Beräkning av solvenskapital för katastrofrisker en partiellt intern modell för ett skandinaviskt skadebolag
|
|
- Sven-Erik Lindqvist
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Beräkning av solvenskapital för katastrofrisker en partiellt intern modell för ett skandinaviskt skadebolag Ett diplomarbete för Den Svenska Aktuarieföreningen av Linda Eidhagen December 2007
2 Analysen och förarbetet till detta arbete gjordes under hösten 2007 så att jag i god tid skulle få ihop allting innan årsskiftet då mitt diplomarbete var tvunget att vara klart för att jag ska kunna bli diplomerad på de gamla reglerna. Men p.g.a. hög arbetsbelastning på kontoret och en kanske inte alltför väl inplanerad semester skedde skrivandet på alldeles för kort tid. Jag har kanske inte varit den trevligaste individ att ha att göra med under denna tid och vill därför tacka de personer som hjälpt mig under denna stressiga tid. Stort TACK! Ett särskilt tack vill jag ge mina kollegor och handledare Jörgen Olsén och Olof Fält, som har läst mina utkast och kommit med värdefulla kommentarer, samt till min sambo, Niklas Gunnarsson, som fått göra det mesta av vårt julgodis ensam i år samtidigt som han fått läsa mina skriverier. Just nu pågår arbetet med det nya solvensregelverket, Solvens 2. Med det nya riskbaserade solvenssystemet kommer solvenskravet att beräknas med utgångspunkt från bolagets nettorisk. Detta gör att effekten av återförsäkring kommer att kunna tillgodoräknas till fullo. Katastrofeponering är en avsevärd risk för skadebolag och på marknaden finns ett flertal olika tekniska katastrofmodeller som kan estimera bolagets utsatthet för stormar, översvämningar och andra katastrofer. Det är troligt att dessa modeller kommer att kunna ersätta standardmodellen och fungera som en partiellt intern modell. De tekniska modellerna har sina begränsningar då de inte är fullt utvecklade på den nordiska marknaden. I detta arbete har det försökts att ta fram en intern, statistisk, mer bolagsspecifik modell för att beräkna katastrofrisken för ett skadebolag och visa på effekten på solvenskapitalbehovet då denna risk återförsäkras. Arbetet berör endast beräkningar och modeller för ett skadebolags katastrofrisker och är en liten del av det arbete vi alla står inför med implementeringen av det nya solvensregelverket. Trots denna begränsning ger det ändå en inblick i av alla de svårigheter och utmaningar som väntar. 2
3 !"## $%... 3 & '$! ( ## $% INLEDNING INTERN OCH PARTIELLT INTERN MODELL INTRODUKTION TILL ÅTERFÖRSÄKRING Proportionell återförsäkring Icke-proportionell återförsäkring Reinstatements TVÅ OLIKA METODER FÖR KATASTROFMODELLERING TEKNISKA MODELLER AKTUARIELLA/STATISTISKA MODELLEN BESKRIVNING AV DATA INDEX OCH TRENDNING Frekvens Skadornas storlek METODIK OCH TEORI INDEX OCH TREND KURVANPASSNING Frekvensanpassning Skadestorleksanpassning SIMULERINGAR KREDITRISK Skadan till återförsäkringsprogrammet Kreditriskberäkning TYP AV ÅTERFÖRSÄKRING RESULTAT SLUTSATS OCH DISKUSSION
4 )'* Figur 1: Återförsäkring - Kvotåterförsäkring...6 Figur 2: Återförsäkring - Surplus...7 Figur 3: Återförsäkring - Ecess of loss...7 Figur 4: Återförsäkring - Stop loss/aggregated Ecess of loss...8 Figur 5: Skadefrekvensens historiska utseende...17 Figur 6: Kurvanpassning till skadestorleken...18 Figur 7: AEP-kurvor...19 Figur 8: OEP-kurvor...19 Figur 9: Slutsats och diskussion skandinaviska skadebolags återförsäkring...21 Tabell 1: Eempel på Byggkostnadsinde samt faktor...11 Tabell 2: Data från ratinginstitut samt estimerade och i Betafördelningen...16 Tabell 3: Resultat Brutto- och nettoskador utan parameterosäkerhet...18 Tabell 4: Resultat Brutto- och nettoskador med parameterosäkerhet...18 Tabell 5: Resultat - Belopp utsatt för motpartsrisk utan parameterosäkerhet...20 Tabell 6: Resultat - Belopp utsatt för motpartsrisk med parameterosäkerhet...20 Tabell 7: Resultat Summering av solvenskapitalkravet med och utan återförsäkring utan parameterosäkerhet...20 Tabell 8: Resultat Summering av solvenskapitalkravet med och utan återförsäkring med parameterosäkerhet
5 +, Just nu pågår arbetet med ett ta fram det riskbaserade solvensregelverket, Solvens 2, som förväntas träda i kraft under 2012/2013. Den stora skillnaden mot nuvarande solvenssystem är att bolagets kapitalkrav kommer stå i direkt relation till verksamhetens risk. Det blir ökat fokus på att mäta sin egen riskeponering och hålla kapital som en buffert mot ogynnsamma utfall i förhållande till sin egen riskprofil. Med de nya reglerna kommer solvenskravet beräknas med utgångspunkt från bolagets nettorisk så effekten av återförsäkring kommer att kunna tillgodoräknas till fullo. Men samtidigt som återförsäkring minskar solvenskapitalkravet som behövs för försäkringsrisken, så får man in en ny risk i sin verksamhet. Denna risk motsvaras av risken att motparten, dvs. återförsäkrarna, inte kan uppfylla sina åtaganden. Storleken på den nya risken ska beräknas utifrån en bedömning av motparternas betalningsförmåga. Ju högre kreditvärdighet desto lägre solvenskapital krävs för kreditriskmodulen Intern och partiellt intern modell Det huvudsakliga syftet med det nya solvenssystemet är att få ett system där solvenskapitalet sätts i relation till försäkringsbolagets risknivå. Därför är inställningen positiv till att bolagen använder interna riskklassificerings- och riskberäkningsmodeller. Men det kommer att ställas höga krav på dessa modeller för att få dem godkända till användning i solvensberäkningen. Man måste t.e. visa att modellen används i bolagets övriga riskhanteringsstrategi, är korrekt kalibrerad och bygger på kvalitetssäkrade data. Idén med en intern modell är att man kan analysera historiska skador och bolagets nuvarande portfölj. Med hjälp av detta ska man mäta riskeponeringen och bygga en detaljerad modell som kan fånga bolaget unika nettorisk. En komplett intern modell ska värdera hela bolagets försäkringsverksamhet, dvs. alla tillgångar och skulder samt fånga upp bolagets verksamhets unika egenskaper, för att kunna ersätta den standardmodell som CEIOPS, på uppdrag av den Europeiska Kommissionen, har utvecklat. Att utveckla en sådan modell tar mycket tid och man kan istället stegvis börja bygga upp delar av en intern modell och låta denna ersätta delar av den standardmodell som finns. Detta innebär att man använder en partiellt intern modell. För skadebolag är katastrofeponering en avsevärd risk och på marknaden finns ett flertal olika tekniska katastrofmodeller som kan estimera bolagets utsatthet för stormar, översvämningar och andra katastrofer. Dessa modeller skulle kunna ersätta katastrofriskberäkningen i standardmodellen och fungera som en partiellt intern modell, men dessa modeller har sina begränsningar då de inte är fullt utvecklade för den nordiska marknaden. 5
6 1.2. Introduktion till återförsäkring Det finns ett antal anledningar till varför man köper återförsäkring och nedan listas några av dem: Stabilisera resultatet Skydda balansräkningen - mot stora skador och/eller hög frekvens Upprätthållande av solvensmarginal - p.g.a. myndighetskrav, kundkrav etc. Förse bolaget med etra kapital vid eempelvis epansion Teckningskapacitet - genom att dela risken ökar man teckningskapaciteten Tillgång till etern epertis och marknadskännedom - genom mäklare och/eller återförsäkrare Den vanligaste återförsäkringen kommer att beskrivas här och det är s.k. kontraktsåterförsäkring, där en hel portfölj av försäkringsrisker återförsäkras. Den andra formen av återförsäkring är fakultativ återförsäkring, där det är individuella risker som återförsäkras separat. Återförsäkringen kan sedan delas in i två olika grupper: Proportionell återförsäkring Icke-proportionell återförsäkring Proportionell återförsäkring Den proportionella återförsäkringen innebär återförsäkring av försäkrade objekt. Där delas alla premier och skador procentuellt lika med återförsäkrarna Kvotåterförsäkring Här delas resultatet av alla försäkrade objekt med återförsäkrarna. Figur 1: Återförsäkring - Kvotåterförsäkring 6
7 Ecedentåterförsäkring Här behåller direktbolaget allt under självbehållet X. Objekt överstigande X delas med återförsäkrarna. Figur 2: Återförsäkring - Surplus Icke-proportionell återförsäkring Med en icke-proportionell återförsäkring är det skadorna som återförsäkras Ecess of loss (Skadeecedentåterförsäkring) Här är det antingen skadan från ett försäkrat objekt, Per Risk, eller den sammanslagna skadan från en skadehändelse, Per Event, som är återförsäkrat. Definitionen av ett försäkrat objekt brukar vanligtvis vara alla värden på ett försäkringsställe. En skadehändelse brukar vara definierad som alla skador under en bestämd tidsperiod (t.e. 72 timmar) och/eller inom ett visst begränsat område (t.e. 100 km radie) som är orsakade av samma skadehändelse (storm, brand etc.). Detta skydd köps oftast indelat i olika s.k. layers. Figur 3: Återförsäkring - Ecess of loss 7
8 Stop loss / Aggregated Ecess of loss Detta är ett skydd för den aggregerade skadan under ett år. Stop Loss är återförsäkring av den aggregerade skadan i relation till premien, dvs. återförsäkring av årlig skadeprocent. Figur 4: Återförsäkring - Stop loss/aggregated Ecess of loss Reinstatements Ecess of loss layers kan ha reinstatements, vilket på svenska skulle kunna översättas till återinträdelse. Detta innebär att då en skada inträffar träder ett nytt skydd, identiskt med det ursprungliga, i kraft. Priset för detta återinträdande av skydd blir avtalat samtidigt som originalpremien sätts. Antingen har man fria reinstatements eller så får en etra premie betalas in när det första skyddet är förbrukat. När en skada träffar ett program som inte har fria eller förbetalda - reinstatements betalas inte hela skadan ut, utan skadan minus den avtalade reinstatementspremien utbetalas. 8
9 -,. För att kvantifiera katastrofriskerna i en portfölj finns två väl använda metoder på marknaden. Den ena är den aktuariella/statistiska modellen. Den andra är de så kallade tekniska modellerna. Här följer en kort sammanfattning av dessa två modellers för- och nackdelar Tekniska modeller Det finns flera olika företag på marknaden som tillhandahåller licenser för dessa modeller. De tre största och mest kända är AIR, EQECAT och RMS. Dessa modeller är alla olika varandra, men bygger på samma metodik. Här använder man historiska katastrofhändelser såsom stormar, jordbävningar etc. och analyser dess effekter på dagens portfölj. Ett antal slumpmässiga händelser simuleras och drabbar dagens portfölj. Fördelarna med de tekniska modellerna är att man kan analysera dagens aktuella portfölj oberoende av de förändringar som skett i portföljen historiskt och man kan få resultaten på alla olika nivåer, t.e. uppdelat på geografiska områden och olika risktyper. Nackdelarna är att man inte kan analysera alla risker. I dagsläget kan man för Skandinavien bara modellera storm, dvs översvämningar, jordbävningar etc. saknas i modellerna. Alla delar av ett bolags portfölj går inte heller att modellera i de tekniska modellerna. Det är fast egendom såsom byggnader, lösöre och avbrott som går att modellera. Motorskador, personolycksfall, skog, båt m.m. går däremot inte att modellera här Aktuariella/statistiska modellen Den aktuariella modellen bygger på en statistisk analys där man tar fram en fördelning för antalet skador och en för skadornas storlek. Dessa fördelningar estimeras utifrån historiska skador som är justerade/anpassade för att motsvara dagens portfölj och villkor. För dessa fördelningars parametrar kan man inkludera parameterosäkerheten. Fördelarna med den aktuariella modellen är att alla risker (storm, översvämningar, frysskador etc.) och skadeorsaker tas med i modellen och att osäkerheten i resultaten kan mätas. Nackdelarna är att god information om historiska förändringar i portföljen måste tas i beaktande för att ge en rättvisande bild av historiska skadors effekt på den nuvarande portföljen. Detta gäller såväl portföljens storlek, risksammansättning som villkor och skadehanteringsrutiner. Datakvalitet är fundamental och kan vara svår att säkerställa historiskt. 9
10 /, (.. De data som är använt kommer från ett skandinaviskt skadeförsäkringsbolag och innehåller alla deras naturkatastrofskador mellan 1980 och juli För varje händelse finns information om datum då denna inträffade, antal utbetalda skador, storleken på den totala utbetalda skadan för händelsen samt total återstående reserv. Information angående förändringar i skadehanteringskostnaden och självbehåll under perioden fanns också tillgängligt. Antalet försäkringar som funnits i portföljen fanns tillgängligt för åren För åren 2006 och 2007 fanns uppgifter om hur stor ökningen varit för en delmängd av portföljen. Med antagandet att den procentuella ökningen varit lika i hela portföljen kunde då dessa andelar tillämpas för att estimera antalet försäkringar i portföljen för 2006 och För att kunna använda dessa historiska skador för att mäta riskeponeringen idag och därigenom kunna prediktera 1 på 200-årsskadan så bra som möjligt är man tvungen att justera de historiska skadorna till dagens värde och portfölj Inde och trendning Det finns två olika delar i trendningen av skador. Dels ska frekvensen, dvs. antalet skador, beaktas och dels ska storleken på skadorna justeras. När det gäller storleken på skadorna, S, finns det även här två delar. Dels det utbetalda beloppet S1 och den återstående reserven, S2 och det gäller att S = S1 + S2. När man indeerar och trendar skadorna ska endast den utbetalda delen indeeras. Reserven antas redan vara indeerad och trendad till dagens nivå då den beräknas med kontinuitet Frekvens Om man har en enskild per riskskada som inträffade för tio år sedan i en portfölj som då var hälften så stor som idag, så skulle denna skada justeras till två skador i analysen eftersom man kan anta att antalet skador står i proportion till portföljens storlek. När det gäller katastrofskadehändelser orsakade av t.e. stormar förblir frekvensen oförändrad oavsett de ändringar som skett i portföljen. Frekvensen i stormar är ju helt oberoende av försäkringsbeståndets storlek. Detta kanske inte alltid är lätt att inse, men oavsett hur stort försäkringsbeståndet är så påverkas man av stormen. Det enda som påverkas av storleken på beståndet är skadans storlek. Det är alltså katastrofskadans storlek som ska justeras med hänsyn till portföljens storlek när det gäller händelser, inte antalet skador som är fallet när man analyser per riskskador Skadornas storlek De historiska skadorna justeras även så att storleken på skadorna representerar dagens portfölj så bra som möjligt. Detta innebär att man tar de historiska skadorna och tar reda på vad de skulle vara i dagens portfölj med dagens kostnadsläge, allt annat lika. Detta gjordes i fyra steg: Skadehanteringskostnad Självrisk Inflation Portföljjustering 10
11 som beskrivs i följande sektioner Skadehanteringskostnad Skadehanteringskostnaden, LAE, vilket är en förkortning av engelskans Loss Adjustment Epense, kan ändras under åren. Denna är ofta inkluderad i skadebeloppet. Om antalet utbetalningar i händelserna är känt blir detta lätt att justera: LAE_Justerad_Skada händelseår i = S1 + (LAE 2007 LAE i )*antal_skador_i_händelsen_år_i Självrisk De försäkrades självrisk, SR, kan också ändras och detta påverkar skadans storlek. Om självbehållet var mindre för tjugo år sedan när skadan inträffade, så skulle samma skada ha kostat försäkringsbolaget mindre om den inträffade i år, eftersom kundens självrisk skulle ha varit högre och kunden då får ta större del av skadan för egen räkning. Justering för detta görs enkelt med följande formel: SR_Justerad_Skada händelseår i = S1 - (SR 2007 SR i )*antal_skador_i_händelsen_år_i Inflationsjustering De historiska skadorna måste justeras med hänsyn till inflationen. Indeet som används för detta får anpassas efter portföljens innehåll. Om det är mycket byggnader, så kan eempelvis Byggkostnadsinde, BKI, användas. De flesta inde finns att tillgå på för den svenska marknaden eller hos liknande myndigheter i andra länder. Inflationsfaktorn, Inf i, där i = året som ska indeeras, beräknas då: INF i = BKI 2007 BKI i Tabell 1: Eempel på Byggkostnadsinde samt faktor År Byggkostnadsinde Inflationsfaktor ,24 3, ,75 2, ,30 1, ,00 1,00 De historiska skador som inträffat år i multipliceras sedan med INF i Portföljjustering Då ett försäkrat bestånd kan förändras mycket på kort tid är detta ett väldigt viktigt moment. I analysen som gjorts för detta arbete har endast katastrofskador behandlats. Då är det enbart storleken på skadan som påverkas av portföljens storlek. Som nämndes i andra kapitlet så kommer antalet stormar etc. vara oförändrat medan storleken ändras. 11
12 Justering för portföljen kan göras i flera steg beroende på vilken information man har tillgång till. Oftast har man bara tillgång till antalet försäkringar i beståndet. Då tas justeringsfaktorn, PORTF fram på följande sätt: i PORTF i = n 2007 n i där n i är antalet försäkringar i beståndet år i Övrigt I detta eempel har skador och portföljinformation bara funnits tillgängliga på totalnivå. Olika försäkringsgrenar har säkerligen ökat/minskat olika mycket under perioden och det hade varit bättre att ha all data uppdelat per försäkringsgren, men detta är inte alltid tillgängligt. 0, 4.1. Inde och Trend I detta eempel handlar det bara om eventskador och ingen justering har gjorts på antalet skador. De historiska skadornas storlek har justerats med hänsyn till skadehanteringskostnad, självrisker, inflation samt storleken på portföljen. Alla inde och justeringar kombinerat ger följande slutgiltigt indeerade och trendade historiska skada: Trendadskada = PORTFi S1 ( LAEi SRi ) # skador) INFi + ( LAE i SR ) # skador + (( S Detta innebär att skadehanteringskostnaden dras av och självrisken läggs på, så att en ren skada återstår. Denna indeeras sedan för inflation. Därefter läggs dagens skadehanteringskostnad på och dagens självrisk dras av från den indeerade skadan. Till detta adderas reserven och allting justeras för portföljförändringen Kurvanpassning För att kunna beräkna en 1 på 200-årsskada både med och utan återförsäkring valdes att anpassa en frekvensfördelning till antalet skador samt en fördelning till storleken på skadorna. Fördelningarna som används till att anpassa skadeutfallet kan vanligtvis anta värden i intervallet (0, + ), men en enskild skada kan omöjligt överstiga den totala portföljens försäkringssumma. En övre trunkeringsgräns sätts därför och man får göra sin parameteranpassning för en betingad fördelning. En undre gräns tas också fram. Eftersom vi inte är ute efter att modellera småskador görs detta mest för att fördelningsanpassningen skall utföras på relevant data. Det totala försäkringsbeloppet är också en väldigt teoretisk gräns och brukar sällan väljas som övre gräns. Det är inte ett rimligt antagande att en storm skulle kunna orsaka en totalskada på en portfölj som har en bra geografisk spridning. Beroende på hur portföljens spridning är och i vilket land riskerna ligger brukar en övre gräns motsvarande några procent av den totala försäkringssumman sättas. Danmark är mer eponerat för katastrofrisker eftersom landets totala katastrofeponering ligger inom ett 2) 12
13 betydligt mer avgränsat område än t.e. det avlånga Sverige. Denna procentsats brukar därför vara högre för Danmark än för Sverige Frekvensanpassning För frekvensanpassningen är det bra att testa några olika fördelningar och inte bara den vanligt förekommande Poissonfördelningen. För den här analysen testades följande fyra diskreta fördelningar: i. Poisson ii. Negativ Binomial iii. Trendad Poisson iv. Trendad Negativ Binomial Eftersom stormar är säsongsberoende och inte uppkommer helt oberoende av varandra (de uppkommer oftast flera under en kort period) så brukar Negativ Binomial vara en fördelning att föredra. Detta är dock inte alltid fallet. Om man eempelvis modellerar ett litet land, så kommer detta land inte träffas av alla stormarna och Poisson kan då fortfarande vara en bra fördelning. Det är också en god idé att titta på en frekvensplot för att se om det förekommer någon trend i antalet skador. Parametrarna i fördelningarna estimeras med hjälp av Maimum Likelihood-metoden. Denna metod används även vid anpassningen av skadestorlekens fördelning och beskrivs nedan Skadestorleksanpassning För att anpassa en lämplig fördelning till det tillgängliga datamaterialet användes Maimum Likelihood-metoden. Antag att slumpvariablerna X 1, X n representerar skadornas storlek och att representerar den okända parametern i täthetsfunktionen. X 1,, X n har en simultan fördelningsfunktion f( 1,., n ) där i representerar ett utfall av slumpvariabeln X i. Som en funktion av utfallen 1,., n är då likelihoodfunktionen av följande: L ( θ ) = f ( 1,..., θ ) n Målet med metoden är att maimera funktionen med avseende på den okända parametervektorn. Lösningen fås lättast genom att maimera log-likelihooden istället: ln( L ( θ )) = ln( f ( 1,..., θ )) n I fallet med oberoende slumpvariabler förenklas uttrycket till följande bekanta formel: n ln( L( θ )) = ln( f ( θ )). i= 1 i Om fördelningen har flera parametrar fås liknande uttryck: n ln( L( θ1,..., θ j )) = ln( f ( i θ1,... θ j )) i= 1 13
14 Proceduren för att maimera log-likelihooden är att beräkna förstaderivatan (med avseende på -vektorn), sätta denna/dessa lika med noll och lösa detta ekvationssystem för de okända parametrarna. För att säkerställa att detta är ett maimum bör även en kontroll av andraderivatan göras. Är denna negativ, så är det ett maimum som har tagits fram. Med andraderivatan kan man även beräkna osäkerheten i estimaten samt beräkna korrelationen mellan parametrarna i fallet med en fördelning med flera parametrar. Med hjälp av Ecels Solver kan man numeriskt finna de -värden som maimerar Likelihoodfunktionen. Ju fler parametrar desto bättre anpassning till befintligt data, men man får också mer osäkerhet i parameterskattningarna. För att få ett mått på vilken täthetsfunktion som har bäst anpassning kan man straffa en anpassning som använder för många parametrar. Låt NLL = Maimum-Likelihoodskattningen baserat på enbart observation j, j HQ = NLL + # parametrar ln # skador skador j 2π Denna variabel vill man ha så liten som möjligt. Metoden straffar fördelningar med flera parametrar. Metod används enbart som vägledning för att få fram några fördelningar som har bra anpassning. Sedan bör aktuarien ta in information från Underwriters, skadereglerare och övriga som bedömer skador och har en god uppfattning om portföljens riskprofil. Med detta underlag kan man sedan analysera de utvalda fördelningarna mer i detalj med avseende på olika skadors återkomstperiod etc. Ett annat riktmärke som är vanligt att ta med i processen är den kraftiga stormen Anatol, som drabbade Skandinavien i december En storm av den storleken har meteorologer beräknat förväntas drabba Skandinavien var år Simuleringar Efter att ha funnit den bästa fördelningen för frekvens och skadestorlek kan man simulera detta för år mot återförsäkringsprogrammet. Med resultatet från simuleringarna kan olika empiriska fördelningsfunktioner tas fram. Man brukar ta fram två olika fördelningar för skadorna: AEP, vilket står för Aggregate Eceedance Probability dvs. de aggregerade skadorna över ett år. AEP är det som ska användas i solvenshänseende då detta är skadan sedd över en 12-månaders period. OEP, som står för Occurrence Eceedance Probability dvs. den enskilda största händelsen under ett år. OEP brukar användas när man analyser hur mycket återförsäkring man behöver köpa. Dessa AEP- och OEP-kurvor tas fram både brutto och netto, dvs. före och efter, återförsäkring. 14
15 4.4. Kreditrisk Kreditrisk är den risk man står för att den panel av återförsäkrare som finns på programmet inte ska kunna fullfölja sina åtaganden. Detta är en risk som tillkommer i det nya solvenssystemet och som ska läggas till den 1 på 200-års nettoskada som estimerats. I detta arbete tittar vi på den förväntade kreditförlusten givet att vi har 1 på 200-års skadeutfall. Detta är inte samma sak som 1 på 200-års kreditförlust Skadan till återförsäkringsprogrammet 1 på 200-årsskadan till återförsäkringsprogrammet tas fram och skadans storlek till varje återförsäkrare i panelen måste beräknas. Skadan räknas sedan ner med hänsyn till reinstatementpremien, eftersom det är det belopp som ska utbetalas till direktbolaget som är utsatt för skada. Metoden som använts för att beräkna denna risk är inte redo att presenteras i detalj och då den endast är en liten del av detta arbete, redogörs endast för grunderna i modellen Kreditriskberäkning Låt PD (från engelskan Probability of Default) beteckna sannolikheten att ett återförsäkringsbolag med rating misslyckas med sina betalningsåtaganden. Vidare betecknas storleken av misslyckandet, givet att motparten har misslyckas med LGD (från engelskans Loss Given Default) och CV är variationskoefficienten. Värdena pd, ld och CV har estimerats av olika ratinginstitut. PD och LGD antas vara oberoende. Antag att är då = LGD är Betafördelat med E[ LGD ] = ld * CV. Då kan och estimeras: ld och standardavvikelsen av LGD α β 2 ld (1 ld = 2 st. dev( ld ) 1 = α ( 1) ld ) ld Det bör antas att det förkommer korrelation mellan återförsäkrarna på ett och samma program. Givet att återförsäkrare ÅF S, där s = 1, 2,, n misslyckas med att fullfölja sina åtaganden, så bör sannolikheten att ÅF t, där t = 1, 2,, n också misslyckas vara högre än om ÅF S har lyckats fullfölja sina åtaganden. Denna korrelationsmatris (med måtten n*n) har estimerats och sedan använts tillsammans med övriga antaganden i kreditriskmodellen och simulerats gånger. 15
16 För att underlätta beräkningarna antas att en etremhändelse i Skandinavien är okorrelerad med övriga händelser på återförsäkringsmarknaden. Med detta menas att när en etremhändelse inträffar i Skandinavien så ökar inte sannolikheten för etrema händelser i övriga Europa/världen och återförsäkrarnas kapacitet att fullfölja sina åtaganden har inte påverkats. Då kan vi anta att PD-värdena är relevanta även det år då skandinaviska bolaget drabbas av sin 200-årsskada. Tabell 2: Data från ratinginstitut samt estimerade och i Betafördelningen Rating PD LGD CV (LGD) SD(Loss) Alpha (α) Beta (β) AAA 0,010% 15,0% 15,0% 2,3% 37,63 213,22 AA+ 0,019% 50,0% 20,0% 10,0% 12,00 12,00 AA 0,020% 50,0% 20,0% 10,0% 12,00 12,00 AA- 0,021% 50,0% 20,0% 10,0% 12,00 12,00 A+ 0,136% 55,0% 25,0% 13,8% 6,65 5,44 A 0,136% 55,0% 25,0% 13,8% 6,65 5,44 Api 0,136% 55,0% 25,0% 13,8% 6,65 5,44 A- 0,145% 55,0% 25,0% 13,8% 6,65 5,44 BBB+ 0,225% 58,0% 30,0% 17,4% 4,09 2,96 BBB 0,225% 58,0% 30,0% 17,4% 4,09 2,96 BBBpi 0,225% 58,0% 30,0% 17,4% 4,09 2,96 BBB- 0,544% 58,0% 30,0% 17,4% 4,09 2,96 BB+ 1,666% 60,0% 30,0% 18,0% 3,84 2,56 BB 2,772% 60,0% 30,0% 18,0% 3,84 2,56 BB- 2,792% 60,0% 30,0% 18,0% 3,84 2,56 B+ 3,667% 65,0% 30,0% 19,5% 3,24 1,74 B 8,594% 65,0% 30,0% 19,5% 3,24 1,74 B- 9,563% 65,0% 30,0% 19,5% 3,24 1,74 CCC+ 14,693% 80,0% 30,0% 24,0% 1,42 0,36 CCC 19,824% 80,0% 30,0% 24,0% 1,42 0,36 CCC- 46,549% 80,0% 30,0% 24,0% 1,42 0,36 D 100,000% 100,0% 0,0% 0,0% -1,00 0,00 NR 2,772% 60,0% 30,0% 18,0% 3,84 2, Typ av återförsäkring Det skadebolag som har ingått i denna analys har haft återförsäkring i form av ett ecess of loss-skydd. Detta är den vanligaste och effektivaste återförsäkringen mot katastrofskador. 16
17 1, ) Alla resultat som redovisas är omräknade till procentform för att kunna presenteras utan att röja några försäkringsspecifika data. För frekvensen av katastrofskador passade en Poisson ( λ = ) allra bäst. När antalet skador för varje år plottades kunde ingen trend i skadefrekvensen ses. _ Figur 5: Skadefrekvensens historiska utseende Year Frequency Poisson För storleken på skadorna passade en Simple Pareto (en förenklad Paretofördelning med bara en -parameter) bäst då man bara analyserar de statistiska metoderna. Då andra saker som återkomstperiod för stora skador etc. vägs in blev det istället en Log Gamma-fördelning som speglar portföljens riskeponering allra bäst. 17
18 Figur 6: Kurvanpassning till skadestorleken Analysen utfördes med två alternativ ett där parameterosäkerheten i skadestorleksfördelningen är med och ett utan parameterosäkerhet. Fördelningarna tillsammans med årets återförsäkringsstruktur simulerades gånger och följande resultat erhölls, där brutto är skadan som skulle ha drabbat bolaget utan återförsäkring och netto är den skada som bolaget får med nuvarande skydd. Tabell 3: Resultat Brutto- och nettoskador utan parameterosäkerhet AEP OEP Utan osäkerhet Brutto Netto Brutto Netto Medelskada St.dev C.V Kvantil 50,0 % ,0 % ,0 % ,5 % Tabell 4: Resultat Brutto- och nettoskador med parameterosäkerhet AEP OEP Med osäkerhet Brutto Netto Brutto Netto Medelskada St.dev C.V Kvantil 50,0 % ,0 % ,0 % ,5 %
19 Figur 7: AEP-kurvor 100% 95% 90% Probability 85% 80% Net loss wo uncert Net loss with uncert Gross loss wo uncert Gross loss with uncert 75% Loss amount Figur 8: OEP-kurvor 100% 95% 90% Probability 85% 80% Net loss wo uncert Net loss with uncert Gross loss wo uncert Gross loss with uncert 75% Loss amount 19
20 Det som sedan användes till beräkningen av risken för att återförsäkrarna inte kan fullfölja sina åtaganden finns sammanfattat i nästa tabell. Tabell 5: Resultat - Belopp utsatt för motpartsrisk utan parameterosäkerhet Premie för återförsäkring Kvantil Bruttoskada Till motpart Original Reinstatement Belopp utsatt för motpartsrisk 99,5 % Tabell 6: Resultat - Belopp utsatt för motpartsrisk med parameterosäkerhet Premie för återförsäkring Kvantil Bruttoskada Till motpart Original Reinstatement Belopp utsatt för motpartsrisk 99,5 % Tabell 7: Resultat Summering av solvenskapitalkravet med och utan återförsäkring utan parameterosäkerhet Solvenskrav Brutto skada Netto skada Premie för återförsäkringen Kredit risk Solvenskrav brutto Solvenskrav netto netto inkl kostnad 99,5 % 100,00 33,41 4,32 0, ,00 33,43 37,75 Tabell 8: Resultat Summering av solvenskapitalkravet med och utan återförsäkring med parameterosäkerhet Solvenskrav Brutto skada Netto skada Premie för återförsäkringen Kredit risk Solvenskrav brutto Solvenskrav netto netto inkl kostnad 99,5 % 100,00 43,75 3,65 0, ,00 43,76 47,41 Med återförsäkringen sänker man 200-årsskadan med 67 % resp. 54 % utan resp. med parameterosäkerhet. Kostnaden för detta både originalpremie och reinstatementpremien - motsvarar 4 % av bruttoskadan. Tack vare den ecess of loss-återförsäkring som bolaget köper sänker de sitt solvenskrav med 67 % respektive 56 % utan respektive med parameterosäkerhet. Kostnaden för återförsäkringen (original- och reinstatementpremie) är 1,7 % resp. 1,4 % så om man inkluderar kostnaden för återförsäkringen så tjänar de 62 % resp. 53 % på 200-årsskadan med nuvarande program. 20
21 2, )) Under framtagandet av en egen intern modell kommer man att möta en rad svårigheter på vägen. En fundamental sak är att ha bra data. Väl fungerande datasystem och god historik är avgörande. Modellen som presenterats här innehåller flera källor av osäkerhet och visst utrymme för godtycklighet, men ger ändå en första genomlysning av bolagets egen riskeponering vad gäller katastrofrisk. Är denna modell sämre än de tekniska modellerna som finns på marknaden och som förr eller senare troligen kommer att bli godkända som partiellt interna modeller? Dessa modeller är välkända och flitigt använda på marknaden, men innehåller ju trots detta en mängd antaganden och osäkerheter som inte klart och tydligt redogörs och som inte är anpassade för det individuella bolaget. Vilken eller vilka modeller mäter bolagens riskeponering och unika egenskaper på det bästa sättet? Det kommer att innebära mycket arbete och en stor utmaning att strama upp de formella kraven på internt modellbyggande som kommer att göra dess användning i Solvens 2 och egen bolagsstyrning acceptabel. Oavsett vilken modell som används för att mäta katastrofrisken kommer storleken på bolagens nettoskada att vara väldigt påverkad av återförsäkringen då hela effekten av återförsäkring kommer att tillgodoräknas bolagen. Ett antagande om att detta kommer öka intresset för återförsäkring är rimligt och vikten av att försäkringsbolag har en samordnad riskhanteringsstrategi på ledningsnivå bör understrykas. Idag köper de skandinaviska skadebolagen skydd upp till följande OEP enligt följande, baserat på den metodologi som presenterats här: Figur 9: Slutsats och diskussion skandinaviska skadebolags återförsäkring Nordic Benchmark - Statistical analysis 200 Return period - A B C D E F G H G Company 21
22 I dagsläget är det endast ett bolag som köper skydd överstigande 200-årshändelsen, men den siffran kommer förmodligen att vara högre då vi närmar oss införandet av Solvens 2. Det här arbetet har bara berört beräkningar och modeller för ett skadebolags katastrofrisker och är endast en liten del av det arbete vi alla står inför med implementeringen av det nya solvensregelverket. Trots denna begränsning ger det ändå en bild av alla de svårigheter och utmaningar som väntar. 22
23 Kreps, Rodney Olika interna artiklar angående modellering, Guy Carpenter & Company Olsén, Jörgen Riskbaserade solvensregelverk enligt Solvens 2-metodiken Hur det fungerar och varför försäkringsbolagen måste förbereda sig redan nu, Nordisk Försäkringstidskrift 2007 (1) 3-15 Shaw, Richard A. Olika interna artiklar angående modellering av kreditrisk, Guy Carpenter & Company 2007 Guy Carpenter s Financial Integration Team Internal models A Winning Solution for Solvency II, Guy Carpenter & Company Finns tillgänglig på 23
Återförsäkringsbranschens verktyg för att föra över risk från direktbolag till återförsäkringsbolag eller mellan återförsäkringsbolag
Återförsäkringsbranschens verktyg för att föra över risk från direktbolag till återförsäkringsbolag eller mellan återförsäkringsbolag Denna framställning beskriver branschens grundverktyg såsom typer och
Läs merRiskbaserade solvensregelverk enligt Solvens 2-metodiken
Riskbaserade solvensregelverk enligt Solvens NFT 2-metodiken 1/2007 Jörgen Olsén jorgen.olsen@guycarp.com Riskbaserade solvensregelverk enligt Solvens 2-metodiken Hur det fungerar och varför försäkringsbolagen
Läs merLivåterförsäkring. Erik Alm Hannover Life Re sweden
Livåterförsäkring Erik Alm Hannover Life Re sweden Disclaimer Denna presentation är avsedd enbart som ett allmänt diskussionsunderlag. Den kan inte användas som underlag för beslut. Avsikten är att den
Läs merFörslag till beslut i styrelsen för Försäkrings AB Göta Lejon
1 Tjänsteutlåtande 2017-01-25 Punkt 10: Aktuarierapport 2016 Diarienummer: 0092/16-75 Handläggare: Björn Wennerström Tel: 031-368 55 06 E-post: bjorn.wennerstrom@gotalejon.goteborg.se Aktuarierapport 2016
Läs merLivförsäkringsmatematik II
Livförsäkringsmatematik II Livåterförsäkring Erik Alm, Hannover Re 2013 Disclaimer Subtitle Denna presentation är avsedd enbart som ett allmänt diskussionsunderlag. Den kan inte användas som underlag för
Läs merRegressionsmodellering inom sjukförsäkring
Matematisk Statistik, KTH / SHB Capital Markets Aktuarieföreningen 4 februari 2014 Problembeskrivning Vi utgår från Försäkringsförbundets sjuklighetsundersökning och betraktar en portfölj av sjukförsäkringskontrakt.
Läs merHolmia Livförsäkring AB. Försäkringstekniska riktlinjer
Holmia Livförsäkring AB Försäkringstekniska riktlinjer 1 Försäkringstekniska riktlinjer Bilagor Bilaga 1:Försäkringstekniskt beräkningsunderlag Bilaga 2 Reserving Policy med tillhörande bilagor 1. Bakgrund
Läs merÖversvämningar och återförsäkring: Hur försäkringsbranschen anpassar sig till extrema naturhändelser
Översvämningar och återförsäkring: Hur försäkringsbranschen anpassar sig till extrema naturhändelser Forum för naturkatastrofer Dance Zurovac-Jevtic, PhD Senior Specialist and Technical Underwriter Sirius
Läs merAggregering av kapitalkrav i standardformeln i Solvens II. Magnus Carlehed
Aggregering av kapitalkrav i standardformeln i Solvens II Magnus Carlehed Inledning Det europeiska försäkringsregelverket Solvens II [1] syftar ytterst till att skydda försäkringstagarna och innefattar
Läs merLivåterförsäkring. 1. Varför återförsäkring
Livåterförsäkring 1. Varför återförsäkring Återförsäkring är försäkring av försäkring. Varför kan återförsäkring behövas? En återförsäkrare är ju vinstdriven som alla andra företag och vill inte teckna
Läs merSäkerhetsreserv i skadeförsäkring
Säkerhetsreserv i skadeförsäkring NFT 4/999 av aktuarie Torbjörn Andréason, Skandia och aktuarie Fredrik Johansson, Skandia Avsättning till säkerhetsreserven är ett sätt för försäkringsbolagen att, mellan
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merInnehåll. Standardavvikelse... 3 Betarisk... 3 Value at Risk... 4 Risknivån i strukturerade produkter... 4
Del 22 Riskbedömning Innehåll Standardavvikelse... 3 Betarisk... 3 Value at Risk... 4 Risknivån i strukturerade produkter... 4 Vid investeringar i finansiella instrument följer vanligen en mängd olika
Läs merNordisk försäkringstidskrift 2/2013. Varför köper försäkringsbolag återförsäkring? Återförsäkring en källa till kapital
Varför köper försäkringsbolag återförsäkring? Om vi går tillbaks cirka 25 år i tiden så var reassurans något givet för ett traditionellt försäkringsbolag. Alla bolag hade inskrivet i sina bolagsordningar
Läs merFinansinspektionens författningssamling
Finansinspektionens författningssamling Utgivare: Hans Schedin, Finansinspektionen, Box 7831, 103 98 Stockholm. Beställningsadress: Fakta Info Direkt, Box 6430, 113 82 Stockholm. Tel. 08-587 671 00, Fax
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merLogistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013
Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merBILAGOR. till. KOMMISSIONENS DELEGERADE FÖRORDNING (EU) nr.../...
EUROPEISKA KOMMISSIONEN Bryssel den 4.10.2016 C(2016) 6329 final ANNEXES 1 to 4 BILAGOR till KOMMISSIONENS DELEGERADE FÖRORDNING (EU) nr.../... om komplettering av Europaparlamentets och rådets förordning
Läs merFöreläsning 8: Konfidensintervall
Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable
Läs merEtapp 2 trafikljusmodellen skadebolag och försäkringsrisker inkluderas i modellen från och med 2007
PROMEMORIA Datum 006-05-3 FI Dnr 06-4001-30 Finansinspektionen P.O. Box 6750 SE-113 85 Stockholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35 finansinspektionen@fi.se www.fi.se Etapp trafikljusmodellen
Läs merFöreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Slumpvariabel? Resultatet av ett slumpmässigt försök utgörs
Läs merFörsäkringspolicy med riktlinjer
KOMMUNLEDNINGSKONTORET Handläggare Datum Diarienummer Malmberg Jan 2015-01-26 KSN-2014-1490 Kommunstyrelsen Försäkringspolicy med riktlinjer Förslag till beslut Kommunstyrelsen föreslår kommunfullmäktige
Läs merFINANSINSPEKTIONENS ALLMÄNNA RÅD OM FÖRSÄKRINGSTEKNISKA RIKTLINJER (FTR) OCH FÖRSÄKRINGSTEKNISKT BERÄKNINGSUNDERLAG (FTB). FFFS 2003:8.
FINANSINSPEKTIONENS ALLMÄNNA RÅD OM FÖRSÄKRINGSTEKNISKA RIKTLINJER (FTR) OCH FÖRSÄKRINGSTEKNISKT BERÄKNINGSUNDERLAG (FTB). FFFS 2003:8. Försäkringstekniska riktlinjer (2 kap FFFS 2003:8) IKANO Livförsäkring
Läs merträna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från
Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 1, 1 APRIL 215 FÖRDELNINGAR, SIMULERING OCH FÖRDELNINGSANPASSNING Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska
Läs merFörsäkringsredovisning VT16. Tentamen 26 maj Lösningsförslag
Försäkringsredovisning VT16 Tentamen 26 maj 2016 Lösningsförslag Uppgift 2 (max 20 poäng) Livförsäkring (AD) Bokför följande affärshändelser för ett svensk livförsäkringsföretag med hjälp av den lagstadgade
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merFörsäkringstekniska riktlinjer inom PP Pension Fondförsäkring AB
Försäkringstekniska riktlinjer inom PP Pension Fondförsäkring AB Fastställda av PP Pension Fondförsäkring AB:s styrelse 2010 03 23 Dessa försäkringstekniska riktlinjer träder i kraft den 24 mars 2010.
Läs merResultat av QIS5 Utfallet av den femte kvantitativa studien (QIS5) för svenska försäkringsbolag och försäkringsgrupper.
Resultat av QIS5 Utfallet av den femte kvantitativa studien (QIS5) för svenska försäkringsbolag och försäkringsgrupper. Finansinspektionen 14 mars 2011 DELTAGANDE I QIS5 STORA MEDEL SMÅ MARKNADS- ANDEL
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs merHur måttsätta osäkerheter?
Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merRiktlinjer om företagsspecifika parametrar
EIOPA-BoS-14/178 SV Riktlinjer om företagsspecifika parametrar EIOPA Westhafen Tower, Westhafenplatz 1-60327 Frankfurt Germany - Tel. + 49 69-951119-20; Fax. + 49 69-951119-19; email: info@eiopa.europa.eu
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merMaiden Life Försäkrings AB Försäkringstekniska riktlinjer
Maiden Life Försäkrings AB Försäkringstekniska riktlinjer Översikt Dessa riktlinjer utgör basen för beräkningen, styrningen och kontrollen av de tekniska reserverna. Uppdateringar av dessa riktlinjer ska
Läs merDatum: 2008-09-17. Rubrik: Frågor och svar flytt av tjänstepensionen ITP del 2
... 2 Så går flytten till...2 1. När kan jag flytta mitt intjänade pensionskapital?...2 2. Hur gör jag om jag vill flytta mitt kapital?...2 3. Jag vill inte göra flytten via e-legitimation på s hemsida.
Läs merÅterförsäkringsrisker hos direktförsäkringsbolag
Företagsekonomiska institutionen STOCKHOLMS UNIVERSITET Kandidatuppsats 10 poäng HT 2005 Återförsäkringsrisker hos direktförsäkringsbolag Författare: Charlotte Arvidsson Handledare: Tommy Johansson Jessica
Läs merNedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):
EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer
Läs merPostens försäkringsförening. Org nr Delårsrapport
Postens försäkringsförening Org nr 816400-4163 Delårsrapport 1 januari 2011 30 juni 2011 Allmänt om verksamheten (Siffrorna inom parentes avser januari juni 2010.) PFF försäkrar sjukpension och familjepension
Läs merKapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs
Läs merräntebevis Högre avkastning än räntesparande Lägre marknadsrisk än aktiesparande
räntebevis Högre avkastning än räntesparande Lägre marknadsrisk än aktiesparande räntebevis Dagens historiskt låga räntenivåer ger mycket låg avkastning i ett traditionellt räntesparande såsom räntefonder
Läs merSimulering av Poissonprocesser Olle Nerman, Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp)
Simulering av Poissonprocesser Olle Nerman, 2015-09-28 Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp) Frågeställning: Hur åstadkommer man en realisering av en Poissonprocess på ett tidsintervall
Läs merFörslag till beslut i styrelsen för Försäkrings AB Göta Lejon
1 Tjänsteutlåtande 2017-03-28 Punkt 10: Riktlinje för rapportering till myndigheter Handläggare: Björn Wennerström Tel: 031-368 55 06 E-post: bjorn.wennerstrom@gotalejon.goteborg.se Riktlinje för rapportering
Läs merFörsäkra er mot vägglöss.
Försäkra er mot vägglöss. En rapport om bättre resultat när bostadsbolagen upphandlar tjänster för sanering av vägglöss. Det går att minska problemet med vägglöss och kostnaderna för att sanera dem. Att
Läs merFörsäkring. Trygghet för Svenska kyrkan!
Försäkring Trygghet för Svenska kyrkan! Därför försäkring i eget försäkringsbolag Kyrkans eget försäkringsbolag har den närhet och erfarenhet som önskas och krävs till lägsta möjliga kostnad. Vi erbjuder
Läs merSimulering av ekonomiska och finansiella variabler i det svenska pensionssystemet
Simulering av ekonomiska och finansiella variabler i det svenska pensionssystemet Introduktion Mitt namn: Thomas Ekström Arbetsplats: Andra AP-fonden (55 st medarbetare) Avdelning: Kvantatitativa Strategier
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 20 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/20 : Poisson & Binomial för diskret data Johan
Läs merSOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök.
Probability 21-9-24 SOS HT1 Slumpvariabler Slumpvariabler Ett slumpmässigt försök ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöket. Talet är alltså inte känt före försöket; det bestäms
Läs merPunkt 14: Riktlinje för rapportering till myndigheter
1 Tjänsteutlåtande 2017-10-24 Punkt 14: Riktlinje för rapportering till myndigheter Diarienummer: Handläggare: Björn Wennerström Tel: 031-368 55 06 E-post: bjorn.wennerstrom@gotalejon.goteborg.se Förslag
Läs merF2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion
Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
1 / 14 Statistiska metoder för säkerhetsanalys F2: Händelseströmmar och Poissonprocesser Definition Intensitet Exempel 2 / 14 Händelseström Händelsen A inträffar vid de okända tidpunkterna S 1, S 2,...
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F10: Intensiteter och Poissonmodeller Frågeställningar Konstant V.v.=Var Cyklister Poissonmodeller för frekvensdata Vi gör oberoende observationer av de (absoluta) frekvenserna n 1, n 2,..., n k från den
Läs merStatistiska undersökningar - ett litet dokument
Statistiska undersökningar - ett litet dokument Olle the Greatest Donnergymnasiet, Sverige 28 december 2003 Innehåll 1 Olika moment 2 1.1 Förundersökning........................... 2 1.2 Datainsamling............................
Läs merDel 4 Emittenten. Strukturakademin
Del 4 Emittenten Strukturakademin Innehåll 1. Implicita risker och tillgångar 2. Emittenten 3. Obligationer 4. Prissättning på obligationer 5. Effekt på villkoren 6. Marknadsrisk och Kreditrisk 7. Implicit
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merFinansinspektionens remissynpunkter på Pensionsmyndighetens Standard för pensionsprognoser
2013-02-22 R E M I S S V A R Pensionsmyndigheten FI Dnr 12-13389 Box 38190 (Anges alltid vid svar) 100 64 Stockholm Finansinspektionen Box 7821 SE-103 97 Stockholm [Brunnsgatan 3] Tel +46 8 787 80 00 Fax
Läs mer4.1 Grundläggande sannolikhetslära
4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merFINANS- INSPEKTIONEN FINANSINSPEKTIONENS FÖRFATTNINGSSAMLING
FINANS- INSPEKTIONEN FINANSINSPEKTIONENS FÖRFATTNINGSSAMLING Finansinspektionens allmänna råd om hantering av teckningsrisker och återförsäkringsrisker i försäkringsbolag, beslutade den 26 oktober 1995
Läs merSamordnad riskhantering på ledningsnivå
Samordnad riskhantering NFT på ledningsnivå 4/2007 Samordnad riskhantering på ledningsnivå krav i Solvens 2 och nödvändigt för att erhålla hög rating av Jörgen Olsén Jörgen Olsén jorgen.olsen@guycarp.com
Läs merFöreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler
Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler Marina Axelson-Fisk 20 april, 2016 Idag: Diskreta stokastiska (random) variabler Frekvensfunktion och fördelningsfunktion Väntevärde Varians Några
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs mer16. Försäkringstekniska riktlinjer
16. Försäkringstekniska riktlinjer FÖR ALLMÄNNA ÄNKE- OCH PUPILLKASSAN I SVERIGE Beslutade av styrelsen den 16 april 2015 Gäller från den 1 maj 2015 Innehållsförteckning I Direkt meddelad livförsäkring
Läs merUpprepade mätningar och tidsberoende analyser. Stefan Franzén Statistiker Registercentrum Västra Götaland
Upprepade mätningar och tidsberoende analyser Stefan Franzén Statistiker Registercentrum Västra Götaland Innehåll Stort område Simpsons paradox En mätning per individ Flera mätningar per individ Flera
Läs merSannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merKapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merF7 forts. Kap 6. Statistikens grunder, 15p dagtid. Stokastiska variabler. Stokastiska variabler. Lite repetition + lite utveckling av HT 2012.
F7 forts. Kap 6 Statistikens grunder, 15p dagtid HT 01 Lite repetition + lite utveckling av Stokastisk variabel Diskreta och kontinuerliga sv Frekvensfunktion (diskr.), Täthetsfunktion (kont.) Fördelningsfunktion
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merKyrkans försäkring har ett odelat intresse av bästa försäkring till lägsta kostnad. För det har vi några strategier.
Västerås 2016-07-06 Information från Kyrkans Försäkring AB Det har delgivits oss att det väckts en del frågor bland SKIF:s medlemmar utifrån de utskick som gått ut under våren från oss respektive Bolander
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar
STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merGränsvärdesberäkningar i praktiken
Gränsvärdesberäkningar i praktiken - ett komplement till kapitel i analsboken Jonas Månsson När man beräknar gränsvärden använder man sig av en rad olika strategier beroende på det givna problemet. Avsikten
Läs merBayesianska numeriska metoder I
Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall
Läs merFinansinspektionens författningssamling
Remissexemplar 2013-03-22 Finansinspektionens författningssamling Utgivare: Finansinspektionen, Sverige, www.fi.se ISSN 1102-7460 Finansinspektionens föreskrifter och allmänna råd om normalplan för skadeförsäkringsföretags
Läs merDekomponering av löneskillnader
Lönebildningsrapporten 2013 133 FÖRDJUPNING Dekomponering av löneskillnader Den här fördjupningen ger en detaljerad beskrivning av dekomponeringen av skillnader i genomsnittlig lön. Först beskrivs metoden
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merDel 14 Kreditlänkade placeringar
Del 14 Kreditlänkade placeringar Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Obligationsmarknaden 2. Företagsobligationer 3. Risken i obligationer 4. Aktier eller obligationer? 5. Avkastningen från kreditmarknaden
Läs merLUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg
LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg Simulering i MINITAB Det finns goda möjligheter att utföra olika typer av simuleringar i Minitab. Gemensamt för dessa är att man börjar
Läs merPortföljsammanställning för Landstinget Västerbotten. avseende perioden
Portföljsammanställning för avseende perioden Informationen i denna rapport innehåller kurser och värden. Värderingar av instrument är förvaltares rapporterade värden och Investment Consulting Group AB
Läs merLandstingens Ömsesidiga Försäkringsbolag. Delårsrapport januari augusti Innehållsförteckning
Delårsrapport januari augusti 2013 Landstingens Ömsesidiga Försäkringsbolag Delårsrapport januari augusti 2013 Innehållsförteckning Sida Förvaltningsberättelse 3 Resultaträkning 5 Balansräkning 6 Förändring
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
Stockholms universitet November 2011 Data på annat sätt - I Stolpdiagram Data på annat sätt - II Histogram För kvalitativa data som nominal- och ordinaldata infördes stapeldiagram. För kvantitativa data
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Funktioner av s.v:er, Flera stokastiska variabler. Marginell sannolikhetsfunktion och -täthetsfunktion. Oberoende sv:er, Maximum och minimum av oberoende
Läs merPunkt 12: Riktlinje för aktuariefunktionen
2016-09-21 Punkt 12: Riktlinje för aktuariefunktionen Förslag till beslut i styrelsen att anta Riktlinje för aktuariefunktionen för försäkrings AB Göta Lejon Ändringar finns markerade i dokumentet. Anpassningar
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merDATORÖVNING 2: SIMULERING
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin - thulin@math.uu.se Matematisk statistik Statistik för ingenjörer VT 2013 DATORÖVNING 2: SIMULERING Innehåll 1 Inledning 1 2 Inledande exempel
Läs merFinansinspektionens författningssamling
Finansinspektionens författningssamling Utgivare: Finansinspektionen, Sverige, www.fi.se ISSN 1102-7460 Finansinspektionens föreskrifter om utländska försäkringsföretags skyldighet att lämna upplysning
Läs merSVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON
EXEMPEL PÅ BERÄKNINGAR AV SANNOLIKHETER FÖR ATT FELAKTIGT HANTERADE RÖSTER PÅVERKAR VALUTGÅNGEN SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON 1. Inledning Vi skall här ge exempel på och försöka förklara matematiken
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 12 oktober 2015
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 14 PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. Tatjana Pavlenko 12 oktober 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Icke-parametsriska metoder. (Kap. 13.10) Det grundläggande
Läs merPTK Rådgivningstjänst funktion och hur råden tas fram
Datum 2010-04-08 PTK Rådgivningstjänst funktion och hur råden tas fram 1. Bakgrund PTK Rådgivningstjänst hjälper dig att säkerställa att du har ett pensionssparande och ett försäkringsskydd som motsvarar
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs mer