701 Matematik som konst eller konst som matematik

Transkript

1 701 Matematik som konst eller konst som matematik Javisst, säger en del människor och andra - vadå? Hur många människor har upplevt behov av matematik eller kan se matematik som konst eller konst som matematik? Finns det matematik i musik, är det som låter matematik eller kan matematik låta? I föreläsningen vill Anita Sandahl belysa matematikens och konstarternas beröringsområden och diskutera hur dessa områden kan berika varandra i strävan att utveckla lärandet. Anita Sandahl är lektor i pedagogik med inriktning mot matematik vid Högskolan för lärande och kommunikation i Jönköping. Hon har lång erfarenhet av grundskolans skolmatematik som lärare, lärarutbildare och forskare. Anita har skrivit böcker för lärare. Föreläsning Alla Dokumentation Kan matematik vara konst? Kan konst vara matematik? Javisst, säger en del människor, medan andra säger vadå?. Finns det matematik i musik? Eller uttryckt på ett annat sätt - kan matematik låta? Att matematiken kan finnas i bildkonsten är nog möjligt för många människor att både se och förstå. Att matematiken finns omkring oss är ett vanligt uttalande som ofta följs av exempel på vad som är synligt för ögat och som syftar på form och föremål, det vill säga antal. Exempel är när pythagoréerna i Kroton betraktade matematiken som tal eller uppfattningar av form, men även som att musikaliska harmonier kan beskrivas som matematiska proportioner. Att matematiken alltid finns i vår närhet, synlig och osynlig, är naturligtvis sant. Den är då oftast hanterad och uttryckt på något sätt. Konstarterna har till sin form möjlighet att göra våra liv i vardagen mer begripliga för oss och kan öppna våra sinnen för känsla och förståelse, vilket leder till nya erfarenheter av kunskaper. Både matematiken och konstarterna har sitt ursprung i ett mänskligt behov och i nyfikenhet. Att försöka beskriva matematikens och konstarternas beröringsområden och hur de kan berika varandra är ett sätt att försöka förstå deras användningsområden för att utveckla lärandet i matematik. Att lära sig se för att kunna tillämpa Matematik och olika konstarter är att tänka om något innan man tänker händer inget. Konstarterna och matematiken har mycket gemensamt då de båda uttrycker något specifikt, söker samband och relationer, symmetri och mönster, strukturer och rörelser, är problemlösande samt kräver tolkningar och reflektioner. Allt detta kan förmedlas i en interaktion mellan människor där kommunikation ofta leder till en handling. Hur människor tolkar och uttrycker uppfattningar och föreställningar är en del av människors sätt att kommunicera i en handling. För att handlingen skall bli begriplig måste den ske i ett meningsfullt sammanhang för de människor som är involverade. Både då människor använder sig av matematik och konst upptäcker, utvecklar och använder individen sig av olika sinnen för att uttrycka något. För ett matematiskt kunnande är nog synen det viktigaste sinnet. Seende som observation eller träning av det tredje ögat är en färdighet som medborgaren idag måste behärska. Men beroende på de erfarenheter vi har är vår uppmärksamhet olika. Strindberg (1900) skrev att vi borde lägga märke till att den ena människan kan se det, som andra inte ser och att vi därför inte ska vara så säkra på våra ögon. 1

2 Undervisning i matematik har varit precis som en gång i tiden då den blivande konstnären tränades i att avbilda mästarens verk. Eleverna tränades i hantverket för att senare kunna tillämpa det. Det fanns bara ett rätt sätt. Detta har i olika utbildningssammanhang levt kvar och metoden var mycket stringent, först kommer detta sedan detta etc. Oftast fick eleven inte gå vidare i sina studier utan att behärska kunskaperna i en särskild ordning. På ett likartat sätt fanns detta uttryckt i Läroplan för grundskolan Referens Strindberg, A. (1900). Påsk. I: Samlade skrifter. Stockholm: Bonniers förlag,

3 702 Undervisning av elever med matematikkvansker (dyskalkuli) Problemstilling: Hvordan kan vi gi elever med matematikkvansker en tilpasset opplæring innen klassens rammer? Vi har i dag en undervisning som bare treffer 80% av elevene! Denne påstanden vil bli drøftet for å se om den samsvarer med nyere forskning. En vil se på 4 forhold som kan bidra til å utvikle En matematikk for alle i en skole for alle. Dette vil bli illustrert ved bruk av Möbius-båndet og en vil også beskrive den kompensatoriske spesialpedagogikken (som ikke synes å gi hjelp til elever med matematikkvansker). Til slutt vil en skissere alternative måter som lærerne kan bruke til å gi elever med matematikkvansker en tilpasset undervisning. Olav Lunde, seniorrådgiver (magister i pedagogikk) ved Forum for matematikkvansker, Sørlandet kompetansesenter, Kristiansand. Forumet er del av det statlige spesialpedagogiske støttesystemet i Norge. Har utgitt artikler og bøker om matematikkvansker og andre pedagogiske emner. Se Föreläsning Alla Dokumentation Skolematematikken Selv om vi er opptatt av matematikk i dagliglivet, synes jeg mye av innholdet er rettet mot videre bruk innen skolen, i stedet for å være fokusert på den den matematikken vi alle trenger for å mestre vår egen situasjon i fritid og jobb og kunne forstå informasjonen i aviser, radio og TV. (Bradal, 1999) En ny undersøkelse fra Sverige (Engström & Magne, 2003) viser at 15% av avgangselevene i grunnskolen har en matematisk ferdighet som tilsvarer gjennomsnittet for 4. klasse. Ut fra forskning i Norge, er det rimelig å anta at situasjonen er slik her også (Ostad, 1999; Knudsen, 1999). Det er disse eleven som begynner på grunnkurs i videregående skole. Om lag 20 % stryker i matematikkfaget. På enkelte yrkesfaglige linjer stryker % av elevene. Det er de enkle, dagligdagse ferdighetene som beherskes best i den svenske undersøkelsen. Samtidig er dette stoffet lite profilert i den tradisjonelle skole-matematikken. Matematikkvansker Det er uklart hva som menes med matematikkvansker, men følgende definisjon setter søkelyset på et vesentlig kjennetegn: En elev har matematikkvansker når han/hun har stagnert eller gått tilbake i relasjon til en normal faglig utvikling i matematikk, og slik at vanskene representerer et brudd på den jevne og kontinuerlige utviklingen som de fleste elevene følger. (Ostad, 1999) 3

4 Noe av det vi ser som typiske kjennetegn, er følgende: (Se også Geary, 1993) Vansker med tall og operasjoner. - Spesielt telling! Usikker bruk av penger, veksling Uklare abstrakte begreper som tid og avstand Usikker retningsoppfatning (høyre/venstre), orientere seg i rom Svake til å se, oppfatte og huske mønstre Vansker med å følge regler og sekvenser i f. eks. sport, leker, spill ( Rekkefølge ) Svak sekvensiering, problem med å organisere detaljert informasjon, huske og bruke tallfakta En matematikk for alle i en skole for alle Slike festtaleord trenger ofte litt refleksjon. Mener vi en matematikk som har blitt lært av alle? Eller mener vi kan bli lært av alle? Eller tenker vi at den bør bli lært av alle? - Eller menes det at den skal bli lært av alle? Og hva betyr alle? Kan vi angi det i prosent av den totale elevmengden? Og ikke minst: Skal matematikken være den samme for alle? Mener vi en matematikk eller mener vi èn matematikk? Har alle bruk for den samme mate-matikken? Jeg tror det har noe med sosial kompetanse å gjøre: mestre sin egen hverdag. (Se Dalvang & Rohde, 1998) I gamle dager hadde vi praktisk regning. Jeg tror mange elever i dag opplever matematikken som upraktisk regning noe de ikke har bruk for. Dagens skolematematikk: Den segregerende matematikken Slik beskriver Peder Haug dagens situasjon i norsk skole: (Haug, 1999) Enten får eleven en individrettet hjelp (enkeltelever, små grupper) med samme innhold som i spesialskolen, eller eleven er i klassen med kollektiv undervisning, utformet slik det var før det ble lovpålagt å gi hjelpeopplæring i norsk skole (- preget av oppbevaring og tidtrøyte ). Fremdeles dominerer undervisnings-mønstrene som ble etablert ved de store spesialskolene og i den gamle folkeskolen. Den segregerende tenkingen innen matematikken, kan vi illustrere slik: OOOOO OOO = 10 2 = Matematikk er noe ferdig som reproduseres Det finns alltid bare ett rett svar Alt er fast og bestemt Vanskelig kan ikke Ser ikke sammenhengen mellom de fire regningsartene Fra potensiale til forståelse og ferdighet Jeg oppfatter det slik at spesialpedagogikken skal hjelpe elever med spesielle behov til å kunne utnytte sitt læringspotensiale. Målet er en matematisk forståelse og ferdighet som kan brukes i daglige situasjoner både i yrke og fritid. Umiddelbart synes problemstillingen En matematikk for alle i en skole for alle å være umulig å løse. La oss la det ligge litt. 4

5 Jeg vil utfordre dere på et annet problem: Klipp en papirremse, cm lang og 2-3 cm bred. Øverst på stripen skriver du en A. Og nederts, men på andre siden, skriver du en B. Utfordringen er å trekke en linje (ikke nødvendigvis rett) fra A til B uten å gå over kanten, uten å brette papiret og uten å løfte blyanten fra papiret. Det er umiddelbart ikke enkelt! Men hvis vi gjør en vri tenker litt annerledes, går det meget lett: Du vrir bare den ene enden av papirremsen rundt (180 0 ) og hefter dem sammen med en stiftemaskin. Nå er A og B på samme siden! 1 Problemet med at A og B er på hver sin side (elev A og elev B?), er nå opphevet ved at vi har gjort en vri som omdefinerer hele problemstillingen. Nå kan vi trekke en slik linje fra A til B. Men linjen blir lang bare prøv! - Dette er ingen snarvei til målet. En annen erfaring med Möbius-båndet er at hvis jeg klipper langs linjen jeg laget, har jeg fortsatt bare ett bånd. Men det er blitt mye videre! Det omfatter, inkluderer mer. I Danmark bruker de betegnelsen en rummelig skole i stedet for inkluderende skole. 2 Den spesialpedagogiske vrien i matematikkdidaktikken Jeg festet vrien med en stiftemaskin. Jeg ser i dag for meg at denne vrien holdes fast av fire slike stifter. Det er: 1. Lærevanskebegrepet må skiftes ut med mestrings-begrepet. En defektologisk tenking må erstattes av en konstruktiv tenking. 2. Vi må ha multifunksjonelle læremidler som kan tilpasses og brukes av ulike elever alt etter det læringspotensialet de har. 3. Vi må ha en differentiell didaktikk, dvs. en didaktikk som utformes for elever med spesielle behov i matematikk, f. eks. ADHD, Downs syndrome, døve, blinde, lese- og skrivevansker, CP, språkvansker, to-språklighet osv. Kanskje vi også må vurdere de begavede og gutt/jente her. 4. Vi må ha en mulighetsplan, ikke en læreplan. I Forum for matematikkvansker ser vi for oss Kunnskapens tre. 3 Dette er en mulighetenes plan for matematikkmestring! Den enkelte eleven har sin egen klatrerute i treet, sin egen plan for hvordan han vil klatre eller lære. Hver elev får sin egen, individuelle plan innen den felles mulighetsplanen med en felles arena og en felles stamme! Dette er kanskje noen av kjennetegnene på den romslige, inkluderende skolen. (Lunde, 2004) Om fremtidens spesialpedagogikk: Den inkluderende matematikken Tenkingen bak den inkluderende matematikken, kan vi illustrere slik: 1 Dette kalles et Möbius-bånd etter den tyske matematikeren August Ferdinand Möbius ( ). 2 Se Lunde, O.: Rummelighed i matematik. Bok A, B og C. Forlag Malling Beck, København Basert på en ide av Tone Dalvang, Forum for matematikkvansker. 5

6 O O O O O O O O - Hva kan du gjøre? - Lag tallet 8 på ulike åt! Matematikk er en spennende verden å utforske Det kan finnes mange rette svar Man kan leke med tall! Alle kan gjøre noe! Oppdager selv matematiske sammenhenger Et mulig startsted for en inkluderende matematik Matematisk forståelse og ferdighet = Læringssituasjonen (spesielt hvordan læreren spør) + Elevens språkferdighet ( matteord ) + Elevens tankestrategier (generelle strategier) Målet for alle, --- men i varierende grad Elevaktivt multifunksjonelt materiell Samtale oppdage sammen! Bruke i nye situasjoner En annerledes didaktisk tenking! Før var problemstillingen: - Hva skal vi gjøre med Per for at han skal få til matematikken? Nå blir problemstillingen: - Hva skal vi gjøre med matematikken for at Per skal få den til? Referanser: Bradal, R. (1999): Synspunkter på matematikk i utdanningen sett i lys av matematikkens rolle på to utvalgte arbeidsplasser. Nordic Studies in Mathematics Education, vol. 7, no. 2 Dalvang, T. & Rohde, (red.) (1998): Matematikk for alle. - Rapport etter LAMIS s 1. sommerkurs. Caspar Forlag, Bergen, Engström, A. & Magne, O. (2003): Medelstad-matematik. Hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet enligt Lgr 69, Lgr 80 och Lpo 94? Rapporter från Pedagogiska Institutionen, Ôrebro Universitet, No. 4 Geary, D.C. (1993): Mathematical Disabilities: Cognitive, Neuropsychological, and Genetic Components. Psychological Bulletin, 1993, vol 114, no. 2, p. 345ff Haug, P. (1999): Spesialundervisning i grunnskulen. Grunnlag, utvikling og innhald. abstract forlag as, Oslo, 1999 Knudsen, G. (1999): Kartlegging av grunnkurselevers manglende matematikkferdighet og holdninger til matematikk. Hovedfagsoppgave i spesialpedagogikk, Inst. for spesialpedagpgikk, Universitetet i Oslo, Lunde, O.(2004): Spesialpedagogisk kompetanse i det fagdidaktiske området. Spesialpedagogikk, nr. 5/2004 (Temanummer om den inkluderende skolen.) Ostad, S. (1999): Elever med matematikkvansker. Studier av kunnskapsutviklingen i strategisk perspektiv. UNIPUB Forlag, Oslo 6

7 703 Nasjonale pröver i matematikk i Norge. Fra skriftlige til nettbaserete pröver I Norge ble skriftlige nasjonale prøver i matematikk gjennomført for første gang i 2004, og nettbaserte for første gang på et trinn i Forelesningen omhandler bakgrunn for prøvene, kompetanser vektlagt ved utforming av oppgavene, erfaringer ved praktisk gjennomføring, og resultater av analyser gjort internt og eksternt. Et viktig område er hvordan læreren kan bruke resultatene i egen undervisning. Det vil bli vist eksempler på oppgaver fra den nettbaserte prøven. Grethe Ravlo og Guri A. Nortvedt arbeider begge ved Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen (NSMO) ved Norges teknisk - naturvitenskapelige universitet i Trondheim (NTNU). Grethe Ravlo er prosjektleder for nasjonale prøver i matematikk, og Guri A. Nortvedt er prosjektmedarbeider og analyseansvarlig. Föreläsning Gr Dokumentation Om nasjonale prøver i matematikk i Norge: Fra skriftlige til nettbaserte prøver, og hva vi har lært av gjennomføringene i 2004 og Historikk fikk Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen (NSMO), Telemarksforskning på Notodden (TFN), og Institutt for lærerutdanning - og skoleutvikling (ILS) ved Universitetet i Oslo, i oppdrag fra Utdannings- og forskningsdepartementet (UDF) å starte utviklingen av nasjonale prøver i matematikk. Koordineringsansvaret ligger hos NSMO i Trondheim. Prøvene har mange formål. De skal si noe om tilstanden i utdanningssektoren og slik være grunnlag for iverksetting av nødvendige tiltak. De skal si noe om kvaliteten i opplæringa på det enkelte lærested som grunnlag for å få til forbedringer ved å sette i gang utviklingsarbeid, og de skal kunne brukes til å tilrettelegge undervisninga for den enkelte elev. I formålet ligger også at prøvene skal kunne registrere utvikling over tid. Å utvikle prøver som har tidsramme på to timer og tilfredsstiller alle disse kravene, er et mangesidig oppdrag som har vist seg vanskelig å oppfylle. Oppdraget til faggruppen var å lage etappemål for 4., 7., 10. og 11.trinn, - basert på læreplanens kompetansekrav. Det skulle lages prøver for de samme trinnene med rette- og vurderingsveiledning, og det skulle utarbeides rutiner for tilbakemelding og rapportering. De første prøvene skulle avholdes våren På sikt er kravet at materiellet skal være elektronisk basert. I oppdraget ligger kursing av eksterne vurderere og i ettertid er bestillingen utvidet til også å omfatte veiledning i pedagogisk etterbruk av prøvene. Prosjektet skal på sikt resultere i et kompetanseløft for matematikklærere i Norge. 7

8 Status Våren 2004 ble det gjennomført obligatorisk skriftlig prøve på 4. og 10.trinn for første gang. I konseptet ligger at læreren selv retter prøvene til egne elever. Derfor ble alle lærere som gjennomførte prøven i egne grupper, kurset i vurdering av prøvene. I 2005 var omfanget av de skriftlige prøvene utvidet til også å omfatte 7. og 11. trinn, dvs gjennomføring for fire trinn totalt, og det ble i tillegg tilbudt en frivillig elektronisk prøve på 7. trinn elever gjennomførte den elektroniske prøven som var beregnet å ta 45 minutter. For de skriftlige prøvene har prøvetiden vært 90 minutter på 4. og 7., og 120 minutter på 10. og 11. trinn. 10. og 11. trinn har hatt lommeregner som mulig hjelpemiddel på deler av prøvene. Prøvene trykkes på bokmål og nynorsk, nordsamisk (4. og 7. trinn), tegnspråk og døveskrift. I 2005 som i 2004, ble alle lærere som skulle vurdere besvarelsene, kurset i vurdering. I 2005 var det i tillegg kursing i pedagogisk etterbruk. Både i 2004 og i 2005 har prøvene vært evaluert av ulike eksterne grupper. Disse evalueringene konkluderer med at man tilrår å gjøre endringer på prøvegjennomføring og videre utvikling av prøveformatene ser derfor ut til å bli et pauseår uten obligatorisk gjennomføring, men med høy intensitet på videreutvikling av prøvene. Vi avventer beslutning som skal tas på politisk nivå. Faggruppas fokus Vi har lagt vekt på å utvikle reliable og valide prøver som måler elevenes helhetlige matematiske kompetanse på en god måte, og som er basert på gjeldende læreplans kompetansekrav. Som definisjon på helhetlig matematiske kompetanse har vi brukt Mogens Niss` (2002) definisjon. ( ). Denne måten å dele opp matematisk kompetanse på, ligger også til grunn for PISA prosjektet. Prøvene består av et bredt spekter av oppgaver. Her er flervalgsoppgaver, oppgaver der elevene skal skrive et kort svar, og åpne oppgaver der det kan være flere korrekte svar eller løsningsmetoder. Det er viktig at elevene får vist ikke bare kunnskaper og ferdigheter, men også forståelse og evne til å utføre. Ved utvikling av oppgavene har vi fokusert på elevens rett, uansett funksjonsnivå til å delta på de nasjonale prøvene. Skolene skal tilrettelegge for gjennomføring for elever med spesielle behov, men enkelte elever kan etter gitte retningslinjer, fritas fra prøvene. Kompetanseområder Matematisk kompetanse kan deles inn i to hovedgrupper som igjen kan deles inn i flere komponenter. De to hovedgruppene er å spørre og svare i, med og om matematikk og å omgås språk og redskaper i matematikk. Elever som tar en nasjonal prøve, skal få en kompetanseprofil. Denne profilen består av tre kompetanseområder, som er konstruert på bakgrunn av innholdet i de to hovedgruppene over. Innenfor det ene området måles kompetanse i representasjoner, symbolbruk og formalisme. Det andre måler resonnement, tankegang- og kommunikasjonskompetanse, og det tredje måler evne til anvendelse, problembehandling og modellering. Hjelpemateriell og vurdering Til vurderingen har vi utviklet en kodebok med elevsvar fra pilotering. Her listes de vanligste elevsvarene opp, både korrekte og gale svar. Hvert svar vurderes med kode og poeng. Poengene relateres til et tall på en femdelt skala, og slik fremkommer en elevs kompetanseprofil. 8

9 I et regneark er det lagt inn analyse på en del av oppgavene slik at læreren kan få oversikt over hvilke feilsvar som er mest vanlig. Kodene gir læreren opplysning om slike feilsvar. Da kan læreren lettere gå inn og ved undervisning korrigere misoppfatninger. Nettbasert prøve Den nettbaserte prøven inneholder en blanding av flervalgsoppgaver, tall som skal dras til riktige posisjoner, pusleoppgaver og opplysninger som skal rangeres. Vi har fått tilbakemeldinger om at dette er en form som både elever og lærere ser positivt på, og de ser fram til videreutvikling av konseptet. Hva forteller interne og eksterne analyser av prøvenes kvalitet? Prøvene skal verken ha bunn- eller takeffekt. Det betyr at alle elever skal oppleve mestring samtidig som de skal møte utfordringer. Prøvene for 4. trinn har lavere vanskegrad enn prøvene på de øvrige trinnene. På 10. og 11. trinn har det til dels vært boikott av prøvene både i 2004 og 2005, så for disse trinnene må man være varsom med tolkning av prøveresultatene. De eksterne evalueringene anbefaler at det ikke publiseres resultater for 11. trinn. De nettbaserte prøvene er kun evaluert internt. Både i 2004 og i 2005 ble det trukket ut et utvalg elevbesvarelser på alle trinn for ekstern evaluering. I 2005 ble utvalget også tillatt brukt til utvalgsundersøkelse for faggruppene som konstruerer prøvene. Disse elevbesvarelsene er vurdert både av elevenes lærer og av ekstern vurderer. De ulike eksterne og interne evalueringene viser at prøvene har høy validitet i forhold til læreplanverket for grunnskole og videregående skole. Analysene av prøvene viser at prøvene har høy reliabilitet, både når det gjelder at prøvene måler det de er ment å måle 4 og når det gjelder samsvar mellom sensorer 5 (Lie et all, 2005). I utgangspunktet ønsket myndighetene publisering av skoleprofil for hver skole. Det har ikke vært mulig verken for 2004 eller for Dels skyldes dette at enkelte kompetanseområder samvarierer for mye, dels at det er for få oppgaver innenfor det enkelte området til at man kan måle det bredt nok. Her drøfter faggruppen for tiden ulike tiltak som kan hjelpe oss i arbeidet med å konstruere prøver som kan gi reliable elevprofiler. Nettbaserte prøver Problemene vi har støtt på når det gjelder de skriftlige prøvene, ser også ut til å gjelde for de nettbaserte. Fordelen med nettbasert prøve er at man enkelt kan prøve ut enkeltoppgaver, deler av prøvesett og hele prøver. Våren 2005 ble flere slike utprøvinger gjennomført i tillegg til en lukket pilotprøve med utvalg i overkant av 600 elever og en åpen pilotering. Den åpne piloteringen ble gjennomført som en frivillig prøve der skoler som ønsket å delta, meldte seg elever fordelt på 491 skoler deltok. Dette er i underkant av 10 % av elevkullet. Den frivillige prøven var ikke en fullskala pilot i den forståelse at den var en hel prøve. Prøven bestod av 23 oppgaver fordelt på de tre kompetanseområdene. Elevene kunne selv velge i hvilken rekkefølge de ville besvare oppgavene, og de kunne gå tilbake til en oppgave og løse den på nytt. I snitt brukte elevene omtrent 35 minutter, og de fikk 19,5 poeng 4 Chronbachs alpha for hel prøve varierer mellom 0,89 og 0,9. 5 Samsvar mellom vurderere ligger for de fleste oppgavene opp mot 100 %. Der det er forskjell har lærer en tendens til å vurdere besvarelsen som litt bedre enn hva ekstern vurderer gjør. 9

10 av 36 mulige. Verken på skriftlige eller nettbaserte prøver viser prøveresultatet signifikante forskjeller mellom hva jenter og gutter presterer. Elevenes holdninger til nettbaserte prøver Vi har intervjuet et utvalg av elevene som har deltatt i utprøvinger og pilotering av de nettbaserte prøvene. Elevene er godt motiverte for nettbaserte prøver og sier gjennomgående at de synes det er spennende med disse oppgaveformatene. Verken prøvene eller det rent tekniske med å besvare oppgavene, oppleves som vanskelig av elevene. Observasjon av elever i arbeid bekrefter at de ikke har tekniske vansker. Imidlertid begynner elevene ofte å manipulere flyttbare objekter før de leser oppgaveinstruksjoner og tekst. Dette er en utfordring for faggruppen. Lærernes holdninger til nettbaserte prøver Også et utvalg lærere er intervjuet. Som elevene er lærerne positive til nettbaserte prøver. Lærerne ser fordeler som at prøvene oppleves motiverende for elevene, og at prøvene rettes automatisk. Det dynamiske i matematikken kommer frem ved at elevene kan manipulere objekter på skjermen, noe som er svært positivt i følge lærerne. I 2004 fikk lærerne kun ut profilen til hver enkelt elev. Dette oppleves som frustrerende. Lærerne ønsker å ha tilgang til den enkelte elevens besvarelse også etter at prøven er avsluttet, for å kunne bruke den i etterarbeid med eleven. Faggruppen arbeider derfor nå med ulike modeller for hvordan dette kan løses, og ønsker å få til en modell der læreren kan hente ut opplysninger om enkeltelever på tilsvarende måte som på de skriftlige prøvene. Avslutning I Norge er vi fortsatt på begynnerstadiet når det gjelder utvikling av nasjonale prøver i matematikk. To gjennomføringer med etterfølgende evalueringer har resultert i mye informasjon som vi trenger tid til å analysere grundig. Rådgivere for politisk nivå er i ferd med å utarbeide et nytt rammeverk for nasjonale prøver. Faggruppene med ansvar for prøvene må vurdere egen prøveutvikling blir derfor et pauseår for gjennomføring av prøver. Det er et mål både for faggruppen og for myndighetene å videreutvikle de nasjonale prøvene i matematikk slik at de tilfredsstiller høye faglige krav. Det er også et mål å gå fra skriftlige til nettbaserte prøver i løpet av den neste utviklingsperioden. Årsaken til dette er at nettbaserte prøver kanskje gir elevene noen muligheter som skriftlige prøver ikke kan oppfylle. Samtidig vil innføring av nettbaserte prøver flytte lærerens tidsbruk fra retting til vurdering. Læreren vil i fremtiden måtte bruke sin tid på å tolke elevenes resultater og til å vurdere hva disse forteller om elevenes kompetanse. Innføring av nettbaserte prøver vil gå raskest for de eldste elevene. For de yngste elevene vil vi arbeide parallelt med skriftlige prøver og frivillige nettbaserte prøver. Referanser: Morgens Niss og Thomas Højgaard Jensen, 2002: Kompetencer og matematiklæring ideer og inspirasjon til udvikling af matematikundervisning i Danmark Svein Lie, Therese N. Hopfenbeck, Elisabeth Ibsen og Are Turmo, ILS, UIO, 2005: Nasjonale prøver på ny prøve 10

11 704 Små barn skapar rum, former och mönster Det beskrivs hur förståelse för rum, form och mönster kan utvecklas genom bygg- och konstruktionslek ute och inne och med olika material. Hur lärare kan skapa förutsättningar som lockar och utmanar flickors och pojkars deltagande i bygglek exemplifieras: - Lek, sand och vatten - Bygglek och genusperspektiv - Muminhuset - Olika material - olika möjligheter Föreläsningen ingår i serien om SMÅ BARNS MATEMATIK, NCM:s redovisning av Pilotprojektet för förskolan. Annika Persson, förskollärare i Brunnsängsskolan i Södertälje och handledare i Pilotprojektet i matematik vid Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM. Föreläsning Fö Dokumentation För att lärare ska kunna synliggöra ett matematiskt innehåll i barnens aktiviteter, lek och utforskande, behöver de ha egna matematiska upplevelser och erfarenheter. Ett av projektets syften var att lärarna skulle göra egna upptäckter och reflektera kring dessa. Vi får ta del av hur lärare utforskar rum, form och mönster i utemiljön, utmanas att se med nya ögon på fenomen i omvärlden. De kan direkt omsätta sina erfarenheter i arbetet med barnen. En grupp 2-3 åringar utforskar begreppet runt, gör upptäckter inne och ute. Vad finns det som är runt inne? Och ute? De bearbetar på olika sätt, jämför former och sorterar, uppfattar likheter och skillnader. I rörelseleken ges upplevelser av innanför och utanför, stora och små cirklar, många barn och några barn. Byggleken är en omfattande del av vardagen där barn kan få grundläggande erfarenheter av form och geometri och problemlösning som hör konstruktionsarbetet till. Här utforskar barnen formers egenskaper, storleksförhållande, de mäter och gör jämförelser. Utifrån sin inre bild av det de vill bygga väljer de klossar som passar, kombinerar delar till en helhet. De skaffar sig erfarenheter och grundläggande kunskap om hur former kan delas och sättas ihop. De experimenterar kring jämvikt och tyngd, symmetrin spelar ofta en självklar och viktig roll. Allteftersom deras erfarenheter av omvärlden blir rikare, letar barnen förebilder till sina konstruktioner på olika håll, ute och inne, i verkligheten eller andra ställen. I två olika arbeten får vi ta del av hur barn bygger med olika material och efter olika förebilder. De har båda sitt ursprung i sagan, men det ena finns i verkligheten, det andra är ett samarbete utifrån två barns inre föreställningar av en sagomiljö. Kring byggleken uppstår många tillfällen att fundera på flickors och pojkars delaktighet. Dominerar pojkarna i byggrummet? Hur får vi flickorna att uppleva byggandet som en 11

12 meningsfull aktivitet, med tanke på de möjligheter till matematiskt tänkande som kan utvecklas där? Barn fascineras av och skapar gärna mönster. Det tycks finnas en intuitiv känsla för att skapa ordning och strukturer, både för funktionens och för skönhetens skull. I barns byggen, i teckningar och målningar finns ofta symmetriska mönster. På en syskonavdelning har man samlat mönster, på kläder, djur och från olika miljöer. För att utveckla förståelsen kring hur mönster kan var uppbyggda genom upprepningar och symmetrier, har barnen lagt egna mönster, fortsatt på varandras. De har beskrivit och skapat mönster med olika material. Att lägga pärlplattor är en ofta förbisedd möjlighet att utveckla känslan och förståelsen för form och mönster. Från de slumpmässigt utlagda pärlorna utan ordning uppstår en lust sortera utifrån färg. Sedan kan de ordnas så att former och relationer mellan former uppstår inom ramen för plattans form. Om vi är delaktiga i deras konstruerande, kan vi ge dem utmaningar, få dem att reflektera kring upptäckterna. Referenser Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran (red.).(2006) Små barns matematik. Under tryckning. Göteborg: NCM Emanuelsson, Göran & Doverborg, Elisabet (red.). (2006) Matematik i förskolan (Nämnaren TEMA) Under tryckning. Göteborg: NCM 12

13 706 Hur får vi fler elever med god taluppfattning och goda räknefärdigheter? Om arbetet med en ny Handbok för lärare med ansvar för elever i behov av särskilda undervisningsinsatser kring taluppfattning, räknesättens innebörd och räknefärdigheter. Om diagnostisering och uppföljning av styrka och svagheter i elevernas kunnande. Föreläsningen kommer delvis att hållas på engelska. Alistair McIntosh, NCM och Nasjonalt senter for matematikk i uppläringen Göran Emanuelsson, NCM, Bengt Johansson, NCM Ingvill Stedøy, Scientific Director of the Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen, NTNU. Workshop Fö Gr 13

14 707 Matematik på modersmål I Stockholms stad pågår, i Kompetensfondens regi, ett utvecklingsprojekt med syfte att skolor ska finna former för att ge elever med annat modersmål än svenska, undervisning i matematik på både svenska och modersmålet för att utnyttja den potential som flerspråklighet innebär. Projektet bedrivs ht 05 på sex skolor och omfattar elever med arabiska, somaliska och turkiska som modersmål. Olika skolor prövar olika organisationsmodeller, vilket innebär att tvåspråkiga och svenskspråkiga matematiklärare involveras i undervisningen i olika omfattning. Irene Rönnberg och Lennart Rönnberg är projektledare i Stockholm stad och grundskollärare i Botkyrka kommun. De har skrivit skolverksrapporten Minoritetselever och matematikutbildning en litteraturöversikt. Föreläsning Alla Dokumentation Språket har stor betydelse som verktyg för tänkandet i lärandeprocessen (Vygotsky,1986). För att elever ska utveckla begrepp är det nödvändigt att de får tillfälle att bearbeta dem språkligt, vilket sker genom reflektion och kommunikation (Barnes, 1978). Detta gäller även begreppsutveckling i matematik (Pimm, 1989; Ernest, 1994; Bratt & Wyndhamn, 1996; Hiebert m fl, 1997; Alrö & Skovsmose, 1999). Språket är inte bara nödvändigt för att utveckla och kommunicera kunskap. Det vi lär oss är dessutom nästan oupplösligt sammankopplat med vår förmåga att kommunicera motsvarande kunnande (Barnes, a.a.). Om undervisningen sker på ett annat språk än modersmålet, ett andraspråk som eleven inte helt behärskar, kommer detta att utgöra ett hinder för eleven, inte bara för att eleven har svårt att språkligt förstå undervisningens innehåll, utan också för att möjligheterna till kommunikation blir sämre. Enligt Thomas och Collier (1997) går såväl elevernas kognitiva utveckling, som utvecklingen i skolämnena, långsammare om de bara undervisas på ett andraspråk. Eleverna har mycket svårt att komma ikapp jämnåriga elever som har undervisningsspråket som förstaspråk. Om nya begrepp introduceras på ett språk eleven inte behärskar, måste eleven kämpa med två okända storheter samtidigt, både språket och begreppet. Denna dubbla uppgift gör lärandet mycket svårt (Kilborn, 1991; Garrison & Kerper Mora, 1999). Thomas & Collier har i sin undersökning konstaterat att elever som gått i tvåspråkiga program med ämnesundervisning på ålderadekvat nivå i båda språken däremot inte bara kommer ikapp enspråkiga engelsktalande kamrater i alla skolämnen utan också når ett genomsnittligt bättre resultat än dessa. Ramirez har genomfört en åttaårig longitudinell studie som jämför effektiviteten i tre olika sätt att organisera ämnesundervisningen för andraspråkselever. Studien refereras i en sydafrikansk forskningsöversikt (JET, 1997). Eleverna delades in i tre grupper. En grupp undervisades enbart på engelska redan från början. Den andra gruppen hade, förutom att undervisningen var organiserad som för den första gruppen, också 40 min undervisning per dag på sitt modersmål spanska under de första tre åren. Den tredje gruppen hade 40 procent av undervisningen på spanska och en gradvis introduktion till engelskspråkig undervisning fram till och med slutet av det sjätte skolåret. Resultaten av studien visar att de första två grupperna höll jämna steg med engelskspråkiga kamrater under de första tre åren men att de sedan mer och mer kom efter i kunskapsutvecklingen, särskilt i matematik. Vid studiens slut, hade den 14

15 tredje gruppen däremot passerat de båda andra i andraspråket engelska och deras färdigheter i engelska låg över genomsnittet för deras engelskspråkiga kamrater. Projektet Matematik på modersmål startade läsåret Tre olika organisationsmodeller prövas: - all undervisning bedrivs av den tvåspråkige läraren (en av skolorna) - eleverna har hälften av lektionerna på svenska och hälften på sitt modersmål - undervisningen på modersmålet sker på tid utöver den ordinarie undervisningen som enbart sker på svenska. Ett villkor för deltagande i projektet är att de lärare som undervisar i matematik på modersmålet, och de lärare som undervisar berörda elever i matematik på svenska, träffas regelbundet i nätverk för handledning och erfarenhetsutbyte. Projektet matematik på modersmål flexibelt lärande För att ge de elever som har modersmål som talas av enstaka elever på en skola möjlighet till undervisning på modersmålet, finansierar Kompetensfonden i Stockholms stad också ett projekt i syfte att utveckla material och metoder för tvåspråkig distansundervisning i matematik. De språk som berörs i första skedet är spanska, arabiska och persiska. I föredraget presenteras några av erfarenheterna från projekten. Vi är intresserade av kontakter med skolor som prövar/bedriver undervisning i matematik på modersmålet Referenser Alrø, H. & Skovsmose, O. (1999). Samtalen som et støttende stillads. Køpenhamn: Danmarks Lærarhøjskole. Barnes, D. (1978). Kommunikation och inlärning. Stockholm: Wahlström & Widstrand. Bratt, B. & Wyndhamn, J. (1996). Språket Vår mentala tumme Nämnaren 18(3/4), Ernest, P. (1994). The Philosophy of Matehematics and the Didactics of Mathematics. In R. Biehler, R, W. Scholz, R. Strässer & B. Winkelmann (Eds.), Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Garrison, L. & Kerper Mora, J. (1999). Adapting mathematics Instruction for English- Language Learners. The Language-Concept Connection. In L. Ortiz-Franco, N.G. Hernandez & Y. De La Cruz (Eds.), Changing the Faces of Mathematics:Perspectives on Latinos (pp ). Reston,VA: NCTM Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A. & Human, P. (1997). Making Sense, Teaching and Learning Mathematics with Understanding. Portsmouth, NH: Heinemann. JET. (1997). Teaching in Multilingual Classes: A Report of a Literature Survey Commissioned by the Joint Education Trust. Johannesburg: JET/DANDA. Kilborn, W. (1991). Matematikundervisning och hemspråk. Nämnaren 18(3/4), Pimm, D. (1989). Speaking Mathematically Communications in Mathematics Classrooms. London: Routledge. Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2001). Minoritetselever och matematikundervisning. En litteraturöversikt. Stockholm: Skolverket. 15

16 Thomas, W. & Collier, E. (1997). School Effectiveness for Language Minority Students. NCBE Resource Collection Series, No. 9. George Washington University. Downloaded from NCBE web adress: Thomas, W. & Collier, E. (2001). A National Study of School Effectiviness for Language Minority Students Long-Term Academic Achievemen. CREDE Vygotsky, L. S. (1986). Thought and Language. Cambridge: The MIT Press. 16

17 708 Lässvårigheter och lärande i matematik Många elever saknar tillfredsställande skriftspråklig och matematisk kompetens när de lämnar skolan. Forskning om sambanden mellan lässvårigheter och matematiksvårigheter är intensiv. Ger lässvårigheter upphov till matematiksvårigheter? Kan det finnas bakomliggande faktorer som påverkar båda områdena, var för sig? Föreläsningen redovisar aktuella forskningsbaserade rön om sambanden mellan lässvårigheter och lärande i och om matematik. Under föreläsningen ges många förslag på undervisningsupplägg och aktiviteter som kan bidra till att förebygga svårigheter och underlätta lärandet. Likheter mellan att lära sig läsa och att lära grundläggande aritmetik. Finns det samband mellan arbetsminne, lässvårigheter och matematiksvårigheter? Läsförståelse och problemlösning i matematik - hur hänger det ihop? Görel Sterner arbetar som projektledare vid Nationellt Centrum för matematikutbildning (NCM) och är specialpedagog, verksam vid Käpplundaskolan i Skövde. Föreläsning Gs Dokumentation Elever som har svårt med läsning kämpar ibland också med matematiken. I själva verket har en stor del av de elever som är i behov av särskilda utbildningsinsatser i skolan svårigheter både med läsning och med matematik. Men en del elever som har lässvårigheter har inte några som helst problem med matematik, eller tvärtom; elever med matematiksvårigheter kan vara alldeles utmärkta och hängivna läsare. Bakgrunden till lässvårigheter och matematiksvårigheter kan vara många. Ibland kan orsaker finnas i miljön. En kaotisk uppväxt, hög frånvara eller bristfällig undervisning är exempel på sådana faktorer. Minoritetselever som nyss har kommit till Sverige kan kanske inte tillgodogöra sig undervisningen på grund av att de inte förstår språket. Men det finns också andra bakgrundsfaktorer kopplat till läsningens och matematikens områden, som vi behöver ha kunskap om för att kunna skapa en god undervisning för alla elever. Forskning om sambanden mellan lässvårigheter och matematiksvårigheter är mer begränsad är forskning om enbart lässvårigheter, men det finns en del rön som ur pedagogiskt perspektiv är betydelsefullt för lärare att ta del av. En viktig aspekt av människans kognitiva system är arbetsminnet. Ett väl fungerande arbetsminne är av kritisk betydelse när det gäller att hålla information aktuell i medvetandet under tiden som man t ex utför en multiplikation eller en räkneoperation i huvudet. Ett gott arbetsminne krävs också när man ska läsa långa ord, eller långa meningar och stycken. Då måste man minnas vad som stod i början när man kommer till slutet. En person som har ett begränsat arbetsminne kan få problem både med matematiken och med läsningen. En annan faktor har med fonologi att göra. När man ska lära sig nya ord och termer krävs det att man kan bygga upp varaktiga och precisa inre ljudmässiga eller fonologiska föreställningar om orden. Fonologiska svårigheter är karakteristiskt för dyslexi. Det innebär att en elev med dyslexi kan få problem med matematiken därför att det är svårt att komma ihåg och hålla isär 17

18 alla matematiska ord och termer. Förmågan att tänka kvantitativt och att lösa problem behöver egentligen inte vara nedsatt. För att bli en god läsare krävs att ordavkodningen automatiseras så att läsaren kan ägna sin mentala kraft åt att tolka och förstå texters innehåll och budskap. På matematikens område kan det handla om att automatisera multiplikationstabellen, att snabbt känna igen en enkel uppgift som en fråga om addition eller att lösa en textuppgift utan att behöva tänka på varje litet steg som ska tas. En elev som har problem med automatiseringsprocesser kan få svårigheter både med läsning och med matematik. Det finns också andra faktorer som rör motivation, koncentration, uppmärksamhet och uppgiftsorientering som är betydelsefulla både i fråga om läsning och matematik. Vi fann i en studie bland 60 elever i åk.3 starka samband mellan förmågan till uppgiftsorientering och läsning och matematik. En positiv uppgiftsorientering innebär en inre vilja att lära sig, att klara ut något som man inte kunde tidigare, en nyfikenhet och ett eget intresse som inte styrs av annat än uppgiftens eller problemets utmaningar. Bristfällig uppgiftsorientering kan visa sig i att eleven hela tiden söker stöd hos den vuxne och bekräftelse på allt de gör. Tilliten till den egna förmågan är bräcklig. Sådana faktorer får naturligtvis betydelse vid läsning och i samband med problemlösning i matematik. Trots allt är det undervisningen som är avgörande för elevens kunskapsutveckling i läsning och matematik och för tron på den egna förmågan att lära. En varm och omsorgsfull pedagogik som bygger på lärares professionella kunnande i fråga om läsning och matematik samt en förmåga att skapa goda relationer med sina elever kan räcka långt. 18

19 709 Matematik ur barnboken Många barn och elever tror att matematik är det som finns mellan pärmarna i en räknebok! För att möta denna missuppfattning har vi arbetat med att synliggöra och vidga den matematik som finns i olika barnböcker. Samtal, diskussioner och resonemang innebär att elever ställer olika hypoteser och drar slutsatser. Matematik är ett kommunikativt ämne. Liksom konst, drama, litteratur och musik kan matematik bli en betydelsefull del av barns kultur och liv. I lärarens uppdrag ingår att barn får lära genom lek, socialt samspel, utforskande och skapande men också genom att iakttaga, samtala och reflektera. Matematik knyter ihop alla ämnen och blir roligt, logiskt, utmanande och uppmuntrar kreativitet. Vi har gjort upptäckter av relationer mellan tal, talföljder, kombinatorik, mönster, symmetri, geometri och mätningar, perspektiv, proportionalitet, skala och diagram. Berit Bergius och Lillemor Emanuelsson är lågstadielärare och arbetar på Nationellt Centrum för matematikutbildning, NCM. Göteborgs Universitet. Föreläsning Fö Gt Dokumentation Många barn/elever och lärare verkar tro att matematik framförallt handlar om räkning och att matematik är det som finns mellan pärmarna i en räknebok! Men läroboken omfattar sällan alla kursplanens mål. Vi vill i vårt bidrag beskriva hur vi arbetat med olika barnböcker för att vidga elevers syn på och upplevelser av matematik. Vi ger bakgrund, exempel, visar dokumentationer och analyser från arbetet. Ett läroplansmål är, att utifrån barns egna erfarenheter och kunnande, lära matematik i skiftande sammanhang, med olika innehåll. Viktigt är då, att stimulera språk och uttrycksformer med lust, kreativitet och nyfikenhet. Ibland har barn/elever haft egna frågeställningar, som de arbetat med att lösa tillsammans. I andra situationer har vi vuxna initierat frågor som utvecklats genom elevers engagemang. Samtal, diskussioner och resonemang innebär att elever ställer olika hypoteser, resonerar, argumenterar och drar slutsatser. Yngre barn behöver sällan motiveras för matematik. De möter matematik under sin förskoletid och det första mötet kan vara avgörande för hur synen på matematik utvecklas. Barn har tidigt i förskolan både informellt och formellt kunnande i och om matematik, som bör tas tillvara som utgångspunkt i arbetet. De tycker matematik är roligt och spännande. Någon gång i trean/fyran händer något. Då blir matematik enahanda och tråkigt, enskilt, tyst arbete. Detta framträder i olika undersökningar: Matematikdelegationens arbete, redovisas i Betänkandet (Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens 2004) SOU 2004:97 och resultatet av Skolverkets kvalitetsgranskning Lusten att lära - fokus matematik (Skolverkets rapport nr 222, 2003). Dessa dokument visar också, att alla aktörer inom skolans värld tillmäter läraren störst betydelse för att bibehålla och utveckla lusten för lärande. Just därför är lärarens inställning och matematiksyn avgörande. Då lärare är positiva till matematik får det betydelse för hur de stimulerar barn/elever och synliggör matematik. Lärares kunskaper i och om matematik utgör grunden för vad de faktiskt gör. Därför är det viktigt att utmana lärares syn på matematik. Vi vill försöka visa att matematik kan finnas i en helhet, där olika delar av matematiken kan 19

20 urskiljas i en och samma situation eller i olika situationer. Det handlar för oss om att utmana synen på vad matematik är och kan vara. I olika sammanhang talar vi om språkutveckling och hur viktigt det är att föräldrar läser för barnen och om mötet med barnböcker. På många BVC får barnen i gåva sin första bok för att läsa och uppleva språket men det finns också massor av matematik i barnböcker. Det talar man däremot inte så mycket om. Föräldrarnas och lärarens frågor hjälper barn att undersöka och gå bakom text och bild för att upptäcka matematik. Matematik knyter ihop alla ämnen och blir roligt, logiskt, utmanande och uppmuntrar kreativitet. Vi menar att vårt arbetssätt kan bidraga till att barns/elevers lärande bli mångsidigt och sammanhängande. Barnböcker vi arbetat med och väljer exempel från: Kattäventyret, Piot och Jósef Wilkon Oscars pinnar, Jeanette Milde Alla mina blad, Imgard Luckt och Josef Guggenmos Petter och hans 4 getter, Einar Norelius Boken om Bella och Gustav, Eva ErikssonEmil i Lönneberga, Astrid Lindgren Sifferdjävulen, Hans Magnus Enzensberger Els Marie och småpapporna, Pija Lindenbaum Lille prinsen, Antoine de Saint-Exupéry Mirabell, Astrid Lindgren Sagor bl.a Hans och Greta Törnrosa Guldlock Vanten Mollan och mor mor, Lena Andersson Det gula mysteriet, Kersti Björkman Krakel Spektakel, Lennart Hellsing Gusten Grodslukare, Ole Lund Kirkegaard Olika faktaböcker om t.ex cirkus, djur, byggnader - slott, växter Referenser Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor (1996). Att stimulera barns intresse för och upptäckter i matematik. I K. Wallby, m fl. (Red.) Matematik från början. NCM. Emanuelsson, Lillemor & Bergius, Berit (1997) Glyfen i tiden. Nämnaren 24(2) För fler referenser se Små barns matematik, Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran. (Red.) (2006) NCM. Göteborgs universitet. 20

21 710 Att dokumentera elevers självreflektion och lärande i matematik - Analysschemat i användning Forskning visar att bedömning har stor potential för en förbättring av elevers lärande. Detta pass kommer att innehålla en kort översikt över angelägna bedömningsaspekter. Därefter beskrivs ett arbete där elever i skolår 7 tillsammans med läraren i matematik reflekterar över sin lärprocess och också formulerar detta skriftligt. Lisa Björklund och Stina Hallén arbetar båda i PRIM-gruppen på Lärarhögskolan i Stockholm. Stina arbetar också 50 % av sin tjänst som lärare i matematik på en 7-9-skola och Lisa är doktorand i didaktik. Föreläsning Gs Dokumentation Inledning I denna dokumentation presenteras ett material som kan vara en hjälp i arbetet med att dokumentera elevens kunskapsprocess, Analysschema i matematik för skolår 6-9. Materialet är utgivet av Skolverket och ett exemplar skickades ut till berörda skolor Det kan beställas hos Liber Distribution Publikationstjänst, I Analysschema i matematik för åren skolår 6-9 är det enbart det som eleven visar att hon/han kan som skrivs ner. I en individuell plan kan nya mål för eleven antecknas. Vi beskriver här tankar kring bedömning och vad det egentligen kan innebära att kunna något. Vi berättar också en del om innehållet i analysschemat. Därefter beskrivs hur det konkreta arbetet på en skola kan gå till. Bakgrund Forskning visar att elever behöver bli medvetna om sin egen kunskapsprocess, om sitt eget lärande. Ett viktigt inslag i denna process är att lärandet beskrivs i ord. I den processen finns två aktörer eleven och läraren. I Lpo 94 står: Skolan skall sträva efter att varje elev utvecklar nyfikenhet och lust att lära, utvecklar sitt eget sätt att lära, utvecklar tillit till sin egen förmåga, utvecklar ett allt större ansvar för sina studier och utvecklar förmågan att själv bedöma sina resultat (sid 11 och 18) I ett arbete där vi strävar efter att uppfylla dessa mål kan analysschemat vara ett användbart redskap. Bedömning Det finns olika sorters bedömning. En bedömning kan kallas summativ. Det är den bedömning som görs som en summering av vad en elev kan vid en viss tidpunkt. De betyg som elever i Sverige får från och med skolår 8 är exempel på summativ bedömning. En annan bedömning är den formativa bedömningen. Det är den bedömning som görs som en del av undervisningen. Ett exempel på formativ bedömning är när läraren gör en fördiagnos innan ett 21

22 arbete med ett område startar och planerar undervisningen med ledning av elevernas resultat på diagnosen. Olika forskare betonar den formativa bedömningens betydelse. Black och Wiliam (2001) har studerat mer än 20 arbeten som alla har undersökt vilken effekt en förbättrad och stärkt formativ bedömning i klassrummet har på elevernas lärande. Alla undersökningar visar liknande resultat, nämligen att elevernas lärande förbättras när bedömningen får högre kvalitet. Flera av undersökningarna visar dessutom att de (så kallade) lågpresterande eleverna förbättrar sina resultat mer än andra elever. Det som är väsentligt när det gäller den formativa bedömningen är att eleverna får feed-back på sina arbeten. De behöver få veta vilken kunskap de visar och också vilka kvaliteter som deras arbeten präglas av. Vidare är det viktigt att de i samråd med läraren kommer fram till vad de ska inrikta sitt arbete i matematik på under den närmaste tiden. När kan en person egentligen något? Det är svårt att veta vad en person egentligen kan. Det vi möjligtvis kan säga något om är vilket kunnande en person visar med sina prestationer. Det är alltså prestationer vi bedömer och inte kunskap. När man använder analysschemat som redskap kan frågan, om när det är dags att skriva något i schemat, uppkomma. Ja, här är inte kraven alls lika hårda som när det gäller att bedöma om en elev exempelvis har kunskap som motsvarar ett visst mål att uppnå. Vi kan skriva något ganska tidigt under en elevs process mot att lära sig något specifikt. Om det exempelvis handlar om att ta reda på arean av olika geometriska figurer så kan en första anteckning vara: Kan ta reda på arean av geometriska figurer genom att använda centimeter-rutat papper. Efter ett tag kan en ny anteckning vara: Kan bestämma arean av rektanglar och trianglar genom beräkning. Efter ytterligare en tid kan infogas nya anteckningar som speglar elevens kunskapsprocess. Materialets innehåll Analysschema i matematik för åren före skolår 6 innehåller allmän lärarinformation och också beskrivningar av hur eleven och läraren kan ta fram underlag för analys och hur analys och dokumentation kan gå till. Vidare finns det hänvisning till uppgifter ur Diagnostiska uppgifter för de tidiga skolåren. Dessutom ingår kommentarer och exempel till analysschemat. I det avsnittet kommenteras analysschemats olika delar och vad analysen kan fokuseras på. Underrubrikerna har samma ordningsföljd som rutorna i analysschemat. Själva analysschemat är ett kopieringsunderlag och en digital version finns på PRIM-gruppens hemsida, Det är strukturerat under rubrikerna Mätning och rumsuppfattning, Sortering, tabeller och diagram samt Taluppfattning. Längst bak i materialet finns en översikt. Översikten visar hur schemats olika delar är relaterade till såväl mål att uppnå som mål att sträva mot. Syftet med översikten är att ge en helhetsbild över det som kan analyseras med hjälp av materialet. Hur visas kunnandet? En person visar sin kunskap i matematik med olika uttrycksformer och i olika situationer. I analysschemat är dessa inordnade under följande struktur. Uttrycksformer: Handling Bild Ord talade och skrivna Symboler informella och formella Situationer: Matematiklektioner 22