Dagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö
|
|
- Carl-Johan Arvidsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Dagens föreläsning SFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - röskling och analys av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Hur bra är min teststorhet? 2 Från förra föreläsningen Från förra föreläsningen H k : F p {NF, F } H k : F p {NF, F } C = {F 2, F 3} En teststorhet (z) för hypotestestet har egenskapen { liten då H är sann (z) = stor då H ej är sann Presenterades principer för hur det kan gå till att skapa teststorheter Prediktionsfel 2 Parameterskattningar 3 Likelihood 4 Residualer Finns fler och ingen ortogonal klassificering. Detta betyder att (z) är ett modellvalideringsmått för modellen som beskrivs i beteendemoderna i nollhypotesen, dvs. F eller NF. 3 4
2 Från förra föreläsningen Prediktionsfel Parameterskattningar Likelihood (z) = min θ Θ (z) = ˆθ θ, (z) = max θ Θ f (z θ), Residualer (y(t) ŷ(t z, θ)) 2 t= ˆθ = arg min θ (y(t) ŷ(t z, θ)) 2 t= f (z θ) är fördelningen för observationerna Översikt röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Hur bra är min teststorhet? r = d (p)γ(p)n H (p)l(p)z och andra metoder som kommer i senare föreläsningar 5 6 röskling av teststorheter Beslut i brusig och osäker miljö För att kunna ta beslut om noll-hypotesen ska förkastas eller ej krävs att en regel som säger när nollhypotesen ska förkastas. ypiskt, larma om teststorheten överskrider en tröskel, dvs. (z) > generera ett larm För teststorheter baserade på likelihood-funktionen L(z) blir det < istället för >, dvs. (z) = L(z) < generera ett larm Fundamental fråga Hur väljer man tröskeln och vad bör man tänka på? Antag ett test som ska övervaka ett fel. estet kan larma eller inte och systemet kan vara OK eller OK, dvs fyra kombinationer: OK not OK no larm Missad detektion larm Falskalarm Idealt ska rödmarkerade kombinationer aldrig inträffa, men i brusiga miljöer kan man som regel inte helt undvika falskalarm och missad detektion. 7 8
3 P(Detect) Beslut i brusig och osäker miljö p( OK) p(missad detektion) p( not OK) p(falskt alarm) Ett alarm som sker när systemet är felfritt är ett falskalarm (FA). Idealt är ska p(fa) =. p(fa) = p( > OK) Händelsen att inte larma trots att det är fel kallas missad detektion (MD). Idealt ska p(md) =. p(md) = p( < OK) röskeln styr kompromissen mellan falskalarm och missad detektion. Hur ska den väljas? 9 ypisk avvägning mellan P(FA) och P(D) ROC-kurva Low threshold.6.5 Balanced threshold.4.3 High threshold P(False Alarm) Vi kan lägga oss på valfri plats utefter den här kurvan via val av tröskel. Beslut i brusig och osäker miljö - realistiska mål p( OK) p(missad detektion) p( not OK) p(falskt alarm) Falskalarm är nästan helt oacceptabla eftersom de undergräver förtroendet för diagnossystemet, skapar onödiga utgifter för reparation av hela komponenter (det är extra svårt att hitta fel på hela komponenter), försämrar prestanda genom att hela komponenter kopplas bort under drift, försämrar tillgängligheten genom att ta systemet ur drift. Fel med signifikant storlek, dvs de utgör ett hot mot säkerhet, maskinskydd, eller överskrider lagkrav måste upptäckas. För små fel som endast ger gradvis försämring av prestanda kan det vara bättre att prioritera få falskalarm gentemot att få bra detektion. Ofta specificeras ett krav på falskalarm: p(fa) < ɛ. Beslut i brusig och osäker miljö Stort fel: p( OK) p( stort fel) ydlig separation krävs för att uppfylla kraven. Om det inte är separerat så måste teststorheten förbättras, modellen utökas eller systemet byggas om. Litet fel: p( OK) p(missad detektion) p( litet fel) För att maximera sannolikheten för detektion, väljs den minsta tröskeln så att p( > OK) < ɛ. I detta fall är det alltså fördelningen för det felfria fallet som bestämmer tröskeln. 2
4 Beslut i brusig och osäker miljö ydlig separation (för alla möjliga felstorlekar): p( OK) p( not OK) röskelsättning baserat på felfria data S = {NF } > S = {F } NF F Överlappande fördelningar (för någon möjlig felstorlek): p( OK) p(missad detektion) S = {NF, F } > S = {F } p( litet fel) NF F X Det senare fallet är typfallet i den här kursen Antag nytt oberoende värde på teststorheten var tiondels sekund och ett krav på max falsklarm per år ger P(FA) = P( > OK) 3 7 Med en normalfördelningsapproximation så blir då tröskeln 5.. p(fa) är ett vanligt sätt att specificera prestanda Känslig för svansens fördelning och stationäritet Krävs mycket data för att få bra uppfattning om svansens fördelning 4 Svansens fördelning röskelsättning x Ofta väldigt höga krav på låg falskalarmssannolikhet 9 väldigt mycket data behövs för att kunna sätta tröskeln pålitligt i dessa fall! Kräver endast kunskap om yttersta svansen på fördelningen. Behövs väldigt mycket data för att få god uppfattning om svansen. Vid väldigt låga falsklarmssannolikheter kan man tex: parametrisera upp svansens fördelning (exempelvis en exponentiell fördelning) och sätt tröskeln via den modellen. En tänkbar lösning på problemet är att göra flera oberoende test. P( < ) = α P( <... N < ) = α N re helt olika fördelningar För låga falskalarmssannolikheter så blir tröskelsättningen närmast identisk. 5 6
5 Översikt röskelsättning baserat på modellerat brus röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Hur bra är min teststorhet? y(t) = bu(t) + v(t) v(t) N(, σ 2 v ) Nominellt värde på b är b. U, Y, och V betecknar staplade kolumnvektorer av u, y, och v vid olika tidpunkter. Då kan modellen skrivas som: Y = Ub + V En teststorhet baserad på en parameterskattning: 2 (z) = (ˆb b ) 2 där ˆb = U U U Y Beakta skattningsfelet i det felfria fallet, dvs. b = b : ˆb b = U U U (Ub + V ) b = U U U V 7 8 exempel, forts. y(t) = bu(t) + v(t) v(t) N(, σ 2 v ) Skattningsfelet i det felfria fallet är: ɛ = ˆb b = U U U V Skattningsfelet ɛ är normalfördelat enligt: E(ɛ) = E( U U U V ) = U U U E(V ) = Cov(ɛ) = E( U U U V ) 2 = (U U) 2 U E(VV )U = U U σ2 v ɛ N(, σ 2 v U U ) 9 exempel, forts. Skattningsfelet har en varians som beror på u! ɛ N(, σ 2 v U U ) för fix tröskel kommer falskalarmssannolikheten att bero på hur processen styrs. (Dåligt!) Multiplicera skattningen med U U/σ v : U U σ v (ˆb b ) N(, ) så fås där 2 (z) χ2 () 2(z) = U U σv 2 (ˆb b ) 2 ˆb = U U U Y 2
6 Känslighet för okontrollerbara effekter och robusthet Man vill ha samma falskalarmssannolikhet i sitt beslut hela tiden, oberoende av förändringar i insignalen u och tillstånd x, störningar d, modellfel. Kräver att fördelningen för (z) ej förändras! Men teststorheterna kan vara känsliga för dessa okontrollerbara effekter på grund av: modellfel dålig excitation mätbrus och modellbrus approximativ avkoppling Robusthet: teststorhetens förmåga att uppfylla prestandamål även då modellfel etc. påverkar processen Något som kallas normalisering används för att säkerställa att fördelningen för (z) ej ändras. 2 Arbetsgång - röskelsättning Vanlig arbetsgång vid val av tröskel är att uppfylla en viss falskalarmssannolikhet α. Skapa en teststorhet 2 Normalisera så att du (förhoppningsvis) har en teststorhet k (z) med någorlunda konstant variation (fördelning) för olika arbetspunkter under H. 3 Givet fördelningen på k (z) välj en tröskel k så att P( k (z) > k H k ) ɛ (eller på annat sätt beroende på hur kraven är specificerade) Nu ska vi studera normaliseringen. 22 Översikt Principer för konstruktion av teststorheter röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Design av teststorheter baserat på: prediktionsfel likelihood-funktionen parameterskattningar residualer konsistensrelationer, observatörer Metodik för att normalisera i dessa 4 fall? Hur bra är min teststorhet? 23 24
7 Normalisering med prediktionsfel Minns Normalisering med likelihood-funktionen (z) = min θ Θ V (θ, z) > c (reject H ) Vi behöver ett mått på modellosäkerheten H förkastas om adp = max θ Θ L(θ z) c W (z) = min θ Θ V (θ, z) = min θ Θ Minimeringen är över alla möjliga θ. eller ekvivalent: (y(t) ŷ(t θ)) 2 t= adp = min θ Θ V (θ, z) c (z) = min θ Θ V (θ, z) min θ Θ V (θ, z) > c (reject H ) Med normalisering: H förkastas om (z) = max L(θ z) < max L(θ z) c θ Θ θ Θ (z) = max θ Θ L(θ z) max θ Θ L(θ z) < c (z) kallas likelihood ratio-test Andra ord som används är maximum likelihood ratio eller generalized likelihood ratio Neyman-Pearson lemma, likelihood kvot Antag hypoteserna H : θ = θ H : θ = θ där pdf för observationerna är den kända fördelningsfunktionen f (z θ i ) i de två fallen. En lite slarvig formulering av Neyman-Pearson lemma är då: Den bästa tänkbara teststorheten för dessa hypoteser är (z) = f (z θ ) f (z θ ) Finns generaliserade resultat för nollhypoteser som inte är singeltons. Mer om detta senare i kursen. Normalisering med parameterskattning eststorheten kan skapas enligt = (ˆθ N θ ) 2, ˆθ N = arg min θ N (y(t) ŷ(t θ)) 2 Fördelningen på skattningen varierar med grad ev excitation etc. och för att kunna normalisera så måste vi på något sätt räkna ut den. t= I det tidigare enkla exemplet så kunde vi räkna ut att ˆb N b N (, σ 2 v U U ) där U U är graden av excitation. Därmed kunde vi normalisera och sätta tröskel. Generellt är det svårt att exakt räkna ut skattningens fördelning. vå möjligheter: asymptotiska resultat 2 simulering, Monte-Carlo 27 28
8 Asymptotisk fördelning hos skattning Att exakt räkna ut vilken fördelning ˆθ N enligt nedan får är svårt, och i mer komplicerade fall ogörligt. = (ˆθ N θ ) 2, ˆθN = arg min θ N (y(t) ŷ(t θ)) 2 En möjlighet är att se till att N är tillräckligt stort, då kan man använda asymptotiska resultat N(ˆθ N θ ) AsN (, P) där kovariansen P kan skattas utifrån de data som användes vid skattningen. ag tar inte med uttrycken här, men formerna hittas i Modellbygge och simulering, eller i mer detalj i System Identification - heory for the user av Lennart Ljung. t= Adaptiva trösklar för residualer Uppmätta data från en ventil i luftsystemet i Gripen: R Solid: residual; Dashed: thresholds ime [s] Man vet att modellen är bättre/mer noggrann då man rör sakta på ventilen och sämre vid hastiga förändringar av vinkelläget. Utnyttja det! 29 3 Adaptiv tröskel - normalisering av residualer Exempel: linjärt system där G(s) är modellfel y = ( G(s) + G(s) ) u r =H y (p)y + H u (p)u = H y (p) G(p)u δ > G(s) är en känd övre gräns på storleken hos modellfelet G(s). Ett sätt att välja en adaptiv tröskel: eller mer allmänt adp (t) = δ H y (p)u + asp (t) = c W (z) + c 2 där W (z) är ett mått på modellosäkerheten. Adaptiv tröskel, exempel Man kan även ha dynamiska adaptiva trösklar: y = G (s)u = s + a + a u a < δ a G(s) = G (s) G(s) a (s + a) 2 r = y G(s)u = G(s)u En adaptiv tröskel kan med denna information sättas till tex.: δ (z) = c (p + a) 2 u + c
9 Adaptiva trösklar = normalisering Översikt Ekvivalent med normalisering av teststorheten: som är ekvivalent med (z) adp = c W (z) + c 2 (reject H ) (z) = (z) c W (z) + c 2 (reject H ) röskelsättning och beslut i osäker miljö röskelsättning i ett idealiserat fall Adaptiva trösklar Prediktionsfel Likelihood-funktionen Parameterskattning Residualer Hur bra är min teststorhet? Utvärdering av teststorheter ypiskt utseende på styrkefunktioner Exempel på två styrkefunktioner där θ = : Falsklarm = förkasta H när H är sann (YP I) Missad detektion = förkasta inte H när H är sann (YP II) Signifikansnivå = sannolikhet att förkasta H när H är sann. Både falsklarm och missad detektion beskrivs av: Styrkefunktion (power function) beta β(θ) = P( (z) θ) theta Styrkefunktionen är därmed ett bra instrument för att avgöra prestanda hos ett hypotestest i ett diagnossystem. Eftersom signifikansen är lika för båda testen, så följer att testet som motsvarar den heldragna linjen är bättre
10 Analytisk beräkning av styrkefunktionen Om fördelningen för en teststorhet givet felstorlek f är känd beräknas styrkefunktionen: β() = β(f ) = β(f ) = P( f ) = = P( f ) + P( f ) = = integrera gulmarkerade områden - - p( f=) p( f=f) f Notera att man kan alltid välja tröskeln så att man får en viss signifikansnivå på testet. 37 Analytisk härledning av styrkefunktionen: Parameterskattning Modell: y(t) = bu(t) + v(t) eststorhet baserad på parameterskattning: 2(z) = U U σv 2 (ˆb b ) 2, ˆb = U U U Y, v(t) N(, σ 2 v ), vitt U U (ˆb b ) N(b b, ) σ } v {{ } =:ɛ Notera att fördelningen även för fall då b b behövs, till skillnad från vid tröskelsättning. Givet en tröskel 2 : vilket är ekvivalent med β(b) = P( 2(z) = ɛ 2 2 b) β(b) = P ( ɛ 2 b ) + P ( ɛ 2 b) 38 Analytisk härledning av styrkefunktionen: Prediktionsfel y(t) = bu(t) + v(t) eststorhet baserad på prediktionsfel: Felfritt fall: (z) = y(t) b u(t) σ v (y(t) ŷ(t)) 2 = t= v(t) N(, σ 2 v ), vitt (y(t) b u(t)) 2 t= = b u(t) + v(t) b u(t) σ v vilket implicerar, tillsammans med oberoende, att (z) σ 2 v χ 2 (N) = v(t) σ v N(, ) Alltså: Fördelning känd och vi kan analytiskt beräkna styrkefunktionen i felfritt fall, β(b ). 39 Analytisk härledning av styrkefunktionen: Prediktionsfel forts. Härledning av signifikansnivån: Givet en tröskel : vilket är ekvivalent med β(b ) = P( (z) b = b ) P( (z) σ 2 v σ 2 v Men β(b) för b b är det mer besvärligt. Återkommer till hur man gör då. b = b ) 4
11 ämföra två teststorheter med hjälp av styrkefunktionen När det inte går att härleda analytiskt (z) = (y ŷ) 2 = 2(z) = U U σv 2 (ˆb b ) 2 ˆb = U U U Y (y b u) 2 β (b) (streckad) och.2 β 2 (b) (heldragen) I figuren är b =. eststorheten baserad på parameterskattningen är bäst av de två. I det här fallet går det att visa att det inte finns någon teststorhet som är bättre än 2 (z). (Neyman-Pearson Lemma) 4 beta theta Grundproblemet är att under H hitta fördelningen för en teststorhet k (z) där k (z) är en olinjär funktion. I detta sammanhang kanske en minimering av en kvadratisk funktion. Analytisk lösning oftast ej möjlig. vå vägar som finns att tillgå är: Slumpa fram data z och se vad k (z) får för fördelning 2 Om möjligt, mät upp (mycket) data itta på histogrammet för k (z). Problem med sammansatta nollhypoteser. 42 Brus genom olinjäritet Styrkefunktion via simuleringar eller uppmätta data Y = sin(x 2 ) + där X N(, ) Generera 5 oberoende observationer X, beräkna Y och plotta histogram: Monte-Carlo simulering Antag en fördelning för brus i data z. 2 Fixera parametern θ för vilken vi ska beräkna β(θ). 3 I en dator, generera en stor mängd dataserier z i, i =,... N 4 För varje dataserie z i, beräkna t i = (z i ). 5 Samla ihop alla N värdena t i i ett histogram = skattning av f (t θ). 6 Genom att använda en fix tröskel k, skatta β(θ). 7 Gå tillbaka till steg 2 och fixera ett nytt θ. Stora mängder uppmätta data istället för simulering
12 P(Detect) Simulera fel på uppmätta felfria data Ett sätt att uppskatta styrkefunktionerna är att mäta upp mycket data. Ofta är det omöjligt (inte alltid) att mäta upp data där man har fel på processen. Ett sätt, som inte alltid är applicerbart är att mäta upp felfria data och addera felen i efterhand. Exempel: ett förstärkningsfel i sensor-signalen (g = är fel-fritt) y simul (t) = g y uppmätt (t) ROC-kurvor (Reciever Operating Characteristics) Sannolikheten för detektion P(D) plottas som funktion av sannolikheten för falskalarm P(FA) för olika tröskelval men för en given felstorlek est est 2 Inte exakt rätt om man har återkopplingar i systemet P(False Alarm) 45 est 2 tydligt bättre än test 46 Sammanfattning röskelsättning svansen på den fördelningen för felfria fallet om fördelningen beror på observationerna, använd normalisering eller adaptiva trösklar Utvärdering av test mha styrkefunktionen kopplar till sannolikheten för falskalarm och missad detektion för att skatta styrkefunktionen krävs fördelning även för felfall. Om dessa inte går att analytiskt beräkna behövs stora mängder data eller Monte-Carlo simuleringar. Nästa föreläsning handlar om olinjär residualgenerering. SFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - röskling och analys av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se
Dagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö
Dagens föreläsning TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se 22-3-28 Tröskelsättning
Läs merTentamen med lösningsdiskussion. TSFS06 Diagnos och övervakning 1 juni, 2013, kl
Tentamen med lösningsdiskussion TSFS6 Diagnos och övervakning juni, 23, kl. 4.-8. Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik och signalteori
Läs merTeststorheten är ett modellvalideringsmått Betrakta. Översikt. Modellvalideringsmått, forts. Titta lite noggrannare på testet.
Ämnen för dagen TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 5 - Konstruktion av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se 27-4-5 En teststorhet är ett
Läs merDagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö
Dagens föeläsning SFS6 Diagnos och övevakning Föeläsning 6 - öskling och analys av teststohete öskelsättning och beslut i osäke miljö öskelsättning i ett idealiseat fall Eik Fisk Institutionen fö systemteknik
Läs merTentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 4 juni, 2007, kl
Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 4 juni, 2007, kl. 08.00-12.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik och signalteori och miniräknare.
Läs merTentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 12 januari, 2012, kl
Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 12 januari, 2012, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik och signalteori samt
Läs merÄmnen för dagen. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 5 - Konstruktion av teststorheter. Beteendemoder och felmodeller.
Ämnen för dagen TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 5 - Konstruktion av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 29-4-8 En teststorhet är ett
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2010-01-15 Sal KÅRA Tid 14-18 Kurskod TSFS06 Provkod TEN1 Kursnamn Diagnos och övervakning Institution ISY Antal uppgifter
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2010-08-19 Sal KÅRA Tid 14-18 Kurskod TSFS06 Provkod TEN1 Kursnamn Diagnos och övervakning Institution ISY Antal uppgifter
Läs merKapitel 10 Hypotesprövning
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 10 Hypotesprövning 1 Vad innebär hypotesprövning? Statistisk inferens kan utföras genom att ställa upp hypoteser angående en eller flera av populationens parametrar.
Läs merTSRT62 Modellbygge & Simulering
TSRT62 Modellbygge & Simulering Föreläsning 4 Christian Lyzell Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 1
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska
Läs mer3 Maximum Likelihoodestimering
Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till
Läs merLösningsförslag/facit till Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 14 januari, 2008, kl
Lösningsförslag/facit till Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 14 januari, 2008, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i
Läs merTAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning
TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33
Läs merTröskling av teststorheter. Översikt. Beslut i brusig och osäker miljö
Dagens föeläsning SFS6 Diagnos och övevakning Föeläsning 6 - öskling och analys av teststohete öskelsättning och beslut i osäke miljö öskelsättning i ett idealiseat fall Eik Fisk Institutionen fö systemteknik
Läs merÖversikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 8 - Change detection. Change detection. Change detection
Översikt TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 8 - Change detection Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se 6-5- Change detection Likelihood-funktionen Likelihood-kvot
Läs merTAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning
TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning p-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/36
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning av förra föreläsningen H(s) W(s) 2 R(s)
Läs merFöreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning
Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning Stas Volkov 2017-11-14 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F12: Hypotestest 1/1 Konfidensintervall Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt
Läs merFöreläsning 8: Konfidensintervall
Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga
Läs merLärare i kursen. TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion. Denna föreläsning - disposition.
Lärare i kursen TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se Kursansvarig: Erik Frisk
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merLaboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning föreläsning 8 2 F(s) Lead-lag design:
Läs merFöreläsning 5: Hypotesprövningar
Föreläsning 5: Hypotesprövningar Johan Thim (johan.thim@liu.se) 24 november 2018 Vi har nu studerat metoder för hur man hittar lämpliga skattningar av okända parametrar och även stängt in dessa skattningar
Läs merParameterskattning i linjära dynamiska modeller. Kap 12
Parameterskattning i linjära dynamiska modeller Kap 12 Grundläggande ansats Antag (samplade) mätdata (y och u)från ett system har insamlats. Givet en modell M(t, θ) och mätdata, hitta det θ som ger en
Läs merLösningsförslag till Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 14 augusti, 2007, kl
Lösningsförslag till Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 14 augusti, 007, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik
Läs merHypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University
Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att
Läs merHur man tolkar statistiska resultat
Hur man tolkar statistiska resultat Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Varför använder vi oss av statistiska tester?
Läs merÖversikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 4 - Linjär residualgenerering och detekterbarhet. Linjär residualgenerering
TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 4 - och detekterbarhet Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 21-4-3 1 2 Definition Ett propert linjärt filter R(p)
Läs merA. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna.
Man använder en observatör för att skatta tillståndsvariablerna i ett system, och återkopplar sedan från det skattade tillståndet. Hur påverkas slutna systemets överföringsfunktion om man gör observatören
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merLärare i kursen. TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion. Denna föreläsning - disposition.
Lärare i kursen TSFS06 Diagnos och övervakning, 6hp Föreläsning 1 - Kursformalia och introduktion Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se Kursansvarig/lektion:
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2010-06-01 Sal(3) U6, U7, U10 Tid 14-18 Kurskod TSFS06 Provkod TEN1 Kursnamn Diagnos och övervakning Institution ISY Antal
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merAutokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012
Föreläsning 6 Autokorrelation och Durbin-Watson testet Patrik Zetterberg 17 december 2012 1 / 14 Korrelation och autokorrelation På tidigare föreläsningar har vi analyserat korrelationer för stickprov
Läs merDel I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1920/SF1921 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 11 MARS 2019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 6 Johan Lindström 13 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F6 1/22 : Rattonykterhet Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merMedicinsk statistik II
Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning
Läs merStatistik och epidemiologi T5
Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Dagens föreläsning Fördjupning av hypotesprövning Repetition av p-värde och konfidensintervall Tester för ytterligare situationer
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merIndustriell reglerteknik: Föreläsning 6
Föreläsningar 1 / 15 Industriell reglerteknik: Föreläsning 6 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merStokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Läs merFöreläsning 13, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Multipel linjär regression
Föreläsning 13, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Multipel linjär regression Anna Lindgren 14 december, 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F13 1/22 Linjär regression Vi har n st par av
Läs merExtremvärden att extrapolera utanför data och utanför teori/modell. Statistik för modellval och prediktion p.1/27
Extremvärden att extrapolera utanför data och utanför teori/modell Statistik för modellval och prediktion p.1/27 Ledning utgjuter sig Centrala Uppsala översvämmades på tisdagskvällen för andra gången den
Läs merUppgift a b c d e Vet inte Poäng
TENTAMEN: Dataanalys och statistik för I2, TMS135 Fredagen den 12 mars kl. 8:45-11:45 på V. Jour: Jenny Andersson, ankn 8294 (mobil:070 3597858) Hjälpmedel: Utdelad formelsamling med tabeller, BETA, på
Läs merBetrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten i dessa.
Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. Anta att budgeten för utbytet är beräknad på att kopparhalten ligger på 70 %. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten
Läs merPROGRAMFÖRKLARING III
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING III Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p./22 Statistik
Läs merSammanfattning av föreläsning 4. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller
Sammanfattning av föreläsning 4 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Linjära parametriserade modeller: ARX, ARMAX,
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta
Läs merReglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 4 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: R u (τ) = Eu(t)u(t τ) T Spektrum: Storleksmått: Vitt brus: Φ u (ω) =
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs mer, s a. , s b. personer från Alingsås och n b
Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen
Läs merTentamen MVE302 Sannolikhet och statistik
Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merKonfidensintervall, Hypotestest
Föreläsning 8 (Kap. 8, 9): Konfidensintervall, Hypotestest Marina Axelson-Fisk 11 maj, 2016 Konfidensintervall För i (, ). Hypotestest Idag: Signifikansnivå och p-värde Test av i (, ) när är känd Test
Läs merFöreläsning 15: Faktorförsök
Föreläsning 15: Faktorförsök Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 17, 2016 Ensidig variansanalys Vi vill studera om en faktor A påverkar en responsvariabel. Vi gör totalt N =
Läs merBild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II
Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression
Läs merFöreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression
Föreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression Stas Volkov 2017-11-28 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F15 1/23 Linjär regression Vi har n st par av mätvärden (x i, y i ), i = 1,..., n
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merAnalytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor
Analytisk statistik Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från det insamlade materialet. Två metoder: 1. att generalisera från en mindre grupp mot en större grupp
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merLö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp
Sid (7) Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Uppgift Nedanstående beräkningar från Minitab är gjorda för en Poissonfördelning med väntevärde λ = 4.
Läs merFöreläsning 13: Multipel Regression
Föreläsning 13: Multipel Regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 9, 2017 Enkel linjär regression Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning
Läs merUppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F10: Intensiteter och Poissonmodeller Frågeställningar Konstant V.v.=Var Cyklister Poissonmodeller för frekvensdata Vi gör oberoende observationer av de (absoluta) frekvenserna n 1, n 2,..., n k från den
Läs merUppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 28:E OKTOBER 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn Olof Skytt 08-790 86 49. Tillåtna
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merDiskussionsproblem för Statistik för ingenjörer
Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka
Läs merSyfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o. förkasta eller acceptera hypotesen
Uwe Menzel, 2017 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Syfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o förkasta eller acceptera hypotesen hypotes: = 20 (väntevärdet är 20)
Läs mer(a) Avgör om A och B är beroende händelser. (5 p) (b) Bestäm sannolikheten att A inträffat givet att någon av händelserna A och B inträffat.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK I, MÅNDAGEN DEN 15 AUGUSTI 2016 KL 08.00 13.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, 08 790 84 66. Kursledare: Thomas Önskog, 08 790
Läs merHypotestest och fortsättning av skattningar och konfidensintervall
Hypotestest och fortsättning av skattningar och konfidensintervall Repetition från förra gången Kända fördelningar ger konfidensintervall I klarspråk: Om vi har oberoende observationer x1,...,xn från N(μ,σ2),
Läs merLogistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013
Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas
Läs merKorrelation och autokorrelation
Korrelation och autokorrelation Låt oss begrunda uttrycket r = i=1 (x i x) (y i y) n i=1 (x i x) 2 n. i=1 (y i y) 2 De kvadratsummor kring de aritmetiska medelvärdena som står i nämnaren är alltid positiva.
Läs merFÖRELÄSNING 3:
FÖRELÄSNING 3: 26-4-3 LÄRANDEMÅL Fördelningsfunktion Empirisk fördelningsfunktion Likformig fördelning Bernoullifördelning Binomialfördelning Varför alla dessa fördelningar? Samla in data Sammanställ data
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merOm statistisk hypotesprövning
Statistikteori för F2 vt 2004 2004-01 - 30 Om statistisk hypotesprövning 1 Ett inledande exempel För en tillverkningsprocess är draghållfastheten en viktig aspekt på de enheter som produceras. Av erfarenhet
Läs merEnvägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper
Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-06-0 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 03-7725348 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merSannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i
Läs merNedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):
EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer
Läs merTAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval
TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen
Läs merAnalys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken
Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen
Läs mer