Något om Matematisk modellering och Mathematica

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Något om Matematisk modellering och Mathematica"

Transkript

1 HH/ITE/BN Matematisk modellering och Mathematica 1 Något om Matematisk modellering och Mathematica Bertil Nilsson t Vtct q intc in tq ut tc ut t c0 c 0 t 0, Τ, Vt A k 1 B k 2 k C A t B t C t k 1 A k 1 Ak 2 Bk C k 2 Bk C

2 2 Matematisk modellering och Mathematica HH/ITE/BN Förord På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till matematisk modellering med med något lite användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges. Introduktion Matematiken har för de flesta människor en undanskymd och inte sällan ifrågasatt tillvaro. Vi har ju datorer!! I själva verkat har den en allt viktigare, om än lite osynlig, betydelse i våra liv. I en konkurrensutsatt verksamhet gäller det för en modern ingenjör att minska ledtider och spara in på kostsamma provserier. Därför är all produktutveckling numera helt beroende av att kunna simulera sina produkter i dator under utvecklingsfasen. Framgångsrik utveckling av exempelvis bilar, datorer, mobiltelefoner, vindkraftverk och medicinsk utrustning vore otänkbart utan stöd av avancerad matematik! Detsamma gäller för mera "osynliga saker", såsom effektiv schemaläggning av flygtrafik (tåg, sopbilar, elnät, mobilnät...) eller sökmotorer (Google) på www. Att modellera verkliga problem med hjälp av matematik kräver erfarenhet och ett öppet sinnelag. Till sin natur är denna verksamhet oftast helt skild från den matematikundervisning man möter i skolan och upplevs av naturliga skäl som svår. Inte minst på grund av att man ska hämta kunskap och inspiration från flera grundläggande ämnen, inte bara matematik även om detta kommer att bli själva språket. Det gäller att "se" på verkligheten genom glasögon som identifierar och tydliggör fenomen som kan kläs med matematiska begrepp som derivata, integral och differentialekvation. Med detta betraktelsesätt tillägnar sig en modern ingenjör en klar konkurrensfördel eftersom modellering och simulering är ett absolut krav för att klara de allt kortare ledtider som krävs för att utveckla nya produkter. Modellering är inte något speciellt för matematik, mer än att den blir lite mer precis, utan något som vi ägnar oss åt jämt och ständigt, undermedvetet eller ej. Det kanske handlar om en mental modell över gruppdynamiken i en klass, vilken i sin tur kan påverka vårt beteende eller hur ska jag kryssa mellan bilarna på parkeringsplatsen utanför Maxi för att minimera avståndet till dörren. Beroende på väder väljer vi kanske helt olika vägar när vi ska förflytta oss inom Högskoleområdet, osv. Vi sammanfattar redan nu några punkter om Matematisk modellering Handlar om att kunna omsätta matematiska kunskaper i praktiken för att erhålla användbara lösningar på problem hämtade från verkligheten. Man måste bland annat kunna avgöra vilken och hur en matematisk teori kan användas i ett specifikt problem. Ett bra sätt att systematiskt struktuera och analysera ett verkligt problem. Konstruktion av modellen leder ofta till ökad kunskap om det verkliga problemet. Matematisk analys av modellen kan ge ökad insikt om det verkliga problemets egenskaper. Med modellen kan vi simulera verkligheten under hypotetiska scenarier, t.ex. utföra experiment som inte låter sig göras i verkligheten på grund av att det vore för dyrt, tidsödande eller riskabelt, eller helt enkelt omöjligt. Är ett tvärvetenskapligt ämne där man använder matematiken som ett verktyg i tillämpningar, som inte alltid vid första anblicken ter sig matematiska. Är ingen exakt vetenskap med entydiga korrekta svar. Olika angreppssätt kan ge olika resultat. Lär man sig enklast (endast?) genom att själv praktisera det. Matematisk modellering är en mycket kreativ sysselsättning! Vad är en matematisk modell? Begreppet matematisk modell har blivit ett populärt inslag i den tillämpade matematiken, ungefär från 1960-talet och framåt. Modelltänkandet erövrar alltfler områden där matematiken används: naturvetenskap, teknik, ekonomi, samhällsvetenskap osv. En orsak till den här utvecklingen är de enorma möjligheter som numera finns att med datorers hjälp göra snabba numeriska beräkningar. Det går att arbeta med komplicerade matematiska konstruktioner och ända få fram användbara resultat. Före datorernas tid var man hänvisad till analytiskt lösbara formuleringar eller tidsödande numeriska beräkningar. Modellbegreppet Ordet modell kommer från det latinska ordet modulus (litet mått) och betyder förebild eller mönster. En modell avbildar eller föreställer något annat. Detta som avbildas kallar vi det verkliga eller riktiga systemet. Den fysiska modellen är ett eller flera objekt som konstrueras för att efterlikna ett system. Modelljärnvägen avbildar "riktiga" tågvagnar, lok, spår, växlar, signalsystem osv. Ibland görs modellen före det riktiga systemet. En fartygsmodell där skrovets form är noga definierad byggs traditionellt före fartyget och används vid byggandet för att ge varje del dess rätta form. Vid modellförsök använder man skalriktiga modeller för att undersöka fysikaliska förhållanden.

3 HH/ITE/BN Matematisk modellering och Mathematica När en fysisk modell skapas nöjer man sig med att avbilda vissa egenskaper hos systemet och bortse från andra. Vad som är intressant eller ointressant avgörs av syftet med modellen. Studerar man luftströmningen runt en flygplanskropp behöver man inte montera in stolar i flygplansmodellen! När en modell av en damm konstrueras för att studera belastningar använder man andra material än de som den riktiga dammen senare byggs av. Den store filosofen och matematiken Rene Descartes ( Dog i Stockholm som drottning Kristinas personlige lärare i matematik.) introducerade och utvecklade begreppet matematisk modell. I början hade Descartes en dröm om att hitta en universell metod, en matematisk metod förstås, för att beskriva varje problem som kunde komma från verkligheten och sedan lösa problemet. Även om hans dröm aldrig förverkligats, så finns det mängder av problem som kan lösas i denna anda. I korthet gick den ut på följande: Reducera problemet till ett matematiskt problem. Reducera det matematiska problemet till ett algebraiskt problem. Reducera det algebraiska problemet till att lösa en ekvation. Matematisk modell En matematisk modell "avbildar" eller beskriver ett system med hjälp av matematiska begrepp och storheter. Exempel: är lätta att hitta genom historien Människor har i alla tider haft en önskan att förstå dygnets växling mellan dag och natt, årstidernas regelbundna återkomst, sol- och månförmörkelser osv. Många matematiska modeller för solsystemet har utvecklats under historiens gång. På medeltiden föreställde man sig jorden som fast och orörlig. Runt jorden rörde sig solen och planeterna på bestämda sfärer (den "ptolemeiska" världsbilden). Den Kopernikanska modellen placerar i stället solen i medelpunkten med jorden och de övriga planeterna i cirkulära banor runt den. Kepler var den som kom fram till att planetbanorna beskriver ellipser. Dagens astronomer arbetar med förfinade modeller där nya planeter, kometer och asteroider ingår. Modellerna av solsystemet är formulerade i geometriska eller matematiskt analytiska termer och är därför matematiska modeller. Den allmänna gravitationslagen (formulerad av Newton 1684) kallas en naturlag. Den ingår i den klassiska matematiska modellen för partiklars och kroppars dynamik. Modellen har visat sig vara enormt användbar för att beskriva kroppars rörelse i verkligheten. Men liksom andra modeller har den ett begränsat giltighetsområde. Den kan t.ex. inte användas för att beskriva vad som händer inuti atomer. Hormonet insulin balanserar sockerkoncentrationen i blodet. Man kan matematiskt beskriva hur halterna av insulin och socker i blodet påverkar varandra. Varför gör man modeller? För att få svar på frågor om hur en system fungerar kan man genomföra experiment med systemet. Men det finns många tillfällen då ett experiment med det riktiga systemet inte är möjligt. Skälen kan vara olika: det kan vara omöjligt: Det går inte att experimentera med solsystemet eller med väder och vind. Inte heller kan man experimentera med en system som ännu inte finns utan ska konstrueras. det kan bli för dyrt: Att experimentera med reglersystemet i en stor processindustri kan kosta hundratusentals kronor i förstörd produktion. det kan vara farligt. Provflygningar med nykonstruerade flygplan skulle vara mycket riskabla utan föregående noggranna beräkningar i matematiska modeller och studier av fysiska modeller av planet. Att testa fram dosering av mediciner på människor utan att utsätta personer för risker är bara möjligt inom snäva gränser. att få bättre förståelse av systemet. att sammanfatta teorier om systemet. att förmedla generell kunskap om systemet. att strukturera eller formalisera kunskap och tankar för diskussion och kritik. att kvantifiera skeenden i mer komplexa sammanhang. att studera ett planerat eller hypotetiskt system när ett verkligt inte finns. att göra projektioner för framtiden utifrån befintlig kunskap. att simulera experiment som är för svåra, farliga, tidskrävande eller dyra i verkligheten för att hinna med i konkurrensen. att använda som redskap i ett prognos- eller förvaltningssammanhang. Vi sammanfattar: Matematisk modellering är en nödvändighet inom all modern utveckling! I en konkurrensutsatt verksamhet gäller det för en modern ingenjör att minska ledtider och spara in på kostsamma provserier.

4 4 Matematisk modellering och Mathematica HH/ITE/BN Modellen ger ny kunskap I många fall är man alltså hänvisad till studier av modeller av systemet. Hur kommer det sig då att man kan få reda på något nytt - något som man inte redan visste när modellen konstruerades - genom att undersöka en modell? Den matematiska modellen är uppbyggd på ett antal grundläggande förutsättningar som väljs så att de beskriver centrala egenskaper hos systemet. Egenskaperna är experimentellt eller erfarenhetsmässigt verifierade. Sådana egenskaper kan t.ex. vara naturlagar (som i själva verket också de är matematiska modeller som är väl undersökta och vars giltighet man noga känner sedan tidigare). Det kan också handla om egenskaper man har iakttagit hos det speciella systemet ifråga. Utifrån dessa egenskaper, som formuleras i matematiska termer, och andra antaganden eller förenklingar man kan behöva göra, drar man slutsatser. Då hanterar man sina matematiska objekt och använder logikens lagar enligt vad som gäller inom matematiken. De matematiska teorierna är i sin tur baserade på vissa axiom och logiska regler. Det betyder att de slutsatser man kommer fram till är trovärdiga logiska konsekvenser av de förutsättningar man grundat modellen på. Det gäller åtminstone om de förenklingar man gjort på vägen inte varit för grova. Den nya kunskap om systemet som modellen ger oss är alltså i princip logiska konsekvenser av egenskaper som vi själva valt ut och som vi anser karaktärisera systemet. De konsekvenserna kan emellertid vara svåra att lista ut utan hjälp av matematiken. Matematikens formalism är bekväm och många teorier grundligt genomarbetade. Därför blir matematiken ett mycket kraftfullt verktyg. Vilka frågor kan modellen besvara? De frågor man ställer kan röra sig om vitt skilda saker. Exempel: på frågor vars svar man kan söka genom att konstruera och studera matematiska modeller: Varför skakar min bil just vid vissa hastigheter och inte andra? Vilket jakttryck tål en viss älgstam? Hur hög ska en skorsten byggas för att röken inte ska smutsa ned luften i närheten av anläggningen? Vilket väder får vi i morgon? Hur ska insulindosen väljas för en viss patient? Hur ska jag optimera ett visst transportsystem med tanke på energiåtgång, tidskrav, ekonomi? I hur många steg ska en raket byggas? Är vi på väg mot ett varmare klimat på jorden på grund av de koldioxidutsläpp människan orsakat eller är vi på väg mot en ny istid? Hur ska ett effektivt datorprogram för lösning av linjära ekvationssystem se ut? Kommer sälstammen utanför svenska västkusten att kunna återhämta sig? Vilken effekt på skatteplanerandet får förslaget till ny aktiebeskattning? Typen av frågor går att klassificera. Ett sätt att göra det är följande: Förståelse. Vi söker förstå hur ett system fungerar - kanske av ren nyfikenhet. Förutsägelse. Vi önskar kunna förutsäga hur systemet kommer att bete sig i framtiden. Styrning. Vi har eller vill skaffa oss metoder att påverka systemet så att det fungerar på ett förutbestämt sätt. Konstruktion. Vi är ute efter att konstruera ett visst system vars egenskaper vi önskar bestämma i förväg eller som vi vill göra optimala i någon mening. De fyra typerna bildar nivåer i en hierarki. Förståelse är grundläggande och krävs för att kunna göra förutsägelser. Både kontroll och konstruktion bygger på de två andra. För en ingenjör är det naturligt att arbeta med de två sista typerna av frågor. Grundforskning inom naturvetenskapen handlar ofta om den första typen medan tillämpad teknikforskning mest rör sig med frågor av de andra tre typerna. Klassificering av matematiska modeller En modell kallas mekanistisk om den beskriver ett orsaks-samband. En icke-mekanistisk modell kan bestå av empiriskt baserade samband mellan parametrar och variabler, i det enklaste fallet en kurvanpassning. Ofta får man börja att arbeta med en icke-mekanistisk modell för att senare kunna sluta sig till hur en mekanistisk ("förklarande") modell kan se ut. En modell är statisk om den beskrivs helt och hållet av de momentana (just aktuella) värdena av vissa parametrar eller insignaler. Modellen har inget "minne". Ett dynamiskt systems tillstånd däremot bestäms också av sin förhistoria. I den matematiska beskrivningen kommer tidsderivator in när det gäller dynamiska modeller. Ett dynamiskt system brukar beteckna ett system som kan beskrivs i en matematisk modell där ekvationerna som ingår är ordinära differential- eller differensekvationer. Man skiljer också på kontinuerliga och diskreta modeller. Diskreta modeller innehåller variabler som förändras i diskreta steg (t.ex. antal) eller har bara ändligt många alternativa tillstånd. Kontinuerliga modeller beskrivs av variabler som förändras kontinuerligt eller infinitesimalt. Ett kontinuerligt system modelleras med differentialekvationer.

5 HH/ITE/BN Matematisk modellering och Mathematica 5 En deterministisk modell ger åt varje ingående variabel ett väldefinierat värde. I en stokastisk modell arbetar man med slumpmässighet. En variabel har inte ett bestämt värde utan beskrivs av en sannolikhetsfördelning. När ett system innehåller inslag av slumpmässighet kan det vara nödvändigt att göra en stokastisk modell för att den ska bli realistisk. En komplikation är att deterministiska system kan ha ett stokastiskt utseende. Det gäller framför allt så kallade kaotiska system. Den matematiska definitionen på kaotiskt dynamiska system är att mycket små skillnader i begynnelsevärden medför stora skillnader i slutändan. Exempel: För att bestämma nedböjning och påkänningar på en bro används ofta Eulers balkteori som modell. För samma indata, brospann, pilonhöjd, balktjocklekar osv. får man samma svar varje gång man räknar. Vi har en deterministisk modell. Hur ska man dimensionera antalet öppna kassor på ICA? Med kännedom om hur många personer det kommer per tidsenhet och deras överläggningar angående kön till kassan kan man med slumptal studera hur vinsten blir vid olika konfigurationer. Här får vi olika svar varje gång vi kör modellen, alltså en stokastisk modell. Vädret är ett mycket bra exempel på svårförutsägbart system. Lite skämtsamt brukar man säga att en fjäril som fladdrar i Amazonas kan påverka vädret i Sverige. Riktigt så illa är det nog inte, men principen är riktig. Vi har att göra med ett kaotiskt system. Hur gör man en matematisk modell? Att modellera är något man lär sig genom erfarenhet och det är inte lätt att beskriva en metod som fungerar i alla situationer. Ett krav är kännedom om det aktuella systemet. Ett annat är goda matematiska kunskaper. Det går dock att peka på vissa aspekter av modelleringens konst redan med enkla modeller som inte kräver specialistkunskap eller avancerade matematiska metoder. Ofta får man ta fram en första modell som sedan förbättras i flera omgångar. Arbetet kan inte formaliseras helt och hållet men en viss struktur kan urskiljas. I arbetet med en viss modell följer stegen inte alltid efter varandra i den logiska ordning som presenteras här men i princip kan man säga att man vevar runt tills man är nöjd! Man ska vara medveten om att alla system uppfattas och "filtreras" genom de sinnen och instrument som vi har till hands när vi ska uttala oss om "sanningen". Vår uppfattning om verkligheten är alltså inte verkligheten utan redan det en tanke-modell. Dessutom är alla system delar av andra system i en hierarki. Det gäller att göra lämpliga avgränsningar. Exempel: Antag att du vill konstruera en modell av hur mängden grodor varierar i en damm. I det fallet kan man anta, med viss säkerhet, att cellprocesser är så snabba att de inte nämnvärt påverkar variationen i grodantal. Man kan också anta att mängden grodor i en damm flera mil därifrån inte heller nämnvärt påverkar den lokala populationen. Vidare kan man nog anta att eventuella evolutionära processer är så långsamma att de inte heller påverkar antalet. På så sätt kan man begränsa detaljrikedomen i modellen, och göra den hanterlig. Hade däremot syftet med modellen varit att beskriva grodornas näringsupptag hade det varit nödvändigt att avgränsa detaljrikedomen på ett annat sätt. Beteendet hos modellen beror helt och hållet på vad man stoppar in, det vill säga de antaganden man gör om systemet. Ändrar man ett antagande kan man ändra utfallet totalt. Därför är det viktigt att noggrannt ange alla antaganden för att utomstående ska kunna bilda sig en uppfattning om var och när en modell är giltig. Om antagandena inte är giltiga för ett visst system kan modellen ge en felaktig bild av den verklighet den avser att avbilda. För att utvärdera modellens giltigheten är det därför nödvändigt att jämföra med

6 6 Matematisk modellering och Mathematica HH/ITE/BN verkligheten. Var också observant på orimliga resultat från modellen. Det går att konstruera modeller för vilka system som helst, fast metoden kan variera kraftigt beroende på frågeställning och mellan vetenskapliga discipliner. I vissa discipliner är verbala eller logiska modeller vanligast medan andra discipliner använder nästan enbart matematiska modeller. I princip är det ingen skillnad, men den matematiska modellen har fördelen att vara betydligt mer koncis och transparent. Oftast är avnämaren inte någon matematiker därför gäller det att föra samtalet kring problemställningen i en god resonerande ton och behålla de matematiska reflektionerna som dyker upp för sig själv. Precisera frågeställningen Den ursprungliga frågan är ofta vag och oprecis. Gör man modellen på uppdrag av någon annan är det särskilt viktigt att ta god tid på sig att precisera frågan. Det kan också bli aktuellt att föreslå en annorlunda infallsvinkel som leder till en helt ny frågeställning. Det är ofta svårt att precisera frågeställningen utan att samtidigt skaffa sig kunskaper om hur systemet fungerar. Exempel: Antag att vi får i uppdrag att göra ett förslag till belysning av en idrottsarena. Vilket är bästa sättet att ordna belysningen? Vad menas med "bästa"? Starkast, jämnast, utan reflexer...? Eller menar man kanske billigast? Vilka minimikrav ställs? Ska vi ta fram alternativa modeller till olika kostnad och olika kvalitet? Vill vi ha en kvalitativ modell, det vill säga en modell som reagerar proportionellt på ingående parametrar på samma sätt som den verkliga modellen eller krävs en kvantitativ modell där vi även kräver numerisk relevans? Exempel: Antag att vi ska dimensionera hjulupphängningen på en bil och har tagit fram en modell över hur någon storhet varierar med mönsterdjupet Δ på däcket. Vi vill nu se vad som händer när vi dubblerar vikten på hjulet. Vi förväntar oss ett högre värde på vår studerade storhet. Till vänster har vi en icke kvalitativ modell. Att den blev rätt i första fallet var förmodligen tur eller "fusk". I mitten har vi en kvalitativt riktig modell. En sådan är ofta enkel, snabb och räcker långt för att bedriva utvecklingsarbete över en kopp kaffe på Heathrow. Den högra är kvantitativ och därmed även kvalitativ. En sådan är oftast mer omfattande, kanske svåröverskådlig, och kräver datorberäkning. prov, modell Ej kvalitativ d prov, modell Kvalitativ d prov, modell Kvantitativ d Det är mycket viktigt att formulera sig i kvantifierbara termer eftersom modellens relevans så småningom ska utvärderas mot vad vi preciserat här! Identifiera faktorer och samband De faktorer i systemet som kan påverka svaret på vår frågeställning kan vara många. Alla sådana faktorer kandiderar till en plats i den matematiska modellen. Man kan dela upp arbetet med att hitta faktorer i två steg. I en "brain-storming"-fas listar man alla tänkbara faktorer. I nästa fas väljer man ut de faktorer som ska finnas med i modellen. Anledningen att utesluta en viss faktor kan vara någon av följande: Dess inverkan är försumbar jämfört med andra faktorer. Vi kan eventuellt ta med den i en förfinad version av modellen senare. Det är omöjligt att förutse dess konsekvenser. Vi får tänka oss att den faktorn inte varierar eller spelar en liten roll. Det är svårt eller invecklat att beskriva hur faktorn påverkar systemet. Det gäller en slumpmässig variation. Vi är av något skäl inte beredda att göra en stokastisk modell eller tror att slumpmässigheten inte påverkar resultatet nämnvärt. Vi får arbeta med medelvärden i stället. Det är lätt att inse att vi kan införa stora begränsningar när vi bestämmer vilka faktorer som inte kommer med i modellen. Det gäller att hålla detta i minnet när utvärderingen av modellen sker så småningom. Är modellens förutsägelser dåliga kan det bero på att vi har försummat en faktor som inte var oviktig. Hur påverkar de olika faktorerna varandra? Om det går att formulera samband bör det göras redan nu. Än så länge kan man nöja sig med kvalitativa beskrivningar. Vrid och vänd på problemet. Förenkla! Idealisera! Vilka storheter kan ha betydelse? Använd kunskap, förnuft, intuition eller chansa! Vad vet jag? Vad söker jag? Vilken informatio-

7 HH/ITE/BN Matematisk modellering och Mathematica 7 nen finns? Nödvändiga? Onödiga? Motsägande? Verkar det rimligt? Vad har jag sett för teorier om sådant här? Kanske kan man omformulera problemet? Har jag sett något liknande tidigare? Vad skiljer i så fall problemen åt? Vad behöver jag ändra i den för den ska passa in här? Lista, rita bubblor och pilar och försök länka samman! Kanske kan jag hämta en modell från ett helt annat tillämpningsområde. Kom ihåg att en roll matematiken har är att koka ner olika tillämpningar och peka på gemensamma strukturer i grunden som absolut inte verkar uppenbara för det otränade ögat! Exempel: Så vitt skilda fenomen som radioktivt sönderfall, bakterietillväxt, avsvalning av sockerkaka, blandning av föroreingar i en sjö, m.fl. beskrivs av exakt samma differentialekvation. Det är bara dimensionen på ingående storheter och parametrar som varierar. Tänk på att börja enkelt! Om vi studerar modelleringsloopen ovan ser vi att det finns bara en väg ut! Det duger alltså inte att göra något så komplicerat att vi inte kommer runt! Sitt inte i ett hörn och deppa. Framåt till "varje" pris...!! I ett företag duger det inte att akademiskt proklamera "Ett intressant matematiskt problem, det löser vi kanske om 100 år!". Då har förmodligen företaget gått i konkurs för länge sedan. Så Einsteins gamla devis duger gott "Make it as simple as possible, but not simpler!" Börja enkelt! Det kanske räcker! Annars modifierar vi i nästa varv av modelleringsloopen ovan! Översätt till matematiskt språk De faktorer som ska inga måste kvantifieras för att kunna användas i en matematisk modell. Vi inför alltså ett antal variabler som beskriver faktorer som vi vill studera. Vi kan också introducera vissa hjälpvariabler eller parametrar som gör det möjligt att beskriva egenskaper hos systemet. Parametrar är storheter som vi väljer att hålla konstant under en betraktelse. Ofta gör man en parameterstudie och parametrar och variabler kan i en annan modell byta plats med varann. Var noga med att tänka igenom vilken dimension olika variabler har. Gör dimensionsanalys på alla samband! Den preciserade frågeställningen ska översättas till matematiskt språk. Den kommer att innehålla frågor av typen: Vilket är det maximala värdet av...? Vad blir storleken av en viss variabel vid en viss tidpunkt? Hur lång tid tar det innan funktionens värde blir mindre än...? För stora system med många variabler blir frågeställningen sammansatt av många delfrågor. Samband vi tidigare har funnit ska också översättas till matematiskt språk. För att det ska vara möjligt måste sambanden kvantifieras. Ibland innebär kvantifieringen en stark förenkling. Att studera extremförhållande ger ofta ledtrådar i modellval. Välj så att uppenbara egenskaper i preoblemställningen uppfylls, exempelvis; När tiden går mot oändligheten går koncentrationen mot noll! När massan går mot noll försvinner kraften! Andra samband som nu formuleras är relationer mellan (hjälp)variablerna som kan beskriva geometriska villkor, kontinuitetssamband (massbalans t ex) osv. De samband man sätter upp har ofta formen av ekvationer. Antingen är det vanliga algebraiska ekvationer eller differential- eller differensekvationer. Inte sällan har man ett optimeringsproblem. Ett samband kan vara ett tidigare känt samband från t.ex. fysik. Men om det inte är välkänt så ska man göra noga klart exakt vad sambandet innebär. Hela analysen och resultaten bygger nämligen på dessa samband och de måste vara rimliga, annars blir modellen inte bra. Exempel: Att modellering ger upphov till ekvationer är ganska naturligt eftersom en modell av verkligheten ofta representeras av något slags samband, exempelvis volymen av en konservburk V Πr 2 h. Det är ju sällan man väljer r och h och ser vad volymen blir. Det vanliga scenariot i verkligheten är snarare att en ingenjör ställs inför mängder med krav på sin modell, exempelvis "Vilken är den minsta plåtåtgång för en given volym?". Detta i sin tur leder till krav på modellens variabler, i vårt fall r och h. Om flera krav skall beaktas och jämkas samman leder detta sedan naturligt vidare till optimering. Läsa spelet En av svårigheterna är att kunna dechiffrera en verbal beskrivning till en matematisk beskrivning. Vi exemplifierar med en mycket vanlig situation, nämligen någon storhet, säg y, som varierar med tiden t. Då har vi en differentialekvation att vänta och vi söker funktionen yt. Som hjälp vid dechiffreringen är det bra att känna igen vanliga formuleringar som skall tolkas som derivata av den sökta funktionen Ändring av y per tidsenhet y eller y' t. t Ändringshastigheten av y y eller y' t. t I en uppsjö av tillämpningar är olika typer av proportionalitet inblandade. Vissa ord kan också direkt associeras med matematiska krumelurer, exempelvis

8 8 Matematisk modellering och Mathematica HH/ITE/BN yt är proportionell mot t ytkt. k yt är omvänt proportionell mot t yt k. t k Ändring av yt per tidsenhet är proportionell mot yt y' tkyt. y' t Ändring av yt per tidsenhet är proportionell mot yt och t y' tkytt. y' t Ändring av yt per tidsenhet är proportionell mot yt och skillnaden mellan m och yt y' tkytm yt. y' t k k k myt För fler exempel och fler tips inom specifika tillämpningar hänvisas till senare avsnittet i "Något om..." serien längre fram i kursblocket Tillämpad Matematik. Fysikaliska principer Ofta kommer någon fysikalisk lag eller princip till användning. Newtons accelerationslag m 2 y F my F t 2 KR y y y F. Energins bevarande Massans oförstörbarhet. massa = densitet (eller koncentration) gånger volym. Arkimedes princip: Då en kropp nedsänkes i en vätska påverkas denna av en lyftkraft som är lika stor som den undan trängda vätskans tyngd. Dimensionsanalys Se till att det är lika många "äpplen och päron" på båda sidor om tecknet i ekvationerna! Dimensionsanalys är ett stort och viktigt stöd vid modellering och vid utvärderandet av modellen. Ta för vana att utnyttja denna hjälp under hela arbetet! Ett studium av de storheter som ingår i problemet ger nästan alltid direkta tips som leder till målet. Se vidare i Något om Dimensionsanalys och Mathematica. Analysera modellen Nu vidtar det vanliga matematiska arbetet. Det gäller att lösa ekvationerna. Man kan använda analytiska eller numeriska metoder. Båda typerna av metoder är lika viktiga. Innan man tar till numeriska metoder bör man analysera modellen så långt det är möjligt. Att söka numeriska lösningar betyder ofta att man är tvungen att välja värden på vissa variabler eller parametrar. Det betyder att resultaten inte blir lika allmängiltiga som vid en analytisk lösning. Man måste noga fundera på vilka variabelvärden det är lönt att räkna på. Frågeställningen i modellen bestämmer valet av numerisk strategi. När det gäller stokastiska modeller kan man genomföra simuleringar. Det innebär att man med hjälp av en slumptalsgenerator i modellen efterliknar naturens slumpmässiga beteende. Simuleringar genomförs alltid i dator. Begreppet simulering används ibland i en annan betydelse. Då har det inte med slumpmässighet att göra. Simulering får då helt enkelt betyda numerisk lösning av differentialekvationerna i ett kontinuerligt eller dynamiskt system. Man "simulerar" sitt system i den meningen att man efterliknar det i datorn. Man får då ofta nöja sig med att dra slutsatser utifrån mängder med simuleringar. När man lämnat skolan och dess uppriggade ekvationer för att passa handräkning möter man som praktiskt arbetande ingenjör mängder med ekvationer som inte går att lösa exakt, oftast beroende på olinjäritet. Frågorna som dyker upp är "Finns det någon lösning?", "I så fall hur många?", "Hur identifierar jag den eller de som är relevanta?", "Hur hittar jag den som löser mitt problem?". Oftast har en ekvation flera lösningar, varav en del är mer exotiska än andra, "negativa längder", "komplexa massor" och så vidare. Dessa har kanske inget med verkligheten att göra men likväl är modellen korrekt! Man brukar säga att en matematisk modell är rikare än den fysikaliska modell den beskriver. Sådana här frågeställningar kommer ofta i ny dager om de belyses med grafik under arbetets gång! Naturligtvis används moderna och effektiva datorprogram för analysen och visualisering av resultat. Tillägna dig ett arbetssätt där du så ofta som möjligt använder grafiska representationer!

9 HH/ITE/BN Matematisk modellering och Mathematica 9 Tolka resultatet av analysen I nästa fas går vi tillbaka till systemet och tolkar resultaten av den matematiska analysen i det icke-matematiska språk som problemet ursprungligen formulerades i. Den här fasen är intressant och kan ibland bjuda på spännande överraskningar. Det kan vara så att systemet ger utfall som är oväntade. I så fall har vi fått reda på något nytt om vårt system genom att göra en modell för det. En mindre spännande möjlighet är att det finns någon felaktighet i den matematiska analysen, vi kanske har räknat fel. Slutligen kan modellen vara för grov eller uppenbart felaktig när man ser resultatet. Exempel: Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk med given volym V. Bestäm radie och höjd i den burk som kräver minst materialåtgång, det vill säga har minst total area. Lösningsförslag: Antag att konservburken har höjden h och radien r. Dessa kan nu inte variera fritt oberoende av varandra, de binds samman av att volymen på burken är given V Πr 2 h. Sådana här kopplingar brukar kallas för just kopplingsvillkor. Totala arean av burken byggs upp av två lock, 2A l 2Πr 2, samt mantelarean A m omkretshöjd 2 Π rh. Gör nu inte för mycket för hand, varje sådan insats är en potentiell risk för att introducera fel. Låt Mathematica göra jobbet! Skriv bara ned alla grundsamband. Glöm inte dimensionsanalys! ekv V Πr 2 h, A tot 2A l A m,a l Πr 2,A m 2 Π rh V Πhr 2, A tot 2 A l A m, A l Πr 2, A m 2 Π hr Utnyttja att V är given för att lösa ut A tot som funktion av r. Ta för vana att lösa ut lika många variabler som vi har ekvationer. Även de variabler som inte primärt används vid optimeringen är oftast intressanta att veta värdena på till slut. Så alla som funktioner av r! Amm Solveekv, A tot,h,a l,a m First A tot 2 Π r V, h V r Π r, A 2 l Πr 2, A m 2 V r Innan man börjar på allvar är det utmärkt att pigga upp sig med en bild över situationen för att se om modellen är sund. Visst, tydligt minimum som sig bör, eftersom A tot både då r 0 och r. PlotA tot V 2. Amm. r xv 1, x, 0.1, 1, PlotStyle Red, PlotRange 5, 10, AxesLabel "rv 1 ", "A tot V 2 " A tot V rv 1 Bestäm nu det r som minimerar A tot genom att söka nollställe till derivatan, A tot r dadr DA tot. Amm, r 6 Π r 2 Π r V r 2 r SolvedAdr 0, r 0. r 1 V 2 Π, r V 2 Π, r 12 V 2 Π Nr

10 10 Matematisk modellering och Mathematica HH/ITE/BN r V, r V, r V Här är det bara den mittersta lösningen som är reell, de andra två komplexa har inte med saken att göra. Vi har uppenbart minimum, varav slutligen alla variabler vid detta välsignade tillstånd. Amm. r 2 A tot 2 Π V 2, h 22 Π V, A l Π V 2, A m 2 2 Π 2 2 V 2 Alla symboliska resultat måste underkastas dimensionsanalys!! Här har vi för arean A tot höjden h 22 2 Π V 2 1 V 2 m 2 m 2, Ok! V 1 V Π 1 m 1 m, Ok! Med symboliska svar kan man lätt få en kvalitativ bild av hur modellen påverkas av olika storheter. Utvärdera modellen Den systematiska utvärderingen är viktig. Utvärderingen sker först och främst mot det punkter som formulerades när frågeställningen mejslades ut. Det är därför så viktigt att detta görs ordentligt i inledningen till modelleringen. Har man möjlighet att jämföra med resultatet av experiment eller observationer av det riktiga systemet eller ett liknande system (kanske en nedskalad modell) är det bra. De experiment man behöver göra för att testa modellen är färre, enklare och billigare än om man hade undersökt systemet och försökt besvara frågan utan modellens hjälp. Har man inte möjlighet att göra experiment får man utgå från de data man har tillgång till. Det bästa är givetvis att testa med andra data än dem man utgick ifrån för att välja sambanden i modellen. Att testa extremvärde är ofta fruktbart! Modellens giltighetsområde ska undersökas. Alla modeller har någon form av begränsning i sin giltighet. Exempelvis är det helt olika modeller om man ska göra en väderprognos över ett dygn eller tio dygn! Så länge variablerna ligger i intervall där vi har empiriska data rör man sig på mycket säkrare mark än när man försöker extrapolera. Det kan tänkas att utvärderingen leder till slutsatsen att modellen har brister. Det gäller då att inte vara alltför fast vid sin skapelse utan acceptera att modellen behöver ändras. Den "misslyckade" modellen ger information om att någon viktig faktor försummats. De kunskaper om systemet man skaffat genom att arbeta med den första modellen har man nytta av i fortsättningen. I själva verket är det paradoxalt nog själva modelleringsprocessen som är intressantast och ger de nya kunskaperna, inte den färdiga modellen. En felkalkyl, noggrannhetsanalys och känslighetssanalys bör göras. De empiriska data som modellen utgår från har en viss felmarginal som påverkar resultatet av analysen. En modell som är väldigt känslig för variationer i variabler och parametrar är förmodligen inte riktigt sund. En numerisk analys inför också nya felkällor. Det gäller förstås också en stokastisk simulering. Hur säkra kan vi vara på vart resultat? Kom ihåg att en modell får inte användas utanför de förutsättningar som bestämdes då problemet specifiserades! Förenklingens roll Det är ofta givande att börja med en starkt förenklad modell. Den kan vara lätt att konstruera och snabb att räkna igenom. Den kan visa hur mycket av systemets egenskaper som förklaras av en eller ett par centrala faktorer och den kan slutligen användas som utgångspunkt för nästa bättre modell. Detta kan vara en god hjälp om man råkar ut för det som är så vanligt i problemlösning, man "sitter fast". Ett annat "knep" är att testa vad modellen säger om ytterlighetsfallen. Ofta vet man hur systemet bär sig åt i de fallen (tiden går mot oändligheten, massan går mot noll osv.). Det ger en möjlighet att utvärdera modellen under arbetets gång. Kommunicera modellen Om utvärderingen av modellen har varit nöjaktig är det läge att sätta den i arbete! Annars vore det ju ingen mening med att göra den. Så använd den så mycket som möjligt till att kommunicera, förklara, förutsäga, bestämma, planera, börja, sluta...så! Skaffa er fördelar gentemot andra som håller på med liknande produkter men ännu inte upptäckt Matematisk modellering!

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

FRÅN MASSA TILL TYNGD

FRÅN MASSA TILL TYNGD FRÅN MASSA TILL TYNGD Inledning När vi till vardags pratar om vad något väger använder vi orden vikt och tyngd på likartat sätt. Tyngd associerar vi med tung och söker vi på ordet tyngd i en synonymordbok

Läs mer

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi Beräkningsvetenskap I Jarmo Rantakokko Josefin Ahlkrona Kristoffer Virta Katarina Gustavsson Vårterminen 2011 Beräkningsvetenskap: Hur man med datorer utför beräkningar och simuleringar baserade på matematiska

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

Rymdutmaningen koppling till Lgr11

Rymdutmaningen koppling till Lgr11 en koppling till Lgr11 När man arbetar med LEGO i undervisningen så är det bara lärarens och elevernas fantasi som sätter gränserna för vilka delar av kursplanerna man arbetar med. Vi listar de delar av

Läs mer

Naturvetenskapsprogrammet (NA)

Naturvetenskapsprogrammet (NA) Naturvetenskapsprogrammet (NA) Naturvetenskapsprogrammet (NA) ska utveckla elevernas kunskaper om sammanhang i naturen, om livets villkor, om fysikaliska fenomen och skeenden och om kemiska processer.

Läs mer

Från snökaos till kvantkaos

Från snökaos till kvantkaos 020302 Kaosforskning var högsta mode på åttiotalet. Sedan blev det tyst. Men för väderprognoser är kaosmatematiken fortfarande högaktuell, liksom för den nya nanotekniken. Från snökaos till kvantkaos Av

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Perspektiv på kunskap

Perspektiv på kunskap Perspektiv på kunskap Alt. 1. Kunskap är något objektivt, som kan fastställas oberoende av den som söker. Alt. 2. Kunskap är relativ och subjektiv. Vad som betraktas som kunskap är beroende av sammanhanget

Läs mer

Projektplan. Naturvetenskaps- och tekniksatsningen

Projektplan. Naturvetenskaps- och tekniksatsningen Projektplan Elever: Klass: Version på planen: Senast uppdaterad: Idé Vilket fenomen eller skeende i er omgivning vill ni undersöka? Exempel: Fåglars olika läten och beteenden vid olika situationer. Ämne

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

Kombinationer och banor i agilityträningen

Kombinationer och banor i agilityträningen Kombinationer och banor i agilityträningen av Emelie Johnson Vegh och Eva Bertilsson, publicerad i Canis 2012 En av de saker som gör agility så fantastiskt roligt är den ständiga variationen. Ingen tävlingsbana

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Fysiken i naturen och samhället

Fysiken i naturen och samhället Fysik åk 4-6 - Centralt innehåll Engergins oförstörbarhet och flöde Energikällor och energianvändning Väder och väderfenomen Fysiken i naturen och samhället Fysiken och Fysik åk 4-6 - Centralt innehåll

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Om kompetens och lärande

Om kompetens och lärande Om kompetens och lärande Vi bär på mycket mer kunskap än vi tror och kan så mycket mer än vi anar! När som helst i livet har du nytta och glädje av att bli medveten om delarna i din kompetens. Du funderar

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att:

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: Matematik Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

ÄLTA SKOLAS LOKALA KURSPLAN

ÄLTA SKOLAS LOKALA KURSPLAN 1(12) Älta skolas mål för förskoleklass Exempel på genomförande Strävansmål mot år 2 kunna några vanliga vilda växter i Sverige kunna några vanligt förekommande tamdjur i Sverige, samt namnge deras ungar

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

AVKODAR DIN TANKE- OCH BESLUTSSTIL

AVKODAR DIN TANKE- OCH BESLUTSSTIL AVKODAR DIN TANKE- OCH BESLUTSSTIL Maj 29, 2015 OMDÖMES RAPPORT John Doe ID UH565474 2014 Hogan Assessment Systems Inc. SAMMANFATTNING Denna rapport utvärderar John Does omdömes- och sstil genom att analysera

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Mätning av fokallängd hos okänd lins

Mätning av fokallängd hos okänd lins Mätning av fokallängd hos okänd lins Syfte Labbens syfte är i första hand att lära sig hantera mätfel och uppnå god noggrannhet, även med systematiska fel. I andra hand är syftet att hantera linser och

Läs mer

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Fö relä sning 1, Kö system 2015 Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha

Läs mer

Beräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692

Beräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...

Läs mer

NYHETER I TEKNIKKLUBBEN LUSTEN

NYHETER I TEKNIKKLUBBEN LUSTEN NYHETER I TEKNIKKLUBBEN LUSTEN Solcellsbilar Våra bilar spyr ut smutsiga avgaser. Strömmen hemma i vägguttaget kommer delvis från smutsig kolkraft och vi slänger mycket som skulle kunna återanvändas. Många

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

Konkretisering av matematiska begrepp i skolan

Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Karin Kairavuo Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Den kinesiska författaren och nobelpristagaren i litteratur, Gao Xingjian, använder en spännande metod i sitt arbete. Han talar in sina blivande

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

FÅ FRAM INDATA. När inga data finns!? Beslutsfattarens dilemma är att det är svårt att spå! Särskilt om framtiden!

FÅ FRAM INDATA. När inga data finns!? Beslutsfattarens dilemma är att det är svårt att spå! Särskilt om framtiden! FÅ FRAM INDATA När inga data finns!? Beslutsfattarens dilemma är att det är svårt att spå! Särskilt om framtiden! (Falstaff Fakir) Svårigheter att få fram bra information - en liten konversation Ge mig

Läs mer

Tillämpad experimentalpsykologi [2] Tillämpad experimentalpsykologi [1] Empirisk forskningsansats. Tillämpad experimentalpsykologi [3] Variabler

Tillämpad experimentalpsykologi [2] Tillämpad experimentalpsykologi [1] Empirisk forskningsansats. Tillämpad experimentalpsykologi [3] Variabler Tillämpad experimentalpsykologi [1] Ett tillvägagångssätt för att praktiskt undersöka mänskliga processer Alltså inget forskningsområde i sig! (I motsats till kognitiv, social- eller utvecklingspsykologi.)

Läs mer

Energi VT-13. 1 av 6. Syfte: Kopplingar till läroplan. Lerum. Energi kan varken förstöras eller nyskapas, utan bara omvandlas mellan olika former.

Energi VT-13. 1 av 6. Syfte: Kopplingar till läroplan. Lerum. Energi kan varken förstöras eller nyskapas, utan bara omvandlas mellan olika former. Energi VT-13 Syfte: Energi kan varken förstöras eller nyskapas, utan bara omvandlas mellan olika former. Världens energibehov tillgodoses idag till stor del genom kol och olja, de så kallade fossila energikällorna.de

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

MITT I RYMDEN. Uppdrag för åk f-3. Välkommen till uppdraget Mitt i rymden i Universeums rymdutställning på plan 3.

MITT I RYMDEN. Uppdrag för åk f-3. Välkommen till uppdraget Mitt i rymden i Universeums rymdutställning på plan 3. MITT I RYMDEN Uppdrag för åk f-3 Välkommen till uppdraget Mitt i rymden i Universeums rymdutställning på plan 3. Lärarhandledningen är till för att ge dig som lärare en möjlighet att förbereda ditt och

Läs mer

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng 1(5) KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng Mathematics för Teachers, 61-90 credits, 30 credits Kurskod: LMGN12 Fastställd av: Utbildningsledare 2012-06-15 Gäller fr.o.m.: HT

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

7-2 Sammansatta händelser.

7-2 Sammansatta händelser. Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

Med denna aktivitet försöker jag

Med denna aktivitet försöker jag LAURA FAINSILBER Ett funktionsrum Under Vetenskapsfestivalen i Göteborg 2001 bjöd matematiska institutionen på Chalmers och Göteborgs universitet på matematiska experiment för skolklasser. I en av aktiviteterna

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Data mining. Data mining Skillnaden mellan observationella och experimentella data

Data mining. Data mining Skillnaden mellan observationella och experimentella data Data mining Skillnaden mellan observationella och experimentella data Data mining Metoder för att automatisktupptäcka icke-trivial användbar information i stora datamängder 1 Data mining: (Mot-)exempel

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013

KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013 UTBILDNINGSFÖRVALTNINGEN TILLHANDAHÅLLARAVDEL NINGEN SID 1 (8) 2012-10-12 KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013 Självvärdering av hur förskolan utifrån läroplanen skapar förutsättningar för

Läs mer

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Undervisning Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Mål att uppnå i år 9, ur Lpo 94 Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Individuellt PM3 Metod del I

Individuellt PM3 Metod del I Individuellt PM3 Metod del I Företagsekonomiska Institutionen Stefan Loå A. Utifrån kurslitteraturen diskutera de två grundläggande ontologiska synsätten och deras kopplingar till epistemologi och metod.

Läs mer

Intervjuguide - förberedelser

Intervjuguide - förberedelser Intervjuguide - förberedelser Din grundläggande förberedelse Dags för intervju? Stort grattis. Glädje och nyfikenhet är positiva egenskaper att fokusera på nu. För att lyckas på intervjun är förberedelse

Läs mer

Nationella prov i verkligheten

Nationella prov i verkligheten Nationella prov i verkligheten: Sida 1 Nationella prov i verkligheten Övningsprov Matte 1C (2012) Vad används matematiken till? Vad gör en matematiker? 2 Räkning med procent förekommer i prisberäkningar

Läs mer

DD2458-224344 - 2014-12-19

DD2458-224344 - 2014-12-19 KTH / KURSWEBB / PROBLEMLÖSNING OCH PROGRAMMERING UNDER PRESS DD2458-224344 - 2014-12-19 Antal respondenter: 26 Antal svar: 18 Svarsfrekvens: 69,23 % RESPONDENTERNAS PROFIL (Jag är: Man) Det var typ en

Läs mer

Tema: Den mänskliga resan Inspirationstema: Leonardo Da Vinci Vt 2010

Tema: Den mänskliga resan Inspirationstema: Leonardo Da Vinci Vt 2010 Kompendium åk 1-3 Tema: Den mänskliga resan Inspirationstema: Leonardo Da Vinci Vt 2010 Namn: Klass: Övergripande tema mål: Med detta tema vill vi att eleverna skall få kunskap, insikt och förståelse gällande:

Läs mer

Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en

Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en o m e r f a r e n h e t o c h s p r å k Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en skapelseakt där

Läs mer

På en dataskärm går det inte att rita

På en dataskärm går det inte att rita gunilla borgefors Räta linjer på dataskärmen En illustration av rekursivitet På en dataskärm är alla linjer prickade eftersom bilden byggs upp av små lysande punkter. Artikeln beskriver problematiken med

Läs mer

Fira Pi-dagen med Liber!

Fira Pi-dagen med Liber! Fira Pi-dagen med Liber! Specialuppdrag från Uppdrag: Matte o Kul-diagram o Geometri med färg UPPDRAG: MATTE Mattedetektiverna Mattespanarna Hej! Den 14 mars är det Pi-dagen (3.14). Det är värt att uppmärksammas

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Tre misstag som förstör ditt försök att sluta snusa och hur du gör någonting åt dem. En rapport från SlutaSnusa.net

Tre misstag som förstör ditt försök att sluta snusa och hur du gör någonting åt dem. En rapport från SlutaSnusa.net Tre misstag som förstör ditt försök att sluta snusa och hur du gör någonting åt dem En rapport från SlutaSnusa.net Innehåll Inledning... 3 Misstag #1: Nikotinnoja... 4 Misstag #2: Skenmotiv... 7 Misstag

Läs mer

Talmanus till presentation om nätvardag 2015

Talmanus till presentation om nätvardag 2015 Talmanus till presentation om nätvardag 2015 Bild 1: Här kommer det finnas ett stolpmanus för föreläsningen. Du kan även ladda hem manuset på www.surfalugnt.se om du vill ha manuset separat. Om du inte

Läs mer

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH TERMODYNAMIK? Termodynamik är den vetenskap som behandlar värme och arbete samt de tillståndsförändringar som är förknippade med dessa energiutbyten. Centrala tillståndsstorheter är temperatur, inre energi,

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng MSTA33 Ingrid Svensson TENTAMEN 2004-01-13 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistik för Teknologer, 5 poäng Tillåtna

Läs mer

campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning

campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning En rapport från CATD-projektet, januari-2001 1 2 Förstudie Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning Bakgrund Bland de grundläggande

Läs mer

Ätstörningar. Att vilja bli nöjd

Ätstörningar. Att vilja bli nöjd Ätstörningar Ätstörningar innebär att ens förhållande till mat och ätande har blivit ett problem. Man tänker mycket på vad och när man ska äta, eller på vad man inte ska äta. Om man får ätstörningar brukar

Läs mer

Storyline och matematik

Storyline och matematik Storyline och matematik Av Eva Marsh och Ylva Lundin I ett storylinearbete om energi fick eleverna i årskurs åtta vid många tillfällen diskutera och lösa matematiska problem som karaktärerna ställdes inför.

Läs mer

ICF:s kärnkompetenser för professionell coaching

ICF:s kärnkompetenser för professionell coaching Ämne ICF Kärnkompetenser en översättning till svenska Dokumentansvarig Styrelsen för ICF Sverige 2009 Datum ICF:s kärnkompetenser för professionell coaching ICF har definierat elva kompetenser som utgör

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte vara?

Läs mer

Vad är SEO? Topp 10 SEO handlar om att förenkla för sökmotorerna att förstå vad din webbplats handlar om

Vad är SEO? Topp 10 SEO handlar om att förenkla för sökmotorerna att förstå vad din webbplats handlar om SEO en stilguide Vad är SEO? Har du sprungit på begreppet SEO? Kanske har någon försökt förklara vad det är utan att lyckas fullt ut. Du har förstått att din webbplats behöver SEO för att bli bra, men

Läs mer

JÄMSTÄLLDHET INOM IDROTTEN. Lärgruppsplan

JÄMSTÄLLDHET INOM IDROTTEN. Lärgruppsplan JÄMSTÄLLDHET INOM IDROTTEN Lärgruppsplan JÄMSTÄLLDHET INOM IDROTTEN Jämställdhet innebär att kvinnor och män, flickor och pojkar har lika rättigheter, möjligheter och skyldigheter inom alla väsentliga

Läs mer

Förändringsstrategi anpassad till just din organisations förutsättningar och förmåga

Förändringsstrategi anpassad till just din organisations förutsättningar och förmåga Förändringsstrategi anpassad till just din organisations förutsättningar och förmåga Att bedriva effektiv framgångsrik förändring har varit i fokus under lång tid. Förändringstrycket är idag högre än någonsin

Läs mer

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK 5 F-KLASS TALUPPFATTNING ALGEBRA Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Matematiska likheter och likhetstecknets

Läs mer

Kvantitativa metoder och datainsamling

Kvantitativa metoder och datainsamling Kvantitativa metoder och datainsamling Kurs i forskningsmetodik med fokus på patientsäkerhet 2015-09-23, Peter Garvin FoU-enheten för närsjukvården Kvantitativ och kvalitativ metodik Diskborsten, enkronan

Läs mer

NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN MATEMATIK GRUNDSKOLAN

NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN MATEMATIK GRUNDSKOLAN NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN Den 17 mars 1994 fastställde regeringen KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN att gälla i årskurserna 1 7 från läsåret 1995/96, i årskurs 8 läsåret 1996/97 och i årskurs 9 läsåret 1997/98.

Läs mer

Naturvetenskaps- och tekniksatsningen. Företag som lärmiljö

Naturvetenskaps- och tekniksatsningen. Företag som lärmiljö Företag som lärmiljö Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla kunskaper om tekniken i vardagen och förtrogenhet med ämnets specifika uttrycksformer och begrepp. Undervisningen

Läs mer

Vad varje matematiklärare borde kunna

Vad varje matematiklärare borde kunna Jonas Hall & Thomas Lingefjärd Vad varje matematiklärare borde kunna Geogebra för nybörjare del 2 I en tidigare artikel beskrevs de första stegen på vägen till att använda Geogebra som ett verktyg i matematikundervisningen.

Läs mer

Tina Sundberg It-pedagog AV-Media Kronoberg. Ett program för undervisning i teknik och fysik

Tina Sundberg It-pedagog AV-Media Kronoberg. Ett program för undervisning i teknik och fysik Tina Sundberg It-pedagog AV-Media Kronoberg Ett program för undervisning i teknik och fysik Vad är Algodoo? Ett program för alla åldrar Skapa simuleringar i fysik och teknik Uppföljare till Phun Bakgrund

Läs mer

Moralfilosofi. Föreläsning 11

Moralfilosofi. Föreläsning 11 Moralfilosofi Föreläsning 11 Kants etik Immanuel Kant (1724-1804) är en av mest betydelsefulla moderna filosoferna Kant utvecklade inte bara en teori om moralen utan också teorier i metafysik, epistemologi,

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer