rapporter från tankesmedjan Rapport 4, 2011; Matematik en demokratisk rättighet

Transkript

1 rapporter från tankesmedjan Rapport 4, 2011; Matematik en demokratisk rättighet

2 2 Rapporter från Tankesmedjan

3 Rapporter från Tankesmedjan rapport 4, 2010 Matematik en demokratisk rättighet Publikationen finns även elektroniskt, se Tankesmedjan är ett samarbete mellan skolförvaltningarna i Bromölla, Hörby, Kristianstad, Lomma, Lund Stad, Lund Öster, Fosie stadsdel i Malmö, Skurup, Staffanstorp, Trelleborg och Åstorps samt kommunförbundet Skåne och högskolorna i Kristianstad och Malmö.

4 Innehåll Förord...7 Inledning Vad påverkar intresset för matematik? Matematik En demokratisk rättighet. Vad innebär det?...11 Matematikundervisning i det interkulturella och flerspråkiga klassrummet...24 Problem med traditionen? Finns det alternativ?...32 Exempel och erfarenheter från undervisning...37 Utvärdering med hjälp av öppna och undersökande uppgifter...57 Forskning om undervisning med hjälp av öppna uppgifter...66 Matematik en demokratisk rättighet: Hinder och möjligheter...70 Referenser...79 Bilaga Tankesmedjan, 2011 redaktörer Lars Lundström, Högskolan Malmö, lars@tankesmedjan.nu Anders Jakobsson, Malmö högskola, anders@tankesmedjan.nu Ingemar Holgersson, Högskolan Kristianstad, ingemar.holgersson@hkr.se formgivning above.se tryck Holmbergs, Malmö 2011 issn

5 Förord enligt missivet för tankesmedja nr 4, förväntas vi under rubriken Matematik en demokratisk rättighet att utgå från och bearbeta följande frågeställningar: Enligt internationella undersökningar minskar matematikkunskaperna i den svenska skolan. Hur ska vi kunna bryta den trenden? Hur ska vi få barn och elever som tappat intresset för matematik att komma tillbaka? Hur möter vi alla barn och elever på deras nivå och hur stimulerar vi deras matematiska tänkande? Hur skapar vi och underhåller intresset för matematik för alla barn och elever i perspektivet 1 20 år? Hur öppnar vi dörren igen för dem som stängt den för matematik? Detta är stora och omfattande frågor utan enkla svar, och det kan synas förmätet att tro att en tankesmedja som träffats ungefär en gång i månaden under ett års tid och med begränsad tid för inläsning och skrivande, ska kunna ge annat än allmänna och översiktliga svar på dessa frågor. En tankesmedja förväntas dock enligt den allmänna instruktionen kunna redovisa resultat i form av konkreta handlingsalternativ användbara för den lokala skolan och väga in yrkesverksamma lärares erfarenheter, svensk och internationell forskning samt aktuell debatt i samhälle och massmedia inom tankesmedjans område. För att hantera denna uppgift har vi på olika sätt analyserat vad rubriken står för: Vad innebär det att matematik är en demokratisk rättighet? I frågeställningarna ovan finns ett starkt fokus på intresse eller bristande intresse för matematik. Vår analys ger vid handen att 7

6 de samband och faktorer, som påverkar intresset för matematik och vilka kunskaper eleverna erövrar, är komplexa. I bilaga 1 finns en tankekarta som vi hade som underlag för redovisningen vid tankesmedjans slutseminarium den 3 februari Där har vi identifierat 12 olika, men sinsemellan samverkande, faktorer som bidrar till det eleverna möter i matematikundervisningen. I denna rapport utgår vi från dessa faktorer och försöker ge svar som åtminstone i viss mån ger konkreta handlingsalternativ användbara för den lokala skolan. Inledning Vad påverkar intresset för matematik? allmänt sett verkar det som om intresse befordras av antingen lust, dvs. att vi tycker något är kul, eller av nytta, dvs. att vi på något sätt upplever det som användbart. Det ena utesluter givetvis inte det andra. I argumenten för matematik i skolan dominerar ofta nyttan, antingen för livet eller för vidare studier. Men Skolverket har också fokuserat på lusten att lära i matematik i en rapport (Skolverket, 2003). Frågar man lärare eller elever om när matematik är kul, får man ganska entydiga svar: matematik är kul när man kan, men det får inte heller vara för lätt för då blir det tråkigt. Det blir också roligare om det handlar om något man tycker är intressant. Vad som är intressant för elever är emellertid inte alltid lätt att förutse. Att se mönster eller hur saker hänger ihop är också lustfyllt, i synnerhet om man upptäcker det själv. I grunden handlar all matematik om aktiviteter, och den mest grundläggande aktiviteten är olika former av problemlösning. Det är också den som har störst potential att generera lust till matematik och detta gäller oberoende av om man är hög- eller lågpresterande. Det gäller bara att problemen har rätt nivå och utformning. I denna rapport kommer vi att förorda de möjligheter som ligger i att arbeta med s.k. open-ended questions, vilket vi väljer att kalla öppna problem. Att få erfarenhet av att vara intellektuellt aktiv i matematik och lyckas se mönster eller lösa problem, även om de utifrån kan tyckas banala eller enkla, påverkar självkänsla och intresse för att lära matematik. Att ofta misslyckas med förelagda uppgifter som har ett starkt fokus på rätt eller fel, fordrar mycket av en annan typ av motivation än lust för att orka med och inte ge upp. 8 9

7 I denna bok skall vi försöka visa på vilka sätt kunskaper i matematik är en viktig förutsättning för att kunna fungera i ett modernt samhälle och på detta sätt blir det en demokratisk rättighet att få lära sig matematik. Matematik En demokratisk rättighet. Vad innebär det? günter grauman (2005) diskuterar matematikutbildningens allmän-bildande uppgifter utifrån fyra dimensioner: Förklaringsdimensionen individens förståelse av världen Den pragmatiska dimensionen vardagsnyttan av matematiken Personlighetsdimensionen individens rätt att lära sig matematik. Den sociala dimensionen att använda matematiken kommunikativt. (Grauman, 2005, s 17) Vi bestämde oss för att göra en liten och enkel undersökning bland lärarkollegor och andra i vår omgivning. Vad innebär egentligen rubrikens fråga för dem? Resultatet framgår av tabell 1. Tabell 1: Olika sätt att se på Matematik En demokratisk rättighet kategoriserat efter Graumans dimensioner och vilket arbete man har. Lärare Övriga lärare Övriga som Personer i matematik Inkl. för/fri arbetar utanför på skolan skolan Förklaringsdimensionen Den pragmatiska dimensionen Personlighetsdimensionen Den sociala dimensionen Undersökningen visade att lärare i förskola/skola främst tolkar frågan utifrån förklaringsdimensionen och den pragmatiska dimensionen

8 Övrig skolpersonal tolkar främst utifrån en personlighetsdimension. Personer utanför skolans värld har svårt att hantera frågan. Matematik väcker obehagliga minnen hos en del. Men alla förklaringsdimensionerna fanns med bland svaren. Enligt Lpo 94, är matematikämnets syfte och roll i undervisningen, att beakta alla de fyra dimensionerna. Uttrycket Matematik En demokratisk rättighet ger emellertid många olika associationer och är därför inte alldeles lätt att hantera. För att belysa detta ger vi några axplock bland svaren: Du har en rättighet att få lära dig matte men också en skyldighet Matte är elände. Jobbig fråga. Klara vardagen. Något man lär sig i skolan. Matematik är lika viktigt för människor som det skrivna ordet. Vi är omringade av siffror som vi måste tolka, t.ex. räkningar vi får hem, skattedeklarationer vi måste ha koll på om det som står skrivet på blanketterna är det rätta. Kunna påverka samhället, kunna överleva, få bort analfabetism, inget jobb, du är ingenting. Makt bygger på matematik. Klara samhället. Alla ska få lov att lära sig matte. Ser inget samband mellan matte och demokrati. Varje elevs rättighet till likvärdig utbildning i matematik utifrån elevernas behov och förutsättningar. Ahlberg (2001) skriver att bristande kunskaper i matematik kan visa sig i vardagen genom svårigheter med att planera sina handlingar, orientera sig i tid och rum samt planera sin tid, vilket framkommer i så vardagliga saker som att läsa av klockan och tidtabeller. Det kan visa sig i sättet att hantera ekonomin och lösa de problem av matematisk natur som genomsyrar dagens samhälle. Att ha kunnande och kompetens i matematik inbegriper således demokrati- och likvärdighetsaspekter i flera bemärkelser. (a.a. s 113) Vilken matematik är viktig Matematik i den vuxnes vardag Matematik genomsyrar det vuxna livet mer än vi ofta tänker på. Sällan i form av att vi måste göra exakta beräkningar, men mer ofta i form av att kunna uppskatta och bedöma och ta ställning till olika alternativ, både i det privata livet och inom opinionsbildning av olika slag. Inspirerade av McCloskey (2007) ger vi exempel inom några olika områden där man behöver matematiskt kunnande: Rationella tal speciellt andelar av olika slag, decimaltal och procent är viktiga för att kunna hantera olika former av lån t ex sms-lån, olika former av större inköp t ex av en bil eller något annat på avbetalning, för att kunna förstå och bedöma olika former av skatter, försäkringar, avtal etc. Rumsuppfattning är viktigt för att kunna läsa kartor, t ex bilkartor eller följa en gps. Men även för att förstå mer schematiska kartor såsom över järnvägsnät eller tunnelbanor. Rumsuppfattning spelar också en roll när vi ska handla färg till att måla om eller beställa byggmaterial eller grus till projekt i trädgården. Funktioner kommer indirekt in när det gäller att t ex förstå beskrivningar av hur hög vår el- eller värmeförbrukning är, eller vilket elbolag eller telebolag som passar de egna behoven bäst. Men även när en diabetiker ska bedöma hur stor dos han behöver ta i förhållande till hur mycket mat han planerar att äta. Kunskaper om statistik och sannolikheter kan vara viktiga för att kunna planera sin pension, för att förstå olika försäkringsvillkor, och för att förstå olika former av lotterier, tips och spel. Är man företagare finns det mycket man behöver kunna hantera som kräver rimliga kunskaper i matematik, t ex för att göra faktureringar, kunna bedöma avtalsvillkor, kunna använda kalkylblad och kunna planera inköp och kampanjer. Det finns många anställningar som kräver ganska ingående matematiska kunskaper. Detta gäller inte enbart för ingenjörer, utan även för många olika former av mer kvalificerade och välavlönade arbeten. Men det kan även gälla för arbeten vi inte alltid förknippar med matematik som att göra bedömningar vid lastning och lossning med t ex gaffeltruck, eller att ansvara för en god lagerhållning. Men även under fritiden kommer det in matematik inom t ex trädgårdsskötsel, handslöjd, matlagning eller ombyggnation. Gemensamt för dessa är att de kräver förmåga att uppskatta hur mycket vi behöver, att kunna planera så att underlaget för att göra uppskattningar blir rimligt, och att kunna jämföra pris och kvalitet med varandra

9 Lära matematik Som att bygga ett hus eller väva en matta? Vad innebär det att lära matematik? När det gäller komplexa fenomen som detta använder man ofta metaforer för att utveckla förståelsen av fenomenet. En vanlig metafor är att jämföra det att lära sig matematik med att lägga sten på sten av begrepp eller färdigheter, som när man murar ett hus. Vad händer då om det blir luckor eller någon färdighet inte är pålitlig, jo det blir ganska instabilt och ingen bra grund att bygga vidare på. Fast man behöver ju fönster också, kanske. Ingen metafor är enkel. Därför blir det i det här perspektivet viktigt att inte låta elever gå vidare förrän de bemästrar de grundläggande färdigheterna så pass att man kan bygga vidare. Och får elever problem med dessa färdigheter, så delar vi gärna upp stenarna i mindre bitar, i tron att när man behärskar varje delbit för sig så kan man också det som motsvarar hela stenen. Om man ser på modern kognitionspsykologisk forskning blir det mer och mer klart att lärande är mer som att väva en matta, men en matta utan gränser, utan kanter. I denna metafor består varpen av våra grundläggande erfarenheter, och till dem lägger vi färdigheter och kunskaper i form av trådar av olika färg och kvalitet. I denna bild har begrepp och färdigheter mer oklara gränser. Forskning visar att det inte heller är så att man antingen har ett begrepp eller inte. Det finns sällan någon polett som trillar ner, för att använda en annan metafor. Ett begrepp som talbegreppet är rikt på relationer, och man kan tala om ett mer eller mindre utvecklat talbegrepp beroende på hur många kopplingar och associationer till olika erfarenheter och situationer eller till andra begrepp som en elev kan visa upp. Det är denna rikedom av relationer som utmärker en adaptiv kompetens jämfört med en mer ensidig rutinkompetens som är begränsad till bestämda problemsituationer. I den vävda mattan motsvaras detta av att väven kan vara tät och sammanhängande och med olika inslag av trådar istället för mer gles och osammanhängande. Väven utvidgas också hela tiden, men förfinas och förtätas också. Den kan få inslag av guldtrådar och andra färgade trådar, vara tätare i vissa delar och mer gles i andra. I en översiktsartikel om s.k. mikrogenetiska studier av lärande diskuterar kognitionspsykologen Robert Siegler från usa de senaste rönen om hur barn lär med många exempel från just matematik (Siegler, 2006). Att förstå orsakssamband visar sig spela en avgörande roll i lärandet, liksom att få förklara det man observerar ofta ger ett större utbyte än vad övning och feedback gör. Ett genuint lärande försiggår oftast utan trial and error, och drivs istället nästan alltid av begreppslig förståelse. Hur erövrar då barn en ny kompetens, nya strategier? Jo, för att utveckla nya strategier behöver barn en mångsidig och varierad erfarenhet. Denna får de bäst genom att få undersöka olika saker. De kan då upptäcka olika strategier eller sätt att lösa t ex ett problem. Om olika strategier visas fram kan de också börja härma hur andra gör och göra någon annans strategi till sin egen. Genom att få många tillfällen att använda sin förmåga så konsoliderar de en ny strategi och blir efterhand säkrare. Lärandet utvidgas också genom att de lär sig använda en strategi i nya situationer av olika slag. Detta underlättas om de har en förmåga att se samband mellan olika situationer. I en närstudie av hur ett barn utvecklar sina kunskaper om antal ifrågasätter Mix (2002) en mer traditionell syn på lärandet. Hon menar att man kan säga att lärande i matematik inte tycks bygga på enskilda färdigheter som sedan sätts ihop till en komplex kompetens. Tvärtom utvecklas en kompetens först i en begränsad kontext, och först därefter utvecklas den i nya och efter hand allt mer komplexa situationer. Det som begränsar en situation kan vara vilka tal det är fråga om, ifall det finns en tydlig struktur eller inte. I lärandet av matematik finns det en stor individuell variation. Utveckling av matematiskt tänkande är heller ingen självklarhet, som naturligt kommer med ålder. För att barn ska kunna utveckla sitt matematiska tänkande verkar det vara viktigt med strukturer som hjälper dem att dels se matematiken, dels att kunna utveckla sitt matematiska tänkande. Tillvaratar skolan matematiken som en demokratisk rättighet? Hur bedriver vi matematikundervisning idag? Tillgodoser vi de perspektiv på demokratiska rättigheter som nämns ovan? Bidrar skolans matematikundervisning till att individen får en bättre förståelse av världen, eller att hon/han kan använda matematiken i vardagen och få en större förståelse för olika fenomen och förhållanden i den? Bidrar den till att hon/han tillägnar sig en förmåga att kommunicera och förstå beskrivningar av matematiska resonemang? En grundläggande fråga för denna tankesmedja blev vilken kunskap som finns om hur man lär matematik. I usa har man sedan bör

10 jan av 90-talet på bred front arbetat med att försöka reformera undervisningen i matematik. Ledande i detta arbete har den amerikanska lärarföreningen i matematik, nctm, varit med sina s.k. Standards, dvs en mönsterläroplan för matematikämnet. Denna förordar mindre tonvikt på färdighetsträning och mer arbete med förståelse och kommunikation i matematiken. Den blev också vägledande för förändringsarbetet i många delstater runtom i usa. Det dröjde dock inte många år förrän en motreaktion som förordade mer traditionell undervisning med tonvikt på färdighetsträning växte sig ganska stark. Argumentationen mellan förespråkare och motståndare till reformsträvandena blev allt intensivare och fick namnet The Math War. Efter några år tillsatte det amerikanska utbildningsdepartementet tillsammans med det nationella forskningsrådet för undervisning en kommission för att undersöka vilken forskningsbas det egentligen finns för påståenden om hur matematikundervisning bäst ska bedrivas. Denna kommission bestod av ledande forskare inom bl a matematikdidaktik, kognitionspsykologi och utvecklingspsykologi tillsammans med matematiker, erfarna lärarutbildare och lärare i matematik. Deras arbete resulterade i en bok med titeln Adding it up (Kilpatrick e.a., 2001). I boken tar de ett brett grepp på problematiken, och med utvecklingen av förståelse av och färdigheter med tal som exempel illustrerar de hur modern, företrädesvis amerikansk forskning ser på hur lärande i matematik bäst iscensätts. Ett par exempel är (i vår översättning): En del studier antyder att grunden till skillnaderna mellan elevers prestationer beror på de möjligheter eleverna får, inklusive möjligheterna att gå i inspirerande, effektiva skolor med rimliga ekonomiska förutsättningar och med möjligheter till stimulans att fortsätta sina studier i matematik (a.a. s 143). Om en grupp elever berövas sina möjligheter att lära med förståelse, döms dom till att bli andra ordningens medborgare eller ännu värre (a.a. s 144). I boken argumenterar författarna också för att framgång i yrkeslivet i hög grad beror på förmågan att hantera matematisk information och att lösa problem. Har du inte denna förmåga begränsas dina möjligheter till många kvalificerade jobb ganska drastiskt. I rapporten beskrivs målet med undervisning i matematik som att utveckla det de kallar mathematical proficiency. Detta begrepp är inte helt lätt att översätta. Proficiency innebär att man kan saker och har gott förtroende till det man kan. Så mathematical proficiency innebär väl närmast en kompetens som innebär en god förtrogenhet med matematik och förtroende till den egna förmågan att använda matematik. För att utveckla denna kompetens behöver man utveckla delkompetenser. Men dessa kan inte utvecklas var för sig, utan behöver utvecklas parallellt. Summan av isolerade delkompetenser genererar inte en god helhetlig kompetens. Inte ens delkompetenserna får en hög kvalitet om de utvecklas i isolering, utan det är i sammanflätningen som styrkan ligger. I de här delkompetenserna ingår att man förstår det man gör (conceptual understanding), det ingår också att man har rimligt bra färdigheter (procedural fluency), dvs att man kan göra beräkningar eller algebraiska förenklingar med flyt. Men det ingår också andra saker, t ex strategic competence som omfattar förmåga att lösa problem, förmåga att formulera problem, och förmåga att dra slutsatser av lösningar. Sammantaget kan vi kanske översätta detta till problemlösningskompetens. En annan förmåga som lyfts fram är adaptive reasoning, dvs förmåga att vara logisk och följa logiska resonemang, något vi kan kalla förmåga att motivera och följa matematiska resonemang. En sista förmåga som tas med är det de kallar productive disposition, vilket innefattar förhållningssätt och attityder till att lära och att använda sig av matematik. Den innebär inte bara tilltro till egen förmåga, utan även att man får förtroende till att matematik är något man har nytta av att lära och att det är användbart för att ta reda på saker om världen. Möjligen kan man översätta detta med att ha ett förtroendefullt och nyfiket förhållningssätt till matematiken. Det sistnämnda är det ju tyvärr många elever som inte utvecklar i dagens skola, men som de ur demokratisk synvinkel borde ha rätt att få bättre möjligheter att utveckla. För att utveckla dessa delkompetenser är det alltså viktigt att arbeta med aktiviteter som ger möjligheter att resonera och argumentera, diskutera lösningar och vara intellektuellt aktiv. Aktiviteter där det 16 17

11 kan finnas flera möjliga lösningar, vilka kan utnyttjas för matematiska resonemang, systematik och mönster. Ska vi få till detta står matematikundervisningen inför en mycket stor utmaning, eftersom traditionen vi bedriver matematikundervisning på är så stark och nästan enbart är inriktad på att utveckla rutinfärdigheter. Tittar man på målen i kursplanerna i matematik för den svenska grundskolan och gymnasieskolans kurser, så uttrycker målen att sträva mot en liknande syn på att det är utvecklingen av matematisk kompetens som står i centrum. Om man däremot läser målen att uppnå så är fokus reducerat till nästan enbart färdigheter. Även i andra länder har rapporter skrivits för att ligga som grund för matematikutvecklingen i det egna landet och i Sverige fick Utbildningsdepartementet 2003 i uppgift av regeringen att tillsätta en delegation med uppdrag att utarbeta en handlingsplan med förslag till åtgärder för att öka intresset för matematik och utveckla matematikundervisningen. Rapporten kom ut 2004 och heter Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens, (sou, 2004). I Danmark hade ett likartat projekt startat något år tidigare och resulterade i rapporten Kompetenceudviklingen og matematklæring (Niss & Höjgaard Jensen, 2002). Projektet initierades år 2000 av det danska Naturvetenskapliga Utbildningsrådet och hade som uppgift att starta en utveckling av matematikundervisningen, som eventuellt även kunde påverka utvecklingen av undervisningen i andra ämnen. Arbetsgruppen bestod av 12 personer med olika kopplingar till matematikämnet t.ex. matematiker, matematiklärare från olika stadier, naturvetare och matematikdidaktiker. Rapporten beskriver hur olika matematiska kompetenser tillsammans utgör grunden för matematiskt kunnande. Författarna till rapporten anser att ha matematisk kompetens innebär att kunna förstå, använda och kunna ta ställning till matematik och matematiska verksamheter i en rad olika sammanhang där matematik ingår eller kan komma att ingå. Den övergripande matematiska kompetensen delas in i åtta mer specialiserade kompetenser med egna identiteter som på olika sätt är sammankopplade så att en specialiserad kompetens inte kan uppnås utan hjälp av en eller flera av de andra, se figur 1. De mer specialiserade kompetenser som bygger upp matematiskt kunnande enligt den danska rapporten (Niss & Höjgaard Jensen, 2002) är: Tankegångskompetensen som består i att kunna var klar över vilken typ av frågeställningar som är karakteristiska för matematiken och själv kunna ställa sådana frågor och ha blick för vilken typ av svar som kan förväntas. Det ingår också att kunna förstå skillnaden mellan olika matematiska utsagor som definitioner, satser, antaganden och deras räckvidd eller begränsningar. Problemhanteringskompetensen består i att kunna ställa upp och lösa problem. Problemen ska vara av sådan art att en matematisk undersökning är tvungen för lösningen och inte bara innebära användning av rutinfärdigheter. Det som anses vara ett matematiskt problem är därför inte ett absolut begrepp utan kopplat till personen som ska lösa det. En rutinuppgift för en person kan vara ett problem för en annan person. Modelleringskompetensen består i att kunna analysera och bygga matematiska modeller för situationer som ligger utanför matematikens eget område, dvs. att översätta en situation till matematiskt språk. I kompetensen ligger också att kunna tolka och jämföra modellen med andra modeller samt att kommunicera med andra personer om modellen och dess resultat. Resonemangskompetensen består dels i att kunna följa och bedöma ett matematiskt resonemang och förstå vad ett matematiskt bevis är och hur det skiljer sig från andra matematiska resonemang och dels i att själv kunna tänka ut och genomföra ett resonemang. Resonemanget gäller inte bara matematisk bevisföring utan även resonemang om problems lösningar är korrekta och fullständiga. Representationskompetensen innebär att kunna förstå och använda sig av olika matematiska representationsformer, t.ex. geometriska illustrationer, tabeller, diagram, grafer, muntliga presentationer och konkreta representationer med materiella föremål. Inom kompetensen ingår också att förstå kopplingen mellan de olika representationsformerna och deras begränsningar. Symbol- och formalismkompetensen innebär att kunna avkoda och översätta matematiskt symbol- och formelspråk till naturligt språk 18 19

12 och tillbaka. Kompetensen fokuserar på symbolernas karaktär, status och betydelse och på själva hanteringen av dessa inklusive reglerna för deras användande. Kommunikationskompetensen innebär att kunna förstå och tolka matematisk text eller information samt själv kunna uttrycka sig matematiskt på olika sätt. Exempel på kommunikationskompetens kan visa sig genom att tydligt kunna redovisa och att kunna diskutera en lösning till ett problem, eller att kunna tolka och förstå exempel och uppgifter i läroboken. Hjälpmedelskompetensen innebär att man känner till olika matematiska hjälpmedel och deras fördelar och begränsningar. Som hjälpmedel räknas inte bara miniräknare, datorer och beräkningsprogram utan även tabeller, linjaler, passare, gradskivor, kulramar m.m. Kompetenser och den svenska kursplanen I inledningen av de svenska kursplanerna i matematik och i beskrivningen av grundskolans Mål att sträva mot kan man utläsa kopplingar till flera av de tidigare angivna kompetenserna som bygger upp elevens matematiska kunskap. Några exempel på sådana kopplingar till målen att sträva mot är: Inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer Representationskompetens och Symbol- och formalismkompetensen. Utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande Resonemangskompetens och Modelleringskompetens. Utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen Problemhanteringskompetens och Modelleringskompetens Utvecklar sin förmåga att utnyttja miniräknarens och datorns möjligheter Hjälpmedelskompetens. Utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande Resonemangskompetens och Kommunikationskompetens. Kompetenser och undervisning I ett av de inledande styckena i den svenska kursplanen står det följande: Gemensamt för alla ämnen i grundskolan är att de skall förmedla glädje att skapa och lust att fortsätta lära. I undervisningen skall eleverna få utveckla förmågan att dra slutsatser och generalisera samt förklara och argumentera för sitt tänkande och sina slutsatser. Med utgångspunkt i egna erfarenheter och frågor kan eleven utveckla ett gott omdöme och få känsla för vad som är väsentligt. Figur 1: Illustration av de olika matematikkompetenserna enligt Niss & Höjegaard Jensen (2002) För pedagogen innebär det att vi i vår undervisning och vårt sätt att utvärdera elevernas matematiska kunskap behöver använda arbetssätt som stimulerar och utvecklar de åtta olika kompetenserna som den danska rapporten beskriver eller de fem kompetenserna som den amerikanska rapporten beskriver (för jämförelser se tabell 2). Vi 20 21

13 måste hela tiden ifrågasätta varför vi arbetar med en viss aktivitet i klassrummet och vilka kompetenser den valda aktiviteten utvecklar. Kan vi inte motivera användandet av aktiviteten får vi söka efter andra. Det finns så mycket bra material och tankar om stimulerande matematikundervisning i rapporter, böcker och idéer hos kolleger ute på skolorna att det inte är något problem att hela tiden utveckla de aktiviteter vi använder oss av i matematikundervisningen ett steg till. Som pedagoger måste vi i många fall våga lämna invanda spår som präglats av traditionen inom ämnet och istället få hjälp och möjlighet att ta till oss information om den nya forskningen för att lära oss att använda och arbeta med nya typer av problem som uppmuntrar fler elever till att våga utveckla förmågan att dra slutsatser och generalisera samt förklara och argumentera för sitt tänkande och sina slutsatser. Alla känner glädje i att utmanas och uppleva en ökad självtillit i sitt eget tänkande utifrån den nivå man befinner sig på. Utvecklingsarbetet med att skapa nya arbetssätt är en spännande resa som kan ta lång tid både för eleven och pedagogen. Begreppsförståelse Nyfiken, förtroendefull hållning Goda färdigheter utnyttja miniräknarens och datorns möjligheter Tabell 2: Jämförelse mellan beskrivningarna av matematisk kompetens och den svenska kursplanen i matematik. Rapporterna jämfört med kursplanen Kompetenceudviklingen og matematiklaering Problemhanteringskompetens Tankegångskompetens Modelleringskompetens Resonemangskompetens Representationskompetens Symbol- och formalismkompetens Hjälpmedelskompetens Adding It Up, 2001 Matematisk kompetens: Förmåga att resonera och motivera Problemlösningskompetens Mål att sträva mot i grundskolan intresse för matematik tilltro till det egna tänkandet inser att matematiken har spelat och spelar en stor roll matematikens uttrycksformer förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera argumentera för sitt tänkande formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska modellernas förutsättningar 22 23

14 Matematikundervisning i det interkulturella och flerspråkiga klassrummet Hela världen representerad i klassrummet En ny utmaning har kommit in i det svenska matematikklassrummet under de senaste decennierna genom att många elever har ett annat modersmål och en annan kulturell bakgrund än den svenska. I vissa skolor kan det finnas upp till 95 % av eleverna som har ett annat modersmål än svenska. Dagens klassrum kan innehålla lärare och elever med olika språkliga, kulturella, religiösa och sociala bakgrunder. En demokratisk rättighet måste då förstås vara att varje lärare ser de enskilda eleverna utifrån deras egna erfarenheter, och inte bemöter dem utifrån schabloniserade kategorier såsom svensk eller invandrare. Statistik från Skolverket har under flera år visat att elever med annat modersmål än svenska och/eller annan kulturell bakgrund är överrepresenterade bland de elever som inte når målen i skolans matematikundervisning. Enligt pisa 2003 och 2006, visar det sig också att första generationens invandrare i Sverige presterar lägre i matematik än jämförbara elevgrupper i andra länder (Skolverket, 2007). Det var också nästan 50 % av denna elevgrupp som inte nådde upp till den lägsta av undersökningens nivåer. Däremot har det visat sig att elever som är födda i Sverige av utländska föräldrar inte klarar sig sämre i olika ämnen, inklusive matematik. I detta kapitel görs ett försök att lyfta fram olika orsaker till detta faktum, problematisera dessa och ge åtgärdsförslag utifrån forskningsresultat och beprövad erfarenhet. Matematikens mångkulturella ursprung Det matematikinnehåll som finns beskrivet i kursplanerna och som är vårt uppdrag som lärare att behandla, är i sig tvärkulturella. Mate- matikens rötter har sitt ursprung i människors upptäckter och behov av att skapa redskap och förstå och se mönster i sin omvärld, likaväl som att hantera och hitta principer för fördelning av t ex skatter och landområden. Men matematiken har också spelat roll inom design och utsmyckning av olika föremål. Denna utveckling har skett och sker inom alla kulturer, och detta kan vara en utgångspunkt för matematikundervisningen. Det kan ske genom att eleverna får arbeta med matematiken via en historisk metod där målet är att i någon mening låta elever återskapa eller återupptäcka matematiken eller genom att ta upp exempel på matematik från olika kulturer. Elevers erfarenhetsbakgrund I mångkulturella klassrum finns det en stor erfarenhetsbakgrund som arbetet med att lära sig olika begrepp kan knyta an till. Det kan handla om fritidsaktiviteter, leksaker, mat, lekar, spel mm. Kanske har eleven t ex förståelse för ett visst matematiskt begrepp men saknar det svenska ordet. För tvåspråkiga elever, vinner elevens båda språk på att utvecklas parallellt med lärandet i ett ämne, alltså även i matematik. För att stötta inlärningen bör läraren skapa tillfällen där det ges utrymme för en mer varierad och dialoginriktad interaktion i matematikundervisningen. Men enligt Lindberg (2002) finns det många myter som figurerar om tvåspråkighet. En är att forskarna är oeniga. Den slår hon hål på genom att lyfta fram Thomas och Colliers longitudinella studier från USA. Dessa visar att satsningar på modersmålet har en avgörande betydelse i positiv riktning för tvåspråkiga elevers skolframgång. Resultaten understryker att man lär sig bäst på det språk man förstår. Elever som inte behärskar undervisningsspråket har följaktligen sämre förutsättningar än enspråkiga elever att lyckas nå målen för matematik i skolan. En annan myt är att språk bör hållas isär. Som argument mot denna myt kan kunskapen om att flerspråkigas språkanvändning skiljer sig från enspråkigas lyftas fram. Språken hos en flerspråkig elev utvecklas inte likartat eftersom eleverna använder sig av sina olika språk i olika sammanhang. Språken kompletterar varandra. Det som eleven inte klarar av på det ena språket kanske han klarar av bättre på det andra. Vilket språk man väljer sker spontant

15 Svårigheter i språket Vilka svårigheter kan det då finnas med att lära sig matematik på ett främmande språk? Elever kan ha luckor i sitt språk för ord som är vanliga inom matematiken som exempelvis cirka, ungefär, knappt, drygt, mitten, mitt emellan, mellan och halv. Även jämförelseord som mer, mest, fler och flest, många, mycket, högre eller högst brukar kunna ställa till problem. Ett annat exempel på möjliga svårigheter, men där det också finns möjligheter till språkutvecklande diskussioner, är ord med olika betydelser inom matematik och i vardagen. Exempel på sådana ord är axel, bas, volym, tal och bråk. Att inte förstå texten i matematikuppgifter påverkar elevens självkänsla vilket i sin tur påverkar elevens förmåga att klara målen i matematik (Linnanmäki, 2002). Möllehed (2002) visade i sin avhandling om problemlösning, att textförståelse är den faktor som påverkar problemlösningsprocessen allra mest. Han visade då också hur ett undersökande och laborativt arbetssätt främjar elevens språkutveckling, eftersom diskussioner kring ord och begrepp då ges möjlighet att uppstå spontant i form av frågor som Vad heter? Vad betyder? Hur kan man förklara? Finns det något annat ord för? Om eleven också blir medveten om hur ett skrivet matematikproblem är uppbyggt ger det henne ytterligare ett instrument för att förstå textens innebörd. Matematiktexter kan vara svåra att förstå på grund av att de saknar s.k. sambandsmarkörer. Exempel på sådana är uttryck som för argumentation vidare som exempelvis därför blir, därav följer, alltså kan vi dra slutsatsen att etc. Texterna är också ofta fattiga på redundant eller annan överflödig information eftersom ambitionen att minska möjliga feltolkningar, är att göra dem så entydiga som möjligt. Som exempel kan nämnas att när nationella provuppgifter genomgår en andraspråksgranskning, händer det ofta att uppgifterna byggs ut istället för att göra dem kortare. Det är alltså inte alltid lättare att förstå en text för att den är kort. Flera exempel på detta ges i häftet Mer än matematik (Myndigheten för skolutveckling, 2007). I denna finns också ett bra stöd för vad man som lärare bör tänka på när man formulerar en matematikuppgift. Det finns många faktorer som kan påverka flerspråkiga elevers matematikutveckling. Det har visat sig att en avancerad språkbehärskning som krävs för att utveckla och förstå skolämnen tar många år att lära om det sker isolerat ifrån ämnena. Matematikutvecklingen behöver också bygga på tidigare erfarenheter både av den informella matematik man har med sig samt eventuell tidigare skolgång i hemlandet. Ett problem när invandrarelever kommer till den svenska skolan är att det ofta endast fokuseras på det svenska vardagsspråket och den svenska skolkulturen. Detta medför att eleven ofta missar möjligheten att få utvecklas i matematik med utgångspunkt från den språknivå eleven just då befinner sig i. Det läggs ofta stort fokus på att eleven ska lära sig tillräckligt med svenska innan de på allvar får börja med andra kärnämnen. Under tiden utvecklas inte de matematikkunskaper som eleverna hade med sig från sitt hemland. För att eleven ska utveckla förståelse för matematiska begrepp och matematikens språk, är det nödvändigt att eleven ges möjligheter att reflektera över och kommunicera om och med de begrepp som studeras, såväl muntligt som skriftligt. Man behöver kunna föreställa sig en mental bild av olika begrepp för att kunna lösa problem och generalisera matematiska begrepp. Detta blir extra svårt om man inte behärskar undervisningsspråket. Om man har en tvåspråkig undervisning innebär det att eleven får möjlighet att fortsätta sin matematiska utveckling istället för att först utveckla tillräckliga språkfärdigheter för att kunna delta i en undervisning på svenska. Läraren har också större möjligheter att knyta an undervisningen till elevens informella och kulturella matematikkunskaper och att välja ett innehåll som uppfattas som relevant av eleverna. Förståelsen är något som ibland definieras som förmågan att se hur något är relaterat till och/eller förknippat med något annat som vi redan kan. Ju fler relationer vi kan etablera, för att hänga upp saker på, desto bättre utvecklas förståelsen. Förståelse blir då inte något som man har eller inte har, utan något som hela tiden förändras och utvecklas. Kopplingen mellan nya och befintliga begrepp måste vara tydlig för eleven. Möjligheterna till den kommunikation och reflektion som är nödvändig för att eleverna ska lära matematik med förståelse är större om eleverna kan använda sitt modersmål i kommunikation med kamrater och lärare. I en tvåspråkig undervisning kan elevernas tvåspråkighet bli en resurs genom att de kan använda båda sina språk för att utveckla och befästa begreppsbildning och för att underlätta arbetet med kognitivt krävande uppgifter, samt för att utveckla de matematiska begrepp som eleven förstår på de båda språken. I en matematikundervisning på majoritetsspråket är det ett stort problem att många av eleverna dels är ifrån olika kulturer med olika modersmål och dels att de kan befinna sig på olika nivåer i sin utveck

16 ling av det språk undervisningen bedrivs på. De befinner sig givetvis också på olika nivå när det gäller matematisk förmåga. Som lärare kan man alltså inte se elever som en homogen grupp invandrare, de är alla individer med olika språkliga och kulturella erfarenheter i bagaget. Olika kulturer har också sitt så kallade register, dvs. termer och begrepp som är specifika för att beskriva matematik. Det kan också finnas språkliga hinder att ta sig över när det gäller uppgifternas uppbyggnad och formulering. Exempelvis, om man kommer ifrån ett spansk- eller portugisisktalande land så har talen mellan strukturen ett-tio, två-tio osv. Men när man kommer till 16 och 17 så blir det på spanska tio-sex och tio-sju. Om man tittar på franskans tjugotal så är det annorlunda t.ex. säger man 99 som fyra-tjugo-tio-nio. Med andra ord, för att åstadkomma en riktigt god utveckling av sitt andra språk, krävs ämnesundervisning på två språk. Det är viktigt att samtidigt som man inom matematiken bygger upp hållbara resonemang och begreppsförståelse på sitt modersmål också utveckla sitt andra språk. När man kommit över en viss kunskapsnivå både inom matematiken och inom de språk man arbetar med, så kan man med fördel successivt övergå till matematikundervisning på sitt andra språk. En modersmålslärare uttrycker att ett stort problem är att en del elever som kommer till Sverige har mycket begränsade erfarenheter av skolgång i bagaget. Det kan bero på att det har varit viktigare att fokusera på andra saker eller på att deras kultur inte stimulerat deras skolgång. Dessa elever kan ha ett ofullständigt modersmål, som gör det svårt att kommunicera och att förstå vad de kan inom matematiken. En del av dem har en svag språkförståelse även när det gäller deras modersmål. De kanske inte har läst böcker eller knappt kan skriva. I dessa fall har modersmålslärarna en stor uppgift att försöka ta reda på de informella kunskaper eleven har eller inte har. Det kan också vara stor skillnad på elever som kommer till Sverige med samma modersmål. De som gått i skola i en större stad och kommer ifrån ett östeuropeiskt land, har ofta goda skolkunskaper om de läst på en högre nivå. Deras skolgång är då också ofta väldokumenterad. För att de nyanlända eleverna ska få utvecklas utifrån sina erfarenheter och förutsättningar krävs ett tätt samarbete mellan matematikläraren, modersmålsläraren och sva läraren. Modersmålslärarna kan i detta sammanhang vara till stor nytta. Detta kräver emellertid att de är väl förtrogna med matematiska begrepp på båda språken. De måste också klara det svenska språket. Ett problem är att det i en klass ofta finns elever med flera olika modersmål. Om det finns parallella årskurser på en skola, finns det alltid en möjlighet att försöka dela upp olika språkgrupper i olika klasser, för att utnyttja modersmålslärarna på bästa sätt. Modersmålsläraren kan också vara ett stöd för matematikläraren, när det gäller diskussioner kring ett specifikt innehåll med anknytning till elevernas hemland. Viktiga frågor att ställa sig blir; Vilka uppgifter i böckerna är svåra att förstå för elever med andra kulturella erfarenheter? Kan vi göra om uppgiften men få samma matematiska utmaning? Som lärare är det viktigt att skapa möjligheter för att få eleven att känna att matematikundervisningen är betydelsefull och begriplig. I ett projekt med lågstadiebarn utgick man från elevernas egna berättelser om upplevelser utanför skolan, t.ex. en semesterresa. Eleverna fick formulera egna frågor för att utveckla sin matematiska begreppsförståelse och sitt matematiska språk. Det är viktigt att uppmärksamma att en anknytning till elevernas vardag inte behöver vara detsamma som vardagsmatematik. Vardagsmatematik i läroböckerna handlar ofta om målning, tapetsering eller banklån, dvs. den vuxnes vardag. Genom att låta eleverna skapa problemställningar utifrån sina intressen kan matematikens uttryck och begrepp få en mening som berör dem mer. Matematik på modersmålet Under genomfördes ett projekt i Stockholm där tvåspråkiga elever (arabiska /svenska och somaliska /svenska) fick möjlighet att få matematikundervisning på två språk (se Norén, 2007). Syftet var att höja matematikkunskaperna hos eleverna. Projektet omfattade ett samarbete mellan modersmålslärare, tvåspråkiga lärare och klass- eller ämneslärare. Dessutom gjordes extra insatser inom matematikämnet för såväl pedagoger som elever. Utvärderingen av projektet visade att eleverna tyckte att de lärt sig mer och att matematiken hade blivit roligare. Några av eleverna som gick sista terminen i årskurs 8 och hade haft tvåspråkig matematikundervisning sedan höstterminen i åk 7 uttryckte att de upplevt frustration över att de tidigare inte fått studera matematik på den nivå som de var kapabla till när de kom till Sverige. Enligt deras uppfattning hade de fått lösa enkla uppgifter utan något sammanhang för att de inte klarade undervisningsspråket i klassrummet utifrån matematikböckerna. De hade 28 29

17 också tidigare fått gå i förberedelseklass där fokus framförallt legat på att de skulle lära sig svenska. En flicka berättar att när hon kom till Sverige i mitten på åk 4 fick hon gå i förberedelseklass i 2,5 år utan att ha speciellt mycket matematikundervisning. När hon började på högstadiet fick hon arbeta i boken som alla andra. Det blev givetvis svårt att komma ikapp och utveckla någon tilltro till sin egen förmåga. Efter att hon börjat i den tvåspråkiga undervisningen i åk 9 blev matematik roligare och lättare att förstå och hon fick ett ökat självförtroende och ökade kunskaper i matematik. Den tvåspråkiga undervisningen innehåller diskussioner och träning av elevernas begreppsförståelse på båda språken. I utvärderingen påpekar en del av eleverna att det varit positivt att de inte har varit lika många som i den vanliga klassen, vilket inneburit att de får mer hjälp. Av de elever som gick i tvåspråkig undervisning under projektet säger alla att det har varit lättare att hänga med. Man har alltid två språkalternativ och det är positivt med en lärare som förstår ens bakgrund. Även efter projektet uttrycker några elever att de inte gillar matematik, men att de klarar av det när det sker på modersmålet. Elever i åk 9 påpekar att det är läraren som ska bestämma om man ska ha tvåspråkig matematikundervisning eller inte, eftersom eleverna inte vet vad som är bäst för dem. Eleverna uttrycker att läraren spelar stor roll liksom de undervisningsmetoder som används. En elev hade tidigare gått i en annan svensk skola med endast individuell undervisning i matematik. Man räknade enskilt och bad om hjälp om man behövde. Eleven hade fått ig i betyg. Tack vare den tvåspråkiga undervisningen med kommunikation på modersmålet presterade han nu på vg-nivå, på gränsen till mvg. Eleverna uttryckte också att deras modersmål fått högre status i och med den tvåspråkiga undervisning i matematik, vilket har lett till att fler vill delta i modersmålsundervisningen. Eftersom vissa elever tidigare endast undervisats på svenska under flera år har de oftast inte blivit förtrogna med de matematiska uttryck som finns på modersmålet. Men i vissa språk kan det finnas problem även med denna undervisningsform. Exempelvis, det somaliska språket har inte haft ett utvecklat skriftspråk förrän i början på 1970-talet vilket inneburit att det inte funnits en skriftlig matematisk terminologi. Den somaliska läraren löste detta genom att benämna och förklara matematiska begrepp på svenska och med flera somaliska ord. Det har också visat sig att det inte endast räcker med att byta undervisningsspråk. Uppgifterna behöver också finnas i ett sammanhang som är bekant för eleverna. En relativt enkel uppgift skulle lösas av fem elever i år 4 som har arabiska som modersmål. Uppgiften i boken var formulerad på följande sätt: I ett litet torp bor Axel Olsson. Men de flesta känner nog honom som Mister Jago, utbrytarkungen. Nu har han dock slutat sin artistbana och återvänt till sitt barndomshem, där han föddes Vilket år fyllde han 75 år? En uppgift som denna blir mycket svår för eleverna, trots att det är ett enstegsproblem med en ganska lätt räkneoperation. Det visar sig att ingen av eleverna förstår sammanhanget även när de får det förklarat för sig på arabiska. Vad är utbrytarkung, torp, artistbana och barndomshem? Uppgifter som denna behöver formuleras om så att de belyser elevernas vardag och erfarenhet. Utvärderingen av projektet (Norén, 2007) har genomförts dels genom klassrumsobservationer, intervjuer av elever, lärare och skolledare och ger en hel del exempel på hur en tvåspråkig undervisning gynnar elevernas utveckling i matematik. Resultaten överensstämmer med tidigare forskning inom området. Men det är inte bara språket utan också andra faktorer som spelar in. Exempelvis ger eleverna uttryck för att de känner sig trygga i den lilla tvåspråkiga gruppen och att deras kultur, språk och erfarenheter tas tillvara upplevs som positivt. Att eleverna i projektet numera tycker om matematik kan också bero på att de upplever att deras lärare känner till deras tidigare skol- och livssituation. Flera elever i nian tvivlar på att de skulle blivit godkända i matematik, om de inte fått undervisning på sitt modersmål. Här blir modersmålet en tillgång och inte ett hinder i undervisningen och matematikutvecklingen

18 Problem med traditionen? Finns det alternativ? om man tittar närmare på svensk matematikundervisning av idag, så dyker några frågor upp. Varför har så många elever svårt med matematik? Varför tycker svenska elever i åk 7 att matematik är viktigt och lätt men att det är betydligt svårare bara något år senare? Varför hittar skolverkets bedömargrupp så lite lust att lära i matematikämnet (Skolverket, 2003)? Sådana frågor leder rimligen till att det finns skäl att undersöka svenska undervisningstraditioner i matematik. Vad är matematik i skolan? traditionen Vad skall elever lära sig i matematik och i vilken ordning ska vi lärare arbeta med olika begrepp? Matematik är som ämne hierarkiskt uppbyggt, först kommer definitioner och axiom, sedan satser av olika slag, nya definitioner och nya satser, allt byggt i en strikt logisk ordning. Denna ordning, där begreppen bygger på varandra, där en ny färdighet förutsätter att andra tidigare färdigheter har erövrats, präglar i hög grad den tradition vi i Sverige har när det gäller att undervisa i matematik. Det är då naturligt att exempelvis, först börja med att mäta längd, för att sedan gå vidare med area, och så småningom volym. Men ser man till barns erfarenheter, så börjar de med att hantera tredimensionella föremål redan som mycket små barn. Dessutom kan man påstå att begreppet area är mer abstrakt än t ex volym. Modern forskning visar också att barns sätt att erövra matematisk kompetens inte alltid följer den gång som matematiska teorier följer. Men i den traditionella undervisningen planeras och byggs matematiken ofta upp enligt ämnets karaktär och logik. Målet med undervisningen är att den ska ge eleverna bestämda färdigheter och kompetenser att lösa olika standarduppgifter, som att beräkna area och volym eller att behärska procentuppgifter av olika slag. Vad som ska läras tas ofta för givet och formuleras i termer av att behärska färdigheter och att förstå begrepp. Om konkret materiel används i undervisningen så är det för att konkretisera och illustrera begreppen, reglerna eller metoderna. I traditionen ligger också att vi först måste lära oss att lösa vissa rutinuppgifter genom att tillämpa de färdigheter vi lärt, innan vi så småningom kan använda dessa kunskaper för att lösa något svårare problem. Så problemlösningen kommer på slutet, som en tillämpning på det man lärt, om den kommer in överhuvudtaget. Eller blir problemlösningen mer av typen knep-ochknåp-uppgifter eller kluringar, som sällan innehåller den stimulans som krävs för att utveckla ett matematiskt tänkande som är centralt enligt kursplanen. Sättet vi undervisar på har fokus på att lära ut. Detta gör vi ofta genom att introducera en problemställning, för att i direkt anslutning visa hur man gör för att lösa den. Elevernas uppgift blir att lära sig metoden genom att pröva det på exakt likadana problem. Man kan i detta sammanhang tala om ett undervisningsschema, som vi valt att kalla Visa före Göra efter (vfge). Denna metod att lära matematik har uråldriga anor. Den finns också i några av de äldsta matematiska dokumenten såsom den egyptiska Rhind-papyrusen. Här ges problem och metoder för att lösa dem, men utan några förklaringar. Med grekerna och Euklides banbrytande skrift Elementa kommer även bevis in i framställningen. Men i lärobokstraditionen dominerar VFGE utan att elever egentligen stimuleras till att först få möjlighet att pröva sina egna tankar på nya typer av uppgifter. När grunderna lagts är det så dags för något svårare uppgifter där man behöver använda flera färdigheter samtidigt, och eventuellt från olika områden av skolmatematiken. På detta sätt blir problemlösning oftast en tillämpning av inlärda tekniker eller formler. I traditionen ligger också att övning och repetition ger färdighet. För att nöta in en färdighet behöver man öva likadana uppgifter, ju fler desto bättre, tills man behärskar färdigheten. Det fungerar ungefär som skalövningar när man lär sig spela ett instrument. Om man har det svårt finns det inga genvägar utan man behöver bara fler uppgifter att öva på. Eventuellt kan man dela upp färdigheten i mindre moment och 32 33

19 öva dem var för sig. Sedan har vi t ex en tradition på att öva översättning av procent till decimaltal eller olika enhetsbyten, utan någon koppling till en praktisk kontext eller förståelse. Vad får då eleverna med sig från denna tradition? Magdalene Lampert har beskrivit vilket implicit lärande denna undervisningstradition ger eleverna (Lambert, 1990). Hennes fokus är, det är det vi inte säger, som eleverna ändå lär sig genom vårt sätt att organisera undervisningen. Att lära sig matematik innebär att lära sig följa de regler läraren eller boken visar, att kunna matematik innebär att komma ihåg och kunna använda rätt regel för rätt typ av uppgift. Undervisningen bygger på principen; antingen kommer eleverna ihåg hur man gör eller så kan de inte lösa uppgiften. Kommer man inte ihåg en formel exakt, har man inga medel för att härleda ens de enklaste samband, och därför är man beroende av en formelsamling. Om en lösning är rätt eller fel kan eleverna inte avgöra själv, utan man behöver hjälp av en auktoritet, antingen av läraren eller av facit. Matematik är ett ämne man lär sig genom att lyssna noga och öva flitigt på de uppgifter man får. Det implicita lärandet kan också innebära att eleverna upplever att matematik är inget för dom, att det är för svårt och obegripligt och man aldrig får veta varför en metod fungerar. För en annan individ kan den implicita slutsatsen vara att matematik är lätt, man behöver inte jobba speciellt mycket. Det finns idag många elever på alla stadier i skolsystemet som inte utmanas speciellt mycket i matematiken. Det finns också en speciell attityd som är belagd i usa, men som de flesta lärare säkert känner igen även från Sverige, nämligen uppfattningen att i matematik så vet man för att man är smart eller så är man inte smart och då kan man inte. Framgång i studierna uppfattas framförallt bero på personliga egenskaper. Denna attityd skiljer sig radikalt från den som dominerar i exempelvis i Japan, där de flesta elever anser att framgång i matematik beror på om man arbetat mycket med studierna eller inte. Om man har en uppgift som är svår att lösa behöver man arbeta med den och har man bara tålamod så ger detta ofta resultat. Måste då undervisningen i matematik präglas av denna tradition och borde inte våra elever ha rätt att möta en annan typ av undervisning? Frågan är vilka alternativ som finns för att matematikundervisningen skall upplevas som mer lustfylld och lärorik. En utgångspunkt kan vara att se på hur matematiker arbetar. Matematiker har ju valt att ägna sitt arbetsliv åt matematiken. Vad är det som engagerar dem? Det första man kan konstatera är att det inte finns någon som visar vägen även om olika matematiker inspirerar varandra. Tonvikten ligger inte på att göra efter utan på att skapa ny matematik. Matematik är ett av de största forskningsområdena i världen. Ny matematik formuleras ständigt i form av teorier, metoder och tilllämpningar. Det som driver utvecklingen är olika problemställningar som matematiker själva formulerar. Så det är i grunden problemlösning som driver det hela. Som matematiker formulerar ofta du själv vad du vill undersöka, och så ser du vad som händer. Du formulerar hypoteser och försöker bevisa dem. Upptäckandet har på detta sätt en mer induktiv karaktär, vilket bl.a. den kände ungersk-amerikanske matematikern George Polya påpekade, medan redovisningen av resultat helt präglas av en deduktiv framställning med stora krav på entydighet och logisk klarhet. Vilka implikationer har då detta för matematiken i skolan? En slutsats man kan dra är att det är problemlösning som skulle kunna vara den centrala aktiviteten. Istället för en matematikundervisning där alla väsentliga problem redan är lösta, bör barn få erövra och utveckla sin förmåga att lösa problem och att tänka matematiskt. Man skulle kunna utgå från att kultivera och vidareutveckla de grundläggande matematiska förmågor som även små barn uppvisar, såsom förmågan att se mönster, dra slutsatser och ställa hypoteser. Problemlösning skulle kunna vara den grundläggande aktiviteten i skolans matematikundervisning med problemställningar som utgår från en situation som är konkret för eleverna. En sådan undervisning kunde också framhålla flera olika sätt att lösa problem, så att lösningar och lösningsmetoder kan bilda underlag för diskussioner med ett matematiskt innehåll. På detta sätt kan eleverna få nya erfarenheter som hjälper dem att förstå nya problemställningar och metoder, och ger dem erfarenheter som fördjupar deras förståelse av olika begrepp. Matematik i förskolan I förskolan har vi i Sverige under lång tid haft en tradition med mycket litet fokus på matematik. På senare år har detta problem också uppmärksammats alltmer. Många förskollärare är emellertid osäkra på hur de ska hantera matematiken både i förskolan men också i förskoleklassen. Dagens situation speglar egentligen en gammal konflikt som handlar om när barn ska börja med matematik. Å ena sidan kan barn visa upp och ge uttryck för förvånansvärt avancerade matema

20 tiska resonemang, om de bara får möjlighet och stimulans att göra detta. Å andra sidan är skoltraditionen i matematikundervisningen oftast för symbol- och färdighetsfixerad för att passa de traditioner förskolan har att arbeta med. En av föregångsmännen och skaparen av förskolan och kindergarten var Friedrich Fröbel. Han skapade och föreslog aktiviteter på förskolan som var matematiskt präglade. Men egentligen inte utifrån antalsbegreppet, utan mer när det gäller att utveckla en god rumsuppfattning och ett gott sinne för mönster och symmetrier hos barnen. Det handlade om att på ett informellt sätt och med hjälp av konkret materiel ge barnen goda erfarenheter en god grund. Ett exempel utgörs av en garnboll. Den kan man kasta och leka med, men man kan också rulla den på golvet, och då beskriver den en rät linje. Det är mycket i det matematiska innehållet hos Fröbel som kan kännas ganska modernt, men ramen det är satt i är helt klart en annan tid. I usa hade kindergarten stora framgångar men ganska snart kom det kritik från s.k. sociala teoretiker, dvs. personer som studerade vilken roll uppfostran spelade i samhället. De var ofta mycket skeptiska till att barn skulle börja med matematik i tidig ålder. Utgångspunkten för denna kritik var erfarenheterna av den formella matematikundervisningen i skolan. Enligt kritikerna ska få ha rätt att vara barn och då är leken det viktigaste redskapet för utveckling. Att utveckla matematisk förmåga ingick inte i rätten att vara barn. Idag är forskning om barns matematiska utveckling ett väldigt aktivt område. Framför allt är det kognitiva psykologer och utvecklingspsykologer som är aktiva inom detta område. Man vet att utvecklingen av informella kunskaper i matematik börjar mycket tidigt, redan under de första två levnadsåren. Därefter verkar det som om erövringen av räkneorden och dess användning är viktiga för att barn ska utveckla ett antalsbegrepp. Forskningen visar betydelsen av den informella kunskapen. Små barn kommer med informella erfarenheter till förskolan och dessa erfarenheter kan se väldigt olika ut. Detta beror på vilka socioekonomiska förhållanden barnet växer upp under och vilken stimulans syskon, föräldrar och andra vuxna kan ge. Förskolan är alltså ur ett demokratiskt perspektiv viktig för att kompensera barns tillgång till den typ av informella erfarenheter som kan ligga till grund för att lärandet i matematik senare inte ska bli för övermäktigt. Därför är det viktigt att de nya målen i förskolan kan fokusera just utvecklingen av sådana informella kunskaper i matematik. Exempel och erfarenheter från undervisning Introduktion Med utgångspunkt i vårt uppdrag adresserar detta avsnitt särskilt följande frågor: Hur kan man bryta trenden i att matematikkunskaperna minskar i den svenska skolan? Hur kan man få barn och elever som tappat intresset för matematik att komma tillbaka? Hur kan man möta alla barn och elever på sin nivå och hur kan man stimulera deras matematiska tänkande? Några av deltagarna i tankesmedjan har provat på några olika arbetssätt, med olika lärarroller och elevroller samt sätt att organisera undervisningen på för att få ett underlag till att diskutera ovanstående frågeställningar. Arbetet har inneburit en lång process vilken inte alltid varit problemfri. Varje nytt ställningstagande har också gett nya erfarenheter, skapat idéer eller nya problem. I huvudsak har arbetet varit inriktat på att prova uppgifter med s.k. öppna eller rika problemställningar. Enligt vår uppfattning, innehåller denna typ av problemställningar potentialen att adressera problemen i punkterna ovan. Med öppna problem (open-ended questions) menar vi frågeställningar som har flera möjliga svar. Problemen kan leda till mer eller mindre rik matematik. Problemen ska vara så pass konkreta att alla elever kan komma igång med dem och ha möjligheter att hitta någon lösning. Med rika problem menar vi problem som kan leda till rik matematik. Dessa är oftast möjliga att uttrycka som generella samband ofta med hjälp av algebraiska uttryck. Ledtrådsuppgifter 36 37

21 är en annan typ av uppgifter som vi använt. De är gruppuppgifter där olika påståenden, som utgör ett led i att stimulera samarbetet kring problemlösning, presenteras med hjälp av ledtrådar. Uppgiften är därför från början mycket öppen men blir mer sluten efter hand som nya ledtrådar presenteras. Man kan vanligen inte lösa problemet utan alla ledtrådarna och det kan förekomma information som är överflödig. Vi kommer nu presentera några exempel från olika elevgrupper. Exempel från särskolan Sängar på vandrarhem: Vi ska sova på vandrarhemmet i Järnavik och där finns 30 sängar. Vi är trettio personer. Hur står sängarna? Hur många rum finns det? Vad tror Du? Ni får remsor som symboliserar sängarna. Mål med uppgiften: Eleverna ska fundera över olika lösningar och diskutera med varandra. Eftersom det fanns både flickor och pojkar och en för oss okänd busschaufför i gruppen medförde det vissa hänsynstaganden. Genomförande: Eleverna arbetade tre och tre och diskuterade och flyttade remsor. Detta resulterade i följande: Förslag 1: Ett rum till busschauffören. Ett rum till flickorna, som får en fröken också. Resten fördelas på fyra rum med sex sängar i varje. Då blir en kille utan säng, så han får ta sin madrass och sova på golvet hos busschauffören eller i ett annat rum. Slutsats: Då finns det sex rum i huset. Förslag 2: Sex rum med fyra sängar i varje rum. Ett rum med sex sängar. Slutsats: Då finns det sju rum i huset. Förslag 3: Det finns nog bara två sängar i varje rum! Slutsats: Då har huset 15 rum. Eleverna tänkte hela tiden i våningssängar, vilket visade sig vara en riktig tanke. Några av eleverna var kunniga i division och använde sig av det. Eleverna redogjorde till slut för hur de tänkt, i den mån de kunde. En del av eleverna hade mycket svårt att förklara hur de tänkte. Tidningsexemplet: Vi får tjugo exemplar av Sydsvenska Dagbladet och tio av Skånska Dagbladet till skolan varje dag. När vi använt dem lägger vi dem i en prydlig hög och kör till slut allt till pappersinsamlingen (Bilden får man tänka sig själv). Nu ska eleverna jobba två och två, och läraren delar upp dem. Vi har en hel hög med tidningar därute. Hur många tidningar är där? Räkna inte utan gissa! Genomförande: Eleverna gick ut i korridoren och diskuterade hur många det kunde vara. Varje grupp skrev upp hur många de trodde att det fanns. Viss besvikelse kom när läraren inte hade rätt svar : Vi började med gruppen som hade gissat 120 tidningar. Vi har dubbelt så många sydsvenskor som skånskor. Hur många ex finns det då av Skånska Dagbladet? var frågan. Lösningsexempel: Dubbelt och hälften ställer till mycket bekymmer och det kommer många förslag. Eleverna kollar genom att lägga ihop. Vi lägger samman och konstaterar att det inte stämmer. Om vi ändå gissat på 150, säger plötsligt en elev. Varför hade det blivit lättare Jo, men då hade det ju blivit 50 och 100, det ser man ju. Fortsätt tänk så, fast med 120 i stället. En annan elev tog tacksamt emot tipset och delade sen 120 i tre delar. Varför delar han i tre delar? Det är ju hälften och dubbelt vi pratar om och då är det väl inte tre han ska dela i, tyckte någon. Dubbelt är ju två gånger och hälften, då delar man ju mitt itu, funderade någon högt. Exempel från förskolan Projektet Längd: Med utgångspunkt från barnens mätande med meterstav vid tillklippning av garn till sina vävar, kommer diskussionen in på begreppet längd. Vad vet barnen om längd? Detta var något vi ville ta reda på och bestämde oss för att arbeta med i våra grupper. Projektet kom att vara i ca 3 veckor i den s.k. skolförberedande gruppen med 38 39

22 13 st 5-åringar. Det inleddes med frågan: Vad är längd? Barnen gav varierade svar som stort, tjockt, långt, kort och smalt. Pedagogerna rättade medvetet inte de barn som sagt fel, utan de ville se om barnen längre fram i projektet tagit till sig av arbetet i gruppen och kunde använda rätt begrepp. De fortsatte med att ställa frågan: Hur kan man ta reda på hur långt eller kort någonting är? Flertalet av barnen ryckte på axlarna, men tre av dem kom med följande förslag: Man kan använda pappameter (som ett av barnen nämnt att hans pappa använder för att mäta möbler). Man mäter med siffror, alltså man tar ett måttband och mäter. Man kan mäta rygg mot rygg också. Vi ställer oss rygg mot rygg och så mäter vi hur långa eller korta vi är! Barnen kom överens om att ta reda på vem som var kortast eller längst. De tog själva initiativ till att börja mäta och jämföra och till slut stod de i rätt storleksordning. När det var klart utbrister ett av barnen: Nu mäter vi. Vad ska vi mäta då? Hur långa vi är tillsammans! Vi går ut i korridoren och lägger oss efter varandra. Ja sen kan vi stå bredvid varandra, svarar ett annat barn. Vad är det då vi tar reda på? Vad som är störst eller minst! Barnen rusar ut i korridoren och börjar arrangera hur de ska ligga och vem som ska mäta. Det blir fröken som får mäta. Resultatet blev att när de låg ner efter varandra mätte de 20,5 m och när de stod upp bredvid varandra mätte de 2,5 m. Barnens reaktion var häftig och de började diskutera hur det kunde komma sig att det blev så olika resultat. De kom fram till att de var ju mycket längre på höjden och de var ju smala över magarna! Efter avslutad mätning kom våra Hoppande grodor fram (ett spel för 2 6 år) som barnen skulle få leka längdhopp med. Vårt syfte var att barnen skulle få öva sig på att använda begreppen kortast längst. Några av grodorna ville inte hoppa längdhopp utan de flög upp i luften varpå ett av barnen säger: Min groda vill inte hoppa långt, den hoppar höjdhopp istället! Följande dag har pedagogerna ett måttband, en linjal och en tumstock med sig till samlingen. Utrustningen placeras bredvid fröken för att se om barnen själva tar initiativ till att använda dem. Barnen fick nu fria händer att skapa sina egna höjdhoppställningar och det mättes och ändrades hel tiden. Diskussionen var livlig emellan barnen om hur högt deras grodor hoppade. Barnen var så engagerade i detta att det gick ett sus i rummet när det var dags för lunch. De ville inte sluta. Senare under dagen i den fria leken, togs den stora gymnastikmattan fram och barnen var i full färd med att hoppa längdhopp och höjdhopp och de hjälptes åt att mäta. Sammanfattning: Redan efter två dagar förstod barnen sig på att använda uttrycken långt och kort och de var intresserade av allt som gick att mäta. Många av barnen kände också till olika mätinstrument som linjal, måttband och tumstock. Under de tre veckor projektet pågick blev barnen varse att man även kan mäta med andra hjälpmedel, t ex olika föremål. Att man kan vara 3 pennor lång som nyfödd och 7 pennor lång när man går i förskolan är ju bara för coolt, som ett barn sa. Barnen använde böcker, händer, klossar, tummar, leksaksdjur som mätinstrument. Vi diskuterade också med barnen varför det kan vara bra att veta hur kort eller långt någonting är. Det var en otrolig känsla som pedagog att se den lust och det engagemang som detta projekt skapade hos barnen. Som avslutning diskuterade pedagogerna tillsammans med barnen och fick följande kommentarer: Tänk att jag är längst av flickorna. Det hade jag aldrig vetat om vi inte ställt oss rygg mot rygg! Nu har jag lärt mig att det är ett sätt att mäta på. Det är bra att veta hur lång man är, annars blir ju kanske kläderna för korta eller långa. Om jag ska flytta en soffa till en annan sida så kan jag mäta först om den får plats där! Barnen har under detta projekt själva kommit med idéer om vad som ska mätas och hur det ska gå till, vilket har gjort att de känt sig mer 40 41

23 delaktiga och att lärandet har blivit lustfyllt. Barn i förskolan bör ställas inför nya utmaningar som stimulerar lusten att erövra nya färdigheter, erfarenheter och kunskaper. Förskolan vill att barnen ska börja se sig själva som problemlösare, dvs. någon som vågar prova olika lösningar på problem i olika situationer och förmår använda sig av symboler. Förskolan bör erbjuda en miljö och vardag där barnen kan upptäcka och använda matematiken i meningsfulla sammanhang och där mångfald och variation är viktiga. Exempel från åk 0 3 Föräldramötet: Vi utgick från följande problem: Det ska vara föräldramöte i klassen. 64 personer ska komma. Barnen ska sätta fram stolar och bord till alla. Hur ser det ut? Eleverna arbetade två och två. Det var blandat med årskurs två och tre. Arbetet började med att läraren samlar barnen på golvet framför tavlan där uppgiften står skriven. Hon läser den högt och ställer frågor för att veta att alla förstått uppgiften. Sen får barnen klura lite själva och får möjlighet att ställa frågor eller att ge kommentarer. Följande frågordyker upp: Ska inte fröken vara med? Är borden runda? Jag kan ju inte rita stolar! Behöver de sitta lika många vid varje bord? Måste borden sitta ihop? Efter de inledande funderingarna delas barnen upp två och två och får ett papper där de kan rita och skriva till uppgiften. De flesta paren kommer igång direkt. Alla utom ett par börjar rita. En grupp tycker det är lite svårt att komma igång, och får då hjälp av läraren. De jobbar på mycket självständigt och läraren går mest runt och observerar. Efter en kvart återsamlas alla framför tavlan. Ett par i taget får redovisa sina svar. De visar sina bilder och läraren skriver på tavlan. Här visas resultatet från tre av paren: Lösningsförslag: Först tänkte vi att vi tar 20 bord för det är jämt, men sen tänkte vi att 10 är lättare. Då räknade vi ut att det får plats 6 vid varje bord för 6 gånger 10 är 60. Det kan vi. Sen räknade vi ut att vi hade bara 4 kvar och då sätter vi dem vid ett mindre bord. Vi började med att gissa. Alltså, innan vi kom på att det är 8 gånger 8 som blir 64 testade vi med lite olika tal för att se om det var rätt. Vi tog 8 gånger 6 men vi kom fort på att det inte blev 64. När vi löst att man kunde ha 8 personen vid 8 bord tyckte vi att det var lätt. Sen ritade vi bara upp borden. Vi började med att rita upp fyra bord som ett långbord på pappret. Det blev nästan lika långt som pappret. Men vi märkte snart att vi inte fick plats med mer än 42. Vi tänkte inte så mycket då utan bara chansade. Vi ritade över det och vände på pappret och började om. Då började vi tänka annorlunda och kom på att det kanske fanns något tal som man kunde dela 64 jämt med. Då kom Camilla på att 8 gånger 8 är ju precis 64 och då ritade vi upp borden så. Slutligen sammanfattade läraren diskussionen. Vi pratade om resultaten av olika multiplikationer och att tabellerna är som talmönster t.ex. fyrans tabell är fyra-hopp osv. Vi pratade också om att det är viktigt att våga börja. Barnen tyckte helt klart att det var bättre att jobba två och två än att jobba ensam. Man får en till hjärna då, sa en pojke. Exempel från år 4 6 Matematiktävlingen: Varje termin har vi en matematiktävling i kommunen. Det är vår lokala sparbank som skänker pengar till de klasser som vinner. Högsta pris är kr. Eftersom det är en av grundskolans uppgifter att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, så valde en lärare att presentera tävlingen på tavlan för en klass elever i 10-årsåldern. Läraren sa följande: Dessa pengar kan bli era om ni har tur och alla här inne kan bidra med sitt för att just ni ska få vinna. Men den stora frågan för er är: Vad gör vi med pengarna om vi nu vinner? 42 43

24 Läraren bestämde att en del av pengarna skulle gå till att besöka ett museum och att kostnaden för det var 5kr/elev och att läraren går in gratis. Men vad gör vi med resten av pengarna? De 14 eleverna fick i grupper om 4 eller 5 diskutera vad de skulle vilja göra med pengarna och deras förslag skulle presenteras inför de andra. Under tiden eleverna diskuterade rörde läraren sig runt mellan grupperna och lyssnade på de förslag som kom upp. Förslag som t.ex. Tivoli i Köpenhamn tystades ner av andra gruppmedlemmar då pengarna inte skulle räcka. Så vid presentationen kom förslag upp som klassfest, spara en del av pengarna och kanske ha en klassfest till senare under året, gå på McDonalds och åka och bada på något badhus. När förslagen presenterats genomfördes en omröstning där förslaget om en klassfest var det som vann. Nästa stora fråga blev, vad behöver vi till en klassfest och hur mycket av de olika varorna behöver man inhandla? Eleverna fick i grupper om två och två börja diskutera och räkna på vad de skulle köpa och hur mycket. Nu kom en intressant fråga upp: Hur mycket kostar de olika sakerna de vill köpa? Eleverna fick ge tips på varor som kan tänkas finnas på en klassfest och om de vet vad de kostar skrivs även det upp på tavlan. Varor som några av eleverna visste priset på var: choklad 200g: chipspåse 300g: glass 2 liter: popcorn, 3st: lösgodis: läsk: 17,50 kr 16,95 kr 23,90 kr 15 kr 6,95 kr/hg 8 kr/burk eller 14,90 kr för 2 liter Dajmtårta, bananer och chokladsås var tre andra alternativ som eleverna kom på men ingen visste vad det kostade. För att ta reda på priset på dessa varor gick vi tillsammans ner till affären. Eleverna ville då även se efter så att de andra priserna stämde. Dajmtårtan kostade 38,90 kr och chokladsåsen kostade 26,90 kr. En banan vägde ca 250 g och skulle kosta 4,50 kr. Affären har en stor våg där man ser hur mycket något väger men inte vad det kostar. Här fick vi en träning i hur många bananer det går på ett kilo och hur vi räknar ut vad kostnaden blir för en banan. Det var väldigt olika i klassen när det gällde att veta priserna på de olika varorna. En del följer aldrig med sina föräldrar till affären och vet då inte alls vad olika varor kostar, medan andra har en god uppfattning om vad olika saker kostar på ett ungefär. Sedan började det stora arbetet för eleverna och läraren kunde fortsätta gå runt och lyssna i de olika grupperna. Första frågan som ställdes var ifall man fick använda miniräknare. Annars tar det jättelång tid. Alla kom bra överens om vilka varor man skulle välja men hur mycket man behövde var svårare. Till dagen därpå tog läraren med 300 g chips, en tom 2-liters glassburk, 200 g choklad, en tom läskburk och en tom 2-liters läskflaska för att underlätta för dem. Det diskuterades vilt i grupperna om hur mycket man åt av varje sak. Vid redovisningen på tavlan skulle varje grupp redovisa för vad de lade sina 1 200kr på. Så här kunde en redovisning se ut: Grupp 1. Museibesök: 14 5kr kostar 70kr Klassfesten: 324,50kr Sparar: 805,50kr 1200kr 70kr = 1130kr 1130kr 324,50kr = 805,50kr I alla redovisningarna ingick läsk, popcorn, chips och lösgodis, men mängden varierade. Läsken från 8 till 10 liter, popcornen mellan 6 till 9 påsar, chipsen mellan 1 till 4 påsar och lösgodiset mellan 10 hg och 2 kg. I grupp 1 kompletterade man denna grundmeny med 3 dajmtårtor, medan man i de andra grupperna valde 3 chokladkakor respektive 6 liter glass, 5 bananer och en tub chokladsås. Efter varje grupps redovisning diskuterade vi rimligheten med varorna. Exemplen som eleverna kom fram till var rimliga. Man inser att en del av eleverna äter mycket godsaker hemma. Eleverna var mycket intresserade av uppgiften, dels med tanke på att det kan bli verklighet och dels genom att det handlade om saker de tycker om och är intresserade av. När de redovisade hur mycket pengar de skulle spara insåg de att det var en rejäl peng de hade till sitt förfogande. Det var ingen av grupperna som trodde att de skulle få så mycket över att spara som de fick (mellan 600 och 800 kr)

25 Problemlösning i grupp Exempel på en ledtrådsuppgift I en annan klass valde läraren att arbeta med ledtrådsuppgifter. En anledning var att mer än hälften av eleverna i klassen var mycket tystlåtna under lektionerna. De räckte vanligen inte upp handen eller tog andra initiativ i helklass. Kunde möjligen arbete i mindre grupper, hjälpa dem att få större tilltro till sina kamrater och till sig själva? I mindre grupper kunde de kanske lära känna sina kamrater närmare. Uppgiften de fick är hämtad från Erickson (1993) och går ut på att i grupp bygga, en för eleverna, okänd figur, som består av olika enfärgade kuber. Eleverna arbetade i grupper om tre till fyra, blandat flickor och pojkar. Varje grupp fick ett kuvert, som innehöll ett antal kort med ledtrådar om hur figuren skulle se ut. På bordet låg också en hög med kuber. Var och en i gruppen hade ett eller flera kort som de inte fick visa för de andra medlemmarna. I tur och ordning läste man upp sin ledtråd för de övriga. Det gällde att lyssna på vad kamraterna sa. Tillsammans skulle man lösa uppgiften, dvs. bygga den figur som beskrivs av ledtrådarna. I uppgiften arbetade eleverna med begreppen kant och sida på kuben. De arbetade även med att tänka i tre dimensioner, och tränade sig i att tolka uttryck som t ex ovanför och under. Den aktuella uppgiften som beskrivs här heter Kubkul 4. Här är ledtrådarna: Du får bara röra den vita kuben! Alla gula kuber är ovanför en röd kub. Varje röd kub har en kant gemensamt med den blåa kuben. Du får bara röra den blåa kuben! Den gröna kuben har en sida gemensam med en av de två gula kuberna. Du får bara röra den gula kuben! Den enda röda kuben har en sida gemensam med den vita kuben. Du får bara röra den röda kuben! De översta kuberna finns i tredje raden och ingen av dem är blå. Du får bara röra den gröna kuben! Den blå kuben har en sida gemensam med den vita kuben och med två andra kuber. Eleverna satte i gång och läste upp sina ledtrådar i tur och ordning. Eftersom alla satt inne med en liten del till lösningen, blev alla genast aktiva. Grupperna var små och stämningen blev lättsam. Det hände att någon grupp fastnade och bad om hjälp, men då gällde det att få eleverna att vända sig till varandra med sina frågor i stället för till läraren. Kubens kant, hörn och sida blandades ihop och några hade till en början svårt att få ihop en figur. Genom laborerandet med kuberna och diskuterandet kom eleverna så småningom på vad kant och sida är. Grupperna var också tvungna att bestämma sig för en tolkning av ordet ovanför direkt ovanför eller bara någonstans ovanför. Tolkningen bestämde hur många olika modeller gruppen kunde bygga. Så småningom var alla begrepp och tolkningar klara och det som eleverna definierade som arbetet, själva byggandet, kom igång. Uppgiften var sådan, att grupperna själva kunde ta ansvar för och avgöra när uppgiften var klar. De läste då upp sina ledtrådar och kontrollerade att varje ledtråd stämde med de byggda modellerna. Under arbetets gång gick läraren runt bland grupperna, såg hur samarbetet fungerade och lyssnade på diskussionerna. Varje arbetspass avslutades med att grupperna gemensamt redovisade och utvärderade sitt arbete. Då analyserades både den matematiska lösningen på problemet och samarbetet i gruppen. Grupperna var överens om att när de väl kommit på vad kant och sida var på kuben och bestämt hur ovanför skulle tolkas var det svåra gjort. Någon grupp poängterade att det var själva tolkningen av ovanför som avgjorde antalet. Grupperna redovisade också vilka ledtrådar de ansåg vara viktigast. De hade inte samma uppfattning om vilken som var den viktigaste, vilket ledde till en intressant diskussion. Grupperna tyckte det var lättare och roligare att arbeta i grupp för man kör inte fast lika lätt som när man är själv och fler tänker bättre än en. Ibland kunde det vara svårt att hålla sams, t ex om de andra inte lyssnar på en eller om någon började bygga utan att fråga eller lyssna på resten av gruppen. Några elevkommentarer var: det var knepigt tills man kom på hur man skulle göra det var skoj uppgiften var svår en utmanande uppgift svårare än de andra vi gjort, men det gick bra för att alla hjälpte till. Men ibland bråkade vi lite... Slutsatsen blir att eftersom alla behövs för att lösa uppgiften, behövs allas synpunkter. Eleverna tränas i att förstå, att kamraterna har något viktigt att säga. De är värda att lyssna på. Tillsammans reder de ut 46 47

26 begrepp som har med uppgiften att göra, tillsammans bestämmer de sig för hur olika termer ska tolkas. De elever som i vanliga fall är tysta, visar sig här, i mindre grupper, minst lika aktiva och kreativa som sina kamrater. De får möjlighet att visa sin kunnighet och kanske därmed stärka sin självkänsla. Men läraren lägger också märke till att en jätteduktig elev ofta är alltför tyst och passiv. Varför? Och varför tar inte gruppen hjälp av honom/henne? När eleverna sitter i små grupper skapas tid och utrymme för läraren att både höra och delta i deras matematiska diskussioner. Men även att i lugn och ro iaktta hur var och en av eleverna agerar i gruppen. Exempel från år 7 9 Arbete i grupp med bedömnings- och redovisningsdiskussioner Uppgiften som gavs var att eleverna skulle lösa uppgifter från gamla nationella prov och bedöma varandras (eller sina egna) lösningar och redovisningar utifrån bedömningsmallar från de nationella proven. De fick också jämföra sina lösningar med elevlösningar som följer med de nationella proven. Inledningsvis fick eleverna diskutera och lösa uppgifterna tillsammans i grupper om två till fyra personer. De jämförde och diskuterade sina lösningar och redovisningar med de utdelade elevlösningarna och satte därefter poäng på sin egen lösning, samt bedömde även om den var av mvg-kvalité. När alla grupper var klara, diskuterades uppgifterna gemensamt både utifrån lösningsstrategi, korrekt matematiskt språk, och hur strukturerade redovisningarna var. Eleverna lämnade även in uppgifterna till läraren, så att hon kunde kommentera deras poängbedömning. Enligt lärarens bedömning löste eleverna ofta uppgifterna bra och var mer noggranna med sina redovisningar än när de arbetar enskilt i sina läroböcker. Uppgifterna blev mer genomarbetade och eleverna var mer effektiva än när de arbetar enskilt. De elever som inte brukar vara så aktiva tvingades nu av de andra eleverna att delta i gruppens arbete och diskussioner. När eleverna skulle bedöma sina insatser så tittade de på redovisningens struktur, det matematiska språket samt om lösningen var generell. Ofta tyckte eleverna att deras redovisningar var bättre än elevlösningarna från de nationella proven och att dessa hade blivit för snällt bedömda. Genom att arbeta på detta sätt fick eleverna en helt annan förståelse för vikten av att redovisa strukturerat och de lärde sig hur läraren bedömer dem. De såg också skillnaden mellan lösningar och redovisningar av mvg-kvalitet jämfört med vg-kvalitet. De flesta elever vill prestera bra och när de får arbeta på detta sätt ser de vikten av att göra bra redovisningar, att det finns olika lösningar och att vissa lösningar är mer generella än andra. Lärarens bedömning var att eleverna blev bättre på att redovisa på detta sätt än om hon går igenom och visar hur en bra redovisning ser ut. Läraren brukar börja med denna typ av uppgifter i slutet av årskurs sju, så när eleverna går i nian och det är dags för nationella prov är de väl förberedda på vilka krav som ställs på dem. Uppgiften leder inte bara till att eleverna blir duktiga på att redovisa, utan de blir även duktiga på att muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande och på att samarbeta. Eleverna visar också ett större engagemang och de upplever att lektionerna går fort. En annan intressant erfarenhet är att flickorna, som ofta är mer noggranna och strukturerade i sina lösningar än pojkarna, tar ett stort ansvar, och pojkarna lär sig mycket av att se flickornas lösningar. Att arbeta med rika problem Om man vill arbeta med lite större och mer omfattande problem kan man låta eleverna arbeta med så kallade rika problem. I detta exempel redovisas ett arbete där två klasser fått arbeta på olika sätt, individuellt och i grupp, med samma problem. Uppgiften eleverna fick var: Ta reda på hur mycket pengar tre bröder ska få om de får dela på 360 kr och de ska få pengar i förhållande till sin ålder. Den äldsta brodern är dubbelt så gammal som den yngsta brodern. Mellanbrodern är 3 år äldre än den yngsta. De två äldsta är 21 år tillsammans. Eleverna ska också ange hur gamla bröderna är samt på slutet skriva ett eget liknade problem som en klasskamrat ska lösa. I klass A fick eleverna först sätta sig in i problemet enskilt och arbeta med det ca 5 10 minuter. Därefter fick de diskutera och lösa det i grupper (2 3 elever) och avslutningsvis diskuterades problemet i hela klassen. I klass B fick eleverna bara arbeta enskilt. Arbetet avslutades på samma sätt som i klass A med en slutdiskussion i helklass. Lärarens erfarenheter av detta arbete var att i klass A blev det många bra diskussioner både i grupperna och i helklass. Det blev många olika lösningar. En del ställde upp en ekvation, andra ritade bilder, några prövade sig fram och resonerade sig logiskt fram till sva

27 ret. Det blev också en diskussion om vilken lösning eleverna tyckte bäst om, samt vilken lösning de tyckte var matematiskt bäst. En del av slutdiskussionen handlade också om vad som menas med i förhållande till. I klass B hade eleverna mycket svårare att komma i gång med uppgiften. Det var flera som inte visste hur de skulle angripa problemet överhuvudtaget och några förstod inte uppgiften ordentligt. Det blev mycket gnällande och några ville inte alls ta sig an uppgiften. Skillnaden i resultaten mellan grupperna: Det var inte alls lika många i klass B som löste uppgiften. Stämningen var mycket mer positiv i klass A. Det blev många matematiska diskussioner mellan eleverna i klass A och inga alls i klass B. De svaga eleverna i klass B kunde inte få hjälp av sina klass-kamrater och många kände sig misslyckade. I klass A fick de svaga eleverna känna sig delaktiga och de fick höra hur klass-kamraterna resonerade och de var med och löste uppgiften. Alla elever i klass B förutom två elever med högsta betyg skulle mycket hellre ha arbetat och löst uppgiften i grupp. Klass A vill även i fortsättningen arbeta i grupp. Ingen ville arbeta med sådana här större uppgifter enskilt. Slutdiskussionen blev mycket mer givande i klass A. Fler elever var engagerade och kunde hänga med och förstå de olika lösningarna. De var insatta i problemet på ett helt annat sätt. Många elever i klass B hade ledsnat för länge sedan då de inte löst uppgiften. Det fanns mer kreativa lösningar och fler olika lösningar i klass A. Den enda fördelen ur lärarens synvinkel med arbetet i klass B var att det var mycket lugnare och lägre ljudvolym. När eleverna arbetar i grupp med denna typ av uppgifter löser mer eller mindre alla elever (och grupper) problemet. Det blir många givande matematiska diskussioner och en positiv stämning och anda i klassrummet. Många elever förklarar för varandra hur de tänkte och de hjälper varandra så att alla förstår. Mycket positivt är också att alla elever sköter sig bra. Detta gör att läraren får mer tid att gå runt och lyssna på elevernas matematiska resonemang och diskussioner. Eleverna i klass A behövde inte hjälp och uppmärksamhet på det sätt som klass B behövde. Läraren får också vid dessa tillfällen en helt annan möjlighet att bedöma eleverna utifrån målen att sträva mot. Hon kan bedöma hur eleverna uttrycker sig muntligt och om de för diskussionerna framåt, samt hur de resonerar och argumenterar. Många elever har möjlighet att visa sin förståelse för matematik och sitt matematiska tänkande på ett helt annat sätt än vid t ex skriftliga prov. En allmän erfarenhet av arbete med denna typ av problemlösning är att det fungerar bäst när eleverna inte är för många i gruppen. Fyra stycken är för många. Det blir lätt att någon är inaktiv. Det är bättre med grupper om tre, för då kan alla komma till tals. Lärarens erfarenhet av blandade respektive rena pojk- och flickgrupper är att arbetet i de klasser som redovisas här blir bäst när det sker i rena grupper. Många flickor vågar ta för sig mer och pojkarna upplever att de måste ta mer ansvar och arbeta mer om det inte är några flickor i gruppen. Det blir lätt så att de låter flickorna göra jobbet annars. Flickorna känner att de kan fundera längre och blir inte lika stressade i rena flickgrupper. Exempel från gymnasieskolan Exempel på öppna uppgifter Öppna uppgifter kan vara ganska enkelt att formulera. Några exempel som kan passa på t.ex. Ma A-kursen är: Medelvärdet av tre tal är 7,1. Ett av talen är 11,2. Vilka kan de andra talen vara? Skriv ner några linjära funktioner som skär x-axeln i x=4. Här kommer ett exempel som redovisas med elevkommentarer. Problemet som formulerades var: Försök att beskriva hur en population av kaniner på en öde ö kan utvecklas från endast ett par kaniner! Eleverna fick i uppgift att arbeta i små grupper om maximalt fyra personer. Inledningsvis sitter eleverna ofta tysta för att sätta sig in i uppgiften, efter en stund börjar de beskriva sina idéer för varandra. Den första tanken som i de flesta fall dyker upp är att antalet kaniner ökar, ökar och ökar. Men kan de bli hur många som helst? undrar någon

28 Hur kan det se ut? Många elever gör en enkel tabell under några antaganden, t ex Hur många ungar föder varje hona? Kan syskon få ungar? Läraren går under tiden runt och utmanar elevernas tankar genom att ställa frågor. Speciellt de som kört fast kan behöva en stimulans. Elevernas olika tankar leder diskussionen framåt. Någon elev gjorde en tabell över antalet kaniner med antagandet att det föds 6 ungar av varje hona och att det föds lika många honor som hanar: Antal individer "Kanin"-funktion y = 0,7923e 1,1143x Generationer Tabell 3: Hur antalet kaniner ökar med varje ny generation. Generation Antal kaniner llustrerar man detta med en graf kan det se ut som i figur 2. Insikten blir snabbt att det blir orimligt många kaniner. Tankar uppkommer då om hur länge en hona lever, hur ofta de kan föröka sig. Mat och sjukdomar är också ett problem och även t ex rävar. Hur gör man då? undrar någon. Figur 2: Antalet kaniner beroende på antalet generationer. Beroende på vilka verktyg eleverna har tillgång till så kan det se mycket olika ut. En del ritar på sitt anteckningsblock medan andra väljer att använda datorer för att skapa tabeller och grafer. Läraren frågar hur man kan beskriva detta med matematik. Vilken typ av funktioner kan detta beskrivas med? Är det en linjär funktion eller en potensfunktion? Eller kan det vara en annan typ av funktion? Vilket är definitionsområdet? Här kommer nu begreppet exponentialfunktion att växa fram. Läraren kan också ge exempel på hur olika exponentialfunktioner kan se ut och sedan diskuteras hur en kanin -funktion kan se ut. De olika elevlösningarna diskuteras för att se likheter och skillnader i resultat och arbetssätt och för att eleverna ska få se vilken modell som bäst beskriver en population och dess utveckling. Denna uppgift brukar engagera eleverna ett bra tag. Det är inte en enkel uppgift och det är inte säkert att alla grupper kommer fram till en lösning, men många brukar göra det. Detta problem kan ta flera lektioner i anspråk, men enligt lärarens uppfattning är det värt tiden. När de har förstått hur det fungerar med exponentialfunktioner så spelar inte sammanhanget så stor roll. Många läromedel lyfter i princip bara fram ett par typer av exponentiella förlopp; radioaktivt sönderfall, ränta på ränta och bakteriell tillväxt. Det är endast ränta på ränta som möjligen kan förstås av eleverna, eftersom de ännu inte stött på det andra exemplet i sin utbildning

29 Att använda tekniska hjälpmedel, i form av en grafritande räknare eller en dator med lämpligt program, är en stor fördel vid angripandet och lösandet av detta problem. Det går betydligt fortare att testa ett lösningsförlag om man kan lägga in den föreslagna funktionen i ett datorprogram, t ex Graph, eller i en grafritande räknare. Erfarenheten är att alla elever kan hjälpa till vid lösandet av detta problem. Det ger eleverna möjlighet att diskutera och prata matematik och då använda de termer som är relevanta för sammanhanget. Engagemanget brukar det inte vara något problem med, då de flesta av eleverna känner att detta är en problemställning som de kan relatera till. Sammanfattning av exemplen Det man kan se av våra exempel är att eleverna tycker om att arbeta med olika typer av öppna uppgifter (eller s.k. good questions, Sulliva & Lilburn, 1997). Denna typ av uppgifter har varit mycket framgångsrika i många länder. De ges till elever att arbeta med i grupp. Eleverna kommer med sina egna tankar och förslag, och idéer från vardag och skola blandas. Lösningarna är beroenden av elevernas antaganden och tolkningar av uppgiften. Ofta är de varierande och kan stimulera andra elever till nya strategier eller tankar. Det är viktigt att den öppna uppgiften skapar möjlighet för eleven att konfronteras med det som läraren vill att eleven ska utveckla, målet för undervisningen. Läraren måste således bestämma sig för ett mål med arbetet och sedan välja en lämplig uppgift. Detta leder till följande process för arbetet: Först presenteras problemet, därefter diskuterar, analyserar och reflekterar elever oftast i grupp och kommer med förslag på lösningar. Slutligen sammanfattar läraren tillsammans med eleverna genom att lyfta upp och synliggöra kopplingar mellan elevtankar och mål. Denna avslutning är mycket viktig för lärandet, så att eleverna får möjlighet att förstå varför man arbetat med uppgiften. Eleverna är aktiva under hela processen. De får själva fundera över problemet, verbalisera sina tankar, sätta sig in i och värdera andras tankar och dra slutsatser. På detta sätt kan de också känna värdet av sina idéer, något som har stor betydelse för självtilliten. Det öppna problemet blir en utgångspunkt för undervisningen. Detta kan jämföras med den traditionella metoden att läraren visar före och eleven gör efter (vfge). Många elever tror att matematik går ut på att räkna så många uppgifter som möjligt, snarare än att jobba med varje problem utifrån problemlösningsprocessen: Förstå Planera Genomföra Värdera, och undviker då att gå på djupet med problemen. En annan typ av uppgift där eleverna känner sig engagerade är i s.k. ledtrådsuppgifter. Här ska man söka svar på en fråga genom att använda de ledtrådar som olika elever får. På så vis är man beroende av allas delar för att lösa uppgiften. Alla måste sätta sig in i och förstå uppgiften och alla måste sätta sig in i hur gruppen resonerar, innan man delger nästa ledtråd. Eleverna får träna sig i att lyssna på varandra och se till att alla kommer till tals. Problemlösningen underlättas av att deltagarna, efter hand, skriftligt redovisar vad de kommit fram till. Dessa uppgifter är bra att börja med när man ska introducera arbetssättet arbeta i grupp. Många elever uttrycker att de kan mer när de arbetar tillsammans i en grupp, än när de arbetar enskilt. Ett begrepp som man möter i matematikdidaktisk text är rika problem. Dessa uppgifter är konstruerade utifrån en grundfråga, som på något sätt ska vara möjlig att komma igång med för samtliga elever. Denna ska sedan leda vidare till nya frågor som leder in i djupare förståelse av problemet, eller till nya insikter och möjliga generaliseringar. Vi vill betona, att arbetet med dessa uppgifter i undervisningen inte bara är enkelt och problemfritt. Det krävs ofta ett lärande även för läraren. Att välja uppgifter, att ställa bra utmanade frågor till eleverna, att lyssna på och tolka elevernas svar, och förstå vad de innebär för lärandet är några av de utmaningar läraren ställs inför. Hur kan man utgå från elevers kunnande vid undervisningen? Ett sätt att inleda undervisningen på är att utgå från ett problem. Under problemlösningsprocessen upptäcker elever och lärare olika nivåer av förståelse som byggs på utifrån vad eleverna redan kan. Det blir viktigt att lyfta upp fördelar med vissa sätt att arbeta. I slutet av problemlösningsprocessen måste läraren, tillsammans med eleverna, diskutera olika sätt att lösa problemet. Detta innebär att eleverna får möjlighet att sätta ord på vad de lärt sig under arbetet med detta problem. De får då också en bild av olika sätt att hantera ett problem på, som kan verka inspirerande för framtiden

30 Hur kan man ta till vara olika elevers tankesätt för att underlätta förståelsen? Lärandet i allmänhet, men även i matematik gynnas av att eleverna får möjlighet att verbalisera sina tankar (Siegler, 2006). En bra organisation för detta är att låta eleverna arbeta i en mindre grupp. Här tränas eleverna att delge sina tankar, och genom att lyssna på varandra och reflektera och analysera tillsammans lär de sig också att komma överens om slutsatser. Detta är en viktig början för att sedan kunna diskutera i en större grupp. I gruppen byter man tankar med varandra och det blir naturligt att ändra sin egen tanke när man är övertygad. Eleverna märker att man tänker olika och att olika tankar kan vara rätt. Detta är en erfarenhet av en process som också har vidare bäring på arbete med andra typer av frågor i demokratiska processer. Jämför detta med när eleven letar efter lärarens eller bokens sätt att lösa ett problem, och känner sig tvingad att följa detta utan att förstå varför det fungerar. Det är viktigt att eleven utgår från sin egen förståelse för att utvecklas vidare i matematik. Är läraren mer intresserad av processen som leder fram till svaret än av själva svaret, får hon dessutom mycket större möjligheter att följa elevernas lärande. Elever som är ovana vid arbetssättet tycker att det är krävande. Man måste lyssna, tänka och ha synpunkter. Många elever tycker det är skönare att räkna tyst för sig själv. Då är det viktigt att visa eleverna vilka förmågor styrdokumenten ger oss i uppdrag att utveckla. Det vi vet idag är att varierade arbetssätt är bra för elevernas utveckling. Kursplanen ger oss i målen att sträva mot en riktning som måste påverka valen av arbetssätt och organisation. Det gör också kriterierna för betygsättning. Kommunikation ska vara en viktig del av undervisningen. Förmågor som: lyssna, beskriva, argumentera och dra slutsatser måste utvecklas. Värdet i att förstå att vi tänker och gör olika, är ett måste för att kunna arbeta tillsammans med andra människor. Som avslutning kan vi konstatera att arbetssätt som är varierade och innehåller problem liknande de som beskrivits ovan, tillsammans med ett målmedvetet arbete, leder till att eleverna, oavsett ålder, får mycket större möjligheter än vid traditionell undervisning att utveckla sina matematiska färdigheter och förmågor, vilket i sin tur leder till bättre resultat, en djupare förståelse och en större glädje med matematiken. Utvärdering med hjälp av öppna och undersökande uppgifter en grundläggande erfarenhet från utvecklingsarbeten med matematikundervisning är att om man har fokus på kompetenser, så måste även utvärderingen av utbildningen fokusera detta. Att utvärdera sådan kunskap är inte lika lätt som att utvärdera färdigheter. Av tradition utvärderas kunskaper i matematik via skriftliga prov där eleverna får lösa mer eller mindre rutinartade uppgifter. I Sverige finns det en uttalad ambition att använda de nationella proven som styrinstrument för vilken typ av uppgifter man bör sträva efter när det gäller utvärdering av resultaten. Därför innehåller de nationella proven en hel del icke-traditionella uppgifter. Tanken är att lärare och läromedelsförfattare på detta sätt ska få exempel på vilken sorts uppgifter som behövs för att eleverna ska utveckla de kompetenser som beskrivs i målen att sträva mot. I undervisningen bör eleverna få många tillfällen att komma i kontakt med sådana mera omfattande uppgifter och problem. Vad är det då som skiljer sådana provuppgifter från mer traditionella eller korta uppgifter? Detta studerar vi genom att granska några exempel från ämnesproven i år 9. Många av uppgifterna på nationella prov är mer omfattande och av en undersökande karaktär. De vill stimulera eleverna till lösningar där de får visa hur de resonerar. Det som bedöms är då vilken kvalitet resonemangen har. Det är också detta som bedöms för betygen vg eller mvg. Eftersom man kan befara att många elever fokuserar på att klara godkänt och då väljer bort de mera omfattande uppgifterna, är det angeläget att diskutera vad man i så fall går miste om. Vi börjar med en kort och en något längre uppgift: 56 57

31 Uppgift 1 (från B-delen år 2006) En kvadrat har omkretsen 28 cm. Hur stor är kvadratens area? Svar: cm 2 (1/0) Så följer två uppgifter där andelen VG-poäng är större: Uppgift 3 (från C-delen år 2008) Uppgift 2 (från C-delen år 1998) Du ska i denna uppgift arbeta med fyra olika geometriska figurer. Alla figurer ska ha lika stor omkrets, 12 cm. Du ska arbeta med följande geometriska figurer: en rektangel, där längden är dubbelt så lång som bredden en kvadrat en liksidig triangel en cirkel Du ska undersöka och jämföra de olika figurernas areor. Vilka slutsatser kan du dra? Vi ser att både uppgift 1 och 2 handlar om omkrets och area. I uppgift 1 måste man kunna både omkrets och area och man förväntas att avge ett svar som bedöms som rätt eller fel. Självklart kan en mera omfattande uppgift ge så mycket mera. Men framför allt ges det plats för utmaningar, möjligheter för eleverna att upptäcka nya saker eller samband. Uppgift 2 fokuserar i sin fråga på sambandet mellan omkrets och area. Är sådana samband värda att känna till? Känner eleverna till dem? Uppgift 2 kom till efter att konstruktionsgruppen konstaterat att hälften av matematikstudenter kom till lärarutbildningen med den förutfattade meningen att om omkretsen är konstant, t ex representerad i form av en hopbunden tråd, så får de olika geometriska figurer man kan bilda av denna tråd, samma area. (Även en informell undersökning under en studiedag med ett helt skolområdes pedagoger gav samma resultat.) En följd av att uppgift 2 gavs i de nationella proven är att man numera i många klassrum gör flera laborationer, där man utgår från en konstant omkrets och ser hur arean varierar, eller utgår från en konstant area och ser hur omkretsen varierar. Så idag skulle uppgiften förmodligen ge betydligt bättre resultat än vad den gav Figur 3: Illustration till uppgift 3. Uppgift 4 (från B-delen år 2007) Att hitta ett mönster med tre tal i följd Välj tre heltal som kommer direkt efter varandra, t ex 6, 7, 8 Multiplicera det största och det minsta talet med varandra: 6 8 = 48 Multiplicera det mellersta talet med sig själv: 7 7 = 49 Gör motsvarande beräkningar för några olika talföljder med tre andra tal som kommer direkt efter varandra. Beskriv resultatet av din undersökning. Vilken slutsats kan du dra? Undersök på samma sätt några andra talföjder med tre tal. Differensen ska vara densamma mellan två tal som följer på varandra, t ex två som i talföljderna 1, 3, 5 och 6, 8, 10 eller tre som i talföljderna 1, 4, 7 och 6, 9, 12. Beskriv resultatet av denna undersökning. Vilka samband hittar du? Visa att sambanden gäller för alla talföljder som är uppbyggda på detta sätt. (4/6) Vad får eleverna ut av bedömningen av olika typer av uppgifter? I uppgift 1 ser vi att en enkel uppgift där endast svar krävs bedöms med 1 eller 0 poäng, enkla uppgifter som kräver lite fler uträkningar kan få fler poäng. Antalet poäng ges då för hur många steg man lyckats få rätt på, dock mestadels utan att det finns några kvalitativa skillnader 58 59

32 på de olika poängen. Eleven får nog bara en känsla av att det endast är rätt eller fel som bedöms. Och frågan är ifall det verkligen är mer än rena färdigheter som de får möjlighet att visa att de har. I uppgift 3 finns markeringar för att man ska kunna visa vg- och mvg-kvaliteter, och i uppgift 4 görs bedömningen med hjälp av en omfattande s.k. bedömningsmatris. Tanken är att eleven då kan få reda på hur långt hon har kommit i sin utveckling mot olika mål att sträva mot. Uppgifter av denna senare typ kan användas i den ordinarie undervisningen för att utveckla en bedömning som är mer formativ till sin karaktär. (Se Tankesmedja 1 om bedömning.) Det är mestadels elever med högre betyg som klarar uppgifter av typ 3 och 4. Detta kan man vid slutet av skolår 9 kanske inte göra så mycket åt, men vad innebär det för elevens syn på matematik och lärande om hon aldrig får möta denna typ av uppgifter tidigare under sin skolgång? Lärare och elev är kanske överens om att det är bättre för eleven att bara arbeta mot Mål att uppnå? Enligt Skolinspektionens granskning av grundskolans matematikundervisning (Skolinspektionen, 2009) är det idag få klassrum och skolor där eleverna får möta en undervisning som verkligen ger dem möjlighet att utveckla alla de kompetenser som målen att sträva mot talar om. Vad händer med elever som inte klarar eller inte får arbeta med uppgifter av typ 3 och 4? För oss i denna tankesmedja är det en självklarhet att det är en demokratisk rättighet för alla elever, att få se och få erfarenhet av denna del av matematiken. Det handlar också om att få möjlighet att uppleva och se mening i sina matematikstudier. Uppgift 4 ovan kan fastän den handlar om tal också ses som att man arbetar med kvadrater och rektanglar med samma omkrets. Och dessa samband ser eleven om hon tidigare fått möta uppgifter av typen: Varför är 3 3 = = a a = (a+1)(a-1) + 1 Endast de elever som har kraftfulla verktyg, t ex konjugatregeln, kan annars lösa uppgift 4 ovan med full pott. Hur förbereder man då för uppgift 3? Här kan man utnyttja elevens förtrogenhet med samband mellan omkrets och area, och innan man har kommit till potenser och rotuttryck kan man arbeta informellt med areaskala som i följande uppgifter: Uppgift 5 A 2 cm B 4 cm 4 cm 8 cm Figur 4: Illustration till uppgift 5. Rektangel B är en förstoring av rektangel A i skala 2:1. a) Hur många gånger så stor omkrets har rektangel B jämfört med rektangel A? b) Hur många gånger så stor area har rektangel B jämfört med rektangel A? Uppgift 6 Kvadrat B är en förstoring av kvadrat A i skala 4:1. Hur många gånger så stor area har kvadrat B jämfört med A? A 2 cm B 8 cm 2 cm Figur 5: Illustration till uppgift 6. 8 cm Rita motsvarande kvadrater och rektanglar i ett rutnät

33 Uppgift 7 Hur blir det om vi gör motsvarande med andra figurer, t.ex. trianglar, cirklar, pepparkakshjärtan etc. Undersökande uppgifter kan också leda till oväntade upptäckter. Samband ser man via mönster och visar med hjälp av algebra. Men för att ta till sig ett samband räcker det inte att beräkna med formler, det måste utmanas, tänkas och förklaras också. I uppgift 8 leder resonemangen fram mot fraktaler. Uppgift 8 Väg A b) Fågelvägen mellan P och Q är 8 cm. Peter påstår att om man gör sicksack-vägen med allt fler små sicksack-streck så blir sträckan till sist lika med fågelvägens längd. Har han rätt? Förklara. c) Se på figur 6:2. Den vänstra vägen går längs en halvcirkel. Hur lång är vägen C när man går från R till S? d) Se på figur 6:2 igen. Den högra vägen går längs 4 halvcirklar. Vilken väg C eller D, är längst när man ska från R till S? e) Tänk dig en väg som inte är utritad, men den går längs 400 halvcirklar. Hur lång är den? P Q f) Peter påstår att om man gör massor med halvcirklar, så ser det till sist ut som en rät linje, och då blir längden bara något över 4 cm. Har han rätt? Förklara. Figur 6:1 Väg C Väg B S Väg D I figur 6:1 kan även en yngre elev få utmaningar: Vad tror du? Hur blir den nedre vägen om den istället fortsätter snett nedåt genom två rutor till, vänder där och går längs en rät linje till Q? Prova i egna rutor, uppskatta och jämför. Vi mäter genom att räkna antal diagonaler man måste gå. Figur 6:2 2 Rutorna är 1 cm 1cm R a) Se på figur 6:1. Vilken väg, den övre eller den undre, tror du är längst när man ska ta sig från P till Q? Du ska inte räkna, bara känna på dig vad du tror. Därefter får du gärna räkna rutor. Denna upplevelse kan man sedan ha med sig när liknande problem dyker upp, t.ex. i figur 6:2. Här är risken att känslan försvinner i alltför många beräkningar. Man måste utmanas på samma sätt här. Och visst har man lätt att intuitivt hålla med Peter i uppgift 8b och f ovan. Trots att man bevisat via uträkningar att han har fel. Det som skapas vid gränsövergången till oändligt små sicksack-steg är inte en rät linje, utan en fraktal kurva som kommer att ha en dimension som ligger mellan 1 och 2. Dvs. den är precis som en modell av en kustlinje inte en linje med dimensionen 1, men inte heller något band med dimensionen 2 utan någonting däremellan. Den grundläggande tanken med att i nationella prov använda uppgifter av den typ vi presenterat i detta kapitel, är att de ska kunna utgöra en modell för bra uppgifter även i undervisningen. Eftersom må

34 len att sträva mot är centrala mål för undervisningen behöver de kompetenser som där beskrivs också utvärderas. Detta finns det av tradition mycket litet av i de vanliga matematikprov som lärare producerar eller i prov som ingår i olika läromedelspaket. Det är därför en uppgift för konstruktionsgrupperna för de nationella proven att producera sådana uppgifter som kan inspirera både förlag och lärare till att utvidga repertoaren av provuppgifter även i de vanliga proven. Detta sker emellertid inte av sig själv och åtminstone i gymnasieskolan finns det belägg för att detta än så länge inte skett i någon större utsträckning (Boesen, 2006). Om man ska följa elevernas lärande mer i detalj och i synnerhet deras utveckling av förmågor eller kompetenser, måste elevernas matematiska tänkande bli mer synligt i klassrummet. Istället för att eleverna större delen av tiden arbetar enskilt behöver de få tillfälle att lösa problem, få berätta hur de gör och diskutera varandras metoder för att lära mer och få inspiration till att utveckla sitt eget tänkande. Läraren spelar här en mycket viktig roll för att stötta olika elever, för att strukturera olika aktiviteter och kunna sammanfatta olika diskussioner. Läraren behöver också vara bärare av ett öppet och inkluderande klimat som ser variation i metoder och tankesätt som en tillgång. När eleverna på detta sätt blir mer offentligt aktiva får läraren också mycket större möjligheter att följa enskilda elever. Förutsättningarna för att kunna arbeta med en mer formativ bedömning blir därmed betydligt bättre. Det handlar mycket om att hitta bra och rimligt tidskrävande sätt att dokumentera det man ser. Att arbeta med öppna uppgifter såsom det beskrivs i denna skrift är ett, och som vi ser det lovande, sätt att kunna uppfylla ambitionerna ovan. Idag finns det i skoldiskussionen återigen en ökande tilltro till olika sorters skriftliga test för att följa elevernas lärande. Ska man följa utvecklingen av elevernas matematiska tänkande måste också testen ge eleverna möjlighet att visa hur de resonerar eller tänker. Sådana test blir med nödvändighet mer svårbedömda än mer traditionella test med uppgifter liknande uppgift 1 ovan, där det bara fokuseras på om svaret blir rätt eller fel. Å andra sidan brukar lätträttade test av lekmän anses ge en mer likvärdig bedömning. Samtidigt står de i konflikt med ambitionerna i kursplanen om elevers rätt att utveckla kompetenser och tilltro till egen förmåga i matematik. Tester kan verka i positiv riktning eller skapa problem (Schoenfeld, 2002). Amerikanska erfarenheter visar att ett starkt testtryck kan medföra att undervisningen fokuseras på att lära för testet. Detta medför ett starkt fokus på färdigheter, och att kunskaper eller problemområden som inte kommer på testet tenderar att försummas. Följden kan bli bra resultat på testet, men om ett test med något annorlunda frågor, men inom samma område, ges, så blir resultaten ofta mycket sämre. Det vill säga testsystemet driver en undervisning som ger mycket instabila kunskaper. När lärare starkt betonar bedömning av konkreta mål är risken stor att elevernas motivation för att lära något bara för att det är intressant eller berikande minskar. När målet huvudsakligen blir att få ett bra betyg, blir de flesta elever inte längre intresserade av att lösa problem eller lära sig något som inte har direkt bäring på betyget. Det är därför viktigt att utvärderingar och tester på ett positivt sätt bidrar till de lärandemål man verkligen vill prioritera

35 Forskning om undervisning med hjälp av öppna uppgifter sullivan, mousley & zevenbergen (2006) redovisar exempel från en skola i Australien, där man systematiskt planerat och byggt upp undervisningen i matematik genom att använda s.k. open-ended questions. Det är inte helt lätt att översätta begreppet till svenska eftersom begreppet öppna uppgifter i Sverige brukar stå för ekvationsliknande uppgifter i de lägre årskurserna. Dessa har vanligtvis endast ett rätt svar. När det gäller open-ended questions handlar det istället om uppgifter som har flera möjliga svar. Svar som kan leda till att man kan söka samband och strukturer bland dem, vilket i sin tur leder vidare till matematiska resonemang av olika slag. Hur många olika svar finns det? Har vi hittat alla? Hur kan vi veta att vi hittat alla? etc. Men i brist på en bättre svensk benämning kallar vi dessa uppgifter i fortsättningen för öppna uppgifter. När Sullivan m.fl. (2006) diskuterar målen med sina lektioner används olika typer av normer för aktiviteten i klassrummet; dels matematiska mål, som handlar om vilka matematiska samband och principer lektionen ska handla om, men också vilka typer av generaliseringar som man kan förvänta sig att eleverna ska uppfatta eller formulera. Det kan även handla om vilka processer man vill stimulera. Detta tar sig uttryck i vilka uppgifter som erbjuds eleverna och vilka former av arbetsprodukter man då vill att de ska ge upphov till. Men det finns också s.k. socio-matematiska normer för lektionen. Dessa handlar om vilken typ av interaktion man vill främja, men också om att lektionen bör ge upphov till en för alla elever gemensam erfarenhet av att man faktiskt har arbetat med samma problemställning även om man hanterat den olika. Rent praktiskt formulerar man en sekvens av uppgifter, som är noggrant planerade, och där åtminstone den sista, den s.k. måluppgiften, är open-ended. Det är viktigt att läraren med ledning av sina tidigare erfarenheter noga tänker igenom, hur eleverna med tanke på deras olika sätt att tänka och möjligheter att förstå en uppgift kan tänkas hantera de uppgifter som formuleras. Vilken ram ska uppgifterna få? Vilka aktiviteter ska ingå? Det är också viktigt att det finns en mycket konkret och praktisk ingång för att alla elever ska kunna komma igång med uppgiften. Det är också viktigt att den kläs i en berättelse som kan bidra till att väcka lust och intresse. En annan viktig del i lärarens förberedelsearbete är att formulera olika s.k. ledtrådar. Dessa är av två slag, dels stöttande ledtrådar för elever som inte har så lätt för matematik, dels tilläggsledtrådar för elever eller grupper som blir fort klara med någon uppgift. De stöttande ledtrådarna bör ges för att undvika att behöva förklara uppgiften en gång till, och består av deluppgifter i form av en färdig figur eller ett exempel på en beräkning, som gör uppgiften mer konkret. Detta till skillnad från att upprepa en förklaring eller att göra uppgiften så förenklad att målen blivit väsentligt annorlunda än för övriga elever. När det gäller tilläggsledtrådarna bör de innehålla utmanande extra uppgifter. Exempel på sådana innehåller ofta frågor av typen: Finns det fler lösningar? Har ni hittat alla lösningar? Hur vet ni det? I Sullivan, Mousley & Zevenbergen (2004) ges ett exempel på temat area på centimeterrutat papper för årsåldern: Uppgift 1 Kan du göra bokstäver som bara består av 10 hela rutor? Stöttande Ledtrådar: Ge eleven ett färdigt exempel på en bokstav Ge eleven kvadrater som man kan bygga konkret med Tilläggsledtrådar: Kan du skriva ditt namn eller andra ord med bokstäver som består av 10 rutor? Kan du göra dem lika höga? Uppgift 2 Kan du göra bokstäver med en area på 10 rutor som bara består av hela eller halva rutor 66 67

36 Ledtrådarna är desamma som för uppgift 1 med halva rutor inkluderade. Uppgift 3 Bestäm arean av olika rektanglar som är ritade på rutat papper, men där inte alla rutor är synliga. Stöttande Ledtrådar: Exempel på enkla rektanglar där alla rutor är inritade Uppgift 4 Bestämma arean av olika trianglar som är ritade på motsvarande sätt som i uppgift 3 Stöttande Ledtrådar: Exempel med trianglar där alla rutor är inritade Uppgift 5 Måluppgift Rita olika trianglar som har en area på 12 rutor Stöttande Ledtråd: Tilläggsledtrådar: Andra figurer med area 12 rutor Rutor och halva rutor tillgängliga Trianglar med annan bestämd area Efter varje uppgift leder läraren en kort summering och redovisning av arbetet med tonvikt på olika sätt att hantera uppgiften. Läraren har under arbetet skapat sig en god överblick över hur olika grupper arbetat, så att hon kan välja ut elever med olika lösningar och se till att även ta med lösningar från s.k. svaga elever. Detta ger dem en naturlig möjlighet att delta i diskussionen eftersom de dels arbetat med samma uppgift som alla andra, och dessutom klarat av att lösa den på något sätt. I detta arbete kommer elevernas lust att arbeta från ett engagemang med matematik, där de matematiska mönstren som ges av att titta på mängden av olika lösningar är i fokus. Att ha en intresseväckande ramberättelse används här som en ingång, och inte som ett område där eleverna ska tillämpa färdigheter de övat på utan ram. Lärandet uppstår genom ett arbete med aktiviteter som engagerar och där eleverna kan bygga på sina tidigare kunskaper. På detta sätt blir lärandet ett resultat av elevernas erfarenheter av de aktiviteter de arbetar med, men också genom den pågående dialog som finns mellan eleverna och läraren, där de gemensamma avslutande diskussionerna spelar en stor roll. Målet är att alla elever bör kunna delta i uppgifterna och i de avslutande diskussionerna. Eleverna följer olika vägar till en lösning, men kan se sig som en del i det gemensamma arbetet i klassrummet. Sullivans forskning syftar till att undersöka vilka möjligheter denna typ av lektionsupplägg har. I projektet ingår också att undersöka ifall det alltid går att hitta bra ledtrådar för svaga elever. Går det också alltid att hitta utmanande uppgifter för snabba elever? Fungerar detta arbetssätt för alla områden inom skolmatematiken eller finns det områden där det inte fungerar lika bra? Därför har gruppen skapat och provat en mängd lektioner av den här typen, och hittills är erfarenheterna mycket goda. Det återstår att se hur dessa resultat står sig över tid. I ett senare projekt undersöker Peter Sullivan tillsammans med makarna Doug och Barbara Clarke vilka möjligheter och begränsningar som utgångspunkter för lektioner i matematik, som olika typer av uppgifter kan ha (Sullivan, Clarke & Clarke, 2009). De undersöker fyra olika typer av uppgifter: dels rena uppgifter läraren använder för att introducera nya begrepp eller metoder, dels uppgifter med samma syfte men givna i en praktisk eller vardaglig kontext, dels öppna problem där elever får möjlighet att undersöka speciella matematiska fenomen, och slutligen ämnesöverskridande uppgifter där det finns både mål för matematiken och ett eller flera andra ämnen. I en första utvärdering efter ett år i projektet visar det sig att det på inget sätt är självklart att lärare bara för att de får möta bra uppgifter, kan utnyttja dessa och bygga upp bra lektioner med goda möjligheter för eleverna till ett förbättrat lärande. Även erfarenheter från usa visar entydigt att ska matematiklärare kunna klara av att verkligen arbeta mot intentionerna i målen att sträva mot, så behöver de ett bra professionellt stöd för att utveckla sin förmåga att konkret planera innehåll i och framför allt genomföra lektioner med ett förnyat innehåll. Att uteslutande ägna tiden åt att skriva lokala mål har inte tillräcklig förändringspotential

37 Matematik en demokratisk rättighet: Hinder och möjligheter i detta avsnitt förs en diskussion kring matematik som en demokratisk rättighet och de eventuella hinder och möjligheter som finns för att förverkliga den vision vi ser i begreppet. I bilagan visas en bild över olika områden som enligt denna tankesmedja på olika sätt påverkar grundfrågan om matematik som en demokratisk rättighet. Man kan inte komma runt att det är en mycket komplex bild, där olika områden kan innehålla hinder men att de också kan utvecklas till möjligheter som kan tas till vara. När det gäller hinder inleder vi med några paradoxer sammanställda av Göran Emanuelsson vid ncm. Även dessa pekar på komplexiteten kring fenomenet matematik och lärande med tonvikt på olika attityder och känslor kopplade till ämnet. Relevansparadoxen Matematiken är värdelös. Jag är värdelös utan matematik Exklusivitetsparadoxen Matematik är till för ett fåtal Alla behöver kunna matematik Undervisningsparadoxen Matematik är lätt att undervisa i Det är svårt att lära sig matematik Inriktningsparadoxen Eleverna lär sig räkna för skolan Samhället ropar efter matematikkunnande Dessa paradoxer beskriver attityder till matematik och lärande som man i olika sammanhang kan möta. Det är dock sällan samma person som står för båda delarna i en paradox. Som matematiklärare behöver man på olika sätt förhålla sig till dessa attityder vilka man kan möta från elever eller föräldrar, eller ibland kanske t.o.m. från kollegor eller skolledare. Att det finns negativa attityder kring matematik och matematikundervisningen bland elever vittnar många rapporter om. En skolverksrapport från 2006 visar på en ny trend där pojkar beskrivs ha en antiplugg-attityd i grundskolans senare år. Att vara cool och populär hos vissa kompisar väger tyngre än att studera. Att flickor oftare tar sina studier på större allvar och får bättre betyg är ett fenomen som också syns i de exempel vi gett från år 7 9. Vad kan vi lära av timss videostudie? timss videostudie har genomförts i två omgångar. Första gången var 1996 (Stigler & Hiebert, 1997). Anledningen var att de amerikanska eleverna vid den internationella timss-undersökningen 1995 fick ett mycket dåligt resultat. Bäst resultat fick elever från Japan. I usa ställde man sig då frågan vad orsaken till detta var. För att söka ett svar på denna fråga startade forskningsprojektet timss Video Study. Metoden som användes var att man videofilmade 100 slumpmässigt utvalda matematiklektioner i usa, Japan och Tyskland. Syftet var att undersöka om det fanns några karaktäristiska nationella trender i matematikundervisningen och få reda på vad som verkligen sker under matematiklektionerna. Hur effektiv är undervisningen? Hur mycket av lektionstiden används till lärande i matematik? Resultatet av projektet blev att genomsnittslektionernas gestaltning skilde sig på ett markant sätt mellan usa och Japan. I usa betonades vad har vi gjort medan man i Japan fokuserade på vad har vi lärt. Detta vittnar alltså om en stor skillnad avseende vilket mål läraren har med sin matematikundervisning i de båda länderna. Vad vi har gjort kan också anses ligga på en lägre kognitiv nivå jämfört med vad har vi lärt. Studien visade också att lektionerna i Japan ofta startade med ett större, rikt och utmanade problem som läraren presenterade för eleverna på ett sätt så att nyfikenhet och lust för att lösa det väcktes. Efter presentationen fick eleverna fundera enskilt på problemet. För de elever som önskade fanns det ledtrådar skrivna på kort att tillgå

38 Därefter diskuterade man sitt lösningsförslag med en annan elev i klassen. Ibland skapades grupper med fler elever. I den senare delen av lektionen fick eleverna presentera sina olika lösningsförslag på tavlan. En grundlig diskussion av de olika förslagen följde därefter, då svagheter och förtjänster diskuterades. För att en sådan diskussion ska bli givande behövs förstås en mycket kunnig och flexibel lärare. De japanska lärarna utvecklade sin kompetens bl.a. genom att de konstruerade de rika problemen tillsammans och såg lektionsplaneringen som ett konstverk. Efter genomförandet i respektive klasser fördes en diskussion om de lösningsförslag elever redovisat och detta resulterade ofta i en vidareutveckling av problemformuleringen. Lärarna träffades kontinuerligt enligt en s.k. lesson-study-modell. I usa saknades ofta ett holistiskt perspektiv under lektionerna. Eleverna fick ofta endast ge små korta svar på lärarens frågor. Vidare fick de inte chans att upptäcka samband själva. Färdiga formler presenterades, t ex hur vinkelsumman i en månghörning beräknades. Därefter fick eleverna uppgifter som innebar att endast ersätta tal i dessa formler. Uppgifter som kräver reflektion och eftertanke saknades. Samarbetslärande användes inte heller. Ett genomgående intryck från lektionerna i usa var att eleverna inte fick möjlighet att upptäcka tänkandets kraft och känna tillfredställelsen i detta. Studien visade också att samarbetet mellan olika lärare var mycket litet i usa. I tabell 4 ges en kort sammanfattning av matematiklektionernas mål och uppläggning i de två länderna: Tabell 4: Jämförelse mellan matematiklektioner i USA och Japan. Land USA Japan Mål med lektionen Eleverna ska göra Eleverna ska förstå Uppgifter Olika problem Samma problem Aktivitet Samma lösningsmetod Olika lösningsmetoder 1999 gjordes en uppföljande studie, timss 2, då man utökade antalet deltagarländer till sju stycken. Denna gång deltog förutom usa Australien, Tjeckien, Hongkong, Japan, Nederländerna och Schweiz: Urvalet berodde på att dessa länder hade presterat ett signifikant bättre resultat för skolår 8 i timss-undersökningen från Vid analysen av de inspelade lektionerna fokuserades hur dessa organiserades och på det matematiska innehållet. Resultatet denna gång kan delas upp i tre delar. Nedan följer en kortversion av en sammanfattning som publicerades i tidskriften Nämnaren (Stigler & Hiebert, 2004). 1) Japan är unikt De japanska undervisningsmetoderna skilde sig markant även från de övriga länderna. Men undersökningen visade att man inte behöver använda undervisningskonsten för att lyckas bra med sin matematikundervisning. 2) Effektiv undervisning har många ansikten Olika länder visade sig ha en unik uppsättning karaktäristiska drag. Exempelvis presterar man mycket bra i Nederländerna också. Där använder man ofta verklighetsbaserade problem samt räknare. Sådant är sällsynt i Japan. Ett annat exempel är en jämförelse med Hongkong som också hade bra resultat. Där arbetar man huvudsakligen med Using Procedures jämfört med Japan där uppgifter av typen Making Connections dominerar. Dessa två typer av uppgifter innehåller en klar skiljelinje. Den förstnämnda innebär att eleven arbetar med färdighetsträning av grundläggande räknemetoder. Making Connections innebär att man arbetar med rika matematiska problem som engagerar eleverna och ger dem förtrogenhetskunskap av matematiska begrepp. 3) Fokus på implementering Organisation och vilken typ av problem som används har tydligen inte så stor betydelse. Vad som är viktigt är på vilket sätt problemen behandlas under lektionen. Ett Making Connections -problem omvandlades många gånger av läraren till ett Using Procedures -problem. Ett mycket iögonfallande resultat från lektionerna i usa var att samtliga Connections-problem gjordes om till färdighetsövningar (Hiebert, 2003). Att utveckla matematikundervisningen Den japanska traditionen med att använda relativt öppna problem med ett rikt matematiskt innehåll utvecklades under 1970-talet genom att systematiskt arbeta fram en mängd lektioner i en process som har kommit att kallas Lesson study. Arbetsgången vid en sådan visas i figur

39 Figur 7. Exempel på arbetsgången (en cykel) vid en Lesson study Figur 8. Exempel på arbetsgången (en cykel) vid en Learning study I Sverige har Ference Marton utvecklat en liknande modell för att studera hur elever lär sig olika begrepp. Denna kallas för en Learning Study och är baserad på variationsteorin, se figur 8. I motsats till den japanska Lesson study har man i en Learning study inte samma fokus på öppna problem och ett rikt matematiskt innehåll, utan i de exempel på studier som genomförts ligger fokus snarare på ett begrepp eller en metod per lektion, istället för ett arbete med ett mer sammanvävt innehåll. Möjligen beror detta på att en Lesson study är utvecklad för att utveckla matematiklektioner, medan en Learning study primärt är utvecklad för att studera lärandet av ett visst objekt. I tankesmedjan ser vi att dessa modeller har möjligheter att på ett fruktbart sätt utveckla den svenska matematikundervisningen, där ett av framgångsrecepten är att lärarna får möjlighet att se varandra undervisa om samma sak. Amerikanska erfarenheter visar att det för en framgångsrik kompetensutveckling är viktigt att lärare antingen via videoinspelning eller på annat sätt får arbeta med material från den egna undervisningen, och under handledning får träffas och diskutera dessa erfarenheter. Det är också viktigt att de under ett utvecklingsprojekt äger ansvaret för utformningen av den egna undervisningen, istället för att försöka genomföra något externa experter har utformat. I Skåne har det s.k. Gömu-projektet (Gränsöverskridande matematikundervisning) i Svedala kommun med stöd från Sparbanksstiftelsen i Skåne arbetat i denna anda (Holgersson, 2009). Här har lärare från förskolan och grundskolan fått använda ett redskap kallat noteringar, där de kortfattat beskrivit händelser i den egna undervisningen som väcker deras uppmärksamhet. Dessa beskrivningar bör vara så värderingsfria som möjligt. Ifall en händelse presenteras som en beskrivning av vad som hände, med ett minimum av tolkning från den som berättar, kommer varje deltagare istället att tolka beskrivningen utifrån sin egen erfarenhet. På det sättet kan då beskrivningen tjäna som en utgångspunkt för ett mer öppet erfarenhetsutbyte mellan lärarna om en konkret händelse, där den som berättar också får möjlighet att möta andra tolkningar och handlingsalternativ än vad han/hon ser på egen hand. IT är ett annat område som bör användas mer även i skolans matematikundervisning eftersom det finns som ett självklart hjälpmedel i elevens vardag. Senare forskning kring spel och lärande har visat att digital vardagsteknik kan vara ett utmärkt verktyg för att lyfta matematikundervisningen ut ur klassrummet och göra den både mer verklighetsanknuten och varierad. I avsnittet om matematik och flerspråkighet tog vi upp betydelsen av ett utvidgat språk. Detta kan också kopplas till ett utvidgat klassrum. Om eleverna får med sig en digitalkamera ut i närmiljön och får de möjlighet att upptäcka och dokumentera olika geometriska former, eller andra matematiskt intressanta fenomen som kan utgöra ett 74 75

40 komplement till läroboken. Visst är det ofta roligare att bestämma arean av ett föremål man själv fångat i sin omgivning än av något som beskrivs i läroboken. Att hämta inspiration och uppgifter från massmedia kan också bidra till att utveckla matematikundervisningen. Varje dag publiceras artiklar med olika slag av information som kan användas för kritisk granskning. Är dessa procenttal korrekt beräknade? Är diagrammen möjligen vilseledande? Varför? Kan koldioxidhalten i luftutsläpp väga så mycket? Gasen syns ju inte? Genom att arbeta med dagsaktuella händelser får eleverna annan livskunskap på köpet. Om man ska beräkna kostnaden för att måla om ett rum är det mer motiverande att använda prisuppgifter som är aktuella och inte gällde för tio år sedan då läroboken kanske trycktes. Verklighetsanknytning kan också föras in på många andra sätt t ex genom att kritisk granska de leksaker som våra barn leker med. I vilken skala är t ex Barbiedockan avbildad? Medborgarrättsledaren i usa, Robert Moses, har sagt att mathematics education is a civil rights issue. Med det menar han att barn som inte utvecklar en numerisk och kvantitativ förmåga riskerar i vårt allt mer teknologiska samhälle att bli andra klassens medborgare ur ekonomisk synvinkel. De får inte samma tillgång till välavlönade arbeten. Matematik har sedan länge identifierats som ett kritiskt filter för möjligheter till högre studier och ett bra jobb. Mer än någonsin behöver dagens elever lära sig resonera och kommunicera med hjälp av matematiska idéer och argument och inte begränsas i sina möjligheter av en alltför formell och ensidigt färdighetsinriktad matematikundervisning. För att på ett stadigvarande och hållbart sätt kunna ge alla barn en god matematikundervisning fordras enligt Schoenfeld (2002) fyra saker: Idag finns enligt vår bedömning en solid kursplanebas att arbeta utifrån och de nationella proven har hittills fyllt en positiv funktion och verkat i linje med kursmålen. Men målen är mycket ambitiösa och att undervisa så att eleverna uppnår kompetensmålen är inte lätt. Däremot höjs alltmer röster som betonar vikten av en likvärdig bedömning. Dessa krav kommer som vi ser det lätt i konflikt med vad som behövs för att verkligen ta målen att sträva mot på allvar. Det tar lång tid, mycket lång tid att utveckla matematikundervisningen. Det finns inga snabba klipp. I Japan och Kina är förväntningarna på en lärare att det tar ungefär tio år innan han/hon utvecklats till en fullfjädrad professionell. Möjligheter till utveckling är organiserade som en del av deras dagliga gärning. I Sverige kan förutsättningarna för att verkligen utveckla matematikundervisningen i en riktning som ger varje elev möjlighet att utveckla kompetens i matematik se mycket olika ut. Att få tillgång till en sådan undervisning kan ses som en demokratisk rättighet. Men, för att skapa en hållbar utveckling på detta område är det oerhört viktigt att processen inte präglas av politiskt motiverad ryckighet, utan av en mer evolutionär process, där man tar vara på och bygger på lärares professionella erfarenheter och forskning inom området. Bra kursplaner i matematik En stabil, kunnig och professionell matematiklärarkår Uvärderingar av god kvalitet som är i linje med kursmålen Stabila processer för utveckling av kursplaner, utvärderingar och kompetensutveckling 76 77

41 Referenser Ahlberg, A. (2001). Lärande och delaktighet. Lund: Studentlitteratur. Boesen, J. (2006). Assessing mathematical creativity Comparing national and teacher-made tests, explaining differences and examining impact. Doktorsavhandling, Umeå universitet. Erickson, T. (1993). Gemensam problemlösning 1. Stockholm: Almqvist och Wiksell. Grauman, G. (2005). Allmänbildning I matematikundervisning i ett demokratiskt samhälle. Utbildning & demokrati, 14(2), Hiebert, J m fl (2003). Teaching mathematics in seven countries: Results from the timss 1999 Video Study (nces ). Washington, dc: u.s. Department of Education. Holgersson, I. (2009) Teachers awareness of student learning, Paper presented at Norsma 5, Reykjavik, oct Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (2001). Adding it up: helping children learn mathematics. Washington, D.C.: National Academy Press. Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: Mathematical knowing and teaching. American educational research journal, 27, Lindberg, Inger (2002) Myter om tvåspråkighet. Språkvård nr 4. Linnanmäki, Karin (2002). Matematikprestationer och självuppfattning. Åbo akademis förlag Lpo94 (1994). McCloskey, M. (2007). Quantitative literacy and developmental dyscalculia. I Berch, D. B., & Mazzocco, M. M. M. (red.) (2007). Why is math so hard for some children. Baltimore: Paul H. Brookes Publishing Co. 79

42 Mix, K. S. (2002). The construction of number concepts. Cognitive Development, 17, Myndigheten för skolutveckling (2007). Mer än matematik. Stockholm: Liber. Sullivan, P., Mousley, J., & Zevenbergen, R. (2006). Teacher actions to maximize mathematics learning opportunities in heterogenous classrooms. International Journal of Science and Mathematics Education, 4, Möllehed, Ebbe (2002). Problemlösning i matematik. Inst för pedagogik Lärarhögskolan i Malmö. Niss, M. & Höjgaard Jensen, T. (red.) (2002). Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Köpenhamn: Utdannelsestyrelsen. Norén, Eva (2007) Det går att lära sig mer. Kompetensfonden: Stockholm Schoenfeld, A. H. (2002). Making mathematics work for all children: Issues of standards, testing, and equity. Educational Researcher, 31(1), Siegler, R. S. (2006). Microgenetic analyses of learning. In D. Kuhn & R. S. Siegler (Eds.), Handbook of child psychology (Vol. Cognition, perception and language, pp ). Hoboken, NJ: Wiley Skolinspektionen (2009). Undervisningen i matematik utbildningens innehåll och ändamålsenlighet. Skolinspektionen: Rapport 2009:5. Skolverket (2003). Lusten att lära med fokus på matematik. Nationella kvalitetsgranskningar Hämtad från Skolverket (2007). PISA Skolverket: Rapport 306. sou (2004). Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens. Utbildningsdepartementet, 2004:97. Stigler, J. W., & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world s teachers for improving education in the classroom. New York: Free Press. Stigler, J. W., & Hiebert, J. (2004). Att utveckla matematikundervisningen: Uppslag från timss videostudie. Nämnaren nr 1, Sullivan, P., Clarke, D., & Clarke, B. (2009). Converting mathematics tasks to learning opportunities: An important aspect of knowledge for mathematics teaching. Mathematics Education Research Journal, 21(1), Sullivan, Peter & Pat Lilburn (1997). Good Questions. Sausalito,CA: Maths Solutions Publication. Sullivan, P., Mousley, J., & Zevenbergen, R. (2006). Describing elements of mathematics lessons that accomodate diversity in student background. aper presented at the pme 28, Bergen, Norway

43 Bilaga 1 Underlag för redovisningen vid tankesmedjans slutseminarium 83