Mekanik FK2002m. Potentiell energi och energins bevarande

Transkript

1 Mekanik FK2002m Föreläsning 7 Potentiell energi och energins bevarande Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6

2 Introduktion Idag ska vi behandla potentiell energi. Har att göra med konfigurationen av system i vilka objekten påverkar varandra med krafter. T.ex. relaterat till avståndet mellan två föremål som dras till varandra p.g.a. gravitationen. Lägesenergi. Eller relaterat till deformationen av ett elastiskt objekt. Elastisk energi. Ska också titta på applikationer av energins bevarande. SARA STRANDBERG P. 2 FÖRELÄSNING 6

3 Arbete och potentiell energi v Förra gången tittade vi närmre på det arbete som utförs av gravitationen på ett föremål som kastas upp i luften. d F g F g Gravitationen utför ett negativt arbete då föremålet färdas uppåt (gravitationenen minskar föremålets kinetiska energi). Nu kan vi konstatera att denna kinetiska energi omvandlas till gravitationell potentiell energi hos systemet som utgörs av föremålet och jorden. F g v 0 Då föremålet färdas nedåt gäller det omvända - gravitationskraften överför potentiell energi hos systemet till kinetisk energi hos föremålet. SARA STRANDBERG P. 3 FÖRELÄSNING 6

4 Arbete och potentiell energi Kallar ändringen i gravitationell potentiell energi för U. Relaterar till arbetet W genom: U = W Denna relation mellan potentiell energi och arbete gäller också för andra typer av system, t.ex. det med en kloss och en fjäder. Då fjädern dras ut utför fjäderkraften ett negativt arbete på klossen. x positive negative F x F s d Denna energi överförs till potentiell energi i systemet som utgörs av fjädern och klossen. 0 x x SARA STRANDBERG P. 4 FÖRELÄSNING 6

5 Konservativa och icke-konservativa krafter Betrakta ett system som består av två eller fler objekt. En kraft verkar mellan ett partikel-liknande föremål i systemet och resten av systemet. När systemets konfiguration ändras, utför kraften ett arbete W 1 på det partikel-lika föremålet. Energi överförs mellan föremålets kinetiska energi och någon annan typ av energi i systemet. När konfigurationsändrigen är den omvända är också energiöverföringen den omvända. Kraften utför ett arbete W 2. Om sambandet W 1 = W 2 alltid är uppfyllt så är kraften en konservativ kraft. Gravitationskraften och fjäderkraften är båda konservativa. Om sambandet inte allid är uppfyllt är kraften en icke-konservativ kraft. Friktionskraften är icke-konservativ. SARA STRANDBERG P. 5 FÖRELÄSNING 6

6 Konservativa och icke-konservativa krafter Följande test visar om en kraft är konservativ eller inte: - Låt kraften verka på en partikel som rör sig i en sluten bana (kommer tillbaka till sin slutposition). - Kraften är endast konservativ om den total energi som den överför till och från partikeln är noll. Det totala arbetet som utförs av en konservativ kraft på en partikel som rör sig i en sluten bana är noll. En viktig konsekvens av testet med den slutna banan är: Arbetet som utförs av en konservativ kraft på en partikel som förflyttar sig mellan två punkter beror inte av vägen som partikeln tar. SARA STRANDBERG P. 6 FÖRELÄSNING 6

7 Konservativa och icke-konservativa krafter 1 b 1 b a a Förflyttning runt en sluten bana resulterar i att arbetet är noll. 2 För en konservativ kraft resulterar alla möjliga vägar till samma utförda arbete. 2 W ab,1 +W ba,2 = 0 W ab,1 = W ab,2 Viktiga resultat eftersom många komplicerade problem nu kan förenklas. Byt bara från en komplicerad till en enklare väg! SARA STRANDBERG P. 7 FÖRELÄSNING 6

8 Uttryck för den potentiella energin Om en konservativ kraft utför ett arbete W så ändras den potentiella energin med U: Arbetet kan skrivas som U = W (1) W = xf x i F(x)dx (2) Genom att kombinera Eq. (1) och Eq. (2) får vi: U = xf x i F(x)dx (3) SARA STRANDBERG P. 8 FÖRELÄSNING 6

9 Då F(x) är gravitationskraften får vi: U = yf Uttryck för gravitationell potentiell energi y i ( mg)dy = mg[y] y f y i = mg(y f y i ) = mg y (4) Det är egentligen bara meningsfullt att prata om ändringar, y, i den potentiella energin. Men ibland underlättar det att definera en potentiell energi U relativt en viss referensnivå U i, enligt: Om vi väljer U i = 0 och y i = 0 får vi: U U i = mg(y y i ) (5) U = mgy (6) Den gravitationella potentiella energin hos i ett system somutgörsavenpartikelochjordenberorbarapåpartikelns höjd relativt referenspositionen (y = 0). SARA STRANDBERG P. 9 FÖRELÄSNING 6

10 Problem 8 A q.50 kg snowball is fired from a cliff 11.5 m high. The snowball s initial velocity is 16.0 m/s, directed 41 above the horizontal. (a) How much work is done on the snowball by the gravitational force during its flight to the flat ground below the cliff? (b) What is the change in the gravitational potential energy of the snowball-earth system during the flight? (c) If the gravitational potential energy is taken to be zero at the height of the cliff, what is its value when the snowball reaches the ground? SARA STRANDBERG P. 10 FÖRELÄSNING 6

11 Uttryck för elastisk potentiell energi Om F(x) istället är fjäderkraften får vi: U = xf x i ( kx)dx = k xf x i xdx = 1 2 k[ x 2] xf x i = 1 2 kx2 f 1 2 kx2 i (7) Om vi väljer viloläget (U i = 0) för fjädern (x i = 0) som vår referensposition får vi: U(x) = 1 2 kx2 (8) SARA STRANDBERG P. 11 FÖRELÄSNING 6

12 Problem 1 What is the spring constant of a spring that stores 25 J of elastic potential energy when compressed 7.5 cm? SARA STRANDBERG P. 12 FÖRELÄSNING 6

13 Den mekaniska energins bevarande Den mekaniska energin E mec hos ett system är summan av den potentiella energin U och den kinetiska energin K hos de ingående objekten: E mec = K +U (9) Anta att systemet är isolerat (dvs inga externa krafter verkar på systemet) samt att endast konservativa krafter verkar inom systemet. Då en konservativ kraft utför ett arbete W på ett objekt i systemet överförs energi mellan objektets kinetiska energi och systemets potentiella energi enligt: K = W (10) U = W (11) SARA STRANDBERG P. 13 FÖRELÄSNING 6

14 Den mekaniska energins bevarande Kombinerar vi Eq. (10) och Eq. (11) får vi: K = U (12) Skriver vi om Eq. (12) som K 2 K 1 = (U 2 U 1 ) får vi K 2 +U 2 = K 1 +U 1 (13) Detta visar att den totala mekaniska energin är bevarad. I ett isolerat system där bara konservativa krafter verkar kan den kinetiska och potentiella energin ändras, men derassumma,denmekaniskaenergine mec,ändrasinte. En annan formulering är: E mec = K + U = 0 (14) SARA STRANDBERG P. 14 FÖRELÄSNING 6

15 Problem 15 In Fig. 8-33, a runaway truck with failed brakes is moving downgrade at 130 km/h just before the driver steers the truck up a frictionless emergency escape ramp with an inclanation of θ = 15. The truck s mass is kg. (a) What minimum length L must the ramp have if the truck is to stop (momentarily) along it? (Assume that the truck is a particle and justify that assumption.) Does the minimum length L increase, decrease or remain the same if (b) the truck s mass is decreased and (c) its speed is decreased? SARA STRANDBERG P. 15 FÖRELÄSNING 6

16 Beräkna kraften från energin Vi vet att ändringen i den potentiella energin ges av integralen av kraften: U(x) = xf x i F(x)dx För att gå åt andra hållet och erhålla kraften från energin konstaterar vi att U(x) = W = F(x) x Löser vi it F(x) och låter x gå mot noll får vi: F(x) = du(x) dx Test: stoppa in U(x) = 1 2 kx2 vilket med derivering ger F(x) = kx. SARA STRANDBERG P. 16 FÖRELÄSNING 6

17 Potentiella energikurvor I en graf av U(x) som funktion av x kan vi få kraften F(x) som lutningen, med ett minustecken. SARA STRANDBERG P. 17 FÖRELÄSNING 6

18 Potentiella energikurvor Den totala mekaniska energin E mec är en horisontell linje. Subtrahera U från E mec för att få K. Eftersom K inte kan vara negativt så kan partikeln aldrig röra sig till vänster om x 1. SARA STRANDBERG P. 18 FÖRELÄSNING 6

19 Potentiella energikurvor Vid x 1 är K = 0, men F > 0, så partikeln stannar inte vid x 1 utan vänder. Alltså är x 1 en vändpunkt. Om E mec =4 J får vi en vändpunkt mellan x 1 och x 2. Dessutom har alla punkter till höger om x 5 K = 0 och F = 0, så partikeln är i vila. Kallas för ett neutralt jämviktsläge. Om E mec =3 J har vi två vändpunkter. Dessutom är K = 0 och F = 0 vid x 3. Kallas för ett instabilt jämviktsläge. Om E mec =1 J är partikeln fast vid x 4 (negativt K om den flyttas det minsta). Kallas för ett stabilt jämviktsläge. SARA STRANDBERG P. 19 FÖRELÄSNING 6

20 Problem 38 Figure 8-47 shows a plot of potential energy U versus position x of a kg particle that can travel only along an x axis under the influence of a conservative force. The graph has these values: U A = 9.00 J, U C = J and U D = J. The particle is released at the point where U forms a potential hill of height U B = J, with kinetic energy 4.00 J. What is the speed of the particle at (a) x = 3.5 m and (b) x = 6.5 m? What is the position of the turning point on (c) the right side and (d) the left side? SARA STRANDBERG P. 20 FÖRELÄSNING 6

21 Arbete utfört på ett system av en extern kraft Vi har hittills pratat om arbete som något som utförs av en kraft i ett isolerat system. Kan också ha en extern kraft som verkar på ett system. Arbete är energi som överförs till eller från ett system genom att en extern kraft verkar på systemet. Positivt arbete: energi överförs till systemet. Negativt arbete: energi överförs från systemet. För ett system som består av mer än en partikel kan den externa kraften ändra även t.ex. den potentiella energin hos systemet, så arbete-rörselseenergi-teoremet ( K = W) gäller inte. SARA STRANDBERG P. 21 FÖRELÄSNING 6

22 Arbete utfört på ett system av en extern kraft Utan friktion: Med friktion: W = K + U = E mec En kraft F drar en kloss en förflyttning d längs x-axeln. Hastigheten ökar från v 0 till v. En kinetisk friktionskraft f k verkar mellan klossen och golvet. v0 v F f k x d SARA STRANDBERG P. 22 FÖRELÄSNING 6

23 Arbete utfört på ett system av en extern kraft Newtons andra lag i x-led ger: F f k = ma (15) Eftersom kraften är konstant är också acelerationen det, så: Löser vi ut a och stoppar in i Eq. (15) får vi: v 2 = v ad (16) Fd = 1 2 mv2 1 2 mv2 0 +f k d = K +f k d (17) Om klossen t.ex. rör sig uppför ett lutande plan kan vi också ha potentiell energi, så ett mer generellt uttryck är: Fd = E mec +f k d = E mec +E th (18) där E th är värmeenergin (friktionen genererar värme). Fd är arbetet W utfört av den externa kraften på kloss-golv-systemet, så: W = E mec +E th (19) SARA STRANDBERG P. 23 FÖRELÄSNING 6

24 Problem 44 A horizontal force of magnitude 41.0 N pushes a block of mass 4.00 kg across a floor where the coefficient of kinetic friction is (a) How much work is done by that applied force on the block-floor system when the block slides through a displacement of 2.00 m across the floor? (b) During that displacement, the thermal energy of the block increases by 40.0 J. What is the increase in thermal energy of the floor? (c) What is the increase in the kinetic energy of the block? SARA STRANDBERG P. 24 FÖRELÄSNING 6

25 Energins bevarande Den totala energin E hos ett system kan bara ändras med den mängd energi som överförs till eller från systemet. Med total energi menas mekanisk energi, termisk energi och andra typer av intern energi (som vi inte diskuterat ännu). W = E = E mec + E th + E int (20) Denna lag har vi inte räknat fram, utan den bygger på experimentella resultat. SARA STRANDBERG P. 25 FÖRELÄSNING 6

26 Energins bevarande Om ett system är isolerat från sin omgivning, kan ingen energiöverföring ske till eller från det. Den totala energin E hos ett isolerat system kan inte ändras. Genom att sätta W = 0 kan vi skriva: E mec + E th + E int = 0 (21) SARA STRANDBERG P. 26 FÖRELÄSNING 6

27 Problem 53 In Fig. 8-50, a 3.5 kg block is accelerated from rest by a compressed spring of spring constant 640 N/m. The block leaves the spring at the sping s relaxed length and then travels over a horizontal floor with a coefficient of kinetic friction µ k = The frictional force stops the block in distance D = 7.8 m. What are (a) the increase in the thermal energy of the block-floor system, (b) the maximum kinetic energy of the block, and (c) the original compression distance of the spring? SARA STRANDBERG P. 27 FÖRELÄSNING 6

28 Externa krafter och intern energiöverföring En extern kraft kan ändra den kinetiska eller potentiella energin hos ett objekt utan att utföra ett arbete på det objektet. För även om inte någon energi överförs kan kraften överföra energi från en typ av energi till en annan inom objektet. Exempel: En isprinsessa i vila trycker ifrån mot räcket på rinken och åker på så vis bakåt över isen. Hennes kinetiska energi ökar pga att en extern kraft F från räcket verkar på henne. Men kraften överför inte energi frn räcket till henne. Istället är det en intern energiöverföring (biokemisk energi i hennes muskler omvandlas till kinetisk energi). SARA STRANDBERG P. 28 FÖRELÄSNING 6

29 Effekt En mer generell definition på medeleffekt en den vi angav förra gången är: P avg = E (22) t På samma sätt blir momentaneffekten P avg = de dt Effekt är alltså ett mått på hur snabbt en energiöverföring sker. (23) SARA STRANDBERG P. 29 FÖRELÄSNING 6

30 Sammanfattning Arbete kan inte bara ändra den kinetiska energin utan också den potentiella energin hos ett system ( U = W). Den potentiella energin kan beräknas enligt U = x f x i F(x)dx. För en konservativ kraft gäller W ab,1 +W ba,2 = 0 och W ab,1 = W ab,2. I ett isolerat system där bara konservativa krafter verkar är den mekaniska energin är bevarad: E mec = K + U = 0 Om en extern kraft påverkar ett system är arbetet den energi som den externa kraften överför till eller från systemet. För ett system gäller W = E = E mec + E th + E int dvs energin kan bara ändras med den mängd energi som överförs till eller från systemet. För ett isolerat system gäller E mec + E th + E int = 0 Effekt definieras som P = de/dt. SARA STRANDBERG P. 30 FÖRELÄSNING 6