Pythagoras och pythagoréerna

Transkript

1 Projektarbete i sommarkursen Algebrans historia 5p Göteborgs universitet md9fred@mdstud.chalmers.se Sammandrag I denna text som är ett projektarbete i sommarkursen Algebrans historia vid Göteborgs universitet sammanfattas kort vad som är känt om den grekiske tänkaren, filosofen, matematikern men även andlige ledaren Pythagoras och hans följeslagare. Såväl den religiösa läran med sina mystiska tankebanor som de matematiska upptäckterna och metoderna beaktas. Texten inleds med grundvalen i Pythagoras tankevärld, talteori, och något om Pythagoras geometriska iakttagelser. Främst diskuteras den sats som Pythagoras fått ge namn åt. Därpå följer en kort sammanfattning av vad som är känt om Pythagoras liv och det sektliknande sällskap han ledde. Ett bevis för existensen av irrationella tal avslutar texten. På sätt och vis kan detta även ses som en avslutning av Pythagoras lära som helt vilar på tanken att alltet är uppbyggt av heltal och heltalsförhållanden. Beviset anses vara det första motsägelsebeviset.

2 Inledning Det finns väldigt få trovärdiga källor om Pythagoras och det är ofta mycket svårt att skilja fakta från myt. Det kan i själva verket ifrågasättas om den mytomspunne Pythagoras ens existerat. Anledningen till denna osäkerhet att det till skillnad från de flesta andra grekiska tänkare inte finns några bevarade verk som kan härledas till hans hand. Även om texter författade av Pythagoras omnämns verkar det troligare att han helt ägnade sig åt muntlig undervisning och inte något författande [1]. De äldsta texterna som nämner Pythagoras härstammar från slutet av 600-talet innan vår tideräkning och är mycket knapphändiga. De äldsta verk som kan spåras till pythagoréerna själva är daterade flera hundra år efter Pythagoras död [2]. En annan källa till missförstånd är att pythagoréernas upptäckter ansågs som gemensamma eller i förlängningen som ledarens egna [3]. Så vad Pythagoras själv egentligen åstadkom är svårt att säga. Pythagoras var den enskilt största inspirationskällan för Platon och Aristoteles. Båda refererar flitigt till honom [4]. Genom Pythagoras inflytande på senare grekiska tänkare, de texter han trots allt omnämns i och existensen av en sektliknande kult kring hans person väljer jag att i resterande del av detta dokument se Pythagoras som en historisk person från det sjätte århundradet innan vår tideräkning. Talteori Pythagoras grundtanke är att människan genom resonemang och intelligens kan nå insikt om verklighetens sanna tillstånd [2]. Detta är på inget vis ett steg från avgudadyrkan utan snarare ett sätt för människan att bli mer lik gudarna. Pythagoras sågs i egenskap av den fulländade mänskliga intelligensen som en halvgud. Han lär själv ha sagt att det finns människor, gudar och människor som Pythagoras. Förutom de mer mystiskt laddade numerologiska teorier jag beskriver nedan introducerade pythagoréerna flera talteoretiska begrepp som används även idag. De skiljde på primtal och sammansatta tal. De studerade områden som såsom triangulära, perfekta, fattiga och rika tal och så vidare. Pythagoras åstadkom även betydande framsteg inom proportionalitetsteorin. Allt är heltal Den första byggstenen i Pythagoras filosofi är att alla ting har ett (hel)tal. Universum byggs upp av heltal och ingenting kan existera utan ett nummer [5]. Heltalen gavs egenskaper och betydelser. Ettan, monaden, ansågs både udda och jämn och kunde därför användas för att generera de andra talen och i förlängningen hela världen. Tvåan, diaden, är det första sant kvinnliga talet. Det representerade tvister och dualiteter. Ett steg från enighet och harmoni. Trean, triaden, är det första manliga talet. Triaden kan brytas ned i två andra tal och representerar början till matematiken. Fyran, tetraden, har en speciell betydelse i relation till de tre första talen genom att den i kombination med dessa ger den pythagoreéiska dekaden. 2

3 Dekaden nyckeln till universum De tal som bygger upp universum skapas från monaden. Monaden syftar på siffran ett, men även alla heltal mellan ett och tio. Dessa tal kallas gemensamt dekaden. Talen i dekaden ansågs skilja sig från de tal vi stöter på i vardagslivet. De har gemensamma egenskaper men är i grunden väsentligt skilda. Observera att Pythagoras endast beaktade heltal. Bråk användes, men sågs inte som riktiga tal utan enbart som relationer mellan heltal. Talet ett symboliserar en punkt, talet två en linje, talet tre en tvådimensionell figur, så som en triangel och talet fyra en tredimensionell figur, en pyramid. Dessa var de dimensioner som existerade för Pythagoras. Eftersom =10 representerar talet tio hela universum. Tio var det heligaste talet [6]. Det har hävdats att det inte är människans antal fingrar och tår som lett till dagens decimala system, utan Pythagoras vördnad inför talet tio. Ett påstående som får anses ytterst tveksamt. Motstatspar Universum börjar med en enhet. Denna delas upp i begränsade och obegränsade komponenter. De begränsade komponenterna symboliserar ordningen i universum medand de obegränsade symboliserar kaos och diversitet. Pythagoras var den första som skilde på jämna och udda tal. Kontrasten mellan udda och jämna tal fick stor betydelse inom Pythagoras filosofi i form av motsatspar. I Aristoteles verk Metafysiken [7] finns det kanske bästa exemplet på dessa motsatspar, Pythagoras tabell över motsatser. 1. Begränsad Obegränsad 2. Udda Jämn 3. Ett Plural 4. Höger Vänster 5. Man Kvinna 6. I vila I rörelse 7. Rak Krökt 8. Ljus Mörker 9. God Ond 10. Kvadrat Rektangel Observera att antalet motsatspar är tio. En referens till dekaden universums ursprung. Ett typiskt exempel på hur vitt skilda ting och företeelser försågs med tal och hur tal fick egenskaper. Polygonala tal För Pythagoras var heltalen helt enkelt en samling atomiska enheter (monaden). Tal representerades av mönster formade av dessa enheter [3][6]. Dessa tal kallas polygonala tal. De flesta börjar med en etta. Pythagoréernas språkbruk har influerat dagens engelska i form av ordet figure för tal. Låt i nedanstående figur n beteckna ordningen på talet 3

4 Triangulära tal Antalet punkter ges av n(n+1)/2 Kvadratiska tal Antalet punkter ges av n 2 Pentagonala tal Antalet punkter ges av (3n-1)n/2 Rektangulära tal Antalet punkter ges av n(n+1) Musik Startskottet för Pythagoras filosofi om att allt är tal tros ha varit hans upptäckt av matematiska samband inom musiken. Den musikaliska skalan är ett naturligt existerande fenomen; vissa ljudfrekvenser är till sin natur behagligare för örat. Om förhållandet mellan behagliga toner kan uttryckas som tal och talförhållanden varför skulle inte allt annat också vara det? En liten skymt var allt han behövde. Pythagoras upptäckte att höjden av en ton är relaterat till längden hos strängen som alstrar den [3]. Om en sträng är dubbelt så lång som en annan är deras ton exakt en oktav från 4

5 varandra. Är längdförhållandet 2:3 och strängarna anslås samtidigt får vi en kvint (sju halvtoner). Är förhållandet 3:4 får vi istället en kvart (fem halvtoner) och så vidare. Förhållandet ges av de rektangulära tal vi såg i föregående stycke. Geometri Pythagoréerna arbetade mycket flitigt med geometri [6]. Till deras upptäckter hör bland annat att två trianglar är kongruenta om de har två vinklar och en sida lika, att en vinkel i hel halvcirkel är rät, att vertikala vinklar mellan två korsande raka linjer är lika. De utvecklade även mycket sofistikerade metoder för att lösa ekvationer geometriskt. Från arbetet med geometriska bevis kommer även vad som kan ses som kärnan inom den moderna matematiken; bevis baserade på axiom och postulat. Mest känd är Pythagoras dock för den sats om rätvinkliga trianglar som bär hans namn. Pythagoras sats Det står helt klart att Pythagoras inte upptäckte förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Det var känt av Egyptierna och Babylonierna sedan århundraden, om inte årtusenden. Den traditionella versionen är att Pythagoras var den första som presenterade ett rigoröst bevis. Även detta har ifrågasatts då det råder tvivel om hur väl han kände till förhållandet mellan likformiga trianglar. Pythagoras sökte efter såkallade pythagoréeiska tripplar, det vill säga tre tal där summan av två av talens kvadrater är det tredje talets kvadrat. Dessa motsvarar alltså sidorna i en likformig triangels längder. För att finna sådana tripplar använde han sig av en såkallad gnome [7]. En L-formad figur som kan ses som skillnaden mellan på varandra följande kvadrater (se figur). För att skapa fyra från ett behöver vi endast lägga till den L-formade figuren (gnome) som utgörs av nästföljande udda tal antal komponenter. I vårt fall tre. På samma sätt får vi nio från fyra genom att lägga till fem. Och så vidare. Vid något steg kommer vår gnome att utgöras av ett antal komponenter som är en kvadrat. Vi har då hittat en pythagoréeisk trippel. Den första ges när vår gnome är nio och är 3,4,5. Det bevis Pythagoras lade fram för förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel är enligt Euclid [10] baserat på likformiga trianglar och lyder som följer. Heath [6] påstår 5

6 dock att likformighetsbegreppet vid denna tidpunkt inte var tillräckligt utvecklat för detta bevis. Från de likformiga trianglarna ABC, DBA ser vi att rektangeln CB,BD är lika kvadraten på BA och att från likformigheten mellan ABC och DAC att rektangeln BC,CD är lika med kvadraten på CA. Resultatet följer genom addition. Notera att produkten mellan sträckorna uttrycks som rektanglar. Regelbundna polygoner och polyeder En regelbunden polyeder är en tredimensionell kropp där alla sidor har samma form och storlek samt alla vinklar mellan mötande sidor är lika stora. Det finns endast fem regelbundna polyedrar. Dessa kallas de Platoniska sfärerna eftersom Platon anses ha utvecklat de geometriska metoderna för att konstruera dessa. Pythagoras sägs dock ha känt till dem och undersökt dess egenskaper grundligt [11]. Förmodligen kunde Pythagoras själv dock endast konstruera de tre första. Pythagoras ansåg att de var viktiga byggstenar i universum. Pythagoras liv De uppgifter vi har om Pythagoras liv kommer från tidiga biografier vars författare anser honom vara en halvgud och tillskriver honom övernaturliga krafter. Det finns trots allt ganska stor överensstämmelse om de stora händelserna i hans liv. Dock kan tidpunkten variera med upp till 20 år. Pythagoras föddes på ön Samos som son till handelsmannen Mnesarchus från Tyre och den infödda Pythais [8]. I sin barndom följde Pythagoras med sin far på många resor. Han fick en god utbildning och lärde sig tidigt spela lyra och citera Homeros. Bland hans lärare är de tre filosoferna Pherekydes, Thales och Anaximander de mest framträdande. Flera källor beskriver hur Pythagoras i sin ungdom på rekommendation från Thales reste till Egypten där han besökte flera tempel och studerade prästerskapets seder. Flera av de levnadsregler Pythagoras senare skulle komma att applicera i sin egen kult kan härledas till det egyptiska prästerskapet. Vissa källor säger också att Pythagoras lärde sig om geometri i Egypten [8] medan andra säger att han redan hos Thales studerat geometri. Det kan dock tilläggas att det finns källor som starkt betvivlar Pythagoras extensiva resande [9]. 6

7 Av okänd anledning, flera talar om politiska meningsskiljaktigheter och återkommande konflikter på Samos, tvingades Pythagoras på flykt och slog sig ned i Croton på Italiens östkust. Där bildade han en sektliknande kult, pythagoréerna, kring sin person. Hur Pythagoras slutade sina dagar är ett omtvistat ämne. En del talar om att kulten blev en betydelsefull politisk kraft i Croton vilket retade upp den övriga befolkningen. De drev pythagoréerna på flykt. Enligt denna teori dog Pythagoras vid en ålder av dryga hundra år i staden Metapontum. Kulten Den exakta formen av livet i den sektliknande kult som leddes av Pythagoras och som fortlevde efter hans död är inte känd. Stora delar av detaljerna i kultens traditioner hölls hemliga och avslöjande av dessa bestraffades med uteslutning. De uppgifter som finns - och på vilka nedanstående baserats - kan vara överdrivna. De grundläggande principerna kan dock antas vara korrekta. Både kvinnor och män var välkomna inom kulten. I själva verket blev flera kvinnliga anhängare välkända filosofer. Då pythagoréerna trodde på reinkarnation praktiserades strikt vegetarianism. Iamblichus och andra neo-pythagoréer beskriver två olika grupper av anhängare, acusmatici (åhörarna) samt mathematici (lärlingar) [3]. Acusmatici Acusmatici fick inte träffa Pythagoras, utan fick nöja sig med att lyssna till föreläsningar han gav dold bakom ett draperi. De fick inte lära sig kultens innersta hemligheter utan lärde sig istället kryptiska levnadsregler och moraliska principer. Exempel på dessa regler tros vara att helt avstå från att äta bönor, inte plocka upp tappade föremål, inte vidröra vita höns, inte röra om i elden med järnföremål, inte tala i mörker samt att alltid ta på sin högra sko först, be och gå till heliga platser barfota. Mathematici Mathematici däremot fick en rigorös matematisk utbildning inom aritmetik, geometri, astronomi samt musik. Bland annat flera års intensiva studier under ett gravt löfte om tystnad. De som brast i sin disciplin uteslöts och betraktades som döda. Mathematici bodde tillsammans och delade alla ägodelar gemensamt. Hurivida dessa grupperingar var sekter i en mer formell betydelse är inte känt. Någon gång under det femte eller fjärde århundradet före vår tideräkning växte två falanger fram; de som valde att fokusera på den mystiska sidan hon Pythagoras och de som valde att sluta sig till den rent matematiska. Upptäckten av irrationella tal och motsägelsebeviset Upptäckten och beviset av att diagonalen i enhetskvadraten, roten av två, inte kan delas upp i ett antal segment av heltalslängd omkullkastade i stort sett hela Pythagoras lära. 7

8 Enligt den är ju hela universum uppbyggt av heltal. Enligt sägnen befann sig pythagoréerna till sjöss när Hippasus från Metapontum lade fram sitt bevis. Han kastades då överbord. Beviset lyder som följer [8]. Antag att 2=a/b utan gemensamma faktorer. Då är 2=a 2 /b 2 eller a 2 =2b 2 alltså 2 a 2 vilket ger 2 a. Vi har att a=2c och alltså b 2 =2c 2. Men då gäller på samma sätt att 2 b. En motsägelse. Detta anses vara det första motsägelsebeviset. Sammanfattning Pythagoras och hans läras betydelse för matematikens och matematikundervisningens utveckling kan knappast överdrivas. Att skilja fakta från myt vad gäller den historiska personen Pythagoras och vilka upptäckter som faktiskt var han egna är däremot på gränsen till omöjligt. Pythagoras har ansetts vara den första rena matematikern och hans bevismetoder och abstraktioner utgör ett av de allra viktigaste fundamenten för dagens matematik. Även ett stort antal geometriska samband och talteoretiska begrepp som sägs kunna härledas till honom används än idag. Även om stora delar av Pythagoras mer mystiska angreppspunkter idag framstå som absurda och i vissa fall även lustiga var han var den enskilt största inspirationskällan för senare tänkare som Plato och Aristoteles. Det är sannolikt att Platons kvantitativa världsåskådning är direkt influerad av pythagoréerna. Pythagoras lade grunden för det som idag kallas matematisk realism eller platonism. Under historiens lopp har alkemister, kabbalister och andra numerologer och magiker ständigt återkommit till Pythagoras lära. 8

9 Referenser [1] Ion of Chios, Ancilla to the Pre-Socratic Philosophers: A Complete Translation of the Fragments in Diels, Fragmente der Vorsokratiker [2] Philolaus, Ancilla [3] Iamblichus, On the Pythagorean Life, [4] Arthur Fairbanks, ed. and trans. The First Philosophers of Greece [5] F. M. Cornford, Mysticism and Science in the Pythagorean Tradition, The Classical Quarterly [6] Heath, Sir Thomas L. A Manual of Greek Mathematics [7] Aristotle, Metaphysics och Aristotele, Physics [8] Porphyry, Life of Pythogoras från M Hadas and M Smith, Heroes and Gods. [9] Burnet, John, Early Greek Philosophy [10] Euclid, The Elements från Greek Mathematical Works I [11] Allman, George J., Greek Geometry from Thales to Euclid 9