Dagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Dagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö"

Transkript

1 Dagens föreläsning SFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - röskling och analys av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Hur bra är min teststorhet? 2 Från förra föreläsningen Från förra föreläsningen H k : F p {NF, F } H k : F p {NF, F } C = {F 2, F 3} En teststorhet (z) för hypotestestet har egenskapen { liten då H är sann (z) = stor då H ej är sann Presenterades principer för hur det kan gå till att skapa teststorheter Prediktionsfel 2 Parameterskattningar 3 Likelihood 4 Residualer Finns fler och ingen ortogonal klassificering. Detta betyder att (z) är ett modellvalideringsmått för modellen som beskrivs i beteendemoderna i nollhypotesen, dvs. F eller NF. 3 4

2 Från förra föreläsningen Prediktionsfel Parameterskattningar Likelihood (z) = min θ Θ (z) = ˆθ θ, (z) = max θ Θ f (z θ), Residualer (y(t) ŷ(t z, θ)) 2 t= ˆθ = arg min θ (y(t) ŷ(t z, θ)) 2 t= f (z θ) är fördelningen för observationerna Översikt röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Hur bra är min teststorhet? r = d (p)γ(p)n H (p)l(p)z och andra metoder som kommer i senare föreläsningar 5 6 röskling av teststorheter Beslut i brusig och osäker miljö För att kunna ta beslut om noll-hypotesen ska förkastas eller ej krävs att en regel som säger när nollhypotesen ska förkastas. ypiskt, larma om teststorheten överskrider en tröskel, dvs. (z) > generera ett larm För teststorheter baserade på likelihood-funktionen L(z) blir det < istället för >, dvs. (z) = L(z) < generera ett larm Fundamental fråga Hur väljer man tröskeln och vad bör man tänka på? Antag ett test som ska övervaka ett fel. estet kan larma eller inte och systemet kan vara OK eller OK, dvs fyra kombinationer: OK not OK no larm Missad detektion larm Falskalarm Idealt ska rödmarkerade kombinationer aldrig inträffa, men i brusiga miljöer kan man som regel inte helt undvika falskalarm och missad detektion. 7 8

3 P(Detect) Beslut i brusig och osäker miljö p( OK) p(missad detektion) p( not OK) p(falskt alarm) Ett alarm som sker när systemet är felfritt är ett falskalarm (FA). Idealt är ska p(fa) =. p(fa) = p( > OK) Händelsen att inte larma trots att det är fel kallas missad detektion (MD). Idealt ska p(md) =. p(md) = p( < OK) röskeln styr kompromissen mellan falskalarm och missad detektion. Hur ska den väljas? 9 ypisk avvägning mellan P(FA) och P(D) ROC-kurva Low threshold.6.5 Balanced threshold.4.3 High threshold P(False Alarm) Vi kan lägga oss på valfri plats utefter den här kurvan via val av tröskel. Beslut i brusig och osäker miljö - realistiska mål p( OK) p(missad detektion) p( not OK) p(falskt alarm) Falskalarm är nästan helt oacceptabla eftersom de undergräver förtroendet för diagnossystemet, skapar onödiga utgifter för reparation av hela komponenter (det är extra svårt att hitta fel på hela komponenter), försämrar prestanda genom att hela komponenter kopplas bort under drift, försämrar tillgängligheten genom att ta systemet ur drift. Fel med signifikant storlek, dvs de utgör ett hot mot säkerhet, maskinskydd, eller överskrider lagkrav måste upptäckas. För små fel som endast ger gradvis försämring av prestanda kan det vara bättre att prioritera få falskalarm gentemot att få bra detektion. Ofta specificeras ett krav på falskalarm: p(fa) < ɛ. Beslut i brusig och osäker miljö Stort fel: p( OK) p( stort fel) ydlig separation krävs för att uppfylla kraven. Om det inte är separerat så måste teststorheten förbättras, modellen utökas eller systemet byggas om. Litet fel: p( OK) p(missad detektion) p( litet fel) För att maximera sannolikheten för detektion, väljs den minsta tröskeln så att p( > OK) < ɛ. I detta fall är det alltså fördelningen för det felfria fallet som bestämmer tröskeln. 2

4 Beslut i brusig och osäker miljö ydlig separation (för alla möjliga felstorlekar): p( OK) p( not OK) röskelsättning baserat på felfria data S = {NF } > S = {F } NF F Överlappande fördelningar (för någon möjlig felstorlek): p( OK) p(missad detektion) S = {NF, F } > S = {F } p( litet fel) NF F X Det senare fallet är typfallet i den här kursen Antag nytt oberoende värde på teststorheten var tiondels sekund och ett krav på max falsklarm per år ger P(FA) = P( > OK) 3 7 Med en normalfördelningsapproximation så blir då tröskeln 5.. p(fa) är ett vanligt sätt att specificera prestanda Känslig för svansens fördelning och stationäritet Krävs mycket data för att få bra uppfattning om svansens fördelning 4 Svansens fördelning röskelsättning x Ofta väldigt höga krav på låg falskalarmssannolikhet 9 väldigt mycket data behövs för att kunna sätta tröskeln pålitligt i dessa fall! Kräver endast kunskap om yttersta svansen på fördelningen. Behövs väldigt mycket data för att få god uppfattning om svansen. Vid väldigt låga falsklarmssannolikheter kan man tex: parametrisera upp svansens fördelning (exempelvis en exponentiell fördelning) och sätt tröskeln via den modellen. En tänkbar lösning på problemet är att göra flera oberoende test. P( < ) = α P( <... N < ) = α N re helt olika fördelningar För låga falskalarmssannolikheter så blir tröskelsättningen närmast identisk. 5 6

5 Översikt röskelsättning baserat på modellerat brus röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Hur bra är min teststorhet? y(t) = bu(t) + v(t) v(t) N(, σ 2 v ) Nominellt värde på b är b. U, Y, och V betecknar staplade kolumnvektorer av u, y, och v vid olika tidpunkter. Då kan modellen skrivas som: Y = Ub + V En teststorhet baserad på en parameterskattning: 2 (z) = (ˆb b ) 2 där ˆb = U U U Y Beakta skattningsfelet i det felfria fallet, dvs. b = b : ˆb b = U U U (Ub + V ) b = U U U V 7 8 exempel, forts. y(t) = bu(t) + v(t) v(t) N(, σ 2 v ) Skattningsfelet i det felfria fallet är: ɛ = ˆb b = U U U V Skattningsfelet ɛ är normalfördelat enligt: E(ɛ) = E( U U U V ) = U U U E(V ) = Cov(ɛ) = E( U U U V ) 2 = (U U) 2 U E(VV )U = U U σ2 v ɛ N(, σ 2 v U U ) 9 exempel, forts. Skattningsfelet har en varians som beror på u! ɛ N(, σ 2 v U U ) för fix tröskel kommer falskalarmssannolikheten att bero på hur processen styrs. (Dåligt!) Multiplicera skattningen med U U/σ v : U U σ v (ˆb b ) N(, ) så fås där 2 (z) χ2 () 2(z) = U U σv 2 (ˆb b ) 2 ˆb = U U U Y 2

6 Känslighet för okontrollerbara effekter och robusthet Man vill ha samma falskalarmssannolikhet i sitt beslut hela tiden, oberoende av förändringar i insignalen u och tillstånd x, störningar d, modellfel. Kräver att fördelningen för (z) ej förändras! Men teststorheterna kan vara känsliga för dessa okontrollerbara effekter på grund av: modellfel dålig excitation mätbrus och modellbrus approximativ avkoppling Robusthet: teststorhetens förmåga att uppfylla prestandamål även då modellfel etc. påverkar processen Något som kallas normalisering används för att säkerställa att fördelningen för (z) ej ändras. 2 Arbetsgång - röskelsättning Vanlig arbetsgång vid val av tröskel är att uppfylla en viss falskalarmssannolikhet α. Skapa en teststorhet 2 Normalisera så att du (förhoppningsvis) har en teststorhet k (z) med någorlunda konstant variation (fördelning) för olika arbetspunkter under H. 3 Givet fördelningen på k (z) välj en tröskel k så att P( k (z) > k H k ) ɛ (eller på annat sätt beroende på hur kraven är specificerade) Nu ska vi studera normaliseringen. 22 Översikt Principer för konstruktion av teststorheter röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Design av teststorheter baserat på: prediktionsfel likelihood-funktionen parameterskattningar residualer konsistensrelationer, observatörer Metodik för att normalisera i dessa 4 fall? Hur bra är min teststorhet? 23 24

7 Normalisering med prediktionsfel Minns Normalisering med likelihood-funktionen (z) = min θ Θ V (θ, z) > c (reject H ) Vi behöver ett mått på modellosäkerheten H förkastas om adp = max θ Θ L(θ z) c W (z) = min θ Θ V (θ, z) = min θ Θ Minimeringen är över alla möjliga θ. eller ekvivalent: (y(t) ŷ(t θ)) 2 t= adp = min θ Θ V (θ, z) c (z) = min θ Θ V (θ, z) min θ Θ V (θ, z) > c (reject H ) Med normalisering: H förkastas om (z) = max L(θ z) < max L(θ z) c θ Θ θ Θ (z) = max θ Θ L(θ z) max θ Θ L(θ z) < c (z) kallas likelihood ratio-test Andra ord som används är maximum likelihood ratio eller generalized likelihood ratio Neyman-Pearson lemma, likelihood kvot Antag hypoteserna H : θ = θ H : θ = θ där pdf för observationerna är den kända fördelningsfunktionen f (z θ i ) i de två fallen. En lite slarvig formulering av Neyman-Pearson lemma är då: Den bästa tänkbara teststorheten för dessa hypoteser är (z) = f (z θ ) f (z θ ) Finns generaliserade resultat för nollhypoteser som inte är singeltons. Mer om detta senare i kursen. Normalisering med parameterskattning eststorheten kan skapas enligt = (ˆθ N θ ) 2, ˆθ N = arg min θ N (y(t) ŷ(t θ)) 2 Fördelningen på skattningen varierar med grad ev excitation etc. och för att kunna normalisera så måste vi på något sätt räkna ut den. t= I det tidigare enkla exemplet så kunde vi räkna ut att ˆb N b N (, σ 2 v U U ) där U U är graden av excitation. Därmed kunde vi normalisera och sätta tröskel. Generellt är det svårt att exakt räkna ut skattningens fördelning. vå möjligheter: asymptotiska resultat 2 simulering, Monte-Carlo 27 28

8 Asymptotisk fördelning hos skattning Att exakt räkna ut vilken fördelning ˆθ N enligt nedan får är svårt, och i mer komplicerade fall ogörligt. = (ˆθ N θ ) 2, ˆθN = arg min θ N (y(t) ŷ(t θ)) 2 En möjlighet är att se till att N är tillräckligt stort, då kan man använda asymptotiska resultat N(ˆθ N θ ) AsN (, P) där kovariansen P kan skattas utifrån de data som användes vid skattningen. ag tar inte med uttrycken här, men formerna hittas i Modellbygge och simulering, eller i mer detalj i System Identification - heory for the user av Lennart Ljung. t= Adaptiva trösklar för residualer Uppmätta data från en ventil i luftsystemet i Gripen: R Solid: residual; Dashed: thresholds ime [s] Man vet att modellen är bättre/mer noggrann då man rör sakta på ventilen och sämre vid hastiga förändringar av vinkelläget. Utnyttja det! 29 3 Adaptiv tröskel - normalisering av residualer Exempel: linjärt system där G(s) är modellfel y = ( G(s) + G(s) ) u r =H y (p)y + H u (p)u = H y (p) G(p)u δ > G(s) är en känd övre gräns på storleken hos modellfelet G(s). Ett sätt att välja en adaptiv tröskel: eller mer allmänt adp (t) = δ H y (p)u + asp (t) = c W (z) + c 2 där W (z) är ett mått på modellosäkerheten. Adaptiv tröskel, exempel Man kan även ha dynamiska adaptiva trösklar: y = G (s)u = s + a + a u a < δ a G(s) = G (s) G(s) a (s + a) 2 r = y G(s)u = G(s)u En adaptiv tröskel kan med denna information sättas till tex.: δ (z) = c (p + a) 2 u + c

9 Adaptiva trösklar = normalisering Översikt Ekvivalent med normalisering av teststorheten: som är ekvivalent med (z) adp = c W (z) + c 2 (reject H ) (z) = (z) c W (z) + c 2 (reject H ) röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Hur bra är min teststorhet? Utvärdering av teststorheter ypiskt utseende på styrkefunktioner Exempel på två styrkefunktioner där θ = : Falsklarm = förkasta H när H är sann (YP I) Missad detektion = förkasta inte H när H är sann (YP II) Signifikansnivå = sannolikhet att förkasta H när H är sann. Både falsklarm och missad detektion beskrivs av: Styrkefunktion (power function) beta β(θ) = P( (z) θ) theta Styrkefunktionen är därmed ett bra instrument för att avgöra prestanda hos ett hypotestest i ett diagnossystem. Eftersom signifikansen är lika för båda testen, så följer att testet som motsvarar den heldragna linjen är bättre

10 Analytisk beräkning av styrkefunktionen Om fördelningen för en teststorhet givet felstorlek f är känd beräknas styrkefunktionen: β() = β(f ) = β(f ) = P( f ) = = P( f ) + P( f ) = = integrera gulmarkerade områden - - p( f=) p( f=f) f Notera att man kan alltid välja tröskeln så att man får en viss signifikansnivå på testet. 37 Analytisk härledning av styrkefunktionen: Parameterskattning Modell: y(t) = bu(t) + v(t) eststorhet baserad på parameterskattning: 2(z) = U U σv 2 (ˆb b ) 2, ˆb = U U U Y, v(t) N(, σ 2 v ), vitt U U (ˆb b ) N(b b, ) σ } v {{ } =:ɛ Notera att fördelningen även för fall då b b behövs, till skillnad från vid tröskelsättning. Givet en tröskel 2 : vilket är ekvivalent med β(b) = P( 2(z) = ɛ 2 2 b) β(b) = P ( ɛ 2 b ) + P ( ɛ 2 b) 38 Analytisk härledning av styrkefunktionen: Prediktionsfel y(t) = bu(t) + v(t) eststorhet baserad på prediktionsfel: Felfritt fall: (z) = y(t) b u(t) σ v (y(t) ŷ(t)) 2 = t= v(t) N(, σ 2 v ), vitt (y(t) b u(t)) 2 t= = b u(t) + v(t) b u(t) σ v vilket implicerar, tillsammans med oberoende, att (z) σ 2 v χ 2 (N) = v(t) σ v N(, ) Alltså: Fördelning känd och vi kan analytiskt beräkna styrkefunktionen i felfritt fall, β(b ). 39 Analytisk härledning av styrkefunktionen: Prediktionsfel forts. Härledning av signifikansnivån: Givet en tröskel : vilket är ekvivalent med β(b ) = P( (z) b = b ) P( (z) σ 2 v σ 2 v Men β(b) för b b är det mer besvärligt. Återkommer till hur man gör då. b = b ) 4

11 ämföra två teststorheter med hjälp av styrkefunktionen När det inte går att härleda analytiskt (z) = (y ŷ) 2 = 2(z) = U U σv 2 (ˆb b ) 2 ˆb = U U U Y (y b u) 2 β (b) (streckad) och.2 β 2 (b) (heldragen) I figuren är b =. eststorheten baserad på parameterskattningen är bäst av de två. I det här fallet går det att visa att det inte finns någon teststorhet som är bättre än 2 (z). (Neyman-Pearson Lemma) 4 beta theta Grundproblemet är att under H hitta fördelningen för en teststorhet k (z) där k (z) är en olinjär funktion. I detta sammanhang kanske en minimering av en kvadratisk funktion. Analytisk lösning oftast ej möjlig. vå vägar som finns att tillgå är: Slumpa fram data z och se vad k (z) får för fördelning 2 Om möjligt, mät upp (mycket) data itta på histogrammet för k (z). Problem med sammansatta nollhypoteser. 42 Brus genom olinjäritet Styrkefunktion via simuleringar eller uppmätta data Y = sin(x 2 ) + där X N(, ) Generera 5 oberoende observationer X, beräkna Y och plotta histogram: Monte-Carlo simulering Antag en fördelning för brus i data z. 2 Fixera parametern θ för vilken vi ska beräkna β(θ). 3 I en dator, generera en stor mängd dataserier z i, i =,... N 4 För varje dataserie z i, beräkna t i = (z i ). 5 Samla ihop alla N värdena t i i ett histogram = skattning av f (t θ). 6 Genom att använda en fix tröskel k, skatta β(θ). 7 Gå tillbaka till steg 2 och fixera ett nytt θ. Stora mängder uppmätta data istället för simulering

12 P(Detect) Simulera fel på uppmätta felfria data Ett sätt att uppskatta styrkefunktionerna är att mäta upp mycket data. Ofta är det omöjligt (inte alltid) att mäta upp data där man har fel på processen. Ett sätt, som inte alltid är applicerbart är att mäta upp felfria data och addera felen i efterhand. Exempel: ett förstärkningsfel i sensor-signalen (g = är fel-fritt) y simul (t) = g y uppmätt (t) ROC-kurvor (Reciever Operating Characteristics) Sannolikheten för detektion P(D) plottas som funktion av sannolikheten för falskalarm P(FA) för olika tröskelval men för en given felstorlek est est 2 Inte exakt rätt om man har återkopplingar i systemet P(False Alarm) 45 est 2 tydligt bättre än test 46 Sammanfattning röskelsättning svansen på den fördelningen för felfria fallet om fördelningen beror på observationerna, använd normalisering eller adaptiva trösklar Utvärdering av test mha styrkefunktionen kopplar till sannolikheten för falskalarm och missad detektion för att skatta styrkefunktionen krävs fördelning även för felfall. Om dessa inte går att analytiskt beräkna behövs stora mängder data eller Monte-Carlo simuleringar. Nästa föreläsning handlar om olinjär residualgenerering. SFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - röskling och analys av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet

TSRT62 Modellbygge & Simulering

TSRT62 Modellbygge & Simulering TSRT62 Modellbygge & Simulering Föreläsning 4 Christian Lyzell Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 1

Läs mer

Kapitel 10 Hypotesprövning

Kapitel 10 Hypotesprövning Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 10 Hypotesprövning 1 Vad innebär hypotesprövning? Statistisk inferens kan utföras genom att ställa upp hypoteser angående en eller flera av populationens parametrar.

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska

Läs mer

3 Maximum Likelihoodestimering

3 Maximum Likelihoodestimering Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33

Läs mer

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration

Läs mer

Lärare i kursen. TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion. Denna föreläsning - disposition.

Lärare i kursen. TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion. Denna föreläsning - disposition. Lärare i kursen TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se Kursansvarig: Erik Frisk

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

Hur man tolkar statistiska resultat

Hur man tolkar statistiska resultat Hur man tolkar statistiska resultat Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Varför använder vi oss av statistiska tester?

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning av förra föreläsningen H(s) W(s) 2 R(s)

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 14 augusti, 2007, kl

Lösningsförslag till Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 14 augusti, 2007, kl Lösningsförslag till Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 14 augusti, 007, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

Lärare i kursen. TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion. Denna föreläsning - disposition.

Lärare i kursen. TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion. Denna föreläsning - disposition. Lärare i kursen TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se Kursansvarig/lektion:

Läs mer

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

A. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna.

A. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna. Man använder en observatör för att skatta tillståndsvariablerna i ett system, och återkopplar sedan från det skattade tillståndet. Hur påverkas slutna systemets överföringsfunktion om man gör observatören

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

Konfidensintervall, Hypotestest

Konfidensintervall, Hypotestest Föreläsning 8 (Kap. 8, 9): Konfidensintervall, Hypotestest Marina Axelson-Fisk 11 maj, 2016 Konfidensintervall För i (, ). Hypotestest Idag: Signifikansnivå och p-värde Test av i (, ) när är känd Test

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta

Läs mer

Medicinsk statistik II

Medicinsk statistik II Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning

Läs mer

Statistik och epidemiologi T5

Statistik och epidemiologi T5 Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Dagens föreläsning Fördjupning av hypotesprövning Repetition av p-värde och konfidensintervall Tester för ytterligare situationer

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING III

PROGRAMFÖRKLARING III Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING III Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p./22 Statistik

Läs mer

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013 Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression

Läs mer

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig

Läs mer

Syfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o. förkasta eller acceptera hypotesen

Syfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o. förkasta eller acceptera hypotesen Uwe Menzel, 2017 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Syfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o förkasta eller acceptera hypotesen hypotes: = 20 (väntevärdet är 20)

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F10: Intensiteter och Poissonmodeller Frågeställningar Konstant V.v.=Var Cyklister Poissonmodeller för frekvensdata Vi gör oberoende observationer av de (absoluta) frekvenserna n 1, n 2,..., n k från den

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Analys av egen tidsserie

Analys av egen tidsserie Analys av egen tidsserie Tidsserieanalys Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo 9 december 25 3 25 Antal solfläckar 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 Månad Inledning Vi har valt att betrakta

Läs mer

GMM och Estimationsfunktioner

GMM och Estimationsfunktioner Lunds Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 GMM och Estimationsfunktioner I laborationen möter du två besläktade metoder för att estimera

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

Om statistisk hypotesprövning

Om statistisk hypotesprövning Statistikteori för F2 vt 2004 2004-01 - 30 Om statistisk hypotesprövning 1 Ett inledande exempel För en tillverkningsprocess är draghållfastheten en viktig aspekt på de enheter som produceras. Av erfarenhet

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6): EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen

Läs mer

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12 Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Återkoppling av skattade tillstånd Integralverkan Återblick på kursen Sammanfattning föreläsning 11 2 Tillstånden innehåller

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Ordinära differentialekvationer,

Ordinära differentialekvationer, Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval

TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen

Läs mer

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Föreläsning 9: Hypotesprövning

Föreläsning 9: Hypotesprövning Föreläsning 9: Hypotesprövning Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 5, 2014 Statistik Stickprov Ett stickprov av storlek n är n oberoende observationer av en slumpvariabel

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK69, 26--7, kl 8 3. Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, VT2014 2014-05-26 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.

Läs mer

Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 9 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 30 september 2013 Tillståndsåterkoppling Antag att vi återkopplar ett system med hjälp av u

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/200, HT-03 Laboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här

Läs mer

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från det insamlade materialet. Två metoder: 1. att generalisera från en mindre grupp mot en större grupp

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av Föreläsning 3 2(19) Kovariansfunktion: Spektrum: R u (τ) = Eu(t)u(t τ)

Läs mer

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort

Läs mer

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD.

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD. Analytisk statistik Mattias Nilsson Benfatto, PhD Mattias.nilsson@ki.se Beskrivande statistik kort repetition Centralmått Spridningsmått Normalfördelning Konfidensintervall Korrelation Analytisk statistik

Läs mer

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 1 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: TSRT09 Reglerteori Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Daniel Axehill Reglerteknik,

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Modellbygge och simulering

Modellbygge och simulering DNR LIU-2017-00432 1(5) Modellbygge och simulering Programkurs 6 hp Modelling and Simulation TSRT62 Gäller från: 2017 VT Fastställd av Programnämnden för elektroteknik, fysik och matematik, EF Fastställandedatum

Läs mer

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare 1 Egenskaper hos punktskattare En skattare är en funktion av stickprovet och således en slumpvariabel. En bedömning av kvaliteten

Läs mer

1. Inledning. 1. Inledning

1. Inledning. 1. Inledning För de flesta människor är ett relativt okänt begrepp trots att var och en i det dagliga livet ständigt kommer i kontakt med och t.o.m. själv utövar. Reglerteknik är varje rationell metod att styra eller

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

En scatterplot gjordes, och linjär regression utfördes därefter med följande hypoteser:

En scatterplot gjordes, och linjär regression utfördes därefter med följande hypoteser: 1 Uppgiftsbeskrivning Syftet med denna laboration var att utifrån uppmätt data avgöra: (i) Om något samband finnes mellan kroppstemperatur och hjärtfrekvens. (ii) Om någon signifikant skillnad i sockerhalt

Läs mer

Resultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014.

Resultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014. Matematisk statistik Tentamen: 214 6 2 kl 14 19 FMS 35 Matematisk statistik AK för M, 7.5 hp Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Integralverkan Återkoppling av skattade tillstånd Återblick på kursen LABFLYTT! 2 PGA felbokning datorsal så måste ett

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 12 oktober 2015

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 12 oktober 2015 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 14 PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. Tatjana Pavlenko 12 oktober 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Icke-parametsriska metoder. (Kap. 13.10) Det grundläggande

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

Designspecifikation Max Karjalainen

Designspecifikation Max Karjalainen Designspecifikation Max Karjalainen Version 1.1 Granskad Status Godkänd LIPS Designspecifikation i bohli890@student.liu.se PROJEKTIDENTITET HT15, Detektion och felisolering i er Linköpings universitet,

Läs mer

TESTPLAN. Markus Vilhelmsson. Version 1.3. Status Detektion och felisolering i förbränningsmotor

TESTPLAN. Markus Vilhelmsson. Version 1.3. Status Detektion och felisolering i förbränningsmotor TESTPLAN Markus Vilhelmsson Version 1.3 Status Granskad Godkänd LIPS Kravspecifikation i bohli890@student.liu.se PROJEKTIDENTITET HT15, Detektion och felisolering i er Linköpings universitet, Institutionen

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

Uppgift 1 Andrej och Harald roar sig med en standardkortlek med 52 kort uppdelade på fyra färger (spader, klöver, hjärter och ruter).

Uppgift 1 Andrej och Harald roar sig med en standardkortlek med 52 kort uppdelade på fyra färger (spader, klöver, hjärter och ruter). Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 13:E MARS 2015 KL 14.00 19.00. Kursledare för F och E: Timo Koski, tel: 070 237 00 47 Kursledare för D

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010 Avd. Matematisk statistik SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010 0 Allmänna anvisningar Arbeta med handledningen, och skriv rapport, i grupper om två eller tre personer. Närvaro vid laborationstiden

Läs mer

Laboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap

Laboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3, HT -06 MATEMATISK STATISTIK FÖR F, PI OCH NANO, FMS 012 MATEMATISK STATISTIK FÖR FYSIKER, MAS 233 Laboration 3: Enkla punktskattningar,

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

I vår laboration kom vi fram till att kroppstemperaturen påverkar hjärtfrekvensen enligt

I vår laboration kom vi fram till att kroppstemperaturen påverkar hjärtfrekvensen enligt Introduktion Vi har fått ta del av 13 mätningar av kroppstemperatur och hjärtfrekvens, varav på hälften män, hälften kvinnor, samt en studie på 77 olika flingsorters hyllplaceringar och sockerhalter. Vi

Läs mer

Parade och oparade test

Parade och oparade test Parade och oparade test Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett

Läs mer

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9.

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9. Betrakta motstånden märkta 3.9 kohm med tolerans 1%. Anta att vi innan mätningarna gjordes misstänkte att motståndens förväntade värde µ är mindre än det utlovade 3.9 kohm. Med observationernas hjälp vill

Läs mer

Prognosmodell för medlemstal i Svenska kyrkan. Av Thomas Holgersson

Prognosmodell för medlemstal i Svenska kyrkan. Av Thomas Holgersson Prognosmodell för medlemstal i Svenska kyrkan. Av Thomas Holgersson Det framtida medlemsantalet i svenska kyrkan tycks vara intressant för många, då det regelbundet diskuteras i olika sammanhang. Att kyrkans

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11 Ingenjörsmetodik IT & ME 011 Föreläsning 11 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1 Läsanvisningar

Läs mer

Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 9: Tupler

Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 9: Tupler Introduktion till programmering Föreläsning 9: Tupler 1 1 Sammansatta datatyper Strängar Sekvenser av tecken Icke muterbara Syntax: "abcde" Listor Sekvenser av vad som helst Muterbara Syntax: [1, 2, 3]

Läs mer

F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test.

F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Partiella t-test F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Då man testar om en enskild variabel X i skall vara med

Läs mer

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 31:E MAJ 2012 KL 08.00 13.00. Examinator: Tobias Rydén, tel 790 8469. Kursledare: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466.

Läs mer

Föreläsning 5 och 6.

Föreläsning 5 och 6. Föreläsning 5 och 6. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik för STS vt 2014 Icke-parametriska metoder Föreläsningarnas innehåll: Allmänt, icke-parametrisk

Läs mer