. Det som eleven inte klarar av på det ena språket kanske han klarar av bättre på det andra. Vilket språk man väljer sker spontant

15 Svårigheter i språket Vilka svårigheter kan det då finnas med att lära sig matematik på ett främmande språk? Elever kan ha luckor i sitt språk för ord som är vanliga inom matematiken som exempelvis cirka, ungefär, knappt, drygt, mitten, mitt emellan, mellan och halv. Även jämförelseord som mer, mest, fler och flest, många, mycket, högre eller högst brukar kunna ställa till problem. Ett annat exempel på möjliga svårigheter, men där det också finns möjligheter till språkutvecklande diskussioner, är ord med olika betydelser inom matematik och i vardagen. Exempel på sådana ord är axel, bas, volym, tal och bråk. Att inte förstå texten i matematikuppgifter påverkar elevens självkänsla vilket i sin tur påverkar elevens förmåga att klara målen i matematik (Linnanmäki, 2002). Möllehed (2002) visade i sin avhandling om problemlösning, att textförståelse är den faktor som påverkar problemlösningsprocessen allra mest. Han visade då också hur ett undersökande och laborativt arbetssätt främjar elevens språkutveckling, eftersom diskussioner kring ord och begrepp då ges möjlighet att uppstå spontant i form av frågor som Vad heter? Vad betyder? Hur kan man förklara? Finns det något annat ord för? Om eleven också blir medveten om hur ett skrivet matematikproblem är uppbyggt ger det henne ytterligare ett instrument för att förstå textens innebörd. Matematiktexter kan vara svåra att förstå på grund av att de saknar s.k. sambandsmarkörer. Exempel på sådana är uttryck som för argumentation vidare som exempelvis därför blir, därav följer, alltså kan vi dra slutsatsen att etc. Texterna är också ofta fattiga på redundant eller annan överflödig information eftersom ambitionen att minska möjliga feltolkningar, är att göra dem så entydiga som möjligt. Som exempel kan nämnas att när nationella provuppgifter genomgår en andraspråksgranskning, händer det ofta att uppgifterna byggs ut istället för att göra dem kortare. Det är alltså inte alltid lättare att förstå en text för att den är kort. Flera exempel på detta ges i häftet Mer än matematik (Myndigheten för skolutveckling, 2007). I denna finns också ett bra stöd för vad man som lärare bör tänka på när man formulerar en matematikuppgift. Det finns många faktorer som kan påverka flerspråkiga elevers matematikutveckling. Det har visat sig att en avancerad språkbehärskning som krävs för att utveckla och förstå skolämnen tar många år att lära om det sker isolerat ifrån ämnena. Matematikutvecklingen behöver också bygga på tidigare erfarenheter både av den informella matematik man har med sig samt eventuell tidigare skolgång i hemlandet. Ett problem när invandrarelever kommer till den svenska skolan är att det ofta endast fokuseras på det svenska vardagsspråket och den svenska skolkulturen. Detta medför att eleven ofta missar möjligheten att få utvecklas i matematik med utgångspunkt från den språknivå eleven just då befinner sig i. Det läggs ofta stort fokus på att eleven ska lära sig tillräckligt med svenska innan de på allvar får börja med andra kärnämnen. Under tiden utvecklas inte de matematikkunskaper som eleverna hade med sig från sitt hemland. För att eleven ska utveckla förståelse för matematiska begrepp och matematikens språk, är det nödvändigt att eleven ges möjligheter att reflektera över och kommunicera om och med de begrepp som studeras, såväl muntligt som skriftligt. Man behöver kunna föreställa sig en mental bild av olika begrepp för att kunna lösa problem och generalisera matematiska begrepp. Detta blir extra svårt om man inte behärskar undervisningsspråket. Om man har en tvåspråkig undervisning innebär det att eleven får möjlighet att fortsätta sin matematiska utveckling istället för att först utveckla tillräckliga språkfärdigheter för att kunna delta i en undervisning på svenska. Läraren har också större möjligheter att knyta an undervisningen till elevens informella och kulturella matematikkunskaper och att välja ett innehåll som uppfattas som relevant av eleverna. Förståelsen är något som ibland definieras som förmågan att se hur något är relaterat till och/eller förknippat med något annat som vi redan kan. Ju fler relationer vi kan etablera, för att hänga upp saker på, desto bättre utvecklas förståelsen. Förståelse blir då inte något som man har eller inte har, utan något som hela tiden förändras och utvecklas. Kopplingen mellan nya och befintliga begrepp måste vara tydlig för eleven. Möjligheterna till den kommunikation och reflektion som är nödvändig för att eleverna ska lära matematik med förståelse är större om eleverna kan använda sitt modersmål i kommunikation med kamrater och lärare. I en tvåspråkig undervisning kan elevernas tvåspråkighet bli en resurs genom att de kan använda båda sina språk för att utveckla och befästa begreppsbildning och för att underlätta arbetet med kognitivt krävande uppgifter, samt för att utveckla de matematiska begrepp som eleven förstår på de båda språken. I en matematikundervisning på majoritetsspråket är det ett stort problem att många av eleverna dels är ifrån olika kulturer med olika modersmål och dels att de kan befinna sig på olika nivåer i sin utveck

16 ling av det språk undervisningen bedrivs på. De befinner sig givetvis också på olika nivå när det gäller matematisk förmåga. Som lärare kan man alltså inte se elever som en homogen grupp invandrare, de är alla individer med olika språkliga och kulturella erfarenheter i bagaget. Olika kulturer har också sitt så kallade register, dvs. termer och begrepp som är specifika för att beskriva matematik. Det kan också finnas språkliga hinder att ta sig över när det gäller uppgifternas uppbyggnad och formulering. Exempelvis, om man kommer ifrån ett spansk- eller portugisisktalande land så har talen mellan strukturen ett-tio, två-tio osv. Men när man kommer till 16 och 17 så blir det på spanska tio-sex och tio-sju. Om man tittar på franskans tjugotal så är det annorlunda t.ex. säger man 99 som fyra-tjugo-tio-nio. Med andra ord, för att åstadkomma en riktigt god utveckling av sitt andra språk, krävs ämnesundervisning på två språk. Det är viktigt att samtidigt som man inom matematiken bygger upp hållbara resonemang och begreppsförståelse på sitt modersmål också utveckla sitt andra språk. När man kommit över en viss kunskapsnivå både inom matematiken och inom de språk man arbetar med, så kan man med fördel successivt övergå till matematikundervisning på sitt andra språk. En modersmålslärare uttrycker att ett stort problem är att en del elever som kommer till Sverige har mycket begränsade erfarenheter av skolgång i bagaget. Det kan bero på att det har varit viktigare att fokusera på andra saker eller på att deras kultur inte stimulerat deras skolgång. Dessa elever kan ha ett ofullständigt modersmål, som gör det svårt att kommunicera och att förstå vad de kan inom matematiken. En del av dem har en svag språkförståelse även när det gäller deras modersmål. De kanske inte har läst böcker eller knappt kan skriva. I dessa fall har modersmålslärarna en stor uppgift att försöka ta reda på de informella kunskaper eleven har eller inte har. Det kan också vara stor skillnad på elever som kommer till Sverige med samma modersmål. De som gått i skola i en större stad och kommer ifrån ett östeuropeiskt land, har ofta goda skolkunskaper om de läst på en högre nivå. Deras skolgång är då också ofta väldokumenterad. För att de nyanlända eleverna ska få utvecklas utifrån sina erfarenheter och förutsättningar krävs ett tätt samarbete mellan matematikläraren, modersmålsläraren och sva läraren. Modersmålslärarna kan i detta sammanhang vara till stor nytta. Detta kräver emellertid att de är väl förtrogna med matematiska begrepp på båda språken. De måste också klara det svenska språket. Ett problem är att det i en klass ofta finns elever med flera olika modersmål. Om det finns parallella årskurser på en skola, finns det alltid en möjlighet att försöka dela upp olika språkgrupper i olika klasser, för att utnyttja modersmålslärarna på bästa sätt. Modersmålsläraren kan också vara ett stöd för matematikläraren, när det gäller diskussioner kring ett specifikt innehåll med anknytning till elevernas hemland. Viktiga frågor att ställa sig blir; Vilka uppgifter i böckerna är svåra att förstå för elever med andra kulturella erfarenheter? Kan vi göra om uppgiften men få samma matematiska utmaning? Som lärare är det viktigt att skapa möjligheter för att få eleven att känna att matematikundervisningen är betydelsefull och begriplig. I ett projekt med lågstadiebarn utgick man från elevernas egna berättelser om upplevelser utanför skolan, t.ex. en semesterresa. Eleverna fick formulera egna frågor för att utveckla sin matematiska begreppsförståelse och sitt matematiska språk. Det är viktigt att uppmärksamma att en anknytning till elevernas vardag inte behöver vara detsamma som vardagsmatematik. Vardagsmatematik i läroböckerna handlar ofta om målning, tapetsering eller banklån, dvs. den vuxnes vardag. Genom att låta eleverna skapa problemställningar utifrån sina intressen kan matematikens uttryck och begrepp få en mening som berör dem mer. Matematik på modersmålet Under genomfördes ett projekt i Stockholm där tvåspråkiga elever (arabiska /svenska och somaliska /svenska) fick möjlighet att få matematikundervisning på två språk (se Norén, 2007). Syftet var att höja matematikkunskaperna hos eleverna. Projektet omfattade ett samarbete mellan modersmålslärare, tvåspråkiga lärare och klass- eller ämneslärare. Dessutom gjordes extra insatser inom matematikämnet för såväl pedagoger som elever. Utvärderingen av projektet visade att eleverna tyckte att de lärt sig mer och att matematiken hade blivit roligare. Några av eleverna som gick sista terminen i årskurs 8 och hade haft tvåspråkig matematikundervisning sedan höstterminen i åk 7 uttryckte att de upplevt frustration över att de tidigare inte fått studera matematik på den nivå som de var kapabla till när de kom till Sverige. Enligt deras uppfattning hade de fått lösa enkla uppgifter utan något sammanhang för att de inte klarade undervisningsspråket i klassrummet utifrån matematikböckerna. De hade 28 29

17 också tidigare fått gå i förberedelseklass där fokus framförallt legat på att de skulle lära sig svenska. En flicka berättar att när hon kom till Sverige i mitten på åk 4 fick hon gå i förberedelseklass i 2,5 år utan att ha speciellt mycket matematikundervisning. När hon började på högstadiet fick hon arbeta i boken som alla andra. Det blev givetvis svårt att komma ikapp och utveckla någon tilltro till sin egen förmåga. Efter att hon börjat i den tvåspråkiga undervisningen i åk 9 blev matematik roligare och lättare att förstå och hon fick ett ökat självförtroende och ökade kunskaper i matematik. Den tvåspråkiga undervisningen innehåller diskussioner och träning av elevernas begreppsförståelse på båda språken. I utvärderingen påpekar en del av eleverna att det varit positivt att de inte har varit lika många som i den vanliga klassen, vilket inneburit att de får mer hjälp. Av de elever som gick i tvåspråkig undervisning under projektet säger alla att det har varit lättare att hänga med. Man har alltid två språkalternativ och det är positivt med en lärare som förstår ens bakgrund. Även efter projektet uttrycker några elever att de inte gillar matematik, men att de klarar av det när det sker på modersmålet. Elever i åk 9 påpekar att det är läraren som ska bestämma om man ska ha tvåspråkig matematikundervisning eller inte, eftersom eleverna inte vet vad som är bäst för dem. Eleverna uttrycker att läraren spelar stor roll liksom de undervisningsmetoder som används. En elev hade tidigare gått i en annan svensk skola med endast individuell undervisning i matematik. Man räknade enskilt och bad om hjälp om man behövde. Eleven hade fått ig i betyg. Tack vare den tvåspråkiga undervisningen med kommunikation på modersmålet presterade han nu på vg-nivå, på gränsen till mvg. Eleverna uttryckte också att deras modersmål fått högre status i och med den tvåspråkiga undervisning i matematik, vilket har lett till att fler vill delta i modersmålsundervisningen. Eftersom vissa elever tidigare endast undervisats på svenska under flera år har de oftast inte blivit förtrogna med de matematiska uttryck som finns på modersmålet. Men i vissa språk kan det finnas problem även med denna undervisningsform. Exempelvis, det somaliska språket har inte haft ett utvecklat skriftspråk förrän i början på 1970-talet vilket inneburit att det inte funnits en skriftlig matematisk terminologi. Den somaliska läraren löste detta genom att benämna och förklara matematiska begrepp på svenska och med flera somaliska ord. Det har också visat sig att det inte endast räcker med att byta undervisningsspråk. Uppgifterna behöver också finnas i ett sammanhang som är bekant för eleverna. En relativt enkel uppgift skulle lösas av fem elever i år 4 som har arabiska som modersmål. Uppgiften i boken var formulerad på följande sätt: I ett litet torp bor Axel Olsson. Men de flesta känner nog honom som Mister Jago, utbrytarkungen. Nu har han dock slutat sin artistbana och återvänt till sitt barndomshem, där han föddes Vilket år fyllde han 75 år? En uppgift som denna blir mycket svår för eleverna, trots att det är ett enstegsproblem med en ganska lätt räkneoperation. Det visar sig att ingen av eleverna förstår sammanhanget även när de får det förklarat för sig på arabiska. Vad är utbrytarkung, torp, artistbana och barndomshem? Uppgifter som denna behöver formuleras om så att de belyser elevernas vardag och erfarenhet. Utvärderingen av projektet (Norén, 2007) har genomförts dels genom klassrumsobservationer, intervjuer av elever, lärare och skolledare och ger en hel del exempel på hur en tvåspråkig undervisning gynnar elevernas utveckling i matematik. Resultaten överensstämmer med tidigare forskning inom området. Men det är inte bara språket utan också andra faktorer som spelar in. Exempelvis ger eleverna uttryck för att de känner sig trygga i den lilla tvåspråkiga gruppen och att deras kultur, språk och erfarenheter tas tillvara upplevs som positivt. Att eleverna i projektet numera tycker om matematik kan också bero på att de upplever att deras lärare känner till deras tidigare skol- och livssituation. Flera elever i nian tvivlar på att de skulle blivit godkända i matematik, om de inte fått undervisning på sitt modersmål. Här blir modersmålet en tillgång och inte ett hinder i undervisningen och matematikutvecklingen

18 Problem med traditionen? Finns det alternativ? om man tittar närmare på svensk matematikundervisning av idag, så dyker några frågor upp. Varför har så många elever svårt med matematik? Varför tycker svenska elever i åk 7 att matematik är viktigt och lätt men att det är betydligt svårare bara något år senare? Varför hittar skolverkets bedömargrupp så lite lust att lära i matematikämnet (Skolverket, 2003)? Sådana frågor leder rimligen till att det finns skäl att undersöka svenska undervisningstraditioner i matematik. Vad är matematik i skolan? traditionen Vad skall elever lära sig i matematik och i vilken ordning ska vi lärare arbeta med olika begrepp? Matematik är som ämne hierarkiskt uppbyggt, först kommer definitioner och axiom, sedan satser av olika slag, nya definitioner och nya satser, allt byggt i en strikt logisk ordning. Denna ordning, där begreppen bygger på varandra, där en ny färdighet förutsätter att andra tidigare färdigheter har erövrats, präglar i hög grad den tradition vi i Sverige har när det gäller att undervisa i matematik. Det är då naturligt att exempelvis, först börja med att mäta längd, för att sedan gå vidare med area, och så småningom volym. Men ser man till barns erfarenheter, så börjar de med att hantera tredimensionella föremål redan som mycket små barn. Dessutom kan man påstå att begreppet area är mer abstrakt än t ex volym. Modern forskning visar också att barns sätt att erövra matematisk kompetens inte alltid följer den gång som matematiska teorier följer. Men i den traditionella undervisningen planeras och byggs matematiken ofta upp enligt ämnets karaktär och logik. Målet med undervisningen är att den ska ge eleverna bestämda färdigheter och kompetenser att lösa olika standarduppgifter, som att beräkna area och volym eller att behärska procentuppgifter av olika slag. Vad som ska läras tas ofta för givet och formuleras i termer av att behärska färdigheter och att förstå begrepp. Om konkret materiel används i undervisningen så är det för att konkretisera och illustrera begreppen, reglerna eller metoderna. I traditionen ligger också att vi först måste lära oss att lösa vissa rutinuppgifter genom att tillämpa de färdigheter vi lärt, innan vi så småningom kan använda dessa kunskaper för att lösa något svårare problem. Så problemlösningen kommer på slutet, som en tillämpning på det man lärt, om den kommer in överhuvudtaget. Eller blir problemlösningen mer av typen knep-ochknåp-uppgifter eller kluringar, som sällan innehåller den stimulans som krävs för att utveckla ett matematiskt tänkande som är centralt enligt kursplanen. Sättet vi undervisar på har fokus på att lära ut. Detta gör vi ofta genom att introducera en problemställning, för att i direkt anslutning visa hur man gör för att lösa den. Elevernas uppgift blir att lära sig metoden genom att pröva det på exakt likadana problem. Man kan i detta sammanhang tala om ett undervisningsschema, som vi valt att kalla Visa före Göra efter (vfge). Denna metod att lära matematik har uråldriga anor. Den finns också i några av de äldsta matematiska dokumenten såsom den egyptiska Rhind-papyrusen. Här ges problem och metoder för att lösa dem, men utan några förklaringar. Med grekerna och Euklides banbrytande skrift Elementa kommer även bevis in i framställningen. Men i lärobokstraditionen dominerar VFGE utan att elever egentligen stimuleras till att först få möjlighet att pröva sina egna tankar på nya typer av uppgifter. När grunderna lagts är det så dags för något svårare uppgifter där man behöver använda flera färdigheter samtidigt, och eventuellt från olika områden av skolmatematiken. På detta sätt blir problemlösning oftast en tillämpning av inlärda tekniker eller formler. I traditionen ligger också att övning och repetition ger färdighet. För att nöta in en färdighet behöver man öva likadana uppgifter, ju fler desto bättre, tills man behärskar färdigheten. Det fungerar ungefär som skalövningar när man lär sig spela ett instrument. Om man har det svårt finns det inga genvägar utan man behöver bara fler uppgifter att öva på. Eventuellt kan man dela upp färdigheten i mindre moment och 32 33

19 öva dem var för sig. Sedan har vi t ex en tradition på att öva översättning av procent till decimaltal eller olika enhetsbyten, utan någon koppling till en praktisk kontext eller förståelse. Vad får då eleverna med sig från denna tradition? Magdalene Lampert har beskrivit vilket implicit lärande denna undervisningstradition ger eleverna (Lambert, 1990). Hennes fokus är, det är det vi inte säger, som eleverna ändå lär sig genom vårt sätt att organisera undervisningen. Att lära sig matematik innebär att lära sig följa de regler läraren eller boken visar, att kunna matematik innebär att komma ihåg och kunna använda rätt regel för rätt typ av uppgift. Undervisningen bygger på principen; antingen kommer eleverna ihåg hur man gör eller så kan de inte lösa uppgiften. Kommer man inte ihåg en formel exakt, har man inga medel för att härleda ens de enklaste samband, och därför är man beroende av en formelsamling. Om en lösning är rätt eller fel kan eleverna inte avgöra själv, utan man behöver hjälp av en auktoritet, antingen av läraren eller av facit. Matematik är ett ämne man lär sig genom att lyssna noga och öva flitigt på de uppgifter man får. Det implicita lärandet kan också innebära att eleverna upplever att matematik är inget för dom, att det är för svårt och obegripligt och man aldrig får veta varför en metod fungerar. För en annan individ kan den implicita slutsatsen vara att matematik är lätt, man behöver inte jobba speciellt mycket. Det finns idag många elever på alla stadier i skolsystemet som inte utmanas speciellt mycket i matematiken. Det finns också en speciell attityd som är belagd i usa, men som de flesta lärare säkert känner igen även från Sverige, nämligen uppfattningen att i matematik så vet man för att man är smart eller så är man inte smart och då kan man inte. Framgång i studierna uppfattas framförallt bero på personliga egenskaper. Denna attityd skiljer sig radikalt från den som dominerar i exempelvis i Japan, där de flesta elever anser att framgång i matematik beror på om man arbetat mycket med studierna eller inte. Om man har en uppgift som är svår att lösa behöver man arbeta med den och har man bara tålamod så ger detta ofta resultat. Måste då undervisningen i matematik präglas av denna tradition och borde inte våra elever ha rätt att möta en annan typ av undervisning? Frågan är vilka alternativ som finns för att matematikundervisningen skall upplevas som mer lustfylld och lärorik. En utgångspunkt kan vara att se på hur matematiker arbetar. Matematiker har ju valt att ägna sitt arbetsliv åt matematiken. Vad är det som engagerar dem? Det första man kan konstatera är att det inte finns någon som visar vägen även om olika matematiker inspirerar varandra. Tonvikten ligger inte på att göra efter utan på att skapa ny matematik. Matematik är ett av de största forskningsområdena i världen. Ny matematik formuleras ständigt i form av teorier, metoder och tilllämpningar. Det som driver utvecklingen är olika problemställningar som matematiker själva formulerar. Så det är i grunden problemlösning som driver det hela. Som matematiker formulerar ofta du själv vad du vill undersöka, och så ser du vad som händer. Du formulerar hypoteser och försöker bevisa dem. Upptäckandet har på detta sätt en mer induktiv karaktär, vilket bl.a. den kände ungersk-amerikanske matematikern George Polya påpekade, medan redovisningen av resultat helt präglas av en deduktiv framställning med stora krav på entydighet och logisk klarhet. Vilka implikationer har då detta för matematiken i skolan? En slutsats man kan dra är att det är problemlösning som skulle kunna vara den centrala aktiviteten. Istället för en matematikundervisning där alla väsentliga problem redan är lösta, bör barn få erövra och utveckla sin förmåga att lösa problem och att tänka matematiskt. Man skulle kunna utgå från att kultivera och vidareutveckla de grundläggande matematiska förmågor som även små barn uppvisar, såsom förmågan att se mönster, dra slutsatser och ställa hypoteser. Problemlösning skulle kunna vara den grundläggande aktiviteten i skolans matematikundervisning med problemställningar som utgår från en situation som är konkret för eleverna. En sådan undervisning kunde också framhålla flera olika sätt att lösa problem, så att lösningar och lösningsmetoder kan bilda underlag för diskussioner med ett matematiskt innehåll. På detta sätt kan eleverna få nya erfarenheter som hjälper dem att förstå nya problemställningar och metoder, och ger dem erfarenheter som fördjupar deras förståelse av olika begrepp. Matematik i förskolan I förskolan har vi i Sverige under lång tid haft en tradition med mycket litet fokus på matematik. På senare år har detta problem också uppmärksammats alltmer. Många förskollärare är emellertid osäkra på hur de ska hantera matematiken både i förskolan men också i förskoleklassen. Dagens situation speglar egentligen en gammal konflikt som handlar om när barn ska börja med matematik. Å ena sidan kan barn visa upp och ge uttryck för förvånansvärt avancerade matema

20 tiska resonemang, om de bara får möjlighet och stimulans att göra detta. Å andra sidan är skoltraditionen i matematikundervisningen oftast för symbol- och färdighetsfixerad för att passa de traditioner förskolan har att arbeta med. En av föregångsmännen och skaparen av förskolan och kindergarten var Friedrich Fröbel. Han skapade och föreslog aktiviteter på förskolan som var matematiskt präglade. Men egentligen inte utifrån antalsbegreppet, utan mer när det gäller att utveckla en god rumsuppfattning och ett gott sinne för mönster och symmetrier hos barnen. Det handlade om att på ett informellt sätt och med hjälp av konkret materiel ge barnen goda erfarenheter en god grund. Ett exempel utgörs av en garnboll. Den kan man kasta och leka med, men man kan också rulla den på golvet, och då beskriver den en rät linje. Det är mycket i det matematiska innehållet hos Fröbel som kan kännas ganska modernt, men ramen det är satt i är helt klart en annan tid. I usa hade kindergarten stora framgångar men ganska snart kom det kritik från s.k. sociala teoretiker, dvs. personer som studerade vilken roll uppfostran spelade i samhället. De var ofta mycket skeptiska till att barn skulle börja med matematik i tidig ålder. Utgångspunkten för denna kritik var erfarenheterna av den formella matematikundervisningen i skolan. Enligt kritikerna ska få ha rätt att vara barn och då är leken det viktigaste redskapet för utveckling. Att utveckla matematisk förmåga ingick inte i rätten att vara barn. Idag är forskning om barns matematiska utveckling ett väldigt aktivt område. Framför allt är det kognitiva psykologer och utvecklingspsykologer som är aktiva inom detta område. Man vet att utvecklingen av informella kunskaper i matematik börjar mycket tidigt, redan under de första två levnadsåren. Därefter verkar det som om erövringen av räkneorden och dess användning är viktiga för att barn ska utveckla ett antalsbegrepp. Forskningen visar betydelsen av den informella kunskapen. Små barn kommer med informella erfarenheter till förskolan och dessa erfarenheter kan se väldigt olika ut. Detta beror på vilka socioekonomiska förhållanden barnet växer upp under och vilken stimulans syskon, föräldrar och andra vuxna kan ge. Förskolan är alltså ur ett demokratiskt perspektiv viktig för att kompensera barns tillgång till den typ av informella erfarenheter som kan ligga till grund för att lärandet i matematik senare inte ska bli för övermäktigt. Därför är det viktigt att de nya målen i förskolan kan fokusera just utvecklingen av sådana informella kunskaper i matematik. Exempel och erfarenheter från undervisning Introduktion Med utgångspunkt i vårt uppdrag adresserar detta avsnitt särskilt följande frågor: Hur kan man bryta trenden i att matematikkunskaperna minskar i den svenska skolan? Hur kan man få barn och elever som tappat intresset för matematik att komma tillbaka? Hur kan man möta alla barn och elever på sin nivå och hur kan man stimulera deras matematiska tänkande? Några av deltagarna i tankesmedjan har provat på några olika arbetssätt, med olika lärarroller och elevroller samt sätt att organisera undervisningen på för att få ett underlag till att diskutera ovanstående frågeställningar. Arbetet har inneburit en lång process vilken inte alltid varit problemfri. Varje nytt ställningstagande har också gett nya erfarenheter, skapat idéer eller nya problem. I huvudsak har arbetet varit inriktat på att prova uppgifter med s.k. öppna eller rika problemställningar. Enligt vår uppfattning, innehåller denna typ av problemställningar potentialen att adressera problemen i punkterna ovan. Med öppna problem (open-ended questions) menar vi frågeställningar som har flera möjliga svar. Problemen kan leda till mer eller mindre rik matematik. Problemen ska vara så pass konkreta att alla elever kan komma igång med dem och ha möjligheter att hitta någon lösning. Med rika problem menar vi problem som kan leda till rik matematik. Dessa är oftast möjliga att uttrycka som generella samband ofta med hjälp av algebraiska uttryck. Ledtrådsuppgifter 36 37

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Vad skall en matematiklärare kunna? Översikt. Styrdokument. Styrdokument. Problemlösning

Vad skall en matematiklärare kunna? Översikt. Styrdokument. Styrdokument. Problemlösning Vad skall en matematiklärare kunna? Andreas Ryve Stockholms universitet och Mälardalens Högskola. Översikt 1. Vad skall en elev kunna? 2. Matematik genom problemlösning ett exempel. 3. Skapa matematiska

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

Matematiklyftet 2013/2014

Matematiklyftet 2013/2014 Matematiklyftet 2013/2014 Didaktiskt kontrakt Ruc 140522 AnnaLena Åberg 79 Matematiklärare 9 skolor? Elever 10 Rektorer 1 Förvaltningschef 2 Skolområdschefer 5 Matematikhandledare Hur ser ni på det didaktiska

Läs mer

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte vara?

Läs mer

Lära matematik med datorn. Ulrika Ryan, projektledare för Matematik för den digitala generationen Byskolan, Södra Sandby

Lära matematik med datorn. Ulrika Ryan, projektledare för Matematik för den digitala generationen Byskolan, Södra Sandby Lära matematik med datorn Ulrika Ryan, projektledare för Matematik för den digitala generationen Byskolan, Södra Sandby Innehåll Varför undervisar jag som jag gör? Lärarens roll i det digitala klassrummet

Läs mer

Centralt innehåll. Läsa och skriva. Tala, lyssna och samtala. Berättande texter och sakprosatexter. Språkbruk. Kultur och samhälle.

Centralt innehåll. Läsa och skriva. Tala, lyssna och samtala. Berättande texter och sakprosatexter. Språkbruk. Kultur och samhälle. MODERSMÅL Språk är människans främsta redskap för att tänka, kommunicera och lära. Genom språket utvecklar människor sin identitet, uttrycker känslor och tankar och förstår hur andra känner och tänker.

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen

Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen 1 (6) Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen i matematik Matematiksatsningen 2010 Uppgifter om skolhuvudmannen Kommunens namn (om huvudmannen är en kommun) Den fristående huvudmannens

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i modersmål i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i modersmål i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i modersmål i grundskolan 3.7 Modersmål Språk är människans främsta redskap för att tänka, kommunicera och lära. Genom språket utvecklar människor sin identitet, uttrycker känslor

Läs mer

Verksamhetsplan. Rapphönan 14/15

Verksamhetsplan. Rapphönan 14/15 Örkelljunga Kommun Utbildningsförvaltningen Förskoleverksamheten Verksamhetsplan för förskolan Rapphönan 14/15 1 Innehållsförteckning Kommunens vision 3 Verksamhetsidé 4 Vision 5 Förskolans uppdrag 6 Våra

Läs mer

Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten

Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten Ulrika Ryan Hur bygger jag den vetenskapliga grunden för min undervisning? Styrdokument Forskning Beprövad erfarenhet Matematik

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

MODERSMÅLSENHETEN. Verksamhetsplan 2014-15

MODERSMÅLSENHETEN. Verksamhetsplan 2014-15 Systematiskt kvalitetsarbete i Solnas skolor - Resultatsammanställning - Betygssättning - KVALITETSREDOVISNING (publ) Maj Juni Aug - VERKSAMHETSPLAN (publ) - Utkast 1/gensvar/slutgiltig - Delårsbokslut

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Naturvetenskapsprogrammet (NA)

Naturvetenskapsprogrammet (NA) Naturvetenskapsprogrammet (NA) Naturvetenskapsprogrammet (NA) ska utveckla elevernas kunskaper om sammanhang i naturen, om livets villkor, om fysikaliska fenomen och skeenden och om kemiska processer.

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Språkutvecklingsprogram

Språkutvecklingsprogram Språkutvecklingsprogram Förskolorna i Vingåkers kommun 2013-02-01 1. Förord Detta språkutvecklingsprogram vänder sig främst till alla våra anställda i Vingåkers förskolor. Programmet kan också användas

Läs mer

NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN MATEMATIK GRUNDSKOLAN

NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN MATEMATIK GRUNDSKOLAN NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN Den 17 mars 1994 fastställde regeringen KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN att gälla i årskurserna 1 7 från läsåret 1995/96, i årskurs 8 läsåret 1996/97 och i årskurs 9 läsåret 1997/98.

Läs mer

Matematikplan Förskolan

Matematikplan Förskolan Matematikplan Förskolan Utarbetad 2014 Sammanfattning Ett matematikprojekt har pågått i Munkedals kommun under åren 2013-2014 där grundskolan har deltagit. Som ett led i det arbetet har denna plan för

Läs mer

Kursplan för utbildning i svenska för invandrare

Kursplan för utbildning i svenska för invandrare Kursplan för utbildning i svenska för invandrare Utbildningens syfte Utbildningen i svenska för invandrare är en kvalificerad språkutbildning som syftar till att ge vuxna invandrare grundläggande kunskaper

Läs mer

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Undervisning Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Mål att uppnå i år 9, ur Lpo 94 Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

Bengt Drath. Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun

Bengt Drath. Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande tikk Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte

Läs mer

VISÄTTRASKOLANS MATEMATIKUTVECKLINGSPLAN

VISÄTTRASKOLANS MATEMATIKUTVECKLINGSPLAN VISÄTTRASKOLANS MATEMATIKUTVECKLINGSPLAN Syftet med den här utvecklingsplanen är att synliggöra hur vi på Visättraskolan ska arbeta för att all undervisning på vår skola ska vara matematik- och kunskapsutvecklande.

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Tummen upp! Matte ÅK 6

Tummen upp! Matte ÅK 6 Tummen upp! Matte ÅK 6 Tummen upp! är ett häfte som kartlägger elevernas kunskaper i förhållande till kunskapskraven i Lgr 11. PROVLEKTION: RESONERA OCH KOMMUNICERA Provlektion Följande provlektion är

Läs mer

Undervisningen i ämnet engelska ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande:

Undervisningen i ämnet engelska ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande: ENGELSKA Det engelska språket omger oss i vardagen och används inom skilda områden som kultur, politik, utbildning och ekonomi. Kunskaper i engelska ökar individens möjligheter att ingå i olika sociala

Läs mer

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering

Läs mer

Pedagogisk kartläggning av nyanlända elever

Pedagogisk kartläggning av nyanlända elever Pedagogisk kartläggning av nyanlända elever Symposium 4 oktober 2012 Anniqa Sandell Ring anniqa.sandell.ring@andrasprak.su.se Arash Hassanpour arash.hassanpour@linkoping.se Innehåll En historisk tillbakablick

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 1. Procent och statistik Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Rymdutmaningen koppling till Lgr11

Rymdutmaningen koppling till Lgr11 en koppling till Lgr11 När man arbetar med LEGO i undervisningen så är det bara lärarens och elevernas fantasi som sätter gränserna för vilka delar av kursplanerna man arbetar med. Vi listar de delar av

Läs mer

ATT ANVÄNDA SPRÅK FÖR ATT LÄRA SIG OCH ATT LÄRA SIG ANVÄNDA SPRÅK

ATT ANVÄNDA SPRÅK FÖR ATT LÄRA SIG OCH ATT LÄRA SIG ANVÄNDA SPRÅK ATT ANVÄNDA SPRÅK FÖR ATT LÄRA SIG OCH ATT LÄRA SIG ANVÄNDA SPRÅK Liisa Suopanki Carin Söderberg Margaretha Biddle Framtiden är inte något som bara händer till en del danas och formges den genom våra handlingar

Läs mer

Om ämnet Engelska. Bakgrund och motiv

Om ämnet Engelska. Bakgrund och motiv Om ämnet Engelska Bakgrund och motiv Ämnet engelska har gemensam uppbyggnad och struktur med ämnena moderna språk och svenskt teckenspråk för hörande. Dessa ämnen är strukturerade i ett system av språkfärdighetsnivåer,

Läs mer

Svenska som andraspråk

Svenska som andraspråk Svenska som andraspråk Studiehandledning Distanskurs i Svenska som andraspråk, "På G". Välkommen till distanskurs i svenska som andraspråk, på grundläggande nivå. Introduktion Förkunskaper Kursöversikt

Läs mer

Centralt innehåll årskurs 7-9

Centralt innehåll årskurs 7-9 SVENSKA Språk är människans främsta redskap för att tänka, kommunicera och lära. Genom språket utvecklar människor sin identitet, uttrycker känslor och tankar och förstår hur andra känner och tänker. Att

Läs mer

Vi arbetar också medvetet med de andra målen i förskolans läroplan som t.ex. barns inflytande, genus och hälsa och livsstil.

Vi arbetar också medvetet med de andra målen i förskolans läroplan som t.ex. barns inflytande, genus och hälsa och livsstil. Arbetsplan 2010/2011 Under läsåret arbetar vi med ett tema som i år är sagan Bockarna Bruse. Den följer med som en röd tråd genom de flesta av våra mål. Vår arbetsplan innefattar mål inom våra prioriterade

Läs mer

Sparvens & Skatans Utvecklingsplan

Sparvens & Skatans Utvecklingsplan Sparvens & Skatans Utvecklingsplan Utveckling och lärande Den pedagogiska verksamheten ska genomföras så att den stimulerar och utmanar barnets utveckling och lärande. Miljön ska vara öppen, innehållsrik

Läs mer

MODERSMÅL 3.6 MODERSMÅL

MODERSMÅL 3.6 MODERSMÅL 3.6 MODERSMÅL Språk är människans främsta redskap för att tänka, kommunicera och lära. Genom språket utvecklar människor sin identitet, uttrycker känslor och tankar och förstår hur andra känner och tänker.

Läs mer

Modersmålslärarens roll i den pedagogiska kartläggningen

Modersmålslärarens roll i den pedagogiska kartläggningen Modersmålslärarens roll i den pedagogiska kartläggningen Sektionen för resurs och stödverksamhet Flerspråkighet Snezana Arsenovic Nero, verksamhetschef (modersmålsstöd i förskola, förskoleklass) Åsa Svensson,

Läs mer

Storyline och matematik

Storyline och matematik Storyline och matematik Av Eva Marsh och Ylva Lundin I ett storylinearbete om energi fick eleverna i årskurs åtta vid många tillfällen diskutera och lösa matematiska problem som karaktärerna ställdes inför.

Läs mer

Reell kompetens - grundläggande behörighet för utbildning till grundnivå Behörig på annat sätt!

Reell kompetens - grundläggande behörighet för utbildning till grundnivå Behörig på annat sätt! Reell kompetens - grundläggande behörighet för utbildning till grundnivå Behörig på annat sätt! 1 (5) Vad är det? Om du saknar den formella grundläggande behörigheten, dvs. du har t.ex. inte ett slutbetyg

Läs mer

Förskoleavdelningen. Lokal Arbetsplan för Blåsippan 2014-2015

Förskoleavdelningen. Lokal Arbetsplan för Blåsippan 2014-2015 Förskoleavdelningen Lokal Arbetsplan för Blåsippan 2014-2015 Innehållsförteckning: 1. Förskolans värdegrund sida 3 2. Mål och riktlinjer sida 4 2.1 Normer och värden sida 4 2.2 Utveckling och lärande sida

Läs mer

DESIGN FÖR LÄRANDE ETT MULTIMODALT PERSPEKTIV

DESIGN FÖR LÄRANDE ETT MULTIMODALT PERSPEKTIV EN RESUMÉ AV BOKEN DESIGN FÖR LÄRANDE ETT MULTIMODALT PERSPEKTIV AV STAFFAN SELANDER & GUNTHER KRESS Juni 2011 Cecilia Montén Maria Zevenhoven 1 Inledning För att anpassa skolan och undervisningen till

Läs mer

Klara målen i 3:an - undervisa i matematik!

Klara målen i 3:an - undervisa i matematik! Klara målen i 3:an - undervisa i matematik! Att få chans att lyckas i matematik De flesta elever älskar matte under sitt första skolår. Allas vår önskan är att eleverna ska få en fortsatt intressant och

Läs mer

ENGELSKA. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

ENGELSKA. Ämnets syfte. Kurser i ämnet ENGELSKA Det engelska språket omger oss i vardagen och används inom skilda områden som kultur, politik, utbildning och ekonomi. Kunskaper i engelska ökar individens möjligheter att ingå i olika sociala

Läs mer

Sammanfattning Rapport 2010:13. Undervisningen i matematik i gymnasieskolan

Sammanfattning Rapport 2010:13. Undervisningen i matematik i gymnasieskolan Sammanfattning Rapport 2010:13 Undervisningen i matematik i gymnasieskolan 1 Sammanfattning Skolinspektionen har granskat kvaliteten i undervisningen i matematik på 55 gymnasieskolor spridda över landet.

Läs mer

Språkutvecklande arbetssätt

Språkutvecklande arbetssätt Snösätraskolan Vallhornsgatan 21 124 61 Bandhagen Kontaktperson Marianne Bloch 08-508 49 210 marianne.bloch@utbildning.stockholm.se Språkutvecklande arbetssätt Snösätraskolans elevunderlag har under åren

Läs mer

Retorikplan för Ludvika kommun skriven läsåren 2010 13. Reviderad våren 2013. RETORIKPLAN för Ludvika kommun

Retorikplan för Ludvika kommun skriven läsåren 2010 13. Reviderad våren 2013. RETORIKPLAN för Ludvika kommun RETORIKPLAN för Ludvika kommun 1 Syfte och mål för våra elever Våga, vilja och kunna - tala inför andra - framföra sina åsikter - ta ställning för och emot Respektera de andra i gruppen Få stärkt självförtroende

Läs mer

Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen

Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen 1 (7) Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen i matematik Matematiksatsningen 2011 Ha riktlinjerna och blankettstödet tillhands då denna ansökningsbilaga fylls i. Bakgrundsinformation

Läs mer

MATEMATIK. Läroämnets uppdrag

MATEMATIK. Läroämnets uppdrag MATEMATIK Läroämnets uppdrag Syftet med undervisning i matematik är att utveckla ett logiskt, exakt och kreativt matematisk tänkande hos eleven. Undervisningen skapar en grund för förståelsen av matematiska

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Det engelska språket omger oss i vardagen och används inom så skilda områden som kultur, politik, utbildning och ekonomi. Kunskaper i engelska

Det engelska språket omger oss i vardagen och används inom så skilda områden som kultur, politik, utbildning och ekonomi. Kunskaper i engelska Engelska Kurskod: GRNENG2 Verksamhetspoäng: 450 Det engelska språket omger oss i vardagen och används inom så skilda områden som kultur, politik, utbildning och ekonomi. Kunskaper i engelska ökar individens

Läs mer

SAMTYCKE ÅK 10 till överlämnande av pedagogiska dokument från antagningen till gymnasieskolan

SAMTYCKE ÅK 10 till överlämnande av pedagogiska dokument från antagningen till gymnasieskolan 1(16) SAMTYCKE ÅK 10 till överlämnande av pedagogiska dokument från antagningen till gymnasieskolan Ankomststämpel Information om personuppgiftslagen (PuL) Personuppgifter i ansökan behandlas i enlighet

Läs mer

Storyline och entreprenörskap

Storyline och entreprenörskap Storyline och entreprenörskap Av: Ylva Lundin Entreprenöriellt lärande - ett ord som många pedagoger kämpar med både när det gäller att säga och förstå. Ibland tolkas entreprenörskap som att vi i skolan

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

Om kompetens och lärande

Om kompetens och lärande Om kompetens och lärande Vi bär på mycket mer kunskap än vi tror och kan så mycket mer än vi anar! När som helst i livet har du nytta och glädje av att bli medveten om delarna i din kompetens. Du funderar

Läs mer

För prövning i Grundläggande Svenska gäller följande vid första tillfället:

För prövning i Grundläggande Svenska gäller följande vid första tillfället: prövning grundläggande svenska Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING Prövningsanvisning Kurs: Svenska Kurskod: GRNSVE2 Verksamhetspoäng: 1000 För prövning i Grundläggande Svenska gäller följande vid

Läs mer

Pedagogisk planering aritmetik (räkning)

Pedagogisk planering aritmetik (räkning) Pedagogisk planering aritmetik (räkning) Vi kommer att arbeta med de fyra räknesätten i matematik. Syfte (ur Skolverkets kursplan) Under det här arbetsområdet kommer vi att arbeta med att utveckla följande

Läs mer

Kursen kommer att handla om: Mål med arbetet från Lgr 11. Lokal Pedagogisk Planering Läsåret 12-13

Kursen kommer att handla om: Mål med arbetet från Lgr 11. Lokal Pedagogisk Planering Läsåret 12-13 Kurs: Storyline Market place Tidsperiod: Vecka 46- Skola: Åsens Skola Klass: F-5 Lärare: Alla Kursen kommer att handla om: Du kommer att få arbeta med Storylinen Market place där du ska få lära dig hur

Läs mer

Gemensamma mål för fritidshemmen i Sparsör

Gemensamma mål för fritidshemmen i Sparsör Gemensamma mål för fritidshemmen i Sparsör Detta material Lust att lära och möjlighet till att lyckas är visionen som Borås stad har satt som inspiration för oss alla som arbetar inom stadens skolor, fritidshem

Läs mer

Inkludering, utan exkludering, eller tack vare?

Inkludering, utan exkludering, eller tack vare? Inkludering, utan exkludering, eller tack vare? Sedan en tid tillbaka pågår det livliga diskussioner kring inkludering och exkludering i samband med att man funderar kring särskilda undervisningsgrupper

Läs mer

Hanna Melin Nilstein. Lokal pedagogisk plan för verklighetsbaserad och praktisk matematik Årskurs 3 1+1=?

Hanna Melin Nilstein. Lokal pedagogisk plan för verklighetsbaserad och praktisk matematik Årskurs 3 1+1=? Hanna Melin Nilstein Lokal pedagogisk plan för verklighetsbaserad och praktisk matematik Årskurs 3 1+1=? Lpp (Lokal pedagogisk plan) för verklighetsbaserad och praktisk matematik Bakgrund och beskrivning

Läs mer

Lokal arbetsplan för Bensby förskola

Lokal arbetsplan för Bensby förskola Lokal arbetsplan för Bensby förskola 2013 2014 Lokal arbetsplan för Bensby förskola 2013 2014 Bensby förskola erbjuder ca 70 platser till barn i åldrarna 1-6 år. Verksamheten bedrivs i en huvudbyggnad

Läs mer

Under en forskningscirkel, som vi matematikutvecklare i Göteborg har

Under en forskningscirkel, som vi matematikutvecklare i Göteborg har Britt Holmberg Analysera mera i geometri Inom undervisningen i geometri behöver vi utmana elevernas nyfikenhet med frågeställningar och ge dem tid att undersöka geometriska objekt. Praktiskt arbete där

Läs mer

Pedagogisk planering för ämnet: Svenska

Pedagogisk planering för ämnet: Svenska 1(5) Pedagogisk planering för ämnet: Svenska Tidsperiod: årskurs 4 Syfte & övergripande mål: Vi kommer att läsa, skriva, lyssna och tala. Syftet är att du ska utveckla förmågan att: - formulera dig och

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

SVENSKA SOM ANDRASPRÅK

SVENSKA SOM ANDRASPRÅK SVENSKA SOM ANDRASPRÅK Ämnet svenska som andraspråk behandlar olika former av kommunikation mellan människor. Kärnan i ämnet är språket och litteraturen. I ämnet ingår kunskaper om språket, skönlitteratur

Läs mer

ARBETSPLAN FÖRSKOLAN EKBACKEN

ARBETSPLAN FÖRSKOLAN EKBACKEN ARBETSPLAN FÖRSKOLAN EKBACKEN Inledning Förskolan regleras i skollagen och har Skolverket som tillsynsmyndighet. Sedan 1 augusti, 1998, finns en läroplan för förskolan, Lpfö 98. Läroplanen är utformad

Läs mer

1. Skolans värdegrund och uppdrag

1. Skolans värdegrund och uppdrag 1. Skolans värdegrund och uppdrag Grundläggande värden Skolväsendet vilar på demokratins grund. Skollagen (2010:800) slår fast att utbildningen inom skolväsendet syftar till att elever ska inhämta och

Läs mer

Centralt innehåll. I årskurs 1 3

Centralt innehåll. I årskurs 1 3 75 3.17 Svenska Språk är människans främsta redskap för att tänka, kommunicera och lära. Genom språket utvecklar människor sin identitet, uttrycker känslor och tankar och förstår hur andra känner och tänker.

Läs mer

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda

Läs mer

Att resa ett utbyte av erfarenheter

Att resa ett utbyte av erfarenheter Att resa ett utbyte av erfarenheter Hej! Du fick igår i uppdrag av Sveriges kung och drottning att föra världen samman genom en resa som du och dina gruppkamrater ska ta er för de närmaste veckorna. Detta

Läs mer

Matematikundervisning för framtiden

Matematikundervisning för framtiden Matematikundervisning för framtiden Matematikundervisning för framtiden De svenska elevernas matematikkunskaper har försämrats över tid, både i grund- och gymnasieskolan. TIMSS-undersökningen år 2003 visade

Läs mer

Viktoriaskolans kursplan i Svenska I förskoleklass arbetar eleverna med:

Viktoriaskolans kursplan i Svenska I förskoleklass arbetar eleverna med: I förskoleklass arbetar eleverna med: År F - att lyssna och ta till sig enkel information i grupp (MI-tänk) - att delta i ett samtal - att lyssna på en saga och återberätta - att beskriva enklare bilder

Läs mer

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att:

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: Matematik Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska

Läs mer

ESP språkutvecklingsnivåer A1-A2, B1-B2, C1-C2

ESP språkutvecklingsnivåer A1-A2, B1-B2, C1-C2 Barn- och utbildningsförvaltningen Modersmålsundervisning Iákovos Demetriádes Europeisk Språkportfolio, verktygslådan för modersmål och svenska som andraspråk 3 ESP och modersmålsundervisningen ESP språkutvecklingsnivåer

Läs mer

KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013

KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013 UTBILDNINGSFÖRVALTNINGEN TILLHANDAHÅLLARAVDEL NINGEN SID 1 (8) 2012-10-12 KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013 Självvärdering av hur förskolan utifrån läroplanen skapar förutsättningar för

Läs mer

Kursplan i svenska för kompletterande undervisning för svenska elever i utlandet

Kursplan i svenska för kompletterande undervisning för svenska elever i utlandet Kursplan i svenska för kompletterande undervisning för svenska elever i utlandet Skolverkets föreskrifter (SKOLFS 2011:124) om kursplan i svenska för kompletterande undervisning för svenska elever i utlandet.

Läs mer

En offensiv skola. Skolplan för Kristianstads kommun 2012 2018

En offensiv skola. Skolplan för Kristianstads kommun 2012 2018 En offensiv skola Skolplan för Kristianstads kommun 2012 2018 En offensiv skola i en trygg miljö där alla får chansen Utbildning ger individen möjlighet att öppna nya dörrar, se saker ur nya perspektiv

Läs mer

Matematik 5000 Kurs 1a röd lärobok eller motsvarande., ISBN 978-91-27-42156-1. Prövningen är skriftlig, eventuellt kompletterad med en muntlig del

Matematik 5000 Kurs 1a röd lärobok eller motsvarande., ISBN 978-91-27-42156-1. Prövningen är skriftlig, eventuellt kompletterad med en muntlig del prövning matematik 1a Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövningen avser Kurskod Matematik 1a MATMAT01a Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prövningsutformning Bifogas Matematik 5000

Läs mer

Studera till lärare! Lärarprogram vid Umeå universitet. Version 2, 2012. Lärarhögskolan www.use.umu.se

Studera till lärare! Lärarprogram vid Umeå universitet. Version 2, 2012. Lärarhögskolan www.use.umu.se Studera till lärare! Lärarprogram vid Umeå universitet Version 2, 2012 Lärarhögskolan www.use.umu.se 1 Grundlärarprogrammet fritidshem, 180 hp...6 Grundlärarprogrammet förskoleklass och åk 1-3, 240 hp...

Läs mer

Sju nycklar för framgång. www.atvidaberg.se

Sju nycklar för framgång. www.atvidaberg.se 1 2 3 4 5 6 7 Sju nycklar för framgång www.atvidaberg.se barn- och utbildningsförvaltningen Amanda, 13 år Om lärarna samverkar med varandra, med oss elever och med föräldrarna får man flera perspektiv

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i engelska i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i engelska i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i engelska i grundskolan 3.2 Engelska Språk är människans främsta redskap för att tänka, kommunicera och lära. Att ha kunskaper i flera språk kan ge nya perspektiv på omvärlden,

Läs mer

RELIGIONSKUNSKAP. Ämnets syfte och roll i utbildningen

RELIGIONSKUNSKAP. Ämnets syfte och roll i utbildningen RELIGIONSKUNSKAP Ämnets syfte och roll i utbildningen Religionskunskap bidrar till att utveckla förmågan att förstå och reflektera över sig själv, sitt liv och sin omgivning och utveckla en beredskap att

Läs mer

Centralt innehåll som vi arbetar med inom detta område:

Centralt innehåll som vi arbetar med inom detta område: BRÅK & PROCENT PEDAGOGISK PLANERING/KUNSKAPSKRAV MATEMATIK Ö7 HT 2012 Syfte Lgr 11 Meningen med att läsa matematik i skolan är att du ska utveckla din förmåga att ü formulera och lösa problem med hjälp

Läs mer

07-03-09 TORULF PALM 1

07-03-09 TORULF PALM 1 07-03-09 TORULF PALM 1 Prov, betyg och bedömning Torulf Palm Institutionen för Matematik, Teknik och Naturvetenskap Umeå universitet 07-03-09 TORULF PALM 2 Händelser från skolvardagen Martin har bedömt

Läs mer

Läroplanen. Normer och värden. Kunskaper. Elevernas ansvar och inflytande 6 Skola och hem

Läroplanen. Normer och värden. Kunskaper. Elevernas ansvar och inflytande 6 Skola och hem Läroplanen 1. Skolans värdegrund och uppdrag Kursplaner Syfte Centralt innehåll 1-3 2. Övergripande mål och riktlinjer 4-6 Normer och värden 7-9 Kunskaper Kunskapskrav Elevernas ansvar och inflytande 6

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX

VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX (Centrum för Vuxnas Lärande, f.d. Komvux) vänder sig till Dig som är över 20 år och som saknar, behöver förbättra eller komplettera Din utbildning. Särvux är en del av CVL som

Läs mer

Handlingsplan. 2013/2014 Glöden

Handlingsplan. 2013/2014 Glöden 2012-06-27 Sid 1 (8) Handlingsplan för Ängsulls förskola 2013/2014 Glöden S Ä T R A F Ö R S K O L E O M R Å DE Tfn 026-178000 (vx), 026-172349 Bitr.förskolechef Eva Levin Eva.g.levin@gavle.se www.gavle.se

Läs mer

Ämnesblock svenska 142,5 hp

Ämnesblock svenska 142,5 hp Ämneslärarexamen inriktning gymnasieskolan Sida 1 av 5 Ämnesblock svenska 142,5 hp för undervisning i gymnasieskolan Ämnesblocket omfattar ämnesstudier inklusive ämnesdidaktik om 120 hp, utbildningsvetenskaplig

Läs mer

Bedömning. Formativ bedömning - en väg till bättre lärande. Formativ bedömning. Formativ bedömning. Visible teaching - visible learning

Bedömning. Formativ bedömning - en väg till bättre lärande. Formativ bedömning. Formativ bedömning. Visible teaching - visible learning Formativ bedömning - en väg till bättre lärande Inger Ridderlind Stina Hallén www.prim-gruppen.se Bedömning Bedömning av kunskap - summativ Bedömning för kunskap - formativ Från att mäta kunskap till pedagogisk

Läs mer

Bedömning för lärande. Per Berggren och Maria Lindroth 2012-11-13

Bedömning för lärande. Per Berggren och Maria Lindroth 2012-11-13 Bedömning för lärande Per Berggren och Maria Lindroth 2012-11-13 Förmågor - Bild Genom undervisningen i ämnet bild ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att kommunicera

Läs mer

Tema: Den mänskliga resan Inspirationstema: Leonardo Da Vinci Vt 2010

Tema: Den mänskliga resan Inspirationstema: Leonardo Da Vinci Vt 2010 Kompendium åk 1-3 Tema: Den mänskliga resan Inspirationstema: Leonardo Da Vinci Vt 2010 Namn: Klass: Övergripande tema mål: Med detta tema vill vi att eleverna skall få kunskap, insikt och förståelse gällande:

Läs mer

Arbetsplan för nyanlända elever

Arbetsplan för nyanlända elever Förskola & Skola Arbetsplan för nyanlända elever Om vissa skolor i Nacka kommun fick profilera sig på olika språk, kunde en nyanländ elev placeras på en skola som valt att profilera sig på elevens modersmål.

Läs mer

Flerspråkighet i förskolan

Flerspråkighet i förskolan Flerspråkighet i förskolan en handledning 1 www.karlskoga.se Inledning Andelen barn som växer upp med ett eller flera språk utöver svenska ökar inom förskolan i Karlskoga kommun. Det är barn vars föräldrar

Läs mer

Konkretisering av matematiska begrepp i skolan

Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Karin Kairavuo Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Den kinesiska författaren och nobelpristagaren i litteratur, Gao Xingjian, använder en spännande metod i sitt arbete. Han talar in sina blivande

Läs mer