= 7. + x 2 = 6 = 5 S 1 = 8. x x 2. 3x 1 = 12

Transkript

1 NumeriskLinjarAlgebra LinjarProgrammering DVL2 ErikElmroth pakursen S 1 2 Erik.Elmroth@cs.umu.se Institutionenfordatavetenskap UmeaUniversitet

2

3 UmeaUniversitet Institutionenfordatavetenskap ErikElmroth Kapitel1 Introduktion Linjarprogrammering(LP)brukarvanligtvisstuderassomantingenetthelt specialfallavickelinjarprogrammeringlederaandrasidanlatttillanalyser ochdessforhallandetillickelinjarprogrammering.studieravlpsomett separatamneellersomettspecialfallavickelinjarprogrammering.studier avkomplikationeriickelinjarprogammeringsomintekanuppstaidetlinjara avlpsomettheltseparatamnekanlattledatillbristandeforstaelseavlp studeradetickelinjarafalletisig.forattforstasatserochalgoritmerkommerviattistorstamojligamanattstuderaexempeli2dimensioner.dessa exempelbrukarsomregelgemerforforstaelsenanvadfullstandigabevis forerdimensionellafallger. fallet. VikommerdarforattstuderaLPurickelinjarsynvinkelmenutanattforst problem.antagattenlitenrmatillverkarskidstavarochvindsurngmaster 1.1 LatossforsttittapaettexempelsomkanbeskrivasiformavettLP- Ettexempel somarbegransadtill4mastereller6stavparpertimme. Problemetarattbestammahurmangamasterochstavparsomskalltillverkas stavparpertimme.efterplastningenskallplastentorkasgenomenprocess ikolber.plastningsprocessenarbegransadtillmaximalt8mastereller4 varjetimmeforattvinstenskallblimaximaldaviantarattvinstenforen mastardensammasomforettstavpar.latosstittapahurdettakan formulerassomettlp-problem. 1

4 1.2 optimeringsproblem,somgarutpaattnnaoptimum(minimumellermaximum)fornagonfunktion.ettgenerisktoptimeringsproblembestaravtre Tillverkningsproblemetarettenkeltexempelpaenmycketvanligtypav FormuleringavLP-problem somarberoendeavvariablernaochsomskallmaximerasellerminimeras komponenter:ettantalvariablersomdenierarlosningen,enobjektfunktion samtettantalbivillkorsombegransarvilkavardenvariablernakananta. plastningsprocessenkanuttryckasx1 (x1;:::;xn)tochc=(c1;:::;cn)tsakanenlinjarfunktionskrivas tionformenc1x1++cnxn,darc1;:::;cnarkonstanter.dvsomx= bivillkorarlinjara1.omvariablernaarx1;:::;xnsaharenlinjarfunk- EttLP-problemarettoptimeringsproblemdarobjektfunktionenochsamtliga talettillverkademasterpertimmeochx2antalettillverkadestavparper Forattatergatilltillverkningsproblemetsaserviattomx1betecknaran- arx1 4+x2 c1x1++cnxn=ctx: 8+x2 timmesadenierasobjektsfunktionenf(x)=x1+x2.begransningeni begransningenattx10ochx20.vart2-dimensionellaproblemsernu x1+2x28.motsvarandeuttryckforbegransningenitorkningsprocessen 61eller3x1+2x212.Vidareardetnaturligtattinfora x1;x2 41vilketardetsammasom utenligtfoljande: maximerax1+x2da 3x1+2x212 x1+2x28 x10 lempastandariseradform. Viskallsenaresehurvikanskrivaomproblemetsomettminimeringsprob- x20 IFigur1.1servidelsdenmangdSinomvilkenlosningenskallhittasoch delsnivakurvornafx:f(x)=y;for=5;6;7g.nivakurvornaarhar parallellaratalinjer.igurensesattfantarsittmaximumimangdens 1Iannatfallardetettickelinjartproblem. tillverkar2masteroch3stavparpertimme. hornetx=(2;3)tsomgerf(x)=5.vinstenmaximerasalltsaomrman iskarningenmellanlinjenx1+2x2=8ochlinjen3x1+2x2=12,dvsi 2

5 ErikElmroth Institutionenfordatavetenskap UmeaUniversitet x 1 + x 2 = 7 x 1 + x 2 = 6 x 1 + x 2 = S 1 x 1 + 2x 2 = 8 maximerasinoms Viskallgavidareochskaaosslitehjalpmedelforattsehurviskallkunna Figur1.1:EttexempelpaettLP-problemdarfunktionenf(x)=x1+x2skall 3x 1 + 2x 2 = 12 nnaenmetodforattmatematisktraknaframenlosning. tornsriktning.viskallnubestammanormalvektorntillnivakurvornasom Iforegaendeavsnittgjordevienforyttningavnivakurvaninormalvek- 1.3 Gradient(normalvektor) gradiententillf(x). somdenn-vektordarelementjutgorsavdenpartielladerivatanavfmed tornaexisterarmedavseendepavarochenavdenvariablernaix.gradi- enteneller,merkorrekt,gradientvektorn,sombetecknasrf(x)denieras FunktionenF(x),x2<nsagsvaradierentierbaromdepartielladeriva- rf(x)=0b@f xn1ca x1 avseendepadenj-tevariabeln:. 3

6 NumeriskLinjarAlgebra,DVL2 Linjarprogrammering x1 8mars1992(rev940829) f xn1ca=0b@4. 71CA=c 11 Dvsforengenerisklinjarfunktionf(x)=cTxsaserviattdenpartiella rf(x)=0b@f ctxforc=(4;11; 7)Tsaserviattgradientvektornar derivatanavfmedavseendepadenj-tevariabelnheltenkeltardenj-te komponentenavc.omvisomexempeltittarpaf(x)=4x1+11x2 7x3= Vektorncaralltsanormalvektortillkurvanfx:cTx=konstantgoch gradientvektortillctx.enpositivmultipelavckallasfornormalriktningen. Vikommerattnnadetintressantattvetahurf(x)andrasdaxyttasett 1.4 styckelangsenvektor,dvsyttasiendimension.ensadanforyttningkan Endimensionellvariation funktion,f() f(x),av.forandringenif,f() uttryckaspafoljandesatt. Givetenpunktx,enriktningp,enskalar(langdenavforyttningen)och betecknafunktionenf(x+p),dvsenfunktionavmedxochpkanda. ennormalvektorcsomdenierarenlinjarfunktionf(x)=ctx.latf() Eftersomf(x)arlinjarsaarvardetavF() Eftersomf(x)aroberoendeavsaaralltsaforandringenifenlinjar F()=f(x+p)=cT(x+p)=cTx+cTp=f(x)+cTp: ctp.dettainnebarattctp6=0medforattf(x)6=f(x+p). EnriktningpsomsatiserarcTp<0kallasfornedforsriktning(eng.descentdirection)forenlinjarfunktionf(x)=cTx.Dennatypavriktning,ardetsammasom kommerattvisasigvaramycketanvandbarifortsattningen,daviskall forsokannaenpunktzsomgerettmindrefunktionsvardeanpunkteny. DettamotsvararattcTz<cTyvilketkanskrivasom:cT(z y)<0.dvs Riktningenp1lamnarfunktionsvardetf(x)oforandratmedanp2okarfunktionsvardet. nedforsriktningforfunktionen. IFigur1.2serviennedforsriktning,p3,tillfunktionenf(x)=x1+x2. dettauppfyllsforvektornp=z ysomalltsasatiserarctp<0ocharen 4

7 4 3 P 2 Figur1.2:Destreckadelinjernaarnivalinjernaf(x)=2,f(x)=3ochf(x)=4 2 P forfunktionenf(x)=x1+x2.avdetreriktningarnaarendastp3nedforsriktning. 3 P

8 Kapitel2 Olikhetsbivillkor Daviiavsnitt1.2formuleradevartexempelsomettLP-problemsahade bivillkor.linjarabivillkorbrukarisinturdelasuppilikhets-ocholikhetsvillkor.ettlinjartlikhetsvillkorserutenligtfoljande: brukarbenamnasbivillkorocheftersomdevillkorvikommerattroraoss medarlinjarasakommerviattbegransaosstillnagotsomkallaslinjara viendelbegransningarpavarvarlosningcknnas.dessabegransningar medanettlinjartolikhetsvillkorserutsom atx= padetsattsomivartexempel.detvarolikhetsvillkorensomdenierades Ifortsattningenkommerviattkoncentreraosspaolikhetsvillkorenungefar atx: ifigur1.1. feasiblepoint)medavseendepavillkoretatx,eftersomxsatiserar OmenpunktxsatiseraraTxsasagsxvaraentillatenpunkt(eng. 2.1 Tillatenpunkt olikheten.omxgerlikhetivillkoret(dvsatx=)sasagsvillkoretvara aktivt.omvillkoretaruppfylltmedstriktolikhetsagsdetvarainaktivt.om villkoretejaruppfylltipunktenxsasagspunktenvaraotillaten(infeasible). Tillexempelvillkoret6x1 x2+2x31motsvarara=(6; 1;2)Toch=1. 6

9 Punkternax=(1;1;1)Toch^x=(1; 1; 3)Tartillatnaochvillkoretar punkter.tillexempelarx1+x22ekvivalentmed2x1+2x24.en ekvivalensarattatxarekvivalentmed atx.iformelladiskussionerskallvifortsattningenalltidanvandaossavdenformavolikheter somgerossenundrebegransning,dvsatx. Tvaolikhetersagsvaraekvivalentaomdeharidentiskamangderavtillatna inaktivtixochaktivti^x.punktenx=(0;1;0)tarotillaten. Exempelvis,detreolikhetsvillkorenx1+x24,x1 x2 1ochx22 enmn-matrisavarsi:teradaratiochenvektorbvarsi:tekomponentar i.olikheternaskrivsdaaxbdarrelationenappliceraskomponentvis. EnmangdavolikheterfaTixi,i=1,:::,mg,representerasvanligenav 11CA x1 x2! B@4 uppfyllerolikhetenforvarjekomponent.systemetaxbsagsvarakonsistentomdetnnsnagonpunktxsomuppfyllerolikheterna.exempelvisar systemetovankonsistenteftersomexempelvispunktenx=(2;2)tuppfyller EnpunktxartillatenmedavseendepamangdenolikheterAxbomden 121CA: 0 11CA x1 x2! allaolikheterna.daremotarsystemet: 0B@ B@4 inkonsistent,tyingenpunktkanuppfyllaallatrevillkoren. 411CA: tillatenfxjatxgochenotillatenfxjatx<g.rummetdelasupp EnenkelolikhetaTxdelaruppvariabelrummetitvamangder,en skrivas: x1+x23,4x1+x22,x1 x2 1ochx1 3x2 1,somavenkan avhyperplanetatx=somsjalvingaridentillatnamangden.villkoren 31CA x1 x2! 0B@ CA 0B@ 32 denotillatnasidan. F,begransatavdefyralinjerna.Denskuggadesidanavenlinjemarkerar denierarentillatenmangdf.figur2.1visarengraskrepresentationav 7

10 3 x 1 - x 2 = -1 2 x 1-3x 2 = -1 1 x 1 + x 2 = Denition2.1.1(Tillatenmangd)GivetvillkorenAxb,latdentillatna Figur2.1:Ennitkonsistentvillkorsmangd,begransadavx1+x23,4x1+x2 2,x1 x2 1ochx1 3x x 2 = 2 mangdenfutgorasavmangdenavallatillatnapunkter: (oppen).omvillkoretx1+x23tasbortfranvillkorsmangdenifigur2.1 OmAxbarkonsistentsakanFantingenvaranit(sluten)ellerinnit Ffx2<njAxbg: sablirvillkorsmangdeninnit,vilketillustrerasigur2.2. EttexempelpaeninkonsistentmangdvisasiFigur2.3IFigurenardet 2.2 uppenbartattingatillatnapunkterexisterar. konvexitet. Daentillatenmangdejartomsakandenhaenviktigegenskapsomkallas Konvexitet x;y2sochvarjesadanatt01,punktenz(1 )x+yocksa liggeris. GeometrisktinnebardettaattzliggerpalinjenmellanxochyochattS Denition2.2.1(Konvexitet)EnmangdS<narkonvexomforvarje 8

11 3 x 1 - x 2 = -1 2 x 1-3x 2 = -1 1 x2 1ochx1 3x2 1. Figur2.2:Eninnitkonsistentvillkorsmangd,begransadav4x1+x22,x x 2 = x 1-3x 2 = -1 1 Figur2.3:Eninkonsistentvillkorsmangd,begransadavx1+x23,4x1+x22 x 1 + x 2 = x 2 = 2 ochx1 3x2 1. 9

12 icke-konvexmangd. arkonvexomhelalinjenmellanxochyliggerinommangdensforalla parxochysomtillhors.ifigur2.4serviexempelpaenkonvexochen x Figur2.4:Ettexempelpaenkonvexmangdtillvansterochenicke-konvextill 1 x 2 x 2 x Sats2.2.1(Snittavkonvexamangder)LatCi;i=1;:::;nvarakonvexa hoger. Vidarevetviendelomsammanslagningaraverakonvexamangder: mangder.dagalleratt 1 S=n\i=1Ci linjermedandpunkternainomsnittmangdenocksaharallaandrapunkter inomsnittmangden. arkonvex. Dennasatsbevisasmhadenition2.2.1.IexempletiFigur2.5insesattalla Noteraocksaattunionenavtvaellererakonvexamangderejbehovervara 2.3 enkonvexmangd.se[2]forutforligareresonemangomkonvexamangder. Vidstudieravolikheterardetoftaviktigtattidentieradevillkorsom uppfyllsmedlikhet,dvsdevillkorsomsagsvaraaktivaiengivenpunkt. Aktivochinaktivmangdavbivillkor Residualenri(x)aralltsaskillnadenmellanaTixochi.Denarpositivda villkoretuppfyllsmedstriktolikhet.denarnolldavillkoretuppfyllsmed likhetochdenarnegativdavillkoretejuppfylls. ResidualenforvillkoretaTixiipunktenxarskalarenri(x)=aTix i. 10

13 C 2 C S 1 C ResidualvektornipunktenxmedavseendepavillkorenAxbarfoljdaktligen r(x)denieradenligtfoljande: Figur2.5:SnittetSavdetrekonvexamangdernaC1,C2ochC3arkonvex. ri(x)=atix iochr(x)=ax : 3 uppfyllsmedlikhetbetecknarviaa(x).denmatrisenbenamnsibland GivetenolikhetAxb,saardenaktivamangdenmangdenavindexsom aktivamangdenmeda(x).matrisenbestaendeavenbartdevillkorsom uppfyllervillkorenmedlikhetiengivenpunktx.vibenamnerharden aktivamangdmatrisen,mendadetinteforeliggerriskforsammanblandning anvandsavenharbenamningenaktivmangd. ord,antaletvillkorsomuppfyllsmedlikhetix. AntalraderiAA(x)aralltsalikamedantaletindexiA,ellermedandra Innanvidenierarentillatenriktningskallvisevadsomskerviden 2.4 foryttninglangsenvissriktningfranengodtyckligpunkt.antagettgivet Tillatnariktningar villkoratixi,enpunktxochenriktningp.vikaninledningsvisanta attxintenodvandigtvisarentillatenpunkt.forettsteglangspgaller blirvillkoretaktivtforettuniktvardepaisomsatiserar OmaTip=0lamnasvardetforvillkoretoforandrat.OmdaremotaTip6=0 da: ati(x+p)=atix+atip: ati(x+ip)=atix+iatip=i; 11

14 vilketmedforatt i=i atix atip =ri(x) och 1annars. somardenieraddaatip6=0.daatip=0denierasisom1dari(x)0 atip; Motbakgrundavdenitionenaviskallvitittapaspecialfalletattanalysera punktx.vektornparentillatenriktningixomp6=0ochdetexisteraren entillatenriktningmedavseendepavillkoretatixi,givetentillaten Tackvarelinjaritetenserviattennollskildvektorpautomatisktaren positivskalarisadanatt tillatenriktningdadetexisterarnagotpositivtvardeisadantattati(x+ ati(x+p)i;8;0i: p)i. Karakteriseringenaventillatenriktningientillatenpunktxberorpaom Davillkoretaraktivtarresidualenri(x)=aTix i=0.dettamedforatt kantaatminstoneettmycketlitetsteginnanvillkoretoverskrids. inseattallariktningarartillatnariktningar,eftersommaniallariktningar dessvillkoraraktivtellerinaktivt.davillkoretarinaktivtardetlattatt ati(x+p) i=ri(x)+atip0; atip0: () >0 ViserocksaattaTip>0medforattvillkoretaTixiblirinaktivt.Vidare riktningpsatiseraatip0forattvaraentillatenriktning. attvillkoretfortfarandebliraktivt. Sammanfattningsviskanmansagaattdavillkoretaraktivtixsamasteen serviattatip<0medforattvillkoretintelangreuppfylls.atip=0medfor Denitionenaventillatenriktningmedavseendepaenmangdvillkoraren direktgeneraliseringavdenitionenaventillatenriktningforettvillkor. RiktningenparentillatenriktningmedavseendepavillkorenAxbiden tillatnapunktenxomp6=0ochdetexisterarenskalarsadanatt Medsammaresonemangsomforfalletmedettvillkorkanvikonstatera attexistensenaventillatenriktningheltochhalletbestamsavdeaktiva A(x+p)b;8;0: 12

15 ochendastom villkoren.envektorparentillatenriktningidentillatnapunktenxom vilketekvivalentkanskrivasatip08i2a(x) Detarintesvartattkonstrueravillkorsmangderdaringentillatenriktning daaabetecknardenaktivamangdmatrisenix. AAp0 existerar.exempelvisvillkoren iden(enda)tillatnapunktenx=(0;0)t.entillatenriktningmastesamtidigtuppfyllavillkoren x10;x20ochx1+x20 vilketendastkanuppfyllasavp1=p2=0,dvsdetexisteraringenriktning skildfrannollsomuppfyllerallavillkoren. p10;p20ochp1+p20; GivetvillkorenAxb,entillatenpunktxochentillatenriktningp,ardet oftaintressantattvetahurlangtenforyttningkanskelangspinnannagot 2.5 Stegettillnarmastebegransning villkoraktiveras.vivetsedantidigareattpmastesatiseraaap0,dar vetvifranavsnitt2.4attsteglangdeni= r(x) AAbetecknardenaktivamangdmatrisenix.Dettamedforattdeaktiva villkorenfortfarandearsatiseradevidenforyttninglangsp.deardock EttvillkormednormalvektornasagsminskalangspdaaTp<0.Endast inaktivavillkorkanminskadaparentillatenriktning.omvillkoriminskar ejnodvandigtvissatiserademedlikhet. steglangdenvaramindreanellerlikameddetminstaiforallaisadanaatt foryttningtillenotillatenpunkt.foratthamnaientillatenpunktskall arpositivochniteftersomatip<0.ettstorresteganimedforen atipsomgorvillkoretaktivt villkoririktningenp,sakansteglangdenbestammassom1.) atip<0.(omdetinteexisterarnagotatip<0,dvsdetsaknasbegransande 13

16 2.6 ViskallsenareseatthornspelarenviktigrollvidlosningavLP-problem. Givetmvillkorinvariabler.Etthornarenextrempunktivillkorsmangden, Horn exaktnvillkoraraktivaietthornsasagshornetvaraicke-degenererat.om punkter.detaralltsaenpunktsombegransasiallandimensionerna,dvs denaktivamangdmatrisenbestaravminstnlinjartoberoenderader.om vilketinnebarattdenintekanliggapalinjenmellantvaandratillatna Ettvillkorsagsvararedundantdadetkantasbortutanattmangdenav tillatnapunkterforandras. dettafalletdaetthornbegransasavavtreellererlinjer. merannvillkoraraktivasagshornetvaradegenererat.iplanet(n=2)ar 1.BestamA,cochbsaattproblemet 2.7 Ovningar maximerax1+x2dax1+2x28 x1;x2 3x1+2x212 x10 2.Losfoljandeoptimeringsproblemgraskt: dax=(x1;x2)t. arekvivalentmed x20 dar minimeractxdaaxb x 3.Manvilllosafoljandeproblemforeravardenpa. ochc=(1;1)t CAochb=0B@501CA 14

17 NumeriskLinjarAlgebra,DVL2 Linjarprogrammering a.skrivproblemetpaformen maximerax1+x2da x1;x2 4x1 3x2 12 2x1 3x26 x1+3x26 3x13 8mars1992(rev940829) 4.a.Betraktadetrevillkorenx1 x20,x1+2x26ochx1+x24och b.losproblemetgrasktfordetrevardena= 2;0och1. b.betraktadetrevillkorenx1 x20,x1+2x26ochx1+49x2100och minimeractxdaaxb dentillatnapunktenx=(2;2)t.existerarnagontillatenriktningfranx. x Bestamisafallensadanriktning.Omingenexisterar,forklaravarfor. 15

18 Kapitel3 Optimeringmedbivillkor oftaettlinjartoptimeringsproblemmedbivillkor.ettsadantproblemformulerasallmant: minimeractx LP-problemetattoptimeraenlinjarfunktioninometttillatetomradebenamns x2<n daraarmn.naturligtviskanenlosningendastexisteraomdentillatna mangdenaxbharnagratillatnapunkter.detgargenerelltinteattdirekt da Axb LP-problemforvilketentillatenpunktarkand. attnnaentillatenpunktienvillkorsmangdkanformulerassomettvanligt seomdetexisterarnagrapunkterinomdentillatnamangden.problemet GivetenkonsistentvillkorsmangdAxbskallvinudenieraettvillkor 3.1 forminimumavobjektfunktionenctxgenomattanalyseranarentillaten Tillatnanedforsriktningar punktintearettminimum.givetentillatenpunktxvetviattxinte arminimumomdetexisterarentillatennedforsriktningix.viskallnu LatA(x)betecknaindexmangdenfordeaktivavillkorenixsaatt karakteriseraensadanriktning. A(x)=fijaTix=ig: 16

19 Entillatenriktningmastesatisera medavseendepaenvillkorsmangdom daraaaraktivamangdmatrisenix.enriktningparentillatennedforsriktning AAp0 rsmangden.sats3.1.1sagerformelltattenpunktarminimipunktomoch Omensadanriktningexisterarvetviattxintearminimipunktivillko- AAp0ochcTp<0: endastomingenavdetillatnariktningarnaipunktenarennedforsriktning. Bevis:Naturligtvisarmastexvaraentillatenpunktforattvaraenminimipunkt.Forattvisa"om"-riktningen,antagattcTp0forallapsadana dar>0ochaap0.daravfoljeratt AAp0,darAAbetecknaraktivamangdmatrisenix. medavseendepaaxbomochendastomctp0forallapsadanaatt Sats3.1.1(Minimipunkt)PunktenxarminimipunkttillfunktionencTx attaap0.entillatenpunktiennarhetavxharformeny=x+y, vilketalltsavisarattg(y)g(x).daravdrasslutsatsenattxarminimipunkttillproblemetomctp0forallapsadanaattaap0. g(y)=cty=ct(x+p)=ctx+ctpg(x); Forattvisa"endastom"-riktningenantasattdetexisterarenriktningp minimipunkteftersometttillrackligtlitetsteg>0langspfranxger sadanattaap0ochctp<0.dettamedforattxintekanvaraen eftersomctp<0.2 g(y)=cty=ct(x+p)=ctx+ctp<g(x); VivillnutaredapavilkaegenskapercochAAmastehaforattcTp0 Isats3.1.1speciceradesvilkavillkorsomgallerdaxarenminimipunkt. 3.2 Villkorforminimipunkt utnyttjaendelavfarkassats: forallapsadanaattaap0skallgalla.viskallgoradettagenomatt 17

20 horntilllp-problemet Sats3.2.1(DelavFarka'ssats)Latn-vektornxvaraettickedegenererat x2<n minimeractx AntagattarlosningentillekvationssystemetATA=c.Omingetelement ivektornarnegativt,dvs0saexisteraringenriktningipsombade da Axb arnedforsriktningochtillatenriktning.dettabetyderattxarlosningtill varanedforsriktning.2 och0.dagallerattctp=(ata)tp=taap0.alltsakanpinte LP-problemet. Bevisetarkortochkonsist:Antagattparentillatenriktning,dvsAAp0 3.3 Omvimedforutsattningarnaisats3.2.1intenner0,dvsdetnns nagoti<0,sakanvinnaentillatennedforsriktningplangsenkantmed Valavsokriktning allaekvationernaiaaxbsatiserademedlikhetutomekvationi.detta genomattvillkoriinaktiveras.dvsdaiarnegativtkanpbestammassa horntilllp-problemet Sats3.3.1(Valavtillatennedforsriktning)Latxvaraettickedegenerat attati(x+p)>0(saattvillkoriinaktiveras). x2<n minimeractx ȦntagattloserekvationssystemetATA=cmedinegativt.Dakanp da Axb vektormeddeti:teelementetlikamed1ochsamtligaandralikamed0. attvisaattparennedforsriktning.viharctp=(ata)tp=taap= bestammassomentillatennedforsriktningenligtaap=ei,dareiaren Bevis:AttolikhetenAAp0galler,foljerurkonstruktionen.Detaterstar aterstariaax=bdaekvationitasbort. Sokriktningenpbestamsalltsasomdenkantsomgesavdeekvationersom Tei=i<0.2 18

21 Givetentillatenpunktxbestamsennedforsriktningppafoljandesatt: Algoritm3.3.1Valavsokriktning Valjisaatti<0.(Omi0;8isaarxminimipunkt.) LosATA=c. IdentieradenaktivamangdmatrisenAAix. BestamsokriktningenpgenomattinaktiveravillkoriiAAxbenligt 3.4sats3.3.1,dvslosAAp=ei. Vihariavsnitt2.6konstateratattetthornarenextrempunktienlinjarvillkorsmangd.ViskallnukonstateraattobjektsfunktioneniettLP-problem Minimumietthorn Sats3.4.1(Existensavetthornsomgerminimum)GivetLP-problemet harsittminimumiensadanextrempunkt(ellereventuelltiera). attminimeractxdaaxb,daraarmn.omrang(a)=noch minimivardetarnitsamastedetexisteraetthornsomgerminimum. Beviset,somidetaljnnsi[1],arpraktisktochgarutpaattutgaendefran attnyavillkoraktiveras. Forforstaelsenardettillrackligtattstuderafallet<2. enpunktvaljanysokriktningarenligtalgoritm3.3.1ochtasalangasteg inaktivavillkoretiipunktenxaktivtbestamsav ri(x) 3.5 Antagattxaretthornidentillatnamangden.Dasokriktningpbestams somenkanttilldentillatnamangdenochmedvetskapenattminimum Steglangdtillnastahorn Latri(x)=aTix i.vivetfran2.5attdensteglangdisomgordet genomattstegettassalangtattnagotavdeinaktivavillkorenaktiveras. steglangdensomavstandettillnarmastehornlangskanten.dettauppnas antasietthornavdentillatnamangdenardetnaturligtattbestamma LatDbetecknadenmangdavdeinaktivavillkorsomminskarlangsp,ien omatip=0. givenpunktx,dvs atipomatip<0och1 j2domatjp<0: 19

22 Latrj(x)betecknadenj:tekomponenteniresidualvektornixsaatt Davinuharenmangdavvillkorsomminskarlangspmasteviseefter vilketavdessavillkorsomforstkommerattuppfyllasdaviforyttaross rj(x)=atjx j: bestammervialltsasteglangdensom Dennasteglangdbenamnsdenlangstatillatnasteglangdenlangsp.Formellt villkorjaktivtenligtovan.vivaljersedandetminstaavdessavarden. langsp.vigordettagenomattbestammavilkensteglangdjsomgor j=8<: rj(x) darjbestamsenligt: =minj;j2d atjp Algoritm3.5.1Bestamningavsteglangd. +1 annars. omj2d Givetentillatenpunktxochentillatensokriktningp,darparennedforsriktninglangsenkantavdentillatnamangden.Foljandealgoritmbestammer denstorstamojligasteglangden. 1.Viharc=(2;6;12)TochmatrisenAmedLU-faktoriseringen Bestamsteglangdensomminfjg;j2D,darbestamsenligtovan. IdentieramangdenDavallainaktivavillkorsomminskarlangsp Betraktaproblemetiuppgift1iavsnitt2.7omskrivetpaformen: b.beraknactp,davektornplosersystemetap=e1,mede1=(1;0;0)t. a.anvandlu-faktoriseringenforattberaknasomlosersystemetat=c. Ovningar L= !ochU= ! minimeractxdaaxb x 20

23 dax=(x1;x2)t.detaralltsasammaproblemsomillustrerasifigur1.1.antag attx=(4;0)t. b.utnyttjaalgoritm3.5.1forattbestammaensteglangdlangspfranx. a.bestammedhjalpavalgoritm3.3.1entillatennedforsriktningfranx. NumeriskLinjarAlgebra,DVL2 Linjarprogrammering c.konstateraattx+p=(2;3)ochutnyttjaalgoritm3.3.1forattvisaatt x=(2;3)arminimipunkt. 8mars1992(rev940829) 21

24 Kapitel4 Simplexmetoden Dekunskaperviharfrantidigareavsnittartillrackligaforattkunnaformuleraenalgoritmkalladsimplexmetodenforattnnalosningentillett Metodenharformangaproblemvisatsignnalosningenmedettanmarkningsvartlitetantalsteg. sigmellanhorntillsmanfunnitdethornsomgerdenoptimalalosningen. optimeringsproblem.simplexmetodenarenteknikattlangskanterforytta 4.1 Viutgarfranoptimeringsproblemetpaformen: Algoritm x2<n minimeractx Vivetattettlinjartoptimeringsproblemalltidkanskrivasompadenformen.Algoritmennnerenlosninggenomattitereraframpunkter(horn)i da Axb dentillatnamangdensomgeralltmindrefunktionsvarden.ivarjeiteration utforsihuvudsaktreoperationer. 22

25 Algoritm4.1.1Simplex Latx[n]betecknadenaktuellapunktenefterniterationer.Givetentillaten punktx[n]saseralgoritmenutenligtfoljande: Bestamentillatennedforsriktningpix[n]mhaaktivamangd-stategin Nypunktbestamssomx[n+1]=x[n]+p BestamsteglangdenenligtAlgoritm ialgoritm Itereringenoverdessatreoperationerfortsattertillsvillkoretforminimipunkt tillatnamangden. punkterihorntilldentillatnamangdentillslosningenarfunnen,ardet lampligt(menejnodvandigt)attvaljastartpunktenx[0]sometthorniden iavsnitt3.2aruppfylldaidennyapunkten.eftersomalgoritmenvaljernya ensteglangdtillpunktenx[1].darifranvaljsettnyttstegtilllosningeni hjalpavsimplexmetoden.ifranstartpunktenx[0]valjsensokriktningoch IFigur4.1seshurlosningentillvartexempelfranavsnitt1.2tasframmed x[2] x [2] 2 S Figur4.1:EttLP-problemlosesmhasimplexmetoden. 1 x 1 + 2x 2 = 8 x [0] x [1] x x 2 = 12

26 4.2 Viharidettakompendiumutgattfranattdenaktuellatillatnapunktenx liggerietthornavdentillatnamangdendaensokriktningskallvaljas.det Omstartpunktenejaretthorn ingetvillkorinaktiverasvidforyttningfranx.efterenellereraiterationer Utgaendefranengodtyckligtillatenpunktxkanentillatennedforsriktning ochensteglangdvaljassaattettnyttvillkoraktiveras.idettafallbehover behoverdenintenodvandigtvisgora. kommerdennyapunktenattliggaietthornochvarttidigareresonemang villkoraraktivtixkommerdenforstaforyttningenattsketillenkant. steglangdvaljsfranengodtyckligpunktxidentillatnamangden.dainget gallerisinhelhet. Frandennyapunktenskersedanenforyttninglangsdenkantentillettav Idettvadimensionellafalletmotsvarasdettaavattensokriktningoch dessbegransandehorn. 4.3 delproblemsomharorfrandeninexaktatalrepresentationeniendator. Videnfaktiskimplementationavexempelvissimplexmetodenuppstaren Implementationsaspekter likhet.istalletkontrollerasomjrij<. forvilkari(x)=0dar(x)=ax.ipraktikenardetsvartattkontrollera ienpunktx.iavsnitt2.3denieradesdenaktivamangdensomdeindexi Dessaproblemuppstartillexempelvididentieringavdenaktivamangden foryttningskerlangsenkantidenaktivamangdenochforyttningensker salangtattettnyttvillkoraktiveras.vidberakningenavsokriktningen, Hurstortskalldavaljas?Ettstegisimplexmetodenbestammssaatten steglangdenochdennyapunktenuppstarfel.taletskallvaljassastortatt detnyavillkorsomskallaktiverasverkligenkanidentierassomettaktivt villkorenligtkriterietovan. 4.4 SedansimplexmetodenutveckladesavGeorgeB.Danzig1947hardetfram till1984intefunnitsnagotkonkurrenskraftigtalternativtilldenmetoden Alternativametoder endelnyaintressantametoder[5].24 vidlosningavlp-problem.sedanmittenav80-talethardetdockutvecklats

27 metodenivarstafalletenmyckethogkomplexitet.detnnsblandannat Enorsaktillattdetharfunnitsintressetillattnnaandrametoderhar varitvarstafalls-komplexitetenforsimplexmetoden.trotsattmetodeni exempelgarsimplexmetoden,medenobjektsfunktionavnvariablerochen ettkantexempelmedentillatenmangdiformavenvridenkub.idetta allmanhetnnerenlosningefterettmycketlitetantaliterationersahar tillatenmangdbestaendeav2nolikhetsvillkor,igenomalla2nhornen. netinrepunkt-metoder(interiormethods).dessametoderharimangafall falletpapolynom-tid. Sedandesshardetutvecklatsendelintressantametoderundersamlingsnam- imangasammanhangkravetattensnabbalgoritmskulleklaraavenvarsta visatssigkunnakonkurreramedsimplexmetoden. 1.a.BestamA,cochbsaattproblemet 4.5 Ovningarmaximerax1 x2da3x1+x23 x1;x2 x1+2x24 x1 x21 x15 b.bestamentillatenpunktx[0]. dax=(x1;x2)t. arekvivalentmedminimeractxdaaxb x x25 2.a.BestamA,cochbsaattproblemet c.losminimeringsproblemetmhaalgoritm arekvivalentmed x1;x2;x3 maximera 6x1 4x2 8x3dax1+x2+x34 x1+2x2+3x37 x1+2x2 x3 1 2x1+3x38 2x2+4x Daintressetforvarstafalls-komplexitetenokadeunder60och70-taletstalldes

28 NumeriskLinjarAlgebra,DVL2 Linjarprogrammering b.bestamentillatenpunktx[0]. dax=(x1;x2;x3)t. minimeractxdaaxb x 8mars1992(rev940829) c.losminimeringsproblemetmhaalgoritm

29 [1]P.Gill,W.MurrayandM.Wright,\NumericalLinearAlgebraAndOptimization Volume1",AddisonWesley,(1989). Referenser [5]M.Wright,\InteriorMethodsforConstrainedOptimization",AT&TBellLaboratories,MurrayHill,NewJersey. [4]P.A.Wedin,\OmLinjarProgrammeringochSimplexmetodensomTillampningav [2]H.Ramsin,\Ickelinjaroptimering",Liber,Lund(1976). [3]Best,Ritter,\LinearProgramming:ActiveSetAnalysisandComputerPrograms", LinjarAlgebra",UmeaUniversitet,Umea(1990). PrenticeHall,NewJersey(1985). 27