STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER"

Transkript

1 STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsso

2 läkarstudet.se INDEX INTRODUKTION...2 Att skriva saolikheter...2 Saolikhetslagar...2 Fakulteter...3 Odds och oddskvot...3 Typer av data...4 Diagram...5 SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR...6 Biomialfördelig...6 Poissofördelig...9 Normalfördelig...10 t-fördelig...12 χ 2 -fördelig...13 F-fördelig...14 DESKRIPTIV STATISTIK för alla datatyper för ordiala och kvatitativa data för kvatitativa data...16 Ekel lijär regressio...17 Korrelatioskoefficiet och förklarigsgrad...18 Medelvärdets stadardfel...19 Kofidesitervall...19 ANALYTISK STATISTIK...22 Estimatorer...22 Hypotesprövigar...23 Power...23 Testfuktioer för medelvärde...24 Testfuktio för variaser...24 Testfuktio för proportioer...24 Testfuktioer för jämförelser av två urval...25 Testfuktioer för regressioslijer...26 Testfuktioer för korrelatioskoefficieter...26 Testfuktioer för variasaalys (ANOVA)...27 Testfuktioer för saolikhetsfördeligar av icke-kvatitativa data...28 Icke-parametriska testfuktioer...29 ADDENDA ET CORRIGENDA

3 läkarstudet.se INTRODUKTION Här beskrivs ågra grudläggade begrepp som ma bör käa till ia ma läser vidare. Att skriva saolikheter Matematiskt beteckas saolikhete för e hädelse med p. Saolikhete för e hädelse som förvätas iträffa vid varaat tillfälle ka skrivas matematiskt på ågot av edaståede sätt: p=½=50 %=0,5 Vid statistiska beräkigar skrivs saolikheter som tal i itervallet 0 till 1 sarare ä 0 till 100 %. Saolikhetslagar Beteckigar: P (A) P (Ā) P (A B) P (A B) P (A B) Saolikhetslagar: P (Ā)=1 P( A) saolikhete för att hädelse A iträffar saolikhete för att hädelse A ite iträffar ("komplemethädelse") saolikhete för att både hädelse A och hädelse B iträffar saolikhete för att mist e av hädelse A och hädelse B iträffar saolikhete för att hädelse A också iträffar om hädelse B iträffar P (A B)=P (A)+P ( B) P( A B) additiossatse P ( A B)=P ( A) P (B A)=P ( B) P ( A B) multiplikatiossatse (beroede hädelser) P (A B) P (A B)= P (B) P (B A)= P (A B) P (A) P (B) Observera att vid oberoede hädelser gäller att: P (A B)=P ( A) P (B A)=P (B) P (A B)=P (A) P ( B) betigad saolikhet (beroede hädelser) Bayes teorem (efter präste Thomas Bayes) "multiplikatiossatse" (oberoede hädelser) 2

4 läkarstudet.se Fakulteter Fakulteter är särskilt avädbara är ma skall beräka atalet möjliga utfall. Fakultete för heltalet är lika med produkte av samtliga heltal i talserie {1,..., }.!=1 2!=1 2=2 3!=1 2 3=6 Dessutom gäller att: 0!=1 Vid igåede elemet (objekt) är! olika permutatioer (uppräkigar) möjliga. Julius, Julia och deras robot Julium vill leka att de står i kö vid e statlig mydighet. Totalt är 6 olika köer möjliga: Julius-Julia-Julium, Julius-Julium-Julia, Julia-Julius- Julium, Julia-Julium-Julius, Julium-Julius-Julia samt Julium-Julia-Julius. Atalet möjliga kombiatioer är vi aväder x av y tillgägliga elemet: ( y x) = y! x! ( y x)! till exempel ( 3 2) = 3! 2! (3 2)! = =3 (A, B, C: A+B, A+C eller B+C) Atalet möjliga uppräkigar är vi aväder y elemet varav x är A och reste är B: ( y x) = y! x! ( y x)! till exempel ( 3 2) = 3! 2! (3 2)! = =3 (AAB, ABA samt BAA) Odds och oddskvot Oddse för ett utfall är lika med saolikhete för utfallet dividerad med saolikhete för att utfallet ite äger rum. Om 10 expoeras, 8 blir sjuka och 2 förblir friska så är oddse för sjukdom efter expoerig 4. Om 40 ite expoeras, 8 blir sjuka och 32 förblir friska så är oddse för sjukdom efter icke-expoerig 0,25. Oddskvote ager de relativa saolikhete. Med föregåede siffror blir oddskvote för sjukdom lika med 4 / 0,25 = 16; expoerig gör alltså att riske för sjukdom blir 16 gåger högre. 3

5 läkarstudet.se Typer av data Kvatitativa data utgörs av mägder och mäts med siffror (till exempel ålder och vikt). Kvalitativa data utgörs istället av egeskaper (till exempel blodgrupp och kö). Kvalitativa data ka visserlige beämas med siffror me dessa är då att betrakta som etiketter sarare ä kvatiteter. Kvalitativa data ka delas upp i två udertyper, omialdata respektive ordialdata. Nomialdata beskriver egeskaper som sakar ibördes värderigsordig och alltså ite låter sig iordas i skalor (till exempel blodgrupp eller kö). Ordialdata ka ragordas me ite storleksbestämmas (till exempel betyg, där det ite går att säga att kriteriera för ett högre betyg är lika med kriteriera för ett lägre betyg multiplicerat med e viss faktor). Kvatitativa data ka i si tur också delas upp i två udertyper, itervalldata och kvotdata. Skillade mella dem är att itervalldata ka ha egativa värde (till exempel temperatur eligt Celsiusskala) meda kvotdata ite ka det (till exempel vikt). Kvotdata ka omvadlas till itervalldata, itervalldata till ordialdata och ordialdata till omialdata. Omvadligar i adra riktige är mycket vaskligare. Kvatitativa data ka vidare sägas fias i två variater, diskreta data respektive kotiuerliga data. Diskreta data är begräsade till ett atal specifika värde; till exempel ka e tärig edast ata värdea {1, 2, 3, 4, 5, 6} me ite ågot aat värde mella dessa. Kotiuerliga data begräsas däremot ite till ett fåtal pukter iom det studerade området; exempel på sådaa data är lägd, vikt och ålder som i teori ka beskrivas med ett oädligt atal decimaler och därmed ataga ett oädligt atal möjliga värde. Kotiuerliga data måste därför beskrivas med itervaller. Type av data är avgörade för vilka statistiska udersökigar som är möjliga. Kursbetyg är ett typiskt exempel på ordialdata eftersom det går att ragorda dem me ite att göra e kvatitativ mätig av avstådet mella dem (det vill säga mella deras defiitioer eligt läroplae). Att räka ut geomsitt utifrå kursbetyg är således matematiskt felaktigt; äkta geomsitt fordrar kvatitativa data. Det är också de valigaste atagigsmetode till högre utbildig i Sverige. 4

6 läkarstudet.se Diagram Vediagram (efter logiker Joh Ve) utgörs av e karta där geometriska figurer, ofta cirklar, represeterar olika hädelser eller grupper. Överlappigar mella två eller fler figurer betyder att det som figurera represeterar föreligger samtidigt (det ka till exempel vara saolikhete för att två hädelser iträffar samtidigt). Träddiagram utgörs av e karta över möjliga, förgreade hädelsekedjor. Lådagram (box plot) aväds för att visa hur urval av data är ivädigt fördelade (se "deskriptiv statistik" för förklarigar av följade termer). De cetrala rutas yttre gräser utgörs av första och tredje kvartilera meda lije som skär ruta utgör mediae. De två utgåede strecke sträcker sig 1,5 kvartilavståd ut frå låda. Värde mer ä 1,5 kvartilavståd ut frå låda beteckas utliggare och brukar markeras i diagrammet som små cirklar. Värde mer ä 3 kvartilavståd ut frå låda beteckas extremvärde. Stolpdiagram och histogram är båda exempel på stapeldiagram me det fis e viktig skillad: stolpdiagram avser diskreta data och står separata meda histogram avser kotiuerliga data och därför sakar mellarum mot grastaplara. Sambadsdiagram (scatter plot) aväds för att visa hur par av variabler (till exempel persoers lägd och vikt) fördelar sig. De parade variablera ger x- respektive y-koordiatera i diagrammet. Det framgår ofta av diagrammet ifall det föreligger ågot tydligt sambad mella de två variablera. 5

7 läkarstudet.se SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR Saolikhetsfördeligara är fudametala redskap iom statistike, särskilt för aalytisk statistik. E saolikhetsfördelig beskriver saolikhetera för olika utfall utifrå de valda parametrara. Dess medelvärde/vätevärde E(X) och varias Var(X) ka också beräkas (se "deskriptiv statistik"). f (x)= formel E ( X )= formel Var ( X )= formel Saolikhetsfördeligara fis äve redovisade som referestabeller där ma ka avläsa hur stor saolikhete är för ett visst utfall utifrå valiga värde på parametrara (adra parametervärde fordrar att ma gör ega beräkigar eller aväder ett statistiskt datorprogram). Biomialfördelig Biomialfördelige för diskreta data beskriver saolikhete för att ett utfall av två (till exempel "ja" och "ej") iträffar totalt x gåger uder försök är saolikhete är p för just det utfallet. f (x)= ( x) p x (1 p) x E ( X )= p Var ( X )= p (1 p) Biomialfördeligar skrivs förkortat: Bi(, p) Om sätts till 1 så får ma Beroullifördelige (efter matematiker Jakob Beroulli): f (x)= p x (1 p) 1 x För fler ä 2 möjliga utfall ka ma istället beräka e multiomialfördelig med k möjliga utfall: f (x 1,..., x k )=! x 1!... x k! p x 1... pk x k 1 där x i och p i ager olika utfalls atal och saolikhet Räkeexempel: Saolikhete för att Barey får e "perfekt vecka" (7 av 7) om chase per dag är 10 %: f (7)= ( 7 7) 0,17 (1 0,1) 7 7 = 7! 7! 0! 0,17 0,9 0 =1 0,1 7 1=0, eller cirka 0,00001 % 6

8 läkarstudet.se Nedaför återges referestabeller för olika värde på och p. Observera att agiva saolikheter utgör kumulativa saolikheter. Saolikhete för exakt x iträffade fås geom att äve läsa av tabellvärdet för x 1 och seda dra av det frå tabellvärdet för x (alterativt geom att beräka värdet för biomialfördeliges saolikhetsfuktio, vilket också ger det exakta värdet). = 1 x p = 0,1 p = 0,2 p = 0,3 p = 0,4 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,7 p = 0,8 p = 0,9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 = 5 x p = 0,1 p = 0,2 p = 0,3 p = 0,4 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,7 p = 0,8 p = 0,9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 = 6 x p = 0,1 p = 0,2 p = 0,3 p = 0,4 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,7 p = 0,8 p = 0,9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 = 7 x p = 0,1 p = 0,2 p = 0,3 p = 0,4 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,7 p = 0,8 p = 0,9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 = 8 x p = 0,1 p = 0,2 p = 0,3 p = 0,4 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,7 p = 0,8 p = 0,9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

9 läkarstudet.se = 9 x p = 0,1 p = 0,2 p = 0,3 p = 0,4 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,7 p = 0,8 p = 0,9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 = 10 x p = 0,1 p = 0,2 p = 0,3 p = 0,4 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,7 p = 0,8 p = 0,9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 = 20 x p = 0,1 p = 0,2 p = 0,3 p = 0,4 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,7 p = 0,8 p = 0,9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

10 läkarstudet.se Poissofördelig Poissofördelige (efter matematiker Siméo Poisso) för diskreta data beskriver saolikhete för att ett utfall iträffar x gåger uder ett försökstillfälle är medelvärdet och variase är λ. f (x)= λx e λ x! E ( X )= λ Var ( X )= λ Poissofördeligar skrivs förkortat: Po(λ) Räkeexempel: Barey bär i geomsitt 2 kostymer per dag. Saolikhete för e dag med 3 kostymer är: f (3)= 23 e 2 3! = 8 e 2 0,18 eller cirka 18 % 6 Nedaför återges e referestabell för ågra värde på λ. Observera att de agiva saolikhetera återige utgör de kumulativa saolikhetera, det vill säga summa av alla saolikheter upp till x. x λ = 1 λ = 2 λ = 3 λ = 4 λ = 5 λ = 6 λ = 7 λ = 8 λ = 9 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

11 läkarstudet.se Normalfördelig Gaussfördelige (efter matematiker Carl Gauss), eller ormalfördelige, för kotiuerliga data är de kaske främsta saolikhetsfördelige. Eligt de cetrala gräsvärdessatse kommer medelvärdea av oberoede slumpmässiga urval att ärma sig e ormalfördelig är allt fler urval tillkommer, oavsett deras ega saolikhetsfördeligar. Normalfördelige är särskilt relevat för de mediciska veteskape eftersom måga biologiska variabler är ormalfördelade. Normalfördelige är i diagram formad som e symmetrisk kulle eller "klocka" i geomskärig, med ett relativt högt mittparti och kotiuerliga svasar åt höger och väster. f (x)= 1 (x μ) 2 σ 2π e 2σ 2 E ( X )= μ Var ( X )=σ 2 Normalfördeligar skrivs förkortat: N ( μ, σ 2 ) Normalfördeliges referestabeller utgår valigtvis frå de stadardiserade ormalfördelige N(0,1), äve käd som z-fördelige, där μ = 0 och σ 2 = 1. Geom e z-trasformatio ka ma beräka det Z-värde som X motsvarar: X mius medelvärdet, dividerat med stadardavvikelse. Z= X μ σ eller Z= X x s Negativa värde för Z avläses som positiva, seda subtraheras tabellvärdet frå 1. Z = 1,00 motsvarar 0,841 Z = 1,00 motsvarar då 1,000 0,841 = 0,159 Vid z-fördelige motsvarar värdet på Z atalet stadardavvikelser frå μ! μ ± 1,00σ motsvarar 0,841 0,159 = 0,682 (68 % av ormalfördelige fis iom 1,00σ) μ ± 1,96σ motsvarar 0,975 0,025 = 0,950 (95 % av ormalfördelige fis iom 1,96σ) z y motsvarar det z-värde som vid tabellavläsig ger värdet y. Om y är midre ä 0,500 så letar ma efter ett egativt z-värde och söker därför i tabelle efter värdet 1 y. z 0,975 = 1,96 z 0,025 = 1,96 Observera att med kotiuerliga data ka ma ite idetifiera saolikheter för exakta utfall! Det fis oädligt måga decimaler och saolikhete för ett exakt värde är alltså oädligt lite. Det ma ka göra är att bedöma saolikhete för utfall edaför eller ovaför ett visst gräsvärde. 10

12 Räkeexempel: läkarstudet.se De dramatiska tide mella "lege" och "dary" följer e ormalfördelig. Medeltide är 10 sekuder och stadardavvikelse är 4 s. Hur valiga är tider över 20 s? Z= = =2,50 Tabellavläsig för 2,50 visar att tider på upp till 20 sekuder utgör 0,99379 (99,379 %). Tider över 20 sekuder utgör då återstode, 1 0,99379 = 0,00621 (0,621 %). Vid avläsig av referestabelle motsvarar olika kolumer olika värde på de adra z-decimale. z ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , ,

13 läkarstudet.se t-fördelig Studets t-fördelig (efter pseudoyme Studet som avädes av William Gosset, som vid de tide var aställd vid Guiess) för kotiuerliga data aväds främst vid små populatioer. Ju fler frihetsgrader de har, desto bättre motsvaras de av ormalfördelige. Atalet frihetsgrader är ett mått på datavärdeas oberoede, på hur måga utav dem som ka variera. Ifall det till exempel är fastslaget att ν datavärde har ett visst medelvärde så räcker det med att käa till värdet på ν 1 datavärde för att kua bestämma värdet på det sista av dem och det föreligger alltså ν 1 frihetsgrader. t (y, ν) motsvarar det t-värde som vid tabellavläsig för ν frihetsgrader har saolikhet y. t (0,975, 10) = 2,228 t (0,025, 10) = 2,228 Referestabelle för t-fördelige har atalet frihetsgrader som rader och olika saolikheter som kolumer. För egativa värde på t subtraheras de avlästa saolikhete frå 1. ν p = 0,70 p = 0,80 p = 0,90 p = 0,95 p = 0,975 p = 0,990 p = 0,995 p = 0,9990 p = 0, ,727 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63, , , ,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31, ,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12, ,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8, ,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6, ,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5, ,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5, ,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5, ,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4, ,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4, ,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4, ,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4, ,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4, ,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4, ,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4, ,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4, ,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3, ,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3, ,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3, ,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3, ,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3, ,528 0,849 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,261 3, ,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174 3,390 12

14 läkarstudet.se χ 2 -fördelig χ 2 -fördelige (chi-kvadrat-fördelige) för kotiuerliga data aväds också flitigt, blad aat för att dra slutsatser om variaser och avgöra hur väl e teoretisk fördelig (e teoretisk modell, ett teoretiskt sambad) matchar observatioera. χ 2 (y, ν) motsvarar det χ 2 -värde som vid tabellavläsig för ν frihetsgrader har saolikhet y. χ 2 (0,975, 10) = 20,483 χ 2 (0,025, 10) = 3,247 Referestabelle för χ 2 -fördelige har atalet frihetsgrader som rader och olika saolikheter som kolumer. ν p = 0,005 p = 0,010 p = 0,025 p = 0,05 p = 0,50 p = 0,95 p = 0,975 p = 0,990 p = 0, ,000 0,000 0,001 0,004 0,455 3,841 5,024 6,635 7, ,010 0,020 0,051 0,103 1,386 5,991 7,378 9,210 10, ,072 0,115 0,216 0,352 2,366 7,815 9,348 11,345 12, ,207 0,297 0,484 0,711 3,357 9,488 11,143 13,277 14, ,412 0,554 0,831 1,145 4,351 11,070 12,833 15,086 16, ,676 0,872 1,237 1,635 5,348 12,592 14,449 16,812 18, ,989 1,239 1,690 2,167 6,346 14,067 16,013 18,475 20, ,344 1,646 2,180 2,733 7,344 15,507 17,535 20,090 21, ,735 2,088 2,700 3,325 8,343 16,919 19,023 21,666 23, ,156 2,558 3,247 3,940 9,342 18,307 20,483 23,209 25, ,603 3,053 3,816 4,575 10,341 19,675 21,920 24,725 26, ,074 3,571 4,404 5,226 11,340 21,026 23,337 26,217 28, ,565 4,107 5,009 5,892 12,340 22,362 24,736 27,688 29, ,075 4,660 5,629 6,571 13,339 23,685 26,119 29,141 31, ,601 5,229 6,262 7,261 14,339 24,996 27,488 30,578 32, ,142 5,812 6,908 7,962 15,338 26,296 28,845 32,000 34, ,697 6,408 7,564 8,672 16,338 27,587 30,191 33,409 35, ,265 7,015 8,231 9,390 17,338 28,869 31,526 34,805 37, ,844 7,633 8,907 10,117 18,338 30,144 32,852 36,191 38, ,434 8,260 9,591 10,851 19,337 31,410 34,170 37,566 39, ,034 8,897 10,283 11,591 20,337 32,671 35,479 38,932 41, ,643 9,542 10,982 12,338 21,337 33,924 36,781 40,289 42, ,260 10,196 11,689 13,091 22,337 35,172 38,076 41,638 44, ,886 10,856 12,401 13,848 23,337 36,415 39,364 42,980 45, ,520 11,524 13,120 14,611 24,337 37,652 40,646 44,314 46, ,787 14,953 16,791 18,493 29,336 43,773 46,979 50,892 53, ,707 22,164 24,433 26,509 39,335 55,758 59,342 63,691 66, ,991 29,707 32,357 34,764 49,335 67,505 71,420 76,154 79, ,534 37,485 40,482 43,188 59,335 79,082 83,298 88,379 91, ,172 53,540 57,153 60,391 79, , , , , ,328 70,065 74,222 77,929 99, , , , ,169 13

15 läkarstudet.se F-fördelig F-fördelige (efter statistiker och biologe Roald Fisher och matematiker George Sedecor) aväds blad aat iom aalys och jämförelser av variaser. F (y, ν1, ν2) motsvarar det F-värde som vid tabellavläsig med ν 1 och ν 2 frihetsgrader har saolikhet y. F (0,95, 10, 10) = 2,978 Referestabellera för F-fördelige har frihetsgradera ν 1 som kolumer respektive ν 2 som rader. 1 p = 0,95 ν 2 / ν ,45 199,50 215,71 224,58 230,16 241,88 249,26 251,77 253, ,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,40 19,46 19,48 19, ,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,79 8,63 8,58 8,55 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 5,96 5,77 5,70 5,66 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,74 4,52 4,44 4, ,97 4,10 3,71 3,48 3,33 2,98 2,73 2,64 2, ,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,24 1,96 1,84 1, ,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,03 1,73 1,60 1, ,94 3,09 2,70 2,46 2,31 1,93 1,62 1,48 1,39 1 p = 0,99 ν 2 / ν , , , , , , , , , ,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,40 99,46 99,48 99, ,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,23 26,58 26,35 26, ,20 18,00 16,69 15,98 15,52 14,55 13,91 13,69 13, ,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,05 9,45 9,24 9, ,04 7,56 6,55 5,99 5,64 4,85 4,31 4,12 4, ,77 5,57 4,68 4,18 3,86 3,13 2,60 2,40 2, ,17 5,06 4,20 3,72 3,41 2,70 2,17 1,95 1, ,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,50 1,97 1,74 1,60 1 p = 0,999 ν 2 / ν , , , , , , , , , ,50 999,00 999,17 999,25 999,30 999,40 999,46 999,48 999, ,03 148,50 141,11 137,10 134,58 129,25 125,84 124,66 124, ,14 61,25 56,18 53,44 51,71 48,05 45,70 44,88 44, ,18 37,12 33,20 31,09 29,75 26,92 25,08 24,44 24, ,04 14,91 12,55 11,28 10,48 8,75 7,60 7,19 6, ,88 9,22 7,45 6,49 5,89 4,56 3,63 3,28 3, ,22 7,96 6,34 5,46 4,90 3,67 2,79 2,44 2, ,50 7,41 5,86 5,02 4,48 3,30 2,43 2,08 1,87 14

16 läkarstudet.se DESKRIPTIV STATISTIK Deskriptiv statistik behadlar hur datamaterial ka sammafattas och preseteras. Vilka deskriptiva mått som är lämpliga avgörs av vilke datatyp som det rör sig om.... för alla datatyper Typvärdet (på egelska "mode") ager det valigast förekommade värdet i e serie. Typvärdet för talserie {1, 1, 5, 7} är 1. Proportioe p avser slumpsaolikhet eller populatiosadel. Motsvarighete för stickprover är: p= x där är det totala atalet utfall och x är atalet utfall av de studerade type... för ordiala och kvatitativa data Variatiosvidde (på egelska "rage") ager avstådet frå det mista värdet till det högsta värdet. Mediavärdet, Md, ager det mittersta värdet vid e ragordad uppräkig. Om atalet värde är jämt så motsvarar mediavärdet geomsittet av de två mittersta värdea. Med tale {1, 3, 9} så blir mediavärdet 3, med tale {1, 3, 5, 9} så blir mediavärdet 4. Mediavärdet kallas äve för de adra kvartile, Q2. 0,50 (+1) ager mediavärdets placerig i uppräkige Första kvartile, Q1, ager vilket värde som hamar mitt emella mediae och series lägre äde. Tredje kvartile, Q3, ager vilket värde som hamar mitt emella mediae och series högre äde. 0,25 (+1) ager vilket placerigsummer som de första kvartile har i uppräkige 0,75 (+1) ager vilket placerigsummer som de tredje kvartile har i uppräkige Kvartilavstådet, IQR (på egelska "iter-quartile rage"), ager skillad i värde mella Q1 och Q3. IQR=Q3 Q1 Percetiler delar upp serie i 100 steg. Q1, Q2 och Q3 motsvaras av percetilera #25, #50 och #75. (x/100) (+1) ager vilket placerigsummer som percetil x har i uppräkige 15

17 läkarstudet.se... för kvatitativa data Observera att parametrara edaför aväder adra tecke är de gäller hela populatioe istället för stickprover; x ersätts av μ, s ersätts av σ och ersätts av N. Medelvärdet (på egelska "mea") är storleke på det teoretiska geomsittliga värdet. E svaghet med medelvärde (me ite mediavärde) är att de påverkas av kraftigt avvikade värde och skeva fördeligar. Medelvärdet för ett stickprov med mätvärde skrivs matematiskt eligt eda: x= x x = x i i =1 Variase s 2 är ett mått på mätvärdeas avståd till medelvärdet; större avvikelser ger större varias. Mätvärdeas avvikelser frå medelvärdet kvadreras, summeras och divideras seda med 1. s 2 = i =1 (x i x) 2 1 Stadardavvikelse s är kvadratrote ur variase och delar ehet med mätvärdea, till exempel kg. s= s 2 Variatioskoefficiete CV ager istället hur stor stadardavvikelse är jämfört med medelvärdet. CV = s x Ifall två oberoede urval har samma populatiosvarias (σ 1 = σ 2 ) så ka de skattas som: σ 2 = ( 1 1) s 1 2 +( 2 1) s Med parade mätvärde avses att två urval hämtar stickprover i par frå samma (eller parade) subjekt, varefter mätvärdespare (x och y) aväds för att beräka medelskillade d. d = d d s d 2 = i=1 (d i d) 2 1 = i =1 y i x i 16

18 läkarstudet.se Ekel lijär regressio Ifall ma har ett atal stickprovsvärde som vardera omfattar variablera x och y så är det möjligt att beräka vilka värde i räta lijes ekvatio som bäst motsvarar tillgägliga data. SS x = ( x i x) 2 i=1 SS y = ( y i y) 2 i=1 SS xy = (x i x) ( y i y) i=1 SS e =SS y SS 2 xy SS x s e 2 = SS e 2 b 1 = SS xy SS x b 0 = y b 1 x Sammafattigsvis gäller att: y=b 0 +b 1 x+e där e beteckar slumpmässiga avvikelser (i geomsitt 0) Var (b 1 )= s 2 e SS x Var (b 0 )=s 2 e ( 1 + x2 SS x) Räkeexempel: Barey blev ihop med e tjej och började sart bli allt rudare. Efter e måad var has vikt (x) 80 kg, efter två var de 86 kg och efter tre var de 95 kg. Vid samtliga tillfälle var has lägd (y) 180 cm. b 1 = 3 i=1 (x i 87) ( y i 180) 3 i=1 ( x i 87) 2 = ( 7) (0)+( 1) ( 0)+(8) ( 0) ( 7) 2 +( 1) 2 +(8) 2 = =0 b 0 = =180 och därmed får vi att y=0 x+180 I ett xy-diagram skär dea räta lijes ekvatio exakt geom alla tre datapuktera. De motsvarar alltså mätvärdea alldeles perfekt. Me fis det egetlige ett sambad..? 17

19 läkarstudet.se I verklighete är måga förhållade ite strikt lijära me iblad ka det ädå vara möjligt att få ett lijärt sambad att framträda geom att utföra e matematisk trasformatio. Det ka göras med blad aat logaritmerig, tillägg av expoeter till x eller avädade av x som expoet. E ytterligare möjlighet är att flera oberoede variabler samspelar och då ka det behövas multipel regressio. Detta utförs som regel med hjälp av statistiska datorprogram eftersom beräkigara sabbt blir allt mer omfattade och komplicerade i takt med att fler oberoede variabler läggs till. Korrelatioskoefficiet och förklarigsgrad Pearsos korrelatioskoefficiet (efter statistiker Karl Pearso) är ett mått på styrka i ett täkt lijärt sambad mella två variabler. Värdet varierar frå 1 till +1 och ju lägre värdet är frå 0, desto starkare är det lijära sambadet; egativa sambad är också sambad, fast i motsatt riktig. Korrelatioskoefficieter beteckas med r för stickprover och ρ för populatioer. SS xy r xy = SS x SS y Frå korrelatioskoefficiete ka ma seda beräka förklarigsgrade r 2 som ager hur stor adel av e beroede variabels värde som ka förklaras med de oberoede variabel vid e regressio. Räkeexempel: Frå ova vet vi att räta lijes ekvatio ka beskriva Bareys lägd-viktförhållade exakt. Me hur starkt är egetlige det ova ämda "sambadet" mella Bareys vikt och lägd? Frå uträkige i det föregåede räkeexemplet vet vi reda att kvotes täljare blir 0. Därmed blir r xy = 0 och dess kvadrat r 2 = 0. Det fis ite ågo styrka alls i "sambadet". Alltså: att det går att beskriva e relatio med e ekvatio utgör ite e korrelatio! Ifall es mätvärde avviker betydligt frå ormalfördelige, eller ifall de är av ordialtyp, så ka ma istället aväda Spearmas ragkorrelatioskoefficiet (efter psykologe Charles Spearma). Först ger ma mätvärdea ragordigsummer eligt variablera som ma studerar (till exempel lägd och vikt) och seda beräkas korrelatioskoefficiete utifrå dessa ragordigstal. 6 (rag( x i ) rag( y i )) 2 i=1 r s =1 ( 2 1) 18

20 läkarstudet.se Medelvärdets stadardfel "Stadard error of the mea" (SEM), på sveska "medelvärdets stadardfel" eller "medelfelet", är ett mått på hur väl ett stickprovs medelvärde ka avädas som uppskattig av hela populatioes. SEM x =s x = s = s2 = s2 Stadardfel aväds vid beräkig av kofidesitervall och fis äve för adra parametrar ä x. Kofidesitervall Ett kofidesitervall omfattar e viss adel av utfalle för e saolikhetsfördelig. De adel som ligger utaför kofidesitervallet beteckas α meda de omfattade adele beteckas 1 α. Vid ekelsidiga kofidesitervall är hela α samlat på samma sida i saolikhetsfördelige, atige de övre (högra) eller de edre (västra), meda dubbelsidiga kofidesitervall omges av två område som vardera har storleke α/2. E mycket valig omfattig på kofidesitervall är 95 % av saolikhetsfördelige vilket motsvaras av att α = 5 %. Till exempel iebär ett 95 % kofidesitervall för μ att det är 95 % saolikhet för att μ ligger iom kofidesitervallet. Kofidesitervall för μ är σ är käd: x± z σ 2 (1 α/2 ) x z σ 2 (1 α) respektive x+ z (1 α) σ 2 Kofidesitervall för μ är σ är okäd och urvalet är stort: x± z s2 (1 α/2) x z s2 (1 α) respektive x+ z (1 α) s2 Kofidesitervall för μ är σ är okäd och urvalet är litet och ormalfördelat: x±t (1 α/ 2, 1) x t (1 α, 1) s2 s2 respektive x+t (1 α, 1) s2 19

21 läkarstudet.se Kofidesitervall för D (de "saa" geomsittliga skillade mella parade data): d ±t (1 α/2, 1 ) d t (1 α, 1) s 2 d s 2 d respektive d +t (1 α, 1) s 2 d Kofidesitervall för skillade mella μ A och μ B är det ka atagas att σ A = σ B : x A x B ±t (1 α/ 2, A + B 2) σ 2 ( 1 A + 1 B) x A x B t (1 α, A + B 2) σ2 ( 1 A + 1 B) respektive x A x B +t (1 α, A + B 2) σ2 ( 1 A + 1 B) Kofidesitervall för skillade mella μ A och μ B är det ka atagas att σ A σ B : x A x B ±t (1 α/ 2,ν) s 2 A 2 A + s B B x A x B t (1 α, ν) s 2 A 2 A + s B B respektive x A x B +t (1 α, ν) s 2 A 2 A + s B B där ν= Kofidesitervall för σ 2 : ( s 2 A + s 2 B A B)2 ( s 2 A /( A A)2 1)+( s 2 B /( B 1) B)2 ( 1) s 2 <σ 2 < ( 1) s2 2 2 χ (1 α/ 2, 1) χ (α/2, 1) ( 1) s 2 <σ 2 2 respektive σ 2 < ( 1) s2 2 χ (1 α, 1) χ (α, 1) Kofidesitervall för p är är stort, gära över 20: p±z (1 α/2) p (1 p) p z (1 α) p (1 p) respektive p+z (1 α) p (1 p) Kofidesitervall för skillade mella p A och p B : p A p B ±z p A (1 p A ) (1 α/ 2) + p B (1 p B ) p A p B z p A (1 p A ) (1 α) + p B (1 p B ) re. p A p B +z p A (1 p A ) (1 α) + p B (1 p B ) 20

22 läkarstudet.se Kofidesitervall för parameter b 0 vid ekel lijär regressio: b 0 ±t s 2 (1 α/2, 2) e ( 1 + x2 SS x) b 0 t s 2 (1 α, 2) e ( 1 + x2 SS x) respektive b +t s 2 0 (1 α, 2) e ( 1 + x2 SS x) Kofidesitervall för parameter b 1 vid ekel lijär regressio: b 1 ±t (1 α/ 2, 2) b 1 t (1 α, 2) s 2 e s 2 e SS x SS x respektive b 1 +t (1 α, 2) s 2 e Kofidesitervall för y är x har värdet x 0 vid ekel lijär regressio: b 0 +b 1 x 0 ±t (1 α/2, 2) ( 2 1 +(x 0 x) 2 ) SS x s e Prediktiositervall för ästa eskilda värde på y är x har värdet x 0 vid ekel lijär regressio: ( b 0 +b 1 x 0 ±t s (1 α/2, 2) e +( x 0 x) 2 ) SS x SS x 21

23 läkarstudet.se ANALYTISK STATISTIK Aalytisk statistik behadlar hur datamaterial ka avädas för att dra slutsatser, så kallad statistisk iferes. Vilka aalytiska tester som är lämpliga styrs av dels atalet mätvärde och dessas fördelig, dels av vad det är som udersöks. Parametriska tester kräver ormalfördelade data och ett tillräckligt stort atal observatioer meda icke-parametriska tester alltid ka avädas. Det specifika testvalet beror därutöver äve på om ma gör jämförelser eller studerar sambad. Estimatorer E estimator är e statistisk uppskattig av e parameters värde. I skrift skiljs estimator frå parameter geom att de förses med e hatt. μ, σ, σ 2, p Ma ka äve säga att s utgör ett stickprovs estimator av σ och x utgör ett stickprovs estimator av μ. Estimatorer bedöms utifrå hur väl de uppår två egeskaper, vätevärdesriktighet respektive effektivitet. Vätevärdesriktighet bedöms efter hur väl estimator motsvarar parameter och mäts som storleke på dess förvätade avvikelse frå dea. För populatioes geomsitt μ skrivs detta: Bias( μ)=e ( μ) μ E estimators effektivitet motsvaras i si tur av dess varias. Var ( μ) Hur bra olika estimatorer är ka därmed bedömas som kvadrate av skillade mella estimatorer och motsvarade parametrar estimatoreras "mea squared error". För populatioes medelvärde μ ka detta skrivas: MSE=E ( μ μ) 2 = Bias( μ) 2 +Var ( μ) 22

24 läkarstudet.se Hypotesprövigar Vid hypotesprövig ställer ma upp två hypoteser, ollhypotese H 0 och alterativhypotese H 1. H 0 motsvarar ett skeptiskt grudatagade om att observerade feome bara är slumpmässiga meda H 1 motsvarar ett atagade om att ormal slump ite räcker som förklarig. H 0 ka äve ses som "det som ska motbevisas". Om e udersökig påvisar ett utfall som ska vara mycket ovaligt eligt H 0 så brukar det tolkas som att H 0 ka förkastas. Uttryckt som e saolikhetsfördelig represeteras ovaliga utfall av sigifikasivå α och valiga utfall av kofidesgrade 1 α. E valig gräs för statistisk sigifikas brukar vara att α = 0,05 vilket äve kallas för "estjärig sigifikas". Vid tvåstjärig sigifikas är α = 0,01 och vid trestjärig sigifikas är α = 0,001. Ju koservativare (lägre) sigifikasgräs vi väljer desto bredare blir kofidesitervallet, desto större variatioer tolkas som ormala och desto svårare blir det att förkasta H 0. Fördele med att välja e koservativ sigifikasivå är att vi är säkrare på att vi ite förkastar e korrekt H 0 och accepterar e felaktig H 1 (typ 1-fel, falskt positivt resultat) meda ackdele är att riske blir större för att vi behåller e felaktig H 0 och förkastar e korrekt H 1 (typ 2-fel, falskt egativt resultat). Det omväda gäller för e liberal (hög) sigifikasgräs: större risk för typ 1-fel, midre risk för typ 2-fel. Saolikhete för ett typ 1-fel utgörs av α meda saolikhete för ett typ 2-fel beteckas β. E viktig sak att täka på är riske för massigifikaser; ju fler försök, desto större är riske för att ma accepterar ågo felaktig H 1. Med α = 0,05 är ugefär var 20:e sigifikas falskt positiv! Power Saolikhete för att acceptera e korrekt H 1 motsvarar alltså 1 β. Detta är det statistiska testets styrka, dess "power". Ju större stickprovet är, eller ju större de sökta effekte är, desto större power har testet. Uder förutsättig att hela populatioes stadardavvikelse σ är käd och att ma vet hur stor skillad som ma öskar kua påvisa (eda beämt μ 0 μ 1 ) vid sigifikasivå α så ka ma beräka hur stort stickprov som behövs för att uppå e öskad ivå av power (1 β). > (z (1 β )+ z (1 α/ 2) ) 2 σ 2 ( μ 0 μ 1 ) 2 för ett dubbelsidigt test > (z (1 β )+ z (1 α) ) 2 σ 2 ( μ 0 μ 1 ) 2 för ett ekelsidigt test 23

25 läkarstudet.se Testfuktioer för medelvärde Utifrå ollhypoteses atagade om populatioes medelvärde, μ 0, ka ma beräka ett z-värde (eller t-värde) och avläsa saolikhete för observatioe. Är saolikhete midre ä de valda sigifikasivå så är skillade statistisk sigifikat och ollhypotese ka förkastas. Glöm ite att vid dubbelsidiga tester (avvikelser uppåt och edåt) så multipliceras avlästa saolikheter med 2. z-test för μ är σ är käd: z= x μ 0 σ2 z-test för μ är σ är okäd och urvalet är stort: z= x μ 0 s2 t-test för μ är σ är okäd och urvalet är litet, om stickprovera är ormalfördelade: t= x μ 0 s2 där atalet frihetsgrader är 1 Testfuktio för variaser När ollhypotese gör ett atagade om stadardavvikelse, σ 2 0, så ka ma utifrå det beräka ett χ 2 -värde och jämföra det med χ 2 -värdet för de valda kofidesgrade. χ 2 = ( 1) s2 σ 0 2 där atalet frihetsgrader är 1 Testfuktio för proportioer z-test för p utifrå ollhypoteses atagade om proportio, p 0, är är stort (gära över 20): z= p p 0 p 0 (1 p ) 0 24

26 läkarstudet.se Testfuktioer för jämförelser av två urval Två urval, A och B, ka jämföras för att se om det fis e statistiskt sigifikat skillad. Urvales egeskaper avgör vilket test som är lämpligt. t-test för d: t= d s 2 d t-test för skillade mella μ A och μ B är det ka atagas att σ A = σ B : t= x A x B σ2 ( 1 A + 1 B) t-test för skillade mella μ A och μ B är det ka atagas att σ A σ B : t= x A x B s 2 A + s 2 B A B där ν= ( sa 2 ( s 2 A 2 B)2 A + s B A)2 A 1 2 sb +( B)2 B 1 F-test för skillade mella σ A och σ B : F = s 2 A 2 vilket jämförs med gräsvärdet F (1 α/2, A 1, B 1) s B z-test för skillade mella p A och p B : z= p A p B p (1 p 0) ( 1 A + 1 B) där p 0 = A p A B p B A + B 25

27 läkarstudet.se Testfuktioer för regressioslijer Vid ekel lijär regressio är e av variablera beroede (y) och de adra oberoede (x). y i = β 0 + β 1 x i +ε i Residuale ε i utgör de slumpmässiga och ormalfördelade skillade mella regressioslije och det uppmätta mätvärdet vid x i (se "lijär regressio" för skattigar av β 1 och β 0 samt defiitioer av SS x och S e2 ). t-test för β 0 : t-test för β 1 : t= b β 0 0,0 1 + x 2 SS x) s 2 e ( där atalet frihetsgrader är 2 t= b β 1 1,0 s 2 där atalet frihetsgrader är 2 e SS x (där β 1,0 = 0 ka avädas för ett tvåsidigt test av om det alls fis ågot lijärt sambad) Testfuktioer för korrelatioskoefficieter t-test för ρ XY (populatioes Pearso-korrelatio mella X och Y): t=r xy ( 2) där atalet frihetsgrader är 2 (1 r 2 ) t-test för ρ S (populatioes Spearma-ragkorrelatio mella X och Y): t=r s ( 2) (1 r 2 ) där atalet frihetsgrader är 2 26

28 läkarstudet.se Testfuktioer för variasaalys (ANOVA) Variasaalys aväds för att jämföra tre eller fler populatioers medelvärde. Variasaalys brukar göras med statistikprogram eftersom beräkigsvolyme ka bli stor och detta stycke avgräsas därför till ågra ekla exempel som bör ge e figervisig om vad ANOVA ka avädas till. Vid esidig variasaalys fis det a dataserier med mätvärde vardera. Det totala medelvärdet beteckas μ, dataserieras medelvärdes avvikelser frå detta beteckas a i och eskilda mätvärde beteckas y ij. Eskilda mätvärdes avvikelser frå dataserieras medelvärde utgör residuale ε ij. y ij =μ+α i +ε ij Kvadratsumma för datamägdes totala variatio beteckas SS T. De ka ases bestå av dels variatioe mella dataseriera, SS A, och dels variatioe iom dataseriera, SS E. SS T =SS A +SS E a SS T = i=1 j=1 ( y ij y) 2 där atalet frihetsgrader är a 1 a SS A = ( y i y) 2 där atalet frihetsgrader är a 1 i=1 j =1 a SS E = ( y ij y i ) 2 där atalet frihetsgrader är a a i=1 j=1 F-test för dataserieras medelvärde (H 0 är att alla medelvärde är lika): ( a 1) SS A F = ( SS E a a) där atalet frihetsgrader är a 1 respektive a a E variat av ovaståede är att mätvärdea ka vara idelade i block, där varje dataserie har ett mätvärde i varje block och de olika blocke motsvarar olika omstädigheter (ite olikt parade data). y ij =μ+α i + β j +ε ij SS T =SS A +SS block +SS E a SS block = i=1 j =1 ( y j y) 2 där atalet frihetsgrader är 1 SS E =SS T SS A SS block där atalet frihetsgrader är (a 1) ( 1) ( a 1) SS A F = SS (a 1) ( 1)) där atalet frihetsgrader är a 1 respektive (a 1) ( 1) E ( 27

29 läkarstudet.se Testfuktioer för saolikhetsfördeligar av icke-kvatitativa data Om ma har e ollhypotes om saolikhetera för olika alterativa utfall, till exempel hur måga bar som föds med olika ögofärger i e familj, så ka det testas huruvida observatioera stöder ollhypotese. I formlera edaför beteckar p i saolikhete och o i atalet observatioer för kategori (möjligt utfall) ummer i (av c). Det totala atalet observatioer är. Pålitliga resultat fordrar att p i är mist 5 för varje kategori; om ite så är ett alterativ att slå ihop kategorier. χ 2 -test för i förväg bestämda saolikheter: c χ 2 (o = i p i ) 2 där atalet frihetsgrader är c 1 i=1 p i χ 2 -test för att e viss typ av saolikhetsfördelig föreligger (p i beräkas frå urvalet): c χ 2 (o = i p i ) 2 där atalet frihetsgrader är c 1 [atal skattade parametrar bakom p i ] i=1 p i Det är äve möjligt att bedöma ifall olika stickprover följer samma fördelig eller skiljer sig åt. I formlera edaför beteckar r stickprover (rader i tabell) och c typer av utfall (kolumer i tabell). För olika kombiatioer av dessa (rutor i tabell) beteckas observatioer o ij och saolikheter p ij. r χ 2 = i=1 r där i =1 pij = c (o ij p ij ) 2 där atalet frihetsgrader är (r 1) (c 1) j=1 p ij o ij c j =1 o ij [summa rad i ] [summa kolum j ] eller p ij = för kombiatioe ij 2 Räkeexempel: Barey har måga strategier för att å sia mål, ofta geom att låtsas vara ågot ha ite är. Iblad låtsas ha vara astroaut, iblad tidsreseär, iblad yogaistruktör, iblad blid. Som ollhypotes atar vi att dessa fyra är lika valiga; p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = 1,00 / 4 = 0,25. Efter 20 observatioer blev fördelige {10, 2, 6, 2} för fredagar. χ 2 = ( ,25)2 20 0,25 χ 2 = (20 5)2 5 + (2 5)2 5 + (2 20 0,25)2 20 0,25 + (6 5)2 5 + (6 20 0,25)2 + (2 20 0,25)2 20 0, ,25 + (2 5)2 5 = (15)2 +( 3) 2 +(1) 2 +( 3) 2 = =48,8 Avläsig av χ 2 -fördelige för 20 1 = 19 frihetsgrader och p = 0,995 ger 38,6. Observatioera skiljer sig alltså mycket sigifikat frå ollhypotese, som förkastas. Vill ma gå lägre så ka ma jämföra om olika veckodagar har olika strategifördeligar. 28

30 läkarstudet.se Icke-parametriska testfuktioer Icke-parametriska testfuktioer lämpar sig för ordialdata och icke ormalfördelade kvatitativa data. De fordrar dock ett större atal observatioer för att uppå e viss sigifikasivå. För att testa om ett ekelt eller parat stickprov har e media som avviker sigifikat frå ollhypoteses Md 0 ka ma aväda tecketestet. Tecketestet ases vara det första statistiska testet och avädes år 1710 av läkare Joh Arbuthot i e studie där ha visade att slumpe ite räckte som förklarig till att det föddes fler pojkar ä flickor. Saolikhete för att e media ska överskridas av m utav värde ges av biomialfördelige för med p = 0,50 (vid dubbelsidigt test multipliceras avläst saolikhet med 2). Om avläst saolikhet är lägre ä vald sigifikasivå så förkastas H 0. Räkeexempel: IQ-mediae blad Bareys tillfälliga kviliga bekatskaper påstås vara högst 95. Barey accepterar utmaige och uder e måad geomför ha postcoitala IQ-tester. Resultatet av stickprovet blev totalt 8 mätvärde {85, 90, 95, 100, 100, 105, 110, 120}. Totalt 5 av 8 värde överskrider Md 0 vilket har saolikhete 1 0,85547 = 0, E saolikhet på 14 % räcker ite för att avfärda ollhypotese. När ma ska testa om det föreligger e sigifikat skilladsmedia för två parade populatioer så ka ma aväda Wilcoxos teckeragtest. Först beräkas varje datapars ibördes skillader. d i = y i x i för parserie {1,..., } Seda ragordas d i utifrå absolutvärdeas storlek (oberoede av om d i är positiva eller egativa). Slutlige räkar ma ut ragsummora R positiv som är ragsumma för alla d i som har positiva värde och R egativ som är ragsumma för alla d i som har egativa värde. De midre ragsumma blir vår teststatistika W. Sigifikat avvikelse frå H 0 föreligger är W är midre ä det kritiska värdet för med de valda sigifikasivå α (se tabellera på ästa sida). Om är större ä 25 så ka ma dock överväga att aväda e ormalapproximatio istället för tabellavläsig. z= W (+1) 4 (+1) (2+1) 24 29

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Statistik en introduktion

Statistik en introduktion Varför? Statistik e itroduktio Frida Eek frida.eek@med.lu.se Framtida forskig? Projektarbete? Förståelse! Tolkig! Kritisk graskig/utvärderig! Statistik 1 2 Upplägg Föreläsig 1 q Datatyper q Lägesmått och

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig G. Gripeberg 3 Kofidesitervall Aalto-uiversitetet 3 februari 05 4 Hypotesprövig

Läs mer

Statistik för ingenjörer 1MS008

Statistik för ingenjörer 1MS008 Statistik för igejörer MS8 Föreläsig Kursmål: För godkät betyg på kurse skall studete käa till ett flertal metoder och tekiker för visualiserig av datamaterial; kua geomföra ekla beräkigar av saolikheter;

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Lösningsförslag 081106

Lösningsförslag 081106 Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Id: statistik.tex :48:29Z joa

Id: statistik.tex :48:29Z joa UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Formelsamling Tillämpad statistik, A5

Formelsamling Tillämpad statistik, A5 Formelsamlig Tillämpad statistik, A5 Statistiska istitutioe, Uppsala uiversitet 016-01-11 Nödvädiga tabeller fis i Tabell- och formelsamlig för A4/A8. Observera att iga ateckigar får fias i formelsamlige

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann 73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 06 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler

Läs mer

Biostatistik II - Hypotesprövning i teori och praktik. Frida Eek

Biostatistik II - Hypotesprövning i teori och praktik. Frida Eek Biostatistik II - Hypotesprövig i teori och praktik Frida Eek frida.eek@med.lu.se 1 Viktiga dimesioer vid val av test (och äve val av deskriptiv statistik) Urvalsstorlek Mätivå/skaltyp Fördelig av data

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

F4 Enkel linjär regression.

F4 Enkel linjär regression. Lijär regressio F4 Ekel lijär regressio. Christia Tallberg Avdelige för Natioalekoomi och Statistik Karlstads uiversitet Hittills har vi försökt beskriva data som utgjorts av observatioer frå e variabel.

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5 Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsig 5 HYPOTESPRÖVNING (LLL Kap 11) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin

Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin Matematisk statistik för STS vt 004 004-05 - 03 Begt Rosé Några grudläggade begrepp och termer i statistikteori Om matematisk statistik Som tidigare ämts brukar matematisk statistik delas upp i huvudområdea

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160928, kl. 14.00 18.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS65

SAMMANFATTNING TAMS65 SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg Iehållsförteckig

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

HYPOTESPRÖVNING. De statistiska metoderna som används för att fatta denna typ av beslut baseras på två komplementära antaganden om populationen.

HYPOTESPRÖVNING. De statistiska metoderna som används för att fatta denna typ av beslut baseras på två komplementära antaganden om populationen. HPOTESPRÖVNING De tatitika metodera om aväd för att fatta dea typ av belut baera på två komplemetära atagade om populatioe. Partiet produkter har atige de utlovade kvalitete eller å har de de ite. Atige

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till mattsso@math.kth.se. Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra,

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer

RÄKNESTUGA 2. Rumsakustik

RÄKNESTUGA 2. Rumsakustik RÄKNESTUGA Rumsakustik 1. Beräka efterklagstidera vid 15, 500 och 000 Hz i ett rektagulärt rum med tegelväggar och med betog i tak och golv. Rummets dimesioer är l x 3,0 l y 4,7 l z,5 [m].. E tom sal med

Läs mer

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer? Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:

Läs mer

MAS110:B MATEMATISK STATISTIK INFERENSTEORI. Matematikcentrum Matematisk statistik ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER

MAS110:B MATEMATISK STATISTIK INFERENSTEORI. Matematikcentrum Matematisk statistik ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER MAS0:B MATEMATISK STATISTIK ALLMÄN KURS, INFERENSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER Läsåret 0/0 Matematikcetrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM MAS0:B

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Datastrukturer och algoritmer

Datastrukturer och algoritmer Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell

Läs mer