Kandidatuppsats Statistiska institutionen

Transkript

1 Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Estimering av Volatilitet En studie från valutamarknaden Forecasting volatility in a foreign exchange market Yue Ngong King Choy ( I samarbete med Lars Björkman, Företagsekonomiska Institutionen) Självständigt arbete 15 högskolepoäng inom Statistik III, vt 2013 Handledare: Göran Rundqvist

2 Sammanfattning Korrekta skattningar av framtida volatilitet, spelar i många fall en väsentlig roll vid riskhantering och prissättning av finanseilla produkter. Många komplexa prognosmetoder för skattning av volatilitet i finansiella tidserier har därför utvecklats och föreslagits genom åren. Syftet med denna studie är att testa hur bra olika metoder för estimering av volatilitet kan förutse framtida volatilitet på valutamarknaden. Undersökningen omfattar sammanlagt nio olika prognosmodeller, där åtta modeller är tidseriebaserade ARCH-, GARCH- och EGARCH-modeller av olika ordningar. Den sista modellen är en betydligt enklare historisk modell, som bygger på en fem dagars stickprovsvarians. Vidare är studien avgränsad till att endast behandla valutaparet SEK/EUR, där tidserieprognosmodellerna bygger på data från år 2004 till Våra resultat indikerar att prognoser baserade på lägre ordningar av ARCH, bäst fångar volatiliten under testperioden. Slutligen föreföll samtliga testade modeller att generera stora medelprognosfel i förhållande till realiserad volatilitet, vilket visar hur problematisk skattning av framtida volatilitet är i praktiken. Nyckelord ARCH, GARCH, EGARCH, Volatilitet, SEK/EUR, Betingad volatilitet, Stiliserad fakta och Tidserieprognos.

3 Abstract Accurate estimates of future volatility often play an important role in risk management and pricing of financial products. Many complex forecasting methods for the estimation of volatility in financial time series have therefore been developed and proposed over the years. The purpose of this study is to examine how well different methods for estimating volatility can predict future volatility in the foreign exchange market. The study covers a total of nine forecasting models, where eight of the models are based on ARCH, GARCH and EGARCH time series of different orders. The ninth model is a much simpler historical model, based on a five day sample variance. Furthermore, the study is limited to only treat the currency pair SEK/EUR, where the time series models are based on data from 2004 to Our results indicate that forecasts based on lower orders of ARCH, is the ones that captures volatility with smallest errors during the test period. Finally, it seems like all models generate large errors relative to realized volatility, which shows how challenging it is to estimate future volatility in practice. Keywords ARCH, GARCH, EGARCH, Volatility, SEK /USD, Conditional volatility, Stylized Facts and Times series forecasting. 1

4 Innehåll Sammanfattning... 0 Nyckelord... 0 Abstract... 1 Keywords Introduktion Bakgrund Problemdiskussion Syfte Frågeställning Avgränsning Teoretisk referensram Tidigare studier Teori Definitioner Modeller för estimering av volatilitet Parameterestimering och residualanalys för ARCH- GARCH- och EGARCHmodellering Val av empiri Hypoteser Metod Metodologi Praktiskt tillvägagångssätt Resultat Residualanalys Diskussion & Slutsats Egenkritik & felkällor Fortsatt forskning

5 10 Referenser Appendix

6 1 Introduktion 1.1 Bakgrund Världen har kommit att bli allt mer globaliserad, med ökad handel mellan länder, vilket lett till att valutamarknaden idag är den finansmarknad med högst omsättning. Endast mellan 2007 och 2010 ökade den globala omsättningen på valutamarknaden med 20 %, och 2010 uppgick den genomsnittliga dagshandeln till 4 biljoner dollar (Triennial Central Bank Survey, 2010), vilket är ungefär 20 gånger mer än summan av alla andra finansmarknaders dagliga omsättning (Nacher & Ochiai, 2012). Många företag tillverkar ofta i ett land och säljer varorna i ett annat, vilket leder till att kassflödena påverkas av valutakursförändringar. Stora valutakursförändring kan därför kraftigt påverka lönsamheten i ett utländskt projekt, vilket gör att globala och internationella företag ägnar mycket tid åt valutariskhantering, genom bland annat olika typer av derivatainstrument. Ett betydande derivatainstrument vid valutariskhantering är optioner. Dessa instrument är ett slags kontrakt mellan två parter, som ger optionssinnehavaren rätten (men inte skyldigheten) att köpa eller sälja en viss valuta i framtiden, till ett förutbestämt pris. Denna valmöjlighet leder således till att utställaren av optionen kräver en premie, som motsvarar den risk som kontrakten medför. Hur stor denna premie är, beror enligt Garman-Kohlhagens modell för prissättning av valutaoptioner (som är en vidareutveckling av Black & Scholes modell för prissättning av aktieoptioner), på sex oberoende variabler. De fem första variablerna, spotpris, lösenpris, inhemsk riskfri ränta, utländsk riskfri ränta samt tid till lösendagen är alla lätta att observera. Den sjätte variabeln i modellen, är den framtida volatiliteten i den underliggande valutan (Garman & Kohlhagen, 1983), vilken uppenbart inte kan vara observerbar, då den avser en framtida händelse. Detta gör volatiliteten till en central fråga vid prissättning av optioner, vilket lett till att ett flertal metoder för skattning av volatilitet har utvecklats på området. Begreppet volatilitet kan beskrivas med ord som varierande eller föränderlig och brukar allmänt sett förknippas med risk. Det utgör en av grundpelarna inom modern finansteori och återkommer ständigt inom disciplinen. Exempelvis återfinns volatilitets-variabeln i Capital Asset Pricing Model (CAPM) och Markowits portföljteori, vari man tydligt kan se att det föreligger ett samband mellan risk (volatilitet) och avkastning (Daly, 2011). Högre volatilitet leder till större avvikelser från det förväntade värdet, vilket på en kapitalmarknad leder till en högre probabilitet att göra stora vinster eller förluster. Avkastningskravet på en tillgång ökar därför med volatiliteten. Olika metoder för estimering av volatilitet har olika för- och nackdelar. Den kanske enklaste metoden är att enbart använda historisk varians, vilket innebär att man utgår från att framitda volatilitet är den samma som föregående periods volatilitet. Tidigare empiriska studier har dock påvisat att detta 4

7 samband är förhållandevis svagt (Bharadia et al., 1996), vilket delvis beror på att volatilitet varierar över tid (Figlewski, 1997 (a), s.3). Mer komplexa metoder för skattning av volatilitet har därför växt fram genom åren. Dessa modeller bygger på tidserier och utgår från att den betingade variansen är heteroskedastisk, vilket innebär att den tillåts variera över tid. Genom empiriska dataanalyser har man försökt finna vanliga mönster för hur variansen tycks variera i finansiella tidserier och vanligt förkommande mönster kallas för stiliserad fakta. Några exempel på stiliserad fakta för finansiella tidserier är volatility clustering, leptokurtiosisk fördelning, samt mean reversion (Poon & Granger, 2003, s. 481). Volatility clustering innebär att stora avvikelser tenderar att efterföljas av stora avvikelser och små avvikelser efterföljas av små avvikelser (Daly, 2011). Med leptokurtosisk fördelning för avkastningen, menas att sannolikheten för extremvärden är större än för en normalfördelning (Nacher & Ochiai, 2012, s. 2233). Begreppet mean reversion betyder att priser har benägenhet att konvergera mot dess medelvärde. Sådana typer av rörelsemönster har man sedan försökt fånga upp i olika variansestimerande tidseriemodeller som GARCH-, EGARCH- och ARCH-modeller (autoregressive conditional hetroskedacity). Både ARCH- och GARCH-modeller skattar den framtida volatiliteten genom historisk data. Till skillnad från ARCH så skattar GARCH-modeller dessutom volatiliteten med hjälp av en eller flera historiska prognoser. EGARCH- modeller är till skillnad från GARCH-modeller asymmetriska, vilket innebär att de tillåter prisuppgångar och prisnedgångar att ha olika mycket inflytande över volatiliteten (Daly, 2011, s.50-53). 1.2 Problemdiskussion Korrekta riskbedömningar är kritiska på en kapitalmarknad, eftersom dessa ligger till grund för prissättningen av tillgången. En felaktig bedömning av risker har många gånger förorsakat stora finansiella kriser. Exempelvis föranleddes finanskrisen 2007 av dåliga riskbedömningar av tillgångar (Banerjee et al., 2012). Tidsvarierande volatilitetsmodeller som ARCH och GARCH används frekvent vid riskhantering, portföljanalys och vid prissättning av olika derivatainstrument (Cheong et al, 2007, s. 652). Vilken metod som ger bäst resultat vid estimering av volatilitet tycks dock fortfarande vara oklart och forskarvärlden har genom åren testat, samt utvärderat flera olika modeller, där resultaten varit varierande (Daly, 2011). Frågan om de komplexa metoderna ARCH och GARCH kan ge bättre prognoser för framtida volatilitet, än den betydligt enklare historiska standardavvikelsen kvartstår. Många prognosmodeller har dessutom utvecklats utifrån empiriska observationer och stiliserad fakta från ett flertal olika marknader (Nacher & Ochiai, 2012). Då dessa marknader inte fungerar på exakt samma sätt, så finns det goda skäl att tro att de modeller som bäst fångar volatiliteten i en marknad, 5

8 inte nödvändigtvis behöver vara den som bäst förutser volatiliteten i annan (Wang & Yang, 2006). Exempelvis har flera tidigare studier kommit fram till olika resultat för olika marknader och valutapar, där de använt samma prognosmodeller (Ramasamy & Munisamy, 2012), (Hansen och Lunde, 2005). Poon och Granger gjorde en omfattande sammanställning av 92 tidigare studier av volatilitet från olika marknader och med olika metoder, för att på så vis försöka besvara följande frågor: Går det att förutse volatilitet? Vilken metod ger bäst estimering? Deras slutsats var att volatilitet går att estimera och att de flesta forskarna hade funnit implicit volatilitet som den bästa skattningen av framtida volatilitet. Vidare ansåg drygt hälften av de undersökningar som testat historisk volatilitet mot ARCH- och GARCH-modeller att en enkel historisk volatilitet ger bättre skattning än ARCH- och GARCHmodellerna, medan resterande undersökningar påstod motsatsen. Överlag tycktes de flesta undersökningar som jämfört ARCH och GARCH, påvisa att GARCH gav bättre prognoser än ARCH (Poon & Granger, 2003). En intressant sak med denna studie är att den visar hur mycket blandade empiriska resultat som uppkommit genom åren, vilket lett till att forskningsfältet fortsätter att undersökas och kritiseras av olika forskare. I denna studie har vi valt använda dagskurser för valutaparet SEK/EUR. Valet av den svenska kronan som valuta, bygger dels på att vi inte sett några tidigare studier för just den valutan, men också för att den är den nionde mest omsatta valutan i världen (Triennial Central Bank Survey, 2010, s.12). 1.3 Syfte Vi avser med detta arbete att testa olika ordningar av ARCH, GARCH och EGARCH- modeller, samt en historisk standardavvikelsemodell för skattning av volatilitet för valutaparet SEK/EUR, för att på så vis kartlägga vilken eller vilka av dessa modeller som ger bästa skattning av realiserad volatilitet. 1.4 Frågeställning Kan ARCH, GARCH eller EGARCH-modeller ge bättre skattningar av framtida volatilitet än historisk volatilitet på valutamarknaden? 1.5 Avgränsning Vi kommer i denna uppsats endast inrikta oss på att jämföra tidsseriemodeller som estimerar volatilitet för valutaparet SEK/EUR, där empirin bygger på dagsobservationer och är baserade på mittenkurser (i.e. mittenpriset mellan köp- och säljkurs). Modellerna som testas är enbart baserad på historiska kursrörelser under tidsperioden Vidare kommer undersökningen endast att behandla 10-dagarsprognonser för volatilitet. 6

9 2 Teoretisk referensram 2.1 Tidigare studier Ett stort antal forskare har genom åren lagt ned stora delar av sina akademiska karriärer på att försöka finna modeller som bättre kan estimera volatilitet. Många har genom åren påstått sig ha funnit bättre modeller, samtidigt som åtskilliga skeptiker menar att enkel historisk volatilitet fungerar lika bra som de mer komplexa modellerna (Daly, 2011). En mängd olika metoder för estimering av volatilitet har utvecklats och föreslagits genom åren. Lite förenklat kan de vanligaste metoderna kategoriseras in i fyra olika grupper (Poon & Granger, 2003). 1. GARCH- familjen (e.g. -GARCH, - EGARCH, ARCH) 2. Historiskt volatilitetsmodeller Olika glidande medelvärden Historiska standardavvikelser Slumpvandringar AR-processer 3. Stokastiska volatilitetsmodeller 4. Implicit volatilitet Som tidigare nämnts kommer denna uppsats endast att behandla olika modeller ur GARCH-familjen samt en enkel historisk volatilitetsmodell. För mer ingående förklaringar av övriga modeller se Poon Granger, 2003, s Nedan följer en genomgång av relevanta studier som gjorts på området och vilka resultat som framkommit. Ederington och Guan publicerade en studie endast ett par år efter den ovan nämnda studien av Poon och Granger, där de menar att GARCH-modeller ger bättre resultat än historiska standardavvikelser. I deras undersökning, har de främst fokuserat på 40 dagars-prognoser, där de finner de att GARCH presterar bättre än historisk volatilitet (Ederington & Guan, 2005). Även Nowak & Treepongkaruna, 2008 utförde en studie med prognostester för ARCH- och GARCH-modeller på valutamarknaden. Deras resultat var mycket blandade och generellt fann de att framtida volatilitet är mycket svårt att estimera. Hansen och Lunde 2005 fokuserade sin studie endast på att testa olika modeller ur ARCH-familjen och totalt testades 330 olika ordningar av ARCH-modeller mot en GARCH (1,1)-modell. Empirin bestod av valutaparet DEM/USD och IBMs aktieavkastning. För valutaparet fann de ingen empirisk evidens för att ARCH-modellerna presterar bättre än GARCH (1,1), medan det för aktieavkastningen hos IBM var resultaten de motsatta. Vidare fann de också att en t-fördelning av den standardiserade avkastningen generellt överensstämmer bättre för valutaparet, än en Gaussisk fördelning (normalfördelning), vilket ofta brukar vara fallet i finanseilla tidserier. I analysen av IBM var dock fallet det motsatta och avkastning tycktes där vara normalfördelad. 7

10 Figlewski 1997 (b) testade en GARCH (1,1) samt flera historiska volatilitetsmått med olika tidhorisonter på amerikanska statsobligationer, valutaparet DEM/USD samt S&P 500 aktieindex. Studien genomfördes dessutom med både dagliga och månatliga kursförändring och fann att GARCHmodellen gav bättre prognoser för S&P 500 vid användning av dagskurser. För månatlig data och för de andra marknaderna var dock de historiska modellerna bättre på att skatta framtida volatilitet. Dunis et al. (2000) testade en mängd olika modeller på valutamarknaden. Bland annat en GARCH(1,1) historisk stickprovsstandardavvikelse, implicit volatilitet, stokastisk volatilitetsmodell (SV) samt en AR (10)-modell. Enligt deras studie presterade SV-modellen sämst för alla valutapar. I övrigt var det ingen modell som konstant var överlägsen för alla valutapar och tidshorisonter som testades. Utöver att endast testa dessa modeller mot varandra, så testade de även att kombinera modellerna med varandra och fann då att implicit volatilitet tenderar att förbättra prognoserna i samtliga fall. Ett viktigt stiliserat fakta som motiverat utvecklingen av EGARCH-modellen är uppfattningen om att positiva och negativa prisförändringar på aktiemarknaden leder till olika stor inverkan på volatiliteten. Denna assymmetriska inverkan på volatilitet brukar ofta förklaras av hävstångseffekten, vilken innebär att om ett aktiepris går ned, så ökar skuldsättningsgraden i förhållande till marknadsvärdet på eget kapital. En högre skuldsättningsgrad leder således till högre volatilitet i aktiepriset (Daly, 2011, s. 47 & 52). På en valutamarknad bestäms en valutas värde relativt en annan, vilket innebär att en uppgång i den ena valutan, leder till en nedgång i den andra valutan och avkastningen bör därför vara symmetrisk. Vissa studier har dock funnit indikationer på att så inte alltid är fallet och Wang & Yang, 2006 menar att assymmetriska avkastningar kan förekomma även på valutamarknader. Detta förklarar de med att olika valutor har olika stor betydelse på världsmarknaden. Exempelvis är det fler företag som använder USD som basvaluta vid beräkning av risker i kassaflöden, än som använder exempelvis AUD. Ökad volatilitet i valutaparet USD/AUD leder följaktligen till ökad risk i AUD-bestämda tillgångar, för de bolag som använder USD som basvaluta och vice versa för företag med AUD som basvaluta. För att skydda sig mot ökad valutarisk, förväntas företag vilja sälja tillgångar i den valuta som inte är dess basvaluta, vilket i detta exempel skulle leda till att fler vill sälja tillgångar i AUD än som vill köpa tillgångar i valutan. Effekten blir att AUD deprecierar relativt USD. För valutapar bestående av två mer jämbördiga valutor (eg. EUR/USD), är denna assymmetriska volatilitetseffekt mindre eller helt icke existerande (Wang & Yang, 2006). En nyligen genomförd studie där tre olika metoder för estimering av volatilitet användes (GARCH, GJR GARCH och EGARCH) samt fyra olika valutor (Australisk dollar (AUD), Singaporiansk dollar (SGD), Thailändsk baht (THB) och Filippinsk Peso (PHP)), fann de evidens för att de mer volatila valutorna tenderar att bättre estimeras med dessa modeller (Ramasamy & Munisamy, 2012). I likhet med Wang & Yang, 2006, så tycks studien indikera att beroende på valutapar, kan vissa modeller ge 8

11 bättre resultat än andra. Skillnaderna mellan GARCH och de assymmetriska GARCH-modellerna (EGARCH och GJR GARCH), var dock mycket små, vilket indikerar att assymmetrisk volatilitet inte tycks existera för de testade valutaparen eller att effekten är mycket svag. 2.2 Teori Definitioner Prognos En prognos syftar till att beskriva ett framtida händelseförlopp. Lite förenklat kan de vanligaste metoderna vid skapande av prognoser delas in i följande tre grupper: subjektiva, univariata samt multivariata prognosmetoder. Subjektiva prognoser grundas på uttalanden från exempelvis experter och analytiker, medan de andra två grupperna (univariata och multivariata prognoser) bygger på kvantitativ analys av samband mellan variabler. Dessa kvantitativa analyser görs genom regressionsmodellering som sedan används vid prognostiseringen. Univariata prognoser är uppbyggda på endast en variabel (enkel regression), där tidigare observationer i responsvariabeln utgör den förklarande variabeln. Multivariata prognoser innehåller flera variabler och bygger på multipel regression, där ett antal exogena variabler förklarar responsvariabeln (Chatfield, 2003 s ). Volatilitet Generellt är volatilitet någon form av spridnings- eller riskmått som beskriver kursvängningar hos en underliggande tillgång. Volatilitet beskriver med andra ord hur mycket värdet på en tillgång avviker från sitt medelvärde under en given tidsperiod. Volatilitet kan därmed beräknas med varians eller standardavvikelse. Om en växelkurs har hög volatilitet innebär det att kursfluktuationen är stor, både uppåt och nedåt. En tillgång med låg volatilitet indikerar däremot att kursen är stabil. Detta innebär att ju högre volatilitet desto högre blir risken och osäkerheten. Volatilitet inom finansiella tidserier tenderar att följa fenomenet volatility clustering, dvs. i vissa perioder har tillgången en hög volatilitet som sedan följs av lugna perioder med låg volatilitet (Gujarati & Porter, 2009). Volatilitet i sådana tidserier är följaktligen heteroskedastiska, dvs. variansen är inte konstant och växlar över tiden. Växelkursen tenderar även att följa sådana mönster där en hög varians under en dag ofta följs av en hög varians nästa dag och vice versa. Avkastning En tillgångs avkastning beskrivs som (2.1) 9

12 Där är väntevärdet på avkastningen och är residualerna. är en stokastiskt variabel och är approximativt normalfördelad: (2.2) Avkastningens volatilitet definieras som standardavvikelse vid tidpunkt t. skrivas som kan enligt ovan även Eftersom är normalfördelad kan vi med hjälp av variabeltransformation sätta lika med noll, vilket ger (2.2) (2.3) Istället för att göra prognoser direkt på den underliggande tillgången är det vanligt att använda logaritmerad avkastning (log return) vid konstruktion av finansiella tidsserier. Logaritmerad avkastning definieras som (Yu, 2002): (2.4) Där avser tillgångens värde vid tidpunkt t och är värdet vid tidpunkt. Det finns flera skäl till att använda logaritmerad avkastning istället för relativ avkastning. Logaritmerad avkastning är till skillnad från relativ avkastning oberoende om vi uttrycker förändringen i inhemsk eller utländsk valuta. En annan viktig anledning är att i många fall antas priset på tillgången vara lognormalfördelad. Genom att logaritmera avkastningen kan även extremvärden (outliers) undvikas (Enders, 1995) Modeller för estimering av volatilitet Som tidigare påpekats har flera olika metoder för att estimera volatilitet utvecklats. Nedan följer några modeller för hur volatilitet kan mätas. Historisk volatilitetsmodell En av de enklaste metoderna på att beräkna framtidens volatilitet är att använda historisk volatilitet som förväntad framtida volatilitet. Historisk volatilitet avser det faktiska utslaget och visar hur 10

13 volatilitet har varit under en bestämd tidsperiod. Exempelvis är 30 dagars historisk volatilitet variansen på en tillgångs kursrörelser under de senaste 30 dagarna. Denna metod antar således att framtida volatilitet är ungefär den samma som den historiska. Nackdelen med denna metod är att historisk volatilitet anses ge en sämre uppskattning av framtida kursrörelser, till följd av bland annat fenomenet volatility clustering. Stickprovsvariansen kan beskrivas med följande formel: (2.5) Där utgör tillgångens värde vid tidpunkt t av n observationer och är stickprovets väntevärde (Daly, 2011, s. 48). ARCH ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) är en modell som utvecklats av Engle 1982 och är baserad på den betingade variansen. En ARCH-modell bygger på att volatilitet på den innevarande perioden är relaterad till volatilitet på föregående p perioder. (2.6) Modell 2.6 är en ARCH (p) modell där är den uppskattade volatilitet för tidsperiod t. Variabeln är en konstant och avser den historiska variansen. är den kvadrerade slumptermen för period, där termen p anger hur många laggar en ARCH-modell innehåller, i.e. antalet uppmätta volatiliteter som modellen tar hänsyn till. Färre antal laggar av p leder följaktligen till att modellen tar hänsyn till tillfälliga chocker (kraftiga rörelser mellan observationer) under kortare perioder, vilket gör att fenomenet volatility clustering får kortare perioder av hög eller låg volatilitet (Daly, 2011, s. 51). Modell 2.2 är en ARCH (1)-modell och är den vanligaste formen. I detta fall beräknas volatiliteten på (2.7) den nuvarande perioden utifrån förgående periodens slumpterm och den historiska variansen. 11

14 GARCH GARCH (Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) är en vidareutveckling av ARCHmodell och infördes av Bollerslev Till skillnad från ARCH-modell tar den även hänsyn till tidigare prognoser. (2.8) Modell 2.3 är en GARCH-modell där är olika vikter för hur mycket hänsyn som skall tas för varje tidigare prognos. är ett reellt och positivt tal. Den enklaste GARCH-modellen är GARCH (1, 1) och kan skrivas som: (2.9) Den innevarande volatiliteten beror förutom på den kvadrerade slumptermen från förgående period, även på den betingade variansen från förgående period. GARCH-Modeller kan generellt skrivas som GARCH (p, q) där p är antalet laggar av kvadrerade slumptermer och q är antalet laggar av betingade varianser. EGARCH EGARCH (Exponential GARCH) är som namnet antyder en vidareutveckling av GARCH. Till skillnad från ARCH- och GRACH-modellerna som tidigare nämnts, är denna ickelinjär, vilket möjliggör att prisuppgångar och prisnedgångar kan få olika inverkan på den betingade volatiliteten. Som man kan se i nedanstående funktion, så är den betingande variansen logaritmerad, vilket gör att parametrarna tillåts anta negativa värden. Modellens assymmetriska egenskaper uppkommer till följd av, där negativa värden på koefficienten leder till att positiva prisförändringar får mindre inverkan på volatiliteten, än negativa (Daly, 2011, s.52-53). (2.10) 12

15 2.2.3 Parameterestimering och residualanalys för ARCH- GARCH- och EGARCHmodellering Vid skapandet av prognoser genom tidserieanalys, måste parametrarna i modellerna skattas, samt ett flertal tester utföras för att modellerna ska kunna ge teoretiskt korrekta prognoser. I vissa fall måste transformationer av tidserien utföras, innan prognoserna kan estimeras. Stationäritet Generellt finns det två olika definitioner av stationäritet, strikt stationäritet och svag stationäritet. En stokastisk process är strikt stationär om den simultana fördelningen är oförändrad över tiden (Wooldridge, 2008, s ). Svag stationäritet har däremot som begreppet antyder svagare kriterier. I denna uppsats kommer endast svag stationäritet att beaktas. För att en tidserie ska vara svagt stationär måste följande tre villkor vara uppfyllda: (I) (II) (III) Enklare förklarat är en tidserie stationär om den har konstant medelvärde (I) och konstant varians (II) över tiden (bortsett från säsongsvängningar). Dessutom beror kovariansen enbart på avstånden mellan observationerna och inte på läget (III). Med andra ord beror observationerna inte på var i tidsspannet de ligger. Att en tidsserie blir icke-stationär kan bero på trend, drift och slumpvandring (Box & Jenkins, 1970). Anledningen till att vi inte kan bygga en regressionsmodell där variablerna är ickestationära är att även om variablerna är oberoende kan det uppstå oäkta korrelationer spurious correlations eller nonsenssamband (Jagdish, 2000, s.214). Det finns dock flera metoder att undersöka stationäritet i en tidsserie. En enkel metod är att skapa ett linjediagram. Genom att beakta diagrammen kan vi avgöra om det föreligger växande eller avtagande trender i tidserien. En annan metod är att bilda ett korrelogram genom autokorrelationsfunktionen (ACF). Om en tidserie är stationär kommer korrelationerna mellan laggarna vara svaga och avta snabbt (Gujarati & Porter 2009). Däremot är korrelationerna starka och avtar sakta när tidserien är icke-stationär. En av de vanligaste metoderna för att undersöka stationäritet är enhetsrotstest (unit-root test). Augmented Dickey Fuller (ADF) är den form av unit-root test som kommer att behandlas i denna studie: (2.11) Om tidserierna blir icke-stationära kan vi med hjälp av transformationer eller differentiering omvandla dem till stationära tidserier. Ett exempel på transformation är att logaritmera tidserien: (2.12) 13

16 Differentiering skapar stationäritet genom subtraktion av tidigare observationer en eller flera gånger. Differentiering 1 skapas genom: (2.13) Autokorrelation Autokorrelation för en tidsserie redogör för korrelationerna mellan residualerna vid olika tidpunkter. Det skiljer sig dock mellan positiva och negativa autokorrelationer. Med hjälp av autokorrelationsfunktionen (ACF), och partiella autokorrelationsfunktionen (PACF), kan autokorrealtionen mellan residualerna skildras, där ACF beskriver korrelationen mellan och vid lagg k. Skattningen av ACF vid lagg k, ges av: (2.14) PACF vid lagg k definieras däremot som korrelation mellan och efter när effekten av samtliga Y-variabler,, tagits bort, vilket också kan skrivas som. Durbin-Watson s test används för att undersöka om det föreligger positiva och negativa autokorrelationer vid lägre tidsförskjutningar. Durbin-Watson s test ges av: (2.15) Box-Ljung chi-två test används däremot för att kontrollera att ingen autokorrelation råder i samtliga laggar. Om det inte föreligger någon som helst autokorrelation i residualerna vid samtliga laggar, kallas fenomenet för vitt-brus. Heteroskedasticitet Att en tidsserie är heteroskedastisk innebär att variansen för observationerna inte är konstant över tiden. Volatility clustering som råder i finansiella tidsserier är ett exempel på heteroskedasticitet. Avkastningen skiljer sig emellertid från olika perioder. 14

17 Heteroskedasticitet kan bland annat testas med Q-statistic test, vilket visar förändringar i variansen över tiden. Genom att beakta p-värden för respektive lag kan heteroskedasticitet avgöras. Maximun-Likelihood MLE (Maximum Likelihood Estimation) är en statistisk metod som används för att hitta skattningar för parametrar i underliggande sannolikhetsfunktioner eller täthetsfunktioner (Mendenhall, 2008). Maximum Likelihood-skattningen för avser det värde på parametrarna som maximerar sannolikheten för det observerade urvalet. ML-metoden kan därmed användas för att uppskatta de okända parametrarna i ARCH- och GARCH-modellerna. 15

18 3 Val av empiri Som tidigare nämnts, så valde vi svenska kronan som valuta, dels för att vi inte sett några tidigare studier för just den valutan, men också för att den är den nionde mest omsatta valutan i världen. Den genomsnittliga dagsomsättningen för kronan var 2,2 procent (av totalt 200 procent) av hela valutamarknaden i april I förhållande till euron är dock den svenska kronan en ganska liten valuta på världsmarknaden. Euron stod vid samma period för 39 procent (av totalt 200 procent) av den totala globala omsättningen på valutamarknaden (Triennial Central Bank Survey, 2010, s.12). Penningpolitiken i Sverige och Euroområdet är ganska lika. Båda tillämpar flytande växelkurser (IMF, 2008), vilket innebär att centralbankerna i respektive land avhåller sig från att aktivt påverka valutakursens värde. Istället tillåts valutamarknaden att fritt styra priset på valutan genom utbud och efterfrågan (Mankiew, 2010, s.345). Tilläggas bör dock att både Sveriges Riksbank och Europeiska Centralbanken har inflationsmål (IMF, 2008). Liksom omsättningen för euron, så är även den sammanlagda bruttonationalprodukten (BNP) för länderna inom euroområdet mycket högre än vad den är i Sverige. Euron bör därmed kunna anses ha en högre ekonomisk betydelse på världsmarknaden än kronan, vilket enligt tidigare studier indikerar att assymmetrisk volatilitet bör existera för valutaparet. Även om tidigare studier visat att assymmetrisk volatilitet är svår att fånga i modeller (Wang & Yang, 2006, s.2), så vore det inte helt oväntat om den assymmetriska GARCH-modellenen (i.e. EGARCH) ger bättre skattningar av framtida volatilitet än de symmetriska ARCH och GARCH-modellerna. 16

19 4 Hypoteser Med utgångspunkt i tidigare studier och syfte, har följande hypoteser formulerats. Tidigare studier har påvisat flera olika resultat för estimering av volatilitet. Vissa forskare hävdar att tidseriebaserade modeller ger bättre skattningar av framtida volatilitet, medan andra hävdar att exempelvis historisk volatilitet ger lika bra eller bättre skattningar. o H 1 : ARCH-, GARCH- och EGARCH-prognoser har mindre prognosfel i förhållande till realiserad volatilitet än historisk varians. För vissa valutapar har assymmetriska tidseriemodeller visat sig kunna fånga volatilitet bättre än linjära ARCH och GARCH-modeller. o H 2 : EGARCH-modeller ger mindre prognosfel i förhållande till realiserad volatilitet än ARCHoch GARCH-modellerna. 17

20 5 Metod 5.1 Metodologi Undersökningen kommer att ske med hjälp av kvantitativ sekundäranalys, vilket innebär vi använder oss av data som sammanställt i annat syfte och som vi sedan kommer bearbeta vidare (Bryman, 2011, s ). Sekundäranalys lämpar sig mycket bra för denna typ av undersökning, då tillgången för pålitligt data är stor, samt att mängden data som krävs är omfattande. Som angetts i syftet så avser studien att testa olika modeller för estimering av volatilitet. Detta kommer att göras med hjälp av en kvantitativ forskningsstrategi med ett hypotetiskt deduktivt angreppssätt, där hypoteser formuleras utifrån teorier. Ett sådant angreppssätt leder följaktligen till att både logik och empiri nyttjas i studien. Det deduktiva angreppssättet bygger på att man utgår från teori och sedan försöker falsifiera eller styrka redan färdigställda teoretiska modeller (Bryman, 2011, s.25-28), vilket leder till att studien inte kommer kunna generera några nya teorier. Istället hoppas vi att med vår undersökning kunna bidra med stöd för användandet av en viss modell och på så vis öka generaliserbarheten i den. 5.2 Praktiskt tillvägagångssätt För att kunna skatta den framtida volatiliteten eller de betingade varianserna för valutaparet EUR/SEK, undersökte vi flera ARCH-och GARCH-modeller med olika ordningar samt modeller som endast är baserade på historisk varians. Vi gjorde 10-handelsdagarsprognoser, där vi utvärderade modellernas validitet genom att jämföra prognosdata med de faktiska utfallen av volatilitet. På så vis kunde vi avgöra vilken modell som stämde bäst överens med verkligheten. Som hjälpmedel använde vi oss av statistikprogrammet SAS 9.2 i samtliga beräkningar. Referensperioden var mellan 1:a januari 2004 till 28:e september Prognosen ägde rum mellan 1:a oktober till den 12:e oktober. Undersökningen bestod av observationer. Datainsamlingen skedde genom databasen Thomson Reuters Datastream, vilket anses vara en tillförlitlig källa. Växelkurserna definierades som mittkursen per handelsdag, vilket ges av: Den dagliga avkastningen bestämdes av: (5.1) (5.2) 18

21 Vi testade först om växelkursen var stationär. Vi använde därför Augmented Dickey Fuller (ADF) enhetsrotstest för att kunna undersöka om tidserien var stationär. Hypotesen var följande: H 0 : H a : Vi testade sedan om det rådde positivt respektive negativt autokorrelation med Durbin-Watson test på signifikansnivå 5% med följande hypoteser: H 0 : feltermerna är ej autokorrelerade H a : feltermerna är positivt eller negativt autokorrelerade Vi förkastar H 0 om eller. H 0 kan ej förkastas om och. Dock kan inga beslut dras om eller Utifrån p-värdet kunde vi avgöra om nollhypotesen kunde förkastas. Vi testade även vitt-brus med Box-Ljung chi-två test med följande hypoteser: H 0 : feltermerna är vitt-brus H a : feltermerna är ej vitt-brus Vidare undersökte vi heteroskedasticitet med Q-statistic test, vilket visar variansförändringen över tiden. Hypotestest för Q-statistic : H 0 : residualerna har samma varians H a : residualerna har ej samma varians Sedan testade vi normalitet på residualerna med Kolmogorov-Smirnovs s test: H 0 : feltermerna är normalfördelade H a : feltermerna är ej normalfördelade 19

22 Vi undersökte följande ARCH- och GARCH-modeller: Konstanterna, och i både ARCH- och GARCH-modellerna är som vi tidigare har nämnt okända. Vi gjorde därför parameterestimeringar genom Maximum-Likelihood-skattningar. Parameterskattningar bestämdes utifrån hela urvalet av historiska avkastningar. Vidare undersökte vi den historiska modellen som var baserad på den faktiska volatiliteten under 5- dagars tid. Modellen avser som vi tidigare har påpekat endast punkskattning av variansen under en bestämd tidsperiod. Punktskattningen av ges av: (5.3) Problemet med denna metod var att välja en referensperiod som är relevant för de framtida prognoserna. Risken att ta för långt tidsspann är att vikten läggs på information som inte längre är aktuell. Detta beror bland annat på att marknaden förändras i avseende på ränta, inflation, konjunkturläge med mera, vilket gör att dåtidens tillfälliga kurssvängningar blir betydelselösa för de framtida. Å andra sidan om analysen beaktar för korta tidsperioder kan resultatet bli missvisande eftersom viktig information saknas, men kan också leda till att extrema observationer får för stora vikter. Det finns dock ingen metod som kan beräknar den optimala tidsperioden som ger den bästa punktskattningen. Vi använde därför 5 handelsdagar som referensperiod, vilket också är en vanlig förekommande tidsperiod vid tidserieprognoser. Skattningen bestod således av. Eftersom volatiliteten förändras över tiden, gjorde vi om skattningen för varje prognosdag. 20

23 Realiserad volatilitet beräknade vi genom: (5.4) Där och var dagshögsta respektive dagslägsta avkastningen. avser gårdagens avkastning och är avkastning vid stängning. Detta var dock ett väldigt grovt sätt att räkna variansen för en handelsdag, vilket också minskar tillförlitligheten på vår studie. Egentligen bör samtliga observationer under en handelsdag vara inkluderade i variansberäkningen, men det fanns dock ingen tillgänglig databas som kunde tillhandahålla sådan information. Totalt undersökte vi nio modeller. Som Goodness-of-fit test använde vi Root Mean Square Percentage Error (RMSPE), vilket mäter avvikelsen mellan den prognostiserade avkastningarna, och de faktiska utslagens, i procent. Detta ges av: (5.5) 21

24 6 Resultat I detta kapitel redovisas resultaten för de empiriska studierna. Figur 6.1 SEK/EUR:s växelkurs (y-axel) plottad mot handelsdag (x-axel), från till Exchange_Rate /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/2014 Date Figur 6.1 visar SEK/EUR:s växelkurs, från till Vi kan direkt se att tidsserien innehåller en trend och kan därmed bli icke-stationär. 6.1 Residualanalys Figur 4.2 logaritmerad avkastning (y-axel) plottad mot handelsdag (x-axel), från till r /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/2014 Date Figur 4.2 visar SEK/EUR:s logaritmerade avkastning från till

25 Stationäritet Augmented Dickey Fuller (ADF) enhetsrottest visar att växelkursen är icke-stationär (se appendix, tabell 1 & figur 1). Vi kan även endast genom att betrakta ACF-grafen se att ACF-effekten är stark. Vi definierade därmed om avkastningen, r, på växelkursen samt gjorde en transformation genom att logaritmerna avkastningen. Vi kan nu genom ADF-enhetsrot och ACF se att tidserien är stationär (se appendix, tabell 2 & figur 2). Därmed kan vi med signifikant stöd förkasta nollhypotesen att tidsserien är icke-stationär. Autokorrelation Durbin-Watson test visar att det existerar negativ autokorrelation vid andra laggen mellan residualerna (se appendix, tabell 3). Nollhypotesen att feltermerna inte är autokorrelerade kan förkastas med ett p- värde på 0,0022. Box-Ljung chi-två test visar även signifikant stöd för att vi kan förkasta nollhypotesen om att feltermerna är vitt-brus (se appedix, tabell 4 & figur 4). Normalitet Enligt Kolmogorov-Smirnovs testet kan vi inte förkasta nollhypotesen eftersom p-värde är på 0,072. Det finns med andra ord inget signifikant stöd för att residualerna inte är normalfördelade. Detta kan också illustreras med hjälp av en Q-Q-plot (se appendix, tabell 5 & figur 5). Hetroskedacitet Genom Q-statistic test som visar variansförändringen över tiden kan vi se att tidsserien är heteroskedastiskt (se appendix, tabell 6). Vi kan därför följaktligen förkasta nollhypotesen. Med ett p- värde på mindre än 0,0001 för samtliga tolv laggar indikerar att tidsserien är starkt heteroskedastiskt. 23

26 6.2 Parameterestimering & Prognosutslag Tabell 4.1 Parameterestimeringar för respektive ARCH- och GARCH-modeller Model ARCH(1) ARCH(2) ARCH(3) GARCH(1, 1) GARCH(1, 2) GARCH(2, 1) GARCH(2, 2) EGARCH(1, 1) Tabell 4.1 visar samtliga maximum-likelihood-parameterestimeringar för respektive ARCH- och GARCH-modell. 24

27 Tabell 4.2 realiserad volatilitet och volatilitetsprognoser Datum Verklig Varians-5 ARCH(1) ARCH(2) ARCH(3) G-H(1, 1) G-H(1, 2) G-H(2, 1) G-H(2, 2) EG-H(1, 1) 1/ /10 3/10 4/10 5/10 8/10 9/10 10/10 11/10 12/ Tabell 4.2 visar den realiserade och prognoserade volatiliteten över 10 handelsdagar, från till Prognoserna bestod av en historisk modell med 5-dagars varians, ARCH(1), ARCH(2), ARCH(3), GARCH(1,1), GARCH(1,2), GARCH(2,1), GARCH(2,2) samt EGARCH(1,1). Tabell 4.3 Root-Mean Square Procent Error Var-5 A-H(1) A-H(2) A-H(3) G-H(1,1) G-H(1,2) G-H(2,1) G-H(2,2) EG-H(1,1) RMSPE 465,56% 272,39% 296,91% 355,70% 427,22% 427,30% 425,69% 427,53% 459,95% Tabell 4.3 visar Goodness-of-fit-testet, Root-Mean Square Percentage Error. 25

28 7 Diskussion & Slutsats Utifrån vår testperiod finner vi att våra resultat är i linje med H 1 (i.e. ARCH-, GARCH- och EGARCH-prognoser har mindre prognosfel i förhållande till realiserad volatilitet än historisk varians), men inte i linje med H 2 (i.e. EGARCH-modeller ger mindre prognosfel i förhållande till realiserad volatilitet än ARCH- och GARCH-modellerna). Då endast en prognos för vardera modell har utförts, är inte jämförelsetestet signifikant. Genom RMSPE-test finner vi att vår historiska modell med fem handelsdagars referensperiod, ger sämre prognoser för volatilitet än samtliga ARCH-, GARCH-modeller som testats under undersökningsperioden. EGARCH gav oväntat störst prognosfel av ARCH- och GARCH-modellerna och studien kunde därför inte finna något stöd för att assymmetrisk volatilitet existerar för valutaparet SEK/EUR. Studien finner därmed inget stöd för att volatiliteten i valutaparet SEK/EUR påverkas olika beroende på om kursen rör sig uppåt eller nedåt. Ingen av de testade modellerna tycktes ge särskilt bra skattningar av framtida volatilitet, där de procentuella medelprognosfelen för den modell som gav bäst prognoser var 272 % samt 466 % för den modellen som gav störst prognosfel. ARCH (1) var den som gav de minsta prognosfelen, följt av ARCH (2) och ARCH (3). Desto lägre ordning av ARCH, ju bättre tycks modellen fånga volatiliteten för valutaparet under undersökningsperioden. Då antalet lagg (p) i en ARCH(p) modell bestämmer hur långvarig volatility clutser -effekten kvarstår efter en kraftig prisförändring, så indikerar resultaten för SEK/EUR att volatiliten i avkastningen endast tycks få korta tillfälliga uppgångar vid kraftiga prisförändringar. I likhet med Nowak & Treepongkaruna, 2008 fann vi det mycket svårt att spåra och skatta framtida volatilitet på valutamarknaden. Ingen av de prognosmodeller som testades, tycktes kunna ge tillfredsställande prognoser för den framtida volatiliteten under testperioden. 26

29 8 Egenkritik & felkällor Att beräkna realiserad volatilitet, tycks enligt teorin vara ganska enkelt, men för att korrekt beskriva denna krävs det att samtliga observationer under en dag vägs in. I praktiken är sådan data mycket svår att tillhandahålla och istället fick vi konstruera ett mått utifrån den data som kunde erhållas (se metodkapitlet formel 5.4). Då studien endast beaktar en 10-dagarsprognos för varje modell, så blir risken för att slump ska påverkar resultaten stor. Varje tidserieprognos innebär väldigt mycket arbete, vilket lett att vi gjort denna avgränsning. En mer omfattande studie skulle därför vara önskvärd, då det skulle leda till ökad generaliserbarhet för resultaten, även utanför testperioden. 27

30 9 Fortsatt forskning Till att börja med skulle empirin kunna utökas till att omfatta fler valutapar, för att på så vis kunna stärka och utvidga underliggande teorier kring stiliserade fakta i finansiella tidserier. Även studier med högre täthet i empirin (i.e. flera observationer för varje dag) skulle vara intressant att undersöka. Att endast undersöka 10-dagarsprognoser för volatilitet är en viss begränsning i studien. Exempelvis fann Ederington & Guan, 2005 (som nämnts i tidigare studier) goda resultat vid användandet av GARCH (1,1) på 40-dagarsprognoser. En jämförelse mot den implicita volatilliteten skulle också vara önskvärd, då denna i flera fall har visat sig ge mycket bra skattning av framtida volatilitet. 28

31 10 Referenser Banerjee, Tamal, Ghosh, Mrinal K. & Iyer, Srikanth K., 2012, Pricing credit derivatives, Current Science, VOL. 103, NO. 6 Bharadia M.A.J, Christofides N & Salkin G.R., 1996, A Quadratic Method for the Calculation of Implied Volatility Using the Garman-Kohlhagen Model, Financial Analysts Journal Bollerslev, Tim, 1982, Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics, vol. 31, pp , Box, G.E.P. & Jenkins, G.M., 1970, Time-Series Analysis, forecasting and control, Holden-Day, USA, Chatfield, Chris, 2003, The Analysis of Time Series, Chapman & Hall/CRC, USA Cheong, Chin Wen, Nor, Abu Hassan Shaari Mohd & Isa, Zaidi, 2006, Asymmetry and long-memory volatility: Some empirical evidence using GARCH, ScienceDirect Physica A, 373 (2007) Daly, Kevin, 2011, An Overview of the Determinants of Financial Volatility: An Explanation of Measuring Techniques, Modern Applied Finance, Vol.5, No.5; October Dunis, Chris L., Laws, Jason & Chauvin, Stephane, 2000, The Use of Market Data and Model Combination to Improve Forecast Accuracy, Working Papers, Liverpool Business School Ederington, L.H. & Guan, W., 2005, Forecasting Volatility, The Journal of Future Markets 25, Engle, Robert F., 1982, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation, The Econometric Society, vol. 50. no. 1, pp Figlewski, Stephen, 1997 (a), Derivatives risks, old and new, Economics Working Paper, FIN Figlewski, Stephen, 1997 (b), Forecasting Volatility, Financial Markets, Institutions & Instruments, V. 6, N. NYU, Salomon Center, Blackwell Publishers, 6:1, pp Garman, Mark B. & Kohlhagen, Steven W., 1983, Foreign Currency Option Values, Journal of International Money and Finance, Gujarati D. & Porter D., 2009, Basic Econometrics, McGraw-Hill, Singapore, 5:e uppl, s. 791 Handa, Jagdish, 2000, Monetary Economics, Routledge, London Hansen, Peter R. & Lunde, Asger, 2005, A Forcast Comparison of Volatility Models: Does Anything Beat a GARCH (1,1)?, Journal of Applied Econometrics, 20: u Hull, John C., 2008, Options, Futures and Other Derivatives, Pearson Prentice Hall, 7 th ed. IMF, 2008, De Facto Classification of Exchange Rate Regimes and Monetary Policy Frameworks, [ ] 29

32 Latané, Henry A. & Rendleman, Richard J. Jr., 1976, Standard Deviations of Stock Price Ratios Implied in Option Prices, The Journal of Finance, Vol. 31, No. 2 Mankiew, Gregory N., 2010, Macroeconomics, Worth Publishers, 7 th ed. Mendenhall W., 2008, Mathematical Statistics with Applications, Brooks/Cole Cengage Learning, 7:e uppl., s Nacher J.C. & Ochiai T., 2012, Data Analysis Unveils a New Stylized Fact in Foreign Currency Markets, American Institute of Physics Nowak, Sylwia & Treepongkaruna, Sirimon, 2008, Modeling and Forecasting Volatility in Foreign Exchange Markets, Working Paper, JEL Classification: C220; F310; G150 Poon, S.-H. & Granger C., 2003, Forecasting Volatility in Financial Markets: A Review, Journal of Economic Literature 41, Triennial Central Bank Survey, 2010, Report on global foreign exchange market activity in 2010, Bank for International Settlements, ISBN X, [ ] Ramasamy, Ravindran & Munisamy, Shanmugam, 2012, Predictive Accuracy of GARCH, GJR and EGARCH Models Select Exchange Rates Application, Global Journal Inc. (USA), Volume 12 Issue 15 Version 1.0 Wang, Jianxin & Yang, Minxian, 2006, Asymmetric Volatility in the Foreign Exchange Markets, Working Papers Faculty of Commerce and Economics, University of New South Wales, Sydney Wooldridge Jeffrey M., 2008, Introductory Econometrics: A Modern Approach, South-Western; 4:e uppl. Yu J., 2002, Forecasting volatility in the New Zealand stock market, Applied Financial Economics, vol 12, pp

33 11 Appendix Tabell 1 Augmented Dickey Fuller (ADF) enhetsrotstest för växelkursen Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F Zero Mean Single Mean Trend Figur 1 Figur 1.1 visar studentized residualer mot observationer Figur 1.2 visar SEK/EUR:s växelkurs plottad mot handelsdag Figur 1.3 visar Cooks distance för varje observation Figur 1.4 visar residualernas fördelning Figur 1.5 visar autokorrelationsfunktionen (ACF) Figur 1.6 visar partiella autokorrelationsfunktionen (PACF) 31

34 Tabell 2 Augmented Dickey Fuller (ADF) enhetsrotstest för logaritmerad avkastning Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F Zero Mean < <.0001 Single Mean < < <.0010 Trend < < <.0010 Figur 2 Figur 2.1 visar studentized residualer mot observationer Figur 2.2 visar logaritmerad avkastning plottad mot handelsdag Figur 2.3 visar Cooks distance för varje observation Figur 2.4 visar residualernas fördelning Figur 2.5 visar autokorrelationsfunktionen (ACF) Figur 2.6 visar partiella autokorrelationsfunktionen (PACF) 32

35 Figur 3 visar invers partiell autokorrelationsfunktionen (IPACF) Tabell 3 Durbin-Watson test av autokorrelation Durbin-Watson Statistics Order DW Pr < DW Pr > DW Pr < DW och Pr > DW är p-värdet på Durbin-Watson test för positiv respektive negativ autokorrelation. 33

36 Tabell 4 Box-Ljung chi-två-test för vitt brus Autocorrelation Check for White Noise To Lag Chi-Square DF Pr > ChiSq Autocorrelations < < Figur 4 Sannolikhetsgraf för vitt brus Tabell 5 Kolmogorov Smirnov s test på normalitet för residualerna Tests for Normality Test Statistic p Value Kolmogorov-Smirnov D Pr > D <