f d x 4 ; FUNKTIONEN x -> x^4 > g d x/x 4 ; g 2 ; Dg d diff g x, x ; Dg d D g ; Dg 5 ; Dg sin x 8 ;

Transkript

1 diff ln Error invalid input diff epects or more arguments but received? diff diff ln Om man vill sätta nytt värde på fariabeln f så använd = (inte = ) f d sin sqrt f = sin f d diff f cos sin ep cos 7 ln abs tan sqrt 8 5$5 7 diff f cos f = e cos ln tan sin e cos ln tan () () () (4) (5) K abs tan 8 5 tan 8 5 K K K 8 5 tan K K K K e cos 7 ln tan 8 5 sin e K7 cos 6 sin K4 abs tan 8 5 tan 8 5 tan ln plot f Warning computation interrupted sin f d ep cos 7 ln abs tan sqrt 8 5$ 5 7 Df d diff f plot f cos Df = e cos 7 ln tan 8 5 K e cos 7 ln tan sin e K7 cos 6 sin FUNKTIONEN - ^4 g d / 4 g f d 4 Df d diff f Dg d diff g Dg d D g Dg 5 Dg sin 8 f = 4 g = / 4 6 Df = 4 (6) (7)

2 f d / $sin Df d D f Df Dg = 4 Dg = /4 5 4 sin 8 f = / sin (8).4... plot fk.... plot Df =K.... Df = / sin sin Kcos Kcos (9) K K 6 K K. K. K. K.4 6

3 K K 6 K.5 K.5 6 K I 9 K K I 9 Notera här att = tilldelar ett nytt värde till variabeln eq medan = ger en ekvation. eq d K$ 7$ K8= eq = K 7 K8= fsolve eq solve eq / 7 K / K / / I / / K / / K I / / () (4) (5) plot K$ 7$ K8 K Gränsvärden f limit f = Error (in f) numeric eception division by zero limit =? limit limit / =left limit / = right undefined KN N fsolve för numerisk lösning och solve för att lösa "symboliskt" fsolve $ 7= solve $ 7= () () () f K I 9 K K I 9

4 5 K K5 5 K5 RandomMatri RandomVector Rank RationalanonicalForm ReducedRowEchelonForm Row RowDimension RowOperation RowSpace ScalarMatri ScalarMultiply ScalarVector SchurForm SingularValues SmithForm StronglyonnectedBlocks SubMatri SubVector SumBasis SylvesterMatri SylvesterSolve ToeplitzMatri Trace Transpose TridiagonalForm UnitVector VandermondeMatri VectorAdd VectorAngle VectorMatriMultiply VectorNorm VectorScalarMultiply ZeroMatri ZeroVector Zip? ReducedRowEchelonForm f d v/ f 6 cos v Ksin v sin v cos v K (7) K m m m m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 m m m m m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 m m m m m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 m M d m 4 m 4 m 4 m 4 4 m 4 5 m 4 6 m 4 7 m 4 8 m 4 9 m 4 m 5 m 5 m 5 m 5 4 m 5 5 m 5 6 m 5 7 m 5 8 m 5 9 m 5 m 6 m 6 m 6 m 6 4 m 6 5 m 6 6 m 6 7 m 6 8 m 6 9 m 6 Linjär algebra with LinearAlgebra & Add Adjoint BackwardSubstitute BandMatri Basis BezoutMatri BidiagonalForm BilinearForm ARE haracteristicmatri haracteristicpolynomial olumn olumndimension olumnoperation olumnspace ompanionmatri onditionnumber onstantmatri onstantvector opy reatepermutation rossproduct DARE Deleteolumn DeleteRow Determinant Diagonal DiagonalMatri Dimension Dimensions DotProduct EigenonditionNumbers Eigenvalues Eigenvectors Equal ForwardSubstitute FrobeniusForm GaussianElimination GenerateEquations GenerateMatri Generic GetResultDataType GetResultShape GivensRotationMatri GramSchmidt HankelMatri HermiteForm HermitianTranspose HessenbergForm HilbertMatri HouseholderMatri IdentityMatri IntersectionBasis IsDefinite IsOrthogonal IsSimilar IsUnitary JordanBlockMatri JordanForm KroneckerProduct LA_Main LUDecomposition LeastSquares LinearSolve LyapunovSolve Map Map MatriAdd MatriEponential MatriFunction MatriInverse MatriMatriMultiply MatriNorm MatriPower MatriScalarMultiply MatriVectorMultiply MinimalPolynomial Minor Modular Multiply NoUserValue Norm Normalize NullSpace OuterProductMatri Permanent vot PopovForm QRDecomposition (6) m 7 m 7 m 7 m 7 4 m 7 5 m 7 6 m 7 7 m 7 8 m 7 9 m 7 A B D v d E F G H I J Mv d M.v Mv = m A m B m m 4 Dm 5 E m 6 F m 7 Gm 8 H (8)

5 A d I m 9 m J m A m B m m 4 Dm 5 E m 6 F m 7 Gm 8 HI m 9 m J m A m B m m 4 Dm 5 E m 6 F m 7 Gm 8 HI m 9 m J m 4 A m 4 B m 4 m 4 4 Dm 4 5 E m 4 6 F m 4 7 Gm 4 8 HI m 4 9 m 4 J m 5 A m 5 B m 5 m 5 4 Dm 5 5 E m 5 6 F m 5 7 Gm 5 8 HI m 5 9 m 5 J m 6 A m 6 B m 6 m 6 4 Dm 6 5 E m 6 6 F m 6 7 Gm 6 8 HI m 6 9 m 6 J m 7 A m 7 B m 7 m 7 4 Dm 7 5 E m 7 6 F m 7 7 Gm 7 8 HI m 7 9 m 7 J Matrismultiplikation a a a a 4 M d AM d A.M MA d M.A a a a a 4 a a a a 4 m m m m m m m m m m 4 m 4 m 4 A = M = a a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 m m m m m m m m m m 4 m 4 m 4 AM = a m a m a m a 4 m 4 a m a m a m a 4 m 4 a m a m a m a 4 m 4 a m a m a m a 4 m 4 a m a m a m a 4 m 4 a m a m a m a 4 m 4 a m a m a m a 4 m 4 a m a m a m a 4 m 4 a m a m a m a 4 m 4 MA = a m a m a m m a m a m a m a m a m a m a 4 m a 4 m a 4 m a m a m a a m a m a m m a m a m a m a 4 m a 4 m a 4 m a m a m a m a m a m a a m a m a m m a 4 m a 4 m a 4 m 4 a m 4 a m 4 a m 4 a m 4 a m 4 a m 4 a m 4 a m 4 a a 4 m 4 a 4 m 4 a 4 m 4 Kan v skrivas som linjärkombination av kolumnerna i M? Dvs finns lösning till M =v? 8 K K8 K9 K98 K74 9 K K K5 K77 K K K95 5 K 57 7 K8 K K68 K K M d K7 8 K67 K5 K48 K8 K K K8 K K8 K K44 87 K 44 7 K K5 K6 K 9 45 v d K4 6 K5 9 GaussianElimination M v 8 K K8 K9 K98 K74 (9) ()

6 5 K K K K 8 44 K 9859 K K K K K K K 988 K K K K K K K K K K GaussianElimination M v 'method'='fractionfree' 8 K K8 K9 K98 K74 58 K K89 K K696 K5946 K K7464 K676 K99865 K K K K K K K K ReducedRowEchelonForm M v ()? LinearSolve LinearSolve M v K K K K () () LinearSolve klarar även fria variabler

7 M d K6 95 K6 5 K8 K K44 K8 6 K K9 9 K6 6 9 K78 K44 K K6 K 88 K6 K4 K8 6 v d K88 99 K59 ReducedRowEchelonForm M LinearSolve M v M = K6 95 K6 5 K8 K K44 K8 6 K K9 9 K6 6 9 K78 K44 K K6 K 88 K6 K4 K8 6 v = K K K88 99 K59 K K K _t _t K _t 6 _t _t K _t _t K _t _t K _t K _t 6 _t _t K _t K _t 6 En lösning med fria variabler i R^ kan även tolkas geometriskt som visat på lektion och för fallet två fria variabler kan man göra samma t e på följande sätt i Maple. Vi kan börja med kommandot restart för att få mmapåle att glömma alla tidigare räkningar (används här enbart för att få samam namn på fria variablerna vid varje ny körning). Sedan lösning av ekvationen M=v restart with LinearAlgebra M d v d 7 4 d LinearSolve M v = 7 K _t K _t _t _t (4) (5) (4) Välj en punkt p på planet och två vektorer som det är parallellt med p d subs _t =_t = v d subs _t =_t = Kp v d subs _t =_t = Kp with Student LinearAlgebra PlanePlot v v p

8 7 K9 K7 5 K6 p = M d K55 5 K94 K69 7 K6 K97 69 v = v = K K K5 K86 K8 K5 MatriInverse M M = K9 K7 5 K6 K55 5 K94 K69 7 K6 K97 69 K5 K86 K8 K K K K K K K K (6) K K K Graph of a plane and related vectors. Included on the graph the plane (leafgreen) a normal to the plane (purple) two basis vectors for the plane (navy) a vector (burgundy) from the origin to a specified point on the plane