MARIANNA EULER ET NORBERT EULER THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS D ALGÈBRE LINÉAIRE VOLUME 1 ESPACES EUCLIDIENS

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2 MARIANNA EULER ET NORBERT EULER THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS D ALGÈBRE LINÉAIRE VOLUME ESPACES EUCLIDIENS

3 Théorie et Problèmes Résolus d Algèbre Linéaire: Volume Espaces Euclidiens e édition 27 Marianna Euler, Norbert Euler & bookboon.com ISBN Evaluation par : Professor Adrian Constantin, Universität Wien, Österreich/King s College London, UK and Professor Denis Blackmore, New Jersey Institute of Technology, USA Traduit de l anglais par Benoit Mahault 2

4 Contenu CONTENU Vecteurs, droites et plans dans R 3 9. Opérations sur les vecteurs et le produit scalaire 9.2 Le produit vectoriel 7.3 Les plans et leurs équations 22.4 Les droites et leur paramétrisation 29.5 Supplément sur les droites et les plans 39.6 Exercices 56 2 Algèbre matricielle et pivot de Gauss L addition et la multiplication de matrices Le déterminant de matrices carrées Les matrices carrées inversibles La méthode du pivot de Gauss pour les systémes d équations linéaires Les systèmes d équations linéaires carrés Les systèmes d équations linéaires dans R Intersection des droites dans R Exercises Akademikernas a-kassa För alla akademiker. Hela arbetslivet. Försäkra din lön för 9 kronor i på Twitter facebook.com/akademikernas aea.se/blimedlem 3

5 Contenu 3 Familles génératrices et familles libres 2 3. Combinaisons linéaires de vecteurs Familles génératrices Les familles libres et liées Exercices 42 4 Applications linéaires entre espaces euclidiens Applications linéaires : ensemble de dénition et ensemble image Matrices canoniques et applications composées Les applications linéaires inversibles Exercices 92 A Le calcul matriciel avec Maple 25 4

6 Préface Préface Ce livre est le premier d une série de trois ouvrages intitulés Théorie et Problèmes Résolus d algèbre linéaire. Cette première partie traite des vecteurs en espace euclidien, des matrices ainsi que de leur algèbre, et des systèmes d équations linéaires. Nous résolvons des systèmes linéaires en utilisant, entre autres, la méthode du pivot de Gauss et étudions les propriétés de ces systèmes à l aide des vecteurs et des matrices. De plus, nous nous intéressons aux applications linéaires de la forme T : R n R m et calculons la matrices canonique les décrivant. La seconde partie de cette série est intitulée Espaces Vectoriels (pas encore disponible en français). Dans celle-ci nous définissons les concepts d espace vectoriel, de base, de dimension et de coordonnées dans ces espaces. Ce qui nous amène aux applications linéaires entre espaces vectoriels et euclidiens. Nous étudions aussi plusieurs espaces euclidiens, par exemple l espace nul, l espace colonne ainsi que l espace propre des matrices. Nous utilisons ensuite les vecteurs propres et des transformations similaires afin de diagonaliser les matrices carrées. Dans la troisième partie, intitulée Espaces préhilbertiens (pas encore disponible en français), nous incluons le produit scalaire de deux vecteurs aux espaces vectoriels. Ceci rend possible les définitions des bases orthogonales et orthonormées, des espaces orthogonaux ainsi que des projections orthogonales des vecteurs sur des sous espaces de dimension finie. La méthode dite des moindres carrés est introduite comme la meilleure approximation des systèmes linéaires incompatibles Ax = b. Le but de cette série est de fournir aux étudiants un ensemble structuré de problèmes résolus soigneusement choisis ainsi qu une opportunité d approfondir leurs connaissances acquises en cours d algèbre linéaire. Chaque chapitre comporte un bref résumé des notions théoriques importantes dans les Notes théoriques. Elles sont suivies par une sélection de Problèmes en rapport avec ces concepts, puis pour chacun une Solution détaillée est fournie. Enfin, à la fin de chaque chapitre se trouve une liste d exercices liés aux problèmes (avec solutions). Cette structure est commune à tous les ouvrages de la série. Cette architecture particulière fait que ces livres ne sont pas des manuels traditionnels d un cours d algèbre linéaire. Nous pensons au contraire qu il peuvent être utiles en tant que support à un manuel classique. Nous cherchons à guider les étudiants, en particulier ceux venant des filières techniques et scientifiques, en leur fournissant les outils afin qu ils acquièrent une meilleure compréhension des notions abstraites d algèbre linéaire. Cette série peut aussi servir au développement et à l amélioration des techniques de résolution de problèmes. Nous prévoyons que les étudiants trouveront ici des méthodes alternatives, ainsi que des exercices allant au delà de ce qui est classiquement proposé en algèbre linéaire, et nous espérons que ceci augmentera leur intérêt pour le sujet. 5

7 Note aux etudiants Note aux étudiants Nous suggérons que vous vous attaquiez d abord aux Problèmes par vous même, avec l aide fournie par les Notes théoriques ci nécessaire, avant de lire les Solutions proposées. Nous pensons que cette façon d étudier l algèbre linéaire vous sera utile car elle devrait vous permettre de faire de nouvelles connexions entre les différents concepts et possiblement d apprendre des méthodes alternatives à la résolution de problèmes. Chaque sous partie de chaque chapitre de ce livre (qui constitue la première partie de cette série sur l algèbre linéaire) est généralement auto consistante, vous devriez donc pouvoir travailler sur les problèmes dans l ordre que vous préférez. Par conséquent si vous voulez étudier le dernier chapitre, vous n avez pas besoin de traiter tous les chapitres précédents. Afin de faciliter la lecture du livre nous avons, en plus de la table des matières et de l index présents au début et à la fin, utilisé les couleurs pour indiquer les Notes théoriques, Problèmes et Solutions. Ce livre comprend plus de problèmes résolus et plus de exercices avec solutions. Bonne lecture! Marianna Euler et Norbert Euler Luleå, avril 26 6

8 Notations Notations R : R n : L ensemble des nombres réels. L espace euclidien contenant les vecteurs à n composantes v =(v,v 2,...,v n ) pour tout v j R. v : La norme (ou longueur) du vecteur v. ˆv : Le vecteur unitaire orienté selon v ; ˆv = v v. P P 2 : Le vecteur de R 3 pointant de P à P 2. u v : Le produit scalaire des vecteurs u et v dans R n. u v : Le produit vectoriel des vecteurs u et v dans R 3. u (v w) : Le produit mixte des vecteurs u, v et w dans R 3. proj v u : La projection orthogonale du vecteur u sur le vecteur v. {e, e 2,, e n } : La base canonique de R n. A =[a a 2 a n ]=[a ij ] : Une matrice m n formée des colonnes a j R m, j =, 2,...,n. I n =[e e 2 e n ] : La matrice identité n n avec e j les vecteurs de la base canonique de R n. det A or A : Le déterminant de la matrice carrée A. A : La matrice inverse de la matrice carrée A. A l B : Les matrices A et B sont l-équivalentes (ligne-équivalentes). [A b] : La matrice augmentée correspondant à l équation Ax = b. Vect {u, u 2,, u p } : Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs {u, u 2,, u p }. 7

9 Notations (suite) Notations (suite) T : R n R m : Une application des vecteurs de R n dans R m. C T : Le codomaine (ou ensemble d arrivée) de l application T. D T : L ensemble de définition de l application T. R T : L ensemble image de l application T. T : x T (x) : Une application T associant T (x) à un vecteur x. T : x T (x) =Ax : T 2 T : Une application linéaire T associant au vecteur x le vecteur Ax. Une application composée. T : L application réciproque de T. Remerciements Nous tenons à remercier chaleureusement nos collègues Dr. Stefan Ericsson et Dr. Johan Byström pour leur lecture de la Première Edition et leurs remarques précieuses. Nous remercions aussi Dr. Ove Edlund pour ses remarques utiles concernant l annexe de cette Seconde Edition. 8

10 Vecteurs, droites et plans dans R3 Chapitre Vecteurs, droites et plans dans R 3 Le but de ce chapitre : Nous considérons les vecteurs de l espace euclidien R 3 et utilisons les opérations usuelles de l addition de vecteurs, la multiplication de vecteurs par des scalaires (nombres réels), le produit scalaire, et le produit vectoriel de deux vecteurs afin de calculer des longueurs, des aires, des volumes et les projections orthogonales d un vecteur sur un autre vecteur (ou sur une droite). Nous nous servons de ces vecteurs pour paramétrer les droites et trouver les équations de plan dans R 3. Nous montrons comment calculer les distances entre un point et une droite, un point et un plan, entre deux plans, une droite et un plan, mais aussi entre deux droites dans R 3.. Opérations sur les vecteurs et le produit scalaire Dans ce sous-chapitre nous étudions les opérations usuelles sur les vecteurs de R 3, dont le produit scalaire. Nous appliquons ces connaissances au calcul de la longueur (ou norme) d un vecteur, la distance et l angle entre deux vecteurs, ainsi que la projection orthogonale d un vecteur sur un autre et la réflexion d un vecteur par rapport à un autre. Note théorique.. Considérons les trois vecteurs u, v et w dans R 3. Supposons qu ils aient pour origine (,, ) et se terminent respectivement aux points (u,u 2,u 3 ), (v,v 2,v 3 )et(w,w 2,w 3 ). Onappelle cesdernierscoordonnées des vecteurs, réciproquement u, v et w sont nommés les vecteurs position associés. Nous écrivons donc u =(u,u 2,u 3 ), v =(v,v 2,v 3 ), w =(w,w 2,w 3 ). Le vecteur position u associé au point P ayant pour coordonnées (u,u 2,u 3 ) est montré à la figure.. Afin d alléger les notations, nous désignerons par P :(u,u 2,u 3 ) les coordonnées du point P. L addition de deux vecteurs u et v, notée u+v, est le vecteur de R 3 s écrivant u + v =(u + v,u 2 + v 2,u 3 + v 3 ). 9

11 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure. Vecteur position u associé au point P de coordonnées (u,u 2,u 2 ). Une illustration est donnée figure.2. Considérant un troisième vecteur w R 3 la propriété suivante est satisfaite (u + v)+w = u +(v + w). La multiplication de u par un nombre réel (ou scalaire), notée ru, est le vecteur de R 3 défini par ru =(ru, ru 2, ru 3 ). Le vecteur ru est aussi appelé dilatation de u. Nous avons Propriétés : u = = (,, ) le vecteur nul u =( )u =( u, u 2, u 3 ) est appelé l opposé du vecteur u u v = u +( )v =(u v,u 2 v 2,u 3 v 3 ) u u =. Le produit scalaire de u et v, n o t é u v, est le nombre réel donné par : u v = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3 R. La norme de u, notée u, est la longueur de u définie selon u = u u.

12 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.2 Addition des vecteurs u et v, ainsi que quelques dilatations du vecteur u. La distance entre deux points P and P 2 de vecteurs position respectivement u = (u,u 2,u 3 ) and v =(v,v 2,v 3 ), est donnée par la norme du vecteur P P 2 (voir la figure.3), i.e. P P 2 = v u. Un vecteur unitaire et un vecteur de norme. Tout vecteur non nul u R 3 peut être normalisé en un unique vecteur unitaire, noté û, de même direction que u. Nous avons donc, û =. û est appelé vecteur directeur de u, d où la relation u = u û. L ensemble de vecteurs unitaires {e, e 2, e 3 }, avec e = (,, ), e 2 = (,, ), e 3 = (,, ) est dénommé base canonique de R 3. Le vecteur u =(u,u 2,u 3 ) peut donc s écrire sous la forme u = u e + u 2 e 2 + u 3 e 3. Notons θ l angle entre u et v. La définition du produit scalaire et la loi des cosinus impliquent que u v = u v cos θ R. Ce qui signifie que les vecteurs u et v sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si et seulement si u v =. La projection orthogonale de w sur u, notée proj u w, est le vecteur proj u w =(w û )û R 3,

13 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.3 La distance entre P et P 2. o ù û est le vecteur directeur de proj u w et w û est la longueur de proj u w ( indique la valeur absolue). Une illustration est donnée à la figure.4. Figure.4 La projection orthogonale de w sur u. 2

14 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème... Considérons les vecteurs suivants dans R 3 : u = (, 2, 3), v = (2,, ), w = (3,, ). a) Trouver la longueur du vecteur u, ainsi que le vecteur unitaire donnant sa direction. b) Trouver l angle entre u et v. c) Projeter orthogonalement w sur le vecteur v. d) Trouver le vecteur qui est la réflexion de w par rapport à v. Unlock your potential elibrary solutions from bookboon is the key elibrary Interested in how we can help you? ban@bookboon.com 3

15 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution... a) La longueur de u = (, 2, 3) est u = = 4. La direction de u = (, 2, 3) est donnée par le vecteur unitaire û, défini par û = u (, 2, 3) 2 3 = =(,, ). u On remarquera que û =. b) L angle θ entre u = (, 2, 3) et v = (2,, ) (Voir figure.5) et calculé à l aide du produit scalaire u v = u v cos θ, qui donne D où cos θ = ()(2) + (2)() + (3)() 4 5 = ( ) 5 θ = cos Figure.5 Angle θ entre les vecteurs u et v c) La projection orthogonale du vecteur w = (3,, ) sur le vecteur v = (2,, ), notée proj v w ou w v, donne les coordonnées de w dans la direction de v. Elle est donnée par ( w v ) (3)(2) + ()() + ()() proj v w =(w ˆv ) ˆv = v = v v (2,, )=( 2 5,, 6 5 )=w v. d) La réflexion de w par rapport à v est donnée par le vecteur w (voir la figure.6), avec w = OB + BC. Comme nous avons OB = proj v w, BC = AB et AB = projv w w, nous en déduisons w = proj v w + (proj v w w) = 2 proj v w w. 4

16 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.6 Le vecteur w est réfléchi par rapport à v Calculons, proj v w =( 2 5,, 6 5 ) w = 2( 2 5,, 6 5 ) (3,, ) = (9 2,, 5 5 ). Problème..2. Considérons les deux vecteurs de R 3 : u =(u,u 2,u 3 ) et v =(v,v 2,v 3 ). a) Trouver la projection orthogonale de u dans le plan xy. b) Trouver la projection orthogonale de u dans le plan yz. c) Trouver le vecteur correspondant à la réflexion de u par rapport au plan xz. d) Trouver le vecteur résultant le la réflexion de u par rapport aux plans xy puis xz. Solution..2. a) La projection orthogonale de u =(u,u 2,u 3 ) dans le plan xy est le vecteur u xy dont la coordonnée suivant z est nulle et les coordonnées suivant x et y sont les mêmes que celles de u. Donc (voir la figure.7) u xy =(u,u 2, ). b) La projection orthogonale de u =(u,u 2,u 3 ) dans le plan yz est le vecteur u yz donné par u yz = (,u 2,u 3 ). c) Le vecteur u xz, qui est la réflexion de u =(u,u 2,u 3 ) par rapport au plan xz, a les mêmes coordonnées que u suivant x et z, mais une coordonnée suivant y opposée à 5

17 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.7 La projection orthogonale de u dans le plan xy. celle de u. D où u xz =(u, u 2,u 3 ). d) Le vecteur u =(u,u 2,u 3 ) est d abord réfléchi par rapport au plan xy afin d obtenir u xy =(u,u 2, u 3 ), celui-ci est ensuite réfléchi par rapport au plan xz, ce qui donne (u, u 2, u 3 ). Engineering Your Future Bombardier Transportation is the global leader in the rail equipment manufacturing and servicing industry and is represented in over 6 countries. Its wide range of products includes locomotives and passenger rail vehicles. It also manufactures total transit systems, bogies, propulsion & controls and provides rail control solutions. Join a Winning Team! Across mechanical, electrical, software and specialist engineering, we have a first-class reputation for innovation. So it s no surprise that we are the number one rail manufacturer in the world. Go to for open positions. The Climate is Right for Trains 6

18 Vecteurs, droites et plans dans R3.2 Le produit vectoriel Ce sous-chapitre introduit le produit vectoriel de deux vecteurs ainsi que le produit mixte de trois vecteurs de R 3. Nous allons montrer comment utiliser le produit vectoriel afin de trouver un vecteur orthogonal à deux vecteurs de R 3. Nous allons aussi nous servir de ces deux produits pour les calculs d aire d un parallélogramme et de volume d un parallélépipède. Note théorique.2. Considérons les trois vecteurs u =(u,u 2,u 3 ), v =(v,v 2,v 3 ) et w =(w,w 2,w 3 ), dans R 3. ) Le produit vectoriel de u et v, n o t é u v, est lui-même un vecteur de R 3, défini comme suit : u v =( u v sin θ) ê R 3. Le vecteur u v est orthogonal à la fois à u e t à v. Nous avons noté ê le vecteur directeur de u v, de telle façon que ê =. La direction de ê est donnée par la règle de la main droite et θ est l angle entre u et v. La figure.8 représente ce produit. Figure.8 Le produit vectoriel u v. Le produit vectoriel possède les propriétés suivantes : Propriétés : a) u v = v u. b) La norme u v est l aire du parallélogramme défini par u et v. 7

19 Vecteurs, droites et plans dans R3 c) En terme de coordonnées, le produit vectoriel de deux vecteurs peut être évalué selon la règle de calcul du déterminant d une matrice 3 3 (voir le sous chapitre 2.2.), c est à dire e e 2 e 3 u v = det u u 2 u 3 v v 2 v 3 ( u2 u = e det 3 v 2 v 3 ) ( u u e 2 det 3 v v 3 ) ( u u + e 3 det 2 v v 2 =(u 2 v 3 u 3 v 2 )e +(u 3 v u v 3 )e 2 +(u v 2 u 2 v )e 3 =(u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v u v 3, u v 2 u 2 v ). O ù {e, e 2, e 3 }, e = (,, ), e 2 = (,, ), e 3 = (,, ), est la base canonique de R 3. On note det A le déterminant de la matrice carrée A. La notation A est parfois utilisée pour le déterminant de A, i.e. det A A. Remarque : Le déterminant d une matrice n n est présenté au Chapitre 2. d) (u v) u =, (u v) v =. e) Deux vecteurs non nuls u et v de R 3 sont parallèles si et seulement si u v =. 2) Le produit u (v w) R est appelé produit mixte et peut être calculé en s aidant du déterminant selon : u u 2 u 3 u (v w) =det v v 2 v 3 w w 2 w 3 =(v 2 w 3 v 3 w 2 )u +(v 3 w v w 3 )u 2 +(v w 2 v 2 w )u 3. Alors u (v w) =v (w u) =w (u v). Considérons le parallélépipède défini par u, v et w comme illustré à la figure.9. ) Figure.9 Le parallélépipède défini par u, v et w. 8

20 Vecteurs, droites et plans dans R3 Le volume du parallélépipède correspond à la valeur absolue du produit mixte de ces trois vecteurs : Volume du parallélépipède = u (v w) unités. Si les trois vecteurs u, v et w appartiennent au même plan de R 3, alors u (v w) =. Har du växtkraft? Frigör den hos oss. Ansvar skapar växtkraft Våra medarbetare får stort eget ansvar, vilket skapar växtkraft. Kraft att utveckla våra kunders, de dynamiska ägarledda företagens, affärer. Men också kraft att driva på sin egen utveckling och hjälpa kollegor att växa. Vi arbetar i en företagskultur där vi tar ansvar, stöttar varandra och samarbetar i team. Låter det som en plats där du skulle trivas och växa? Välkommen till oss! karriar.grantthornton.se LinkedIn: Grant Thornton Sweden 9

21 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.2.. Considérons les trois vecteurs suivants dans R 3 : u = (, 2, 3), v = (2,, ), w = (3,, ). a) Trouver un vecteur orthogonal à la fois à u et v. b) Trouver l aire du parallélogramme défini par u et v. c) Trouver le volume du parallélépipède défini par u, v et w. Solution.2.. a) Le vecteur q = u v est orthogonal à u = (, 2, 3) et v = (2,, ) (voir la figure.) et ce produit vectoriel peut s exprimer selon le déterminant e e 2 e 3 q = =2e +5e 2 4e 3 = (2, 5, 4). Avec {e, e 2, e 3 } la base canonique de R 3. Figure. Le vecteur q est orthogonal à la fois à u et v. b) L aire du parallélogramme ABCD défini par les vecteurs u et v est égale à u v (voir la figure.). Nous avons déjà calculé u v = (2, 5, 4) à la question a), d où u v = ( 4) 2 =3 5 unités. c) Le volume du parallélépipède défini par les vecteurs u, v et w est donné par la valeur absolue de leur produit mixte, i.e. u u 2 u 3 u (v w) = v v 2 v 3 w w 2 w 3, avec u =(u,u 2,u 3 ), v =(v,v 2,v 3 ) et w =(w,w 2,w 3 ). Nous obtenons donc pour les vecteurs u, v et w, u (v w) = = unités. 2

22 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure. Parallélogramme ABCD défini par les vecteurs u et v Problème.2.2. Considérons les trois vecteurs de R 3 : u =(a, 2, ), u 2 = (4,, ), u 3 = (, 5, 2), o ù a est un nombre réel arbitraire. a) Trouver la(les) valeur(s) de a, telle(s) que le volume du parallélépipède défini par u, u 2 et u 3 soit égal à une unité. b) Calculer l aire de chaque face du parallélépipède défini par les trois vecteurs ci-dessus u, u 2 et u 3, pour a =. Solution.2.2. a) Le volume du parallélépipède est V = u (u 2 u 3 ) et nous imposons V =. D où a 2 V = 4 = 2a 3 =, 5 2 nous en déduisons a = ou a = 2. b) L aire de chaque face du parallélépipède peut être calculée comme suit (voir la figure.2) : Aire face = u u 3, Aire face 2 = u 2 u 3, Aire face 3 = u u 2, unités. Avec u u 3 = u 2 u 3 = u u 2 = e e 2 e e e 2 e e e 2 e = e e 2 2e 3 = 2e +8e 2 + 9e 3 = e 4e 2 8e 3, 2

23 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.2 Le parallélépipède défini par u, u 2 et u 3. tels que Aire face = 2 +( ) 2 +( 2) 2 = 6 Aire face 2 = ( 2) = 429 Aire face 3 = 2 +( 4) 2 +( 8) 2 = 9 unités unités unités..3 Les plans et leurs équations Ce sous-chapitre traite des plans dans R 3 et montre comment dériver leurs équations. Note théorique.3. ) L équation d un plan dans R 3 s écrit de manière générale ax + by + cz = d, o ù a,b,cet d sont des nombres réels donnés. Tous les points (x, y, z) appartenant à ce plan doivent satisfaire son équation, i.e. ax + by + cz = d. 2) Le vecteur n de coordonnées (a, b, c), i.e. n =(a, b, c), est un vecteur orthogonal au plan ax + by + cz = d. On appelle n vecteur normal du plan. 3) L équation d un plan peut être dérivée si trois points de ce plan n appartenant pas à la même droite sont connus, ou si le vecteur normal et un point appartenant au plan sont donnés. 22

24 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.3.. Considérons les trois points suivants dans R 3 : (, 2, 3), (2,, ), (3,, ). Trouver l équation du plan Π contenant ces trois points. Vi växer snabbt och är en av Nordens stora teknikkonsulter. Vi letar alltid efter nya talanger! Hos oss arbetar du tillsammans med specialiserade ingenjörer som har bredd, spets och inte minst energi som skapar resultat! Vi kallar det Energized Engineering det finns hos Rejlers. rejlers.se/energized 23

25 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution.3.. Notons A, B et C les points de coordonnées respectives (, 2, 3), (2,, ) and (3,, ). Supposons que ces points appartiennent au plan Π et notons P : (x, y, z, ) un point arbitraire du plan. Considérons maintenant les vecteurs AB = (, 2, 2), AC = (2,, 3), AP =(x,y 2,z 3). Appelons n le vecteur normal au plan Π comme illustré figure.3. Figure.3 Le plan Π de vecteur normal n Alors n = AC AB et n AP =, donc n = e e 2 e = 4e + e 2 3e 3 =( 4,, 3). L équation du plan peut alors s exprimer comme =n AP = 4(x ) + (y 2) 3(z 3), ou encore 4x y +3z =. Problème.3.2. Considérons quatre points de R 3 de coordonnées respectives (,, ), (,,k), (2,, ) and ( 2,, ), avec k un nombre réel arbitraire. Trouver la(les) valeur(s) de k, telle(s) que ces quatre points appartiennent au même plan. 24

26 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution.3.2. Supposons que les quatre points A : (,, ), B : (,,k), C : (2,, ), D : ( 2,, ) appartiennent au même plan de R 3 comme illustré à la figure.4. Comme ces points Figure.4 Un plan contenant les points A, B, C et D. appartiennent au même plan nous avons AD ( AC AB) = avec AD =( 3, 2, ), AC = (, 2, 2), AB =(,,k ) et AD ( AC AB) = k =. Le calcul de ce déterminant nous fournit la relation 8k 2 =, donc l unique valeur de k telle que les quatre points appartiennent au même plan est k = 3 2. Problème.3.3. Trouver l équation du plan de R 3 passant par le point (, 3, ) et parallèle au plan défini par x + y z =. 25

27 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution.3.3. Notons ce plan Π, i.e. Π : x + y z =, et Π 2 le plan dont nous cherchons l équation. La figure.5 montre ces deux plans. Un vecteur normal de Π est n = (,, ) et, comme Π 2 est parallèle à Π, leurs vecteurs normaux doivent être parallèles. C est pourquoi nous pouvons définir n 2, un vecteur normal de Π 2, comme le même que celui de Π, n 2 = (,, ). Figure.5 Les deux plans parallèles Π et Π 2 Nous connaissons un point appartenant au plan Π 2, n o t é A : autre point arbitraire de Π 2, B : (x, y, z). Alors le vecteur AB s écrit AB =(x,y 3,z ) et est orthogonal au vecteur n 2. D où AB n 2 =. (, 3, ). Considérons un 26

28 Vecteurs, droites et plans dans R3 Après calcul du produit scalaire AB n2, nous obtenons (x ) + (y 3) (z )=. L équation de Π 2 est donc Π 2 : x + y z =3. JAG UTVECKLAR OCH UTVECKLAS! På Prevas träffar du kompetenta, spännande och trevliga människor varje dag. De kan vara dina nya kollegor eller så kan det vara någon av våra kunders medarbetare. Hos oss får du möjlighet att arbeta med olika kunder i olika branscher med olika typer av teknologi i olika processer. Som medarbetare på Prevas kommer du därför alltid att fortsätta utvecklas så länge du själv vill. Läs mer på INNOVATION FOR GROWTH 27

29 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.3.4. Trouver l équation du plan de R 3 passant par les points (, 3, ) et (,, 4) et orthogonal au plan x y +2z =3. Solution.3.4. Notons Π le plan Π : x y +2z =3 de vecteur normal n = (,, 2) et Π 2 le plan que nous recherchons. Ces deux plans sont représentés en figure.6. Nous connaissons deux points de Π 2, A : (, 3, ), B : (,, 4). Pour trouver l équation de Π 2 nous avons besoin de déterminer d abord son vecteur normal n 2. Comme Π et Π 2 sont orthogonaux, le vecteur normal n 2 de Π 2 est orthogonal à n importe quel vecteur parallèle à Π 2, par exemple AB, et n2 est orthogonal à n. Donc n 2 = n AB, avec AB =( 2, 3, 3). D où n 2 = e e 2 e Notons C un point quelconque de Π 2, i.e. =3e 7e 2 5e 3 = (3, 7, 5). C : (x, y, z). Le vecteur AC est orthogonal au vecteur normal n 2, donc n 2 AC =, avec AC =(x,y 3,z ). Le calcul du produit scalaire n 2 AC nous donne 3(x ) 7(y 3) 5(z )=, et nous en déduisons l équation du plan Π 2 3x 7y 5z =

30 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.6 Les deux plans orthogonaux Π et Π 2.4 Les droites et leur paramétrisation Dans ce sous-chapitre nous étudions les droites l dans R 3 et montrons comment dériver leur équation paramétrique. Nous présentons une formule pour le calcul des distances entre un point et une droite et entre deux droites. Enfin nous introduisons la projection orthogonale d un vecteur sur une droite ainsi que la réflexion d un vecteur par rapport à une droite. 29

31 Vecteurs, droites et plans dans R3 Note théorique.4. L équation paramétrique d une droite l dans R 3 prend la forme x = at + x l : y = bt + y z = ct + z pour tout t R, Figure.7 Une droite l dans R 3 o ù ( x,y,z ) est un point situé sur la droite l et v =(a, b, c) est un vecteur parallèle à l comme illustré à la figure.7. Ici t est un paramètre pouvant prendre n importe quelle valeur réelle. Ce qui veut dire que pour tout point (x, y, z) appartenant à la droite l, il existe une unique valeur de t telle que (x, y, z) =(at + x, bt + y, ct + x ). 3

32 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.4.. Trouver l équation paramétrique de la droite l dans R 3, contenant les points (,, 3) et (2, 3, 7). a) Parmi ces trois points, déterminer s il en a qui appartiennent à l : ( 4,, ); (, 2, 3); (, 2, 5) 2 b) Le vecteur w =( 6, 4, 8) est-il parallèle à la droite l? Justifier. Solution.4.. Nous connaissons deux points de la droite l, que nous nommerons P :(,, 3) et P 2 : (2, 3, 7). Alors le vecteur P P 2 est parallèle à l et ses coordonnées sont : P P 2 = (3, 2, 4). Nous avons donc trouvé un vecteur v parallèle à l : v = P P 2 = (3, 2, 4). Notons P :(x,y,z) un point quelconque de l. Alors P P = tv ou (x +,y,z 3) = t(3, 2, 4) pour tout t R. En identifiant les coordonnées suivant x, y et z de cette équation vectorielle nous en déduisons x +=3t, y =2t, z 3=4t, respectivement. L équation paramétrique de l est donc x =3t l : y =2t + z =4t + 3 pour tout t R. a) Pour déterminer si le point ( 4,, ) se trouve sur la droite l, nous devons résoudre l équation paramétrique obtenue à la question précédente pour t. t doit donc satisfaire les relations 4 =3t, =2t +, =4t +3. Qui ne peuvent être résolues simultanément que pour une unique valeur de t, t =. Le point ( 4,, ) appartient donc à l. Pour le point (, 2, 3) nous avons =3t, 2=2t +, 3=4t +3, qui ne peuvent pas être satisfaites simultanément quelque soit t. Donc (, 2, 3) n appartient pas à l. Le point (/2, 2, 5) satisfait l équation paramétrique pour t =/2, nous en déduisons qu il est sur l. 3

33 Vecteurs, droites et plans dans R3 b) Le vecteur w =( 6, 4, 8) est en effet parallèle à la droite l car w = 2v, et v est bien parallèle à l. Problème.4.2. Trouver l équation paramétrique de la droite l dans R 3 passant par le point (,, 2) et orthogonale aux droites l et l 2, dont les équations paramétriques sont x =2t x = 3t + l : y = t l 2 : y =2t z = t pour tout t R, z =4t pour tout t R. Jag lämnar avtryck i Ninas Göteborg Vårt jobb är att göra det gott att leva och arbeta i Göteborg. Vi bygger broar och förskolor, men inte vilka som helst. Vi bygger för att påverka samhällsutvecklingen och ge barn en bra uppväxt. Därför söker vi ingenjörer som drömmer om att få greppa helheten. Ingenjörer till Göteborgs Stad Ingenjörer behövs på Stadsbyggnadskontoret, Fastighetskontoret, Lokalförvaltningen, Göteborg Vatten, Intraservice, Trafikkontoret, Renova, Göteborgs Spårvägar, Park- och naturförvaltningen och Göteborg Energi. Vårt jobb är att skapa en bra vardag för alla göteborgare och att utveckla Göteborg för framtiden. I Göteborgs Stad finns 48 medarbetare i olika yrken. Du kan välja många intressanta jobb och ta nya utmaningar på en stor intern arbetsmarknad. Hitta jobben på goteborg.se/ledigajobb 32

34 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution.4.2. Les vecteurs v = (2,, ) et v 2 =( 3, 2, 4) sont respectivement parallèles à l, et l 2. Un vecteur orthogonal à ces derniers est donc v = v v 2 et v est donc parallèle à la droite l que nous recherchons. Nous calculons v : v = v v 2 = e e 2 e =2e e 2 +7e 3 = (2,, 7), et en déduisons l équation paramétrique de la droite l x =2t + l : y = t z =7t + 2 pour tout t R. Problème.4.3. Considérons la droite l dans R 3 d équation paramétrique x = at + x l : y = bt + y z = ct + z pour tout t R, o ù ( x,y,z ) est un point appartenant à l et v =(a, b, c) est un vecteur parallèle à l. a) Supposons que le point P :(x,y,z ) n appartiennent pas à l. Trouver une formule donnant la distance entre P et l. b) Calculer la distance entre le point ( 2,, 3) et la droite l, d équation paramétrique x = t + l : y =3t 4 z =5t + 2 pour tout t R. 33

35 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution.4.3. a) Nous cherchons à calculer la distance entre le point P (x,y,z ) et la droite l, o ù x = at + x l : y = bt + y z = ct + z pour tout t R. Ici P :(x,y,z ) est un point sur la droite l. Notons s = P P 2 la distance entre P et l, o ù P 2 est un point inconnu de l. Considérons le triangle orienté P P 2 P représenté à la figure.8. Figure.8 La distance entre P :(x,y,z ) et la droite l dans R 3 Alors s s exprime s = P P 2 = P P sin θ. (.4.) D autre part, la définition du produit vectoriel nous donne P P v = P P v sin θ. (.4.2) En résolvant P P sin θ depuis (.4.2) et en insérant la solution dans (.4.), nous obtenons la formule suivante pour la distance : s = P P v. v b) La droite l passe par le point P : (, 4, 2) et est parallèle au vecteur v = (, 3, 5). Donc, pour le point P :( 2,, 3), nous avons P P =( 3, 5, ) et e e 2 e 3 P P v = = 22e + 6e 2 4e 3 = (22, 6, 4). 34

36 Vecteurs, droites et plans dans R3 Nous pouvons donc calculer les normes des vecteurs P P v et v P P v = (22) 2 + (6) 2 +( 4) 2 =6 26 v = = 35, et enfin obtenir la distance entre le point P et la droite l : s = P P v = v 35 Problème.4.4. Trouver la formule donnant la distance entre deux droites dans R 3 et l utiliser afin de calculer la distance entre les deux droites : x =2t + x = t l : y = t l 2 : y =2t +2 z =3t + pour tout t R, z = pour tout t R. 35

37 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution.4.4. Supposons que P : (x,y,z ) soit un point appartenant à la droite l et que P 2 : (x 2,y 2,z 2 ) soit un point de l 2. Notons v et v 2 les vecteurs directeurs parallèles respectivement aux droites l et l 2 (comme illustré à la figure.9). Alors v = v v 2 est un Figure.9 La distance s entre deux droites dans R 3 vecteur orthogonal à la fois à v et v 2, par conséquent v est aussi orthogonal aux droites l et l 2. Pour trouver la distance s entre l et l 2, nous projetons P P 2 orthogonalement sur le vecteur v. Nous avons donc s = P P 2 v proj v P P 2 = v = P P 2 (v v 2 ). v v 2 Pour les droites données l et l 2, nous avons respectivement v = (2,, 3), v 2 = (, 2, ) et des points P : (,, ) l et P 2 : (, 2, ) l 2. Alors P P 2 =(, 3, ), v v 2 = La distance s entre l et l 2 est donc e e 2 e = 6e +3e 2 +3e 3 =( 6, 3, 3). s = (, 3, ) ( 6, 3, 3) =

38 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.4.5. Considérons les vecteurs suivants de R 3 : u =(, 3, 3), v = (2,, 4). Notons l la droite dans R 3 contenant le point (2,, 4) et le vecteur nul = (,, ). a) Trouver la projection orthogonale du vecteur u sur la droite l, i.e. calculer proj l u. b) Evaluer la distance entre le point (, 3, 3) et la droite l. c) Trouver la réflexion du vecteur u par rapport à la droite l. Solution.4.5. a) Nous cherchons à calculer le vecteur w qui n est d autre que la projection orthogonale du vecteur u sur la droite l, i.e. w =proj l u. Ceci peut être réalisé en projetant u sur n importe quel vecteur position se trouvant sur la droite l, par exemple le vecteur v comme représenté à la figure.2. Donc Figure.2 La projection orthogonale du vecteur u sur l. w = proj l u = proj v u =(u ˆv)ˆv avec ˆv = v v. 37

39 Vecteurs, droites et plans dans R3 Pour( u =(, ) 3, 3) et v = (2,, 4), nous avons u v ( u v ) w = v 2 v = v = v v ( )(2) + (3)( ) + (3)(4) 2 2 +( ) (2,, 4) = (2,, 4). 3 b) La distance d entre le point (, 3, 3) et la droite l est AB (défini à la figure.2). Par addition des vecteurs nous avons D où AB = u w =(, 3, 3) ( 2 3, 3, 4 3 )=( 5 3, 3, 5 3 ). 25 AB = = c) La réflexion du vecteur u par rapport à la droite l est donnée par le vecteur OC (défini à la figure.2). Par addition des vecteurs nous avons Figure.2 La réflexion de u par rapport à l. OC + CA + AB = u. De plus, CA = AB, donc OC = u 2 AB, avec u =(, 3, 3) et 5 AB =( 3, 3, 5 ) (calculé à la question b)). Ainsi la réflexion 3 de u par rapport à l est OC =(, 3, 3) 2( 5 3, 3, 5 3 )=(7 3, 3, 3 ). 38

40 Vecteurs, droites et plans dans R3.5 Supplément sur les droites et les plans Dans ce sous-chapitre nous calculons la distance entre un point et un plan, ainsi qu entre deux plans. Nous étudions aussi les situations où une droite appartient à un plan, est projeté orthogonalement sur ce plan, ou est réfléchie par rapport à celui-ci. Note théorique.5.. Etant donné une équation de plan Π: ax + by + cz = d, la distance s du point P : (x,y,z ) au plan Π est s = ax + by + cz d a 2 + b 2 + c Etant donnés deux plans parallèles, Π : ax+by +cz = d et Π 2 : ax+by +cz = d 2, la distance s entre Π et Π 2 est s = d d 2, n o ù n =(a, b, c) est le vecteur normal aux deux plans. Remarque : Deux plans de R 3 dont l intersection est vide sont forcément parallèles. 39

41 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.5.. Soient un plan ax + by + cz = d et un point P :(x,y,z ), tels que P n appartienne pas au plan. a) Trouver la formule de la distance entre le point P :(x,y,z ) et le point ax + by + cz = d. b) Trouver la distance entre le point (, 2, 2) et le plan passant par l origine (,, ), ainsi que les points (,, ) and (, 2, ). Solution.5.. a) Considérons le plan Π: ax + by + cz = d et le point P :(x,y,z ) / Π. Figure.22 Le point P :(x,y,z ) et le plan Π : ax + by + cz = d dans R 3 Le vecteur normal n du plan Π est n =(a, b, c) (voir la figure.22). Notons P : (x, y, z) un point quelconque du plan Π. La projection orthogonale du vecteur PP sur n nous donne alors la distance s entre le point P et le plan Π, i.e. s = proj n PP = PP ˆn = PP n, n 4

42 Vecteurs, droites et plans dans R3 avec ˆn = n/ n, et PP =(x x, y y, z z) PP n = a(x x)+b(y y)+c(z z) = (ax + by + cz)+ax + by + cz = d + ax + by + cz. Donc, la distance entre P et Π est s = ax + by + cz d a 2 + b 2 + c 2, (.5.) où est la valeur absolue. b) Nous cherchons la distance entre le point P : (, 2, 2) et le plan contenant l origine O : (,, ), ainsi que les points A : (,, ) et B : (, 2, ). Notons ce plan Π. En premier lieu, trouvons l équation du plan Π. Figure.23 Le plan de R 3 contenant les points O, A et B. Considérons les vecteurs OA et OB représentés en figure.23. Alors un vecteur normal n de Π est n = OA OB, avec OA = (,, ), OB = (, 2, ). Le calcul de ce produit vectoriel nous donne e e 2 e 3 n = 2 =3e e 2 +2e 3 = (3,, 2). Comme le plan Π passe par O : (,, ), nous en déduisons son équation, 3x y +2z =, ainsi que la distance s entre ce plan et le point P : (, 2, 2), (3)() + ( )(2) + (2)(2) s = =

43 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.5.2. Trouver la distance entre les plans Π : 2x 3y +4z = 5 et Π 2 : 4x 6y +8z = 6. Solution.5.2. Nous avons deux plans, Π :2x 3y +4z = 5 et Π 2 : 4x 6y +8z = 6. En divisant l équation du plan Π 2 par 2 nous obtenons 2x 3y +4z = 8. Le vecteur normal n des deux plans est donc n = (2, 3, 4), nous pouvons donc en conclure que ces deux plans sont parallèles. Choisissons un point quelconque de Π, n o t é P : (x,y,z ), et calculons la distance s entre P et Π 2 /2. Pour cela utilisons la formule (.5.), s = ax + by + cz d a 2 + b 2 + c 2 établie au problème.5. a) et donnée dans la note théorique.5. Pour Π 2 nous avons a = 2, b = 3, c = 4 et d = 8. Afin de trouver un point P appartenant à Π fixons x = et y =, et insérons ces valeurs dans l équation de Π pour en déduire z. Nous avons donc 2() 3() + 4z =5, d où z = 3 4. Nous en déduisons P : (,, 3 ), et pouvons enfin calculer s, 4 s = (2)() (3)() + (4)(3/4) ( 3) = 3 29 = Une autre façon de procéder est d utiliser la formule s = d d 2 / n avec d =5et d 2 = 8, donnée dans la note théorique.5. Problème.5.3. Considérons la droite l dans R 3 : x =2t + l : y = 2t + z =6t 6 pour tout t R. Trouver toutes les valeurs du paramètre b, telles que tout point de l appartienne au plan 2 3 x + by + 9 z =. 42

44 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution.5.3. Comme tout point de l doit aussi appartenir au plan donné dans l énoncé, insérons les expressions de x, y et z, données par l équation paramétrique de l, dans l équation du plan. Nous obtenons donc 2 3 (2t +)+b( 2t +)+ (6t 6)=. 9 Après simplification et regroupement des termes nous avons (8 8b)t +9b 9 = pour tout t R. Ce qui implique 8 8b = and 9b 9=, dont la seule solution est b =. Donc chaque point de l appartient au plan si et seulement si ce dernier a pour équation 2 3 x + y + z =, ou, de manière équivalente, 6x +9y + z =

45 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.5.4. Soient le plan Π : x + y z = 3 et la droite x = t + l : y =2t + z =2t + 2 pour tout t R. a) Trouver l équation paramétrique de la droite ˆl, définie comme la projection orthogonale de l sur le plan Π. b) Trouver tous les points de la droite l, tels que la distance entre ces points et Π soit de 2 3. c) Trouver l équation paramétrique de la droite l, telle que l est la réflexion de l par rapport à Π. Solution.5.4. a) Trouvons l intersection entre la droite l et le plan Π : Un point arbitraire P t appartenant à l a pour coordonnées P t : (t +, 2t +, 2t + 2), pour tout t R. Pour trouver l intersection de l avec Π, insérons x = t +, y =2t +, z =2t +2 dans l équation de Π. Ce qui donne l équation suivante (t +)+(2t + ) (2t + 2) = 3, à partir de laquelle nous obtenons t = 3. Par conséquent, le point P appartenant à la fois à l et Π a pour coordonnées (voir la figure.24 pour une illustration) : P : ( 2, 5, 4). Afin de trouver la direction de ˆl, définie comme la projection orthogonale de l sur Π, choisissons un point quelconque Q de l (different de P ), par exemple Q : (,, 2). Alors PQ = (3, 6, 6) et comme représenté en figure.24, nous avons PM = PQ MQ, o ù PM est la projection orthogonale de PQ sur ˆl et donc PM est la projection orthogonale de PQ sur Π. Pour trouver MQ projetons PQ orthogonalement sur le vecteur normal n de Π, avec n = (,, ( ). D où ) PQ n MQ = proj npq =( PQ ˆn) ˆn = n n n Le calcul de cette projection orthogonale nous donne MQ = (, ), et nous en déduisons PM = (3, 6, 6) (,, ) = (2, 5, 7). 44

46 Vecteurs, droites et plans dans R3 Comme la droite ˆl passe par le point P : ( 2, 5, 4) et a pour direction PM, son équation paramétrique est x =2t 2 ˆl : y =5t 5 z =7t 4 pour tout t R. Figure.24 La projection orthogonale ˆl de la droite l sur le plan Π. b) Au problème.5. nous avons établi une formule donnant la distance s entre un point P : (x,y,z ) et un plan ax + by + cz = d, s = ax + by + cz d. a 2 + b 2 + c 2 Un point quelconque S t de l a pour coordonnées S t : (t +, 2t +, 2t + 2) avec t R. Nous pouvons donc calculer la distance s du point S t au plan Π : x + y z = 3 en utilisant cette formule. Nous obtenons s = (t + ) + (2t + ) (2t + 2) ( 3) ++ = t Nous cherchons maintenant les points S t, tels que s =2 3. Ce qui équivaut à t +3 3 =2 3 ou t +3 =6. D où t = 3 ou t = 9. Ces deux valeurs de t, insérées dans les coordonnées de S t, nous donnent les deux points de l qui sont à une distance de 2 3deΠ: (4, 7, 8) and ( 8, 7, 6). c) Nous devons trouver l équation paramétrique de la droite l, réflexion de l par rapport au plan Π. De manière évidente, l est aussi la réflexion de l par rapport à la droite ˆl, qui a déjà été obtenue à la partie a) ci-dessus. Remarquons que nous 45

47 Vecteurs, droites et plans dans R3 avons aussi défini à la partie a) P : ( 2, 5, 4) et Q : (,, 2). Figure.25 La réflexion l de la droite l par rapport au plan Π. Notons Q le point de l, tel que MQ = MQ. Comme illustré à la figure.25, nous avons PQ = PM + MQ, avec PM = (2, 5, 7) et MQ problème]. Donc = MQ = (,, ) [voir la partie a) de ce PQ = (2, 5, 7)+(,, )=(, 4, 8). Comme l passe par le point P : ( 2, 5, 4) et sa direction est donnée par le vecteur PQ = (, 4, 8) son équation paramétrique s écrit x = t 2 l : y =4t 5 z =8t 4 pour tout t R. 46

48 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.5.5. Soient le plan Π : 2x + y + z = 5 et la droite x = t +2 l : y = 5t + z =3t + 3 pour tout t R, où Π et l sont parallèles. a) Trouver l équation paramétrique de la droite ˆl, définie comme la projection orthogonale de l sur le plan Π. b) Déterminer l équation paramétrique de la droite l, réflexion de l par rapport au plan Π. Vill du jobba i världens fjärde mest innovativa stad? Det är här det händer! Malmö växer kraftigt och nästan hälften är under 35 år. För oss är det viktigt med möten, mångfald och möjligheter. Hos oss blir du en samhällsbyggare som gör skillnad. Visste du att vi söker över 2 tjänster varje år och har över 4 olika yrken? Vi tror att du som söker dig till oss vill vara med och bygga vidare på en av Sveriges mest dynamiska 47

49 Vecteurs, droites et plans dans R3 Solution.5.5. a) Nous cherchons à déterminer la projection orthogonale de la droite l, x = t +2 l : y = 5t + z =3t + 3 pour tout t R sur le plan Π : 2x + y + z = 5, notée ˆl. Figure.26 La projection orthogonale de l sur Π Notons P et Q des points distincts quelconques de la droite l, comme illustré en figure.26. Nous pouvons donc arbitrairement choisir deux valeurs de t distinctes (t = et t = ) afin de calculer leurs coordonnées à partir de l équation de l. Ce qui nous donne P : (2,, 3), Q : (3, 4, 6). Nous cherchons maintenant le point Q =(x,y,z ), situé dans le plan Π, tel que Q Q soit orthogonal à QP et Q Q soit parallèle à n = (2,, ), avec n le vecteur normal du plan Π. Nous avons Q Q = (3 x, 4 y, 6 z ) Q P = (2 x, y, 3 z ). 48

50 Vecteurs, droites et plans dans R3 Donc ( ) Q Q = proj n Q P n Q P = n n n ( ) 2(2 x )+( y )+(3 z ) = (2,, ) 4++ ( ) 8 (2x + y + z ) = (2,, ). 6 Q appartenant à Π, ses coordonnées satisfont l équation de plan 2x + y + z =5, il vient proj n ( ) 8 5 Q P = (2,, )=(, 6 2, 2 ). d où (3 x, 4 y, 6 z )=(, 2, 2 ), finalement en comparant les coordonnées x, y et z nous obtenons x =2, y = 9 2, z = 2, i.e. Q : (2, 9 2, 2 ). Q appartient évidemment à ˆl, de plus ˆl a le même vecteur directeur v que l, v = (, 5, 3). Une équation paramétrique pour ˆl est donc x = t +2 ˆl : y = 5t 9 2 z =3t + 2 pour tout t R. b) Nous cherchons maintenant la droite l qui est la réflexion de l, x = t +2 l : y = 5t + z =3t + 3 pour tout t R par rapport au plan Π : 2x + y + z = 5. Il nous faut trouver les coordonnées du point Q, défini à la figure.27. Notons (x,y,z ) ses coordonnées. A la question a) nous avons calculé les coordonnées de Q : (3, 4, 6) et Q : (2, 9/2, /2). Comme Q Q = QQ, nous avons Q Q =(, 2, 2 ). Or, nous savons aussi que Q Q =(x 2,y + 9 2,z 2 ), par conséquent Q Q =(x 2,y + 9 2,z 2 )=(, 2, 2 ) ce qui nous donne les relations x =,y = 5 et z = 5. Ainsi nous avons obtenu les coordonnées de Q, Q : (, 5, 5). 49

51 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.27 La réflexion de l par rapport à Π l passe par le point point Q et possède aussi le même vecteur directeur que l, v = (, 5, 3). Une équation paramétrique de l est donc x = t + l : y = 5t 5 z =3t + 5 pour tout t R. 5

52 Vecteurs, droites et plans dans R3 Problème.5.6. Considérons le plan Π : x y + z = 7, ainsi que le triangle de sommets A : (, 2, 2), B : (3,, 2) et C : (,, ). On remarquera que ce triangle n appartient pas au plan Π. a) Projeter orthogonalement ce triangle sur le plan Π et donner les coordonnées des sommets du triangle projeté. b) Déterminer sa réflexion par rapport à Π et donner les coordonnées des sommets du triangle réfléchi. Figure.28 La projection orthogonale du triangle ABC sur Π, i.e. le triangle A Π B Π C Π. Solution.5.6. a) Projetons orthogonalement le triangle ABC de sommets A : (, 2, 2), B : (3,, 2) et C : (,, ) sur le plan Π : x y + z = 7 et décrivons le triangle projeté A Π B Π C Π en terme de ses sommets, de coordonnées A Π, B Π et C Π, comme illustré en figure.28. Supposons que les coordonnées de A Π, B Π et C Π s écrivent A Π :(x,y,z ), B Π :(x 2,y 2,z 2 ), C Π :(x 3,y 3,z 3 ). Le vecteur AA Π peut être obtenu en projetant orthogonalement AB ( Π sur n, ) AA Π = proj n AB Π = n, avec AA Π =(x,y 2,z 2), AB Π n n n AB Π =(x 2,y 2 2,z 2 2), n = (,, ). 5

53 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.29 Coordonnées de A Π après projection de ABC Ce calcul donc donne donc ( ) (x2 ) (y 2 2) + (z 2 2) AA Π = proj n AB Π = (,, ) ++ ( ) x2 y 2 + z 2 = (,, )=(2, 2, 2), 3 o ù x 2 y 2 + z 2 = 7 car AA Π appartient à Π. Il vient AA Π =(x,y 2,z 2) = (2, 2, 2), ainsi x =3, y =, z = 4, les coordonnées de A Π sont donc A Π : (3,, 4). Pour trouver les coordonnées de B Π projetons orthogonalement BA Π sur n (voir la figure.3), i.e. ( ) BA Π n BB Π = proj n BA Π = n, n n avec BA Π = (,, 2), Le même calcul que précédemment nous donne BB Π = proj n BA Π = (,, ), donc BB Π =(x 2 3,y 2,z 2 2) = (,, ). Les coordonnées de B Π sont alors B Π : (4,, 3). BB Π =(x 2 3,y 2,z 2 2), n = (,, ). Dans le même esprit projetons orthogonalement CB Π sur n afin de déterminer C Π (voir la figure.3). 52

54 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.3 Coordonnées de B Π après projection de ABC Var med och utveckla Stockholm! Vår vackra huvudstad växer som aldrig förr och stockholmare i alla åldrar behöver allt från en fungerande infrastruktur till renhållning, förskolor och äldreomsorg. Verksamheten finns överallt i staden och måste fungera dygnet runt, varje dag. Nu behöver vi dig som vill vara med och skapa ett Stockholm i världsklass! Läs mer på stockholm.se/jobb 53

55 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.3 Coordonnées de C Π après projection de ABC Nous obtenons CC Π = proj n CB Π = (2, 2.2) et après comparaison avec CC Π =(x 3,y 3,z 3 ), nous en déduisons C Π : (3,, 3). et avons donc déterminé tous les sommets de A Π B Π C Π. b) Réfléchissons ABC de sommets A : (, 2, 2), B : (3,, 2) and C : (,, ) par rapport au plan Π : x y + z = 7 et notons A B C ce triangle, représenté à la figure.32. Nous allons le décrire en terme des coordonnées de ses sommets A, B and C. Supposons que les coordonnées des points A, B et C s écrivent A :(x,y,z ), B :(x 2,y2,z 2), C :(x 3,y3,z 3). A partir de la question a) nous déduisons (voir un illustration à la figure.32) AA =2AA Π = 2(2, 2, 2) = (4, 4, 4), et, AA =(x,y 2,z 2)=(4, 4, 4). D où x =5, y = 2 and z = 6, ainsi les coordonnées de A sont A : (5, 2, 6). De plus, BB =2 BB Π = 2(,, )=(x 2 3,y 2,z 2 2) CC =2CC Π = 2(2, 2, 2)=(x 3,y3,z3 ), qui nous fournissent les coordonnées de B et C : B : (5,, 4), C : (5, 3, 5). 54

56 Vecteurs, droites et plans dans R3 Figure.32 Le triangle A B C, réflexion de ABC par rapport à Π. Vi ser till att du kan förflytta dig snabbare. 35 meter under marken närmare bestämt! Där det byggs tunnlar finns ofta Sandvik. Koncernen har de verktyg och maskiner som behövs för att snabbt och effektivt ta sig igenom de hårdaste berg. Det kan gälla tunnlar för vattenkraft i USA, vägtunnlar i Kina eller järnvägstunnlar i Schweiz. Du hittar också resultatet av vårt kunnande i mobiltelefoner, i flygplan, på havets botten och på många andra ställen. Men även om inte du tänker på var Sandvik finns, så gör kunderna det. För våra produkter ökar både deras produktivitet och lönsamhet. Gå in på Där finns mer än du anar! 55

57 Vecteurs, droites et plans dans R3.6 Exercices. Soient les deux vecteurs de R 3 : u =(, 2, 3) et v = (,, 2). a) Trouver la projection orthogonale de u sur v. [Réponse : proj v u =( 2, 2, ). ] b) Trouver la projection orthogonale u yz de u sur le plan yz. [Réponse : u yz = (, 2, 3). ] c) Trouver le vecteur u, réflection de u par rapport à v. [Réponse : u = (2, 3, ). ] d) Trouver le vecteur u xz, réflexion de u par rapport au plan xz. [Réponse : u xz =(, 2, 3). ] e) Trouver le vecteur résultant des réflexions de u par rapport au plan xy puis par rapport au plan yz-plane. Ce vecteur est-il différent si u est d abord réfléchi par rapport au plan yz puis par rapport au plan xy? [Réponse : (, 2, 3). Ce sont les mêmes vecteurs. ] f) Trouver le vecteur résultant de la réflection de u par rapport au plan xy puis de la projection orthogonale du vecteur réfléchi sur le plan yz. Ce vecteur est-il différent si u est d abord projeté orthogonalement sur le plan yz puis la projection réfléchie par rapport au plan xy? [Réponse : (, 2, 3). Ce sont les mêmes vecteurs. ] 2. Trouver toutes les valeurs de a R, telles que le volume du parallélépipède décrit par les vecteurs u = (,, 2), v =(, a, 3) et w = (2,,a) soit d une unité. [Réponse : a {,, 2, 3}. ] 3. Soient les trois vecteurs : u = a(,, 2), v =(, b, ), w = (7,,c), avec a, b et c des paramètres réels. a) Trouver toutes les valeurs de a, b et c, telles que les vecteurs u, v et w définissent un parallélépipède rectangulaire (i.e. un parallélépipède de côtés perpendiculaires) de volume égal à 32 unités. 56

58 Vecteurs, droites et plans dans R3 [Réponse : a { 2, 2}, b =3, c = 4. ] b) Trouver toutes les valeurs de a, b et c, telles que le volume du parallélépipède défini par les vecteurs u, v et w avec a, soit de zéro unité. [Réponse : b = 8 c c 4 pour tout c R\{4}. ] 4. Considérons les trois points P, P 2 et P 3 dans R 3 de coordonnées respectives : P : (2,, ), P 2 : (3, 2, ), P 3 : (, 3, 2). a) Trouver l équation du plan Π contenant ces trois points. [Réponse : x +5y + 3z = 3. ] b) Supposons que le vecteur normal n d un plan Π 2 soit n =( 2,, 4) et que Π 2 contienne le point P. Trouver l équation de Π 2. [Réponse : 2x + y +4z =. ] c) Trouver l angle θ entre les deux vecteurs Π et Π 2 déterminés aux questions a) et b). [Réponse : ( ) 5 θ = arccos.] 9 5. Soit la droite l dans R 3 passant par les points P : (, 2, ) et P 2 : (3,, ). a) Trouver l équation paramétrique de l. [Réponse : x =2t + l : y = t 2 z =2t pour tout t R. ] b) Calculer la distance s entre l origine (,, ) et la droite l obtenue à la question a). [Réponse : s = ] 6. Considérons le triangle de sommets A : (,, ), B : (2,, ) et C : (2, 2, ). a) Trouver la distance entre le point B et la base du triangle défini par les sommets A et C. 57

59 Vecteurs, droites et plans dans R3 [Réponse : 2 5.] b) Trouver l aire du triangle ABC en utilisant le produit vectoriel. [Réponse : 2. ] 2 7. Soient les deux droites de R 3 : x =2t +3 x = s l : y = 4t + l 2 : y = s +3 z =2t + 2 pour tout t R, z = s pour tout s R. Ces droites se croisent-elles? Si oui, déterminer leur point d intersection. [Réponse : Leur point d intersection est (4,, 3). ] 8. Soit la pyramide ABCD de sommets A : (2,, ), B : (, 2, 3), C : (,, ) et D : (,, ) comme montré à la figure.33. Figure.33 La pyramide ABCD. Trouver la hauteur de cette pyramide. [Réponse : La hauteur de cette pyramide est la distance entre le point D en le plan contenant le triangle ABC, elle est égale à.] 26 58

60 Vecteurs, droites et plans dans R3 9. Considérons la droite l, dont l équation paramétrique est x = kt +2 l : y = t 3 z =3t + 4 pour tout t R, et le plan Π, d équation Π: 3x +2y +4z =. a) déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k R, s il y en a, l est parallèle à Π. [Réponse : k = 4 3.] b) Trouver la distance entre l et Π pour cette(ces) valeur(s) de k. [Réponse : ] c) Déterminer l intersection de l avec Π pour toutes les valeurs de k telles que l et Π ne sont pas parallèles. [Réponse : pour tout k R\{ 4 3 }.] Les coordonnées de l intersection sont ( 9k + 28, 9k 57, 2k + ) 3k + 4. Soit la droite l d équation paramétrique x = t +2 l : y =3t z =5t pour tout t R, Trouver tous les points de l situés à une distance de 2 3 unités du plan x+y z = 2. [Réponse : Les points de coordonnées ( 7 3,, 8 ) et (, 3, 4). ] 3. Soient le plan Π : x 2y +3z = 3 et la droite l d équation paramétrique x = t +2 l : y = t z = 2t + 3 pour tout t R. 59

61 Vecteurs, droites et plans dans R3 a) Trouver l équation paramétrique de la droite ˆl, telle que ˆl soit la projection orthogonale de l sur Π. [Réponse : x = 5t +4 ˆl : y = 4t 3 z = t + 7 pour tout t R. ] b) Trouver l équation paramétrique de la droite l, réflexion de l par rapport à Π. [Réponse : x =2t +4 l : y = t 3 z =7t + 3 pour tout t R. ] c) Trouver tous les points de l, tels que la distance la plus courte entre ces points et le plan Π soit de 3/ 4. [Réponse : Les points ( 3, 8 3, 9 ) et (3 3 3, 3, 23 3 ). ] 2. Soient le plan Π : 3x +4y 5z = et la droite l d équation paramétrique x = t +4 l : y = 2t + z = t + 3 pour tout t R, o ù l est parallèle à Π. Trouver la droite ˆl, définie comme la projection orthogonale de l sur Π. [Réponse : x = t ˆl : y = 2t 5 z = t + pour tout t R. ] 3. Considérons le plan Π : 2x y + 2z = 5 et le triangle ABC de sommets A : (,, ), B : (,, ) and C : (,, ). a) Trouver les sommets du triangle A Π B Π C Π, tel que A Π B Π C Π soit la projection orthogonale de ABC sur Π. [Réponse : Les sommets du triangle projeté A Π B Π C Π sont A Π :(,, ), B Π :( 4 3, 5 3, 3 ) et C Π :( 3, 5 3, 4 3 ). ] 6

62 Vecteurs, droites et plans dans R3 b) Trouver les sommets du triangle A B C, tel que A B C soit la réflexion de ABC par rapport à Π. [Réponse : Les sommets du triangle réfléchi A B C sont A :( 3, 2, 3), B :( 8 3, 7 3, 5 3 ) et C :( 5 3, 7 3, 8 3 ). ] 4. Montrer que la distance s entre deux plans parallèles, est donnée par Π : ax + by + cz = d Π 2 : ax + by + cz = d 2, s = d d 2, n o ù n =(a, b, c) est le vecteur normal aux deux plans (voir la note théorique.5). 6

63

64 Algébre matricielle et pivot de Gauss Chapitre 2 Algèbre matricielle et pivot de Gauss Le but de ce chapitre : Nous exprimons les points de l espace euclidien R n en terme de vecteurs à n composantes. Ces vecteurs peuvent être représentés par des matrices colonnes (ou lignes). Tout système d équation linéaires peut en fait s écrire sous la forme d une équation matricielle de la forme Ax = b, et peut donc être étudié au moyen des propriétés des matrices. De plus, nous introduisons les opérations d addition et de multiplication des matrices, le déterminant d une matrice carrée ainsi que son l inverse (lorsqu elle est inversible). Pour résoudre les systèmes d équations linéaires, nous utilisons la méthode du pivot de Gauss (ou élimination de Gauss) et introduisons une méthode alternative suivant la règle de Cramer, à partir de laquelle certains types de système linéaires carrés peuvent être résolus. 2. L addition et la multiplication de matrices Nous présentons les vecteurs de l espace euclidien R n ainsi que les opérations basiques sur ces vecteurs. Note théorique 2... Les vecteurs dans R n : Un vecteur u de l espace euclidien R n est un n-uplet (u,u 2,...,u n ). Nous écrivons u =(u,u 2,...,u n ). O ù u,u 2,...,u n sont des nombres (réels ou complexes, bien que nous n utilisons que des réels dans ce livre). Tout n-uplet désigne un point ou vecteur unique dans 63

65 Algébre matricielle et pivot de Gauss R n. u peut être représenté par une matrice colonne n u u 2 u =., u n ou alors une matrice ligne n u =(u u 2... u n ). Soient les vecteurs de R n v =(v,v 2,...,v n ) et w =(w,w 2,...,w n ). Nous avons alors les propriétés suivantes Propriétés : u + v =(u + v,u 2 + u 2,...,u n + v n )=v + u (u + v)+w = u +(v + w) r u =(ru, ru 2,...,ru n )=ur pour tout r R. u = = (,,...,) nommé le vecteur nul de R n. 2. L addition et la multiplication par des réels de matrices : Considérons la matrice m n suivante a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A =..., a m a m2 a mn o ù l e s a ij sont des nombres (réels ou complexes, bien que nous n utilisons que des réels dans ce livre). Remarque : Dans certains cas il peut être pratique de noter la matrice A comme suit : A =[a ij ] ou A =[a a 2... a n ], avec a j R m. Soient les deux matrices m n A =[a ij ] et B =[b ij ]. L addition et la multiplications sont définies par : L addition de matrices : A + B =[a ij + b ij ]. La multiplication par un réel : ra =[ra ij ]=Ar pour tout r R A = [ a ij ]= mn, o ù mn désigne la matrice nulle m n. 64

66 Algébre matricielle et pivot de Gauss Les propriétés suivantes sont alors vérifiées Propriétés : Soient A, B et C des matrices de taille m n, soient r et s des nombres réels. Alors A + B = B + A (A + B)+C = A +(B + C) A + mn = A r(a + B) =ra + rb (r + s)a = ra + sa r(sa) =(rs)a. vi gör papper i toppklass Snygga trycksaker kräver riktigt bra papper. Vi på Arctic Paper Grycksbo tillverkar några av Europas bästa bestrukna finpapper. Vi är en modern processindustri där ena foten står stadig i de lokala ARCTIC PAPER GRYCKSBO BOX, 79 2 GRYCKSBO TFN: info.grycksbo@arcticpaper.com, Läs mer på traditionerna och den andra tar sjumilakliv ut i världen. Flexibilitet är vår styrka och därför siktar vi på att ha en service i toppklass och på att bli ett av Europas miljövänligaste pappersbruk. 65

67 Algébre matricielle et pivot de Gauss 3. La multiplication entre matrice et vecteur : Soient la matrice m na, A =[a a 2... a n ], a j R m, et le vecteur x R n x x 2 x =.. x n Le produit de la matrice A par le vecteur x est un vecteur de R m défini par : Ax = x a + x 2 a x n a n. Soient A une matrice m n, u et v deux vecteurs de R n et r un nombre réel. Alors Propriétés : A(u + v) =Au + Av ra(u) =A(ru). 4. La multiplication de matrices : Soient A une matrice m n et B une matrice n p, where B =[b b 2 b p ], b j R n. Le produit matriciel AB est une matrice m p définie par : AB =[Ab Ab 2 Ab p ]. Pour les propriétés listées ci-dessous, nous supposons que les matrices A, B et C sont de tailles correctes, telles que ces propriétés ne contredisent pas les définitions précédentes. Soit r un nombre réel. Nous avons Propriétés : A(BC) =(AB)C A(B + C) =AB + AC (A + B)C = AC + BC r(ab) =(ra)b = A(rB). La matrice identité n n, notée I n, est : I n =... =[e e 2 e n ], o ù {e, e 2,, e n } est la base canonique de R n, e = (,,...,), e 2 = (,,...,),..., e n = (,,...,). Soit A une matrice m n et u R n. Alors 66

68 Algébre matricielle et pivot de Gauss AI n = A = I m A. I n u = u. I p n = I n pour tout p N. Remarque : Soient A une matrice m n et B une matrice n m. Alors le produit AB = mm, o ù mm désigne la matrice nulle m m, n implique pas que A ou B soit nulle. Par exemple, ( )( ) ( ) =. Problème 2... Considérons les trois matrices : ( a 2 A = a ), B = ( 2 a 2a 2 ) (, C = o ù a est un paramètre réel non spécifié. Trouver toutes les valeurs de a telles que A + B = C. Solution 2... Nous additionnons les matrices A et B et comparons les coefficients de la matrice résultante avec ceux de C : ( ) ( ) a +2 2+a a +2a 2 =. Nous obtenons a +2=, 2+a =, a+2a 2 =, o ù a = est la seule solution qui satisfasse les trois équations simultanément. ), Problème Soient les deux matrices : ( a b A = 2 ), B = ( 2 ), avec a et b deux paramètres réels non spécifiés. Trouver toutes les valeurs de a et b, telles que AB = BA. 67

69 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution Nous multiplions les matrices A et B dans l ordre AB : ( )( ) ( ) a b 2 a + b 2a AB = = Pour la multiplication dans l ordre BA, nous avons ( )( ) ( ) 2 a b a +2 b +4 BA = =. 2 a b Nous déduisons de la comparaisons des coefficients de AB avec ceux de BA a + b = a +2, 2a = b +4, a =3, b =2. Ce système d équations a pour solution a = 3 et b = 2. Donc pour les valeurs a = 2 et b = 3 dans A, les matrices A et B commutent, i.e. AB = BA, pour toutes autres valeurs de a ou b, ces matrices ne commutent pas, i.e. AB BA. 68

70 Algébre matricielle et pivot de Gauss Problème Considérons la matrice ( ) b A =, c o ù b et c sont deux paramètres réels non spécifiés. Trouver toutes les valeurs de b et c telles que A 2 = I 2, o ù I 2 est la matrice identité 2 2. Solution Calculons A 2 : ( A 2 b = c )( b c ) = La matrice identité 2 2 I 2 s écrit ( ) I 2 =. ( bc bc En comparant les coefficients de A 2 avec ceux de I 2 nous avons bc =. ). En conclusion, la matrice b A =. b satisfait la relation A 2 = I 2 pour tout b R\{}. 69

71 Algébre matricielle et pivot de Gauss 2.2 Le déterminant de matrices carrées Nous présentons le déterminant de matrices carrées et montrons le calcul de ce dernier au moyen des formules de Laplace ainsi que des opérations élémentaires sur les lignes. Note théorique Formules de Laplace : le déterminant d une matrice n na=[a ij ], noté det A ou A, est un nombre pouvant être calculé en utilisant le développement en cofacteurs par rapport à la ligne i, det A = a i C i + a i2 C i2 + + a in C in, ou, de manière alternative, det A peut être calculé au moyen d un développement similaire par rapport à la colonne j, det A = a j C j + a 2j C 2j + + a nj C nj. Ici le nombre C ij est le cofacteur d indice (i, j) de la matrice A, C ij =( ) i+j det A ij, o ù A ij désigne la matrice (n ) (n ), obtenue à partir de A en retirant la ligne i et la colonne j. 2. On dit que deux matrices A et B sont l-équivalentes (ou ligne équivalentes, nous notons alors A B) si B peut être obtenue à partir de A en appliquant un nombre fini d opérations élémentaires sur les lignes de A. Les trois opérations élémentaires sur les lignes sont les suivantes : i. Additionner une ligne avec le multiple d une autre ligne. ii. Echanger deux lignes. iii. Multiplier tous les coefficients d une ligne par une constante non nulle k. 3. Le calcul du déterminant de A peut être simplifié en effectuant des opérations élémentaires sur ses lignes. La relation entre le déterminant de A et celui de ses matrices l-équivalentes est : Si A B, o ù B a été obtenue en appliquant l opération élémentaire (i) sur A, alors det B = det A. Si A B, o ù B a été obtenue en appliquant l opération élémentaire (ii) sur A, alors det B = det A. Si A B, o ù B a été obtenue en appliquant l opération élémentaire(iii) sur A, alors det B = k det A. 4. Soient A et B des matrices n n. Alors nous avons les propriétés suivantes Propriétés : det(ab) = (det A)(det B) det(a m ) = (det A) m pour tout m N. det A T = det A. Remarque : La transposée d une matrice m n quelconque B est une matrice n mb T, où les colonnes de B sont les lignes de B T. det(ca) =c n det A pour tout nombre c. Le déterminant d une matrice diagonale est donné par le produit de tous ses coefficients diagonaux. Le déterminant d une matrice triangulaire inférieure ou d une matrice triangulaire supérieure est donné par le produit de tous ses coefficients diagonaux. 7

72 Algébre matricielle et pivot de Gauss Remarque : On dit qu une matrice carrée est triangulaire inférieure si tous ses coefficients situés au dessus de ses coefficients diagonaux sont nuls. De la même manière, on dit qu une matrice carrée est triangulaire supérieure si tous ses coefficients situés au dessous de ses coefficients diagonaux sont nuls. det I n =, o ù I n est la matrice identité n n. det(a )= det(a), o ù A désigne l inverse de la matrice A. Remarque : Pour plus de détails sur les matrices inverses et leur calcul, voir la Note Théorique Considérons les trois vecteurs, u, v et w, dans R 3. Alors L aire du parallélogramme défini par u = (u,u 2,u 3 ) et v = (v,v 2,v 3 ) est donnée par la norme du produit vectoriel e e 2 e 3 u v = det u u 2 u 3 ; v v 2 v 3 Le volume du parallélépipède défini par u = (u,u 2,u 3 ), v = (v,v 2,v 3 ) et w =(w,w 2,w 3 ) est donnée par le produit mixte u u 2 u 3 u (v w) = det v v 2 v 3. w w 2 w 3 Voir la Note Théorique.2 pour plus de détails sur les produits vectoriel et triple des vecteurs de R 3. Problème Calculer le déterminant des matrices suivantes : ( ) A =, B = , C =

73 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution Nous calculons ces déterminants en effectuant un développement en cofacteur des matrices par rapport à leur première ligne. det A = = a C + a 2 C 2 = a ( ) + det A + a 2 ( ) +2 det A 2 =3 8= det B = 3 2 = 2 ( 2) det C = = ( + 2) + 2(3 + ) + 2( 6+)= = ( ) = ( 2 ) = 2 Dans certains cas il est plus simple de trouver la matrice l-équivalente triangulaire supérieure et s en servir pour évaluer le déterminant. Reprenons ainsi le calcul de det C : det C = = = ()(3)( )(4) = = Problème Considérons la matrice C du problème 2.2., calculer : det(c 4 ), (det C) 4, det(3c), det(c T ). 72

74 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution det(c 4 ) = (det C) 4 =( 2) 4 = 2736, (det C) 4 =( 2) 4 = 2736, det(3c) =3 4 det C = (8)( 2) = 972, det(c T ) = det C = 2 Problème Soit la matrice 2 2 A =. 2 2 Déterminer la matrice A p pour tout p N en calculant d abord A 2, A 3,... 73

75 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution Déterminons A 2 et A 3 : A 2 = et A 3 =. D où A p = pour tout entier naturel p 3. Problème Considérons l équation X 2 2X + I 2 = 22, (2.2.) o ù X est une matrice 2 2, I 2 est la matrice identité 2 2 et 22 est la matrice nulle 2 2. a) Montrer que ( ) 2 /2 X =. 2 est une solution de (2.2.) et en trouver une autre solution en factorisant cette équation matricielle. b) Montrer que det X = pour une solution X de (2.2.), même dans le cas où X est une matrice n n. c) Montrer que (2.2.) admet en fait une infinité de solutions. Solution a) Le calcul ( de )( ) ( ) ( ) 2 /2 2 /2 2 / donne la matrice nulle. L équation matricielle (2.2.) peut donc se factoriser comme (X I 2 ) 2 = 22, (2.2.2) donc X = I 2 est une autre solution de (2.2.). b) Il est évident de la forme factorisée (2.2.2) reste valide même si X est une matrice n n pour tout n, donc X = I n est une solution. Alors det X = det I n =. c) Notons ( ) ( )( ) ( ) a b a b a b X I 2 =, il faut alors résoudre =. c d c d c d Ce qui nous donne les quatre conditions suivantes : a 2 + bc =, b(a + d) =, c(a + d) =, cb + d 2 =. (2.2.3) 74

76 Algébre matricielle et pivot de Gauss En soustrayant à la quatrième équation la première nous obtenons le système équivalent a 2 + bc =, b(a + d) =, c(a + d) =, (a + d)(a d) =. En étudiant les deux cas a + d = et a d = nous en concluons que a + d = et a 2 + bc = ( sont les seules ) ( conditions ) pouvant ( nous fournir ) toutes les solution. Donc a b a + b X = + = c a c a pour tout a, b et c tels que a 2 + bc =. De plus on remarquera que det X =. L équation matricielle X 2 2X + I 2 = 22 a par conséquent une infinité de solutions. 75

77 Algébre matricielle et pivot de Gauss 2.3 Les matrices carrées inversibles Dans ce sous chapitre nous introduisons l inverse d une matrice carrée et procédons à son calcul lorsque cette dernière est inversible. Le déterminant joue un rôle majeur dans cette discussion. Note théorique 2.3. Soit A une matrice n n. On dit que A est inversible s il existe une autre matrice n n A, nommée inverse de A, telle que A A = AA = I n. Une matrice carrée non inversible est dite singulière. Nous avons alors les affirmations suivantes :. La matrice A est inversible si et seulement si det A. 2. La matrice A est inversible si et seulement si elle est l-équivalente à la matrice identité n n I n. C est à dire, A est inversible si et seulement si sa forme échelonnée réduite [A I n ] est [I n A ]. 3. Si la matrice A est inversible, alors A = adj(a) det A, où adj(a) est la comatrice de A, donnée par la matrice C C 2 C n C 2 C 22 C n2 adj(a) =..... C n C 2n C nn O ù C ij est le cofacteur d indice (i, j) de A, C ij =( ) i+j det A ij. Soient A et B des matrices inversibles n n. Alors les propriétés suivantes sont vérifiées Propriétés : (A ) = A (ca) = c A pour c un nombre non nul. (A T ) =(A ) T, o ù A T est la transposée de A. (AB) = B A det(a )= det A. 76

78 Algébre matricielle et pivot de Gauss Problème Considérons trois matrices n n, notées A, B et C, avec A et B inversibles, et qui satisfont l équation suivante : A 2 B + A = AC. Exprimer A en fonction de B et C. This e-book is made with SetaPDF SETASIGN PDF components for PHP developers 77

79 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution Multiplions cette équation à gauche par A, nous obtenons A A 2 B + A A = A AC, donc AB + I n = C. Multiplions maintenant cette équation à droite par B, alors ABB + I n B = CB, o ù I n B = B et ABB = AI n = A. D où A = CB B. Problème Soient X, A et B trois matrices n n, o ù A et X sont inversibles, satisfaisant BX +2A = BAX. a) Exprimer X en fonction de A et B. b) Trouver X, ( telle que ) ( 2 2 A =, B = ). Solution a) Multiplions cette équation à droite par X afin d obtenir B +2AX = BA ou AX = 2 BA 2 B. Nous multiplions ( maintenant l equation précédente à gauche par A et avons X = A 2 BA ) 2 B ou X = 2 A B (A I n ). b) Pour ( ) ( ) 2 2 A = et B = nous avons ( ) ( A I 2 = et A /2 /2 = 3 3/4 /4 En remplaçant ces résultats dans l équation donnant X : X = 2 A B(A I 2 ), nous obtenons ( ) 3/4 X =. 9/8 /4 ). 78

80 Algébre matricielle et pivot de Gauss Problème Calculer l inverse de la matrice suivante : A =. DO YOU WANT TO KNOW: What your staff really want? The top issues troubling them? How to retain your top staff FIND OUT NOW FOR FREE How to make staff assessments work for you & them, painlessly? Get your free trial Because happy staff get more done 79

81 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution Pour déterminer l inverse de la matrice A, calculons la forme échelonnée réduite de [A I 4 ]. Nous avons [A I 4 ]= /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 3/2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 Nous en concluons que l inverse de A est A = /2 /2 /2. /2 /2 /2. 8

82 Algébre matricielle et pivot de Gauss Problème Trouver toutes les valeurs de k telles que la matrice A est inversible puis calculer son inverse pour une certaine valeur de k : k 2 A = 2 k. k Solution En premier lieu déterminons toutes les valeurs de k pour lesquelles A est singulière. C est à dire, trouvons k tel que k 2 det A =, o ù 2 k k = k2 k 2 et donc (k + )(k 2)=. Donc A est singulière pour k = ou k = 2, et par conséquent A est inversible pour tout k R\{, 2}. Nous choisissons la valeur k =, calculons l inverse de A : [A I 3 ]= 2 2 L inverse de A est donc /2 /2 A = 2. /2 /2 2 /2 / La méthode du pivot de Gauss pour les systèmes d équations linéaires Dans ce sous-chapitre nous présentons la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes d équation linéaires. Nous prouvons que tout système linéaire admettant au moins une solution ne peut en admettre d autre ou en admet une infinité (voir le problème ci-dessous).. 8

83 Algébre matricielle et pivot de Gauss Note théorique 2.4. Un système de m équations linéaires et n inconnues x, x 2,..., x n peut s écrire sous la forme d une équation matricielle A x = b, (2.4.) o ù A est une matrice m n formée des coefficients du système, b est un vecteur de R m et x x 2 x =. Rn. x n. On dit que l équation matricielle (2.4.) est compatible, si elle admet au moins une solution x R n. Si au contraire aucun x R n ne la satisfait, on dit qu elle est incompatible. 2. Toute équation matricielle compatible (2.4.) admet soit une solution unique x R n, ou une infinité de solutions x R n. 3. Toutes les solutions x R n de (2.4.) peuvent-être obtenues par la méthode du pivot de Gauss, qui se résume par les quatre étapes suivantes : Etape I. Ecrire la matrice augmentée [A b] de (2.4.). Etape II. Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes de [A b] afin d obtenir des matrices l-équivalentes à [ A b]. Etape III. Appliquer l étape II. jusqu à ce que [A b] soit sous son unique forme échelonnée réduite, que nous notons [B c]. L équation matricielle Bx = c, c R m (2.4.2) est alors la forme la plus simple du système original Ax = b. Le système (2.4.2) a les mêmes solutions que (2.4.). Etape IV. Résoudre l équation (2.4.2). Les colonnes de la matrice B ne comportant qu une seule fois le chiffre sont appelées les pivots de la matrice A. Toute colonne j de A qui n est pas un pivot implique que x j sera un paramètre libre de la solution x =(x,x 2,...,x j,...,x n ) de (2.4.). Si la dernière colonne de la matrice [B c] est un pivot, alors le système (2.4.) est incompatible. Problème Trouver toutes les solutions x R 5 du système d équations linéaire donné par Ax = b, o ù 2 A = 3, b =

84 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution La matrice augmentée [A b] de ce système est 2 [A b] = En appliquant des opérations élémentaires sur ses lignes, nous écrivons [A b] sous son unique forme échelonnée réduite : 3 4 [A b] Pour x =(x,x 2,x 3,x 4,x 5 ) le système linéaire simplifié, mais équivalent, prend la forme x + x 4 +4x 5 = 3 x 2 3x 4 2x 5 = x 3 + x 4 + x 5 =. Nous pouvons conclure à partir de la forme échelonnée réduite de [A b] que les 4ème et 5ème colonnes de A ne sont pas des pivots. Par conséquent nous en déduisons que x 4 et x 5 sont des paramètres libres de la solution. Notons x 4 = t et x 5 = s, donc x = t 4s 3, x 2 =3t +2s, x 3 = t s +. Toutes les solutions du système linéaire Ax = b s écrivent donc t 4s 3 3t +2s x = t s + pour tous t R et s R. t s 83

85 Algébre matricielle et pivot de Gauss Cette solution peut aussi se présenter sous la forme : x = t + s 2 + pour tous t R et s R. Problème Considérons le système d équations linéaires Ax = b avec 2 k 2 A = 3 k 8 6, b = 5, 6 2 o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k pour lesquelles ce système est compatible puis en donner toutes les solutions. b) Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles le système a une solution unique? 84

86 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution a) La matrice augmentée de ce système linéaire est 2 k 2 [A b] = 3 k En effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de celle-ci nous obtenons la matrice l-équivalente suivante : 2 k 2 [A b] k 6 3(k 6) 2 k 6 2 k 2 (k 6) k 6 3(k 6) 2 2 k 2 (k 6). (k 6)(k 3) 2 A partir de cette forme échelonnée de [A b] il est clair que le système Ax = b est compatible pour tout k R\{3, 6}. Il est par conséquent incompatible si et seulement si k = 3 or k = 6. Nous résolvons à présent ce système en ne considérant que les valeurs de k pour lesquelles il est compatible. Nous avons le système simplifié de Ax = b avec x =(x,x 2,x 3,x 4 ): x +2x 2 + kx 3 +2x 4 = x 2 +(k 6)x 3 = (k 6)(k 3)x 3 =2. Comme la 4ème colonne de A n est pas un pivot, nous savons que x 4 comme un paramètre libre, x 4 = t. Nous avons (k 6)(k 3) x 2 = k 3, x 3 = (k 6)(k 3), 2(2 k) x = 2 donc les solutions de ce système sont 2 k 2 k + 42 x = t + 2(k 6) (k 6)(k 3) 2 pour tous t R et k R\{3, 6}. b) Nous avons montré à partir de la forme échelonnée de [A b] ci-dessus que la 4ème colonne de A n est pas un pivot, et ce quelque soient les valeurs de k. Donc pour tout k le système Ax = b ne peut pas admettre de solution unique. Problème Prouver que tout système compatible, Ax = b avec A une matrice m n et b R m, admet soit exactement une solution x R n soit une infinité. 85

87 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution Supposons que x R n et x 2 R n soient deux solutions distinctes de Ax = b. C est à dire, Ax = b, Ax 2 = b. Notons x la différence entre x et x 2, i.e. x = x x 2. Calculons Ax, nous obtenons Ax = A(x x 2 )=Ax Ax 2 = b b = et nous pouvons en conclure que x est une solution de l équation homogène Ax =. Considérons maintenant A(x + kx ), avec k un réel : A(x + kx )=Ax + Akx = Ax + kax = b + k = b pour k quelconque. Nous en déduisons que x + kx fournit une infinité de solutions différentes de Ax = b puisqu il y en a une pour n importe quel choix de k R. Par conséquent, si un système linéaire de la forme Ax = b admet plus d une solution, alors il en admet une infinité. 2.5 Les systèmes d équations linéaires carrés Un système d équations linéaires carré est un système d équations linéaires contenant autant d équations que d inconnues. Le déterminant de la matrice des coefficients joue un rôle majeur dans la résolution de ce genre de systèmes. Nous introduisons la règle de Cramer, à partir de laquelle certains systèmes d équations linéaires peuvent être résolus en utilisant le déterminant. Note théorique 2.5. Considérons le système d équations linéaires carré A x = b, (2.5.) o ù A est une matrice n n et b R n.. Le système (2.5.) peut être résolu en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Voir la Note théorique 2.4 pour une description détaillée de cette méthode. 2. Le système (2.5.) admet une unique solution x R n pour tout b R n si et seulement si A est inversible. Cette solution est alors donnée par x = A b. 86

88 Algébre matricielle et pivot de Gauss 3. Le système (2.5.) admet une unique solution si et seulement si det A =. Par conséquent, si det A = alors il peut en admettre une infinité ou aucune. 4. Si le système (2.5.) est compatible, alors sa solution unique peut être calculée via la règle de Cramer qui prend la forme : La règle de Cramer : Si det A = alors l unique solutionx =(x,x 2,...x n ) de (2.5.) est donnée par la formule x j = det A j(b), j =, 2,...,n, det A o ù A j (b) est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant sa jème colonne par le vecteur b. Dans le cas où det A =, la règle de Cramer dit : Si det A = et det A j (b) = pour au moins une valeur dej, alors le système (2.5.) est incompatible. Si det A = et det A j (b) = pour tout j =, 2,...,n, alors le système (2.5.) admet une infinité de solutions. Challenge the way we run EXPERIENCE THE POWER OF FULL ENGAGEMENT RUN FASTER. RUN LONGER.. RUN EASIER READ MORE & PRE-ORDER TODAY 87

89 Algébre matricielle et pivot de Gauss Problème Considérons le système d équations linéaires carré Ax = b avec k 2 x A = 2 k, b = 7, x = x 2, k 3 x 3 o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que ce système admet une solution unique. Quelles sont les valeurs de k pour lesquelles la matrice A est inversible? b) Trouver toutes les valeurs de k, telles que ce système admet une infinité de solutions ainsi que toutes les valeurs de k pour lesquelles le système est incompatible. Solution a) Nous rappelons que le système linéaire carré Ax = b admet une solution unique si et seulement si det A et donc si A est inversible. Le calcul du déterminant de A nous donne k 2 det A = 2 k =(k + )(k 2). k Donc ce système linéaire a une solution unique pour tout k R\{, 2}, et cette solution s écrit x = A b pour tout k R\{, 2}. b) Pour trouver les valeurs de k telles que le système linéaire Ax = b admette une infinité de solutions, il nous faut étudier les deux valeurs de k annulant le déterminant de A, k = et k = 2. Pour k =, la matrice augmentée du système est A partir de la troisième ligne de cette matrice il est clair que le système est incompatible dans ce cas. Pour k = 2, la matriceaugmentée du systèmeest A partir de la seconde ligne de cette matrice il est clair que le système est incompatible dans ce cas. 88

90 Algébre matricielle et pivot de Gauss En conclusion, ce système linéaire carré admet une unique solution pour tout k R\{, 2} et qu il est incompatible pour k = ainsi que k = 2. Par conséquent, il n existe pas de valeur réelle de k telle que ce système admette une infinité de solutions. Problème Considérons le système linéaire suivant : k x k k x 2 = 2 3 x 3 2, o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que ce système admette une unique solution et la déterminer à l aide de la règle de Cramer. b) Trouver toutes les valeurs de k telles que le système soit incompatible ainsi que toutes les valeurs de k telles qu il admette une infinité de solutions, dans ce dernier cas déterminer toutes les solutions. Akademikernas a-kassa För alla akademiker. Hela arbetslivet. Försäkra din lön för 9 kronor i på Twitter facebook.com/akademikernas aea.se/blimedlem 89

91 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution a) Nous devons résoudre le système Ax = b, o ù k k A = k et b = Le déterminant de A est det A = k 2 3k +2=(k )(k 2) donc A est inversible si et seulement si k R\{, 2}. Le système possède ainsi une solution unique pour toutes les valeurs de k, excepté et 2. Pour trouver cette solution unique nous utilisons la règle de Cramer et calculons x j = det A j(b), det A j =, 2, 3. Nous obtenons det A (b) = det A 2 (b) = det A 3 (b) = k k 2 2 k k k k k =2 k =(k 2)(k 3) =2k2 3k 2=(2k + )(k 2). Donc l unique solution du système est x =(x,x 2,x 3 ), avec x = k, x 2 = k 3 k, x 3 = 2k2 3k 2 (2k + )(k 2) 2k + = = (k )(k 2) (k )(k 2) k. Ici k peut être n importe quelle valeur réelle, à l exception de ou 2. Pour k = 2, nous avons det A = et det A j (b) =pourj =, 2, 3. Par conséquent, la règle de Cramer nous dit que le système admet une infinité de solutions pour k = 2. Pour k =, nous avons det A = et det A j (b) = pourj =, 2, 3. Ainsi, la règle de Cramer nous dit que le système est incompatible pour k =. b) La matrice augmentée du système est [A b] = k k k Multiplions la première ligne par et additionnons la à la seconde ligne afin d obtenir la matrice l-équivalente k k k k 2 k, 3 2 à partir de laquelle il est clair que le système est incompatible si et seulement si 9

92 Algébre matricielle et pivot de Gauss k =. Pour k = 2 cette matrice augmentée a la forme échelonnée réduite suivante : /3 2/3 /3 2/3. La 3ème n est pas un pivot, nous pouvons donc choisir x 3 arbitrairement. Notons x 3 = t. Les solutions du système pour k = 2 s écrivent alors x = t pour tout t R Problème Soit la matrice 4 4: A = k 2k 2, avec k un paramètre réel non spécifié. a) Considérons le système linéaire homogène Ax =, o ù x R 4. Trouver toutes les valeurs de k telles que ce système admette seulement la solution triviale (donnée par le vecteur nul), ainsi que toutes les valeurs de k pour lesquelles le système admet une infinité de solutions. b) Considérons le système linéaire non homogène Ax = b, b =. Trouver toutes les valeurs de k pour lesquelles le système admet une infinité de solutions x R 4 et déterminer ces solutions. Trouver aussi les valeurs de k telles que le système admette une solution unique, et celles pour lesquelles il est incompatible. 9

93 Algébre matricielle et pivot de Gauss Solution a) Nous rappelons que le système linéaire carré Ax = admet seulement la solution x = si et seulement si A est une matrice inversible. De plus, A est inversible si et seulement si det A =. Calculons donc le déterminant dea : k det A = 2k 2 = 2 = 2k 2 k + 2k 2 k 2k = (k + )(2k ). Nous en déduisons que Ax = admet seulement la solution nulle pour tout k R\{, /2} et que le système admet une infinité de solutions pour k = et k =/2. b) Comme A est inversible pour tout k R\{, /2}, le système admet une solution unique pour toutes ces valeurs de k et cette solution est donnée par x = A b. Comme det A = pour k = et k =/2, nous devons étudier le système Ax = b dans ces cas là. Notons x = x x 2 x 3 x 4. Pour k = la matrice augmentée et sa forme réduite échelonnée sont : 2/3 2 /3. 2 comme la quatrième colonne de cette matrice n est pas un pivot nous notons x 4 = t, o ù t est un paramètre arbitraire. Les solutions s écrivent alors 2 x = t pour tout t R. 3 Pour k =/2 la matrice augmentée et sa forme réduite échelonnée sont : /2. 2 Comme la seconde colonne de cette matrice augmentée n est pas un pivot nous 92

94 Algébre matricielle et pivot de Gauss notons x 2 = t, o ù t est un paramètre arbitraire. On obtient ainsi les solutions : x = t + pour tout t R. En conclusion, le système admet une infinité de solutions pour k = et k =/2 et en admet une unique pour toutes les autres valeurs de k. Par conséquent, il n existe pas de valeur de k telle que le système soit incompatible. Unlock your potential elibrary solutions from bookboon is the key elibrary Interested in how we can help you? ban@bookboon.com 93

95 Algébre matricielle et pivot de Gauss 2.6 Les systèmes d équations linéaires dans R 3 Dans ce sous-chapitre, nous étudions les systèmes d équations linéaires contenant au plus trois variables. Géométriquement, ces équations sont des plans de R 3 comme démontré au Chapitre. Nous utilisons le pivot de Gauss, le déterminant des matrices carrées ainsi que les connaissances acquises au Chapitre à propos des plans dans le but de résoudre ces systèmes et d interpréter leurs solutions d un point de vue géométrique dans R 3. Note théorique 2.6. L équation générale d un plan de R 3 est ax + by + cz = d, (2.6.) o ù a,b,cet d sont des nombres réels donnés. Tous les points (x, y, z) dans R 3 appartenant au plan doivent donc satisfaire l équation (2.6.). Considérons maintenant m plans de R 3 respectivement décrits par le système de m équations suivant : a x + a 2 y + a 3 z = d a 2 x + a 22 y + a 23 z = d 2. a m x + a m2 y + a m3 z = d m. Ce système peut aisément s écrire sous la forme d une équation matricielle Ax = d, (2.6.2) o ù A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a a m a m2 a m3, d = d d 2. d m, x = x y z.. Etant donné que nous avons un nombre fini de plans dans R 3 il existe seulement quatre possibilités pour ce qui est de leur intersection, a) tous les plans se croisent en un point unique ; b) tous les plans se croisent sur sur une droite commune ; c) tous les plans ne se croisent pas en un point unique ou sur une droite commune ; d) tous les plans coincident. Remarque : Si nous avons seulement deux plans (m =2), alors le cas a) est impossible. 2. A ces quatre possibilités pour l intersection des m plans correspondent les solutions suivantes x R 3 du système (2.6.2) : 94

96 Algébre matricielle et pivot de Gauss a) si tous les plans de croisent en un point unique alors le système (2.6.2) admet une solution unique ; b) si tous les plans se croisent sur une droite commune, alors le système (2.6.2) admet une infinité de solutions avec un seul paramètre libre ; c) si tous les plans ne se croisent pas en un point unique ou sur une droite commune, alors le système (2.6.2) est incompatible et n admet pas de solution ; d) si tous les plans coincident, alors le système (2.6.2) admet une infinité de solutions avec deux paramètres libres. Remarque : Si nous avons seulement deux plans, alors le système (2.6.2) avec m =2a soit aucune solution (pas d intersection), soit une infinité de solutions avec un paramètre libre (intersection sur une droite), ou une infinité de solution avec deux paramètres libres (les deux plans coincident). Problème Considérons les trois plans de R 3 suivants : x 4y +7z = 3y 5z = 2x +5y 9z = k, o ù k est un paramètre réel non spécifié. Trouver toutes les valeurs de k telles que ces plans se croisent sur une droite commune l et exprimer l sous sa forme paramétrique. Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles l intersection de ces plans est un point unique? Expliquer. Solution Ecrivons d abord les trois équations x 4y +7z = 3y 5z = 2x +5y 9z = k sous une forme matricielle Ax = b, o ù A = , x = La matrice augmentée du système est [A b] = k 3 5 k +2 x y z, b = k. /3 5/3 k

97 Algébre matricielle et pivot de Gauss A partir de la forme échelonnée réduite de [A b] ci-dessus, nous concluons que le système Ax = b est compatible si et seulement si k = 2. Pour cette valeur de k le système admet une infinité de solutions. En choisissant z = t comme paramètre arbitraire, ces solutions sont x = 3 t +, y = 5 t, z = t pour tout t R. 3 Donc, pout k = 2, les trois plans se croisent sur une droite commune l, donnée par l équation paramétrique l : x = 3 t + y = 5 3 t z = t pour tout t R. La figure 2. montre l intersection des trois plans le long de la droite l pour k = 2. Figure 2. L intersection des plans du problème 2.6 a) le long de la droite l pour k = 2. Pour toutes les valeurs k R\{ 2}, le système est incompatible. La figure 2.2 montre les trois plans dans le cas k = 6 et nous voyons qu ils ne se croisent pas en un point unique ou sur une droite commune. 96

98 Algébre matricielle et pivot de Gauss Figure 2.2 Pas d intersection des plans du problème 2.6 a) pour k = 6. Nous en déduisons qu il n existe pas de valeur de k pour laquelle le système admet une unique solution. En d autres mots, il n existe pas de valeur de k telle que les trois plans se croisent en un unique point. Engineering Your Future Bombardier Transportation is the global leader in the rail equipment manufacturing and servicing industry and is represented in over 6 countries. Its wide range of products includes locomotives and passenger rail vehicles. It also manufactures total transit systems, bogies, propulsion & controls and provides rail control solutions. Join a Winning Team! Across mechanical, electrical, software and specialist engineering, we have a first-class reputation for innovation. So it s no surprise that we are the number one rail manufacturer in the world. Go to for open positions. The Climate is Right for Trains 97

99 Algébre matricielle et pivot de Gauss Problème Soient les quatre plans de R 3 : x + y =2 y + z =2 x + z =2 ax + by + cz =, o ù a, b et c sont des paramètres réels non spécifiés. a) Trouver la condition sur les paramètres a, b et c, telle que les quatre plans se croisent en un point unique et déterminer ce point. b) Trouver la condition sur les paramètres a, b et c, telle que le système de quatre équations est incompatible. Donner une interprétation géométrique de ce cas en terme d intersection des plans. c) Existe-t-il des valeurs des paramètres a, b et c pour lesquelles les quatre plans se croisent sur une droite commune? Expliquer. Solution a) Ecrivons les équations x + y =2 y + z =2 x + z =2 ax + by + cz =, sour la forme d un système matriciel Ax = b, o ù A =, x = a b c La matrice augmentée est 2 [A b] = 2 2. a b c x y z, b = Afin d écrire cette matrice sous sa forme échelonnée réduite, il est pratique de d abord effectuer les opérations élémentaires sur les trois premières lignes de [A b] puis de se charger de la quatrième colonne. Nous obtenons a b c a b c a + b + c A partir de la quatrième ligne de cette matrice, nous concluons que le système Ax = b est compatible si et seulement si la condition suivante est satisfaite : a + b + c =.. 98

100 Algébre matricielle et pivot de Gauss et, sous cette condition, la solution unique du système est x =, y =, z =. Donc le point commun des quatre plans est (,, ) pour toutes les valeurs de a, b et c, telles que a + b + c =. b) Le système Ax = b, tel qu il est décrit ci-dessus, n est pas compatible quelque soient a, b et c, tels que a + b + c =. Ce qui signifie que pour toutes ces valeurs de a, b et c les quatre plans ne se croisent ni en un point commun, si sur une même droite. c) Comme démontré aux questions précédents, le système admet une solution unique pour toutes les valeurs de a, b et c satisfaisant la condition a + b + c = et il est inconsistant si cette condition n est pas satisfaite. Il n existe donc pas de valeur de a, b et c permettant au système d admettre une infinité de solutions, il n existe donc pas de valeurs pour lesquelles les quatre plans se croisent sur une droite commune. Problème Considérons les quatre plans de R 3 : Π : 2x +4y +2z = 2s Π 2 : 2x + 2y +7z = 2s +7 Π 3 : x + y +6z =7s +8 Π 4 : x +2y +3z =, o ù s est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de s telles que les trois plans Π, Π 2 and Π 3 se croient sur une droite commune et déterminer l équation paramétrique de cette droite. b) Trouver le point d intersection des quatre plans Π,Π 2,Π 3 and Π 4, si un tel point existe. Solution a) Les plans Π,Π 2 et Π 3 peuvent s écrire sous la forme Ax = b, o ù s x A = 2 2 7, b = 2s +7, x = y. 6 7s +8 z Ecrivons maintenant la matrice augmentée [A b] dans sa forme échelonnée réduite : s /4 (24s 7)/4 [A b] = s +7 5/8 7/8. 6 7s +8 s + Nous en déduisons que le système est compatible si et seulement si s =. Alors il s écrit y z = 7 8, x 4 z = 3 4. z étant clairement un paramètre arbitraire, notons z = t. La solution est alors x = 4 t 3 4, y = 5 8 t + 7, z = t pour tout t R. 8 99

101 Algébre matricielle et pivot de Gauss L équation paramétrique de la droite l, décrivant l intersection des plans Π, Π 2 et Π 3 pour s =, est donc x = 4 t 3 4 l : y = 5 8 t z = t pour tout t R. Remarquons que les plans Π, Π 2 et Π 3 ne se croisent sur la droite l que si s =. Pour toute autre valeur de s, donc pour s R\{ }, il n y a pas d intersection commune des plans. b) Afin de trouve l intersection de Π 4 avec la droite l obtenue à la partie a) ci-dessus, nous devons trouver la valeur de t telle que Π 4 : x +2y +3z = est satisfaite. C est à dire t +2 ( t ) +3t =, qui donne t = 5 2. Le point d intersection de Π, Π 2,Π 3 et Π 4 est alors (x,y,z ), avec x = ( ) = 57 8, y = 5 ( ) = 6, z = 5 2. Cette intersection est représentée à la figure 2.3. ( 57 8, 6, 5 2 ). Har du växtkraft? Frigör den hos oss. Ansvar skapar växtkraft Våra medarbetare får stort eget ansvar, vilket skapar växtkraft. Kraft att utveckla våra kunders, de dynamiska ägarledda företagens, affärer. Men också kraft att driva på sin egen utveckling och hjälpa kollegor att växa. Vi arbetar i en företagskultur där vi tar ansvar, stöttar varandra och samarbetar i team. Låter det som en plats där du skulle trivas och växa? Välkommen till oss! karriar.grantthornton.se LinkedIn: Grant Thornton Sweden

102 Algébre matricielle et pivot de Gauss Figure 2.3 L intersection des quatre plans du problème 2.6 c) pour s =. Problème Considérons les six plans format un parallélépipède à leur intersection comme représentés à la figure 2.4 : Π : x + y 4z = Π 2 : x + y 4z = 6 Π 3 : y 2z = 2 Π 4 : y 2z = 3 Π 5 : x 3y +8z = 8 Π 6 : x 3y +8z = 4. Trouver les sommets, le volume et l isobarycentre du parallélépipède.

103 Algébre matricielle et pivot de Gauss Figure 2.4 Six plans format un parallélépipède à leur intersection. Solution Les équations des plans Π j ainsi que les vecteurs normaux correspondants n j (j =, 2,...,6) décrivant les six faces du parallélépipède de la figure 2.5 sont : Π : x + y 4z =, n = (,, 4) Π 2 : x + y 4z = 6 n 2 = (,, 4) Π 3 : y 2z = 2, n 3 = (,, 2) Π 4 : y 2z = 3 n 4 = (,, 2) Π 5 : x 3y +8z = 8, n 5 = (, 3, 8) Π 6 : x 3y +8z = 4, n 6 = (, 3, 8). Les coordonnées du sommet P :(x,y,z ) sont données par l intersection des plans Π, Π 4 et Π 6 (voir la figure 2.5). Nous écrivons P : Π Π 4 Π 6. Elles correspondent à la solution unique du système linéaire A x = b, o ù A = , b =

104 Algébre matricielle et pivot de Gauss Figure 2.5 Le parallélépipède contenu dans les six plans Π, Π 2, Π 3, Π 4, Π 5 et Π 6. Nous remarquons que det A = 4 qui assure l existence d une solution unique au système linéaire ci-dessus : x = A b. Nous obtenons x = 3. 3 Les coordonnées du sommet P 2 : (x 2,y 2,z 2 ) sont données par l intersection des plans suivants (voir la figure 2.5) : P 2 : Π Π 4 Π 5. Et donc par la solution unique du système linéaire o ù A 2 x 2 = b 2, A 2 = , b 2 = 3 8 det A 2 = 4, qui assure une nouvelle fois l existence de la solution unique. Nous avons x 2 = 5. 4 Les coordonnées du sommet P 3 : (x 3,y 3,z 3 ) sont données par l intersection des plans suivants (voir la figure 2.5) : P 3 : Π Π 3 Π 5.. 3

105 Algébre matricielle et pivot de Gauss Qui correspondent à la solution du système linéaire o ù A 3 x 3 = b 3, A 3 = , b 3 = 2 8 det A 3 = 4, nous avons toujours une solution unique qui est 2 x 3 = 8. 5 Les coordonnées du sommet P 4 : (x 4,y 4,z 4 ) sont données par l intersection des plans suivants (voir la figure 2.5) : P 4 : Π Π 3 Π 6.. Qui correspondent à la solution du système linéaire o ù A 4 x 4 = b 4, A 4 = , b 4 = 2 4. Avec det A 4 = 4 et donc une solution unique donnée par x 4 = 6. 4 Les coordonnées du sommet P 5 : (x 5,y 5,z 5 ) sont données par l intersection des plans suivants (voir la figure 2.5) : P 5 : Π 2 Π 4 Π 6. Il faut résoudre le système linéaire o ù A 5 x 5 = b 5, A 5 = , b 5 = Une nouvelle fois det A 5 = 4, il y a donc une solution unique qui est x 5 =. 2. 4

106 Algébre matricielle et pivot de Gauss Les coordonnées du sommet P 6 suivants (voir la figure 2.5) : : (x 6,y 6,z 6 ) sont données par l intersection des plans P 6 : Π 2 Π 4 Π 5. Qui correspondent à la solution du système linéaire o ù A 6 x 6 = b 6, A 6 = , b 6 = Avec det A 6 = 4 et donc la solution unique 3 x 6 = Les coordonnées du sommet P 7 suivants (voir la figure 2.5) : : (x 7,y 7,z 7 ) sont données par l intersection des plans P 7 : Π 2 Π 3 Π 5. Il faut donc résoudre le système linéaire o ù A 7 x 7 = b 7, A 7 = , b 7 = Avec det A 7 = 4 qui nous garantit une solution unique, donnée par 4 x 7 = Les coordonnées du sommet P 8 suivants (voir la figure 2.5) : : (x 8,y 8,z 8 ) sont données par l intersection des plans P 8 : Π 2 Π 3 Π 6. Il faut donc résoudre le système linéaire A 8 x 8 = b 8, o ù A 8 = , b 8 =

107 Algébre matricielle et pivot de Gauss Avec det A 7 = 4 qui nous garantit une solution unique, donnée par 2 x 8 = 4. 3 Résumons : les coordonnées des sommets du parallélépipède sont (voir le figure 2.5) : P : (, 3, 3) P 2 : (, 5, 4), P 3 : (2, 8, 5), P 4 : (, 6, 4) P 5 : (,, 2), P 6 : (3, 3, 3), P 7 : (4, 6, 4), P 8 : (2, 4, 3). Le volume V de ce parallélépipède est donné par le produit triple ( V = P 5 P 8 P ) 5 P 6 P 5 P, o ù renvoie à la valeur absolue et P 5 P 8 = (, 3, ), P 5 P 6 = (2, 2, ), Nous avons V = P 5 P =( 2, 2, ). = 4 = 4 unités cubiques Pour trouver l isobarycentre Q : (x, y, z) du parallélépipède nous pouvons considérer, par exemple, les sommets P 5 et P 3, o ù P 5 Q = P 5 P 3 2 x y z 2 = Les coordonnées de l isobarycentre Q sont donc Q : ( 3 2, 9 2, 7 2 ).. Pour trouver la hauteur h du parallélépipède de base Π 2, nous projetons orthogonalement le vecteur P 5 P sur le vecteur normal n 2 = (,, 4)deΠ 2, i.e. ( ) P 5 P n 2 h = proj n2 P 5 P = n 2 = ( 2 n 2 n 2 9, 2 9, 8 9 ) = Alternativement, nous pouvons calculer la distance s entre les plans Π et Π 2, donnée par la relation s = d d 2, n pour Π : ax + by + cz = d et Π 2 : ax + by + cz = d 2 (voir la note théorique.5). Pour ce cas nous avons a =, b =, c = 4, d =, d 2 = 6, n = (,, 4). Qui nous donne s = ( 6) ++6 = 4 8 =

108 Algébre matricielle et pivot de Gauss 2.7 Intersection des droites dans R 3 Dans ce sous-chapitre nous étudions l intersection des droites de R 3 et montrons comment les calculer. Note théorique 2.7. Soient l et l 2 deux droites de R 3, il y a trois cas possibles : a) l et l 2 se croisent en un point unique. b) l et l 2 se croisent en tout point de l et l 2, dans ce cas les deux droites coincident. c) l et l 2 ne se croisent en aucun point. Remarque : Si nous avons plus de deux droites dans R 3, alors les possibilités pour leur intersection sont les mêmes que celles listées ci-dessus pour deux droites. Vi växer snabbt och är en av Nordens stora teknikkonsulter. Vi letar alltid efter nya talanger! Hos oss arbetar du tillsammans med specialiserade ingenjörer som har bredd, spets och inte minst energi som skapar resultat! Vi kallar det Energized Engineering det finns hos Rejlers. rejlers.se/energized 7

109 Algébre matricielle et pivot de Gauss Problème Considérons les deux droites de R 3 suivantes : x =2t +3 x = s l : y = 4t + l 2 : y = bs +3 z =2t +2 z = s pour tous t R et s R, e t o ù b est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de b telles que les droites l et l 2 se croisent. b) Les droites se croisent-elles pour b =? Si tel est le cas, déterminer leur intersection. Solution a) En tout point où l et l 2 se croisent, il doit exister des valeurs des paramètres t et s satisfaisant les coordonnées du point d intersection. Afin de calculer ces points, considérons x =2t +3= s y = 4t +=bs +3 z =2t +2= s. Nous avons 2t +3= s 4t +=bs +3 2t +2= s que nous pouvonsréécrire sous forme matricielle 2 ( ) 3 4 b t = 2. s 2 3 La matrice augmentée correspondante est b Nous effectuons maintenant deux opérations élémentaires sur les lignes de cette matrice, : multiplier la première ligne par 2 and et ajouter le résultat à la seconde ligne ; 2 : multiplier la première ligne par et ajouter le résultat à la troisième ligne. Ce qui nous donne la forme échelonnée suivante : b 4. A partir de cette forme échelonnée, nous concluons que le système admet une solution pour t et s si et seulement si b 2. 8

110 Algébre matricielle et pivot de Gauss Par conséquent, les droites l et l 2 se croisent si et seulement si b R\{2}. Pour ces valeurs de b, nous avons alors t = 2 3b 2(b 2), s = 4 b 2. En insérant ces valeurs de t et s dans les équations paramétriques de l ou l 2, nous obtenons les coordonnées x, y et z du point d intersection pour tout b R\{2}, x = 4 b 2, y = 7b 6 +2, z = b b 2 b 2. b) Pour b = les droites l et l 2 se croisent et la réponse à la question précédente nous donne les valeurs de t et s correspondantes t = 2, s = 4. En insérant ces valeurs dans les équations paramétriques de l ou l 2 nous obtenons les coordonnées du point d intersection, (4,, 3). Problème Considérons les trois droites de R 3 : x = t +3 x =3s +3 l : y =2t + l 2 : y = 6s + z = t +2 z =3s +2 x = 4p +8 l 3 : y = p +2 z =2p pour tous t R, s R et p R. a) Find the Trouver le(s) point(s) s intersection des droites l et l 2, si ces droites se croisent. b) Find the Trouver le(s) point(s) s intersection des droites l, l 2 et l 3, si ces droites se croisent. Solution a) Pour déterminer le point d intersection de l et l 2, considérons x = t +3=3s +3 y =2t += 6s + z = t +2=3s +2, donc t 3s = 2t +6s = t 3s =. Ce qui nous donne, en forme matricielle, 3 ( ) 2 6 t =. s 3 9

111 Algébre matricielle et pivot de Gauss Nous avons alors la matrice augmentée correspondante , 3 ce qui veut dire que t = 3s pour tout s R. Donc, pour toute valeur de s R il existe une valeur de t, en l occurence t = 3s paramétrisant les mêmes coordonnées et par conséquent un point d intersection entre l et l 2. Les deux droites, l et l 2, se croisent donc en tout point de l (ou l 2 ), de telle façon que ces deux droites coincident. b) Comme l et l 2 coincident (voir la question précédente), nous pouvons maintenant chercher les intersections entre l et l 3. Considérons x = t +3= 4p +8 y =2t +=p +2 z = t +2=2p, donc l équation matricielle s écrit 4 ( ) 5 2 t =, p 2 3 et la matrice augmentée /7, qui nous dit que le système est incompatible. Donc il n existe aucune valeur de t et p qui pourraient nous donner le même point, il n y a par conséquent aucune intersection entre l et l 3. Les trois droites, l, l 2 et l 3, ne se croisent donc pas en un point commun. JAG UTVECKLAR OCH UTVECKLAS! På Prevas träffar du kompetenta, spännande och trevliga människor varje dag. De kan vara dina nya kollegor eller så kan det vara någon av våra kunders medarbetare. Hos oss får du möjlighet att arbeta med olika kunder i olika branscher med olika typer av teknologi i olika processer. Som medarbetare på Prevas kommer du därför alltid att fortsätta utvecklas så länge du själv vill. Läs mer på INNOVATION FOR GROWTH

112 Algébre matricielle et pivot de Gauss 2.8 Exercises. Soit l équation matricielle o ù AX +3B = A 2, A = ( 3 ) ( 2, B = et X est une matrice inversible 2 2. Trouver X satisfaisant l équation ci-dessus. [Réponse : X = ( 2/7 5/7 /7 6/7 ) ). ] 2. Considérons l équation 2X + AX =3B, o ù ( ) 3 A = 2 et X est une matrice non spécifiée. a) Pour cette( équation, ) supposons que 3 B =, 3 2 trouver alors X. [Réponse : X = ( b) Supposons( maintenant que 2 B = 3 trouver X. [Réponse : X = ), ). ] ( ). ] 3. Soit l équation matricielle C (XB A)B = X, o ù B, C et I n C sont toutes des matrices inversibles n n. Trouver la matrice X satisfaisant l équation ci-dessus et l exprimer et fonction des autres matrices de l équation et de la matrice identité I n. [Réponse : X =(I n C) AB.]

113 Algébre matricielle et pivot de Gauss 4. Considérons l équation matricielle AX +(X + B) = X, o ù A, B, X, X + B, A I n et A I n sont des matrices inversibles n n. a) Résoudre cette équation pour X. [Réponse : X = B(A I n ). ] b) Résoudre cette ( équation ) pour X, ( quand A) et B prennent les formes suivantes : 2 A =, B =. [Réponse : X = ( ). ] 5. Soit la matrice : a 2 3 A =, 3 a +6 o ù a est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de a, telles que la matrice A soit inversible. [Réponse : a R\{}. ] b) Calculer l inverse de A pour a =. [Réponse : A = ] 6. Trouver toutes les solutions du système Ax = b pour les matrice A et vecteur b donnés ci-dessous. Donner une interprétation géométrique des solutions lorsque cela est possible. a) A = , b = [Réponse : La seule solution est un point de R 3 de coordonnées x = b) A = , b = ] 2

114 Algébre matricielle et pivot de Gauss [Réponse : Les solutions forment la droite de R 3 passant par le point (3/2,, /2) et parallèle au vecteur (,, ), il y a donc une infinité de solutions s écrivant x = t c) A = + ( /2 /2 pour tout t R. ] ) (, b = 2 [Réponse : Les solutions forment le plan de R 3 d équation x x 2 +2x 3 =, il y en a donc une infinité et elles s écrivent x 2 x = x 2 = t + s + pour tous t R et s R. ] x 3 d) A = , b = [Réponse : Le système est incompatible, il n admet donc aucune solution. ] ).. 7. Déterminer l intersection des deux plans suivants de R 3 : Π : x y +3z = Π 2 : x + y +2z =. Utiliser Maple afin de représenter ces plans dans R 3 (voir l annexe A pour plus d informations sur Maple). [Réponse : Les deux plans se croisent sur la ligne suivante : x = 5t + 28 l : y = t z =2t 9 pour tout t R. ] 3

115 Algébre matricielle et pivot de Gauss 8. Déterminer l intersection des trois plans suivants de R 3 : Π : x +3y 5z = Π 2 : x +4y 8z = Π 3 : 2x 7y + 3z =. Utiliser Maple afin de représenter ces plans dans R 3 (voir l annexe A pour plus d informations sur Maple). [Réponse : Les trois plans se croisent sur la ligne suivante : x = 4t l : y =3t z = t for all t R. ] 9. Considérons les trois plans de R 3 : Π : x 4x 2 +7x 3 = Π 2 : 3x 2 5x 3 = Π 3 : 2x +5x 2 9x 3 = k, o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que les trois plans se croisent le long d une droite commune l, et donner l équation paramétrique de cette droite. [Réponse : Ces plans ne se croisent sur une droite commune l que si et seulement si k = 2, de plus l est donnée par x = t/5+ l : x 2 = t x 3 =3t/5 pour tout t R. ] b) Pour quelle(s) valeur(s) de k ces trois plans se croisent-ils en un point unique? [Réponse : Il n existe pas de telle valeur de k. ]. Trouver toutes les solutions du système suivant : x 3 +2x 5 = x +6x 2 +2x 3 +4x 5 = x 4 +5x 5 =2. [Réponse : x x 2 x 3 x 4 x 5 = t pour tous t R et s R. ] 6 + s

116 Algébre matricielle et pivot de Gauss. Considérons le système suivant : x + x 3 +2x 4 = 2x + kx 2 + x 3 + x 4 =2 3x 2 + x 3 +2x 4 =3 x + x 2 + x 4 =4, o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k, telles que ce système n ait qu une unique solution. [Réponse : k R\{ 7}. ] b) Trouver toutes les valeurs de k, telles que ce système ait une infinité de solutions. [Réponse : Il n existe pas de valeur de k pour lesquelles ce système admet une infinité de solutions. ] c) Trouver toutes les valeurs de k, telles que ce système soit incompatible. [Réponse : k = 7. ] d) Trouver toutes les valeurs de k, telles que la matrice associée au système soit singulière. [Réponse : k = 7. ] 2. Considérons le système suivant : x + x 2 + x 3 = a 3x + kx 3 = b x + kx 2 + x 3 = c, o ù a, b, c et k sont des paramètres réels non spécifiés. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que pout tous a, b et c ce système ait une solution unique. [Réponse : k R\{, 3}. ] b) Trouver toutes les valeurs de k et une condition sur a, b et c telles que le système soit compatible. [Réponse : A partir de la question a), nous savons que le système admet une solution unique (et qu il est donc compatible) pour tout k R\{, 3} et tous réels a, b et c. Pour k = le système admet une infinité de solutions (et est compatible) si et seulement si c = a pour tout c R. Pour k = 3 le système 5

117 Algébre matricielle et pivot de Gauss admet une infinité de solutions (et est compatible) si et seulement si c = 3a 2b/3 pour tous a R et b R. ] 3. Soit l équation ( matricielle ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X X =, α α 3 o ù X est une matrice 2 2 non spécifiée. Déterminer toutes les valeurs de α, telles que cette équation ait une solution unique pour X. [Réponse : α R\{ 2}. ] 4. a) Soit la fonction f(x) =ax 3 + bx 2 + cx + d, o ù a,b,cet d sont des paramètres réels non spécifiés. Trouver les valeurs de ces paramètres pour lesquelles la courbe d équation y = f(x) passe par les points du plan xy suivants : {(, ), (, ), (2, 2), ( 2, 2)}. Utiliser Maple afin de tracer la fonction obtenue dans le plan xy (voir l annexe A pour plus d informations sur Maple). [Réponse : a = 5/6, b =2, c =5/6, d =. ] b) Considérons la fonction f(x) =a cos(2x)+b(π x) cos(2x)+cx sin(π x), o ù a, b et c sont des paramètres réels non spécifiés. Trouver les valeurs de ces paramètres pour lesquelles la courbe d équation y = f(x) passe par les points du plan xy suivants : {( π/2, 3π), (π/2, ), (3π/2, 5π)}. Utiliser Maple afin de tracer la fonction obtenue dans le plan xy (voir l annexe A pour plus d informations sur Maple). [Réponse : a = 2π, b =3, c =. ] Jag lämnar avtryck i Ninas Göteborg Vårt jobb är att göra det gott att leva och arbeta i Göteborg. Vi bygger broar och förskolor, men inte vilka som helst. Vi bygger för att påverka samhällsutvecklingen och ge barn en bra uppväxt. Därför söker vi ingenjörer som drömmer om att få greppa helheten. Ingenjörer till Göteborgs Stad Ingenjörer behövs på Stadsbyggnadskontoret, Fastighetskontoret, Lokalförvaltningen, Göteborg Vatten, Intraservice, Trafikkontoret, Renova, Göteborgs Spårvägar, Park- och naturförvaltningen och Göteborg Energi. Vårt jobb är att skapa en bra vardag för alla göteborgare och att utveckla Göteborg för framtiden. I Göteborgs Stad finns 48 medarbetare i olika yrken. Du kan välja många intressanta jobb och ta nya utmaningar på en stor intern arbetsmarknad. Hitta jobben på goteborg.se/ledigajobb 6

118 Algébre matricielle et pivot de Gauss 5. Considérons le système Ax = b avec 3 A = 2, b = h, 4 2 k o ù h et k sont des paramètres réels non spécifiés. a) Trouver la relation entre les paramètres h et k telle que le système Ax = b soit compatible. [Réponse : k =2h pour tout h R. ] b) Trouver toutes les solutions du système Ax = b. [Réponse : Le système admet une solution unique x = h R, lorsque k =2h. ] 6. Considérons la droite l dans R 3 : x =2t + l : y = 2t + z =6t 6 pour tout t R. ( h 3 6 h ) pour tout Trouver toutes les valeurs réelles des paramètres a, b et c telles que la droite l appartienne au plan d équation ax + by + cz =. [Réponse : a = 3 + b 3, c = 9 + 2b 9 pour tout b R. ] 7. Soient les deux droites de R 3 : x =2t +3 x = s l : y = 4t + l 2 : y = bs +3 z =2t +2 z = s pour tous t R et s R, o ù b est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de b telles que les droites l et l 2 se croisent. [Réponse : b R\{2}. ] b) Ces droites se croisent-elles pour b =? Si tel est le cas, déterminer leur point d intersection. [Réponse : Oui, les coordonnées du point d intersection sont (4,, 3). ] 7

119 Algébre matricielle et pivot de Gauss 8. Considérons les six plans suivants dont les intersections définissent un parallélépipède : Π : x +2y z = Π 2 : 2x +4y 2z = Π 3 : 3x y +2z = Π 4 : 9x 3y +6z = Π 5 : y + z = Π 6 : 2y 2z =3. Trouver les sommets, le volume et le centre de ce parallélépipède, ainsi que sa hauteur lorsque sa base est donnée par Π 2. [Réponse : Les coordonnées des sommets du parallélépipède sont : P : ( 7 2, 36, ) P 2 : ( 7 6, 7 8, 25 8 ) P 3 : ( 3 2, 2, 3 2 ) P 4 : ( 7 4, 5 2, 23 2 ) P 5 : ( 2, 7 36, ) P 6 : ( 2 3, 9, 8 9 ) P 7 : (,, ) P 8 : ( 5 4, 2, 7 2 ) Le volume du parallélépipède est /8 unités cubiques. Les coordonnées de son centre Q sont Q : ( 29 24, 72, 72 ). Sa hauteur lorsque sa base est Π 2 est / 6 unités. ] 9. Soient les deux plans : Π : x +2y 4z =2 Π 2 : x z =5. Trouver l équation du plan Π, défini comme la réflexion du plan Π par rapport au plan Π 2. 8

120 Algébre matricielle et pivot de Gauss [Réponse : Π : 4x 2y z = 23. ] 2. Considérons le système linéaire Ax = b avec 3 k 2 k 4, b = 3, k k 3 o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que ce système admette une solution unique. [Réponse : Le système admet une solution unique pour tout k R\{ 2, 2, 3}. ] b) Trouver toutes les valeurs de k telles que le système admette une infinité de solutions, tout comme toutes les valeurs de k pour lesquelles il est incompatible. [Réponse : Pour k = 2 le système admet une infinité de solutions, 2 x = t + pour tout t R. Pour k = 2 et k = 3 le système est incompatible. ] c) Trouver toutes les valeurs de k telles que la matrice A soit singulière. [Réponse : La matrice A est singulière si et seulement si det A =, donc A est singulière pour k { 2, 2, 3}. ] 2. Les intersections des trois droites l, l 2 et l 3 ci-dessous définissent un triangle dans R 3. x =4α x = 3β +7 l : y = 2α +3 l 2 : y = β +4 z =8α 3 pour tout α R z = β + 3 pour tout β R x = δ +6 l 3 : y = 2δ +7 z =3δ 4 pour tout δ R. Déterminer l aire du triangle. [Réponse : L aire du triangle est 5 6 unités carrées. ] 9

121 Algébre matricielle et pivot de Gauss 22. Soit le système homogène Ax =, o ù 5 k A = 2 k et k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que le système n admette que la solution trivialeainsiquetouteslesvaleursdek pourlesquelleslamatricea est inversible. [Réponse : Pour tout k R\{ 4 3, 7 } le système admet seulement la solution 5 triviale x = (,,, ). La matrice A est inversible pour ces valeurs de k. ] b) Trouver toutes les valeurs de k telles que le système admette une infinité de solutions. [Réponse : Pour k = 4 3 ou k = 7 le système admet une infinité de solution.] 5 2

122 Familles génératrices et familles libres Chapitre 3 Familles génératrices et familles libres Le but de ce chapitre : Dans ce chapitre, nous introduisons les définitions et concepts suivants pour des familles finies de vecteurs de R n : combinaisons linéaires de vecteurs, familles génératrices et familles linéairement indépendantes. Nous appliquons ces notions à la description, par exemple, des plans et des droites de R 3. Elles nous permettrons aussi d acquérir une meilleure compréhension des systèmes linéaires. 3. Combinaisons linéaires de vecteurs Dans ce sous chapitre nous présentons le concept de combinaison linéaire de vecteurs d une famille de R n. Note théorique 3.. Soit la famille S de p vecteurs S = {u, u 2,..., u p }, o ù u j R n pour j =, 2,...,p.. Une combinaison linéaire des vecteurs de la famille S est un autre vecteur de R n, s écrivant c u + c 2 u c p u p R n pour un choix arbitraire des p coefficients de la combinaison linéaire c, c 2,..., c p. On dit donc que v R n est une combinaison linéaire des vecteurs de la famille S s il existe des coefficients c, c 2,..., c p, tels que v = c u + c 2 u c p u p. 2

123 Familles génératrices et familles libres 2. Soient v R n et A une matrice m n. Supposons que v soit une combinaison linéaire des vecteurs de S avec pour coefficients c, c 2,..., c p. Alors Av = c Au + c 2 Au 2 + c p Au p. 3. Soit A une matrice m n s écrivant A =[a a 2 a n ], o ù a j R m pour j =, 2,...,n. Soit le vecteur x R n donné par x x 2 x =.. x n Alors la multiplication entre matrice et vecteur Ax est définie comme la combinaison linéaire des vecteurs de la famille {a, a 2,..., a n } avec pour coefficients x, x 2,..., x n, i.e. Ax = x a + x 2 a x n a n. Remark : Voir aussi la note théorique 2. (3) présentant le produit entre une matrice et un vecteur Ax. Problème 3... Considérons la famille de cinq vecteurs de R 3 : S = {u, u 2, u 3, u 4, u 5 }, o ù u = u 4 = 2, u 2 =, u 5 =, u 3 = Soit le vecteur v = 2. a) Montrer que v est une combinaison linéaire des vecteurs de la famille S et donner explicitement cette combinaison. b) v est-il une combinaison linéaire de la famille {u, u 2 }? Justifier votre réponse. 22

124 Familles génératrices et familles libres c) Soit A une matrice 3 3 inconnue telle que 2 Au = 2, Au 2 =, Au 3 = Au 4 = 8 8 Trouver Av explicitement., Au 5 =

125 Familles génératrices et familles libres Solution 3... a) Nous devons montrer qu il existe des constantes réelles (les coefficients), c, c 2, c 3, c 4 et c 5, tels que v = c u + c 2 u 2 + c 3 u 3 + c 4 u 4 + c 5 u 5. Ecrivons cette équation sous une forme matricielle, [u u 2 u 3 u 4 u 5 ] c = v, avec c c 2 c = c 3 c 4 R5. c 5 En remplaçant par l expression des vecteurs u j, nous avons c 2 c 2 3 c c 4 = 2 c 5 et la matrice augmentée correspondante est En appliquant plusieurs opérations élémentaires sur les lignes de cette matrice nous obtenons son unique forme réduite échelonnée, Nous en déduisons que les constantes c 4 et c 5 peuvent être choisies arbitrairement, nous notons c 4 = t, c 5 = s, avec t et s des paramètres réels. A partir de la forme échelonnée réduite ci-dessus, nous avons c = 9t + 4s 5 c 2 =4t 9s +4 c 3 =3t 6s +2, donc 9t + 4s 5 4t 9s +4 c = 3t 6s +2 t. s Nous obtenons ainsi les coefficients de la combinaison linéaire v =( 9t + 4s 5) u + (4t 9s + 4) u 2 + (3t 6s + 2) u 3 + t u 4 + s u 5 pour tous t R et s R. La combinaison linéaire la plus simple est donnée par t = s = et ainsi : v = 5u +4u 2 +2u 3. 24

126 Familles génératrices et familles libres b) Nous devons montrer qu il existe des coefficients c et c 2 tels que v = c u + c 2 u 2. Ce qui veut dire que nous devons étudier la compatibilité du système ( c c 2 ) = 2. La matrice augmentée associée est 2, et sa forme échelonnée est 2. La dernière ligne de cette matrice montre que le système est incompatible, car elle implique c +c 2 =. Nous en concluons donc qu il n existe aucune constante c et c 2 pour lesquelles v est une combinaison linéaire des vecteurs u et u 2. c) A la question a) nous avons établi la combinaison linéaire v =( 9t + 4s 5) u + (4t 9s + 4) u 2 + (3t 6s + 2) u 3 + t u 4 + s u 5 pour tous t R et s R. En choisissant t = s =, nous trouvons la combinaison la plus simple v = 5u +4u 2 +2u 3. Par conséquent Av = A ( 5u +4u 2 +2u 3 ) = 5Au +4Au 2 +2Au = = 4. Bien sûr, nous pourrions aussi faire ce calcul en utilisant la combinaison linéaire donnée pour des paramètres s et t arbitraires. Ceci nous donne le même résultat : 25

127 Familles génératrices et familles libres Av = A( 9t + 4s 5) u + A(4t 9s + 4) u 2 + A(3t 6s + 2) u 3 + At u 4 + As u 5 =( 9t + 4s 5) Au + (4t 9s + 4) Au 2 + (3t 6s + 2) Au 3 + tau 4 + sau =( 9t + 4s 5) 2 + (4t 9s + 4) + (3t 6s + 2) 3 +t = s

128 Familles génératrices et familles libres Problème Soit le vecteur k v = 4 2 R4 2 et la famille de vecteurs de R 4 : avec S = {u, u 2, u 3 }, u = k, u 2 = k, u 3 = Ici k est un paramètre réel non spécifié. Déterminer toutes les valeurs de k pour lesquelles v est une combinaison linéaire des vecteurs de la famille S. Solution Supposons que v soit une combinaison linéaire des vecteurs u, u 2 et u 3, nous avons v = c u + c 2 u 2 + c 3 u 3 ou, sous forme matricielle, k 4 c 2 =[u u 2 u 3 ] c 2. Et donc c 2 3 k 4 2 = k c k c 2. c 2 k 3 Nous cherchons toutes les valeurs de k R telles que ce système soit compatible, i.e. telles qu il existe des valeurs réelles de c, c 2 et c 3 satisfaisant ce système. La matrice augmentée associée est k k 4 k 2 k 2 k k k 4 k 2 k 2 k k 2 k k. La dernière ligne de cette forme échelonnée nous donne c +c 2 +c 3 = (k 2)(k + 4) k k k 4 k 2 k (k 2)(k + 3) (k 2)(k + 4). donc le système est compatible si et seulement si k = 2 ou k = 4. Par conséquent, v est une combinaison linéaire de u, u 2 et u 3 si et seulement si k = 2 ou k =

129 Familles génératrices et familles libres 3.2 Familles génératrices Dans ce sous chapitre nous introduisons le concept de famille génératrice. En d autres termes, une famille de vecteurs finie pouvant engendrer un sous ensemble de vecteurs de R n. Note théorique 3.2. Soit la famille S de p vecteurs S = {u, u 2,..., u p }, o ù u j R n pour j =, 2,...,p.. L ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de S, noté Vect {S}, est un sous ensemble de R n, n o t é W, dont on dit qu il est engendré par S. Nous écrivons W = Vect {u, u 2,..., u p }, ou simplement W = Vect {S}. On dit que S est une famille génératrice de W. Donc Vect {S} contient toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de S, i.e. c u + c 2 u c p u p W pour n importe quel choix des coefficients c, c 2,...,c p. Nous notons W = Vect {S} = {c u + c 2 u c p u p pour tous c R, c 2 R,..., c p R}. 2. Dans le langage des familles génératrices nous pouvons réinterpréter la compatibilité d une famille de vecteurs comme suit : Le système linéaire Ax = b, est compatible si et seulement si b Vect {a, a 2,..., a n }, o ù A est une matrice m n donnée par A =[a a 2 a n ], a j R m et b R m. Problème Considérons les trois vecteurs de R 3 suivants : k u = 2, v =, w = o ù k est une constante réelle non spécifiée. Trouver toutes les valeurs de k telles que, 28

130 Familles génératrices et familles libres a) w Vect {u, v}, et b) u Vect {v, w}. c) = appartient-il à Vect {u, v}? d) Parmi les systèmes suivants, lesquels sont compatibles? 2 4 [u v]x = 6, [u v]x = 6, [u v]x = 2 2 e) Trouver toutes les valeurs de k pour lesquelles le système [u w]x = est compatible.. Vill du jobba i världens fjärde mest innovativa stad? Det är här det händer! Malmö växer kraftigt och nästan hälften är under 35 år. För oss är det viktigt med möten, mångfald och möjligheter. Hos oss blir du en samhällsbyggare som gör skillnad. Visste du att vi söker över 2 tjänster varje år och har över 4 olika yrken? Vi tror att du som söker dig till oss vill vara med och bygga vidare på en av Sveriges mest dynamiska 29

131 Familles génératrices et familles libres Solution a) Si le vecteur w est un élément de Vect {u, v} alors il doit s écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs u et v. Donc, il doit exister des coefficients (réels), c et c 2, tels que w = c u + c 2 v. Sous la forme d une équation matricielle, nous avons ( c c 2 ) = k 6 2 tel que la matrice augmentée associée et une de ses formes échelonnées s écrivent k k 2 6 2k k + 44 Nous en concluons que le système est compatible si et seulement si k = 4. Par conséquent w Vect {u, v} si et seulement si k = 4. b) Si u appartient à Vect {v, w}, alors il doit s écrire comme une combinaison linéaire dev et w. Maisà partirdela questiona) noussavonsdéjà quew est une combinaison linéaire de u et v, ce qui veut dire qu il existe des réels c et c 2 tels que w = c u + c 2 v. Donc, nous avons u = c 2 v + w, c c et nous concluons que u Vect {v, w} si et seulement si k = 4, i.e. la réponse est la même qu à la question a) ci dessus. c) Le vecteur nul, R 3, appartient à tout espace engendré de R 3 car il correspond à une combinaison linéaire des vecteurs de la famille qui engendre l espace où tous les coefficients sont nuls. Par exemple dans le cas de Vect {u, v} nous avons =u +v. d) On remarque que [u v]x = x u + x 2 v, o ù x = Donc le système [u v]x = k 6 2 est compatible si et seulement si ( x k 6 2 x 2 ). Vect {u, v}. A la question a) ci-dessus, nous avons déjà établi que w Vect {u, v} si et seulement si k = 4. Donc le système 2 [u v]x = 6 2 3

132 Familles génératrices et familles libres est incompatible, alors que le système 4 [u v]x = 6 2 l est. De la même manière, le système homogène [u v]x = est aussi compatible. e) Le système homogène [v w]x = est compatible pour tout k R comme x = en est toujours une solution (la solution triviale). Problème Considérons les trois vecteurs de R 4 suivants : u = 2, u 2 = 4, u 3 = et notons W l espace engendré par {u, u 2, u 3 }, i.e. W = Vect {u, u 2, u 3 }. Parmi les quatre vecteurs suivants, lesquels appartiennent à W? v =, v 2 =, v 3 =, v 4 =

133 Familles génératrices et familles libres Solution Afin de savoir si v Vect {u, u 2, u 3 }, nous devons chercher des coefficients c, c 2 et c 3 tels que v s écrive comme une combinaison linéaire de u, u 2, u 3, i.e. v = c u + c 2 u 2 + c 3 u 3 L équation matricielle correspondante est 5 c c 2 = 3 9 c et la matrice augmentée associée est Après avoir appliqué plusieurs opérations élémentaires sur ses lignes, nous obtenons la forme échelonnée réduite suivante : 2 3 à partir de laquelle nous déduisons v Vect {u, u 2, u 3 }, avec v = 2u + u 2 3u 3. Nous utilisons la même méthode afin de déterminer si v 2 Vect {u, u 2, u 3 }. Nous avons la matrice augmentée ainsi que sa forme échelonnée réduite /4. 9/28 Nous en concluons que v 2 n appartient pas à Vect {u, u 2, u 3 } car ne pouvant pas s écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs u, u 2 and u 3. Comme v 3 R 3 il ne peut pas appartenir à un ensemble engendré par des vecteurs de R 4. Pour v 4, nous avons v 4 = =u +u 2 +u 3 Vect {u, u 2, u 3 }. 32

134 Familles génératrices et familles libres 3.3 Les familles libres et liées Nous introduisons le concept de familles libre et liée de vecteurs de R n. Nous discutons des propriétés des familles de vecteurs génératrices et libres. Note théorique 3.3. Soit la famille S de p vecteurs S = {u, u 2,..., u p }, o ù u j R n pour tout j =, 2,...,p. On dit que la famille S de R n est libre (ou que les vecteurs de S sont linéairement indépendants) si l équation vectorielle c u + c 2 u c p u p = peut seulement être satisfaite si tous ses coefficients sont nuls, i.e. c =,c 2 =,..., c p =. S il existe un ou plusieurs coefficients non nuls pour lesquels l équation ci-dessus est satisfaite, alors on dit que la famille S est liée. Remarque : Soit une famille de n vecteurs S = {u, u 2,..., u n }, o ù u j R n pour tout j =, 2,...,n. Si la famille S est libre et engendre R n, alors on dit que S est une base de R n et que la dimension de R n est n. La base canonique, {e, e 2,...,e n } est un example de base de R n. Ces concepts de base et dimension sont discutés plus en détail dans le Tome 2 de ces cours (pas encore disponible en français), intitulé General Vector Spaces (Espaces vectoriels). Pour les familles libres et liées nous avons les propriétés suivantes Propriétés : a) Si S est une famille libre. Alors toute sous famille de vecteurs de S est aussi une famille libre de R n. b) Si S est une famille liée. Alors il peut exister des sous familles de S de deux vecteurs ou plus qui sont libres. c) Si S est une famille de p vecteurs de R n et que p>n, alors S est liée. d) Soit Q une famille de n vecteurs de R n, Q = {a, a 2,..., a n }, o ù a j R n pour tout j =, 2,...,n et A la matrice n n A =[a a 2 a n ]. Alors les propriétés suivantes sont vérifiées : i) La famille Q est libre si et seulement si la forme échelonnée réduite de A est la matrice identité I n, i.e. A et I n sont l-équivalentes A I n. 33

135 Familles génératrices et familles libres ii) La famille Q est libre si et seulement si le déterminant de A est non nul, i.e. det A =, et si et seulement si A est inversible. iii) La famille Q est libre si et seulement si Ax = b admet une solution unique x R n pour tout b R n. e) Soit la famille Q 2 formée de deux vecteurs non nuls de R 3, Q 2 = {u, u 2 }. Alors Vect {Q 2 } engendre un plan Π dans R 3 contenant l origine (,, ), si et seulement si Q 2 est libre. Ce qui veut alors dire que tout vecteur de Π peut s écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs u et u 2. f) Soit la famille Q 3 formée de trois vecteurs non nuls de R 3, Q 3 = {u, u 2, u 3 }. Alors Vect {Q 3 } engendre R 3 si et seulement si Q 3 est libre. Ce qui veut alors sire que tout vecteur de R 3 peut s écrire comme une combinaison linéaire de u, u 2 et u 3. De plus, si Q 3 est liée et admet une sous famille libre d exactement deux vecteurs, alors Vect {Q 3 } engendre un plan passant par (,, ) (bien sûr cela est vrai pour toute famille finie de vecteurs contenant une sous famille libre de deux vecteurs exactement). On remarquera qu une droite l passant par (,, ) peut s écrire comme l espace engendré par un vecteur non nul (dont les coordonnées satisfont l équation de l). 34

136 Familles génératrices et familles libres Problème Considérons les deux vecteurs de R 3 : k u = 2, v = 4, 2 o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que la famille S = {u, v} soit libre, de même que toutes les valeurs de k pour lesquelles elle est liée. b) Trouver toutes les valeurs de k pour lesquelles u et v engendrent un plan dans R 3 et donner l équation de ce plan. c) Trouver toutes les valeurs de k telles que u et v engendrent une droite dans R 3 et donner l équation paramétrique de cette droite. 35

137 Familles génératrices et familles libres Solution a) Afin de déterminer si la famille S = {u, v} et libre (ou liée), nous étudions l équation vectorielle c u + c 2 v =. Qui s écrit, sous forme matricielle, k ( c c 2 ) = ( ). Comme le système est homogène, nous pouvons seulement étudier la matrice afin de déterminer s il est compatible. Nous avons k k k 2 4 2k 4 k k +2 Le système réduit est donc c + c 2 k = c 2 (k +2)=. Par conséquent le système admet la solution triviale, i.e. c = and c 2 =, si et seulement si k R\{ 2}. Nous en concluons que la famille S est libre pour k R\{ 2} et liée pour k = 2. b) La famille de deux vecteurs S = {u, v} engendrera un plan dans R 3 si et seulement si elle est libre, i.e. pour tout k R\{ 2} comme démontré à la question précédente. Ce plan contient l origine (,, ) et toutes les combinaisons linéaires de u et v pour tout k R\{ 2}. Afin de trouver l équation du plan engendré par S, nous calculons son vecteur normal n à l aide du produit vectoriel (voir les Notes théoriques.2 et.3). Nous avons e e 2 e 3 n = u v = 2 k 4 2 = (k + 2)e 2 (2k + 4)e 3. Ensuite nous calculons le produit scalaire de n et d un point arbitraire du plan, par exemple (x, y, z), qui doit être nul si (x, y, z) appartient au plan. Donc n (x, y, z) =(, k 2, 2k 4) (x, y, z) = (k + 2)y (2k + 4)z =. Donc l équation du plan engendré par S est (k + 2)y (2k + 4)z = pour tout k R\{ 2}. On remarquera que cette équation dépend de k. c) La famille de deux vecteurs S = {u, v} engendrera une droite l dans R 3 si et seulement si elle est liée, i.e. pour k = 2, comme démontré à la question a). Nous avons alors u = 2 et v = 2 4 2, qui appartiennent à la droite l. l passe évidemment par l origine (,, ). Pour trouver l équation de l, il suffit de multiplier un vecteur quelconque de l non nul par un paramètre t, par exemple le vecteur u. Donc une équation paramétrique de 36

138 Familles génératrices et familles libres cette droite est x = t l : y =2t z = t pour tout t R. Var med och utveckla Stockholm! Vår vackra huvudstad växer som aldrig förr och stockholmare i alla åldrar behöver allt från en fungerande infrastruktur till renhållning, förskolor och äldreomsorg. Verksamheten finns överallt i staden och måste fungera dygnet runt, varje dag. Nu behöver vi dig som vill vara med och skapa ett Stockholm i världsklass! Läs mer på stockholm.se/jobb 37

139 Familles génératrices et familles libres Problème Considérons la famille S = {u, u 2, u 3 } avec u =, u 2 =, u 3 = k o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que la famille S soit libre ainsi que toutes les valeurs de k pour lesquelles elle est liée. b) Notons W = Vect {u, u 2 }. Trouver toutes les valeurs de k telles que u 3 W. c) Trouver toutes les valeurs de k telles que u, u 2 et u 3 engendrent un plan dans R 3 et donner l équation de ce plan. d) Trouver toutes les valeurs de k telles que u, u 2 et u 3 engendrent R 3. e) Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles u, u 2 et u 3 engendrent une droite dans R 3? f) Soit la matrice A =[u u 2 u 3 ], trouver toutes les valeurs de k telles que A soit l-équivalente à I 3 (la matrice identité 3 3) ainsi que celles pour lesquelles A est inversible. g) Trouver toutes les valeurs de k telles que le système [u u 2 u 3 ]x = b admette une solution unique., Solution a) Afin de déterminer si la famille S = {u, u 2, u 3 } est libre ou liée, nous devons étudier l équation vectorielle c u + c 2 u 2 + c 3 u 3 =. Sous une forme matricielle nous avons et donc k k c c 2 c 3 = k 2, 2 3 k 8 Donc il existe des c, c 2 et c 3 solutions non tous nuls si et seulement si k 8 =. Par conséquent la famille S est libre pour tout k R\{8} et liée pour k = 8. Comme la matrice est carrée, nous pouvons aussi faire cette démonstration en calculant son déterminant. Notons cette matrice A, nous avons det A = k 8. Les colonnes de A forment une famille libre si et seulement si det A =, et donc nous retrouvons le même résultat. b) Pour déterminer si u 3 Vect{u, u 2 } = W, nous devons étudier la compatibilité du système non homogène suivant c u + c 2 u 2 = u 3. Ce système ne peut évidemment être compatible que si la famille S = {u, u 2, u 3 } est libre, alors u 3 W. Nous. 38

140 Familles génératrices et familles libres avons déjà démontré ci dessus que la famille S est liée pour k = 8. D où u 3 W pour k = 8. c) Afin d engendrer un plan dans R 3 il nous faut exactement deux vecteurs libres. La famille {u, u 2 } est libre, car u αu 2 pour tout α R. Donc pour engendrer un plan Π dans R 3 à partir des trois vecteurs de la famille S = {u, u 2, u 3 }, il faut que S soit liée. Nous avons déjà démontré que S est liée pour k = 8. Donc Π = Vect {, 2, }. Le même plan Π est aussi engendré par toute sous famille libre de deux vecteurs de S. Nous avons 2 2 Π = Vect {, } = Vect {, 3 } = Vect {, 3 } Pour trouver l équation de Π nous pouvons nous servir de n importe laquelle de ces famille génératrices. Nous utiliserons Π = Vect {u, u 2 }. Calculons le vecteur normal au plan n et ensuite son produit scalaire avec un vecteur arbitraire (x, y, z) du plan. (voir les Notes théoriques.2 et.3). Nous avons e e 2 e 3 n = u u 2 = 2 Puis n (x, y, z) =(, 2, ) (x,y,z)= x 2y + z =. Donc l équation du plan Π est x 2y + z =. = e 2e 2 + e 3 =(, 2, ). Vi ser till att du kan förflytta dig snabbare. 35 meter under marken närmare bestämt! Där det byggs tunnlar finns ofta Sandvik. Koncernen har de verktyg och maskiner som behövs för att snabbt och effektivt ta sig igenom de hårdaste berg. Det kan gälla tunnlar för vattenkraft i USA, vägtunnlar i Kina eller järnvägstunnlar i Schweiz. Du hittar också resultatet av vårt kunnande i mobiltelefoner, i flygplan, på havets botten och på många andra ställen. Men även om inte du tänker på var Sandvik finns, så gör kunderna det. För våra produkter ökar både deras produktivitet och lönsamhet. Gå in på Där finns mer än du anar! 39

141 Familles génératrices et familles libres d) Afin d engendrer R 3 il faut une famille S de trois vecteurs de R 3 telle que tout vecteur de R 3 puisse s écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de S. Cela ne peut être possible que si S est libre. Nous avons déjà démontré que S = {u, u 2, u 3 } est libre pour tout k R\{8}. Donc R 3 = Vect {, 2, 2 3 k } pour tout k R\{8}. e) Nous ne pouvons pas engendre de droite dans R 3 à l aide de la famille S = {u, u 2, u 3 } car la sous famille {u, u 2 } est libre (et engendre donc un plan comme montré à la question c) ci-dessus). f) La matrice A =[u u 2 u 3 ] est l-équivalente à I 3 si et seulement si det A et donc si et seulement si A est inversible. Nous avons 2 det A = 3 2 k = k 8. Donc A I 3 si et seulement si k R\{8}. De plus A existe si et seulement si k R\{8}. g) Le système Ax = b, avec A =[u u 2 u 3 ], admet une solution unique pout tout b R 3 si et seulement si A est inversible. Donc, ce système admet une solution unique si et seulement si det A. A la question f) nous avons démontré que cela était le cas pour tout k R\{8}. D où, Ax = b admet une solution unique pour tout k R\{8}. Problème Considérons la famille S = {u, u 2, u 3, u 4 } dans R 4 avec u = 2, u 2 = 9 k, u 3 = 3 3, u 4 = k 4 6 o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que S soit libre. b) Trouver toutes les valeurs de k pour lesquelles S soit liée et lister toutes les possibles sous familles libres de trois vecteurs de S avec les valeurs de k correspondantes., Solution a) Pour savoir si S est libre, nous étudions la matrice A dont les colonnes sont les vecteurs de S : k A = k

142 Familles génératrices et familles libres Les colonnes de A sont linéairement indépendantes si et seulement si det A =. Donc la famille S est libre si et seulement si det A =. Nous calculons det A = 8k k 64 = 8(k 2)(k 4). Donc S est libre pour tout k R\{2, 4}. b) A partir de la question précédente nous savons que S est une famille liée pour k =2 ainsi que k = 4. Afin de déterminer les sous familles libres de trois vecteurs nous étudions les cas k = 2 et k = 4 indépendamment : Si k = 2, alors A Nous en concluons qu il existe deux sous familles libres de S comprenant trois vecteurs avec k = 2. Notons les S et S 2, S = {u, u 2, u 3 } or S 2 = {u, u 3, u 4 }, avec u = Si k = 4, alors A 2 3, u 2 = , u 3 = 3, u 4 = Nous en concluons qu il existe deux sous familles libres de S comprenant trois vecteurs avec k = 4. Notons les S 3 et S 4, S 3 = {u, u 2, u 4 } or S 4 = {u, u 3, u 4 }, avec u = 2 3, u 2 = 9 4, u 3 = 3, u 4 =

143 Familles génératrices et familles libres 3.4 Exercices. Soient les deux vecteurs de R 2 : ( ) ( k u =, u k 2 = k +2 ), o ù k est un paramètre réel non spécifié. Trouver toutes les valeurs de k telles que S = {u, u 2 } soit libre ainsi que toutes les valeurs de k pour lesquelles S est liée. [Réponse : S est une famille libre pour tout k R\{, 2} et S est liée pour k = or k = 2. ] 2. Considérons les trois vecteurs de R 3 suivants : u =, u 2 = 2, u 3 = k o ù k est un paramètre réel non spécifié. Trouver toutes les valeurs de k telles que S = {u, u 2, u 3 } soit libre ainsi que toutes les valeurs de k pour lesquelles S est liée. [Réponse : S est une famille libre pour tout k R et donc S n est jamais liée quelque soit k. ] k 3, 3. Considérons la famille S = {u, u 2, u 3, u 4 } composée des vecteurs de R 4 suivants : 3 4 u = 2 3, u 2 = k 9, u 3 = 6 k, u 4 = 6, o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que S soit libre. [Réponse : S est une famille libre pour tout k R\{6}. ] b) Déterminer toutes les sous familles libres de S. [Réponse : Pour k R\{6} toute sous famille de S est libre (comme S dans ce cas là S est libre). Pour k = 6 la famille S est liée et possède cinq sous familles libres toutes composées de deux vecteurs : S = {u, u 3 }, S 2 = {u, u 4 }, S 3 = {u 2, u 3 }, S 4 = {u 2, u 4 }, S 5 = {u 3, u 4 }. ] 42

144 Familles génératrices et familles libres 4. Considérons la famille S = {u, u 2, u 3, u 4 } composée des vecteurs de R 4 suivants : 5 4 k u =, u 2 = 3 5, u 3 = k, u 4 = 4, o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que S soit libre ainsi que toutes les valeurs de k pour lesquelles S est liée. [Réponse : k = 4. ] S est une famille libre pour tout k R\{ 4} et S est liée pour b) Déterminer toutes les sous familles libres de S. [Réponse : Pour k R\{ 4} toute sous famille de S est libre (comme S dans ce cas là S est libre). Pour k = 4 la famille S est liée et possède cinq sous familles libres toutes composées de deux vecteurs : S = {u, u 2 }, S 2 = {u, u 3 }, S 3 = {u, u 4 }, S 4 = {u 2, u 3 }, S 5 = {u 2, u 4 }. ] 5. Considérons la famille S = {u, u 2, u 3 } composée des vecteurs de R 3 suivants : k u = 2, u 2 =, u 3 =, 3 2 o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que S soit libre. [Réponse : Tout k R\{ }. ] b) Trouver toutes les valeurs de k, telles que les vecteurs de S engendrent R 3, i.e. R 3 = Vect {S}. [Réponse : Tout k R\{ }. ] 43

145 Familles génératrices et familles libres 6. Soient les trois vecteurs de R 3 : u = 2, u 2 = 4 2 2, u 3 = a b c, où a, b et c sont des paramètres réels. Considérons la famille S = {u, u 2, u 3 } a) Trouver toutes les valeurs des paramètres a, b et c telles que S soit libre. [Réponse : S est une famille libre pour tous a, b, c R. ] b) Trouver toutes les valeurs des paramètres a, b et c telles que S engendre une droite l dans R 3 et donner l équation paramétrique de cette droite. [Réponse : S engendrera une droite l dans R 3 si et seulement si u 3 = tu, i.e. a 2t b = t pour tout t R. c t Alors l équation paramétrique de l s écrit x =2t l : y = t z = t pour tout t R. ] 7. Considérons les vecteurs de R 3 suivants : u = 2, 4 u 2 = 2, u 3 = 2 b = 4, c = 4 3 2, o ù k est un paramètre réel non spécifié. Notons S la famille composée de ces trois vecteurs : S = {u, u 2, u 3 }. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que la famille S engendre un plan W dans R 3. Donc, trouver toutes les valeurs de k R telles que W = Vect{S}. Donner l équation du plan W. k

146 Familles génératrices et familles libres [Réponse : Les vecteurs de la famille S engendrent un plan W pour tout k R\{ 6} et l équation du plan W est y + z =. ] b) Pour quelle(s) valeur(s) de k le système [u u 2 u 3 ] x = b est-il compatible? Q = {u, u 2, u 3 } engendre-t-elle un plan dans R 3 pour les valeurs de k obtenues à la question précédente? Si tel est le cas, b est-il un vecteur de ce plan? [Réponse : Le système est compatible pour tout k R\{ 6}. Les vecteurs de la famille Q engendrent un plan dans R 3 pour tout k R\{ 6}. De plus b appartient à ce plan. ] c) Pour quelle(s) valeur(s) de k le système [u u 3 ] x = c est-il compatible? Q = {u, u 3 } engendre-t-elle un plan dans R 3 pour les valeurs de k obtenues à la question précédente? Si tel est le cas, c est-il un vecteur de ce plan? [Réponse : Le système est incompatible pour tout k R. Les vecteurs de la famille Q engendrent un plan dans R 3 pour tout k R\{ 6}. Remarque : c n appartient pas au plan. ] d) Pour quelle(s) valeur(s) de k le système [u u 2 u 3 ] x = c est-il compatible? Q = {u, u 2, u 3 } engendre-t-elle un plan dans R 3 pour les valeurs de k obtenues à la question précédente? Si tel est le cas, c est-il un vecteur de ce plan? [Réponse : Le système est incompatible pour tout k R. Les vecteurs de la famille Q engendrent un plan dans R 3 pour tout k R\{ 6}. Remarque : c n appartient pas au plan. ] e) Le système [u u 2 ] x = c est-il compatible? [Réponse : Le système est incompatible. ] 45

147 Familles génératrices et familles libres 8. Soit la famille S = {u, u 2, u 3 } composée des vecteurs de R 3 suivants : 3 3 u = 6, u 2 =, u 3 = k, 2 7 o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que S engendre R 3, i.e. trouver toutes les valeurs de k telles que R 3 = Vect {S}. [Réponse : Pour tout k R\{2}. ] b) Trouver toutes les valeurs de k telles que S engendre un plan Π dans R 3 et déterminer l équation de ce plan. [Réponse : Pour k = 2, l équation du plan Π est 6x 5y +6z =. ] c) Trouver toutes les valeurs du paramètre α telles que le vecteur 8 v = 6 α appartienne au plan Π engendré par les vecteurs de la famille S. [Réponse : v Π: 6x 5y +6z = si et seulement si α = 3. ] 9. Considérons la famille de vecteurs de R 4 S = {u, u 2, u 3, u 4 } avec u = 2, u 2 = 9 k, u 3 = 3 2, u 4 = 3 o ù k est un paramètre réel non spécifié. a) Trouver toutes les valeurs de k telles que S soit une famille libre. [Réponse : S est une famille libre pour tout k R\{2}. ] k 4 6 b) Trouver toutes les valeurs de k pour lesquelles S est liée et lister toutes les possibles sous familles libres de S composées de deux vecteurs en fonction de k. [Réponse : S est une famille liée pour k = 2 et pour cette valeur de k il existe trois sous familles libres de S : S = {u, u 2 }, S 2 = {u, u 3 }, S 3 = {u, u 4 }. ] c) Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles il existe une sous famille libre de S contenant trois vecteur? [Réponse : Non. ], 46

148 Applications linéaires entre espaces euclidiens Chapitre 4 Applications linéaires entre espaces euclidiens Le but de ce chapitre : Nous étudions les applications linéaires agissants sur un espace euclidien R n à valeurs dans R m ainsi que leur relation avec les systèmes d équations linéaires. Nous introduisons la représentation matricielle de telles applications, qui en donne une description unique et complète. Au travers de plusieurs exemples, nous montrons comment calculer la matrice d une application linéaire et comment composer plusieurs applications. Enfin, nous présentons les applications injectives et surjectives, puis étudions les applications inversibles dans le cas où les deux espaces euclidiens sont les mêmes. 4. Applications linéaires : ensemble de définition et ensemble image Dans ce sous-chapitre nous présentons les applications linéaires et en donnons plusieurs exemples, qui nous permettent de définir les ensembles de définition et image. Note théorique 4.. On considère une application T définie sur un sous ensemble D T de vecteurs de R n, appelé ensemble de définition de T, et à valeurs dans in R m. On écrit alors T : D T R n R m. Soit x D T. Alors on peut aussi écrire T : x T (x) R m, o ù T (x) est appelé image de x par T.. L ensemble d arrivée de T : D T R n R m, noté C T, est l espace euclidien R m. Voir la figure 4. pour une illustration. 47

149 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4. Les ensembles de définition, d arrivée, et image de l application T : D T R n R m. 2. L ensemble image de l application T : D T R n R m, n o t é R T, est le sous espaces de vecteurs de l espace d arrivée R m composé des images de tous les vecteurs x de D T. D où R T R m. 3. On dit qu une application T : R n R m est linéaire si elle satisfait les deux conditions suivantes Figure 4.2 Une application linéaire T : R n R m. a) T (u + v) =T (u)+t (v) pour tous u R n et u R n ; b) T (cu) =ct(u) pour tous u R n et c R (voir la figure 4.2). 4. Soit T : R n R m un application linéaire définie sur R n. Alors les propriétés suivantes sont vérifiées 48

150 Applications linéaires entre espaces euclidiens Propriétés : a) Le vecteur nul n de R n a pour image le vecteur nul m de R m. En d autres termes, T ( n )= m. b) T (c u + c 2 v)=c T (u)+c 2 T (v) pour tous u R n, v R n,c R et c 2 R. Problème 4... Considérons l application T : R 2 R 3 telle que T :(x, x 2 ) (x + x 2, 3x + x 2, x x 2 ) pour tous x, x 2 R. a) Montrer que T est une application linéaire. b) Quels sont les ensembles de définition, d arrivée et image de T? c) Calculer T (, 2). 49

151 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution 4... a) Soit deux vecteurs arbitraires de R 2 x =(x, x 2 ) et y =(y, y 2 ). Afin de démontrer que T est une application linéaire, nous devons prouver que T (x + y) =T (x) +T (y) et T (c x) =ct(x) pour tout c R. Pour la première condition nous avons T (x + y) =(x + y + x 2 + y 2, 3(x + y )+x 2 + y 2, x + y (x 2 + y 2 )) =(x + x 2 + y + y 2, 3x + x 2 +3y + y 2, x x 2 + y y 2 ) De plus, T (x)+t(y) =(x + x 2, 3x + x 2, x x 2 )+(y + y 2, 3y + y 2, y y 2 ) =(x + x 2 + y + y 2, 3x + x 2 +3y + y 2, x x 2 + y y 2 ) = T (x + y). Pour la seconde condition nous avons T (c x) =(cx + cx 2, 3cx + cx 2, cx cx 2 ) = c (x + x 2, 3x + x 2, x x 2 ) = ct(x) pour tout c R. Nous en concluons que T est une application linéaire. b) L ensemble de définition D T est bien évidemment R 2 comme tous les vecteurs (x,x 2 ) peuvent être pris par T. L ensemble d arrivée de T est R 3 car l application transforme des vecteurs de R 2 en vecteurs de R 3. Afin de déterminer l ensemble image de T nous devons trouver l ensemble des images dans R 3 de (x, x 2 ) par T. Pour ce faire, il est plus pratique d écrire T sous sa forme matricielle. Nous remarquons que pour tous x et x 2 l application linéaire T :(x, x 2 ) (b, b 2, b 3 ) applique la transformation suivante : x + x 2 = b 3x + x 2 = b 2 x x 2 = b 3. Nous pouvons donc en déduire l équation matricielle Ax = b, o ù A = 3, b = b b 2 b 3 R 3, x = ( x x 2 ) R 2. L application linéaire T peut donc s écrire : T : x Ax = b pour tout x R 2. Donc l ensemble image det est donné par tous les b R 3 pour lesquels le système Ax = b est compatible, c est à dire pour lesquels il admet au moins une solution. 5

152 Applications linéaires entre espaces euclidiens La matrice augmentée associée et certaines de ses formes l-équivalentes sont b b b 3 b 2 2 b 2 3b 2 b 2 3b. b 3 2 b 3 b 2b b 2 + b 3 Nous concluons partir de la forme échelonnée ci-dessus que le système Ax = b est compatible si et seulement si 2b b 2 + b 3 =. Notons b 2 = t et b 3 = s, o ù t et s sont deuxparamètres réels. Alors nous avons t/2 s/2 /2 /2 b = t s = t + s pour tous t, s R. Par conséquent tous les vecteurs de R 3 étant images de x par T appartiennent à l espace engendré Vect {v, v 2 }, o ù /2 v =, v 2 = /2 Donc l ensemble image R T de T est un sous ensemble de R 3, en particulier R T = Vect {v, v 2 }. c) Trouvons T (, 2) : T : (, 2) Ax = 3 ( 2 ) = 3 R T. vi gör papper i toppklass Snygga trycksaker kräver riktigt bra papper. Vi på Arctic Paper Grycksbo tillverkar några av Europas bästa bestrukna finpapper. Vi är en modern processindustri där ena foten står stadig i de lokala ARCTIC PAPER GRYCKSBO BOX, 79 2 GRYCKSBO TFN: info.grycksbo@arcticpaper.com, Läs mer på traditionerna och den andra tar sjumilakliv ut i världen. Flexibilitet är vår styrka och därför siktar vi på att ha en service i toppklass och på att bli ett av Europas miljövänligaste pappersbruk. 5

153 Applications linéaires entre espaces euclidiens Problème Considérons l application T : R 3 R 2 telle que T :(x, x 2, x 3 ) (3x, 2x 2 + x 3 + ) pour tous x, x 2, x 3 R. T est-elle une application linéaire? Justifier votre réponse. Solution Calculons T (x + y), avec x =(x, x 2, x 3 ), y =(y, y 2, y 3 ). Nous avons T (x + y) =(3(x + y ), 2(x 2 + y 2 )+x 3 + y 3 + ), et T (x)+t(y) = (3x, 2x 2 + x 3 +)+(3y, 2y 2 + y 3 + ) = (3(x + y ), 2(x 2 + y 2 )+x 3 + y 3 + 2). Donc T (x + y) T (x)+t(y), ainsi T n est pas une application linéaire. Problème Soit l application T : R n R m telle que T : x T (x) =Ax pour tout x R n, o ù A est une matrice m n quelconque. Montrer que T est une application linéaire. Solution Considérons T : R n R m telle que T : x T (x) =Ax pour tout x R n, avec A une matrice m n. Montrons que T est une application linéaire pour toute matrice m n. Soient deux vecteurs x R n et y R n. Alors T (x + y) =A(x + y) = Ax + Ay = T (x)+t (y). 52

154 Applications linéaires entre espaces euclidiens De plus, T (c x) =A(c x) = c (Ax) = ct(x) pour tout c R. Nous en concluons que T est une application linéaire pour toute matrice m na. 53

155 Applications linéaires entre espaces euclidiens 4.2 Matrices canoniques et applications composées Dans ce sous-chapitre nous montrons comment calculer la matrice canonique d une application linéaire T. La matrice canonique, qui peut être évaluée à partir de la base canonique de l ensemble de définition de T, en donne une description unique. Nous étudions aussi les applications linéaires composées, qui résultent de transformations linéaires successives. Note théorique La matrice canonique de T : Soit T : R n R m une application linéaire transformant tous les vecteurs de R n en vecteurs de R m. Alors il existe une unique matrice m n, notée A, telle que T : x T (x) =Ax R m pour tout x R n. On appelle A la matrice canonique de T. En particulier, A =[T (e ) T (e 2 ) T (e n )], o ù {e, e 2,, e n } est la base canonique de R n, e =., e 2 =.,..., e n = Remarque : Cette dérivation de A vient du fait que tout vecteur x =(x,x 2,..., x n ) R n, peut s écrire de façon unique comme une combination linéaire des vecteurs de la base canonique : x = x e + x 2 e x n e n. 2. Soient deux application linéaires T et T 2 telles que T : R n R m, T 2 : R m R p. (Voir la figure 4.3). Notons A la matrice canonique m n de T et A 2 la matrice canonique p m de T 2. Alors.. T : x y = T (x) =A x R m pour tout x R n et T 2 : y z = T 2 (y) =A 2 y R p, o ù y est l image de x par T et z est l image de y par T 2. Donc z est l image de x par une nouvelle application linéaire T, qui est l application composée des deux applications linéaires T puis T 2. On écrit alors T = T 2 T : R n R p, 54

156 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4.3 L application linéaire composée T 2 T. tel que pour tout x R n, nous avons T = T 2 T : x T 2 (T (x)) = T 2 (A x)=a 2 (A x)=(a 2 A )x R p. La matrice canonique de l application composée T 2 T est le produit matriciel A 2 A, qui est une matrice p n. Problème Considérons les applications linéaires de R 2 suivantes : L application T : R 2 R 2, o ù T réfléchit tout vecteur de R 2 par rapport à la droite y =4x. L application T 2 : R 2 R 2 qui applique aux vecteurs de R 2 une rotation d un angle π/3 par rapport à l origine (, ) et dans le sens anti-horaire. a) Trouver la matrice canonique de T. b) Trouver la matrice canonique de T 2. c) Trouver les matrices canoniques de applications composées suivantes : T 2 T, T T 2, T T, T 2 T 2. Solution a) Remarque : Il est conseillé de revoir les problèmes du Chapitre qui traitent de la réflexion des vecteurs par rapport aux droites. Notons A la matrice canonique de T, telle que T : x A x pour tout x R 2, 55

157 Applications linéaires entre espaces euclidiens avec ( ) ( ) A =[T (e ) T (e 2 )], e =, e 2 =. En premier lieu, déterminons la réflexion de e par rapport à la droite y =4x, i.e. calculons T (e ): Figure 4.4 Réflexion de e par rapport à y =4x. D après la figure 4.4 nous avons T (e )+ CB + BA = e Comme CB = BA, il suit T (e )=e 2 BA De plus, BA = e OB, o ù OB est la projection orthogonale de e sur la droite l d équation y =4x, i.e. la projection orthogonale de e sur un vecteur quelconque de l. Afin de trouver un vecteur de l (noté v), imposons x =. Alors y = 4, tel que v = (, 4) et OB = proj v e = e v v v v = ()() + ()(4) (, 4) = (, 4). 7 56

158 Applications linéaires entre espaces euclidiens Donc BA = (, ) (, 4) = 7 ou, sous une écriture en colonne T (e )= ( ) (6, 4) et T (e )=(, ) 2 7 (6, 4) = ( 5, 8), 7 Trouvons à présent la réflexion de e 2 par rapport à y =4x, i.e. calculons T (e 2 ): Figure 4.5 Réflexion de e 2 par rapport à y =4x. D après la figure 4.5 nous avons T (e 2 )=e 2 + AB + BC, o ù AB = BC. Donc T (e 2 )=e 2 +2 AB. De plus, AB = OB e2, avec OB = projv e 2, et v = (, 4). 57

159 Applications linéaires entre espaces euclidiens Donc OB = proj v e 2 = e 2 v v v v = ()() + ()(4) (, 4) = 4 (, 4) 7 et AB = 4 7 (, 4) (, ) = (4, ), 7 tel que T (e 2 )=(, ) + 2 (4, ) = (8, 5). 7 7 En notation en colonne, nous avons donc T (e 2 )= ( ) La matrice canonique A pour T est ainsi A = ( )

160 Applications linéaires entre espaces euclidiens b) Notons A 2 la matrice canonique de l application T 2 : R 2 R 2, o ù T 2 fait tourner les vecteurs de R 2 par rapport à l origine (, ) d un angle ϕ = π/3 dans le sens anti-horaire. Alors T 2 : x A 2 x pour tout x R 2, o ù ( ) ( ) A 2 =[T 2 (e ) T 2 (e 2 )], e =, e 2 =. Les rotations de e et e 2 dans le sens anti-horaire par rapport à l origine (, ) sont représentées à la figure 4.6. Figure 4.6 Rotation par rapport à (, ) d un angle ϕ dans le sens anti-horaire de e et e 2. D après la figure ( 4.6 nous ) avons ( ) cos ϕ sin ϕ T 2 (e )=, T sin ϕ 2 (e 2 )=. cos ϕ Par conséquent la matrice canonique de T 2 pour la rotation anti-horaire d un angle ϕ par rapport ( à (, ) est ) cos ϕ sin ϕ A 2 =. sin ϕ cos ϕ Pour l angle ( ϕ = π/3 nous avons ) donc /2 3/2 A 2 =. 3/2 /2 59

161 Applications linéaires entre espaces euclidiens c) Les matrices canoniques des applications composées sont listées ci-dessous : T 2 T : x (A 2 A )x pour tout x R 2 T T 2 : x (A A 2 )x pour tout x R 2 T T : x (A 2 )x pour tout x R 2 T 2 T 2 : x (A 2 2)x pour tout x R 2. Problème Soit l application linéaire T : R 2 R 2 qui projette orthogonalement tout vecteur de R 2 sur la droite y = kx, avec k R. a) Trouver la matrice canonique de T. b) On note k = /2, i.e. nous considérons la droite y = x/2, trouver l image du point (, 2) par T. En d autres termes, déterminer T (, 2). 6

162 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution a) Remarque : Il est conseillé de revoir les problèmes du Chapitre qui traitent de la projection des vecteurs sur d autres vecteurs. Notons A la matrice canonique de la projection orthogonale des vecteurs x R 2 sur la droite y = kx avec k R. Alors T : x T (x) =Ax, o ù ( ) ( ) A =[T (e ) T (e 2 )], e =, e 2 =. Afin de trouver T (e ) nous devons projeter orthogonalement e sur un vecteur quelconque v appartenant à la droite y = kx. Voir la figure 4.7 pour une illustration. Figure 4.7 La projection orthogonale de e sur y = kx. Notons x =. Alors y = k tel que avec Donc il vient ( ) e v v 2 v, ), ˆv = v v. T (e ) = proj v e =(e ˆv) ˆv = v = (,k) ( k e v = (, ) (,k)= v 2 = (,k) (,k)=+k 2, T (e )= +k 2 ( k ). 6

163 Applications linéaires entre espaces euclidiens Pour trouver T (e 2 ) nous projetons orthogonalement ( ) e 2 sur le vecteur v = (,k). e2 v T (e 2 ) = proj v e 2 =(e 2 ˆv) ˆv = v 2 v, o ù e 2 v = (, ) (,k)=k, et donc T (e 2 )= k ( ) +k 2. k La matrice canonique de T est donc A =[T (e ) T (e 2 )] = ( ) k +k 2 k k 2. b) En utilisant le résultat de la question a), la matrice canonique de la projection orthogonale ( des vecteurs x ) R 2 sur la droite y = x/2 est 4/5 2/5 A =. 2/5 /5 Alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4/5 2/5 T (, 2): A = = /5 /5 2 Problème Soit l application linéaire T : R 3 R 3, réfléchissant les vecteurs de R 3 par rapport à la droite l définie par x =2t l : y = t z = t pour tout t R. a) Trouver la matrice canonique de T. b) Trouver l image du point (, 2, 3) par T, n o t é T (, 2, 3). 62

164 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution a) Notons A la matrice canonique de l application T réfléchissant les vecteurs x R 3 par rapport à la droite x =2t l : y = t z = t pour tout t R. Alors A =[T (e ) T (e 2 ) T (e 3 )] o ù {e, e 2, e 3 } est la base canonique de R 3. Afin de calculer T (e ), projetons orthogonalement e sur un vecteur non nul v appartenant à la droite l. Nous pouvons trouver un tel vecteur en prenant par example t = dans l équation paramétrique ci-dessus, nous obtenons 2 v =. Figure 4.8 La réflexion de e par rapport à la droite l dans R 3. A partir de la figure 4.8, nous avons T (e )=e +2 AB, 63

165 Applications linéaires entre espaces euclidiens avec Donc AB = OB e et OB = proj v e = ( ) e v v 2 v. T (e ) = 2 proj v e e ( ) e v =2 v 2 v e = Nous calculons de la même manière T (e 2 ) et T (e 3 ) et obtenons T (e 2 ) = 2 proj v e 2 e 2 = T (e 3 ) = 2 proj v e 3 e 3 = La matrice canonique A de T est donc A = Un vecteur de coordonnées (x, y, z) est par conséquent transformé par T selon x x T (x, y, z): y A y = 2 2 x 2 2 y = 3 3 z z 2 2 z b) En utilisant le résultat de la question a) ci-dessus, nous avons T (, 2, 3): 2 3 A 2 3 = = 3 x +2y 2z 2x 2y z 2x y 2z 5.. Problème Soit l une droite de R 3 passant par l origine (,, ). Considérons l application T : R 3 R 3 projetant orthogonalement les vecteurs x R 3 sur l ainsi que l application T 2 : R 3 R 3 réfléchissant les vecteurs x R 3 par rapport à cette même droite. Dériver une relation liant les matrices canoniques des applications T et T 2. 64

166 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution Notons A la matrice canonique de l application T projetant sur l, i.e. T : x T (x) =A x pour tout x R 3 et A 2 la matrice canonique de l application T 2 réfléchissant par rapport à l, i.e. T 2 : x T 2 (x) =A 2 x pour tout x R 3. This e-book is made with SetaPDF SETASIGN PDF components for PHP developers 65

167 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4.9 Une illustration de la projection orthogonale et de la réflexion de e par rapport à la droite l. Comme d habitude nous nous intéressons à la façon dont les vecteurs de la base canonique {e, e 2, e 3 } sont transformés. En se basant sur la figure 4.9, nous avons par addition des vecteurs e + P Q = T (e ) et e +2 P Q = T 2 (e ). Donc nous obtenons la relation T 2 (e )=2T (e ) e. D après la figure 4. nous avons e 2 + P 2 Q 2 = T (e 2 ) et e 2 +2 P 2 Q 2 = T 2 (e 2 ), qui nous fournit la relation T 2 (e 2 )=2T (e 2 ) e 2. La figure 4. nous donne e 3 + P 3 Q 3 = T (e 3 ) et e 3 +2 P 3 Q 3 = T 2 (e 3 ), et donc la relation T 2 (e 3 )=2T (e 3 ) e 3. 66

168 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4. Une illustration de la projection orthogonale et de la réflexion de e 2 par rapport à la droite l. La matrice canonique A de T est A =[T (e ) T (e 2 ) T (e 3 )] et celle de T 2 est A 2 =[T 2 (e ) T 2 (e 2 ) T 2 (e 3 )] = [2 T (e ) e 2 T (e 2 ) e 2 2 T (e 3 ) e 3 ] =2[T (e ) T (e 2 ) T (e 3 )] [e e 2 e 3 ]. Par conséquent la relation liant A à A 2 est A 2 =2A I 3, o ù I 3 est la matrice identité

169 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4. Une illustration de la projection orthogonale et de la réflexion de e 3 par rapport à la droite l. Problème Notons /2 /2 / 2 A = /2 5/6 /(3 2) / 2 /(3 2) 2/3 la matrice canonique de l application T réfléchissent les vecteurs x R 3 par rapport à la droite l de R 3 passant par l origine (,, ). Trouver l équation paramétrique de l. 68

170 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution Comme l passe par (,, ), son équation est de la forme x = at l : y = bt z = ct pour tout t R, o ù v =(a, b, c) donne la direction de l et lui appartient donc. Nous devons trouver les paramètres a, b et c, tels que T, défini par la matrice A, réfléchisse tout vecteur x R 3 par rapport à l. En considérant la base canonique {e, e 2, e 3 }, nous avons A =[T (e ) T (e 2 ) T (e 3 )], donc /2 T (e )= /2 / 2, T(e 2)= /2 5/6 /(3 2), T(e 3)= / 2 /(3 2). 2/3 D après la figure 4.2 nous avons w = proj v e et w = proj v T (e ). Ce qui veut dire que ( ) T (e ) v ( e v ) v = v v v v v ou T (e ) v = e v. En utilisant les expressions de T (e ) et v =(a, b, c) nous obtenons 2 a + 2 b + 2 c = a ou a b 2c =. D après la figure 4.3 nous avons w 2 = proj v e 2 et w 2 = proj v T (e 2 ). Et donc ( ) T (e2 ) v v = v v ( e2 v ) v ou T (e 2 ) v = e 2 v. v v Avec les expressions de T (e 2 ) et v =(a, b, c) nous avons 2 a 5 6 b c = b ou a 2 3 b + 3 c =. D après la figure 4.4 nous avons w 3 = proj v e 3 et w 3 = proj v T (e 3 ). 69

171 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4.2 La réflexion de e par rapport à la droite l. Donc (T ) (e3 ) v v = v v ( e3 v ) v ou T (e 3 ) v = e 3 v. v v En remplaçant par les expressions de T (e 3 ) et v =(a, b, c) nous obtenons a b 2 3 c = c ou a + 3 b c =. Nous avons donc trois relations entre les paramètres a, b et c, a b 2c = a 3 b c = a + 3 b c =, ou, sous forme matricielle, 2 /3 2/3 /3 5 2/3 a b c =. 7

172 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4.3 La réflexion de e 2 par rapport à la droite l. Figure 4.4 La réflexion de e 3 par rapport à la droite l. 7

173 Applications linéaires entre espaces euclidiens La résolution de ce système au moyen du pivot de Gauss nous donne a = 3 2 s, b = 2 s, c = s, o ù s est un paramètre libre. Prenons s = 2, donc l équation paramétrique de l devient x =3t l : y = t z = 2 t pour tout t R. DO YOU WANT TO KNOW: What your staff really want? The top issues troubling them? How to retain your top staff FIND OUT NOW FOR FREE How to make staff assessments work for you & them, painlessly? Get your free trial Because happy staff get more done 72

174 Applications linéaires entre espaces euclidiens Problème Déterminer la matrice canonique de l application T : R 3 R 3, o ù T est l application projetant orthogonalement les vecteurs de R 3 sur le plan xy. Solution La matrice canonique A de l application T : R 3 R 3 projetant orthogonalement les vecteurs x R 3 sur le plan xy est A =[T (e ) T (e 2 ) T (e 3 )] o ù {e, e 2, e 3 } est la base canonique de R 3. A partir de la figure 4.5, il est trivial que T (e )=, T(e 2 )=, T(e 3 )=. Figure 4.5 La projection orthogonale d un vecteur x R 3 sur le plan xy. Donc la matrice canonique A est. 73

175 Applications linéaires entre espaces euclidiens Problème Trouver la matrice canonique de l application T : R n R n, telle que T : x k x pour tous x R n et k R. 74

176 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution Nous cherchons la matrice n n, notée A, telle que T : x Ax = k x pour tout x R n. Notons x x 2 x =.. x n Alors k k.. k x x 2. x n = kx kx 2. kx n ou ki nx = k x. D où la matrice canonique de T est A = ki n, o ù I n est la matrice identité n n. Problème Trouver la matrice canonique de T : R 2 R 4, telle que T : x (k x, k 2 x 2, (k k 2 )x, (k + k 2 )x 2 ) pour tous x =(x, x 2 ) R 2 et k et k 2 réels. Solution Nous considérons l application T : R 2 R 4, telle que tout vecteur x =(x,x 2 ) R 2 soit transformé en vecteur (k x,k 2 x 2, (k k 2 )x, (k + k 2 )x 2 ) R 4, avec k,k 2 R. Donc nous cherchons la matrice 4 2 A, telle que T : ( x x 2 ) ( x A x 2 ) = k x k 2 x 2 (k k 2 ) x (k + k 2 ) x 2. Comme k k 2 k k 2 k + k 2 ( x x 2 ) = k x k 2 x 2 (k k 2 ) x (k + k 2 ) x 2, 75

177 Applications linéaires entre espaces euclidiens La matrice canonique de T est A = k k 2 k k 2 k + k 2. Problème Soient les applications linéaires T, T 2 et T 3 transformant les vecteurs de R 3 dans R 3 comme suit : T fait tourner les vecteurs de R 3 d un angle θ par rapport à l axe z dans le sens antihoraire ; T 2 fait tourner les vecteurs de R 3 d un angle θ 2 par rapport à l axe y dans le sens horaire ; T 3 fait tourner les vecteurs de R 3 d un angle θ 3 par rapport à l axe x dans le sens antihoraire. a) Trouver les matrices canoniques de T, T 2 et T 3. b) Trouver la matrice canonique de l application composée T = T 3 T 2 T. c) Soit un vecteur u =(x, y, z) o ù ( x, y, z) est un point de la sphere de centre (,, ) et de rayon a>. Calculer T (u), o ù T est l application composée de la question b) et montrer que T (u) est un vecteur pointant sur la même sphere. Solution a) T : x A x est l application qui opère une rotation des vecteurs x R 3 par rapport à l axe z d un angle θ dans le sens anti-horaire. Alors A =[T (e ) T (e 2 ) T (e 3 )], o ù T (e )= cos θ sin θ, T (e 2 )= sin θ cos θ, T (e 3 )= Donc la matrice canonique de T est cos θ sin θ A = sin θ cos θ. T 2 : x A 2 x est l application qui opère une rotation des vecteurs x R 3 par rapport à l axe y d un angle θ 2 dans le sens horaire. Alors A 2 =[T 2 (e ) T 2 (e 2 ) T 2 (e 3 )], o ù T 2 (e )= cos θ 2 sin θ 2, T 2 (e 2 )=, T 2 (e 3 )= sin θ 2 cos θ

178 Applications linéaires entre espaces euclidiens Donc la matrice canonique de T 2 est cos θ 2 sin θ 2 A 2 =. sin θ 2 cos θ 2 T 3 : x A 3 x est l application qui opère une rotation des vecteurs x R 3 par rapport à l axe x d un angle θ 3 dans le sens anti-horaire. Alors A 3 =[T 3 (e ) T 3 (e 2 ) T 3 (e 3 )], o ù T 3 (e )=, T 3 (e 2 )= cos θ 3, T 3 (e 3 )= sin θ 3. sin θ 3 cos θ 3 Donc la matrice canonique de T 3 est A 3 = cos θ 3 sin θ 3. sin θ 3 cos θ 3 b) La matrice canonique A de l application composée T = T 3 T 2 T, T: x Ax est donnée par A = A 3 A 2 A, o ù A, A 2 et A 3 ont été calculées à la question a). Donc cos θ 2 sin θ 2 cos θ sin θ A = cos θ 3 sin θ 3 sin θ cos θ sin θ 3 cos θ 3 sin θ 2 cos θ 2 cos θ cos θ 2 sin θ cos θ 2 sin θ 2 = sin θ cos θ 3 cos θ sin θ 2 sin θ 3 cos θ cos θ 3 + sin θ sin θ 2 sin θ 3 cos θ 2 sin θ 3. sin θ sin θ 3 + cos θ sin θ 2 cos θ 3 cos θ sin θ 3 sin θ sin θ 2 cos θ 3 cos θ 2 cos θ 3 c) Soit u un vecteur pointant sur la sphere de rayon a>, définie par l équation x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Alors u possède les coordonnées suivantes : u =(x, y, a 2 x 2 y 2 ). Appliquons maintenant T = T 3 T 2 T à u, i.e. T : u T (u) =Au, o ù A est la matrice canonique calculée à la question b). On a donc Au = w =(w, w 2, w 3 ), o ù w = x cos θ cos θ 2 y sin θ cos θ 2 a 2 x 2 y 2 sin θ 2 w 2 = x (sin θ cos θ 3 cos θ sin θ 2 sin θ 3 )+y (cos θ cos θ 3 + sin θ sin θ 2 sin θ 3 ) a 2 x 2 y 2 cos θ 2 sin θ 3 w 3 = x (sin θ sin θ 3 + cos θ sin θ 2 cos θ 3 )+y (cos θ sin θ 3 sin θ sin θ 2 cos θ 3 ) + a 2 x 2 y 2 cos θ 2 cos θ 3. 77

179 Applications linéaires entre espaces euclidiens Le calcul de w 2 + w2 2 + w2 3 donne w 2 + w w 2 3 = a 2, ce qui montre que w pointe sur la sphere de rayon a> et de centre (,, ). Problème a) Considérons l application linéaire T : R 3 R 3, projetant orthogonalement les vecteurs x R 3 sur le plan Π: ax + by + cz =. Calculer la matrice canonique de T. b) Trouver l équation paramétrique de la droite ˆl, o ù ˆl est la projection orthogonale de la droite x = t +2 l : y = t + z =3t pour tout t R sur le plan Π: x +2y 3z =. Challenge the way we run EXPERIENCE THE POWER OF FULL ENGAGEMENT RUN FASTER. RUN LONGER.. RUN EASIER READ MORE & PRE-ORDER TODAY 78

180 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution a) Notons A la matrice canonique de T. A partir de la base canonique {e, e 2, e 3 } nous avons A =[T (e ) T (e 2 ) T (e 3 )]. Le vecteur normal n du plan Π est n =(a, b, c). D après la figure 4.6 nous avons Figure 4.6 La projection orthogonale du vecteur e du le plan Π. o ù Donc T (e )+ Q P = e, Q P = proj n e = T (e )= ( e n ) n = n n a a 2 + b 2 + c 2 D après la figure 4.7 nous avons T (e 2 )+ Q 2 P 2 = e 2, a a 2 + b 2 + c 2 a b c = a b c. a 2 + b 2 + c 2 b 2 + c 2 ab ac. 79

181 Applications linéaires entre espaces euclidiens o ù Q 2 P 2 = proj n e 2 = ( e2 n ) n = n n b a 2 + b 2 + c 2 a b c. Figure 4.7 La projection orthogonale du vecteur e 2 du le plan Π. Donc T (e 2 )= b a 2 + b 2 + c 2 D après la figure 4.8 nous avons T (e 3 )+ Q 3 P 3 = e 3, o ù Donc Q 3 P 3 = proj n e 3 = T (e 3 )= ( e3 n ) n = n n c a 2 + b 2 + c 2 a b c = c a 2 + b 2 + c 2 a b c = a 2 + b 2 + c 2 a b c. a 2 + b 2 + c 2 ab a 2 + c 2 bc ac bc a 2 + b 2.. 8

182 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4.8 La projection orthogonale du vecteur e 3 du le plan Π. La matrice canonique A de T est donc A =[T (e ) T (e 2 ) T (e 3 )] = a 2 + b 2 + c 2 b 2 + c 2 ab ac ab a 2 + c 2 bc ac bc a 2 + b 2 b) Afin de trouver la projection orthogonale de la droite l sur le plan Π, choisissons deux points P et Q de l et projetons orthogonalement leur vecteur associé sur Π en utilisant la matrice canonique calculée à la question a). Voir la figure 4.9 pour une illustration. Nous faisons le choix arbitraire : P : (2,, ) qui correspond à t = et Q : (3,, 2) correspondant à t =. En remplaçant a, b et c par leurs valeurs, 2, 3 dans l expression de A calculée à la partie a), nous obtenons pour le plan Π: x +2y 3z = la matrice canonique Donc A = 4 OP = =

183 Applications linéaires entre espaces euclidiens Figure 4.9 La projection orthogonale de l sur le plan Π. et OQ = Nous avons donc calculé le vecteur P Q, P Q =( , 3 7, = )=(2 7, 3 7, 6 7 ). Le vecteur P Q donne la direction de la droite ˆl et, en utilisant le point P, nous obtenons l équation paramétrique suivante pour la droite ˆl : x = 2 7 t ˆl : y = 3 7 t z = 6 7 t + 2 pour tout t R. 82

184 Applications linéaires entre espaces euclidiens 4.3 Les applications linéaires inversibles Dans ce sous-chapitre nous étudions la surjectivité et l injectivité des applications linéaire et examinons les application linéaires inversibles. Note théorique On dit qu une application linéaire T : R n R m, o ù T : x b, est surjective dans un sous ensemble W de R m si tout vecteur b W possède au moins un antécédent x R n. 2. On dit qu une application linéaire T : R n R m, o ù T : x b, est injective sur un sous ensemble W de R m si tout vecteur b W possède un antécédent unique x R n. 3. Soit T : R n R m un application linéaire et notons A sa matrice canonique, i.e. T : x T (x) =Ax R m, o ù A est un matrice m n. Alors les propriétés suivantes sont vérifiées Propriétés : a) T est injective sur son ensemble image R T si et seulement si le système Ax = admet pour unique solution x =. b) T est injective sur son ensemble image R T si et seulement si les colonnes de A forment une famille libre de n vecteurs dans R m. Alors Ax = b admet une solution unique x R n. c) T est surjective dans R m l ensemble d arrivée de T, R m, est l ensemble image R T de T, i.e. si et seulement si R T = R m. d) Si T est injective sur un ensemble, alors T est surjective sur cet ensemble. Remarque : Toute application linéaire T : R n R m représentée par la matrice A =[a a 2 a n ] est toujours surjective sur son ensemble image R T R m et ainsi R T = Vect {a, a 2,, a n }. S il existe des vecteurs de l ensemble image R m n appartenant par à R T, alors R T R m et donc T n est évidemment pas surjective sur R m. 4. Supposons que T : R n R n soit une application linéaire injective sur R n représentée par la matrice n na. Supposons maintenant qu il existe une autre application linéaire injective T : R n R n, telle que T T (x) =T T (x) =x pour tout x R n. 83

185 Applications linéaires entre espaces euclidiens Alors T est appelée réciproque de T et sa matrice canonique est l inverse de la matrice A, notée A. C est à dire T : x T (x) =A x pour tout x R n. Problème Soit l application linéaire T : R 2 R 2 représentée par la matrice ( ) A =. a) Donner les ensembles de définition D T et image R T de l application T. b) L application T est-elle surjective et/ou injective sur son ensemble image R T? Justifier. c) L application est-elle surjective sur R 2? Justifier. Akademikernas a-kassa För alla akademiker. Hela arbetslivet. Försäkra din lön för 9 kronor i på Twitter facebook.com/akademikernas aea.se/blimedlem 84

186 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution a) Nous considérons ( l application ) linéaire T : R 2 R 2 de matrice canonique A =. Donc ( ) ( ) ( )( ) ( ) x x x x T : A = = y y y x pour tous x R et y R. Voir la figure 4.2. Figure 4.2 Un application surjective T sur y = x qui n est pas injective. L ensemble de définition ( ) D T de T consiste donc en tous les vecteurs de R 2, i.e. x D T = { pour tous x, y R} y ( ) ( ) = Vect {, } = R 2. L ensemble image R T de T est donné par tous les vecteurs de R 2 appartenant à la droite y = x, i.e ( ) k R T = { pour tout k R} k ( = Vect { ) } R 2. b) L application est surjective sur son ensemble image R T (la droite y = x) car tout vecteur de R T est l image d au moins un vecteur de l ensemble de définition D T = R 2. Cependant, T n est pas injective, en effet il existe un vecteur de R T. peut avoir plus d un antécédent dans R 2. En l occurence il existe une infinité de vecteurs de R 2 ayant la même image dans R T, et ce pour chaque vecteur de R T. Par exemple, les deux vecteurs (, 2) et (, 3) ont la même image par T, le vecteur (, ). De plus, les vecteurs (,k) ont eux aussi pour unique image (, ) quelque soit k R. 85

187 Applications linéaires entre espaces euclidiens c) L application T n est pas surjective dans R 2, en effet seulement les vecteurs de la droite y = x possèdent des antécédents par T. Donc tous les vecteurs de R 2 ne sont pas des images par T. Par exemple le vecteur v = (, 2) ne possède pas d antécédent par T. Problème Considérons l application T : R 3 R 3 telle que T :(x, x 2, x 3 ) (x x 2 +5x 3, x +2x 2 4x 3, 2x +3x 2 5x 3 ). a) Montrer que T est une application linéaire. b) Trouver la matrice canonique de T. c) Quels sont les ensembles de définition D T et image R T de T? Donner leur expression en terme d espace engendré. d) T est-elle surjective dans R 3? Justifier. e) T est-elle injective sur son ensemble image R T? Justifier. Unlock your potential elibrary solutions from bookboon is the key elibrary Interested in how we can help you? ban@bookboon.com 86

188 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution a) Montrons que l application T, donnée par x x x 2 +5x 3 T : x 2 x 3 x +2x 2 4x 3 2x +3x 2 5x 3, est linéaire. Soient les deux vecteurs de R 3, x =(x, x 2, x 3 ) et y =(y, y 2, y 3 ). Alors T (x) = x x 2 +5x 3 x +2x 2 4x 3 2x +3x 2 5x 3, T(y) = y y 2 +5y 3 y +2y 2 4y 3 2y +3y 2 5y 3 Nous voulons montrer que T (x + y) =T (x)+t(y) et T (c x) =ct(x) pour tous x et y dans R 3 et c R. Nous avons x + y (x 2 + y 2 )+5(x 3 + y 3 ) T (x + y) = x + y + 2(x 2 + y 2 ) 4(x 3 + y 3 ) 2(x + y )+3(x 2 + y 2 ) 5(x 3 + y 3 ) = x x 2 +5x 3 x +2x 2 4x 3 2x +3x 2 5x 3 + y y 2 +5y 3 y +2y 2 4y 3 2y +3y 2 5y 3 = T (x)+t(y). De plus, cx cx 2 +5cx 3 x x 2 +5x 3 T (c x) = cx +2cx 2 4cx 3 2cx +3cx 2 5cx 3 = c x +2x 2 4x 3 2x +3x 2 5x 3 = ct(x) pour tout c R. Comme x et y sont des vecteurs arbitraires de R 3, les propriétés de T exposées ci-dessus sont valables pour tout vecteur de R 3. Ce qui montre que T est une application linéaire. b) La matrice canonique de T est une matrice 3 3 A, telle que T : x x 2 x 3 A x x 2 x 3 = x x 2 +5x 3 x +2x 2 4x 3 2x +3x 2 5x 3 Cette matrice est donc 5 A = c) L ensemble de définition D T de T est formé par tous les vecteurs de R 3, comme T peut prendre en argument tout vecteur dans R 3. Donc, D T = Vect {e, e 2, e 3 }, o ù {e, e 2, e 3 } est la base canonique de R 3... Afin d établir l ensemble image R T b R 3, tels que le système Ax = b de T nous devons trouver tous les vecteurs 87

189 Applications linéaires entre espaces euclidiens soit compatible. Ici A est bien sûr la matrice canonique de T, 5 A = Notons b b = b 2. b 3 Alors la matrice augmentée associée à ce système est 5 b [A b] = 2 4 b b 3 En applicant des opérations élémentaires sur les lignes de cette matrice, nous obtenons la matrice l-équivalente suivante : 5 b 5 b 2 4 b b 2 b b b 3 2b 5 b 3 b 2 /3 b /3 5b 2 /3 b /3+b 3 A partir de la troisième ligne de cette matrice l-équivalente, nous en concluons que ce système linéaire est compatible si et seulement si 5b 2 /3 b /3+b 3 =, ou en multipliant cette équation par 3, nous obtenons la condition suivante sur les coordonnées du vecteur b : 5b 2 b +3b 3 =. Donc b = 5b 2 +3b 3 b 2 b 3 = b b 3 3 pour tous b 2 R et b 3 R. Par conséquent l ensemble image de T est un plan de R 3 passant par l origine (,, ) et engendré par les vecteurs : 5 3 R T = Vect {, }. d) L application T n est pas surjective dans R 3, car tout vecteur de R 3 n est pas une image par T. En effet, tout vecteur de R 3 n appartenant pas au plan défini par R T à la question c) n est pas une image par T. e) L application T n est pas injective dans R T, car pour chaque vecteur b R T il existe plus d un (en fait une infinité) antécédent x R 3 ayant pour image b. Nous le savons car le système Ax = b possède une infinité de solutions x, avec x 3 un paramètrelibre pour tout b R T, donc pour tout vecteur b s écrivant 5b 2 +3b 3 b = b 2 b 3 pour tout réels b 2 et b 3. 88

190 Applications linéaires entre espaces euclidiens Problème Considérons l application linéaire T : R 3 R 3 définie par la matrice canonique 2 A = a) Trouver tous les vecteur x R 3, tels que T (x) = 2. 7 b) L application T est-elle inversible? Si oui, trouver la matrice canonique de T. Solution a) Soit x = x x 2 x 3 Cherchons x tel que T : x Ax = 2 7 Nous devons donc résoudre lesystème linéaire 2 x 2 2 x 2 = x 3 La matrice augmentée correspondante, ainsi que quelques unes de ses matrices l- équivalentes, sont La dernière matrice l-équivalente ci-dessus est la forme échelonnée réduite de A. Donc ce système admet une solutionunique, x = 2 pour T (x) = b) Comme det A = nous savons que la matrice A est inversible, et par conséquent que T est une application injective sur l espace R T = R 3. Ce qui signifie que T est inversible sur R 3, et 89

191 Applications linéaires entre espaces euclidiens que la matrice canonique de sa réciproque, notée T, est A. Nous devons donc calculer A. Pour cela, considérons [A I 3 ], o ù I 3 est la matrice identité 3 3. Nous obtenons 2/5 /5 [A I 3 ] 7/5 /5. 2/5 /2 /5 Donc la matrice inverse de A est 2/5 /5 A = 7/5 /5, 2/5 /2 /5 donc T : x A x pour tout x R 3. Problème Soit l application linéaire T : R 3 R 3 telle que : 5 T :, T: , T : a) Trouver la matrice canonique de T. b) T est-elle inversible? Justifier. Engineering Your Future Bombardier Transportation is the global leader in the rail equipment manufacturing and servicing industry and is represented in over 6 countries. Its wide range of products includes locomotives and passenger rail vehicles. It also manufactures total transit systems, bogies, propulsion & controls and provides rail control solutions. Join a Winning Team! Across mechanical, electrical, software and specialist engineering, we have a first-class reputation for innovation. So it s no surprise that we are the number one rail manufacturer in the world. Go to for open positions. The Climate is Right for Trains 9

192 Applications linéaires entre espaces euclidiens Solution a) Pour trouver la matrice canonique A de T, introduisons d abord quelques notations. Notons u =, u 2 = 2, u 3 = 3 2 v = 5 4, v 2 = 5 5, v 3 = Alors, comme indiqué dans l énoncé, nous avons T : u Au = v, T: u 2 Au 2 = v 2, T : u 3 Au 3 = v 3. Maintenant A[u u 2 u 3 ]=[v v 2 v 3 ] et en notant U =[u u 2 u 3 ] et V =[v v 2 v 3 ], nous avons l équation matricielle AU = V, o ù U = 2 3 2, V = Le calcul du déterminant de U nous donne det U = 5, ce qui signifie que les colonnes de la matrice U forment une famille libre et que U est inversible. Nous pouvons donc résoudre cette équation matricielle pour A en multipliant à droite les deux membres par U. Nous obtenons A = VU. U étant donnée par U = , il suit l expression de la matrice canonique A : A = = /5 /5 3/5 b) Afin de déterminer si T est une application inversible, nous pouvons étudier l inversibilité de sa matrice canonique A calculée à la question a). Nous rappelons que A est inversible si et seulement si det A =. Nous calculons par conséquent deta et obtenons det A = 45. Donc A est inversible, ce qui fait de T une application inversible et la matrice canonique de T est A.. 9

193 Applications linéaires entre espaces euclidiens 4.4 Exercices. Soit l application T : R 3 R 2 telle que tout vecteur x =(x,x 2,x 3 ) R 3 possède une image dans R 2 selon : T :(x,x 2,x 3 ) (x 5x 2 +4x 3, x 2 6x 3 ). a) Montrer que T est une application linéaire. [Réponse : Nous devons montrer que T (x + y) =T (x) +T (y) et T (c x) = ct(x) pour tous x R 3, y R 3 et c R. ] b) Trouver la matrice canonique de T. [Réponse : Cette matrice est A = ( ). ] c) Trouver l ensemble image de T et déterminer si T est surjective dans R 2. [Réponse : L ensemble image de T est R 2, donc T est surjective dans R 2.] d) T est-elle injective sur son ensemble image? Justifier. [Réponse : T n est pas injective, car Ax = b possède une infinité de solutions x R 3 pour tout b R 2.] 2. Considérons l application linéaire T : R 3 R 2 telle que T transforme tout vecteur x =(x, x 2, x 3 ) R 3 en (k x + x 3, k 2 x 2 x 3 ) R 2 avec k R et k 2 R. Trouver la matrice canonique A de T. [Réponse : A = ( k k 2 ). ] 3. Soit l application linéaire T : R n R 2 avec n 2 telle que n T : x ( k i x i, x n ) i= pour tout x =(x, x 2,..., x n ) R n et des constantes k j R, j =, 2,...,n. a) Trouver la matrice canonique A de T. [Réponse : A = ( k k 2 k n ). ] 92

194 Applications linéaires entre espaces euclidiens b) Choisissons k j = pour j =, 2,...,n. Trouver l image du point (, 2,...,n) R n par T. Quelle est cette image si n =? [Réponse : ( n(n + ) 2 ), n. Pour n =, l image est (55, ). ] 4. Soit l application linéaire T : R 3 R 2 telle que ( ) ( T (e )=, T(e 5 2 )= 2 ), T(e 3 )= ( o ù {e, e 2, e 3 } sont les vecteurs de la base canonique de R 3. Déterminer la matrice 3 canonique A de T et calculer T (x), o ù x =. 4 [Réponse : A = ( 5 2 ) ( 2, T(x) = 7 ). ] ), 5. Soit l application linéaire T : R 2 R 2, o ù T projette orthogonalement les vecteurs de R 2 sur la droite y = 3x. a) Trouver la matrice canonique A de T. [Réponse : A = ( b) Calculer T (x), o ù x = [Réponse : T (x) = 5 ( 5 ). ( 7 2 c) T est-elle inversible? Justifier. ). ] ). ] [Réponse : T n est pas inversible, comme det A =. C est aussi évident d un point de vue géométrique, comme il y existe une infinité de vecteurs étant projetés orthogonalement sur un même point de la droite y = 3x, et ce pour chaque point de y = 3x. ] 6. Considérons l application linéaire T : R 2 R 2 qui réfléchit chaque vecteur de R 2 par rapport à la droite y =3x. a) Trouver la matrice canonique A de T. [Réponse : A = 5 ( ). ] 93

195 Applications linéaires entre espaces euclidiens b) Montrer que T est une application injective sur R 2 et la matrice canonique de son application réciproque T. [Réponse : Comme T décrit une réflexion par rapport à une droite, il est géométriquement évident que T est injective et inversible sur R 2. Ce qui peut aussi être établi via le calcul du déterminant de A. Nous obtenons det A =. Donc A est une matrice inversible et la matrice de T est A, qui est la même que la matrice standard de T, i.e. A = ( ) 4 3. ] Soient les deux applications linéaires T et T 2 transformant toutes les deux des vecteurs de R 2. En particulier, T tourne les vecteurs de R 2 par rapport à l origine (, ) d un angle π/3 dans le sens anti horaire et T 2 transforme les vecteurs x = (x,x 2 ) comme suit : ( ) ( ) x x + x T 2 : 2 pour tous x R et x 2 R. x 2 x 2 a) Trouver les matrices canoniques A de T et A 2 de T 2. T et T 2 sont-elles inversibles? Justifier. ). T et T 2 sont inver- [Réponse : A = 2 sibles. ] ( ) ( 3, A 2 = 3 b) Trouver la matrice canonique A de l application composée T = T 2 T. T est-elle inversible et, si oui, trouver la matrice canonique B de T. [Réponse : A = A 2 A = 2 ( ) + 3 3,B= A = ( ). ] 8. Soit l application linéaire T : R 3 R 3 telle que T (e )=, T(e 2 )=, T(e 3 )= o ù {e, e 2, e 3 } est la base canonique de R 3. Déterminer si T est inversible et, si oui, trouver son application réciproque. [Réponse : La matrice canonique A de T est A =. Comme det A = 2, T est inversible et la matrice de T est A = 2. ] 2, 94

196 Applications linéaires entre espaces euclidiens 9. Considérons les plans de R 3 suivants : Π : x y +3z = Π 2 : 2x + y +3z =. a) Trouver la droite l formant l intersection des plans Π et Π 2 et l exprimer sous sa forme paramétrique. [Réponse : x = 2t l : y = t z = t pour tout t R. ] b) Soit T : R 3 R 3 l application linéaire projetant orthogonalement les vecteurs x R 3 sur la droite l de la question a). Trouver la matrice canonique A de T. [Réponse : A = ] Har du växtkraft? Frigör den hos oss. Ansvar skapar växtkraft Våra medarbetare får stort eget ansvar, vilket skapar växtkraft. Kraft att utveckla våra kunders, de dynamiska ägarledda företagens, affärer. Men också kraft att driva på sin egen utveckling och hjälpa kollegor att växa. Vi arbetar i en företagskultur där vi tar ansvar, stöttar varandra och samarbetar i team. Låter det som en plats där du skulle trivas och växa? Välkommen till oss! karriar.grantthornton.se LinkedIn: Grant Thornton Sweden 95

197 Applications linéaires entre espaces euclidiens. Soient les trois applications linéaires, T, T 2 et T 3, toutes transforment des vecteurs de R 3. En particulier T projette orthogonalement les vecteurs de R 3 sur la droite l, définie par l équation paramétrique suivante : x =2t l : y = t z =3t pour tout t R, T 2 réfléchit les vecteurs de R 3 par rapport à l axe z, et T 3 réfléchit les vecteurs de R 3 par rapport à l axe x. a) Trouver la matrice canonique de l application composée T 3 T 2 T. [Réponse : Cette matrice est ] b) Trouver la matrice canonique de l application composée T T 2 T 3. [Réponse : Cette matrice est ] c) Trouver l ensemble image de l application composée T = T 3 T 2 T. [Réponse : L ensemble image est donnée par l ensemble Vect {u}, avec u = (2,, 3). Donc tous les vecteurs appartenant à la droite l définie par l équation paramétrique : x =2s l : y = s z =3s pour tout s R. ]. Soit l application linéaire T : R 3 R 3 telle que : 2 T (e )=, T(e 2 )= k, T(e 3 )= o ù k est un paramètre réel non spécifié et {e, e 2, e 3 } sont les vecteurs de la base canonique de R 3. a) Donner lamatrice canonique de T et calculer T (x), o ù x = 2. 3 [Réponse : La matrice canonique est A = k, 2 k k. Alors T (x) = 96

198 Applications linéaires entre espaces euclidiens 2k +3 3k +. ] b) Trouver toutes les valeurs de k telles que T soit injective sur R 3. [Réponse : T est injective sur R 3 pour tout k R\{, 2}. ] 2. Soit l application linéaire T projetant orthogonalement les vecteurs de R 3 sur la droite définie comme l intersection des trois plans suivants : Π : x +3y 5z = Π 2 : x +4y 8z = Π 3 : 2x 7y + 3z =. a) Trouver la matrice canonique A de T. [Réponse : A = 3 b) T est-elle inversible? Justifier /2 3/2 2 3/2 /2. ] [Réponse : T n est pas inversible, car det A =. ] 3. Considérons l application linéaire T : R 3 R 3 pour laquelle : 2 2 T :, T:, T : a) Trouver la matrice canonique A de T. [Réponse : A = b) T est-elle inversible? Justifier.. ] [Réponse : L application T est inversible car sa matrice A est inversible. ] Soit l application linéaire T : R 3 R 3 de matrice canonique α A = α, α o ù α est un paramètre réel non spécifié. 97

199 Applications linéaires entre espaces euclidiens a) Trouver toutes les valeurs de α telles que T soit injective sur R 3, ainsi que toutes celles pour lesquelles T est inversible. [Réponse : T est injective et inversible sur R 3 pour tout α R\{, 2}. ] b) Trouver l ensemble image R T de T pour α = 2 et l exprimer sous la forme d un espace engendré. [Réponse : R T = Vect {, }. ] c) Notons α = 2, trouver tous les vecteurs x R 3 tels que T (x) = [Réponse : x = t + pour tout t R. ] Vi växer snabbt och är en av Nordens stora teknikkonsulter. Vi letar alltid efter nya talanger! Hos oss arbetar du tillsammans med specialiserade ingenjörer som har bredd, spets och inte minst energi som skapar resultat! Vi kallar det Energized Engineering det finns hos Rejlers. rejlers.se/energized 98

200 Applications linéaires entre espaces euclidiens 5. Soit l application linéaire T : R 3 R 3, o ù T réfléchit les vecteurs x R 3 par rapport au plan Π : ax + by + cz =. a) Trouver la matrice canonique A de T. [Réponse : A = ] a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 2ab 2ac 2ab a 2 b 2 + c 2 2bc 2ac 2bc a 2 + b 2 c 2 b) Trouver l équation paramétrique de la droite l, définie comme la réflexion de la droite x =2t + l : y = 3t z = 2 pour tout t R par rapport au plan x + y z =.. [Réponse : l : x =8t y = 7t z = 2t + 4 pour tout t R. ] 3 c) Trouver l équation de la sphère étant la réflexion de la sphère (x ) 2 +(y + 2) 2 +(z ) 2 =4 par rapport au plan x + y z =. [Réponse : ( x 3) 7 2 ( + y 2 2 ( + z 3) 2 =4. ] 3) 6. Considérons l application linéaire T : R 3 R 3, o ù T réfléchit les vecteurs x R 3 par rapport à la droite x = at l : y = bt z = ct pour tout t R. Trouver la matrice canonique de T. [Réponse : A = a 2 + b 2 + c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2ab a 2 + b 2 c 2 2bc 2ac 2bc a 2 b 2 + c 2. ] 7. Soit T : R 3 R 3 l application linéaire réfléchissant les vecteurs x R 3 par rapport 99

201 Applications linéaires entre espaces euclidiens à la droite l, telle que T soit définie par la matrice : A = Trouver l équation paramétrique de la droite l. [Réponse : x = t l : y = 2 t z = 3 t pour tout t R. ] 2 8. Soient les trois applications linéaires T, T 2 et T 3 transformant les vecteurs de R 3 en vecteurs de R 3 comme suit : T fait tourner les vecteurs par rapport à l axe z d un angle θ = π dans le sens anti-horaire ; T 2 fait tourner les vecteurs par rapport à l axe y d un angle θ 2 dans le sens horaire ; T 3 fait tourner les vecteurs par rapport à l axe x d un angle θ 3 dans le sens antihoraire. a) Trouver la matrice canonique A de l application composée T = T T 2 T 3. [Réponse : A = cos θ 2 sin θ 2 sin θ 3 cos θ 3 sin θ 2 cos θ 3 sin θ 3 sin θ 2 cos θ 2 sin θ 3 cos θ 2 cos θ 3. ] b) Trouver θ 2 et θ 3, avec θ 2 π et θ 3 π, tels que T : (, 2, ) (,, 2), o ù T est l application de la question a). Comment se transforme le point (,, 2) par T pour ces valeurs de θ 2 et θ 3? En d autres termes calculer T (,, 2). [Réponse : θ 2 = π 6, θ 3 = π 3 3 et T (,, 2)=( 2 4, 2 + 3, ). ] c) Montrer que l application T obtenue à la question b) est injective sur R 3 en calculant le déterminant de sa matrice A et trouver la matrice canonique de sa réciproque, T. Montrer que T transforme bien le point (,, 2) en (, 2, ). [Réponse : Comme det A, la matrice A est inversible, ce qui signifie que 2

202 Applications linéaires entre espaces euclidiens T est inversible et la matrice canonique de T est A, avec A = ] 3 d) Soit la droite l, définie par l équation paramétrique x = 2t + l : y =3t 2 z = t + 4 pour tout t R. Utiliser l application linéaire T obtenue à la question b) afin de déterminer l équation paramétrique de la droite l image de l par T. En d autres termes, trouver l telle que T : l l. [Réponse : l : x = y = z = ( 7 ) t 3+ 4 ( ) 3 t ) ( t + 3 pour tout t R. ] JAG UTVECKLAR OCH UTVECKLAS! På Prevas träffar du kompetenta, spännande och trevliga människor varje dag. De kan vara dina nya kollegor eller så kan det vara någon av våra kunders medarbetare. Hos oss får du möjlighet att arbeta med olika kunder i olika branscher med olika typer av teknologi i olika processer. Som medarbetare på Prevas kommer du därför alltid att fortsätta utvecklas så länge du själv vill. Läs mer på INNOVATION FOR GROWTH 2

203 Applications linéaires entre espaces euclidiens e) Soit le plan Π: 2x 3y + z =4. Utiliser l application linéaire T obtenue à la question b) afin de déterminer l équation du plan Π, image de Π par T. En d autres termes, trouver Π tel que T :Π Π. Utiliser Maple pour représenter Π et Π (voir l annexe A pour plus d informations sur Maple). [Réponse : Π : (7 3 )x 2( 3 + 3)y ( 3 5)z = 6. ] 9. Soient les quatre applications linéaires T, T 2, T 3 et T 4, transformant les vecteurs de R 3 en vecteurs de R 3 comme suit : T fait tourner les vecteurs par rapport à l axe z d un angle π dans le sens antihoraire ; T 2 fait tourner les vecteurs par rapport à l axe y d un angle π/3 dans le sens antihoraire ; T 3 fait tourner les vecteurs par rapport à l axe x d un angle π/2 dans le sens anti-horaire ; T 4 fait tourner les vecteurs par rapport à l axe z d un angle π/2 dans le sens antihoraire. a) Trouver la matrice canonique A de l application T = T 4 T 2 T T 3. [Réponse : A = ] b) Trouver la matrice canonique de l application réciproque de T, o ù T est l application de la question a). [Réponse : La matrice de T est donnée par A, o ù A est la matrice canonique de T. Donc A = 3. ] 2 2 c) Trouver l équation paramétrique de la droite l telle que T : l l, 22

204 Applications linéaires entre espaces euclidiens o ù T est l application de la question a) et l est x =6t l : y = 2t +2 z =2t pour tout t R. [Réponse : x =( 3 + )s l : y = ( 3 + )s + 3 z =6s pour tout s R. ] 2. Soit l application linéaire T : R 2 R 2 de matrice canonique A. Considérons deux vecteurs linéairement indépendants, u =(u,u 2 ), v =(v,v 2 ), décrivant un parallélogramme dans R 2 d aire S. L application T transforme alors l aire S en aire T (S). Montrer que aire T (S) = det A (aire S). 2. Soit l application linéaire T : R 3 R 3 de matrice canonique A. Considérons trois vecteurs linéairement indépendants, u =(u,u 2,u 3 ), v =(v,v 2,v 3 ), w =(w,w 2,w 3 ) définissant un parallélépipède dans R 3 de volume V. L application T transforme alors le volume V en volume T (V ). Montrer que volume T (V )= det A (volume V ). 23

205

206 le calcul matriciel avec Maple Annexe A Le calcul matriciel avec Maple Maple est un logiciel commercial de calcul formel développé et vendu par Maplesoft, une société informatique basée à Waterloo au Canada. Il a été développé à ses débuts en 98 par le Groupe de Calcul Symbolique de l université de Waterloo. Le logiciel Maple est écrit en languages de programmation C et Java. Dans cette annexe nous présentons les commandes principales pour les calculs vectoriel et matriciel sous Maple. Pour tout calcul vectoriel ou matriciel, il nous faut d abord charger le paquet LinearAlgebra (algèbre linéaire). Ce qui se fait via la commande with(linearalgebra) au début d une feuille de calcul, i.e. après le symbole > C est une bonne idée de toujours commencer une feuille de calcul avec la commande restart, de sorte à remettre à zéro les variables et paramètres ayant été assignés lors de la compilation. Nous commençons donc avec la ligne > restart Ci-dessous, nous montrons comment assigner un vecteur der 3, u et une matrice 2 3, A. > with(linearalgebra) : > u :=< a, b, c > u := a b c > A :=< a, b c, d e, f > [ ] a c e A := b d f 25

207 le calcul matriciel avec Maple D une manière alternative, nous pouvons aussi définir le vecteur u et la matrice A de la manière suivante : > with(linearalgebra) : > u := Vector([a, b, c]) u := a b c > A := Matrix(2, 3, [a, b, c, d, e, f ]) [ ] a b c A := d e f Remarque : dans les lignes qui vont suivre le signe renvoie à un commentaire. On remarquera aussi qu une aide ainsi que des exemples sont disponibles pour une fonction particulière de Maple en pointant le curseur sur un mot dans la feuille de calcul, par exemple Matrix, tout en appuyant du la touche F2 du clavier. Nous montrons maintenant comment effectuer quelques opérations élémentaires sur les matrices et le vecteurs > u :=< 4,, > Le vecteur u de coordonnées (4,, ) est défini. 4 u := > v :=<,, > Le vecteur v de coordonnées (,, ) est défini. v := > u +( v) La somme u +( v). 3 2 > DotProduct(u, v) Le produit scalaire de u et v. 26

208 le calcul matriciel avec Maple > norm(u, 2 ) La norme du vecteur u. 3 2 ( ) u.v > theta := arccos norm(u, 2 ) norm(v, 2 ) L angle θ formé par u et v. θ := 3 π > CrossProduct(u, v) Le produit vectoriel de u et v. 5 > A :=<, 3, 5 2, 4, 2, 2, 3 > 2 A := > b :=<, 2, 3 > b := 2 3 > x := LinearSolve(A, b) La solution x du système Ax = b. 4 x := 4 3 > A.x b Vérifions la solution x de Ax = b. > AM := Matrix([A, b]) La matrice augmentée [A b]. 2 AM :=

209 le calcul matriciel avec Maple > GaussianElimination(AM ) Effectue le pivot de Gauss sur [A b] > ReducedRowEchelonForm(AM ) La forme échelonnée réduite de [A b] > Determinant(A) Le déterminant de A. 8 > Ainv := MatrixInverse(A) La matrice inverse de A. 2 9 Ainv := > Ainv.A Calculons A A. > x := Ainv.b La solution x = A b du système Ax = b. 4 x := 4 3 > B :=<, 3, 5 2, 4, 2,, 3 > Considérons un autre exemple. 2 B :=

210 le calcul matriciel avec Maple > c :=<, 2, 8 > c := 2 8 > Determinant(B) Le déterminant de B. > Binv := MatrixInverse(B) B est sigulière. Error, (in MatrixInverse) singular matrix > x := LinearSolve(B, c) La solution x de Bx = c qui contient un x := paramètre arbitraire, noté t 3 par Maple. 2 t 3 + t 3 t 3 Pour représenter des figures dans R 3 nous utilisons la fonction plot3d. Considérons par exemple le plan 5 7 x 9 2 y z = 4 7. Représentons ce plan sur les intervalles [, 8] selon x et [, 2] selon y. Comme nous voulons voir les axes x, y et z, nous utilisons la commande suivante : ([ 5 > plot3d 7 x 9 2 y + 4 ] ),x=..8,y =..2, axes = boxed 7 La figure A. représente le résultat de cette commande. Considérons maintenant les trois plans suivants : 5 7 x 9 2 y z = x 4 3 y z = 3 26 x + y z =. 29

211 le calcul matriciel avec Maple Figure A. La représentation d un plan. Calculons l intersection de ces trois plans. > restart > with(linearalgebra) > A :=< 5 7, 9 26, 9 2, 4,,, > 3 A := > b :=< 4 7, 3 26, > b :=

212 le calcul matriciel avec Maple > x := LinearSolve(A, b) La solution x de Ax = b x := Nous en concluons que ces trois plans se croisent en le point ( 24 33, , ). Nous représentons maintenant l intersection de ces plans sur les intervalles [ 8, 8] selon x et [ 2, 2]. selon y. La commande plotlist=true étant nécessaire lorsque l on veut représenter plus de deux plans sur le même graphe. Le signe ( :) à la fin d une ligne d entrée cache l affichage en sortie. > P := 5 7 x 9 2 y + 4 : P 2 := x 4 3 y : P 3 := x + y : > plot3d ([P,P2,P3],x= 8..8,y = 2..2, plotlist = true, color =[blue, red, green]) Figure A.2 L intersection des trois plans en un point commun. 2

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