Den ultimata tidsserien

Transkript

1 Den ultimata tidsserien The ultimate timeserie Magisteruppsats 15hp, D-nivå HT 2010 Internationella Ekonomprogrammet Institutionen för Ekonomisk och Industriell utveckling Linköpings Universitet Handledare:Öystein Fredriksen Tor Eimre Carl Sjöström

2 Sammanfattning Titel: Den ultimata tidsserien Författare: Tor Eimre, Carl Sjöström Handledare: Öystein Fredriksen Bakgrund: Kapitalförvaltare världen över försöker ständigt skapa portföljer av finansiella tillgångar som de vill ska uppnå vissa mål i form av avkastning i framtiden; det kan vara fondförvaltare, investmentbolag, försäkringsbolag eller privata småsparare. Med hjälp av portföljoptimering kan portföljer skapas som med hänsyn till den risk och avkastning investeraren eftersträvar tar fram varje tillgångs optimala andel i portföljen. För att hitta varje tillgångs optimala andel använder man sig av tidsserier, vilket kan beskrivas som en mängd data för en specifik tillgång under en specifik historisk period. Syfte: Uppsatsen syfte är att undersöka hur olika längder på de tidsserier som används i påverkar portföljens prestation i form av riskjusterad avkastning. Genomförande: Studien genomförs genom att skapa fyra hypotetiska aktieportföljer optimerade utifrån samma urval av aktier. Det som skiljer de fyra portföljerna åt är längden på tidsserier som används som bas för optimeringen; 10 år, 5 år, 1 år och 1 månad är de tidsserielängder som används. Portföljerna backtestas sedan för perioden , och deras prestationer utvärderas och jämförs. Slutsats: Studien visar att valet av tidsserielängd har stor inverkan på den optimerade portföljens riskjusterade avkastning. Studien indikerar också att under den undersöka perioden har längre tidsserie varit bättre på att skapa effektiva portföljer än kortare. Studiens resultat tjänar också slutligen som argument för att en tidsseries förmåga att hitta vinnaraktier har betydligt större inverkan på portföljens framtida avkastning än de högre eller lägre transaktionskostnader som tidsserielängden ger upphov till. Nyckeltermer: Portföljoptimering, risk, avkastning, optimering, rebalansering samt tidsserier. En tidsserie är 2

3 Abstract Title: The ultimate timeserie Authors: Tor Eimre, Carl Sjöström Supervisor: Öystein Fredriksen Background: Investors worldwide are constantly trying to create portfolios of financial assets with the aim of achieving certain objectives, in terms of future return. It can be fund managers, investment companies, insurance companies or private savers. With the help of portfolio optimization, efficient portfolios are created by taking into account the risk and the return that investors seek. The optimization produces optimal weights of each of the included assets. In order to identify the weights that are optimal, it is necessary to use historical data as input data for the calculations on the securities to be included. Aim: The objective of the thesis is to evaluate how different lengths of time series used in portfolio optimization affect the performance of the portfolio in terms of reward to volatility. Completion: The study is carried out by creating four portfolios whose optimizations selects securities from the same group of stocks, but using different length of time series. The time series used are 10 years, 5 years, 1 year and 1 month. The portfolios will then be periodically re-optimized using its initial length of time series and back tested for the period of The portfolio performances will then be evaluated and compared to one another. Findings: The study finds that the length of the time series used in the optimization does indeed have a significant impact on the portfolios performance. The study also indicates that long time series performed better the short ones during the period studied. Finally, it concludes that a time series ability to find the future winners has a much greater effect on the total portfolio rentability than the transaction costs resulting from the time series. Key words: Portfolio Optimization, Risk, return, optimization, rebalancing, and time series. 3

4 Innehållsförteckning 1. Inledning Bakgrund Problemdiskussion Syfte Frågeställning Studiens målgrupp Kunskapsbidrag Tidigare forskning Avgränsningar Disposition Referensram Risktagande kontra belöning Portföljvalsteori Förväntad avkastning Risk Varians kovarians Varians-kovarians matris Portföljoptimering Diversifiering Kritik mot Markowitz portföljoptimering Metod Vetenskaplig strategi och synsätt Den deduktiva ansatsen Kvantitativ metodansats Reliabilitet och validitet Studiens genomförande

5 3.2.1 Praktiskt genomförande Kritik mot genomförandet Statistiskt urval och informationsinsamling Källkritik och kritik mot data Empiri Den empiriska studiens utfall Portfölj A Portfölj B Portfölj C Portfölj D Sammanställning Analys Portföljernas avkastning Sharpekvoter: Transaktionskostnader Sammanfattande analys Slutsats och rekommendationer till fortsatt forskning Slutsatser Förslag till fortsatta studier Källförteckning Elektroniska källor Databaser

6 Figurförteckning Figur 1, Indifferenskurvor Figur 2: Varians-kovarians matris Figur 3: diversifieringseffekter Figur 4, Effekter av diversifiering Figur 5, Den effektiva fronten Figur 6: Risk-return space Figur 7, Effektiv front med CML Figur 8: Total utveckling Portfölj A Figur 9: Total utveckling Portfölj A Figur 10: Total utveckling Portfölj B Figur 11: Total utveckling för Portfölj B Figur 12: total utveckling för Portfölj C Figur 13: Total utveckling för Portfölj D Figur 14: Sammanställning av alla portföljers totala utveckling Figur 15: Risk-return space

7 Ordlista DEFINITIONER Backtest Att med hjälp av historiska kursdata undersöka hur en given portfölj hade presterat under en given historisk period. Rebalansering Transaktioner i en portfölj i syfte att upprätthålla en viss strategi eller portföljmix. Rebalanseringsintervall Den tid som löper mellan rebalanseringstillfällena. Optimering Att utifrån en given uppsättning finansiella tillgångar ta fram de proportioner som maximerar en given variabel, t.ex. riskjusterad förväntad avkastning. Riskjusterad avkastning Avkastning mätt i förhållande till risk, t.ex. genom att använda sharpekvot. Kovarians Statiskt mått på samvariation mellan två variabler Seriekorrelation En variabels korrelation med sig själv mellan två på varandra följande perioder. 7

8 1. Inledning 1.1 Bakgrund Tusentals kapitalförvaltare världen över sitter varje dag och försöker skapa portföljer av finansiella tillgångar som de vill ska uppnå vissa mål i form av avkastning i framtiden; det kan vara fondförvaltare, investmentbolag, försäkringsbolag eller privata småsparare. Målet är att skapa vad som inom finansiell teori kallas en effektiv portfölj, dvs. den portfölj som ger högst avkastning i förhållande till risk. Ett stort kunskapsbidrag när det gäller att skapa effektiva portföljer kommer från Harry Markowitz, som 1952 lanserade sin Modern portfolio theory, MPT, (Bodie, Kane och Marcus 2009). Modern portföljvalsteori syftar till att skapa den portfölj, utifrån en given uppsättning aktier, som ger högst riskjusterad avkastning. För att hitta denna optimerade portfölj tar man hänsyn till de ingående aktiernas varians, kovarians samt avkastning under tidigare perioder. Markowitz portföljoptimeringsmodell bygger alltså uteslutande på hur aktierna har betett sig historiskt. För att ta fram historisk avkastning, volatilitet och korrelation mot övriga aktier använder man sig av tidsserier. En tidsserie är en mängd data för en specifik tillgång under en specifik historisk period. En femårig tidsserie för Volvos B-aktie är alltså en serie observationer av vissa specifika variabler, t.ex. volatilitet och avkastning, gjorda med ett givet intervall, t.ex. månadsvis, över en period om fem år. Data från denna tidsserie används sedan av investeraren som prognos för framtiden. Det är om dessa tidsserier som vår uppsats kommer att handla. 1.2 Problemdiskussion När man skapar en optimering av en given portfölj av aktier måste man först välja hur långt tillbaka i tiden man vill gå för att hämta historisk data att basera optimeringen på. Valet av längd på tidsserierna har effekt på estimeringarna av framtida avkastning, volatilitet och inbördes korrelation hos de tillgångar som ingår i en portfölj. Olika värden på de ingående variablerna resulterar i olika optimala portföljer, vilka kommer att resultera i olika avkastning på det investerade kapitalet. Med andra ord, en portfölj optimerad med hjälp av tidsserier från två år tillbaka i tiden kommer inte att se 8

9 likadan ut som en som optimerats utifrån 1-åriga tidsserier, även om optimeringarna utgår ifrån samma urval av aktier. Detta leder givetvis till att den ena portföljen kommer att prestera bättre än den andra. Ju längre tidsserien är, desto mer framgår rimligen en akties normala, långsiktiga beteende, eftersom effekten av tillfälliga avvikelser från den långsiktiga trenden minimeras. Detta kan samtidigt vara till nackdel om man vill prognostisera en akties utveckling för en kortare period framåt, eftersom händelser långt tillbaka i tiden, exempelvis tio år tidigare, inte nämnvärt påverkar aktiens utveckling under den närmsta månaden. Däremot har kortare tidserier nackdelen att deras prognosvärde är snabbt avtagande; rimligtvis säger inte en akties beteende under en enskild månad särskilt mycket om hur aktien kommer att bete sig annat än i en mycket nära framtid. Användandet av kortare tidsserier leder således till att portföljen måste rebalanseras med tätare intervall, för att hålla portföljen uppdaterad, vilket leder till högre transaktionskostnader. Trots dessa skillnader är det långt ifrån uppenbart vilken typ av längd på tidsserier som resulterar i den högsta portföljavkastningen. För att få en bild av hur frågor kring tidsserier hanteras i praktiken kontaktades ett antal aktörer på den svenska kapitalförvaltningsmarknaden. Fem fondförvaltare, vilka utlämnade sin information under löfte om anonymitet, uppgav att man huvudsakligen använder sig att två typer av tidsserier; dels långa tidsserier på alltifrån 2 till över 5 år för att hitta långsiktiga trender, dels kortare, ibland så korta som enstaka veckor eller dagar, för att se de kortsiktiga trenderna. Det var dock uppenbart att ingen koncensus råder i frågan om vilka längder på tidsserier som ger bäst reslutat när det gäller att visa varken lång- eller kortsiktiga trender. Sammantaget gör detta att vi anser att det är intressant att undersöka hur olika längder på tidsserierna påverkar en portföljs resultat, och om det finns tidsserier som konsekvent presterar bättre resultat än andra. 9

10 1.3 Syfte Uppsatsen syfte är att undersöka hur längden på de tidsserier som används som bas för portföljoptimeringar påverkar en optimerad portföljs faktiska prestation. 1.4 Frågeställning För att besvara studiens syfte kommer vi att använda oss av följande frågeställning: - Hur påverkas portföljens riskjusterade avkastning av längden på de historiska tidsserier som används i optimeringen? - Har transaktionskostnaderna som uppkommer vid varje optimering någon betydande inverkan på portföljernas avkastning? - Kan vissa längder på tidsserier i portföljoptimeringen prestera konsekvent högre avkastning än andra? 1.5 Studiens målgrupp Studien riktar sig till aktörer på den finansiella marknaden som främst är aktiva inom portföljförvaltning. Vidare anser författarna att studien är intressant för framför allt finansstudenter som inriktat sig på portföljförvaltning och kvantitativa analyser av portföljer. 1.6 Kunskapsbidrag Denna uppsats syftar till att ge en djupare förståelse för hur olika längder på de ingående tidsserierna i portföljoptimeringen påverkar den portföljens prestation. Denna djupare förståelse kan sin tur bidra till att kapitalförvaltare får ett bättre beslutsunderlag för att välja lämpliga tidsserielängder, vilket i förlängningen leder till en effektivare portföljförvaltning. 1.7 Tidigare forskning Det finns ett stort antal tidigare studier där man studerar prognosvärde av historiska tidsserier. Vi har inriktat oss på studier där man har observerar ett värdepappers avkastning under en viss period (som alltså utgör tidsserien i undersökningen), för att sedan mäta dess korrelation med avkastningen under 10

11 den direkt efterföljande perioden av samma längd (undersökningsperioden), så kallad seriekorrelation. DeBondt & Thaler (1985) använde tidsserier respektive undersökningsperioder på 1-5 år och observerade då i de flesta fallen en statistiskt signifikant negativ korrelation mellan avkastningen under de två perioderna. Undantaget var den 1-åriga tidsserien, då korrelationen istället var positiv. Jegadeesh (1990) observerade på samma sätt en negativ seriekorrelation hos avkastningen på värdepapper med korta tidsserier på 1-4 veckor. Jegadeesh & Titman (2001) använde sig av tidsserier på 3-12 månader och fann då att avkastningen under de direkt påföljande perioderna av samma längd hade en positiv korrelation med den tidigare avkastningen. Även om ovanstående tre studier endast indirekt behandlar tidsserielängder, är de av intresse för vår studie eftersom de stödjer antagandet att valet av längden på de ingående tidsserierna är av stor betydelse för avkastningen. 1.8 Avgränsningar På grund av den stora mängd data som kommer att bearbetas och redovisas i denna studie har författarna valt att hålla antalet aktier i de fiktiva portföljerna lågt, 20 stycken aktier kommer att vara inkluderade. Det finns möjlighet att genomföra denna studie med ett oändligt tal olika långa tidsserier. Författarna har dock valt att avgränsa sig till fyra olika längder eftersom dessa på ett bra sätt representerar tidsserier på kort, medel och lång sikt. Endast aktier som är noterade på Stockholmsbörsen har inkluderats i studien. Författarna kommer att använda sig av en fast transaktionskostnad för att underlätta studien och studien tar inte hänsyn till skattekostnader vid försäljning och rebalansering av aktieportföljen. Portföljerna kommer endast att innehålla långa positioner i svenska aktier. Hela kapitalet kommer att placeras i aktier. 1.9 Disposition Studiens första kapitel avser att ge läsaren en grundläggande förståelse för problematiken med valet av olika tidsserier. Här presenteras även syftet med studien för att ge läsaren vidare förståelse för vad som kommer att utredas i de kommande kapitlen. I andra kapitlet redogörs studiens teoretiska 11

12 referensram. Här förklaras de grundläggande teorierna samt de faktorer som är grundläggande för portföljoptimering. I kapitel tre förklaras själva genomförandet och de grundläggande antagandena för studien. I kapitel fyra presenteras de empiriska resultaten och sedan följer analyskapitlet som djupare går in på varför resultaten ser ut som de gör. Det sista kapitlet börjar med den slutsats som vi har kommit fram till och mynnar ut i förslag på vidare studier. 12

13 2. Referensram I detta kapitel redogörs för uppsatsens referensram genom att gå igenom de finansiella teorierna som ligger till grund för studien samt presentera de faktorer som är avgörande för studiens beräkningar. 2.1 Risktagande kontra belöning När en investerare har gjort det aktiva valet att investera i en eller flera aktier har hon samtidigt gjort valet att ta en viss risk. I och med investeringen avser denne att öka sin förmögenhet, men vart i ligger risken att förlora? Eftersom en investerare aldrig med säkerhet kan förutspå kursrörelser för en eller flera aktier innebär det att framtiden är oviss och valet av aktier är osäkert och däri ligger risken, att inte veta hur mycket av det satsade kapitalet man får tillbaka. Aktörer på de finansiella marknaderna kan delas in i trestycken kategorier beroende på deras inställning gentemot risk och risktagande (Bodie, Kane Marcus 2009). Figur 1, Indifferenskurvor - Den riskaverte investerare som mellan valet av två tillgångar med samma avkastning alltid väljer den med lägst risk, - Den riskneutrale har inga som helst preferenser gällande risk, indifferent gällande problematiken. - Den risktagande väljer, tvärtemot den riskaverte, den tillgång som är mest riskfylld. De flesta aktörerna på den finansiella marknaden, och även andra marknader, är riskaverta (Bodie, Kane Marcus, 2009). För att avgöra huruvida en investerare är riskavert, riskneutral eller risktagande krävs att man mäter den nytta som investeraren får vid varje ny enhet tagen risk. Detta görs oftast med hjälp av olika indifferenskurvor. Indifferenskurvor har två variabler som tillsammans bildar de linjer som bidrar till att åskådliggöra individens risktagande kontra belöning. I det tvådimensionella diagrammet mäter x-axeln risken i enheten risk i form av standardavvikelser, σ, och y-axeln visar belöningen som mäts i enheten förväntad avkastning, E (r) (Haugen, 2001). 13

14 I figur 1 ges exempel på hur indifferenskurvor kan variera beroende på risktagande och preferenser om förväntad avkastning. Figuren visar ett s.k. risk-return space, ett diagram med risk på y-axeln och avkastning på x-axeln, där varje punkt i diagrammet representerar en kombination av risk och avkastning. Ju längre mot nordväst man rör sig i diagrammet, desto högre är avkastningen per tagen risk, och ju längre mot sydost, desto lägre. Investerare nummer 1 kommer att kräva den högsta avkastningen och är alltså villig att ta en högre risk än de andra två för att nå avkastningen. Linjerna utgör en mängd olika portföljer där alla portföljer som ligger på en given indifferenskurva är lika önskvärda för en investerare. Värdering av de unika portföljerna förklaras i nästkommande avsnitt. 2.2 Portföljvalsteori Boken Portfolio Selection som 1952 skrevs av Harry M. Markowitz lade grunden till den moderna portföljvalsteorin. Portföljvalsteori syftar enligt Markowitz till att ta fram den portfölj för privata investerare, så väl som institutionella, som ger högst riskjusterad avkastning. Genom att använda sig av det grundläggande antagandet att investerare är riskaverta leder Markowitz modell fram till en optimal portfölj som varje investerare bör välja, givet ett visst innehav. Den optimala portföljens input data tas fram genom att se till historien och hur varje enskild aktie har presterat. Utifrån detta görs sedan ett urval där man ser till samspelet, kovariansen, mellan de aktier som har gjort bra ifrån sig och de som inte presterat lika bra. Baserat på den informationen tas sedan vikter fram för att skapa den optimala portföljen. Markowitz argument varför valet av aktier samt dess vikter i en portfölj bör tas fram matematiskt är flera: Det finns ingen aktieanalytiker som kan analysera ett oändligt antal aktier Varje gång en värdering sker, måste analytiker väga in sina egna erfarenheter och förväntningar vilket bidrar till att valet av aktier inte blir objektivt Analytiker kan ej förutse med precision vilka effekter makroekonomiska händelser har på ekonomin. Även om en analytiker skulle kunna förutse de exakta effekterna av makroekonomiska händelser är det omöjligt att sedan förutse vad de skulle ha för inverkan på varje enskild akties pris. 14

15 Istället bör en investerare välja portfölj i tre steg: Steg 1 Steg 2 Steg 3 Separera effektiva portföljer från inneffektiva Studera olika kombinationsmöjligheter mellan mindre riskfyllda och mer riskfyllda aktier Ta fram den kombinationen av aktier som ger rätt nivå på risk och förväntad avkastning för investeraren Förväntad avkastning Periodens avkastning för hela portföljen blir följande: R p = (w 1 -w 0 )/w 0 R p = portföljavkastningen w 1 = slutligt portföljvärde w 0 = initialt portföljvärde När man beräknar den förväntade avkastningen på historisk data görs antagandet att alla observationer har samma sannolikhet att infalla i framtiden. Detta innebär att om det finns n antal historiska observationer på avkastningen för en aktie är sannolikheten att varje observation ska infalla igen = P. Med denna typ av beräkning får man vad som kallas den aritmetiska avkastningen. Den förväntade avkastningen beräknas således som: Aritmetiska medelvärden används genomgående i denna uppsats för beräkning av såväl förväntad avkastning som faktisk. Den förväntade avkastningen är endast en variabel i Harry M. Markowitz modell. Som tidigare nämnts är risken utav stor betydelse och uttrycks som sannolikheten att avvika från den förväntade avkastningen (Haugen, 2001). 15

16 2.2.2 Risk Ytterligare en faktor i Markowitz modell är risk. Inom den finansiella ekonomin innebär risk att man inte är garanterad att få någon avkastning på sina pengar, eller att ens få hela det investerade beloppet tillbaka. Vid handel med aktier skiljer man på två typer av risker, marknadsrisk och företagsspecifik risk. Marknadsrisken påverkar alla företag i någon utsträckning och är ofta makroekonomiska händelser t.ex. krig eller naturkatastrofer men även det politiska klimatet både nationell och globalt kan anses utgöra marknadsrisk. Företagsspecifik risk syftar mer på händelser som direkt kan relaterats till företaget i någon form såsom ökad konkurrens (Bodie, Kane och Marcus, 2009). För att mäta risken använder sig den finansiella matematiken av statistiska mått såsom standardavvikelse och varians. Ett samlingsord för dessa mått är volatilitet. Variansen avser att mäta storleken på avvikelser från det förväntade värdet. Varians Standardavvikelse Varians kovarians En utav de viktigaste faktorerna i Markowitz modell är det samband som finns mellan de olika aktierna i portföljen. Sambandet kan mätas som kovariansen, som är ett statistiskt mått på samvariation mellan två variabler, och beräknas på följande sätt: 16

17 Portföljens varians beror i sin tur på det viktade genomsnittet av varje ingående värdepappers unika varians samt den parvisa kovariansen mellan alla värdepapper som är inkluderade i portföljen Varians-kovarians matris Ett sätt att beräkna kovariansen för en portfölj är att skapa en varians-kovarians matris av de ingående aktierna. Matrisen presenterar på ett överskådligt sätt kovariansen mellan alla aktierna i den aktuella portföljen. Figur 2: Varians-kovarians matris I figur 2 presenteras en exempel portfölj med tre stycken aktierna A, B och C. Genom att först beräkna aktiernas varians utifrån deras historiska avkastningar multiplicera de sedan med varandra parvis för att bilda matrisen. Notera att de aktier som diagonalt multipliceras, från nordväst till sydost, med varandra endast utgör aktiernas egen varians. Efter att matrisen är färdigställd summeras kovariansen, eller variansen, i varje ruta och multipliceras med portföljvikten av aktien i kolumnen och portföljvikten av aktien i raden. Det summerade värdet a dessa beräkningar blir alltså portföljens risk. Portföljens varians, risk, är alltså summorna av aktievikterna multiplicerade med kovariansen mellan aktierna (Haugen, 1997) Portföljoptimering Diversifiering Det kanske vanligaste uttrycket inom portföljvalsteori är lägg inte alla ägg i samma korg vilket syftar till att sprida ut sitt ägande över många placeringar för att undvika att en dålig utveckling hos en eller ett fåtal tillgångar får alltför stor negativ inverkan på portföljen. För att ytterligare öka riskspridningen bör investeraren inte bara sprida sina tillgångar över ett stort antal tillgångar, utan också placera i tillgångar vars avkastning inte tenderar att samvariera över tiden. Ett sätt att undvika detta misstag är att studera varje företag och se hur de reagerar på olika makroekonomiska och företagsspecifika händelser och sedan jämföra dessa reaktioner med resterande företag. Det kan tyckas uppenbart att det är ett tungt jobb att ta fram och analysera all den data som behövs för en sådan analys. Portföljoptimering syftar istället till att studera hur företagens avkastning statistiskt 17

18 varierar i relation till varandra. Som vi har nämnt i tidigare avsnitt är kovariansen mellan de aktier som ingår i portföljen avgörande för diversifieringen. Vi har tidigare även nämnt två typer av risker som portföljen utsätts för, marknadsrisken samt den Figur 3: diversifieringseffekter företagsspecifika risken. Genom att ta fram en väldiversifierad portfölj som tar hänsyn till korrelationen mellan de ingående aktierna kan man diversifiera bort den företagsspecifika risken, diversifierbar risk. Marknadsrisken är en så kallad icke diversifierbar risk eftersom det är händelser som påverkar hela marknaden. Risken i portföljen faller ju fler aktier som inkluderas eftersom det då är lättare att diversifiera bort den företagsspecifika risken (Haugen, 2009). Som vi ser i den ovanstående figuren minskar alltså den totala risken i portföljen när antalet aktier ökar. Den möjliga fördelningen av vikter för de ingående aktierna är oändlig och det är därför inte alla kombinationer av aktier som utgör de mest intressanta portföljerna. Därför bör de portföljer som har högst risk till lägst standardavvikelse studeras närmare. Figur 4, Effekter av diversifiering 18

19 Grafen representerar de portföljer som är möjliga att sätta samman givet n antal aktier. Varje portfölj har olika förväntade avkastningar och risker, vilket ger investeraren en valbarhet. Varje portfölj som befinner sig på den röda linjen är en effektiv portfölj eftersom dessa ger högst avkastning per enhet tagen risk. De portföljer som inte befinner sig på denna linje är alltså inte åtråvärda eftersom Figur 5, Den effektiva fronten Figur 6: Risk-return space det alltid kommer att finnas en portfölj som ger högre förväntad avkastning per enhet tagen risk. Markowitz teori om portföljoptimering syfta dock till att ta fram den mest effektiva portföljen. Den erhålls med hjälp av det antagandet att varje investerare kan har tillgång till ett riskfritt investeringsalternativ. Det riskfria investeringsalternativet benämns inom finansiell teori som stadspapper eftersom dessa anses vara det mest säkra investeringsalternativet med staten som garant. Den riskfria räntan antas gälla både vid in- och utlåning. Capital Market Line visar olika varianter av portföljer där man kombinerar den riskfria in- och utlåningsräntan med de värdepappersportföljer som finns möjliga. Punkt C är den optimala portföljen då man endast investerar i värdepapper och alltså inte använder sig av möjligheten till in- eller utlåning till den riskfria räntan. CML tas fram genom följande formel: r f = Den riskfria in- och utlåningsräntan E(r p ) = Förväntad avkastning σ (r p ) = Standardavvikelse för portföljen Figur 7, Effektiv front med CML 19

20 2.2.5 Sharpekvot För att mäta och jämföra våra portföljers prestationer kommer vi att mäta deras riskjusterade avkastning med hjälp av sharpekvoten. Sharpekvoten presenterades 1966 av ekonomen och sedermera nobelpristagaren William Sharpe, och har sedan dess blivit ett allmänt accepterat sätt att mäta avkastning per tagen risk. Kvoten ser ut som följande: (R i -R f )/σ Det vill säga tillgångens avkastning minus riskfri ränta dividerat med tillgångens volatilitet mätt som standardavvikelse (Bodie, Kane, Marcus, 2001) Kritik mot Markowitz portföljoptimering Markowitz portföljoptimering har mött viss kritik, och det är då främst de underliggande antagandena man vänder sig emot. Det har hävdats, t.ex. av Haugen och Heins (1975), att antagandet om korrelation mellan avkastning och volatilitet inte är bevisat och att många empiriska studier tvärtom motsäger hypotesen om att volatila tillgångar skulle ha en högre avkastning än mindre volatila. En annan invändning, som har framförts av t.ex. Murphy (1977), riktar sig mot användandet av volatilitet som risk. Här säger man att endast negativ volatilitet, alltså när priset rör sig nedåt eller under den förväntade kursen, borde kunna likställas med risk; ingen investerare ser det som en risk att priset på den ägda tillgången kan bli högre än förväntat. Dessa två invändningar är högst betänkansvärt och förtjänar fortsatta studier. Författarna anser dock att dessa två mycket grundläggande antaganden, inte bara för MPT utan även för finansiell teori i allmänhet, är så väl etablerade och acceptera att vi med fog kan använda oss av Markowitz portföljoptimering för utförandet av denna studie. 20

21 3. Metod Metodkapitlet inleds med en presentation av vetenskaplig strategi och synsätt. Därefter redogörs för studiens genomförande samt de grundläggande antaganden som har gjorts. 3.1 Vetenskaplig strategi och synsätt Den deduktiva ansatsen För att ge studien en så rättvisande bild som möjligt bör man redan innan insamlingen och behandlingen av studiens data klargöra vilken strategi som man ska använda sig av. Läsaren av studien skall redan från början vara medveten om den vetenskapliga utgångspunkten eftersom det den har stor inverkan på hur datan har analyserats, tolkats och bearbetats (Davidson och Patel, 2003). Det finns två huvudsakliga synsätt att applicera på denna typ av studie. Den första kallas för induktiv ansats och innebär att man utifrån en viss mängd empirisk data skapar en teoretisk referensram som överensstämmer med empirin. Det andra ansatsen är raka motsatsen och går alltså ut på att först skapa sig en teoretisk referensram för att sedan försöka bekräfta eller falsifiera denna och på så vis skapa sig en uppfattning om verkligheten, Jacobsen (2010). Denna ansats kallas för deduktiv ansats och kommer att tillämpas i denna studie eftersom vi använder oss av redan existerande teorier som verktyg för att försöka bevisa och förklara våra resultat. Det finns, enligt Davidson och Patel (2003), tre typer av undersökningar: Den hypotesprövande: Den hypotesprövande undersökningen syftar till att genomföra antaganden om kausala förhållanden via uppbyggnad av olika hypoteser. Den deskriptiva: Förutsätter att det redan tidigare finns omfattande forskning på området för att systematisera kunskapen i form av modeller. Den explorativa: Syftar till att samla in så mycket som möjligt kunskap inom ett visst område för att sedan möjliggöra vidare forskning. 21

22 I denna studie kommer en deskriptiv undersökning att genomföras eftersom vi med stöd i olika finansiella teorier och antaganden försöker förklara inverkan av tidsserier på olika portföljers avkastning Kvantitativ metodansats I denna uppsats kommer vi endast att använda oss av statistiska analyser och andra angivelser som är mätbara i siffror. En sådan metodansats benämns av Patel och Davidson (2003) som en kvantitativ ansats. Det är alltså endast hård data som kommer att analyseras till skillnad från en studie med kvalitativ ansats vilket inkluderar verbala analyser så om intervjuer med personer. Den hårda data som vi kommer att använda oss av i studien är framförallt kursnoteringar från de 20 stycken aktiebolag som har inkluderats i studien. Vidare används även den svenska reporäntan samt antaganden om transaktionskostnader som kommer att påverka portföljernas faktiska och procentuella avkastning. Bryman och Bell (2007) diskuterar fyra kriterier som är viktiga att tänka på vid utformning av en kvantitativ studie. Den första är mätbarhet. De variabler som uppsatsen inriktar sig på är högst kvantitativa och mätbara, varför detta krav anses uppfyllt. Vidare bör kriteriet kausalitet uppfyllas. Kausalitet beskriver hur olika variabler i undersökningen förhåller sig till varandra vilket studien också kommer att ta upp. Eftersom mätningarna av olika nyckeltal och prestationer är beroende av bland annat reporäntan samt varje portföljs transaktionskostnader kommer kausaliteten mellan de olika variablerna att observeras. Det tredje kriteriet är generalisering av resultaten. Studien kan, som vi tidigare nämnt, genomföras för oändligt många portföljer med oändligt stort antal olika längder på tidsserier. På så vis uppfylls kriteriet om generalisering eftersom vår studie kan användas på andra grupper av aktier och i andra typer av portföljoptimeringar. Det sista kriteriet som bör uppfyllas är kriteriet om replikering av studien. Vi har under hela skrivprocessen använt oss av officiellt data som är lättillgänglig för gemene man. I det fall någon skulle vilja replikera vår studie i syfte att kontrollera resultaten kan detta genomföras bör detta vara fullt möjligt utifrån den information som ges i metodkapitlet. De källor som är angivna i uppsatsens teorikapitel är välkända finansiella och statistiska teorier. I metodkapitlet har vi redogjort för hur i 22

23 har gått tillväga för att samla in data samt behandlingen av den. I empiridelen redogörs för all data som används i analysen, vilket syftar att underlätta för eventuell replikering av vår studie Reliabilitet och validitet De resultat som man får utifrån en kvantitativ studie ska kunna bedömas som trovärdiga och ha hög validitet. För att uppfylla dessa krav krävs att den insamlade datan är objektiv (Davidson och Patel (2003). Reliabilitet är en måttstock på hur konsistent och tillförlitligt den ansamlade datan är (Bryman och Bell 2005). För att en studie ska uppnå en hög reliabilitet krävs det att andra forskare ska kunna genomföra datainsamlingen på ett liknande sätt och få fram samma information. Vidare krävs det att alla de mått om har använts i studie såsom beräkning av avkastning, transaktionskostnader samt nyckeltal redovisas tydligt. Dessa begrepp som är fundamentala för denna studie redovisas i teorikapitlet. För att ge studien hög genomslagskraft bör det kanske viktigaste kriteriet uppfylla, nämligen hög validitet. Hög validitet syftar till att uppsatsen verkligen mäter och behandlar det som författarna ämnar behandla utan att sväva ut och bli otydliga. I vårt fall ska vi studera huruvida optimeringar på aktieportföljer påverkar dess avkastning om man använder sig v olika långa tidsserier 3.2 Studiens genomförande Studien genomförs genom att skapa fyra optimerade portföljer, där varje portföljs optimering baseras på tidsserier av olika längd. Tidsserielängderna 10 år, 5 år och 1 år samt 1 månad kommer att användas. Valet av längderna på tidsserier är baserat på de tidigare studier vi har tagit del av. De kortare tidsserierna, en månad samt ett år, valdes på grund av att Jegadeesh & Titman i sina studier från 1990 och 2001 studerat samma längder samt att deras resultat var intressant för vår undersökning. Även den femåriga tidsserien valdes med anledning av tidigare forskning av DeBondt & Thaler. Den längsta tidsserien, den tioåriga, valdes för att få en mätning lång nog för att få in flera konjunkturfaser i samma tidsserie. 23

24 För att göra portföljernas resultat inbördes jämförbara kommer portföljerna optimeras utifrån samma urval av aktier. Samtliga portföljer kommer dessutom att utsättas för regelbunden optimering samt rebalansering, dock varierar rebalanseringsintervallet mellan de olika portföljerna. De fyra portföljerna kommer sedan att backtestas för perioden t.o.m , med ett startvärde den 1 januari 1999 på 1 kr. Valet av längd på perioden för backtestet baseras på att författarna anser att 10 år är en tillräckligt lång period för att samtliga konjunktur- och aktiemarknadsfaser ska finnas representerade, och på så vis minimeras risken för att vissa portföljer ska prestera bättre p.g.a. av de är bättre anpassade för vissa typer av faser. Portföljerna kommer sedan att backtestas för perioden och deras resultat i form av kommer att jämföras. De fyra portföljerna beskrivs nedan: Portfölj A kommer att optimeras med hjälp av tidsserier som sträcker sig över 10 år. Den kommer dessutom att rebalanseras den 1 januari varje år, återigen med 10-åriga dataserier, men denna gång med det aktuella datumet som utgångspunkt. Portföljen kommer således att optimeras 10 gånger under undersökningsperioden. Portfölj B kommer att optimeras med tidsserier som sträcker sig 5 år bakåt i tiden. Den kommer liksom portfölj A att rebalanseras årligen under undersökningsperioden. 24

25 Portfölj C optimeras utifrån historiska tidsserier som sträcker sig över 1 år. Även denna portfölj rebalanseras varje år den 1 januari. Portfölj D, slutligen, kommer att optimeras med hjälp av tidserier som går endast 1 månad tillbaka i tiden. Den kommer dessutom att rebalanseras månadsvis. Den observante läsaren har nu noterat att samtliga portföljer egentligen kan ses som en serie av på varandra efterföljande portföljer, där varje portfölj i serien är optimerad utifrån tidsserier av samma längd; tidserien är dock alltid förskjuten ett rebalanseringsintervall i jämförelse med den föregående. T.ex. kan portfölj A ses som en portfölj som löper över perioden t.o.m och är optimerad utifrån data från perioden t.o.m , följt av en portfölj som löper från t.o.m och är optimerad utifrån data från perioden t.o.m , osv. Författarna har ansett att det är nödvändigt för uppsatsens syfte att låta samtliga portföljer lyda under vissa begränsningar. Dessa är: - Inga korta positioner får tas, dvs. ingen blankning. Denna begränsning används främst för att blankning inte är tillgängligt för alla aktörer på marknaden. Blankning är dessutom förknippad med transaktionskostnader utöver courtage, som är svårhanterliga i optimeringen. 25

26 - Portföljerna måste uteslutande bestå av innehav i de 20 utvalda aktierna. Inga likvida medel, riskfri ränta eller andra placeringar tillåts. - Högst 20 % av portföljens totala värde får vid optimeringen placeras i en och samma aktie. Detta bidrar till mer realistiska portföljer eftersom det hindrar optimering att placera allt eller mycket stora delar av kapitalet i en och samma aktie. Viktigt att notera är även att trots att en hel del rebalanseringar kommer att ske så handlar uppsatsen inte primärt om rebalansering utan om hur längden på de tidserier som utgör ingående data i optimeringarna påverkar portföljernas prestationer. Märk också att ordet rebalansering i denna uppsats inte primärt syftar på rebalansering i bemärkelsen att upprätthålla specifika vikter eller proportioner i portföljen, utan snarare att hålla optimering uppdaterad. De fyra portföljerna kommer i syfte att besvara uppsatsens frågeställning att jämföras med avseende på riskjusterad avkastning, både sätt till hela undersökningsperioden och enskilda perioder. Det mått som används för riskjusterad avkastning kommer att vara sharpekvot. Därefter kommer analysen att gå närmare in på andra nyckeltal för att hitta de underliggande orsaker till skillnaderna i prestation mellan de fyra portföljerna Praktiskt genomförande Följande stycke ämnar förklara för läsaren hur genomförandet har gått till i praktiken. Skapandet av de fyra fiktiva portföljerna och backtestingen av dito, som alltså utgör hela studiens empiriska underlag, har gjorts i Microsoft Excel. Kursnoteringar för samtliga aktier har hämtats från Thomson Reuters Datastream. De 20 aktier som ingår i optimeringarna är: Ericsson B, Electrolux B, Skanska B, Sandviken, Svenska Handelsbanken A, Atlas Copco A, Volvo B, Investor V, Stora Enso, SEB A, SKF A, Beijer Alma B, Trelleborg B, Holmen B, Hexagon B, NCC B, Industrivärlden, H&M B, Ratos och Hufvudstaden. Utifrån dessa historiska kursnoteringar har vi skapat optimeringar med hjälp av Excels solverfunktion. Denna solverfunktion arbetar utifrån att maximerar värdet i en viss angiven målcell genom att förändra värdena i andra angivna celler. I vårt fall använde vi solverfunktionen för att maximera portföljens prognostiserade sharpekvot genom att förändra vikterna av portföljens innehav, givet begräsningarna att inget innehav får vara mindre än 0 % eller större än 20 % av 26

27 portföljens totala värde, och givet villkoret att innehaven tillsammans ska utgöra 100 % av portföljens totala värde. Dessa begränsningar och villkor är av stor betydelse och anger förutsättningarna för de fyra portföljerna. Att inget innehav får vara mindre än 0 % av portföljens värde innebär att inga aktier kan blankas, eftersom innehaven hindras från att bli negativa. Att innehaven inte kan bli större än 20 % innebär att ingen aktie kan utgöra mer än 20 % av portföljen, och restriktionen att aktierna tillsammans alltid måste utgöra exakt 100 % av portföljen innebär att portföljen inte kan belånas (då aktiernas sammanlagda värde skulle utgöra mer än 100 % av värdet av portföljen). Det finns flera olika tekniker för att utföra Markowitz portföljoptimering. De olika metoderna syftar främst till att fokusera på olika framräkningar av korrelations matris eller varians-kovarians matris varför de kan uppstå vissa skillnader, resterande variabler beräknas likadant. Vi har valt att använda oss av en metod som rekommenderas av Simon Benninga och som förklaras utförligt i hans bok Financial Modeling, 3rd Edition (2007). Modellen skapas i fem steg: Först beräknas de aritmetiska avkastningarna för varje aktie med hjälp av historiska kursnoteringar för en bestämd period. Utifrån avkastningarna tas sedan de förväntade avkastningarna för varje aktie inkluderad i portföljen. Man bestämmer även en riskfri ränta som sedan används för att ta fram portföljens sharpekvot. Utifrån avkastningarna skapas sedan en varians-kovariansmatris fram genom att använda funktionen Data Analysis Covariance. När alla ovan nämnda faktorer är beräknade tas funktioner fram för att beräkna hela portföljens standardavvikelse, förväntade avkastning samt sharpekvot. För att få fram den högsta sharpekvoten för hela portföljen används Excels olver funktion. Solver fungerar som en problemlösare där man utifrån att ändra på vikterna i de ingående aktierna finner den lägsta standardavvikelsen till den högsta förväntade avkastningen och får på så vis fram den högsta sharpekvoten. Vid varje ny optimering efter den första dras en transaktionskostnad motsvarande 0,2 % av transaktionsbeloppet på både köp och sälj av aktier. Om t.ex. aktier för 0,55 kr byts ut vid en optimering resulterar det i en transaktionskostnad på 0,55 2 0,002 = 0,0022 kr, som alltså därefter 27

28 subtraheras från portföljens värde. Att inga transaktionskostnader dras från vid den första optimeringen för varje portfölj beror på att alla portföljer köps helt nya och därför får exakt lika stora transaktionskostnader, och i praktiken skulle innebära att alla portföljer startade på 99,8 öre i stället för 1 kr. Vid beräkningar av sharpekvoter, både för optimeringar och utvärderingar av portföljerna har den genomsnittliga reporäntan för perioden t.o.m använts Kritik mot genomförandet Valet av endast fyra tidsserielängder är inte tillräckligt för att ge en fullständig bild av tidsserielängdernas påverkan på portföljernas prestationer. Studien blir mer informativt ju fler tidsserier som undersökts eftersom studien har en kvalitativ ansats och kan därför alltid utöka insamlingen av data. Givet uppsatsens tidsbegränsning anser dock författarna att fyra tidsserier är tillräckligt för att ge en god bild av sammanhanget Statistiskt urval och informationsinsamling Totalt har 20 stycken företag valts ut och dessa ska utgöra hela innehavet i de fyra portföljerna som kommer att studeras. Valet av rådata har skett genom att studera de företag som någon gång under perioden har varit noterade på Stockholmsbörsen. Majoriteten av aktierna har valts utifrån en lista över företag som har varit noterade på OMXS 30 listan under Listan har mottagits från Nasdaq OMX Nordics indexgrupp (Erik Hågemo, 2010) och visar vilka företag samt när företagen har varit noterade på listan. Utifrån dessa företag har sedan de företagen med kompletta tidsserier för perioden valts ut. Eftersom studien ställer höga krav på officiell kursinformation har endast företag som varit börsnoterade sedan 1989 valts ut. Kursinformationen för varje företag har tagits fram via Thomson Reuters Datastream som är världens största finansiella databas, Datastream Reuters (2010)) Informationen om den riskfria räntan har hämtats från Sveriges Riksbanks hemsida och har studerats på månadsbasis. Den har även omräknats till årsbasis för att användas vid jämförelser av portföljen. 28

29 3.2.4 Källkritik och kritik mot data All information som har använts i denna studie är objektiv och officiell information. Vi har valt att använda oss av information från främst Datastream Thomson som är en av världens största databaser för finansiell statistik. Vi anser att det är en trovärdig källa och utgår därför att alla kursnoteringar är korrekta. 29

30 4. Empiri I detta kapitel kommer resultatet från de tester som har genomförts i de empiriska studierna att presenteras. Varje portföljs nyckeltal presenteras separat och i slutet av kapitlet presenteras en kort sammanställning av de fyra portföljerna. Empiridelen syftar till att de läsaren den information som är nödvändig för förstå nästkommande kapitel, analysen Den empiriska studiens utfall I följande stycke presenteras sammanställningar av utfallen av körningarna på de fyra portföljerna. Alla portföljer startar sin löptid , löper t.o.m och har ett ingående värde på 1 kr Portfölj A Tabell 1: Sammanställning av Portfölj A Ovan presenteras en sammanställning av portfölj A, alltså den som har optimerats utifrån 10-åriga tidsserier. Kolumnen Portföljvärde visar portföljen totala ackumulerade värde inklusive transaktionskostnader den 1 januari varje år. Kolumnen Utveckling visar hur portföljen utvecklades under året, medans kolumnen total utv. visar portföljens totala ackumulerade utveckling i procent sedan start. Kolumnen transaktioner visar den totala volymen i kronor av sälj och köp som skett som resultat av optimeringen den 1 januari varje år. Kolumnen transakt.kostnad visar de 30

31 transaktionskostnader som uppkommit vid varje rebalansering. Kolumnen längst till höger, transaktioner i %, visar transaktionerna som andel av portföljens värde vid den tidpunkten dividerat med 2, vilket ger den andel av portföljen som har bytts ut i vid varje optimering. Under tabellen följer nyckeltal som är framtagna utifrån datan i tabellen. Till vänster anges portföljens volatilitet på årsbasis under , portföljens genomsnittliga årsavkastning samt portföljens Sharpekvot under den studerade perioden. Till höger om dessa värden anges även portföljens ackumulerade transaktionskostnader, alltså hur mycket transaktionskostnader som portföljen dragit på sig totalt under löptiden. Under denna anges den genomsnittliga transaktionsvolym, vilken anger hur stor andel av portföljen som i genomsnitt bytts varje år. Figur 8: Total utveckling Portfölj A Figur 9: Total utveckling Portfölj A 31

32 4.1.2 Portfölj B Nedan presenteras sammanställningen av portfölj B, alltså portföljen med tidsserier om 5 år. Under tabellen visas även dess utveckling i ett diagram. Tabell 2: Sammanställning av Portfölj B Figur 10: Total utveckling Portfölj B 32

33 4.1.3 Portfölj C Nedan presenteras en tabellsammanställningen av portfölj C, portföljen baserad på tidsserier om 1 år. Figur 11: Total utveckling för Portfölj B Tabell 3: Sammanställning av Portfölj C Figur 12: total utveckling för Portfölj C 33

34 4.1.4 Portfölj D Nedan presenteras tabellsammanställningen av portfölj D, portföljen baserad på tidsserier om 1 år. Tabell 4: Sammanställning av Portfölj D Figur 13: Total utveckling för Portfölj D 34

35 4.1.5 Sammanställning För att ge läsaren en mer överskådlig bild över hur de fyra olika portföljerna har presterat gentemot varandra presenteras i grafen nedan alla portföljer. Det är tydligt att portfölj A, optimerad utifrån tidsserier med 10 års längd, har presterat bäst utifrån total ackumulerad avkastning. I nästkommande kapitel kommer vi att diskutera huruvida portföljen också är en bra investering i förhållande till dess risk samt transaktionskostnaderna. Figur 14: Sammanställning av alla portföljers totala utveckling 35

36 5. Analys Analysen inleds med en jämförelse av de olika portföljernas totala avkastning, sharpekvot och transaktionskostnad, och avslutas av en sammanfattande analys. 5.1 Portföljernas avkastning Tabell 5: Total ackumulerat avkastning samt årlig avkastning för samtliga portföljer Genom att studera de fyra olika portföljernas totala ackumulerade avkastningar kan man få en tydlig bild av vilken portfölj som har presterat bäst resultat under de tio år portföljen har löpt. I tabellen ovan presenteras dessa avkastningar. För att bespara läsaren tankemöda har den högsta och lägsta avkastningen under varje år har markerats med grönt respektive rött. Portfölj A har betydligt högre avkastning än alla de andra portföljerna och har i genomsnitt per år under den studerade perioden gett en avkastning på 19 %. Det kan sättas i relation till Stockholmsbörsen som i genomsnitt per år avkastar ca 8 %.. Det är värt att notera att Portfölj A under de år då man har presterat en negativ avkastning bibehållit avkastningen på en relativt hög nivå i jämförelse med de andra portföljerna. Under krisåret 2008 hade den en negativ avkastning på ca -30 % vilket bör jämföras med de andra portföljerna som sjönk under, i vissa fall långt under, -40 %. Portfölj A är även den portföljen som under perioden har uppvisat flest antal år med positiv avkastning, hela 70 % medan de andra ligger mellan %. Portfölj A har även haft bäst avkastning under 5 av 10 år, näst bäst under 3 av de övriga 5 åren, och under inget år haft den sämsta avkastningen. 36

37 Portfölj B och C har haft snarlika utvecklingar. De har genomsnittliga årsavkastningar på 12 respektive 11 %, och deras totala ackumulerade avkastningar är 88 respektive 71 %. Endast under 1 av tio år skiljer sig deras avkastning med mer än 15 procentenheter. Portfölj D är den portfölj som helt klart har presterat sämst utifrån totalt ackumulerad avkastning, och har en genomsnittlig årlig avkastning på endast 3 %. Under hela 7 av 10 år har denna portfölj presterat den lägsta avkastningen. 5.2 Sharpekvoter: Tabell 6: Sammanställning av Sharpekvoter och dess ingående variabler I föregående stycke framgick att portfölj A har presterat den högsta avkastningen, och portfölj D den lägsta. Detta säger dock ingenting om vilken portfölj som ger högst avkastning per tagen risk, dvs. vilken portfölj som har högst riskjusterad avkastning. Vid utvärdering av huruvida portföljer har presterat bra eller dåligt används därför ofta Sharpekvoten som beräknas genom att man sätter riskpremien för portföljen, det vill säga portföljens avkastning minus den avkastning som en riskfri placering ger, i förhållande till risken som är volatiliteten i portföljen. Om de fyra portföljerna hade haft en mycket skiftande volatilitet skulle det alltså mycket väl kunna vara så att den portfölj som avkastat mest inte alls har gett den högsta avkastningen per tagen risk. I tabellen ovan redovisas portföljernas sharpekvoter och dess ingående variabler. Då samtliga portföljer har mycket liknande volatilitet (alla är i intervallet 32,76-34,59 %) håller mönstret från föregående stycke i sig; Portfölj A har den högsta sharpekvoten, följt av B och C som fortfarande ligger nära varandra. Portfölj D har en svagt negativ sharpekvot och är klart sämst. 37

38 5.3 Transaktionskostnader Tabell 7: Transaktionskostnader och relaterade nyckeltal Ovanstående tabell visar portföljernas transaktionskostnader per år samt hur stor del av portföljen som bytts ut varje år. Under tabellen presenteras ett antal relevanta nyckeltal. Högst upp under tabellen återfinns portföljernas totala ackumulerade transaktionskostnader , och i raden direkt under visas samma kostnader som andel av portföljens totala slutvärde. Därefter följer den genomsnittliga transaktionsvolymen per år och till sist transaktionsvolymen per optimering (vilket är detsamma för portfölj A, B och C eftersom de rebalanaseras en gång per år). Portfölj D har haft de överlägset högsta transaktionskostnaderna av de fyra portföljerna, både totalt och i relation till portföljens storlek, vilket inte är oväntat med tanke på att den har rebalanserats 120 gånger mot 10 gånger för de övriga portföljerna. Dessa betydligt mer frekventa rebalanseringar resulterar också i att portfölj D har den högsta omsättningen av aktier per år; 776 % vilket innebär att hela portföljen byts ut i genomsnitt 7,76 gånger per år. Dock har portfölj D inte bara rebalanserats flest gånger, den har dessutom den högsta transaktionsvolymen per rebalansering, vilket självklart också bidrar till de höga transaktionskostnaderna. 38