3.3 Formler och tatföljder

Transkript

1 3.3 Formler och tatföljder Att använda formler Formler används i många olika sammanhang. En formel är en ekvation som beskriver ett samband mellan olika storheter. De gör att man snabbare och enklare kan beräkna det sökta värdet i ett problem. Formler är vanliga hjiilpmedel inom många ämnesområden, som till exempel ekonomi, statistik och teknik. Vill man till exempel beräkna sträckan s när man känner hastigheten v och tiden r använder man formeln s = v' t. Lösc ut ur en formel Vill man i stället bestämma v i formeln s: v ' t måste man först skriva om formeln så att v står ensamt i ena ledet s=y.t För att få v ensamt delar vi båda led med t s v,t Fö rl<o rta tt v- 5 t Vi har nu löst ut v ur formeln s = v. t. F 't.t\, Exempel: a) b) Lösutxur6x+7=19 Lös ut x:ur ax+7 =b Lösning: Vi löser uppgifterna parallellt för att enklare kunna jämföra. a) 6x+7:19 6x+7-7=19-7 6x ) b) ax+7 =b ax+7-7 =b-7 vivill ha axensamt ax b-7 Vi vill ha x ensamt aa X=a b-7 Vi har löst utx! ;t irl ti tl t Exempel: Ränta beräknas med formeln r : K. p. t, där r är fttntani kronor, K är det innestående kapitalet i kronor, p är räntesatsen i decimalform och r är tiden i år. Juanita har satt in kr på ett bankkonto där räntesatsenår l,4o/o. Hon tar ut pengarna efter ett halvt år. Hur stor blir räntan? Lösning: K=3850kr P=1,4o/o=0,014 t=0,5är r = K. p. t : ,014. 0,5 kr = 26,95kr Svar: Räntan blir 26,95 kr.!06 arcrana och Er(vATroNER o 3.3 FORi\,4LER och TALFöLJDER

2 -- Fxeerepe{x Lösning: Ansgar kör på E4:an med hastigheten 105 km/h' Han ser en skyit med textenw.eftersomansgarvetattdetärmotorvägända fram, räknar han med att hålla samma hastighet hela tiden. Hur länge dröjer det innan Ansgar är framme i lönköping? u - Lös Lrurör atr besvara rråqan : liå:::;t" t t =,,0.n s v't: 't t v.t s vv s t:- v,- 147km -1.4h=1h24min 24 nin=0,4'50min krni h Vissa en <lare forrnler som v - s t bör man klrnna utantill eller klara av att här eda På eqen hand Nu har vi rätt varlant av formeln och L<an beräl<na svaret Svar: Det tar 1,4 h, alltså timme och 24 minuter, för Ansgar att köra dcu återstaende biten. rucvå å Lös ut x ur formeln a) 2x= Y b) x-4= a c) 3x+7=3m Kostnaden K kr for ett telefonsamtal till det fasta nätet, där samtalet varar t minuter, beräknas med formeln K = 0,23t + 0,45. a) Hur mycket kostar ett samtal som pågår i 12 minuter? b) Hur länge kan man Prata för 5 kr? Värdestegringen för en aktie har getts av formeln y = 178' 1,18', där 1 kr är aktiens värde f år efter inkopet. a) Hur mycket var aktien värd efter 3 år? b) Hur mycket kostade den när den köptes? 3304 Konstruera en formel som visar priset l kr för en 1axfil6 som väger x kg f3g7 a+b+cld Formelnm - 4 beraknar medelåldern i en grupp med S'ra personer> vars ålder betecknas a,b, c och d. Hur gamma1 är den!ärde personen i en grupp med medelåldern 23,25 ät, on-r de tre övriga är 17 är,23 år och 4l år? Lös ut 1 ur formeln a) ay + 4=7 b) +18,5=a p c) ax+byic=0 Priset för att köpa r stycken aktier till kursen a kronor ges av formein 1( = an + 200, dar K kr är det totala priset man får betala. a) Vad kostar det att köpa 150 stycken aktier i ett bolag till kursen 107'50 kr? b) Marcus har kr och vill investera i ett iovande företag. Aktiekursen är 8,60 kr. Hur många aktier får han för den summan? c) Tolka betydelsen av konstanttermen 200 i formeln. ar T,FBRA och E<vATloNER o 3.3 FORN/LER och TALFÖLDER!O7

3 NVÅ å 3308 Petra ska cyklavätternrundan och räknar med att hålla en medelfart på l8 km/h. Hur lång tid behöver Petra för att cykla de trettio milen runt Vättern? Lös uppgiften genom att a) sätta in värdena direkt i formeln v = t och därefter lösa ekvationen b) lösa ut t ur formeln och därefter utföra beräkningen 3309 Formeln K: l,90a + 4,90b anger priset ö K kr för att köpa a kg apelsiner och b kg bananer. a) Björn har 50 kr och har plockat ner 2,317 kg apelsiner i en påse. Hur stor mängd bananer räcker pengarna till? b) Ungefär hur många apelsiner och bananer tror du att Björn kommer att köpa i uppgift a)? c) Ge förslag på hur många kilo frukt Bjorn kan köpa for 6s kr Vattnets kokpunkt ändras med höjden över havet. Den kan uppskattas med formeln f = 100-3,8h där / är temperaturen i grader Celsius och h ar hojden över havet i kilometer. Äggvita stelnar vid temperaturen 68 grader. a) Vilken är den högsta höjd över havet, som det är möjligt att koka ägg på? b) Är det möjligt att koka ägg på toppen av Mount Everest? 3311 Lufttrycket ändras med hojden över havet enligt formeln p = l0l'3 '2,72 ut$ där p är lufttrycket i miliibar och å ar hojden över havet i kilometer. Bestäm lufttrycket på toppen av a) Mont Blanc b) (ebnekaise c) Mount Everest d) Hallandsåsen Europa Mont Blanc 4 8O7 Crossglocl<ner l(ebnekaise 2l-03 Nalovardo 762 Hallandsåsen 226 Ameril<a Aconcaqua Mount Mcl(inley Asien Mount Everest l< Afril<a l(ilimanjaro Kostnaden for en taxiresa består av en grundavgift, en avgift per timme och en avgift för den sträcka man åkt. Här nedanför ser du priserna för ett taxiföretag. Konstruera en formel som beräknar den totala kostnaden för resor gjorda en vanlig lördagskvall. Taxa Grund- Tids- Sträckpris Jämföravgift taxa pris Vard kr 310 krlh 8,10 kr/km 194 kr Vard 16-09^ 44r<r 310 kr/h 9,80 krlkm 2r9kr Fr 16-må 09 Storhelg 51 kr 310 krlh 12,50 l<r/km 253 kr 3313 Använd formeln p = ,72 hts'r' för att med miniräknaren beräkna ett närmevärde av hojden på Elbrus. Lufttrycket på toppen är normalt 530 mbar. Elbrus, som är Europas högsta berg, ligger vid gränsen melian Ryssland och Georgien. to8 nrceeea och Et(vATroNER o 3.3 FoRMLER och TALFöTJDER

4 f -- Mönster och formler Tatfötjd, element Om man skriver några tal efter varandra, till exempel 1, 3, 5, 7,9,... sä fär man en talfoljd.varje tal i en talfoljd kallas för ett element. Man brukar namnge elementen med a1, a2t a3>... Här får vi alltså at-1 at-3 a:-5 osv. 1 ra, <a las för elementets index Vissa talföljder kan beskrivas med en formel. Det finns två olika typer av formler för att beskriva elementen i en talföljd. Rekursiv formel en rekursiy formel anger man ett eller flera startvärden. Man beskriver sedan elementen i talföljden med hjalp av värden på tidigare element. talföljden 2,5,8,1,14,... är första elementet 2. Därefter är varje element 3 mer än det föregående. Talfoljden kan beskrivas med den rekursiva formeln u1- z ar- an_, -f 3 för n > 2 Den rekursiva formeln ger at= 2 a2=a2_1*3=ayl3=2+3=5 Qz:a3 r*3=a213=8 OSV. Sluten formel en sluten formel fär man direkt värdet av ett element i talföljden genom att sätta in elementets index i formeln. Tälfoljden 2, 5, 8, 11, 14,... kan beskrivas med den slutna formeln a,.= 3n - Den slutna lormeln ger 0t:3.1-f=2 az-3.2-l=5 az=3.3-1=8 OSV. Ange en rekursiv formel för talföljden, 3, 5, 7,9,... Lösning Det första elementet i talföljden är 1. Därefter tår man varje nytt element genom att addera 2 till det föregående eiementet. at= 1 an Sta rtvä rd e + 2 för n 2 2 Det nya elementet fås genorn att addera 2 till det förepående elernentet ALcEBRA 0cH Et(vATloNER o l.l F0RMLER och TALFöLJDER lo9

5 Exempel: Lösning: En talfoljd anges med formeln an= 5n - ' a) Ange de fem första elementen i talföljden' b) Är tatföljden beskriven med en rekursiv eller en sluten formel? a\ a1=5'l-l=4 at=5'2-l=9 az=5'3-l=14 a+= 5'4- = 19 as=5'5-=24 Svar: 4, 9,14,19,24 b) formeln an = 5n - fät man värdet av ett element genom att sätta in värdet på index, alltså är det en sluten formel' Svar: Det är en sluten formel' Exempel: Miroslavbyggermönstermedklossar.Hanbörjarfunderapåhurmånga klossar det kommer att finnas i de nästkommande figurerna' Hur många klossar finns det i a) figur 4 b) figur 8 c) figur r._- " figur L 1 figur 2 fiqur 3 Lösning:a)Antaletklossarirespektivefigurbildartalfoljden4,T,0,... Differensenmellantvåpåvarandrafoljandeelementäralltså3. Det betyder att i figur 4 är det = 13 klossar' Svar: Det är 13 klossar ifi'gur 4' b) Det är 4'3 = 12 klossar mer i figur 8 jämfört med figur 4' l i Svar: 25 klossar c) Eftersom antalet klossar ökar med 3 fil varje figur' så kan man utgå frånatttermen3nskafinnasmediformeln.sätterviinn=l,såservi att 3n = 3. För att det ska stämma med figur 1 och övriga figurer måste vi alltså addera med 1' Svar: Det ar 3n -l 1 klossar ifigut n' trlo AL6EBRA OCH E<VATONER O 3'3 FORMLER OCH TALFÖLDER

6 -lllll-tf Fjgv& s. ruewå ffi En talföljd definieras genom formeln ar,- 6n 8. a) Är det en rekursiv elier en sluten formel? b) Beräkna an Hur fortsätter raden? a) -t,5, ll,17,... b) vu,s,r... c) o, s, 12,21, Beskriv med ord hur talfoijderna är uppbyggda a) 2,6,10,14,... b) 3,6, 12,24,... c) 0, 1,3,6, 10, Ange det femte elementet i talföljden som beskrivs av a) ar=4n+l b) b,,= n2l2 + 2n ^\ - 1 )ll i t) (n- - L'J 3319L23 a) Hur många mynt är det i figur 6? b) Finn en formel som anger antalet mynt i figur n Den slutna formeln a,,: (-l)'* ' - n bestämmer en talföljd. Beräkna de 5 första talen i ralföljden Beskrivtalföljden 2,4,6,8, 10,... med en a) rekursiv formel b) sluten formel 3322 Följande figurer byggs irv tändstickor n a) Hur många kvadrater har den fiarde figuren? b) Konstruera en rekursiv formel, som anger antalet kvadrater i figur n. c) (onstruera en sluten formel, som anger antalet kvadrater ifigur n. d) Hur många kvadrater har figur 15? 3323 Vilket element är det första som är större än 100 i talföljderna? a') ar: 7n + 5 b) b,,=26n rsswå ä "i*'.d,u!f_ebi4 2 + s-- E,i-.d n.; 6 -.e i:iri1i... r-_-l-. i-:i -=-l-=.":,i-*. --i-: -. a) Hur många tändstickor innehåller den färde figuren? b) Finn en formel som beskriver trntalet tändstickor i fi.gur n De så kallade rektangeltalen kan beskrivas med den rekursiva formeln frr-fr,,+2n för n>l Ange en sluten formel för att finna r,,.., l' l: ",1 :;i 3321 Vilket element är det första som är större än 100 i talföljderna? a) an= 8n + 5 b) bl - 4;b,=2bn, för n> 3326 Beskriv talföijden 1, en a) rekursiv formel b) sluten formel med ALCEBRA OCH E<VAT oner O 3,3 FORMLER oth TAtFÖL]DER 1!

7 -- Aritmetiska talfölider Tänk dig att ett nystartat förlag börjar sin verksamhet med att ge ut l0 nya böcker första året. Målet är sedan att de ska öka sin utgivning med ytterligare 4 nyheter varje år under de första fem åren. Det innebär att det andra året ger de ut 14 nya böcker, tredje året 18 nya böcker osv. Antalet nya böcker a, som förlaget ger ut per år, kan beskrivas med en talföljd: at=10 az=0+1.4=14 as=10+2'4=18 a+=70+3'4:22 as=0+4.4=26 Här ovanför har vi beskrivit talfoljden 10, 14, 18,22,26. talföljden är differensen mellan två på varandra foljande element 4, den är alltså konstant. En sådan talföljd kallas en aritmetisk talfoljd. Det innebär att man med hjä1p av differensen och det första elementet kan beräkna alla element i talfoljden. Antalet nya böcker under det n:te året i den aritmetiska talföljden kan beskrivas med den slutna formeln an=ro+(n*l)'4 Första e ementet oi Differensen d Ardsamesx'sk emåf#åjd en aritmetisk talföljd är differensen d mellan två på varandra följande element konstant. Varje element ani en aritmetisk talfoljd ap a2t Q j>.'. kan skrivas an= at + (n - l)' d, dar n = 1,2,3,... Aritmetisk summo Om man vill räkna ut hur många nya böcker som totalt ges ut under de första fem åren, så kan man addera elementen i talföljden. Då får man en aritmetisk summa. En aritmetisk summa är helt enkelt en summa där termerna är element i en aritmetisk talföljd. det här exemplet är summan väldigt lätt att beräkna eftersom det bara handlar om fem element: =90. Det ges ut sammanlagt 90 nya böcker under förlagets första fem år. Det finns en formel som gör det möjligt att snabbt beräkna en aritmetisk sllmma. Formeln är användbar främst när summan har många termer. Vi visar formeln genom att beräkna , den aritmetiska summan i exemplet ovan. 112 ALCEBRA OCH E<VAT]ONER O ] 3 FORMLER OCH TALFOLJDER

8 ...-F- -- Först skriver vi termerna två gånger, ovanför varandra fast i omvänd ordning. /iö{ib+'l-a} zz - zo \_./ \_./ '.-_-.' 6d{Å+'ts'+ t+ + to v.r., Summan av varje lodrätt par ar 36, dvs. summari av första och sista termen. Det är 5 termer, så ger summan av båda raderna, som också är talföljdens dubbla summa. Hälften av det 9: Vi får Antal terrner Första termen Sista termen o r r 22 t 26 =5'(lo+20)-no ger den sökta summan. År.d8rffi etdsf* sasnrrsam Summan s,, av de zl första elementen i en aritmetisk talföljd a1,a2,a3,...,a, är sr=n(at.rl an) ), tecknet för summo Uttryck som beskriver en summa kan skrivas med hjalp av summatecknet. Summan skrivs aa f, och dettolkas som att summans termer består av alla värden pu r:;; n gär fränl till4. På samma sätt gäller 4 Lnt= :29. n-2 Exempel: Teckna uttrycket som beskrivs med hjaip av summatecknet och beräkna summan. 5 d 2zn n- 6 b) (10+31) 1- J 5 Lösning: d LZn n-\ = =30 6 b) >(10+3i)-(10+3.3)+ i=3 : = = n antarvarievärdefrån'1 till 5 ( ) + ( ) + ( ) = ALcEBRA orh E<vATroNER o r.r FoRN/LER och TArFöLDER 113

9 i1, Exempel: a) b) Beskriv uttrycket : med hjälp av summatecken' Beräkna därefter summan. Lösning: a) Differensen mellan termerna i uttrycket är konstant. Termerna beskriver därfor en aritmetisk talföljd. u1 - t Det första elementet är 7 Å-'l Ekvationen 7 + (n-)'z=25har lösningen n=l0.detäralltså 10 termer i summan och index för den sista termen ges av n = 10' Formeln för en aritmetisk talföljd ger oss an=7+(n-)'2 =5+2n och vår summa kan beskrivas med 10 LO+zn) n-1 b) Summan sr6 av de 10 termerna i summan ges av formeln för aritmetisk summa l0(7 + 2s) sro:-= 160 Ditferensen mellan elementen är 2 NVÅ Bestäm differensen i de aritmetiska talfoljderna a) 3,19,35,51,... b) 1 12, lo5, 98, 91, Vilka av dessa talföljder är aritmetiska talfoljder? A 17,13,9,5,1 B 5, 10,20,40 C 3;0,6; 0,12;0,024;... D 0,3,6,9,12, en aritmetisk talföljd ar a, = 3 och d = 1,2' Bestäm ars Denaritmetiskasumman består av 15 termer. Beräkna summan' 3331 Beräkna summorna 5 a) Zzn n= 4 D 2@2+z) n Den slutna formeln an: 3n -, dar n =,2,3,... beskriver en talföljd' a) Bestäm de 4 första elementen i talföljden. b) Är talföljden aritmetisk? c) Beskriv talföljden med en rekursiv formel. re 3333 Beräkna summan av de 25 första termerna r den aritmetiska talföljd som beskrivs av formeln a) ar=2+ 6n b) br= 4;b,= l + bn-, föt n> 114 ALCEBRA OCH E<VATONER O 3,3 FORMLER OCH TALFOLJDER

10 ------T Var i den aritmetiska talfoljden 82, 80,5, 79,... hittar du talet 65,5? Motivera ditt svarr Teckna den aritmetiska sumrna som kan J( l2 + 2l ). beräknas med utrrvcker, Ange för vart och ett av följande påståenden om det är sant eller falskt. ladglrå ffi a) en aritmetisk talfoljd är difterensen mellar.r två på varandra foljande element alltid lika. b) En talfoljd består av minst tre element. c) en aritrnetisk talfoljd kan man beräkna summan med hjalp av formeln ',t--4 d) 3, 6, 12,24 ar en aritmetisk talfoljd. e) Om lnan vet att summan i en aritmetisk talfoljd är 214 och att det första elementet är 7, så kan man beräkna differensen en aritmetisk talföljd ar a och d = 2,1. a) Bestäm de tre första elementen. b) Beskriv talfoljden med en formel. c) Beräkna sumrnan av de 20 forsta elementen Clara stickar en halsduk. Den första dagen stickar hon l8 cm av halsduken och senare stickar hon varje dag 4 crn mer iin dagen innan. Hur många dagar tar det för henne att sticka en halsduk som är 2 meter lång? 3339 Undersök om följande talfolider är arritmetiska. a) a,- 2 4n b) b,,- 2.4" 3340 Förklara ined hjälp av uttrycket för en aritrnetisk summa varför summan av de n första positiva heltalen kan beräknas med formeln n(n + l) f L 3341 Beräkna slrmman av alla tvåsiffriga tal en konsertlokarl finns det 30 rader med sittplatser. På r.arje rad finns det två platser fler än på raden innan. På rad 15 finns det 50 sittplatser. Hur många sittplatser finns det totalt i konsertlokalen? ruevå s 3343 Det första talet i en aritrnerisk talfol'd är 2 och summan av de 20 första talen är 268. Beskriv talföliden med en formel Visa att,71 + a, = a2 * an - 1 för vtrrje i en aritmetisk talfoljd a1t ay a3,... * ViLken är skjllnaden mellan ett uttryck och en formel? # Vad menas med att lösa ut en variabel ur en formel??] Vad innebär en sluten formel och varför kallas den så? * Vad innebär en rekursiv formel och varför kallas den så? * Ar +, 4, 4, 4,... en arjtmetisk tatfötjd? Motivera ditt svar. ALCEBRA 0cH E (vatr0ner o r l FoRTLER oth TALF0LDER lts