TAL RUM NY SERIE I GYMNASIEMATEMATIK

Transkript

1 TAL RUM & NY SERIE I GYMNASIEMATEMATIK

2 TAL & RUM NY SERIE I MATEMATIK FÖR DE STUDIEFÖRBEREDANDE PROGRAMMEN Under våren 2007 kommer Liber med en ny gymnasieserie i matematik för de studieförberedande programmen på gymnasiet. Bokserien kommer i två varianter: dels för Natur/Teknik, dels för Samhällsprogrammet (passar även för t.ex. Estetiska programmet). Varför ett nytt läromedelskoncept från Liber? Forskning och erfarenhet tyder på att dagens dominerande metod att lära sig matematik inte ger ett långsiktigt gott resultat. Att ensidigt träna på att lösa många standardiserade uppgifter enligt förelagda exempel passar inte med matematikämnets kumulativa och generella karaktär: Matematiken har utvecklats steg för steg där nya nivåer ständigt bygger på tidigare nivåer. För att studier på nästa nivå ska bli effektiva måste man behärska grunderna mer på djupet. Matematikämnet utmärks av att det hänger samman på ett enastående sätt, men om eleverna inte får se sammanhanget kan de utveckla en känsla av att hela ämnet är i grunden obegripligt. De matematiska verktygen är användbara långt utöver vad som visas i en samling exempel men för att kunna utnyttja denna generella användbarhet måste man förstå själva verktygen och inte bara exemplen. Många högskoleutbildningar, inte bara naturvetenskapliga/tekniska och ekonomiska, kräver matematiska färdigheter. För att ge högre kvalitet i lärandet på gymnasiet och bättre förberedelse inför högskolestudier presenterar Liber år 2007 det nya matematikläromedlet Tal & Rum. Först ut är en A+B-bok för NT och en A-bok för samhällspåret. De bärande idéerna i Tal & Rum är: Övningar på addition och multiplikation Bokstäver står för positiva heltal i samtliga övningar nedan Beräkna och (2 + 4) Utför multiplikationerna och förenkla. a) 3(k + 2) b) a(6 + b) c) (2a + b)(c + 1) d) (9 + k) 9 a) m(200 + n) b) addition, t.ex. 4 6 = a) Skriv uttrycket 3(n + 5) som en upprepad addition av tre termer. b) Förenkla uttrycket från a-uppgiften. c) Använd distributiva lagen på uttrycket från a-uppgiften och jämför med b-uppgiften Utför multiplikationerna och förenkla Multiplikation kan ju tolkas som upprepad BEGREPP 2.26 Förenkla (2 + 3) 4 till PLUS OCH GÅNGER MED POSITIVA HELTAL 2.28 Vad skiljer termer från faktorer? Exempli- m = 2. För vart och ett av följande påståenden, finn ett värde på m så att påståendet är a) en ren produkt b) en ren summa sant. a) = 3 + m b) m + m + 2 = 3m a) = 3 3 b) x + 2 = 2 + x c) m + m + n + n = 3m d) 4m = 3 4 c) = d)1 + 8 = e) 3 n = n + n + n f) x y 2 = 2yx g) ax + ay = ya + xa h) 4 3 = kan anta om man sätter in i) az = z a j) 37 = 73 parenteser på olika sätt. k) x = 2 + x + 5 och 20 kr/vuxen. En dag då det var 19 barn fiera med uttrycket fler än vuxna, fick man in 445 kr. Hur många barn var det denna dag? brukar man ofta göra det. I vilka av följande uttryck man kan utelämna gångertecknet? dessa kan sex personer sitta, vid de övriga a) 5 1/3 b) 1,04 k kan två personer sitta. Som mest kan restaurangen ta 110 gäster. Hur många bord av c) 7 6 d)8 (2 + x) varje sort finns det i restaurangen? 2.27 Vilka av följande påståenden är sanna? 2.29 När det är möjligt att utelämna gångertecken RESONEMANG 2.30 Förklara hur distributiva och kommutativa lagarna ger att (a + b)(a + b) =a a + 2ab + b b a) a + 0 = a b) a 0 = Noll står för ingenting. Förklara varför 2.32 Utnyttja figurerna av klossar för att förklara det inte spelar någon roll i vilken ordning man multiplicerar flera faktorer: (a b) c = a (b c) PROBLEM 2.33 Fem vuxna och fem barn ska gå på tivoli. Det kostar 90 kr/vuxen och 40 kr/barn. a) Skriv två olika uttryck för den totala kostnaden. b) Beskriv med ord vad uttrycken står för Påståendet m + 2 = m 2 är bara sant om 2.35 Finn alla möjliga värden som uttrycket 2.36 På en amatörteater var biljettpriset 5 kr/barn 2.37 En restaurang har 29 bord. Vid en del av 2.38 Bestäm arean av den röda rektangeln. 7 Att förmedla en syn på matematik som något som hänger ihop i ett logiskt och begripligt sammanhang, genom resonerande text, väl formulerade definitioner, satser och ibland bevis och ständig poängtering av sammanhang med tidigare material och speciellt sammanhanget mellan aritmetik, algebra och geometri Att erbjuda ett träningsprogram som innehåller en mångfald av uppgiftstyper: Metodräkning, Begrepp, Resonemang och Problemlösning inkl modellering. Uppgifterna är genomtänkta och utvalda för att i stigande svårighetsgrad belysa och träna både begreppsbildning, tankeförmåga och färdighet. Där finns en uppsjö av uppgifter både inifrån matematiken och utifrån med såväl allmänbildande som programspecifika tilllämpningar. På Libers Webb för Tal & Rum finns dessutom flera fördjupningsavsnitt för intresserade elever. 2

3 0 Att visa på matematikens användbarhet genom att sist i varje kursbok ha med ett speciellt kapitel om Tillämpad matematik. Här finns i NT-boken för kurs A och B bl.a. avsnitt om privatekonomi, samhällsekonomi, spel och risk och ett avsnitt om rörelse. Dessa avsnitt erbjuder tillämpningar och viss fördjupning av det stoff som behandlas i tidigare kapitel. Ett motsvarande tillämpningskapitel finns i samhällsboken för kurs A. Att med tillhörande IKT-material, den så kallade Matteboxen, ge ökade möjligheter till variation och individualisering av studierna. I rätt sammanhang är datorer och moderna räknare fantastiska hjälpmedel. Man kan arbeta snabbare och utföra mer omfattande beräkningar än vad som annars vore möjligt. Att t.ex. grafiskt åskådliggöra effekten av olika värden på parametrarna i den linjära funktionen y = kx + m ökar den matematiska intuitionen och det kan vara både roligare och nyttigare att med dator kunna undersöka riktiga statistiska datamaterial (såsom åldersfördelningen inom partierna hos de 349 folkvalda i riksdagen) än att vara begränsad till små tabeller i läroboken. Matteboxen är ett i Europa väl utprövat programpaket med ett antal moduler inom områdena grafer/funktioner, derivator/integraler, statistik och sannolikhetslära. Här finns bl.a. ett antal träningsmoduler och ett stort antal simuleringar/experiment. I läroböckerna ger vi en del exempel på hur matteboxen kan användas. Det mesta materialet (datafiler, arbetsövningar, laborationer mm) kommer på Libers Webb för Tal&Rum. Läs mer om matteboxen på Allt det här innebär att vår ambition är att göra matematiken i gymnasiet mer omväxlande och rolig. Det gäller inte längre bara att räkna, man måste tänka också! Icke likformig sannolikhet Tejpa ihop tre tiokronorsmynt till ett supertjockt mynt. Om man singlar detta mynt finns tre tänkbara utfall: utöver att visa valör eller gubbe kan myntet landa på högkant. Det finns ingen anledning till att landning på högkant skulle vara precis lika sannolikt som landning på en viss sida. Sannolikheten är inte likformig. Alltså kan vi inte säga att varje utfall har sannolikhet 1/3. Hur får vi då reda på sannolikheten? Genom att skaffa oss erfarenhet, dvs. singla slanten många gånger. När Kimmo singlade slanten hundra gånger blev resultatet så här: efter 10 kast efter 20 kast efter 50 kast efter 100 kast andel högkant 1/10 = 0,10 3/20 = 0,15 6/50 = 0,12 14/100 = 0,14 andel gubbe 6/10 = 0,60 10/20 = 0,50 24/50 = 0,48 42/100 = 0,42 andel valör 3/10 = 0,30 7/20 = 0,35 20/50 = 0,40 44/100 = 0,44 Som man förväntar sig verkar man få ungefär lika många valör som gubbe: drygt 40 procent av varje. Högkant är inte alls lika vanligt, bara 14 procent av de första hundra kasten. Men vi vet därför inte att sannolikheten att få högkant är precis 14 procent. Vi ser i tabellen att andelen skiftar mellan olika delar av kastserien, och så fungerar slumpen. En graf visar det ännu tydligare. Efter hundra kast gör vi uppskattningen att P(högkant) 14 %. Genom att singla slanten ännu fler gånger kan vi göra en ännu säkrare uppskattning. 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 relativ frekvens av högkant LIKFORMIG SANNOLIKHET Valör uppåt antal kast I Programmet Stathuset finns ett antal olika simuleringar som handlar om slumpförsök. En av modulerna demonstrerar hur den relativa frekvensen stabiliserar sig om man gör många kast med ett mynt. 7 Matematik är en mäktig medhjälpare när man ska lösa problem i verkliga livet, och gymnasiekursen ska hjälpa eleverna att ta makten över matematiken. 3

4 På de följande sidorna finns smakprov ur NT-boken på sidor ur de kapitel som beskrivs nedan. Vi har valt sidor så att ni ska få en bra uppfattning om hur våra böcker är upplagda. Bland annat kan ni se den uppdelning på uppgiftstyper vi genomgående har i läromedlet.varje kapitel avslutas med ett antal repetitionsövningar följt av ett avsnitt med blandad problemlösning. I några kapitel finns fördjupningsavsnitt. Sist böckerna finns svar till alla övningar med mycket utförliga kommentarer. kapitel1 kapitel3 kapitel2 4 I gymnasiet blir matematikämnet mer omväxlande och roligt. Det gäller inte längre bara att räkna, du måste tänka också! Matematik är en mäktig medhjälpare när man ska lösa problem i verkliga livet, och gymnasiekursen ska hjälpa dig att ta makten över matematiken. Men vad är matematik? Det ska vi försöka besvara här i kapitel 1. Läs noga! Här läggs grunden till gymnasiekursen. Från grundskolan känner du till olika sorters tal och räknesätt. Med dem kan man bilda uttryck som t.ex. (6 5/4) Samband mellan uttryck kallas ekvationer, t.ex. x 10. För att kunna förenkla uttryck och lösa ekvationer måste man förstå hur räknesätten hänger ihop. I det här kapitlet förklarar vi hela sammanhanget, från addition av enkla heltal till potenser med allmänna exponenter. Viktigast är att du förstår och kan utnyttja omvända räknesätt: minus är omvändningen till plus delat med är omvändningen till gånger rötter är omvändningen till upphöjt till Numerisk räkning är helt enkelt att räkna med siffror. Och siffror är makt! Har du siffror på det, eller är det bara snack? Med siffror kan man övertyga andra, så det gäller att vara vän med siffrorna och kunna räkna numeriskt. Då är det väl bara att slå in på räknare och skriva upp vad den visar? Nej, nästan aldrig! Det finns många sätt att skriva tal på, och samma siffror kan betyda olika saker i olika sammanhang. I numerisk räkning måste man utnyttja sitt eget omdöme för att tolka, behandla och uttrycka tal på bästa sätt.

5 NT-boken för A- och B-kursen innehåller följande kapitel: 1 Vad är matematik? en introduktion till gymnasiematematiken. Här finns bl.a. avsnitt om hur man beskriver tal och rum i matematiken. Mer än 100 olika övningar inom de fyra kategorierna. 2 Tal och räknesätt 3 Numerisk räkning 4 Geometri 5 Samband i matematiken Rita och tolka grafer, introduktion till begreppet funktion 6 Statistik 7 Algebra 8 Funktioner 9 Klassisk geometri 10 Sannolikhet 11 Statistiska undersökningar 12 Tillämpad matematik bonuskapitelet dit man kan gå för att tillämpa sina kunskaper på matematik i den verkliga verkligheten. S-boken för A-kursen innehåller följande kapitel: 1 Vad är matematik? en introduktion till gymnasiematematiken. Här finns bl.a. avsnitt om hur man beskriver tal och rum i matematiken. Mer än 100 olika övningar inom de fyra kategorierna. 2 Tal och räknesätt 3 Numerisk räkning 4 Geometri 5 Samband i matematiken Rita och tolka grafer, introduktion till begreppet funktion 6 Statistik 7 Tillämpad matematik bonuskapitelet dit man kan gå för att tillämpa sina kunskaper på matematik i den verkliga verkligheten. kapitel6 kapitel10 kapitel12 Naturvetenskap och samhällsvetenskap grundar sig på observationer av världen. Resultat av observationer t.ex. mätvärden eller enkätsvar, kallas för data. För att presentera och dra slutsatser från data använder man statistik. I det här kapitlet får du lära dig att använda de grundläggande verktygen för att sammanställa och presentera data. Kommer aktiemarknaden att gå upp eller ned? Är det värt att springa till bussen och hoppas på att den inte ska ha gått än, trots att jag är sent ute? Borde familjen budgetera för den nästan obefintliga risken att bilen, kylen, frysen och diskmaskinen går sönder på samma gång? Världen är full av osäkerhet. För att räkna på osäkerhet använder man Tillämpad matematik kallas det när man använder matematik för att säga något om verkligheten. I det här kapitlet ska vi studera ekonomiska och fysikaliska tillämpningar. De ekonomiska tillämpningarna är lån, investeringar, index och spel. Utöver de fyra räknesätten tillämpas här procenträkning, potenser, ekvationslösning och sannolikhetslära. I fördjupningsavsnitt på webben till Tal & Rum introducerar vi också en del ny matematik. 5

6 KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK? VAD ÄR EN METOD? Många räknemoment behöver man utföra ofta, såsom att multiplicera tal. Då vill man ha en effektiv metod, dvs. ett beprövat recept att följa för att enkelt och korrekt få fram svaret. Metoder och begrepp är matematiska verktyg. Lär dig att använda dem! DU VET VÄL ATT en matematisk metod också kallas för en algoritm? Ordet kommer från namnet på den arabiska matematikern al-khwarizmi som levde på 800-talet Metoder (och även begrepp, se nästa avsnitt) kan man se som matematiska verktyg som underlättar tankearbetet. Under tusentals år har människor fyllt på en matematisk verktygslåda med bra metoder och begrepp. Med de rätta verktygen blir det matematiska arbetet lättare och tankekraft frigörs för svårare frågor på en högre nivå. Att själv komma på en bra metod är inte lätt. Man måste därför lära sig färdiga metoder för olika sorters uppgifter. En del metoder har du lärt dig i grundskolan. Som exempel ska vi repetera algoritmen för multiplikation. För de gamla romarna var det ju en rejäl utmaning att multiplicera stora tal, men i decimalsystemet går det ganska enkelt om man vet hur man ska göra. Förkunskapskrav: multiplikationstabellen Eftersom tal byggs upp av siffror från 0 till 9 krävs det till att börja med att man kan multiplicera dessa byggstenar. Därför får barn i alla världsdelar lära sig multiplikationstabellen. Har du tänkt på att det räcker att lära sig halva tabellen? Multiplikationstabellen är symmetrisk kring diagonalen, så den undre triangeln är bara en spegling av den övre. EXEMPEL Multiplikationstabellen Det räcker att lära sig halva multiplikationstabellen Vad är 7 gånger 6? I tabellen ser vi att 6 7 = 42. Då är även 7 6 = 42. Kan du ge en förklaring? Se övning

7 KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK? VAD ÄR ETT BEGREPP? Matematiska begrepp är ord som heltal, rektangel eller udda. Bra begrepp är oumbärliga verktyg när man ska angripa verkliga problem (se avsnitt 1.7). Metoder Begrepp Matteverktyg Det är viktigt att alla som använder ett begrepp är överens om vad det betyder, annars blir det förvirring. Att specificera betydelsen kallas att definiera begreppet. Även om man har en tydlig uppfattning av vad ett begrepp innebär så kan det vara svårt att formulera en användbar definition. Vad är till exempel ett heltal? Här är ett försök till svar: Heltal är tal som är hela. En bra definition utgår från enklare begrepp. Det är ett dåligt svar, eftersom den definitionen inte är användbar om man inte redan vet vad som menas. En bra definition utgår från enklare begrepp. Om man antar att personen åtminstone vet vad ett antal är så kan man definiera heltal så här: DEFINITION av heltal Heltalen består av noll samt alla tal som är ett antal (1, 2, 3, ) eller minus ett antal ( 1, 2, 3, ). Varje begrepp definieras med andra enklare begrepp. Till slut kommer man ner till vissa grundbegrepp som man tycker får klara sig utan närmare definition. Antal och punkt är sådana grundbegrepp. 7

8 VAD ÄR ETT RESONEMANG? VAD ÄR ETT RESONEMANG? En tankekedja kallas för ett resonemang. I matematik ska man kunna motivera varje steg man gör i sina resonemang. Det är en god vana att skriva ut motiveringarna. Målet är att andra ska kunna följa med i vartenda steg. Matematikämnet ger utmärkt övning på att argumentera logiskt och tänka kritiskt, dvs. ifrågasätta allt man inte förstår. Till exempel, varför är två plus två lika med fyra? EXEMPEL Resonemang 1.70 Förklara varför 2 +2=4. Lösning: Med 2 menas följande antal: Med 4 menas följande antal: Med + menas att lägga ihop är alltså följande antal: Vi ser att är lika många som 4. PAPPANS RESONEMANG Vi är fyra personer i familjen. Alla brukar vilja ha var sin kotlett. Om dottern säger att det räcker med tre betyder det att hon inte vill ha någon. Alltså äter hon någon annanstans. När hon inte äter hos oss brukar hon vara hos sin bästis Rebecka. Att = 4 har ingen bestämt! Det följer logiskt ur definitionerna av begreppen två, fyra, plus och lika med. 8

9 VAD ÄR PROBLEMLÖSNING OCH MODELLERING? VAD ÄR PROBLEMLÖSNING OCH MODELLERING? Matematikens verktyg är väldigt allmängiltiga. Det går inte att i förväg förutse alla sammanhang när matematik kan användas. Därför ställs man ofta inför uppgifter som man inte har lärt sig en färdig metod för. Sådana uppgifter kallas problem. När man ställs inför ett problem krävs dels påhittighet, dels förmåga att utvärdera olika uppslag. Genom träning ökar man snabbt sin problemlösningsförmåga, och därför ingår många problem bland övningarna i denna bok. Här ska vi ta upp två viktiga problemlösningstekniker: Införa variabler och ställa upp en ekvation. Hitta ett mönster. En bokstav, t.ex. x, som man räknar med kallas variabel. EXEMPEL Ekvationslösning 1.89 För sjutton år sedan var Charlotte dubbelt så gammal som sin syster Caroline. Det skiljer sex år mellan systrarna. Hur gamla är de nu? Lösning: Kalla Charlottes nuvarande ålder för x år. Då är Caroline x 6 år. För sjutton år sedan var Charlotte var x 17 år och Caroline (x 6) 17 = x 23 år. Charlotte var då dubbelt så gammal som Caroline, dvs. x 17 = 2 (x 23). Genom att lösa ekvationen får i svaret: x 17 = 2 (x 23) x x 6 Förenkla: x 17 = 2x 46 Flytta över : = 2x x Förenkla: 29 = x Charlotte är alltså 29 år och Caroline är 29 6 = 23 år. Ekvationslösning tränas i kap 2. I kapitel 2 kommer vi att träna mer på ekvationer. 9

10 SUBTRAKTION OCH NEGATIVA TAL SUBTRAKTION OCH NEGATIVA TAL Lisa och Olle har tillsammans nio äpplen. Lisa har fem äpplen. Hur många äpplen har Olle? Svaret kan man förstås räkna ut som 9 5. Olles äpplen är de som återstår när vi har tagit bort Lisas 5 äpplen från de 9 äpplen som finns totalt, och operationen att ta bort betecknas med minus. DEFINITION (subtraktion) a b är det tal man får om man har a och tar bort b. Talen a och b kallas termer och hela uttrycket är en differens. 123 Om man tar bort mer än man har, vad händer då? Ett exempel är om temperaturen är tre grader och sedan sjunker fem grader. Då måste vi införa nya tal som är ännu mindre än noll: de negativa talen som finns till vänster om noll på tallinjen. Temperatursänkningen är en rörelse fem steg åt vänster från 3 till 2. Att ta bort är omvändningen till att lägga till. Minus är alltså omvändningen (även kallat inversen) till plus. DEFINITION Negativa tal Minus är omvändningen till plus. b är det tal som uppfyller b + b = 0. PRIORITERINGS- REGEL och + har samma prioritet EXEMPEL Varför minus minus är plus 2.60 Varför är ( 4) = 4? Förklara på tre olika sätt! Lösning 1: Minus ger omvänd riktning på tallinjen. 4 ligger fyra steg till vänster om noll. ( 4) ligger då fyra steg till höger om noll. Lösning 2: ( 4) är det tal som uppfyller ( 4) + ( 4) = 0. Den egenskapen har uppenbarligen talet 4. Lösning 3: 4 kr är en skuld. Att ta bort en skuld på 4 kr gör oss 4 kr rikare, dvs. ( 4) = 4. Minus ger omvänd riktning på tallinjen. Minus är inversen till plus. Minus är att ta bort, även skulder! 10

11 KAPITEL 2 TAL OCH RÄKNESÄTT EXEMPEL Multiplikation med negativa tal 2.61 Beskriv på tallinjen multiplikationerna a) 3 ( 2) b) ( 3) ( 2) Lösning: a) 3 ( 2) är 3 st ( 2)-steg på tallinjen, dvs. 3 2 steg åt vänster på tallinjen. b) ( 3) ( 2) är omvändningen till 3 2 steg åt vänster, dvs. 3 2 steg åt höger. Vi har sett att man kan tänka på minus på flera olika sätt. Hur man än ser på minus kommer man fram till samma räkneregler. De kan sammanfattas i att minus ger teckenändring (från + till och från till +). RÄKNEREGLER för minus a + ( b) = a b t.ex. 5 + ( 2) = 5 2 a ( b) = a + b t.ex. 5 ( 2) = (a + b) = a b t.ex. (5 + 2) = 5 2 ( a) b ab ( a) ( b) ab ( a) ( b) ( c) abc,etc. Lägga till negativt betyder dra ifrån. Dra bort negativt betyder lägga till. Minus framför summa byter tecken på varje term. I produkt ger varje minus teckenändring. EXEMPEL Summa med negativa tal 2.62 Förenkla 1 + ( 2) 5 (3 + ( 4)). Lösning: 1+( 2 ) 5 ( 3 ( 4 ) 1 10 ( 1) EXEMPEL Produkt med negativa tal INSER DU att udda antal minus ger minus, medan jämnt antal minus ger plus? 2.63 Beräkna ( 2y) 3y ( 5) ( 10). Lösning: Det är tre minustecken i produkten, så tecknet växlar ett udda antal gånger och slutar då på minus: ( 2y) 3y ( 5) ( 10) = = y 2 = 300y 2. 11

12 DIVISION OCH RATIONELLA TAL Övningar på division 2.83 Bråk som är större än 1 skrivs ibland på blandad form med en heltalsdel och en bråkdel, t.ex. 2 ½ istället för 5/2. Beräkna och svara dels på bråkform, dels på blandad form. a) b) 3 7 c) Förenkla till ett enkelt bråk. a) 1 2 b) Förenkla till ett bråkstreck. a) b) c) Förenkla a) d) b) y 2y Ange de bråktal som illustreras nedan. Förkorta så långt det går Hur många mil kan man köra på en full tank om tanken rymmer 45 liter och bilen drar 3/4 liter bensin per mil? 2.87 Finn värden på x så att sambanden gäller: a) 6x =2 b) x/6 = 2 c) 6/x = Förkorta följande bråk så långt som möjligt. 4 a) b) 14 x 10 21x c) 14 / 3 d) 2 2 y 6 3yz 2.89 Förkorta följande bråk så långt som möjligt. 3 2 a) b) a 4( 32) 4 7 a 2.90 Ange det rödmarkerade området som ett bråktal på två olika sätt. BEGREPP 2.93 Skriv följande bråktal i storleksordning med det minsta talet först. 5 2, 5 7, 5 11, 5 8, Ange vilka av följande tal som är större än , 5 4, 99/100, 0 7, 1 05, 12

13 KAPITEL 2 TAL OCH RÄKNESÄTT 2.95 Avgör vilka av följande tal som grovt räknat är ungefär lika med en halv: 5 9, , 5 11, , 4 13, x x 2 x a/b är ett bråk av positiva tal. Om man gör täljaren större blir värdet av bråket större. Hur ska man ändra nämnaren för att göra bråket större? PROBLEM Guldhalt anges i karat. 1 karat = 1/24 av vikten. Tre guldringar ligger på ett bord. En ring väger 32 g och är av 18 karat. En annan ring väger också 32 g men är av 15 karat och en tredje ring som är av 12 karat väger 38 g. Hur mycket rent guld ligger där på bordet? 2.97 Beräkna summan, differensen, produkten och kvoten av talen 1/15 och 3/ Ulla har kokat 8 liter sylt. Då hon hällde över sylten i småburkar gick det åt exakt 30 stycken. Hur mycket rymde en burk? Ange svaret i bråkform. RESONEMANG 2.99 Förklara genom att multiplicera med nämnaren varför a) , b) , c) 1 2 / 5 5/ Har du tänkt på att 1/2 < 2/3 < 3/4 etc.? Förklara varför m m 1 alltid måste n n 1 gälla för positiva tal där m < n Division definieras som att a/b är det tal som uppfyller b a/b = a, dvs. delat med är omvändningen till gånger. Använd multiplikation till att förklara följande räkneregler. a) a / b a 1 Tips: Multiplicera båda b led med b. b) n b m b c) a c a b c b d) a b n m b a b Tips: Multiplicera båda led med b. Tips: Multiplicera båda led med b c. Tips: b = ( 1) b A, B och C spelar på tips tillsammans. Vid ett tillfälle då de vunnit 3600 kr hade A satsat 20 kr, B hade satsat 30 kr och C 70 kr. Hur skulle vinstpengarna fördelas? En klubb har 63 medlemmar. Fem sjundedelar är kvinnor. Hur många män ingår i klubben? En tunna rymmer 2/5 m 3. a) Hur mycket rymmer femton sådana tunnor? b) Hur mycket vatten är det i en sådan tunna när den är fylld till en fjärdedel? En växt skrumpnar sedan en tid tillbaka. För varje månad minskar dess längd till 4/5 av längden månaden innan. I början av april var växten 100 cm hög. a) Hur hög är växten i början av juni? b) Hur hög var växten i början av mars? Ge svaren i hela cm. 13

14 DIVISION OCH RATIONELLA TAL På en fotbollsmatch med 2000 åskådare var tre fjärdedelar män. Av dessa var hälften under 30 år. Av dessa åt en femtedel mat. Av dessa åt två tredjedelar korv. a) Hur många av deltagarna var korvätande män under trettio år? b) Hur stor andel av deltagarna var korvätande män under trettio år? c) Hur många män var över 30 år? d) Hur många kvinnor var det på matchen? Det bruna och blå fältet utgör var för sig 1/n av den totala rektangeln. Hur stor andel av det ickebruna området är blått? En kompisgäng beställer mat. De tänker dela notan lika. Plötsligt inser Pernilla att hon måste gå och springer utan att betala. Thomas säger: Typiskt, nu måste vi andra betala 12 kr till var. Jag springer efter. Men Jana invänder: Sitt kvar! Om du också försvinner måste ju alla betala ytterligare 15 kr till. Hur mycket kommer de kvarvarande att få betala per person? När en tredjedel av ett tal subtraheras från hälften av samma tal får man 7. Vilket är talet? Amir har kokat 7 liter sylt. Hur många syltburkar gick det åt om varje burk rymde a) en halv liter b) en tredjedels liter c) 5/ 6 liter? Välj ett tal, vilket som helst. Lägg till 4 och dubbla sedan summan. Dra nu ifrån 6 och dividera därefter differensen med 2. Vad fick du? Upprepa proceduren ett antal gånger med några andra fritt valda tal. Vilket mönster uppträder och varför? Özz åker långfärdsskridsko runt en plogad bana på en insjö. Varje varv tar honom 28 minuter. Amanda åker samma bana men åt motsatt håll. De möts var tolfte minut. Hur lång tid tar det för Amanda att åka ett varv? 14

15 KAPITEL 3 NUMERISK RÄKNING FÖRÄNDRINGSFAKTOR Upprepade procentuella förändringar kan man inte bara lägga ihop. Man måste istället multiplicera förändringsfaktorerna. Om priset stiger med 40 % så har det förändrats med faktorn 1,40. Om priset sedan sjunker med 40 % så har det förändras med faktorn 0,60. Den totala förändringen blir 1,40 0,60 = 0,84 dvs. en prissänkning med 16 %. DEFINITION Förändringsfaktor När en storhet förändras är förändringsfaktorn = nytt värde gammalt värde Därmed gäller nytt värde = gammalt värde förändringsfaktorn EXEMPEL Förändring till det större Sabina och Rickard köper en lägenhet för en miljon kronor. Den stiger i värde 20 procent per år i fem år. Hur mycket är den värd då? Fel svar: En värdestegring på 20 % per år i fem år är totalt 100 %, dvs. från en miljon till två miljoner kronor. Förändringsfaktorer multipliceras ihop Rätt svar: Förändringsfaktorn är 1,20. På fem år förändras priset med faktorn 1,20 1,20 1,20 1,20 1,20 = 1,20 5 2,5. Från en miljon kronor går priset upp till 2,5 miljoner kronor. 15

16 FÖRÄNDRINGSFAKTOR EXEMPEL Förändring till det mindre En solig sommardag sålde en kiosk tvåhundra glassar. Nästa dag var mulen, då såldes 30 procent färre glassar. Dagen därpå regnade det, då sjönk försäljningen med ytterligare 80 procent. Hur många procent sjönk försäljningen totalt på två dagar? Fel svar: Försäljningen sjönk med 30 % + 80 % = 110 %. Rätt svar: Den mulna dagen förändrades försäljningen med faktorn 0,70. Den regniga dagen förändrades försäljningen med faktorn 0,20. Total förändring blev 0,70 0,20 = 0,14, dvs. försäljningen minskade med 86 % på två dagar. Inget kan minska mer än 100 %! Övningar på förändringsfaktor Vad är förändringsfaktorn vid en ökning med a) 5 procent b) 100 procent c) 0 procent d) 430 procent e) x procent Vad är förändringsfaktorn vid en minskning med a) 8 % b) 50 % c) 0 % d) 100 % e) y % Vad är förändringsfaktorn vid en förändring a) från 50 kg till 40 kg b) från 40 kr till 50 kr c) från 17 st till 17 st d) 30 procentenheter till 0 procentenheter e) från x till y Om fack och arbetsgivare kommer överens om löneökningar på 4,1 procent per år i tre år, hur stor löneökning blir det på tre år? En butik drar av 10 % på priset på alla varor. Nästa vecka drar de av ytterligare 20 %. Hur stor prissänkning blev det totalt? År 1945 åt svenskarna 4,6 kg ost per person. Under de tre kommande tjugoårsperioderna ökade konsumtionen först med 74 %, sedan med ytterligare 85 % och slutligen med ytterligare 22 %. Hur mycket ost åt svenskarna per person år 2005? År 1945 åt svenskarna 14,4 kg smör per person. Under de tre kommande tjugoårsperioderna minskade konsumtionen med 39 %, 61 % respektive 62 %. Hur mycket smör åt svenskarna per person år 2005? BEGREPP Vad ger störst ökning, att först öka med 20 % och sedan minska med 10 % eller att först minska med 10 % och sedan öka med 20 %? I vilken av följande situationer har man särskild nytta av att räkna med förändringsfaktorer: a) vid extra stor förändring b) när förändring kan vara både uppåt och nedåt c) vid upprepad förändring. RESONEMANG En svensk ekonomiprofessor skrev en gång om Chile att landets valuta under sex år på 1970-talet tappade flera hundra procent i värde. Förklara hur professorn måste ha tänkt fel. (Valutan tappade i snitt 60 % av sitt värde per år under denna period.) 16

17 KAPITEL 3 NUMERISK RÄKNING PROBLEM En butik som har slutrealisation under en vecka börjar med att sänka priset med 10 procent på måndagen. Sedan fortsätter de att sänka priset med 10 procent varje dag. Har de sänkt mer än halva priset på söndagen? En butik som har slutrealisation under en vecka vill sänka priset med lika många procent varje dag, så att priset halveras på sju dagar. Med två siffrors noggrannhet, hur många procent ska den dagliga sänkningen vara? I ett glas finns en deciliter vatten, i ett annat glas finns två deciliter vin. Hillevi tar en matsked från vinglaset, häller över i vattenglaset och rör om. Sedan tar hon en matsked av blandningen och häller över i vinglaset. a) Är det nu mer vin i vattnet än det är vatten i vinet, mätt i volym? b) Är det mer vin i vattnet än det är vatten i vinet, mätt i procent? c) Hur stor andel vin är det i vattenglaset? d) Hur stor andel vatten är det i vinglaset? Befolkningen i en liten by ökade ett år med 25 % för att året därpå minska med 25 % till 3000 invånare. Vad var antalet två år tidigare? På en given kvadrat ökas alla sidlängder med 41 %. Med hur många procent ökar omkretsen respektive areran? Sträckan AB har uppskattats till 50 5 meter och sträckan AC till meter. Den relativa osäkerheten är alltså 10 %. Vad är den relativa osäkerheten i sträckornas summa (AB + AC = 150 m), i sträckornas förhållande (AB:AC = 1:2), och i sträckornas produkt (AB AC = 5000 m 2 ) Jag skulle vilja gå ner tio kilo, sa hundrakilosmannen Sven-Hubert, och varje sommar motionerar jag bort tio procent av vikten men varje vinter går jag upp tio procent igen, så det är hopplöst! Säg något uppmuntrande till Sven-Hubert som bygger på dina goda kunskaper i procenträkning. 17

18 KAPITEL 6 STATISTIK INSAMLING OCH SAMMANSTÄLLNING AV STATISTIK Vetenskapliga undersökningar kräver insamling och sammanställning av data. Man kan dela upp detta arbete i fyra steg: 1. Utformning av protokoll/enkät. Vilka frågor vill man besvara och hur ska svarsalternativen se ut? 2. Genomförande av mätningar med ifyllande av protokoll eller utdelning och insamling av enkät. Mängden av ifyllda protokoll/enkäter kallas rådata och är oftast helt oöverskådlig. 3. Sammanställning av data krävs för att göra informationen mer överblickbar. Man kategoriserar svar, summerar ihop totaler och beräknar frekvenser. 4. Presentation av data sker i tabell eller diagram av lämplig form. Två sätt att mäta längd: Det finns olika sätt att samla in data: mäta själv eller fråga någon annan som redan mätt. 18

19 SAMMANSTÄLLNING AV STATISTIK Rosemary och Peter Grant EXEMPEL Utforma protokoll 6.19 På Galapagosöarna lever Darwins finkar. Där har evolutionsbiologerna Peter Grant och Rosemary Grant i många år undersökt hur finkarnas näbbstorlekar utvecklas. Forskarna går varje år igenom hela populationen av finkar och mäter bl.a. varje honas näbbstorlek och hur många ungar hon får. Hur kan man utforma ett protokoll för detta? Lösning: fågel id näbb (mm) 8,4 10,1 7,1 8,6 8,9 9,3 10,1 7,9 9,8 antal ungar Enklast tänkbara protokoll är en kolumn för varje fink, med en rad för varje mätetal. Sammanställning av data från protokoll och enkäter gör man numera oftast genom att man matar in dem i ett statistikprogram. Bilden visar datafönstret från programmet Stathuset. 19

20 KAPITEL 6 STATISTIK frekvens antal ungar EXEMPEL Sammanställa data för antalet ungar 6.20 Hur kan man för hand enkelt sammanställa och presentera data över antal ungar? Lösning: Gör en avprickningslista med en rad för varje tänkbart antal ungar. Sätt ett streck på rätt rad för varje fågel. Gruppera strecken fem och fem. Avläs sedan frekvenser, dvs. antalet streck på varje rad. Summera så att du får totalen. Beräkna relativa frekvenser genom att dividera frekvenser med totalen. Antal ungar Avprickning Frekvens Relativ frekvens 2 I 1 11 % 3 I I 2 22 % 4 I I I I 5 56 % 5 I 1 11 % SUMMA % Vill man använda ett diagram för att presentera detta datamaterial kan ett stolpdiagram vara lämpligt, eftersom antal ungar är heltal. EXEMPEL Sammanställa data för näbblängder frekvens 6.21 Hur kan man för hand enkelt sammanställa data över näbblängder? Lösning: Att pricka av näbblängder direkt är inte särskilt meningsfullt eftersom de kan anta så många olika värden. I sådana fall bör man välja ett sätt att kategorisera sina data: klumpa t.ex. ihop alla värden som börjar på samma hela antal millimeter. Näbb (mm) Avprickning Frekvens Relativ frekvens 7,0 7,9 8,0 8,9 9,0 9,9 10,0 10,9 näbbstorlek, mm 7,0 7,9 I I 2 22 % 8,0 8,9 I I 2 22 % 9,0 9,9 I I I 3 33 % 10,0 10,9 I I 2 22 % SUMMA 9 99 % HUR KAN SUMMAN BLI 99 %? Obs! Avrundning kan medföra att procenttalen skenbart inte summerar till 100. Ett stapeldiagram där kategorierna, i detta fall näbblängd, är talintervall kallas för histogram. 20