Massivträ som väggmaterial - en jämförande studie av energiförbrukning och termisk komfort

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Massivträ som väggmaterial - en jämförande studie av energiförbrukning och termisk komfort"

Transkript

1 Massivrä som väggmaerial - en jämförande sudie av energiförbrukning och ermisk komfor Examensarbee inom civilingenjörsprogramme Väg- och vaenbyggnad L E N A G O L L V I K Insiuionen för bygg- och miljöeknik Avdelningen för Byggnadseknologi Byggnadsfysik CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Göeborg, 5 Examensarbee 5:

2 EXAMENSARBETE 5: Massivrä som väggmaerial - en jämförande sudie av energiförbrukning och ermisk komfor Examensarbee inom civilingenjörsprogramme Väg- och vaenbyggnad LENA GOLLVIK Insiuionen för Bygg- och miljöeknik Avdelningen för Byggnadseknologi Byggnadsfysik CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Göeborg, 5

3 Massivrä som väggmaerial - en jämförande sudie av energiförbrukning och ermisk komfor Examensarbee inom civilingenjörsprogramme Väg- och vaenbyggnad LENA GOLLVIK LENA GOLLVIK, 5 Examensarbee 5: Insiuionen för Bygg och miljöeknik Avdelningen för Byggnadseknologi Chalmers ekniska högskola 4 96 Göeborg Telefon: 3-77 Chalmers reproservice Göeborg, 5

4 Förord De här examensarbee har uförs på avdelningen för Byggnadseknologi, Byggnadsfysik vid Chalmers ekniska högskola. De ursprungliga iniiaive ill arbee kommer från AB Frisad Bygg, som vari inresserade av de ermiska egenskaperna hos massiva räelemen. Jag vill ge e sor ack ill Eva-Loa Wenzel, som har vari min handledare, för söd och hjälp under arbees gång. Dessuom vill jag acka Johan Claesson för flera givande eoreiska diskussioner om Dynamiska ermiska näverk. Sluligen vill jag även acka Angela Sasic Kaligasidis för sammansällning av soldaa. Göeborg, okober 5 Lena Gollvik I

5 II

6 Massive Wood as Wall Maerial A comparaive sudy of energy consumpion and hermal comfor Maser of Science Thesis in he Maser Degree Programme, Civil Engineering LENA GOLLVIK Deparmen of Civil and Environmenal Engineering Division of Building Technology Building Physics Chalmers Universiy of Technology Absrac During recen years wood has become an increasing popular wall maerial in buildings. This repor describes he use of massive wood. These walls are made of boards glued ogeher, and are ofen, bu no always combined wih a layer of insulaion. In his sudy, we examine how a specific house made wih massive wood wihou insulaion, behaves wih respec o annual energy consumpion and indoor hermal comfor, compared o hree oher wall ypes. The energy consumpion and he hermal comfor are simulaed wih he compuer program Mahcad. The simulaions, one for each wall ype, are based on he heory of Dynamic Thermal Neworks. Wihin his heory he hermal properies are based on response and weighing funcions. The simulaions show ha he energy consumpion is mosly dependen on he U- value of he wall. The hermal comfor is, on he oher hand, dependen on he hea capaciy of he wall. The bes resuls, wih respec o energy consumpion, are achieved when he massive wood is combined wih an exernal insulaion layer. Also walls wih he same U-value, yield differen resuls, depending on he acual order of he differen wall layers, and heir hea capaciy. A correlaion beween good hermal comfor and a slow change of he so-called absorpive response funcion is found. When he walls U-values are he same, a slow change of he absorpive response funcion is also relaed o lower energy consumpion. Key words: Massive wood, energy consumpion, hermal comfor, Dynamic Thermal Neworks, hea capaciy, wall, building III

7 IV

8 Massivrä som väggmaerial - en jämförande sudie av energiförbrukning och ermisk komfor Examensarbee inom civilingenjörsprogramme Väg- och vaenbyggnad LENA GOLLVIK Insiuionen för Bygg- och miljöeknik Avdelningen för Byggnadseknologi Byggnadsfysik Chalmers Tekniska Högskola Sammanfaning De har blivi all vanligare a bygga hus av rä. En meod är a använda massiva räelemen. Elemenen besår av flera lager krysslimmade räskivor, och brukar kombineras med uvändig isolering. De byggs hus även uan exra isolering med väggar enbar av massiv rä. I de här examensarbee undersöks hur sådana väggar fungerar med avseende på årlig energiförbrukning och ermisk komfor, jämför med 3 andra väggkonsrukioner. E befinlig bosadshus av massivrä i Frisad uanför Borås har använs som ugångspunk. Arbee har uförs som en daorsimulering i Mahcad av energiförbrukning och emperaurens variaion inomhus för de olika väggmaerialen. Den dynamiska värmeledningen har beräknas med hjälp av eorin Dynamiska ermiska näverk. Teorin bygger på a väggarnas ermiska egenskaper beskrivs av så kallade respons- och vikfunkioner. I arbee undersöks även om de finns e samband mellan useende på dessa funkioner, byggnadens årliga energiförbrukning och inomhusemperaurens variaion. Simuleringen visar a energiförbrukningen för e bosadshus ill sörsa del beror på väggens U-värde. Däremo är komforen i huse beroende av väggkonsrukionens värmelagrande förmåga. Bäs ur energisynpunk och komfor fungerar massivrä kombinera med uvändig isolering. De finns en skillnad i energiförbrukning och komfor, även för väggkonsrukioner med samma U-värde, beroende på väggskikens placering och deras värmekapacie. En koppling mellan god ermisk komfor och en långsam ändring av de så kallade absorpiva responsflöde har hias. Då väggarnas U-värden är samma är dea också relaera ill en låg energiförbrukning. Nyckelord: Massivrä, energiförbrukning, ermisk komfor, Dynamiska ermiska näverk, värmelagring, vägg, byggnad V

9 VI

10 Innehållsföreckning Förord I Absrac III Sammanfaning V Inledning. Bakgrund. Syfe.3 Meod.4 Avgränsningar 3 Värmelagring 5. Olika årsider 5. Placering av maerial i vägg 6.3 Kan man spara energi med hjälp av en ung somme? 7 3 Värmeledning 9 3. Saionär värmeledning 9 3. Dynamisk värmeledning 4 Dynamiska ermiska näverk 4. Absorpiva och ransmiiva flöden 4. Dynamisk randflöde, grundläggande formler 4.3 Respons- och vikfunkioner Segresponsproblem Segresponsens randflöden Vikfunkioner Vikning Diskreisering Tidsseg 4.6 Analyisk lösning 5 Undersökning av energiförbrukning 5. De massiva rähuse i Frisad 5. De jämförda väggkonsrukionerna 5.. Massivrä 5.. Läregelvägg 5..3 Läbeong Massivrä + isolering 3 6 Meod och genomförande 5 6. Anaganden - yre klima 5 6. Värmebalans Indaa Solinsrålning Q s Uppvärmning Q h 8 VII

11 6.3.3 Inernvärme Q i Venilaion Q v Transmissionsförluser genom fönser och dörrar Q fd Dynamisk värmeledning i väggar, grund och ak Q Beräkning av inomhusemperauren Beräkningsgång 3 7 Resula Årlig energiförbrukning Komfor och venilaion Respons- och vikfunkioner Slusas 39 8 Sudie av ermisk beeende och årlig energiförbrukning för väggar med samma U-värde 4 8. De undersöka väggkonsrukionerna 4 8. Meod Resula Resula energiförbrukning och ermisk komfor Byggnadens oala vikfakorer Jämförelse energiförbrukning, komfor och vikfunkioner Slusas 44 9 Vidare sudier 45 Referensföreckning 47 Bilaga Värmeledningsekvaionen 49 Bilaga Absorbiva och ransmiiva flöden 5 VIII

12 Inledning. Bakgrund A bygga hus av rä har på senare id blivi allmer populär. Ändringar av brandnormerna i mien av 99-ale har öka möjligheerna ill a bygga rähus även i flera våningsplan. Särskil har de ske en ökning av byggande med prefabricerade massiva räelemen. Den vanligase ypen av sådana elemen illverkas genom krysslimning, vilke innebär a skik av brädor limmas samman med varanna brädskik korslag. Enlig illverkarna är fördelarna med a bygga med massiva räelemen många: Framsällningen av elemenen är energisnål jämför med mosvarande illverkning av beongelemen. Den låga viken och den höga graden av prefabricering gör moneringen snabb och effekiv. Den goda illgången på rä i Sverige leder ill kora ransporer. Miljöegenskaperna anses goda, särskil under illverkning, ranspor och åervinning (Svensk Byggjäns, 5). Massiva räkonsrukioner förespråkas även av illverkarna för deras värmelagrande förmåga. En effekiv energibesparing i bruksskede påsås kunna göras i alla fall då massivräe kombineras med isolering, vilke är de vanligase (Wesra, 5). Men de byggs även hus enbar i massivrä uan exra isolering. Fördelarna med denna meod är a elemenen kan förberedas med hel färdiga räyor, både invändig och uvändig. Ingen eferbehandling krävs (Byggindusrin, 4). I Massivrä Handboken () lovprisas massiva räkonsrukioner, bland anna skrivs: Flera mäningar och daasimuleringar har uförs för a fassälla hur de förhåller sig med boendeklimae i massivrähusen och deras energieffekivie. Resulaen yder på a de är både behagliga a bo i och a energiförbrukningen för uppvärmning är låg. En beydande minskning av energiförbrukningen för uppvärmning, i jämförelse med läväggar och läa bjälklag, är möjlig a uppnå. Ovansående slusas kommer enlig Massivrä Handboken från den danska skrifen Massivræ i byggerie (). Där sår emellerid: Hvis man er opmærksom på de forskelle, der er i isoleringsmængden, har ydervægskonsrukionen med massive ræelemener de mindse energiab ved ransmission. Hvis man analyserede de samlede energiab og dermed inkluderede andre fakorer som f.eks. varmeakkumulering, er de ikke sikker, a konsrukionen med massive ræelemer ville være bedre end konsrukionen med lebeon. I den danska energiundersökningen har de massiva räe respekive läbeongen kombineras med isolering och egel. Väggar av enbar massivrä har undersöks dålig. I dea examensarbee är jag inresserad av hur väggar som enbar besår av massivrä beer sig; både vad gäller ransmissionsförluser och värmeackumulering.

13 . Syfe Syfe med undersökningen har vari a jämföra massiva räväggar med andra väggmaerial med avseende på ermiska egenskaper och dynamisk värmeförlus, vilke ill sora delar mosvarar energiförbrukningen för e hus. Väggarnas ermiska egenskaper beskrivs av så kallade respons- och vikfunkioner. Syfe har också vari a undersöka om de går a se en koppling mellan useende på dessa funkioner, byggnadens årliga energiförbrukning och inomhusemperaurens variaion..3 Meod E befinlig bosadshus av massivrä i Frisad uanför Borås har använs som ugångspunk. I undersökningen jämförs den massiva räväggen med re andra väggkonsrukioner: - läregelvägg från A-hus AB - läbeongvägg - massivrä kombinerad med uvändig isolering Väggarnas ermiska egenskaper och värmeförluser har beräknas med hjälp av meoden Dynamiska ermiska näverk som är uvecklad av Johan Claesson vid insiuionen för byggnadsfysik på Chalmers. Meoden bygger på a den dynamiska värmeledningen beräknas med hjälp av responsfunkioner. En responsfunkion beskriver hur värmeflödena vid väggens ränder blir som funkion av iden, efer a den ena randemperauren plöslig ändras med e enhesseg. Teorin beskrivs närmare i kapiel 4. E Mahcad-program har gjors för a simulera den årliga energiförbrukningen och emperaurens variaion inomhus för de olika väggmaerialen. Modellen är endimensionell och ugår från byggnadens värmebalans. Väggmaerial sam innerväggar och mellanbjälklag ändras, medan grund, fönser och ak är samma i alla fallen. Läregelväggens responsfunkion är framagen i HEAT. I undersökningen baseras energiförluserna på uomhusemperauren och solinsrålningen genom fönsren. Daa för hur uomhusemperauren varierar under e år i Göeborg (Säve) är häma från klimadaabasen METEONORM 4.. Soldaa kommer från Inernaional Building Physics Toolbox. För a kunna sudera kopplingen mellan väggarnas ermiska egenskaper, de vill säga deras respons- och vikfunkioner, med årlig energiförbrukning och ermisk komfor, har 6 olika väggkonsrukioner med samma U-värde analyseras. Numerisk beräkningsprogram som beräknar värmeflöde i dimensioner.

14 .4 Avgränsningar Endas de olika väggkonsrukionernas ermiska egenskaper är undersöka och jämförda. För- och nackdelar med avseende på andra fakorer, såsom fuk och besändighe har ej beakas. Alla väggkonsrukioner är enbar analyserade i Göeborgsklima. Endas energiförbrukning i bruksskede är undersök och gäller för e bosadshus hur energiförbrukningen hade vari för en byggnad med annan verksamhe, suderas ine. I förklaringen av eorin Dynamiska ermiska näverk, har de analyiska lösningarna av differenialekvaionerna, för erhållning av responsfunkionerna, uelämnas. 3

15 4

16 Värmelagring Värmeförluserna från inomhuslufen kan delas upp i de som ransmieras genom klimaskale, de som lagras i huses somme och inredning sam de förluser som blir på grund av venilaion. Den lagrade värmen kan komma rumme illgodo när inneemperauren sjunker, vilke ger en dämpande effek på emperaurvariaionerna i inomhuslufen. Se figur.. Dea kan vara fördelakig ur uppvärmnings- och kylningssynpunk. Tunga maerial har sörre värmebuffringsförmåga än läa maerial. Figur. Den principiella lagringen i sommen. Bild från (Såhl, ). E maerials förmåga a leda värme beskrivs med hjälp av värmekondukivieen λ [W/mK]. Ju lägre värmekondukivie deso bäre isolerande förmåga har maeriale. De så kallade U-värde [W/m K] används för a jämföra olika väggkonsrukioners isolerande förmåga. Den anger hur sor värmeeffek som ransmieras genom en kvadrameer av väggen då emperaurskillnaden mellan ue och inne är en grad. Låga U-värden efersrävas. Värmekapacieen ρc [Ws/m 3 K] för e maerial definieras som maeriales specifika värmekapacie c [Ws/kgK] muliplicera med dess densie ρ [kg/m 3 ]. Den beskriver den mängd energi som krävs för a värma en kubikmeer av maeriale med en grad. Den höga värmekapacieen i en ung somme gör a värme kan lagras i maeriale över iden. Värmen från rumme lagras i sommen då denna är kallare än inomhuslufen och kommer sedan illbaka ill rumme då de omvända råder. Se figur.. Sörs beydelse har de för korare idsperioder. Framförall hjälper värmelagringen ill a jämna u emperaurvariaionerna över dag och na. På längre idsskalor, exempelvis mellan sommar och viner, är den ujämnande effeken försumbar (Hagenof, ).. Olika årsider Figur. visar emperaurvariaionerna inomhus för en lä respekive ung byggnad som varken är uppvärmd eller kyld, vilke kallas a emperauren är osörd. Konsrukionerna har samma U-värde, vilke gör a emperauren svänger kring samma medelemperaur. Den högre kurvemperauren mosvarar dagen och den lägre naen. I den läa byggnaden blir emperaursvängningen sörre än i den unga byggnaden. 5

17 Figur. Inomhusemperaurens variaion för en lä respekive ung byggnad under e ypisk vinerdygn (vänser) sam för- och sensommardygn (höger). Bild från (Såhl, ). För vinerfalle, då både den läa och unga byggnadens emperaurvariaion ligger under komforinervalle, måse värmesyseme i båda fallen vara igång dygne run för a en behaglig inomhusemperaur ska uppnås. Se figur. (vänser). Efersom emperauren svänger kring samma medelemperaur T i blir uppvärmningsbehove oal se lika för båda byggnaderna under en vinerperiod. Dea förusa a värmeillförseln regleras så a samma inomhusemperaur hålls i båda byggnaderna sam a den inerna värmeprodukionen och solinsrålningen är lika. De är i för- eller sensommarfalle som värmelagringseffeken i en ung somme blir posiiv. Den unga byggnadens emperaurvariaion ligger inom komforgränserna under hela dygne, medan den läa byggnadens emperaur översiger komforinervalle under dagen och undersiger den på naen. Se figur. (höger). Dea gör a den läa byggnaden behöver kylas på dagen och värmas på naen för a e behaglig inneklima ska åsadkommas. Överskosvärmen vädras eller kyls bor i läa konsrukioner, medan den lagras i den unga. Även under vår och hös har läa konsrukioner någo sörre värmebehov än unga konsrukioner. Energibehove ökar då den osörda emperauren korsar komforinervalle. Därför ger en sabil inneemperaur lägre energibehov efersom den korsar komforgränserna färre gånger. De är bara då de osörda emperaurerna ligger hel under eller hel över komforinervalle som läa och unga konsrukioner ger samma energiförbrukning (Hagenof, 999).. Placering av maerial i vägg Efersom inomhusemperauren beror på såväl värmelagring som ransmissionsförluser, är de ine självklar vilken väggkonsrukion som ger den lägsa energiförbrukningen. Tunga maerial har generell sämre isoleringsförmåga än läa maerial. Däremo är ofa den värmelagrande förmågan bäre hos unga maerial. En effekiv konsrukionslösning är a kombinera läa och unga maerial för a på så vis dra nya av båda de posiiva egenskaperna (Bokalders & Block, 4). Placeringen av isoleringen respekive den unga delen har beydelse för hur mycke värme som kan lagras. Om de läa maeriale placeras på insidan och de unga på 6

18 usidan, de vill säga mo uomhuslufen, har värmelagringen i väggen ingen beydelse för byggnadens värmebehov. Bäs effek fås med de omvända, de vill säga då de unga maeriale placeras på insidan, välexponerad mo inomhuslufen, sam välisolerad mo uomhuslufen med hjälp av den uvändiga isoleringen. Mer finns a läsa om dea i kapiel 8..3 Kan man spara energi med hjälp av en ung somme? De har gjors åskilliga undersökningar om värmelagringen i unga konsrukioner leder ill lägre uppvärmningsbehov. De har beydelse om man iar på energiförbrukningen för en byggnad i dess bruksskede eller hela dess livslängd. Tunga maerial är generell mer energikrävande a framsälla än läa maerial. Därmed kan e hus med ung somme i livscykelperspekiv ha sörre energibehov än mosvarande hus av lä somme, ros a energiförbrukningen i bruksskede är lägre (Såhl, ). En förusäning för a man ska kunna sänka energibehove i bruksskede med hjälp av en ung konsrukion, är a de finns överskosvärme a lagra i sommen. Ju mer överskosvärme som kan lagras deso, sörre energibesparing kan göras. Byggnader med sor inern värmealsring koncenrera ill en begränsad del av dygne kan spara mes. Dea gäller exempelvis konor och skolor, där de under dagid finns många människor och eknisk apparaur med sor värmeavgivning. För bosadshus ger en ung somme främs en jämnare inomhusemperaur, vilke svarar mo bäre ermisk komfor. Däremo har den marginell beydelse i energisparande syfe (Hagenof och Svensson, ). För a man ska kunna dra nya av värmelagringen i en ung somme, är de vikig a venilaionsförluserna är små sam a byggnaden är välisolerad. Köldbryggor leder ill a den lagrade värmen snabb går förlorad. Den värmelagrande effeken ökar då sörre del av sommaeriale exponeras mo inomhuslufen. Då yorna döljs av exempelvis golvmaor, bokhyllor och akusikplaor reduceras värmelagringen avsevär. Även väggjockleken har beydelse för sommens buffringsförmåga. De flesa maerial behöver vara mins - dm jocka för a värmelagringen över dygne ska bli maximal. De är ine allid den höga värmekapacieen i en ung somme är önskvärd. Maeriales röghe gör de svår a snabb ändra emperauren i en sådan byggnad. Dea kan vara ill nackdel om man ill exempel snabb vill värma upp en kall sommarsuga under den kallare delen av åre, eller snabb sänka naemperauren under sommaren (Hagenof, ). 7

19 8

20 3 Värmeledning 3. Saionär värmeledning De saionära värmeflöde Q genom en yervägg beror på emperaurdifferensen mellan inne och ue ( T T ) och väggens ermiska kondukans K = R. Dea kan olkas grafisk med en ermisk kres enlig figur. (3.) Figur 3. De saionära värmeflöde genom en yervägg illusrerad som en ermisk kres. Bild från (Wenzel, ). Kondukansen K beror på varje väggskiks värmeledande förmåga λ m, jocklek d m, sam sidornas ymosånd saionära ermiska kondukansen: R si och R se se (3.3). För en vägg med M skik blir den K = R = R si + R + R + K+ R M + R se [W/K] (3.) De inre och yre övergångsmosånden väggskik m = K M beräknas enlig följande: R si respekive R se sam resisansen R m för R si = [K/W] A α i R se = A α e [K/W] R m d = m [K/W] (3.3) A λ m α i och α e [W/m K] är de inre och yre värmeövergångskoefficienerna. Dessa ar hänsyn ill konvekion och srålning vid yorna. Följande sandardvärden brukar användas (Peersson, ): α i = [W/m K].3 α e = [W/m K] (3.4).4 9

21 3. Dynamisk värmeledning Då emperauren varierar får man e idsberoende värmeflöde, så kallad dynamisk värmeledning, läs om värmeledningsekvaionen i bilaga. Denna värmeledning är beydlig svårare a beräkna, efersom den ine bara beror på de rådande emperaurskillnaderna uan även på emperaurvariaioner bakå i iden. Konsrukionen har e så kalla ermisk minne. Även ordningen på de ingående maerialskiken har beydelse för hur sor flöde blir. Dynamisk värmeledning kan beräknas på flera olika sä. E av säen är a använda sig av Dynamiska ermiska näverk, där man unyjar konsrukionens så kallade responsfunkioner för a beräkna värmeflöde. De är denna eori som har använs i den här undersökningen. En närmare beskrivning av eorin finns i kapiel 4. Man kan även beräkna dynamisk värmeledning numerisk eller periodisk.

22 4 Dynamiska ermiska näverk Teorin Dynamiska ermiska näverk har få si namn från a de dynamiska värmeflödena vid ränderna kan illusreras i en så kallad dynamisk kres. Syfe med eorin är a underläa försåelsen för hur dynamisk värmeledning går ill. Dessuom är eorin prakisk a illämpa på hela värmebalanser. Genom Dynamiska ermiska näverk kan man för varje idpunk a fram medelemperaurer för inne- och uelufen som ar hänsyn ill idigare emperaurvariaioner och hur väggen påverkas av dem. Av dessa för väggen upplevda emperaurer beräknas i varje idpunk, de dynamiska randflödena Q ( ) över randen S och Q ( ) över randen S. Teorin är uvecklad av Johan Claesson vid insiuionen för byggnadsfysik på Chalmers. Dea kapiel bygger framförall på (Wenzel, ), (Claesson, 3) och (Wenzel & Claesson, ) och flerale diskussioner med Johan Claesson och Eva-Loa Wenzel. För vidare sudier hänvisas ill (Wenzel, 5). 4. Absorpiva och ransmiiva flöden Randflödena Q ( ) och Q beror på sidornas emperaurhisoria bakå i iden fram ill akuell idpunk. Flöde som passerar randen, de admiiva flöde, kan delas upp i e absorpiv Q ab och e ransmiiv Q r flöde, se figur 4.. En uförligare beskrivning över definiionerna av de absorpiva och ransmiiva flödena finns i bilaga. Figur 4. Randflödena Q ( ) och Q ( ) delas upp i absorpiva och en ransmiiva delar. Randflödena blir summan av de absorpiva och ransmiiva flödena för respekive sida: Q ( ) = Q ab ( ) + r Q ( ) Q ( ) = Q ab ( ) + r Q ( = ab r Q ( ) ( ) (4.) ) Q Figur 4. visar den grafiska olkningen av hur randflödena Q ( ) och Q ( ) delas upp r ( i vå absorpiva flöden Q ab ( ), Q ab ( ) och e ransmiiv flöde Q ).

23 Figur 4. Schemaisk bild av hur randflödena delas upp i vå absorpiva flöden och e ransmiiv flöde. Bild från (Claesson, 3). 4. Dynamisk randflöde, grundläggande formler De absorpiva och de ransmiiva flödena kan enlig eorin för Dynamiska ermiska näverk uryckas som kondukanser muliplicerade med emperaurdifferenser, på liknande sä som för de saionära flöde (3.): ab r Q = K [ T T a ] = K ab r r Q ( ) = K [ T ) T ( )] Q ( = ( ) = K ( a Q [ T ) T ( )] ) ( Q [ T ) T ( )] De oala värmeflödena vid ränderna blir (4. och 4.): [ T Ta ] + K [ T T ( )] [ T T ] + K [ T T ( )] Q = K ( (4.) Q = K a (4.3) Ingående sorheer i ovansående uryck är: - K [W/K] den saionära ermiska kondukansen mellan de vå sidorna, inklusive ykondukanserna K och K, se (3.). - K [W/K] yan S :s ykondukans. - K [W/K] yan S :s ykondukans. - T ( ) [K] lufemperauren på sida. - T ( ) [K] lufemperauren på sida. K = Rsi (3.3). K = Rse (3.3). - T ( ) a [K] absorpiv medelvärde av lufemperauren på sida vikad bakå i iden med den så kallade absorpiva vikfunkionen κ ( ), se (4.4). a τ - T ( ) [K] absorpiv medelvärde av lufemperauren på sida vikad bakå i a iden med den så kallade absorpiva vikfunkionen κ ( ), se (4.4). a τ - T ( ) [K] ransmiiv medelvärde av lufemperauren på sida vikad bakå i iden med den så kallade ransmiiva vikfunkionen κ ( ), se (4.4). - T ( ) [K] ransmiiv medelvärde av lufemperauren på sida vikad bakå i τ iden med den så kallade ransmiiva vikfunkionen κ ( ), se (4.4). τ

24 De absorpiva flöde Q ab vid idpunken är skillnaden mellan de akuella emperaurvärde T och de absorpiv bakåvikade medelvärde av emperauren på sida, muliplicera med ykondukansen K. De absorpiva flöde beror endas på den egna sidans emperaur T men ine på T. Mosvarande gäller för Q ab ( ). r r De ransmiiva flödena Q och Q ( ) är lika för båda sidorna, med undanag av eckne. Dessa beräknas genom a skillnaden mellan sidornas ransmiiv bakåvikade medelemperaurer mulipliceras med den saionära ermiska kondukansen K. Lufens medelemperaurer T a och T på sida och T a och T på sida, kan förenkla beskrivas som de omgivande medelemperaurer som väggen upplever och som påverkar hur flöde genom väggen blir. Dessa är vikade bakå i iden med vikfunkionerna κ ( ), κ ( ) eller κ ( ) enlig följande: a τ a τ τ a ) = κ a ( τ ) T ( τ ) T ( dτ T a = κ a ( τ ) T ( τ ) dτ ) = κ ( τ ) T ( τ ) T ( dτ T = κ ( τ ) T ( τ ) dτ (4.4) Tidsvariabeln τ avser a iden räknas baklänges, dvs från nuid τ = ill oändlig lång illbaka i iden τ =. T ( τ ) beskriver således emperauren vid idpunken τ bakå från den akuella iden. De nedre indexen anger vilken sidas lufemperaur som avses ( eller ) sam hur de är vikade (a eller ). Index a och a anger a emperauren på sida respekive är vikade mo de absorpiva vikfunkionerna κ a ( τ ) respekive κ a ( τ ). E isälle för a beyder a emperauren är vikad mo den ransmiiva vikfunkionen κ ( τ ). Hur vikfunkionerna beräknas anges i avsni 4.3. Vi ser a de ransmiiva flöde endas beror på differensen mellan sidornas effekiva emperaurer. Temperaurerna var och en för sig påverkar ine: r Q ( = K [ T ) T ( )] = K κ ( τ ) [ T ( τ ) T ( τ ] dτ (4.5) ) ( ) Då emperauren är konsan på en sida, blir de absorpiva flöde noll på den sidan: Q K [ T ) T ] = K T ( τ ) T dτ = K [ T T ] ( ) = ab κ (4.6) ( a a = 3

25 Randflödena kan illusreras i en dynamisk kres enlig figur 4.3 nedan: Figur 4.3 Randflödena represenerade i en dynamisk kres. Bild efer (Wenzel, ). Summaecknen symboliserar vikningen av emperaurerna T ( ) och T med avseende på de vikfunkioner som sår under. Dessa är vända mo de nodemperaurer som vikningen ska ske. De absorpiva komponenerna har bara e summaecken vän mo respekive nod, efersom vikningen bara ska ske på den egna sidan. De absorpiva flödena besäms i varje idpunk av skillnaden mellan den akuella emperauren T ( ) respekive T ( ) och den vikade emperauren T ( ) respekive T ( ). a a 4.3 Respons- och vikfunkioner Randflödena as fram med hjälp av de så kallade vikfunkionerna, som vid vikningen anger vilken beydelse idigare emperaurer har för de akuella värmeflöde. För a förså vikfunkionerna, måse man börja med a ia på väggens responsfunkioner Segresponsproblem En responsfunkion beskriver hur flödena vid ränderna blir som funkion av iden, efer a den ena randemperauren plöslig förändras med e enhesseg. Temperauren i väggen och på båda sidor om den anas vara konsan grader innan emperaurändringen. De flöden som uppkommer kallas responsflöden. Beroende på vilken sida om väggen som emperaurändringen kommer a ske, uppsår vå så kallade segresponsproblem enlig figur 4.4. Om segändringen sker på sida, uppsår e admiiv responsflöde Q ( ) och e ransmiiv responsflöde Q ( ). Om segändringen isälle sker på sida, uppkommer på mosvarande sä responsflödena Q ( ) och Q ( ) : Figur 4.4 De vå segresponsproblemen med de admiiva och de ransmiiva responsflödena. Pilarna visar flödenas posiiva rikningar. Bild efer (Wenzel, ). 4

26 4.3. Segresponsens randflöden De vå ransmiiva responsflödena Q ( ) och Q är allid lika för alla ider, enlig allmän symmeriprincip (Wenzel, ). De vå segresponsproblemen ger därmed upphov ill re responsflöden vid ränderna: Q ( ), Q ( ), Q ) = Q ( ) (4.7) ( De absorpiva responsflödena beecknas Q a och Q a och definieras som skillnaden mellan de admiiva och de ransmiiva flödena: Q a ( ) = Q Q ( ), Q ) = Q Q ( ) (4.8) a ( Q Q Q ) ( a Q Q ) ( a Q = Q( ) Figur 4.5 De admiiva, ransmiiva och absorpiva responsflödenas useende. Bild efer (Wenzel, ). Figur 4.5 visar de admiiva, ransmiiva och absorpiva responsflödenas useende. De admiiva flöde Q ( ) börjar med värde av ykondukansen K. Dea efersom emperaurskillnaden över yskike omedelbar efer emperaurändringen blir. Därefer sjunker de admiiva flöde för a sluligen plana u mo de saionära värde K. Mosvarande gäller för Q ( ). De ransmiiva flödena Q ( ) eller Q är noll vid idpunken =, efersom de ar en sund innan emperaurändringen märks på andra sidan. Flödena ökar sedan gradvis för a så småningom ana värde K. De absorpiva flödena börjar med respekive sidas ykondukans och går sedan mo noll. Vi har följande samband: Q = ( ) = Qa () K Q ( ) Qa () = K = Q ) = Q () ( = Q ( = K Q ) = Q ( ) (4.9) ) = Q ( ) = Q ( ) = Q( ) a ( a = Vikfunkioner Ovansående responsflöden kan ses som e ermisk faci på hur en väggkonsrukion reagerar på emperaurändringar. Dessa segresponslösningar kan sedan genom superponering användas för a få fram lösningar ill e värmeledningsproblem för 5

27 vilka randflöden som hels. Dea görs genom a de omgivande emperaurerna vikas bakå i iden med vikfunkionerna. Man inför idsvariabeln τ, efersom man är inresserad av a illämpa segresponsfunkionerna för ider bakå i iden. Dea ger i sin ur hur sor inverkan idigare emperaurer har på de akuella flöde. För beräkning av randflödena för en väggkonsrukion behövs de absorpiva respekive ransmiiva vikfunkionerna. Vikfunkionerna är e må på hur snabb responsflöde ändras. Dessa erhålls genom a responsflödena deriveras med avseende på τ och divideras med respekive kondukans, på så sä blir inegralen av dem allid enlig (4.) och (4.3). De absorpiva vikfunkionerna mulipliceras även med, så a värdena ine blir negaiva. Vi får: dq a ( τ ) = K κ a ( τ ) dτ dqa ( τ ) = K κ a ( τ ) dτ dq ( τ ) = K κ ( τ ) dτ (4.) Säs dessa uryck in i (4.3) och (4.4) erhålls följande ekvaioner för randflödena: Q Q dqa dq ) = K T + T ( τ ) dτ + dτ dτ dqa dq ) = K T + T ( τ ) dτ + dτ dτ [ T ( τ ) T ( τ )] dτ ( [ T ( τ ) T ( τ )] dτ ( (4.) Vikfunkionerna har enheen /s, inegralen av en vikfunkion blir allid : dqa ( τ ) = K dτ K dq Dea ger: a κ ( τ ) a κ ( τ ) dτ = a dqa ( τ ) = K K ( τ ) = [ Qa ( ) Qa ()] = = (4.) K K a = κ ( τ ) d τ = κ a ( τ ) dτ = κ ( τ ) dτ (4.3) De allmänna useende för en absorpiv och en ransmiiv vikfunkion kan ses i figur 4.6. Tiar man på den absorpiva vikfunkionen ser man a denna är sörs för ider nära noll, vilke beyder a de absorpiva responsflöde ändras som mes precis efer segändringen. Därefer sjunker den långsam mo noll. Den ransmiiva vikfunkionen börjar vid noll och siger därefer upp mo e maximal värde för a sedan åer sjunka mo noll. 6

28 Figur 4.6 De absorpiva och de ransmiiva vikfunkionernas principiella useende. Bild från (Claesson, 3). 4.4 Vikning Figur 4.7 visar hur den varierande emperauren T ( ) vikas bakå i iden med avseende på den ransmiiva vikfunkionen κ ( τ ) vid idpunken, vilke ger den ransmiiva medelemperauren T ) : ( T ( ) = κ( τ ) T ( τ ) dτ T ( ) = κ( τ ) T ( τ ) dτ Figur 4.7 Principen av hur vikningen går ill. Dea exempel visar hur emperauren på sida vikas bakå i iden mo den ransmiiva vikfunkionen κ ( ). dτ går mo noll. τ Sörs inverkan på de ransmiiva medelemperauren blir då vikfunkionen når si högsa värde. Temperauren i den idpunken (bakå i iden) är därför den mes avgörande för de akuella ransmiiva flöde. Om emperauren isälle vikas mo den absorpiva vikfunkionen har däremo de emperaurer som uppkommi nyligen, sörs inverkan på den absorpiva medelemperauren. Ju längre illbaka i iden som emperaurvariaionerna har vari, deso mindre påverkas de akuella absorpiva flöde. 7

29 4.5 Diskreisering För a värmeflöde genom en vägg- eller huskonsrukion ska kunna beräknas i prakiken, krävs en diskreisering så a numerisk beräkning blir möjlig. Vid diskreiseringen delas vikfunkionerna in i medelvärden över e idsseg h. Tiden beräknas nu = nh där n =,,, K Tiden bakå i iden τ blir τ = νh där ν =,,, Kν s. Här väljs ν s så sor a vikfunkionerna når fram ill noll. Randflödena blir efer diskreiseringen: [ T T ] + K [ T T ] Q, n = K, n a, n, n, n [ T T ] + K [ T T ] Q, n K, n a, n, n, n Här avser = (4.4) och Q, n randflödena vid sida och, vid idpunken = nh, allså: Q, n Q, n = Q( nh) T, n = T( nh) Q, n = Q ( nh) T, n = T ( nh) (4.5) De punkvärden som uppsår efer diskreiseringen av vikfunkionerna kallas vikfakorer och är enheslösa. Vikfakorernas principiella useende kan ses i figur 4.8. Här visas hur den ransmiiva vikfunkionen för en beongvägg approximeras med vikfakorer med idssege h = imme. Cirklarna mosvarar vikfakorer och den heldragna linjen visar vikfunkionen med enheen /h. Figur 4.8 En beongväggs vikfunkion κ ( τ ) approximerad med vikfakorer κ, ν. Bild från (Wenzel, ). 8

30 Temperaurfunkionenerna approximeras ill a vara sräckvis linjära över idssege h, enlig figur 4.9. Figur 4.9 Diskreisering av emperauren med idssege h. Bild från (Wenzel, ). Vid diskreiseringen bys inegreringen i ekvaion ( ) u mo summering: T T ν = s ν s a, n κ a, νt, n ν T, n T, n = κ, ν [ T, n ν T, n ν ] ν = ν = s a, n κ a, νt, n ν T, n ν = T( nh νh) T, n ν = T ( nh νh) ν = ν = (4.6) Summeringen uförs med hjälp av ν =,,, Kν s för T, n T, n och ν =,, Kν s för T a,n T,. och a n Ykondukanserna K och K ersäs med medelvärden K och K över iden <τ < h (4.7), medan K är samma efersom medelvärde går mo de saionära värde efer lång id. Se figur 4.. K h = Qa ( ) d = a () h τ τ K = Qa ( ) d = Qa () h τ τ (4.7) Q h Medelvärdena av responsfunkionerna för idssege h definieras enlig följande: a τ + h τ + h = a h = h τ τ Q ( τ ) Q ( τ ) dτ τ + h Q ( τ ) Q ( τ ) dτ Qa( τ ) = Qa ( τ ) dτ h (4.8) τ Figur 4. visar de absorpiva responsflöde Qa ( τ ) och Qa ( τ ) och de ransmiiva responsflöde Q ( ) och Q ( ) för idssege h. τ τ 9

31 K Q ( τ a ) ) Q a ( = K K Q ( τ ) Q ( τ ) Q a ( h ) Q (h) Q ( τ a ) Q () h h... ν h τ h h ν h τ Figur 4. De absorbiva och ransmia responsflödena Q a ( τ ) och Q ( τ ), sam medelvärden över idssege h. Bild från (Wenzel, ). Vikfakorerna ges av: κ κ a, ν Qa ( ν h h) Qa ( ν h) a ( ν ) = κ K ( ν ) Q ( νh) Q h h, ν =,,... s K 4.5. Tidsseg Q h h Q ( ν h) ν = a a, ν =,... s K ν = ν (4.9) Tidssege h väljs lagom sor beroende på vilken noggrannhe probleme kräver. De är vikig a anpassa ν s så a summan av vikfakorerna blir så nära som möjlig: ν s ν = κ κ κ (4.) a, ν ν s ν =, ν ν s ν = a, ν Dessuom bör h väljas så a den försa vikfakorn för de ransmiiva flöde, κ,, blir så lien som möjlig: κ =, ( h) K Q <, (4.) 4.6 Analyisk lösning Vik- och responsfunkionerna för e endimensionell värmeflöde beräknas analyisk genom a illämpa en kombinaion av Fourierserier och Laplaceransformer. En exak lösning erhålls relaiv snabb och väggens ermiska beeende kan enkel åskådliggöras grafisk i form av vik- och responsfunkioner. Därefer sker en diskreisering så a vikning mo emperaurerna blir möjlig. Hur den analyiska lösningen går ill behandlas ine i den här rapporen, men finns a läsa om i (Wenzel, 5). ν

32 5 Undersökning av energiförbrukning 5. De massiva rähuse i Frisad Huse som ligger ill grund för dea arbee är en enfamiljsvilla på 8 m. Villan är uppförd av AB Frisad Bygg och byggd av helmassiva prefabricerade räelemen, uan exra värmeisolering. De är de försa hel massiva rähuse med denna konsrukion som byggs i Norden (Byggindusrin, 4). Elemenen besår av flera lager krysslimmade räskivor som fogas samman med no och spon. Tjockleken på yerväggarna är 48 mm. Innerake och mellanväggarna besår av 96 mm massivrä och mellanbjälklage av 84 mm massivrä. Figur 5. visar huses fasader och deras orienering. Figur 5. De massiva rähuse i Frisad, som används som ugångspunk i undersökningen. Rining från Landsröms Arkieker. Den låga illbyggnaden är av läbeong, men i daormodellen förenklas huse ill a beså av endas e väggmaerial. Relaiv sora delar av huse har fönser. 6,8 m i sydväs (mosvarar 5 % av fasadyan), 35,6 m i sydos (68 %),,5 m i nordväs (4 %) och 6,7 m i nordos ( %). Take besår av (uifrån och in): Sedum, dränerande lager, råspon ( mm), vå lager mineralull ( respekive 3 mm) sam massivrä (96 mm). U ak =,9 [W/m K], då är ine sedum och dräneringslager medräkna. Grunden är av ypen plaa-på-mark och besår av mm beong ovanpå 3 mm isolering. U =,9 [W/m K]. grund Efersom ake och grunden är så välisolerade, har de minimal inverkan på energiförluserna de mesa (5/6) ransmieras genom väggar och fönser. Huse anas ha 3-glasfönser med U-värde, [W/m K]. Dörrarnas U-värde är lika sor.

33 5. De jämförda väggkonsrukionerna I undersökningen jämförs den massiva räväggen med re andra väggkonsrukioner: - läregelvägg från A-hus - läbeongvägg - massivrä kombinerad med uvändig isolering Innerväggar och mellanbjälklag finns med i energiberäkningen, efersom de bidrar ill värmelagring. Dessa är av samma maerial som de olika yerväggarna. De ermiska egenskaperna för de maerial som ingår i de olika väggkonsrukionerna finns i abell 5.. Tabell 5. Maerialdaa Maerial λ [W/mK] ρ [kg/m 3 ] c [Ws/kgK] Trä, Massivrä,4 5 5 Läbeong,4 5 Gips, 8 9 Isolering,4 5 8 Beong, Massivrä 48 Yerväggskonsrukion: 48 mm massivrä U =,55 [W/m K] massivrä Innerväggar: 96 mm massivrä Mellanbjälklag: 84 mm massivrä 5.. Läregelvägg Läregelväggen represeneras av en ypisk vägg från A-hus AB e svensk föreag som illverkar och levererar prefabricerade villor, friidshus och flerfamiljehus, vars somme besår av rä. Bilden visar hur väggkonsrukionen ser u efer a den har förenklas. De mörkgrå är räpanel och räreglar, de ljusgrå isolering och de via gips. För enkelhes skull, as ine reglar med i innerväggarna och mellanbjälklag. Vidare förenklas mellanbjälklage ill a ha samma uppbyggnad som innerväggen.

34 Yerväggskonsrukion (uifrån och in): mm räpanel, 7+45 mm isolering och reglar, 3 mm gips U =,83 [W/m K] läregelvägg Innerväggar: 3 mm gips, 45 mm isolering, 3 mm gips Mellanbjälklag: 3 mm gips, mm isolering, 3mm gips Läbeong Yerväggskonsrukion: 48 mm läbeong U =,55 [W/m K] läbeong Innerväggar: 96 mm läbeong Mellanbjälklag: 84 mm läbeong Massivrä + isolering 78 Yerväggskonsrukion (uifrån och in): mm räpanel, 6 mm isolering, 96 mm massivrä U =,99 [W/m K] rä isoleing Innerväggar: 96 mm massivrä Mellanbjälklag: 84 mm massivrä 3

35 4

36 6 Meod och genomförande Energiförluser för e hus beror på uomhusklimae och huses byggnadsfysikaliska konsrukion. A modellera dessa processer är mycke komplex, varför förenklingar av verkligheen måse göras. En modell kan vara mer eller mindre dealjerad. I denna undersökning har jag försök a a med de som är relevan för energiförluserna och uelämna de som ej påverkar inomhusklimae nämnvär. De indaa som funnis illgängliga har också inneburi begränsningar. 6. Anaganden - yre klima Föruom a beaka uomhusemperaurens variaion ger hänsyn ill yre påverkan som vind, sol, luffukighe och långvågig srålning e mer verklighesroge uomhusklima. Probleme är dock a de är svår a få illgång ill meeorologiska daa för vind, luffukighe och molnighe. Förenklingar av uomhusklimae har få göras. Följande anaganden har gjors: Solsrålning - korvågig srålning: Solens uppvärmning av fasader och ak påverkar ine inomhusemperauren nämnvär och kan därför hel försummas (Hagenof, ). Däremo har solinsrålning genom fönser sor beydelse för inomhusemperauren, och är därför medagen. Värmesrålning - långvågig srålning: Den långvågiga usrålningen är sörs från en horisonell ya (exempelvis e plan ak), efersom den är vänd direk mo amosfären och ej skymd av andra föremål. Amosfärens inkommande långvågiga srålning är av beydelse främs då de finns låga moln. Dea ger a den långvågiga srålningen (framförall nausrålning) är sörre vid klar än vid molnig himmel (Peersson, ). Efersom ake i de undersöka huse är så välisolera, anas a nausrålningens inverkan kan försummas. Mark: I programme är ine isoleringsförmågan i marken medagen, vilke kan liknas vid a huse sår på plinar. Dea ger uomhusklima under grunden, men i och med a grunden är så välisolerad är energiförluserna genom den försumbar. Då beräkningarna påbörjas anas a byggnaden så uppe en id, så a obalanser från byggiden säll in sig. I undersökningen baseras energiförluserna på uomhusemperauren (METEONORM 4.) och solinsrålningen (IBPT) genom fönsren. Daa avser Säve uanför Göeborg. 6. Värmebalans För a man ska kunna unyja värmelagringseffeken, måse inomhusemperauren illåas a variera, dock inom ine allför okomforabla gränser. För a kunna beräkna inomhusemperaurens variaion sam erforderlig energiförbrukning för en byggnad, ugår man från a värmeillförsel och värmeförluser är lika sora. Dea kallas värmebalansen för en byggnad. 5

37 Figur 6. och formel 6. beskriver hur värmebalansen ser u i denna modell: Q s = solinsrålning Q h = uppvärmning Q i = inernvärme Q v = venilaionsförluser Q fd = ransmissionsförluser genom fönser och dörrar Q = dynamisk värmeledning genom väggar, grund och ak T = inomhusemperaur T = uomhusemperaur Figur 6. Huses värmebalans. Värmeillförsel kommer från solinsrålning, uppvärmning och inernvärme. Förluserna besår av venilaion, ransmission och absorpion. Qs + Qh + Qi = Qv + Qfd + Q (6.) illförsel förluser 6.3 Indaa I dea avsni beskrivs de olika komponenerna i värmebalansen (6.) mer ingående Solinsrålning Q s Solsrålning kan delas upp i direk och diffus srålning. Den diffusa srålningen, som kommer från alla infallsvinklar, besår av spri ljus från lufmolekylerna och reflekera ljus från molnen. Andelen diffus srålning är sörre vid mulen himmel än vid klar himmel, efersom srålningen då reflekeras mo fler vaenpariklar (Peersson, ). Fördelningen mellan den direka solsrålningen och den diffusa beror på solvinkeln och molnigheen. Denna informaion har sammansälls i daabasen Inernaional Building Physics Toolbox, framagen för a användas inom byggnadsfysiken. Den direka solsrålningen I dir och den diffusa I diff, juseras beroende på molnighe, infallsvinkel α, fasadorienering och fönsrens ransmians. Dessa daa har jag få från Angela Sasic Kalagasidis vid insiuionen för byggnadsfysik på Chalmers. Den direka srålningen I dir blir olika för olika fasader. Beroende på solens infallsvinkel mo fönsre blir ransmiansen olika. Ju sörre infallsvinkel α deso lägre ransmians. För 3-glasfönser gäller a ransmiansen τ blir, se figur 6. (Ashrae Fundamenals, 997): 6

38 .8.8 Transmians 3-glasfönser.6 τ q τ α α q 9 [ ] Figur 6. Transmiansen τ för 3-glasfönser beroende på infallsvinkel α. Den del av den direka solsrålningen som ransmieras genom fönsren blir: dir dir I = I τ (α) [W/m ] (6.) Transmiansen för diffus srålning beror ej på någon infallsvinkel uan säs ill e konsan värde. Denna är samma för alla fasader. För 3-glasfönser blir ransmiansen τ =, 68 (Ashrae Fundamenals, 997). Diffus srålning som kommer in: diff diff I = I τ [W/m ] (6.3) Toal inkommande srålning blir: I + [W/m ] dir I diff (6.4) Dea mulipliceras med en så kallad shading coefficien SC =, 69 som ar hänsyn ill fönserkarmar och fönsrens smusighe (Ashrae Fundamenals, 997). På grund av solavskärmning, exempelvis usickande aksprång, räd och andra byggnader, anas a solinsrålningen minskas yerligare. E anagande är a 5 % av den direka srålningen skuggas bor, vilke ger en oal insrålningsinensie I o enlig följande: I =,69 (,5 I + I ) [W/m ] (6.5) o dir diff Den oala srålningen Q s som kommer in i huse blir summan av varje fasads srålningsinensie I o muliplicera med dess fönserarea A: Q s = I o, SO ASO + I o, SV ASV + I o, NO ANO + I o, NV ANV [W] (6.6) A SO = 35,6 m A SV = 6,8 m A NO = 6,7 m A NV =,5 m 7

39 6.3. Uppvärmning Q h Värmesyseme är sa ill a vara en funkion av inneremperauren. Dea säs på med en effek Q då emperauren inne sjunker under C enlig följande: h Qh = 4 ( T ) [W] då T < C Q [W] då T C (6.7) h = Inernvärme Q i Inernvärmen är uppskaad för vuxna och barn som anas bo i huse. Vid vila alsrar varje person W och vid akivie 3 W (Peersson, ). Inernvärme under e ypisk veckodagsdygn: kl 6-8 [W] Morgonsysslor kl 8-5 [W] Ingen hemma kl 5- [W] Efermiddags- och kvällsakivie kl -6 4 [W] Lugn akivie och vila Inernvärme under e ypisk helgdygn: kl 9- [W] Morgonsysslor kl -3 3 [W] Bara några hemma kl 3-5 [W] Lunch kl [W] Bara några hemma kl 7- [W] Efermiddags- och kvällsakivie kl -9 4 [W] Lugn akivie och vila (6.8) I modellen anas a inernvärmen Venilaion Q v Q i är samma varje vecka hela åre. Venilaionen i modellen är sa ill grundvenilaion på konsan n =, 5 omsäningar per imme. Då emperauren inomhus ( T ) siger över 5 C ökar venilaionen ill omsäningar i immen. Den exra venilaionen fungerar som kylning, någo anna kylsysem finns ine. n =,5 [oms/h] då T 5 C n =, [oms/h] då T 5 C (6.9) Kylningsförluserna Q v blir: [ T T ] Qv = K v [W] (6.) > där K n( T ) = [W/K] (6.) 36 v ( T ) V ρcluf Huses volym V = 53 m 3. 8

40 6.3.5 Transmissionsförluser genom fönser och dörrar Q fd Värmelagringen i fönser och dörrar anas vara så lien a den kan försummas, endas ransmissionsförluser förekommer. Q fd blir direk proporionell mo den akuella emperaurskillnaden: Q fd [ T T ] = Kfd [W] (6.) K fd Afd U fd = [W/K] (6.3) U-värde, U fd, är sa ill, [W/m K] och arean A fd =75,7 m Dynamisk värmeledning i väggar, grund och ak Q Den dynamiska värmeledningen i väggarna, grunden och ake beräknas med hjälp av formel (4.4): [ T T ] + K [ T T ] Q, n = K, n a, n, n, n Beräkningsmodellen är endimensionell, varför väggar, grund och ak räknas ihop ill e enda maerial. Huses oala ransmiiva responsfunkion Q ( τ ), blir summan av väggarnas, grundens och akes ransmiiva responsfunkioner q, vägg, q, grund, q, ak [W/m K], muliplicerade med respekive areor: Q ( τ ) = q,vägg( τ ) Avägg + q,grund( τ ) Agrund + q,ak ( τ ) Aak [W/K] (6.4) där Q,vägg( τ ) = q,vägg( τ ) Avägg, Q,grund ( τ ) = q,grund ( τ ) Agrund osv. (6.5) A vägg =45,m A ak =5,7m A grund = 3,m A innervägg =m A mellanbjälklag =4m Den oala ermiska kondukansen K blir: K = A U + vägg vägg A U + ak ak Agrund U [W/K] (6.6) grund U ak =,9 [W/m K], U grund =,9 [W/m K] Vid beräkning av den absorpiva responsfunkionen Q a ( τ ), finns föruom vägg, grund och ak, även innerväggarna och mellanbjälklage med, efersom de bidrar ill värmelagringen. Temperauren anas vara samma i hela huse, vilke gör a inge ransmiiv flöde uan endas absorpiv flöde påverkar innerväggarna. Dea simuleras genom a innerväggarnas jocklek delas på hälfen, med e inre mosånd som är oändlig, vilke gör a de ransmiiva flöde blir noll. Båda sidorna av väggen bidrar ill värmelagringen. Mosvarande gäller för mellanbjälklage. Den oala absorpiva responsfunkionen Q ( ) blir: a τ 9

41 Q a ( τ ) = q a,vägg + q ( τ ) A a,innervägg vägg ( τ ) A + q a,grund innervägg ( τ ) A + q grund + q a,mellanbjälklag a,ak ( τ ) A ( τ ) A ak + mellanbjälklag [W/K] (6.7) Den oala absorpiva kondukansen K beräknas därefer med (4.7): h K = Qa ( ) d = Q h τ τ a () Huses oala vikfakorer beräknas med hjälp av (4.9): κ a, ν Qa ( ν h h) Qa ( ν h) Q( νh) Q ( νh h) = och κ = K, ν Mahcad-programme som beräknar responsfunkionerna kan bara räkna på endimensionella homogena väggskik. På grund av reglarna i läregelväggen måse därför responsfunkionerna beräknas numerisk. Dea görs i e separa program HEAT. Figur 6.3 höger visar hur väggen förenklas i programme. K Figur 6.3 Yerväggskonsrukionen (från A-hus AB) och hur den förenklas i HEAT. De mörkgrå är räpanel och räreglar, de ljusgrå isolering och de via gips. Väggen delas in i många små celler. Därefer beräknas flöde per kvadrameer in i och u ur i konsrukionen numerisk för emperaursege - C. På så sä erhålls väggens admiiva och ransmiiva responsfunkionerna, som i sin ur ger de absorpiva och ransmiiva vikfakorerna, sam K och K. Även läregelväggens U-värde as fram i dea program. 6.4 Beräkning av inomhusemperauren För beräkning av inomhusemperauren ugår man från värmebalansen (6.). Vid diskreisering säs iden = nh, vilke beecknas med index n. Q h och Q v beror föruom på n även på värde av föregående idssegs inneemperaur, T, n-. 5 3

42 Tillförd energi blir Q s, n, Q h, n ( T, n- ) och Q i, n (se formlerna 6.6, 6.7 och 6.8). På förlussidan finns föruom Dessa skrivs: (4.4), även Q T ) (6.) och Q fd, n (6.). Q, n K v ( T, n [ T, n T n ] [ T T ] Q v, n ( T, n ) = ), Q fd, n Kfd, n, n v, n (, n = (6.8) De vikade medelemperaurerna från (4.6) uvecklas: T T = ν s κ, n, n, ν ν = ν = s a, n κ a, ν T, n ν ν = T ν s [ T, n ν T, n ν ] = κ, T, n κ, T, n + κ, ν [ T, n ν T, n ν ] ν = (6.9) T,n [ C] kan nu lösas u ur (6.): T, n = Q s, n + K + Q κ h, n, ( T, n- T, n ) + Q + K i, n + K ν s ν = v κ ( T, ν, n ( T ) T, n ν, n T + K, n ν fd ) T, n [ K ( T ) + K + K + K κ ] v + K, n ν s ν = κ a, ν, n ν fd T +, (6.) Ovansående formel 6. kan också beskrivas som en kres enlig figur 6.4. Figur 6.4 Kres som visar hur emperauren T, n förhåller sig ill uomhusemperaur, venilaion, solinsrålning, inernvärme och uppvärmning. 3

43 6.5 Beräkningsgång I programme beräknas förs byggnadens oala ransmiiva och absorpiva vikfakorer. Med hjälp av ovansående formel (6.) beräknas sedan inneemperauren T, n för e hel år. Begynnelseemperauren inne är C. Tidssege h är sa ill imme. Samidig beräknas energiförbrukningen Q h imme för imme. Årsförbrukning, inomhusemperaurens variaion och immar med exra venilaion ( oms/imme), as fram för a sedan kunna jämföras med de andra väggmaerialen. 3

44 7 Resula 7. Årlig energiförbrukning Programme har körs för de fyra olika väggkonsrukionerna. Den årliga energiförbrukningen i kwh per kvadrameer boya, blir enlig figur 7.: 9 Energiförbrukning [kwh/år,m ] E x 8 7 A = massivrä (48 mm) B = läbeong (48 mm) C = läregelkonsrukion (5 mm) D = massivrä (96 mm), isolering (6 mm), panel ( mm) 6 5 x A B C D Figur 7. Energiförbrukningen i kwh/år,m. Jämför man energiförbrukningen med de olika väggarnas U-värden, ser man a dessa är sark korrelerade. Se figur U-värde [W/m K].6 U x.4. x A B C D Figur 7. De olika väggkonsrukionernas U-värden. Dea visar a energiförbrukningen ill sörsa del är en funkion av väggens U-värde. En lien skillnad i energiförbrukning finns dock mellan den massiva räväggen (A) och läbeongväggen (B), ros a U-värde är exak lika sor. Värmekapacieen är de enda som skiljer A och B å, den är 5 % sörre för massivrä än för läbeong 5 ( 7,5 [Ws/m 3 5 K] mo 5 [Ws/m 3 K]). Ändå blir skillnaden i energiförbrukning 33

45 ine sörre än dryg %. Olikheen i energiförbrukning mellan läregelväggen (C) och massivrä+isolering (D) är försumbar, ros a U-värde är 8,7 % lägre för C än för D. En närmare undersökning av hur skillnaden i energiförbrukning blir för väggar med samma U-värde, finns i kapiel Komfor och venilaion Den sörsa skillnaden mellan A och B, respekive C och D finns ine i energiförbrukningen uan i huses invändiga ermiska komfor. Figur 7.3 visar inomhusemperauren för alla åres 876 immar, sorerade i sorleksordning. Med god komfor menas här a inneemperauren så många immar som möjlig under åre ligger mellan 8 och 5 ºC, sam a få immar med exra venilaion ( oms/imme) behövs. E må på dålig komfor, är yorna som begränsas av kurvorna och komforgränserna 8 och 5 ºC. Yorna får enheen gradimmar [ º C h] och är proporionell mo den överskosvärme respekive underskosvärme som uppsår under åre. Ju sörre ya, deso sämre komfor. [ºC] 35 Temperaurfördelning A nn B nn C nn D nn nn (immar) nn Figur 7.3 Inomhusemperauren för åres 876 immar, med emperaurerna sorerade i sorleksordning. 34

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av

Läs mer

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller! Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com

Läs mer

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation 1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara

Läs mer

2 Laboration 2. Positionsmätning

2 Laboration 2. Positionsmätning 2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni

Läs mer

3 Rörelse och krafter 1

3 Rörelse och krafter 1 3 Rörelse och krafer 1 Hasighe och acceleraion 1 Hur lång id ar de dig a cykla 5 m om din medelhasighe är 5, km/h? 2 En moorcykel accelererar från sillasående ill 28 m/s på 5, s. Vilken är moorcykelns

Läs mer

Skillnaden mellan KPI och KPIX

Skillnaden mellan KPI och KPIX Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas

Läs mer

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering Tjänseprisindex för varulagring och magasinering Branschbeskrivning för SNI-grupp 63.12 TPI-rappor nr 14 Kaarina Båh Chrisian Schoulz Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik, SCB November 2005

Läs mer

Konsumtion, försiktighetssparande och arbetslöshetsrisker

Konsumtion, försiktighetssparande och arbetslöshetsrisker Fördjupning i Konjunkurläge juni 12 (Konjunkurinsiue) Konjunkurläge juni 12 75 FÖRDJUPNING Konsumion, försikighessparande och arbeslöshesrisker De förvänade inkomsborfalle på grund av risk för arbeslöshe

Läs mer

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller

Läs mer

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET?

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? En undersökning av hur väl kolpulver framkallar åldrade fingeravryck avsaa på en ickeporös ya. E specialarbee uför under kriminaleknisk grundubildning vid

Läs mer

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30 Tekniska högskolan vid LiU Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam TENTAMEN I TPPE13 PRODUKTIONSEKONOMI för I,Ii FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18 Sal: Provkod:

Läs mer

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2 Lekion 3 Projekplanering (PP) as posiion Projekplanering Rev. 834 MR Nivå 1 Uppgif PP1.1 Lieraur: Olhager () del II, kap. 5. Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. e är indelade i fyra nivåer

Läs mer

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Second quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Saisiska cenralbyrån 213 Balance of Paymens. Fourh quarer 212 Saisics Sweden 213 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

Tjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster

Tjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster Tjänseprisindex för deekiv- och bevakningsjänser; säkerhesjänser Branschbeskrivning för SNI-grupp 74.60 TPI- rappor nr 17 Camilla Andersson/Kamala Krishnan Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik,

Läs mer

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll? Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.

Läs mer

n Ekonomiska kommentarer

n Ekonomiska kommentarer n Ekonomiska kommenarer Riksbanken gör löpande prognoser för löneuvecklingen i den svenska ekonomin. Den lönesaisik som används som bas för Riksbankens olika löneprognoser är den månaliga konjunkurlönesaisiken.

Läs mer

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera

Läs mer

Vad är den naturliga räntan?

Vad är den naturliga räntan? penning- och valuapoliik 20:2 Vad är den naurliga ränan? Henrik Lundvall och Andreas Wesermark Förfaarna är verksamma vid avdelningen för penningpoliik, Sveriges riksbank. Vilken realräna bör en cenralbank

Läs mer

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svesning Examensarbee uför i Reglereknik av Andreas Pilkvis LiTH-ISY-EX-- Linköping Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen

Läs mer

Det svenska konsumtionsbeteendet

Det svenska konsumtionsbeteendet NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Kandidauppsas i makroekonomi, 2008 De svenska konsumionsbeeende En ekonomerisk analys av den permanena inkomshypoesen Handledare : Fredrik NG Andersson Förfaare: Ida Hedlund

Läs mer

Tjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801

Tjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801 Ekonomisk saisik/ Enheen för prissaisik 2010-06-22 1(12) Tjänseprisindex (TP) 2010 PR0801 denna beskrivning redovisas förs allmänna uppgifer om undersökningen sam dess syfe, regelverk och hisorik. Därefer

Läs mer

Pensionsåldern och individens konsumtion och sparande

Pensionsåldern och individens konsumtion och sparande Pensionsåldern och individens konsumion och sparande Om hur en höjning av pensionsåldern kan ändra konsumionen och sparande. Maria Nilsson Magiseruppsas Naionalekonomiska insiuionen Handledare: Ponus Hansson

Läs mer

Timmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14

Timmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14 Timmar, kapial och eknologi vad beyder mes? Bilaga ill Långidsuredningen SOU 2008:14 Förord Långidsuredningen 2008 uarbeas inom Finansdeparemene under ledning av Srukurenheen. I samband med uredningen

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Third quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Saisiska cenralbyrån 2008 Balance of Paymens. Third quarer 2008 Saisics Sweden 2008 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Laboration 3: Växelström och komponenter

Laboration 3: Växelström och komponenter TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens

Läs mer

Kan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar

Kan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar Kan arbesmarknadens parer minska jämviksarbeslösheen? Teori och modellsimuleringar Göran Hjelm * Working aper No.99, Dec 2006 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 2006 * Analysen i denna rappor bygger på

Läs mer

FAQ. frequently asked questions

FAQ. frequently asked questions FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har

Läs mer

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet 1 File = SweTrans_RuMarch09Lohmander_090316 ETT ORD KORRIGERAT 090316_2035 (7 sidor inklusive figur) Sraegiska möjligheer för skogssekorn i Ryssland med fokus på ekonomisk opimering, energi och uhållighe

Läs mer

Brandklassad vägg med trästomme

Brandklassad vägg med trästomme Brandklassad vägg med räsomme Brandkrav och uförande Examensarbee inom högskoleingenjörsprogramme Byggingenjör TOBIAS PERSSON Insiuionen för bygg- och miljöeknik Avdelningen för byggnadseknologi CHALMERS

Läs mer

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo. 3D vaenanimering Joakim Julin Deparmen of Compuer Science Åbo Akademi Universiy, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.fi Absrak Denna arikel kommer a presenera e anal olika algorimer för a

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A

Läs mer

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa 1970- Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005 Modeller

Läs mer

TISDAGEN DEN 20 AUGUSTI 2013, KL 8-12. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9

TISDAGEN DEN 20 AUGUSTI 2013, KL 8-12. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9 ekniska högskolan vid Li Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam EAME I PPE08 PROKIOSEKOOMI för M ISAGE E 20 AGSI 203, KL 8-2 Sal: ER Provkod: E2 Anal uppgifer:

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k) TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns

Läs mer

Tunga lyft och lite skäll för den som fixar felen

Tunga lyft och lite skäll för den som fixar felen Tunga lyf och lie skäll för den som fixar felen De fixar soppe i avloppe, de rasiga gångjärne, den läckande vämaskinen. De blir uskällda, igenkända, välkomnade. A jobba hemma hos människor har sina särskilda

Läs mer

Generell dimensionering av ett grundelement i Sandwich

Generell dimensionering av ett grundelement i Sandwich Projeknummer Kund Rappornummer D4.089.00 Läa karossmoduler TR08-006 Daum Referens Revision 008-0-7 Regisrerad Ufärdad av Granskad av Godkänd av Klassificering Open Generell dimensionering av e grundelemen

Läs mer

Upphandlingar inom Sundsvalls kommun

Upphandlingar inom Sundsvalls kommun Upphandlingar inom Sundsvalls kommun 1 Innehåll Upphandlingar inom Sundsvalls kommun 3 Kommunala upphandlingar - vad är de? 4 Kommunkoncernens upphandlingspolicy 5 Vad är e ramaval? 6 Vad gäller när du

Läs mer

Modellering av Dynamiska system Ställ frågor!

Modellering av Dynamiska system Ställ frågor! Modellering av Dynamiska sysem -2014 Säll frågor! Beng Carlsson bc@i.uu.se Rum 2211 Inrodukion #1 Sysem och deras modeller Dynamiska och saiska sysem Användning av modeller Maemaisk modellering E modelleringsexempel

Läs mer

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer: Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och

Läs mer

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Om exponentialfunktioner och logaritmer Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens

Läs mer

Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2

Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2 Föreläsning 8 Kap 7,1 7,2 1 Kap 7: Klassisk komponenuppdelning: Denna meod fungerar bra om idsserien uppvisar e saisk mönser. De är fyra komponener i modellen: Muliplikaiv modell: Addiiv modell: där y

Läs mer

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra

Läs mer

Realtidsuppdaterad fristation

Realtidsuppdaterad fristation Realidsuppdaerad frisaion Korrelaionsanalys Juni Milan Horemuz Kungliga Tekniska högskolan, Insiuion för Samhällsplanering och miljö Avdelningen för Geodesi och geoinformaik Teknikringen 7, SE 44 Sockholm

Läs mer

Damm och buller när avfall blir el

Damm och buller när avfall blir el Damm och buller när avfall blir el Här blir avfall värme och el, rä och flis eldas i sora pannor. De är rör med ånga, hjullasare och långradare, damm och buller. En miljö som både kan ge skador och sjukdomar

Läs mer

Ansökan till den svenskspråkiga ämneslärarutbildningen för studerande vid Helsingfors universitet. Våren 2015

Ansökan till den svenskspråkiga ämneslärarutbildningen för studerande vid Helsingfors universitet. Våren 2015 Ansökan ill den svenskspråkiga ämneslärarubildningen för suderande vid Helsingfors universie Våren 2015 Enheen för svenskspråkig ämneslärarubildning info-amneslarare@helsinki.fi fn 02-941 20606, 050-448

Läs mer

Att studera eller inte studera. Vad påverkar efterfrågan av högskole- och universitetsutbildningar i Sverige?

Att studera eller inte studera. Vad påverkar efterfrågan av högskole- och universitetsutbildningar i Sverige? NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee C Förfaare: Ameli Frenne Handledare: Björn Öcker Termin och år: VT 2009 A sudera eller ine sudera. Vad påverkar eferfrågan av högskole- och

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H6 MATEMATIK Chalmers Repeiionsuppgifer Inegraler och illämpningar av inegraler. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen arcan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergen eller divergen. Beräkna den

Läs mer

Elektroniska skydd Micrologic 2.0 och 5.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual

Elektroniska skydd Micrologic 2.0 och 5.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual Elekoniska skydd Lågspänningsuusning Användarmanual Building a Newavancer Elecicl'élecicié World Qui fai auan? Elekoniska skydd Inodukion ill de elekoniska skydde Lära känna de elekoniska skydde Funkionsöversik

Läs mer

Truckar och trafik farligt för förare

Truckar och trafik farligt för förare De händer en del i rafiken. För några år sedan körde en av Peer Swärdhs arbeskamraer av vägen. Pressade ider, ruckar och unga fordon. På åkerie finns många risker. Arbesgivaren är ansvarig för arbesmiljön,

Läs mer

Egnahemsposten i konsumentprisindex. KPI-utredningens förslag. Specialstudie Nr 2, maj 2002

Egnahemsposten i konsumentprisindex. KPI-utredningens förslag. Specialstudie Nr 2, maj 2002 Egnahemsposen i konsumenprisindex En granskning av KPI-uredningens förslag Specialsudie Nr 2, maj 22 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 22 Konjunkurinsiue (KI) gör analyser och prognoser över den svenska

Läs mer

Tjänsteprisindex för Rengöring och sotning

Tjänsteprisindex för Rengöring och sotning Tjänseprisindex för Rengöring och soning Branschbeskrivning för SNI-grupp 74.7 TPI-rappor nr 18 Thomas Olsson Tjänseprisindex, Priser (MP/PR), SCB 2007 Förord Som e led i a förbära den ekonomiska saisiken

Läs mer

Personlig assistans en billig och effektiv form av valfrihet, egenmakt och integritet

Personlig assistans en billig och effektiv form av valfrihet, egenmakt och integritet Personlig assisans en billig och effekiv form av valfrihe, egenmak och inegrie En jämförelse mellan kosnaderna för personlig assisans och kommunal hemjäns 1 Denna rappor är en försa del av e projek vars

Läs mer

Förslag till minskande av kommunernas uppgifter och förpliktelser, effektivisering av verksamheten och justering av avgiftsgrunderna

Förslag till minskande av kommunernas uppgifter och förpliktelser, effektivisering av verksamheten och justering av avgiftsgrunderna Bilaga 2 Förslag ill minskande av kommuner uppgifer och förplikelser, effekivisering av verksamheen och jusering av avgifsgrunderna Ågärder som minskar kommuner uppgifer Inverkan 2017, milj. euro ugifer

Läs mer

Konjunkturinstitutets finanspolitiska tankeram

Konjunkturinstitutets finanspolitiska tankeram Konjunkurinsiues finanspoliiska ankeram SPECIALSTUDIE NR 16, MARS 2008 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET (KI) gör analyser och prognoser över den svenska och ekonomin sam bedriver forskning

Läs mer

VA-TAXA. Taxa för Moravatten AB:s allmänna vatten- och avloppsanläggning

VA-TAXA. Taxa för Moravatten AB:s allmänna vatten- och avloppsanläggning VA-TAXA 2000 Taxa för Moravaen AB:s allmänna vaen- och avloppsanläggning Taxa för Moravaen AB:s Allmänna vaen- och avloppsanläggning 4 4.1 Avgif as u för nedan angivna ändamål: Anagen av Moravaen AB:s

Läs mer

Förord: Sammanfattning:

Förord: Sammanfattning: Förord: Denna uppsas har illkommi sedan uppsasförfaarna blivi konakade av Elecrolux med en förfrågan om a undersöka saisikmodulen i deras nyimplemenerade affärssysem. Vi vill därför acka vår handledare

Läs mer

Utveckling av portföljstrategier baserade på svagt kointegrerade finansiella instrument med AdaBoosting. Helena Nilsson

Utveckling av portföljstrategier baserade på svagt kointegrerade finansiella instrument med AdaBoosting. Helena Nilsson Uveckling av porföljsraegier baserade på svag koinegrerade finansiella insrumen med AdaBoosing Helena Nilsson Februari 15, 2009 Absrac Financial analyss are consanly rying o find new rading sraegies in

Läs mer

Växjö kommun En jämförande studie om svårigheter vid miljömålsformulering

Växjö kommun En jämförande studie om svårigheter vid miljömålsformulering Fakuleen för hälso- och livsveenskap Eamensarbee Väjö kommun En jämförande sudie om svårigheer vid miljömålsformulering Sara Berglund Huvudområde: Miljöveenskap Nivå: Grundnivå Nr: 2013:M9 Eamensarbees

Läs mer

Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14.

Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. STOCKHOLMS UNIVERSITET Naionalekonomiska insiuionen Mas Persson Tenamen på grundkursen EC1201: Makroeori med illämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. Tenamen besår av io frågor

Läs mer

Ha kul på jobbet är också arbetsmiljö

Ha kul på jobbet är också arbetsmiljö Tväeri, kök, recepion, konor, hoellrum Här finns många olika arbesuppgifer och risker. Och på jus de här hoelle finns e sälle där de allid är minus fem grader en isbar. Ha kul på jobbe är också arbesmiljö

Läs mer

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL!

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL! Exempelena 3 Anvisningar 1. Du måse lämna in skrivningsomslage innan du går (även om de ine innehåller några lösningsförslag). 2. Ange på skrivningsomslage hur många sidor du lämnar in. Om skrivningen

Läs mer

Informationsteknologi

Informationsteknologi Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik

Läs mer

Växelkursprognoser för 2000-talet

Växelkursprognoser för 2000-talet Naionalekonomiska insiuionen Kandidauppsas Januari 28 Växelkursprognoser för 2-ale Handledare Thomas Elger Fredrik NG Andersson Förfaare Kenh Hedberg Sammanfaning Tiel: Växelkursprognoser för 2-ale Ämne/kurs:

Läs mer

D-UPPSATS. Prisutvecklingen av järnmalm 1970-2000

D-UPPSATS. Prisutvecklingen av järnmalm 1970-2000 D-UPPSATS 2006:126 Prisuvecklingen av järnmalm 1970-2000 En jämförelse av Hoellingmodellen och den fakiska uvecklingen Timo Ryhänen Luleå ekniska universie D-uppsas Naionalekonomi Insiuionen för Indusriell

Läs mer

Håkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14

Håkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14 1 Drifsredovisning inom skadeförsäkring - föreläsningsaneckningar ill kursavsnie Drifsredovisning i kursen Försäkringsredovi s- ning, hösen 2004 (Preliminär version) Håkan Pramsen, Länsförsäkringar 2003-09-14

Läs mer

Jämställdhet och ekonomisk tillväxt En studie av kvinnlig sysselsättning och tillväxt i EU-15

Jämställdhet och ekonomisk tillväxt En studie av kvinnlig sysselsättning och tillväxt i EU-15 Examensarbee kandidanivå NEKK01 15 hp Sepember 2008 Naionalekonomiska insiuionen Jämsälldhe och ekonomisk illväx En sudie av kvinnlig sysselsäning och illväx i EU-15 Förfaare: Sofia Bill Handledare: Ponus

Läs mer

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv

Läs mer

Aktiverade deltagare (Vetenskapsteori (4,5hp) HT1 2) Instämmer i vi ss mån

Aktiverade deltagare (Vetenskapsteori (4,5hp) HT1 2) Instämmer i vi ss mån 2012-10-30 Veenskapseori (4,5hp) HT12 Enkäresula Enkä: Saus: Uvärdering, VeTer, HT12 öppen Daum: 2012-10-30 14:07:01 Grupp: Besvarad av: 19(60) (31%) Akiverade delagare (Veenskapseori (4,5hp) HT1 2) 1.

Läs mer

Diverse 2(26) Laborationer 4(26)

Diverse 2(26) Laborationer 4(26) Diverse 2(26) (Reglereknik) Marin Enqvis Reglereknik Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie Föreläsare och examinaorer: Marin Enqvis (ISY) Simin Nadjm-Tehrani (IDA) Lekionsassisener: Jonas Callmer

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 FREDAGEN DEN 1 JUNI 21 KL 8. 13. Examinaor : Lars Hols,

Läs mer

Hedgefonder och aktiefonder - En studie av riskexponering och market-timing på den svenska marknaden

Hedgefonder och aktiefonder - En studie av riskexponering och market-timing på den svenska marknaden Magiseruppsas i finansiering Föreagsekonomiska insiuionen FEK 591 Lunds Universie Hedgefonder och akiefonder - En sudie av riskexponering och marke-iming på den svenska marknaden Handledare Hossein Asgharian

Läs mer

Glada barnröster kan bli för höga

Glada barnröster kan bli för höga Glada barnröser kan bli för höga På Silverbäckens förskola är ambiionerna höga. Här vill man mycke, och kanske är de jus därför de blir sressig ibland. De säger Therese Wesin, barnsköare och skyddsombud.

Läs mer

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996 Jobbflöden i svensk induri 1972-1996 av Fredrik Andersson 1999-10-12 Bilaga ill Projeke arbeslöshesförsäkring vid Näringsdeparemene Sammanfaning Denna udie dokumenerar heerogenieen i induriella arbesällens

Läs mer

Optimal prissäkringsstrategi i ett råvaruintensivt företag Kan det ge förbättrad lönsamhet?

Optimal prissäkringsstrategi i ett råvaruintensivt företag Kan det ge förbättrad lönsamhet? Föreagsekonomiska Magiseruppsas Insiuionen Höserminen 2004 Opimal prissäkringssraegi i e råvaruinensiv föreag Kan de ge förbärad lönsamhe? Förfaare: Marin Olsvenne Tobias Björklund Handledare: Hossein

Läs mer

Inbyggd radio-styrenhet 1-10 V Bruksanvisning

Inbyggd radio-styrenhet 1-10 V Bruksanvisning Version: R 2.1 Ar. r.: 0865 00 Funkion Radio-syrenheen möjliggör en radiosyrd ändning/ släckning och ljusdämpning av en belysning. Inkopplingsljussyrkan kan sparas i apparaen som memory-värde. Bejäning

Läs mer

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic Tenamen TEN, HF, 6 aug 6 Maemaisk saisik Kurskod HF Skrivid: 8:5-:5 Lärare och examinaor : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifoga formelhäfe ("Formler och abeller i saisik ") och miniräknare av vilken y som

Läs mer

Monetära modellers prognosförmåga för den svenska kronans utveckling

Monetära modellers prognosförmåga för den svenska kronans utveckling NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universie Examensarbee D Förfaare: Per Jonsson Handledare: Annika Alexius HT 2005 Moneära modellers prognosförmåga för den svenska kronans uveckling Sammanfaning

Läs mer

Specifik ångbildningsentalpi (kj/kg) 10 0.012271 2477 20 0.023368 2453 30 0.042418 2406 40 0.073750 2592 10p. (bar)

Specifik ångbildningsentalpi (kj/kg) 10 0.012271 2477 20 0.023368 2453 30 0.042418 2406 40 0.073750 2592 10p. (bar) B yckfalle öve e ösysem som anspoea olja 60 km ä 6. a. e fösa 0 km anspoeas oljan i en pipeline och efe 0 km dela oljan sig i vå paallella pipelines, se figu. Röens diamee ä 0. m och oljans viskosie ä

Läs mer

Är terminspriserna på Nord Pool snedvridna?

Är terminspriserna på Nord Pool snedvridna? NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee D Förfaare: Handledare: Pär Holmberg och Erik Glans Termin och år: Höserminen 2007 Är erminspriserna på Nord Pool snedvridna? En sudie av

Läs mer

Undersökning av energibalansen i ljusbågsugnar

Undersökning av energibalansen i ljusbågsugnar Energisnål dubbel liksrömsljusbågsugn för skro av låg kvalie Den energimässig opimerade dubbla liksrömsljusbågsugnen från ABB erbjuder sålindusrin e smälaggrega som illåer konkurrenskrafig produkion av

Läs mer

1. Geometriskt om grafer

1. Geometriskt om grafer Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den

Läs mer

Skuldkrisen. Världsbanken och IMF. Världsbanken IMF. Ställ alltid krav! Föreläsning KAU Bo Sjö. En ekonomisk grund för skuldanalys

Skuldkrisen. Världsbanken och IMF. Världsbanken IMF. Ställ alltid krav! Föreläsning KAU Bo Sjö. En ekonomisk grund för skuldanalys Skuldkrisen Föreläsning KAU Bo Sjö Världsbanken och IMF Grund i planeringen efer 2:a världskrige Världsbanken Ger (hårda) lån ill sora infrasrukurprojek i uvecklingsländer. Hisorisk se, lyckas bra, lånen

Läs mer

Utveckling av testrigg för mätning av däckfriktion mot vinterväglag

Utveckling av testrigg för mätning av däckfriktion mot vinterväglag 006:198 CIV EXAMENSARBETE Uveckling av esrigg för mäning av däckfrikion mo vinerväglag THORBJÖRN ALDGÅRD DAVID JOHANSSON CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET Maskineknik Luleå ekniska universie Insiuionen för Tillämpad

Läs mer

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion) Insiuionen för maemaik KTH För Kursen 5B09/5B5: Lien formelsamling Speciella funkioner Språngfunkionen (Heavisides funkion) u() =, om > 0, 0, om < 0. Signumfunkionen sign =, om > 0,, om < 0. Rekangelfunkionen

Läs mer

Utveckling av testrigg för mätning av däckfriktion mot vinterväglag

Utveckling av testrigg för mätning av däckfriktion mot vinterväglag Förord Förord Dea examensarbee ugör en del i e sörre forskningsprojek för a öka kunskapen inom ämnesområde vinerväglag. Syfe med examensarbee är a konsruera en esrigg som en sar på forskningsprojeke. Tesriggen

Läs mer

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti.

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti. Tenamen: Miljö och Maemaisk Modellering MVE345) för TM Åk 3, VÖ3 klockan 4.00 den 27:e augusi. För uppgifer som kräver en numerisk lösning så skriv ned di svar och hur ni gick ill väga för a lösa uppgifen

Läs mer

Välkommen till. och. hedersvåld försvara ungdomarnas rättigheter. agera mot. Illustration: www.istockphoto.com. juno blom

Välkommen till. och. hedersvåld försvara ungdomarnas rättigheter. agera mot. Illustration: www.istockphoto.com. juno blom Välkommen ill och Illusraion: www.isockphoo.com # 6 OKTOBER 2009 årg 3 SkandinaviSk SjukvårdSinformaion agera mo juno blom hedersvåld försvara ungdomarnas räigheer Själavårdarna inom Kriminalvården samalar

Läs mer

Texten " alt antagna leverantörer" i Adminstrativa föreskrifter, kap 1 punkt 9 utgår.

Texten  alt antagna leverantörer i Adminstrativa föreskrifter, kap 1 punkt 9 utgår. I Anal: 4 Bilaga Avalsmall Ubilning (si. 6) Föryligane önskas om vilken sors ubilning som avses i skrivningen Ubilning skall illhanahållas kosnasfri 0 :40:04 Se a sycke. "Vi leverans ubilar leveranören

Läs mer

Bygget är det roligaste vi gjort

Bygget är det roligaste vi gjort d r ö m h u s1 Humlebacken. E Karlsonhus på 1,5 plan med sammanlag 218 kvadrameer. Här bor Mikael och Viveka Gulda med barnen Josefin, 17 år, och Max, 14 år, sam de vå heliga birmakaerna Beckham och Hamle.

Läs mer

3. Matematisk modellering

3. Matematisk modellering 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes

Läs mer

Funktionen som inte är en funktion

Funktionen som inte är en funktion Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen

Läs mer

Energieffektivisering, Seminare 2 2010-02-05, verision 1. Tunga byggnader och termisk tröghet En energistudie

Energieffektivisering, Seminare 2 2010-02-05, verision 1. Tunga byggnader och termisk tröghet En energistudie Energieffektivisering, Seminare 2 2010-02-05, verision 1 Tunga byggnader och termisk tröghet En energistudie Robert Granström Marcus Hjelm Truls Langendahl robertgranstrom87@gmail.com hjelm.marcus@gmail.com

Läs mer

En modell för optimal tobaksbeskattning

En modell för optimal tobaksbeskattning En modell för opimal obaksbeskaning under idsinkonsisena preferenser och imperfek informaion Krisofer Törner* 1 Engelsk iel: A model for opimal obacco excise axaion under imeinconsisen preferences and

Läs mer

Många risker när bilen mals till plåt

Många risker när bilen mals till plåt Många risker när bilen mals ill plå Lasbilar kommer med ujäna bilar och anna skro. En griplasare lyfer upp de på e rullband och all glider in i en kvarn. Där mals meallen ill småbiar. De är ung och farlig.

Läs mer

Innehållsförteckning

Innehållsförteckning Ds 2000:9 3 Förord Den 15 maj 1998 besluade riksdagen om riklinjer för en reformering av reglerna om ersäning vid varakig medicinsk grundad arbesoförmåga (prop. 1997/98:111 Reformerad föridspension, m.m.

Läs mer