Utveckling av matematiskt tänkande 30 högskolepoäng Development of mathematical reflection

Transkript

1 Utveckling av matematiskt tänkande 30 högskolepoäng Development of mathematical reflection Kurskod: MMA026 Utbildningsnivå: Grundnivå 100 Ämne: Matematik/Tillämpad Utbildningsområde: Naturvetenskap matematik Giltig fr.o.m. termin: vt01 Kursen vänder sig till lärare i förskoleklass samt lärare åk 1-6. Kursens huvudsyften är att den studerande skall utveckla sitt matematiska tänkande och sin förmåga att tillämpa det i undervisningssituationer. Den studerande skall förväntas utveckla en insikt i hur matematik samspelar med övriga skolämnen i ett meningsfullt lärande samt förstå barns tänkande och lärande i anknytning till matematik. Den studerande skall vidare fördjupa sina kunskaper i matematik och utveckla en teoretisk bakgrund inom taluppfattning och aritmetik. Stor vikt kommer att läggas på taluppfattning, egenskaper hos naturliga, hela och rationella tal samt de tankar, räknelagar och metoder som ligger till grund för de fyra räknesätten. Den studerande skall tillägna sig en grundläggande förståelse för matematikens historia, matematikutvecklingens växelverkan med utvecklingen inom andra vetenskaper och matematikens roll i samhället. Den studerande skall fördjupa sina kunskaper i geometri, ett område som dels är starkt förknippat med den tidiga matematiska utvecklingen och dels aktuell i dagens samhälle och skolmatematik. Den studerande skall, genom problemlösning, nå förståelse för grundläggande begrepp inom aritmetik, algebra och ekvationslösning. Läs igenom en gång till och beakta språket! (Nästan alla meningar börjar med Den Överlapp mot lärandemålen? (Bör kunna bantas) Efter genomgången kurs förväntas studenten kunna - definiera och i tal och skrift använda matematiska begrepp och operationer som behandlas inom kursen. - lösa matematiska uppgifter som bygger på kursens innehåll samt skriftligt och muntligt presentera dessa lösningar. - redogöra för och använda de ämnesdidaktiska förklaringsmodeller, konkreta och matematiska, som kursen innehåller. - formulera egna matematiska uppgifter och problem anpassade till olika förklaringsmodeller och åldrar. - använda algebraiska uttryck för att matematiskt motivera de regler kursen innehåller. - genomföra en studie av barns taluppfattning samt rapportera studiens resultat muntligt och skriftligt. - skriva en rapport inom kursens område som behandlar någon aspekt av matematikens historia. - beskriva och använda ett antal modeller för hur lösning av ekvationer kan introduceras och utvecklas. - använda ett antal modeller som stödjer att barn lär sig algebraiska uttryck. - använda kalkylblad för att lösa och redovisa matematiska uppgifter till exempel från området hållbar utveckling eller talföljder. - visa god förmåga att lösa enkla matematiska problem såväl informellt som formellt och visa hur problemlösning kan användas för att introducera ny matematisk kunskap. - självständigt planera, genomföra och utvärdera aktiviteter/lektioner utifrån relevant matematikdidaktisk kunskap. - redogöra för språkets och samtalets betydelse för matematikinlärning och kunna stimulera till ett kreativt och lustfyllt lärande som utgår från barns tankar. - kommunicera med barn, föräldrar och kollegor om matematik med både korrekt matematisk terminologi och med ett mer vardagligt språk. - urskilja och bedöma enskilda elevers kunskaper och kunna hantera modeller för diagnostisering, utvärdering och dokumentation. - identifiera och beskriva matematik som förekommer i olika miljöer (för att stimulera till förståelse och

2 kreativitet) med fokus på hållbar utveckling. - använda räknedosan och datorn ur ett pedagogiskt och matematiskt perspektiv. Moment 1: Taluppfattning, talteori och aritmetik innehåller: Grundläggande taluppfattning. Definitioner av några grundläggande begrepp ur mängdläran. Definition av de naturliga talen. Definition av addition, subtraktion, multiplikation och division inom denna talmängd. Egenskaper och regler gällande för de fyra räkneoperationerna inom talmängden naturliga tal samt modeller för inlärning av fyra räkneoperationerna. Olika talsystem i ett historiskt perspektiv. Definition av vårt talsystem med positionssystem och tiobas. Algoritmräkning, kopplat till konkreta förklaringsmodeller, för de fyra räkneoperationerna. Räkning i några talsystem med andra baser. Algoritmräkning, kopplat till konkreta förklaringsmodeller, för de fyra räkneoperationerna i andra baser. Definition av de hela talen och de rationella talen. Förklaringsmodeller, konkreta och matematiska, för de fyra räkneoperationerna inom dessa talmängder. Stambråk och egyptisk division och multiplikation. Talteori innefattande, faktorisering, primtal, största gemensamma delare, minsta gemensamma multipel. Förklaringsmodeller och problemlösning för decimaltal, bråktal och procent. Moment 2: Matematikens historia med inriktning mot geometri innehåller: Översikt av matematikens historia och viktigare utvecklingslinjer, speciellt vad gäller talbegreppet och geometri. Fördjupning inom något område av matematikens historia, matematikens användning inom andra vetenskaper eller matematikens roll i samhället, idag och historiskt. De reella talen, pi och kvadratrötter. Definition av roten ur ett tal, regler för roträkning. Definition av geometriska grundbegrepp, figurer och kroppar. Likformighet och skala. Mätning och måttenheter för längd, area, volym, tid och vikt. Beräkning av omkrets och area av figurer och volym av kroppar. Pytagoras sats. Spegling och symmetri och grafteori. Konkreta förklaringsmodeller till geometriska formler som behandlats samt några abstrakta matematiska förklaringar. Några geometriska bevis, konkret och formellt. Moment 3: Matematik och lärande innehåller: Språk och symboler. Grundläggande taluppfattning och hur barn utvecklar sin taluppfattning. Lärstrategier och lärstilar. Projektarbete i form av planering, genomförande och utvärdering av undervisning. Matematik i kommunikation med föräldrar. Centrala och lokala styrdokument relevanta för matematikundervisningen. av barn med speciella behov. Åtgärdsprogram. Pedagogisk användning av räknedosa och dator som verktyg i undervisningen. Barns tankar i matematik utifrån deras erfarenhet. Moment 4: Problemlösning och algebra innehåller: Grundläggande algebra. Olika representations- och uttrycksformer. Definitioner av problem och problemlösning, strategier för problemlösning. Modeller för lösning av ekvationer. Talföljder; till exempel aritmetiska, geometriska och Fibonaccis. Summor av ett antal element i talföljder, summor av talserier. Beräkningar med hjälp av kalkylblad. Diskussion av begreppet "matematiskt bevis" samt använda algebraiska uttryck och förenklingar för att bevisa ett antal samband. Problemlösning utifrån till exempel naturliga tal, bråktal, procent, geometri, mönster och talföljder. Lektioner, grupparbeten, seminarier. Särskild behörighet Lärarutbildning. INL1, 4,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), skriftlig och muntlig redovisning av uppgifter. INL2, 4,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), skriftlig och muntlig redovisning av uppgifter. INL3, 4,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), inlämningsuppgift. INL4, 4,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), skriftlig och muntlig redovisning av uppgifter. PRO1, 3 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), projekt.

3 TEN1, 3 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), skriftlig och/eller muntlig tentamen. TEN2, 3 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), skriftlig och/eller muntlig tentamen. TEN3, 3 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), skriftlig och/eller muntlig tentamen. Betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG). na har beaktats i kursens lärandemål.

4 Linjär algebra för lärare 7,5 högskolepoäng Linear algebra for teachers Kurskod: MMA404 Utbildningsnivå: Avancerad nivå Kursen skall ge grundläggande kunskaper om vektorer och matriser, deras geometriska tillämpningar samt fördjupning inom något valt område. Kursen skall även ge ett didaktiskt perspektiv inom dessa områden. Kursen vänder sig i första hand till blivande lärare i gymnasieskolan och grundskolans senare år. Efter genomgången kurs förväntas studenten kunna - lösa linjära ekvationssystem. - utföra och redogöra för räkneoperationer inom matris- och vektoralgebra. - bestämma ekvationer för linjer och plan i rummet. - använda skalärprodukt och vektorprodukt vid lösning av geometriska problem. - bestämma avbildnings en matris som representerar en given linjär avbildning. - bestämma egenvärden och egenvektorer matriser alternativt för linjära avbildningar (?). - muntligt och skriftligt på ett välstrukturerat sätt förmedla resonemang vid lösning av problem. - i seminarieform presentera ett valt fördjupningsområde. Vektorer i planet och rummet, matriser och matrisalgebra. Linjära ekvationssystem, linjärt beroende samt basbegreppet. Ekvationer för räta linjer och plan. Skalärprodukt och vektorprodukt med tillämpningar. Determinanter med tolkning som area respektive volym. Linjära avbildningar, matrisrepresentation, egenvärden och egenvektorer samt geometriska tillämpningar. Didaktisk projektuppgift avseende hur några begrepp i linjär algebra kan konkretiseras i undervisning. Fördjupningsuppgift. Lektioner, lärarledda övningar, projektuppgifter och seminarier. INL1, 1,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), Skriftlig och muntlig redovisning av inlämningsuppgifter. PRO1, 3 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), Projektuppgift och seminarium. TEN1, 3 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), Skriftlig och/eller muntlig tentamen. Ingen specifik miljöaspekt behandlas i kursen.

5 Analys för lärare, fortsättningskurs 7,5 högskolepoäng Analysis for teachers, second course Kurskod: MMA405 Utbildningsnivå: Avancerad nivå Kursen skall ge utökade kunskaper, förståelse och färdigheter i funktioner av en variabel, grundläggande kunskaper i funktioner av två variabler, samt fördjupning inom något valt område. Kursen skall även ge en inblick i hur denna kunskap tillämpas i problemlösning. Kursen vänder sig i första hand till blivande lärare i gymnasieskolan och grundskolans senare år. Efter genomgången kurs förväntas studenten kunna - redogöra för begreppet invers funktion, undersöka (?) (definiera, härleda, räkna på?) arcusfunktioner och andra inverser samt derivera implicit. - formulera, bevisa och tillämpa analysens fundamentalsats. - undersöka talföljders och seriers konvergens, samt bestämma gränsvärden. - räkna med Taylors formel och potensserier. - bestämma nivåkurvor för funktioner av två variabler. - beräkna tangentplan med hjälp av partiella derivator. - ställa upp och lösa optimeringsproblem med hjälp av partiell derivering. - beräkna dubbelintegraler med inspektion och iteration. - bestämma volym av kroppar med hjälp av dubbelintegraler. - lösa problem där moment från olika delar av kursen samtidigt ingår. - i seminarieform presentera ett valt fördjupningsområde. Kunskaperna om funktioner i en och två variabler och tillhörande matematisk analys diskuteras och fördjupas i ett didaktiskt perspektiv. För funktioner av en variabel behandlas särskilt inversa funktioner, arcusfunktioner, implicit derivering, integrationsmetoder, serier, serieutveckling och geometriska tillämpningar. För funktioner av två variabler behandlas med speciell betoning av geometrisk tolkning, begrepp som kontinuitet, nivåkurvor, partiella derivator, tangentplan, extremvärdesproblem och dubbelintegraler. Fördjupningsuppgift. Lektioner, projektuppgifter och seminarier. INL1, 1,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), Skriftlig och muntlig redovisning av inlämningsuppgifter. PRO1, 3 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), Projektuppgift och seminarium. TEN1, 3 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), Skriftlig och/eller muntlig entamen Inga specifika miljöaspekter behandlas i kursen.

6 Examensarbete i matematik för senarelärare 15 högskolepoäng Degree Project in Mathematics for teachers in secondary schools Kurskod: MMA491 Utbildningsnivå: Avancerad nivå Avsikten med kursen är att studenten skall skriva en vetenskaplig uppsats med matematisk inriktning och i denna visa fördjupade kunskaper i vetenskapsteoretiska och forskningsmetodiska problem inom ämnet matematik. Studenten skall utveckla god förmåga att på ett metodiskt sätt reflektera över sina inhämtade kunskaper. Efter avslutat examensarbete förväntas studenten kunna: - visa en god förmåga att planera, utföra, rapportera och försvara ett vetenskapligt projekt. - beskriva teoretiska och metodologiska aspekter av relevans för ett vetenskapligt arbete inom ämnet matematik. - teoretiskt fördjupa en diskussion kring ett valt matematiskt ämnesområde. - skriftligt och muntligt genomföra en välstrukturerad presentation av resultaten från arbetet. Utarbetande av ett självständigt examensarbete som uppfyller kraven på vetenskaplighet kring en matematisk frågeställning. Arbetets uppläggning skall beskrivas i en skriftlig arbetsplan som skall godkännas av examinator. Förutom det självständiga arbetet kan kursen omfatta litteratursökning, litteraturstudier och seminarier. Handledning och ett seminarium där studenten presenterar examensarbetet. PRO1, 15 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), Skriftlig rapport och muntlig presentation. Inga specifika miljöaspekter behandlas i kursen.

7 Komplex analys 7,5 högskolepoäng Complex Analysis Kurskod: MMA504 Utbildningsnivå: Avancerad nivå Avsikten med kursen är att ge grundläggande kunskaper i teorin för analytiska funktioner och dess tillämpningar. Efter en genomgången kurs förväntas studenten kunna - formulera och tillämpa definitionerna av analytisk funktion, komplex kurvintegral, residy, likformig konvergens av komplexvärda funktionsföljder och serier, konform avbildning, och möbiustransformation. - formulera och bevisa Cauchy-Riemann-villkoren, Cauchys sats, Cauchys integralformel, Liouvilles sats, maximumprincipen, Taylors formel, residysatsen, Laurents formel, argumentprincipen, Rouchés sats, och algebrans fundamentalsats. - tillämpa det som omnämns i de två första punkterna, och då speciellt i stabilitetsundersökningar av linjära system, approximationer av analytiska funktioner med polynom eller rationella funktioner, beräkningar av reella integraler med metoder från komplex analys, och konstruktion av konforma avbildningar för att lösa Laplace-ekvationen med randvillkor. Topologiska grundbegrepp. Komplexa och speciellt analytiska funktioner av en komplex variabel. Elementära analytiska funktioner. Integration. Taylor- och Laurentserier. Residykalkyl. Argumentprincipen. Konforma avbildningar. Något om Laplace- och Z-transformerna. Tillämpningar: Nollställefördelningar, strömnings- och potentialproblem. sker i form av föreläsningar, inlämningsuppgifter, lektioner och tester. INL1, 2,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), Inlämningsuppgifter och tester TEN1, 5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5, Skriftlig och/eller muntlig tentamen Ingen specifik miljöaspekt behandlas i kursen.

8 Ordinära differentialekvationer 7,5 högskolepoäng Ordinary Differential Equations Kurskod: MMA505 Utbildningsnivå: Avancerad nivå Avsikten med kursen är att förmedla grunderna i teorin för ordinära differentialekvationer och deras system, att informera om kvalitativa och kvantitativa aspekter av teorin, och att förmedla en förmåga att kunna formulera enkla vardagliga problem i termer av differentialekvationer. Efter en genomgången kurs förväntas studenten kunna - analysera och lösa ordinära differentialekvationer av första ordningen innefattande begrepp/metoder som entydighet, fasporträtt, separerbarhet, linjaritet, exakthet, och substitutionstekniker. - analysera och lösa linjära differentialekvationer innefattande begrepp/metoder som fundamentala lösningar, partikulärlösningar, reduktions- och substitutionstekniker. - lösa linjära system av första ordningens differentialekvationer med konstanta koefficienter, samt kunna analysera deras stabiliteter och upprita deras fasporträtt. - analysera olinjära, autonoma system av första ordningens differentialekvationer avseende stabilitet i omgivningar till stationära punkter, samt i möjliga fall kunna linjarisera systemen. - med gängse approximerande antaganden, beskriva dynamiska skeenden inom (slutna) ekosystem. Ordinära differentialekvationer av första och andra ordningen, existens och entydighet, Wronskianen och variation av parametrar. System av ordinära differentialekvationer, fasrum, kritiska punkter, stabilitet och serielösningar. Sturm-Liouville-problem och något om distributioner. en sker i form av lektioner med inslag av föreläsningar, seminarier och övningar. INL1, 2,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), Inlämningsuppgifter TEN1, 5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5, Skriftlig och/eller muntlig tentamen na har beaktats i kursens lärandemål.

9 Fourieranalys 7,5 högskolepoäng Fourier Analysis Kurskod: MMA506 Utbildningsnivå: Avancerad nivå Avsikten med kursen är att förmedla en grundläggande insikt i den för tekniska och fysikaliska tillämpningar viktiga teorin för ortogonalserier och transformer. Efter en genomgången kurs förväntas studenten kunna - identifiera positiva summationskärnor, samt kunna tillämpa dem på gränsvärdesberäkningar och då speciellt för att bevisa Riemann-Lebesques lemma. - tillämpa Laplacetransformen för att finna lösningar till linjära differential- och integralekvationer som har givna begynnelsevillkor, samt kunna tillämpa Z-transformen för att lösa linjära differensekvationer med konstanta koefficienter. - redogöra för egenskaperna hos Dirichlet- och Fejérkärnorna, samt kunna bevisa Fejérs sats. - avgöra punktvis konvergens hos Fourierserier, samt kunna relatera till detta i en förklaring till Gibb's fenomen. - avgöra ortogonalitet och fullständighet hos system av funktioner i L2, samt kunna finna optimala approximationer av L2 -funktioner med avseende på linjära delrum uppspända av ortogonala system. - med separeringsteknik och de kunskaper som anges i lärandemål 5, lösa rand- och begynnelsevärdes-problem innefattande den endimensionella värmeledningsekvationen, dito vågekvationen samt Laplace ekvation i två dimensioner. - tillämpa Fouriertransformen på funktioner på obegränsade intervall. Särskild vikt lägges vid att kunna tillämpa inversionssatsen och Plancherels formel. Positiva summationskärnor, Laplacetransformen, Z-transformen, Fourierserier, L2 -teori, ortogonala system, Sturm-Liouvilleproblem, Fouriertransformen, något om distributioner. en sker i form av lektioner med inslag av föreläsningar, seminarier och övningar. INL1, 2,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), Inlämningsuppgifter och tester TEN1, 5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5, Skriftlig och/eller muntlig tentamen Inga specifika miljöaspekter behandlas i kursen.

10 Algoritmer för självlärande maskiner 7,5 högskolepoäng Algorithms for Learning Machines Kurskod: MMA621 Utbildningsnivå: Avancerad nivå Kursen ger en allmän orientering inom det breda området maskininlärning (eng: machine learning), från matematiska modeller till praktiska tillämpningar. I stora drag handlar kursen om datorprogram som själva "förbättras med användningen". Det övergripande syftet med kursen är att lära studenterna att identifiera diverse beräkningsproblem som inlärningsproblem som sedan kan hanteras av kända inlärningsalgoritmer. Vikten läggs vid matematiska tekniker som utgör grunden för inlärningsalgoritmer. Kursen hör till utbildning i datalogi med inriktning mot artificiell intelligens samt i tillämpad matematik inom teorin för adaptiva algoritmer. Efter genomgången kurs förväntas studenten kunna - redogöra generellt för området maskininlärning (eng: machine learning) i termer av inlärningsproblem med tillhörande matematiska beskrivningar och lösningsalgoritmer. - jämföra inlärningsmodeller och algoritmer med varandra i termer av lämplighet för olika ändamål. - redogöra i detalj för en utvald inlärningsmodell, genomföra tester av modellen på ett skalbart inlärningsproblem av passande typ samt analysera resultaten. Kursen innehåller bl a algoritmer för inlärning av begrepp, beslutsträd, sannolikhetsfördelningar m m samt en redogörelse för Computational Learning Theory (COLT), neurala nät, genetiska algoritmer och induktiv logikprogrammering (ILP). Tillämpningar från aktuella tillämpningsområden. Matematisk begreppsapparat hämtad från statistiska inlärningsteorier. Föreläsningar, seminarier, diskussionsgrupper och datalaborationer. INL1, 7,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), Inlämningsuppgift Ingen specifik miljöaspekt behandlas i kursen.

11 Java och analytisk finans 15 högskolepoäng Java in Analytical Finance Kurskod: MMA710 Utbildningsnivå: Avancerad nivå Talk about Java technology seems to be everywhere, but what exactly is it? Java technology is both a programming language and a platform. In this course, students learn Java programming language and write Java programs using the Java Virtual Machine and the Java Application Programming Interface (API). Applications from Analytical Finance are essential parts and are used throughout the course. At the end of the course the student is expected to be able to - understand classes, objects, interfaces, packages, exceptions, collections, and use them while creating own Java programs. - create Java applets with the SWING Graphical User interface. - package applets using JAR and prepare them to run in a browser. - create Java programs that implement advanced models of financial instruments using multinomial trees, numerical solutions of stochastic differential equations, and finite difference methods. Introduction to Java technology. Installing Java development software and using it to create simple programs. The essential concepts and features of Java: object-oriented programming, language basics, classes and objects, interfaces and inheritance, numbers and strings, generics, packages. Essential Java classes: exceptions, basic input/output, concurrency, regular expressions, the platform environment. The Java collections framework. An introduction to SWING. Packaging and deployment Java programs. Creating class libraries in binomial trees, Monte Carlo simulation, finite difference methods and analytic approximation. Advanced models of financial insruments and their implementation in Java. Lectures, folder sessions, and seminars. PRO1, 9 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), Projekt SEM1, 6 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), Seminarium Mathematical methods that are used to analyse some specific environmental processes are discussed.

12 Differentialekvationer med finansiella tillämpningar 7,5 högskolepoäng Differential Equations in Finance Kurskod: MMA712 Utbildningsnivå: Avancerad nivå The aim of the course The determination of the prices of financial derivative securities is reduced to solving boundary problems for partial differential equations (PDE). (Överlapp med lärandemål?) Financial engineers must be able to establish the corresponding PDE and find the necessary boundary conditions for a specific derivative product and if possible derive its explicit solution and describe properties of the solution. At the end of the course the student is expected to be able to - formulate mathematical models for European, American, exotic options and interest rate derivative securities using partial differential equations; - explain the difference between classical boundary problems, linear complementarity problems, and free-boundary problems; - solve those of the above mentioned models that admit closed-form solutions. Partial differential equations in finance: Derivation of the Black-Scholes equation, transformations on the Black-Scholes equation, American option problems as linear complementarity, free boundary problems, general equations for derivatives, jump conditions, exotic options: barrier, Asian, look back, multi-asset and some other options, interest rate derivative securities: bonds, some explicit solutions of bonds equations, inverse problem on the market price of risk, applications of bond equations, multifactor interest rate models, two-factor convertible bonds. Lectures combined with exercises. SEM1, 1,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G), Seminarium och/eller tester TEN1, 6 högskolepoäng, betyg Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG), Tentamen, skriftlig och/eller muntlig The course does not contain any specific environmental considerations.