Kapitel 13. Genetiska algoritmer
|
|
- Marie Dahlberg
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kapitel 13. Genetiska algoritmer Som vi tidigare sett, är det i allmänhet svårt att finna det globala minimet för en funktion av många variabler. Det betyder också att det inte är lätt att hitta på en metod att finna den konfiguration som ger den lägsta energin för ett fysikaliskt system. Den genetiska algoritmen är en metod man kan använda för att försöka nå detta mål. Idén har lånats från den biologiska evolutionsprocessen, där mutationer och arvet från föräldrarna som överförs till den nya generationen spelar en viktig roll. Lämpligheten ( fitness ) används som test för välja ut en genetisk struktur för kromosomen, som får representera individen. Metoden infördes av J.H. Holland (1975) och har utvecklats vidare av Goldberg (1989). Många varianter av den genetiska algoritmen har kommit till på senare tid, och går under det allmännare namnet evolutionära algoritmer ( biologisk naturvetenskap ). En översikt av evolutionär beräkning och artificiell intelligens har skrivits av David Fogel 1. 1 David B. Fogel: Evolutionary computation, IEEE Press Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
2 Evolutionära beräkningar har en lång historia. Att evolution är en inlärningsprocess insåg man redan på 1930 talet. Den matematiska biologen Nils Barricelli experimenterade år 1953 med artificiellt liv på en dator i Princeton genom att placera tal i ett nät och flytta på dem enligt vissa regler. Hans experiment påminde mycket om Game of Life, som introducerades av den brittiska matematikern John Conway år Senare utvecklade Michael Conrad evolutionära algoritmer för att simulera evolution av ekosystem. Friedberg och Fogel introducerade också redan på 1960 talet metoder att simulera evolution för att åstadkomma artificiell intelligens. Istället för att koda konfigurationerna som kromosomer, är det möjligt att variera kodningssättet, så att programmet i praktiken kodar sig självt. Detta sätt att direkt manipulera eller alstra optimala program som baserar sig på evolutionsidén kallas för genetisk programmering, och uppfanns av Fogel redan år Här skall vi bara nöja oss med att ge en kort introduktion till genetiska algoritmer utan några programexempel. För Matlab finns ett verktyg för genetiska algoritmer (The Genetic Algorithm Toolbox for MATLAB, Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
3 13.1. Kodning av genetiska algoritmer Vid konstruktionen av en genetisk algoritm försöker man följa en biologisk evolutionsprocess där man väljer den väg som leder till en optimal konfiguration av ett komplext system. Ett växelverkande flerkropparssystem kan man t.ex. bringa i jämvikt genom att överföra det till en konformation som representerar det globala minimet på potentialenergiytan. Det är alltså fråga om optimering, som kan beskrivas matematiskt så, att man uppsöker det globala minimet för en funktion av flera variabler g(r 1, r 2,..., r n ). Optimeringen kan också inkludera tvångsvillkor. Vi skall här nöja oss med att beskriva en binär version av den genetiska algoritmen, som följer en evolutionär process. Fördelen med en binär genetisk algoritm är att den är enkel, och uttrycker evolutionen med hjälp av binära kromosomer. I en binär algoritm, representeras varje variabelkonfiguration (r 1, r 2,..., r n ) av en binär sträng (talräcka). Denna räcka kan lagras i datorn som en heltalig talräcka, där varje element innehåller talet 1 eller 0, eller en räcka av logiska element, som innehåller en bit som är falsk (0) eller sann (1) (en gen ). Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
4 En genetisk algoritm kan uppdelas på flera steg. Vi börjar med att konstruera en ursprungspopulation av konfigurationer, som kallas för en genpool. Sedan väljer man några medlemmar av den, som får vara föräldrar och ge upphov till avkomma. Sättet att blanda föräldrarnas gener kallas korsning (crossover på engelska), och anger hur de genetiska egenskaperna går i arv. För att alstra äkta avkomma, delas föräldrakromosomerna i segment som utbyts och kombineras så att det bildas nya kromosomer för avkomman. Därefter låter man en viss procent av bitarna i kromosomerna att undergå mutation. Under hela processen används lämpligheten (fitness på engelska) av varje konfiguration baserad på kostnaden (dvs den funktion som skall optimeras) g(r 1, r 2,..., r n ) som kriterium för att välja föräldrar och sortera kromosomerna för nästa generation i genpoolen. I de tre viktigaste operationerna i varje generation (dvs urval, korsning och mutation) ser man till att de bästa konfigurationerna med de lägsta kostnaderna alltid överlever (går vidare). Den ursprungliga populationen för genpoolen väljs vanligen slumpmässigt. En sorteringsmetod används för att klassificera kromosomerna enligt deras lämplighet. Vid initialiseringen av genpoolen är valet av populationens storlek viktigt. Även om varje konfiguration representeras av en bestämd kromosom, så kommer ett bra val av populationens storlek att leda till optimering av simuleringens konvergenshastighet. Om populationen är alltför liten, kommer det att ta mera tid att sampla hela det möjliga konfigurationsrummet, men om populationen är för stor, kommer det att ta längre tid att konstruera nya generationer. En annan viktig sak är kvaliteten av den ursprungliga genpoolen. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
5 Om vi använder alla konfigurationer som alstras slumpmässigt, så kommer kvaliteten av genpoolen att vara låg, och det leder till att konvergensen blir långsam. Istället konstruerar man vanligen mera kromosomer i början än vad som behövs för att få fler valmöjligheter. Om vi t.ex. strävar efter en population av n g kromosomer i genpoolen, så kan vi slumpmässigt alstra ett större antal kromosomer (t.ex. 2n g stycken), och därav välja de n g kromosomer som har den minsta kostnaden. Vi måste koda varje konfiguration i en kromosom och också beräkna den motsvarande kostnaden. Sedan vi beräknat kostnaderna för alla konfigurationer, rangordnar vi dem efter hur bra de är enligt ett sorteringsschema. Eftersom vi vill notera rangordningen och använda den för att numrera kromosomerna på nytt, så måste vi ge dem ett rankningsindex i sorteringsprocessen. Vi skall nu beskriva, hur en konfiguration kan kodas. Emedan vi vill simulera den genetiska processen så noggrant som möjligt, så måste vi konvertera varje konfiguration (r 1, r 2,..., r n ) till en kromosom. Vi antar att variablerna r i hör till intervallet [0, 1], dvs 0 r i 1 för i = 1, 2,..., n. Vi kan koda en godtycklig variabel inom intervallet [0, 1] som en binär sträng, där varje bit antingen har ett sant eller ett falskt värde. Om den k:te biten är sann, så ingår bråktalet 1/2 k i variabeln. Den kan då uttryckas i formen r i = y i1 2 + y i2 4 + y i = X j=1 y ij 2 j, där y ij är ett heltal som antingen är 0 eller 1. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
6 mx Vi kan avkorta den binära strängvariabeln vid en viss siffra m, vars värde beror på hur noggrant vi önskar y ij uttrycka r i, Vi får då (approximativt) r i 2. Om t.ex. r j i = 0.93, så får vi y i1 = y i2 = y i3 = 1 j=1 och y i4 = 0, och om r i = , så har vi y i1 = y i3 = 1 och y i2 = y i4 = 0, om m = 4. Det största felet i r i som uppstår på detta sätt är ±1/2 m+1. Processen varigenom y ij alstras, kallas kodning och uttryckas genom formeln: y ij = int j 1 r i Xj 1 k=1 3 5 (2 j k 1 y ik ), j = 2, 3,..., m Vi antar att int-operationen kommer att avrunda värdet som som står innanför klammeruttrycket till det närmaste heltalet (antingen 0 eller 1), för i = 1, 2,..., n. Observera, att y i1 = int[r i ]. Kodningen är en process, som uttrycker r i i form av en binär räcka där varje element innehåller en bit som är sann eller falsk, och motsvarar ett heltal 0 eller 1. Denna binära räcka y ij, j = 1, 2,..., m kallas för kromosomens i:te gen. Kromosomen är en binär representation för hela räckan (r 1, r 2,..., r n ). Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
7 Den omvända proceduren är också nödvändig då vi vill använda konfigurationsinformationen vid beräkningen av kostnadsfunktionen eller skriva ut de slutliga konfigurationerna. För att avkoda en kromosom används den approximativa formeln för r i. Om vi t.ex. har en kromosom w = [ ] och m = 10, så är den motsvarande variabelns värde r Observera, att osäkerheten i r 1 bestäms här av valet av m, som beräknas ur ±1/2 m+1 ± i detta fall. Avkodningen är lätt att programmera. Kodningsprceduren kan nu användas för att alstra en ursprungspopulation som sorteras med kostnadsfunktionen. Därpå kan vi klara av de tre viktigaste operationerna, urval, korsning och mutation. Vi måste kunna välja en bråkdel av kromosomerna från den givna genpoolen för att kunna överföra generna. Därigenom simuleras den naturliga reproduktionsprocessen. Enligt Darwin är det sannolikast att de kromosomer som överlever har den lägre kostnaden. Man har utvecklat olika metoder som följer denna princip för att välja föräldrarna. Enklast är att välja ut den bästa hälften av kromosomerna från hela populationen utgående från kostnaderna. Sedan kan man slumpmässigt välja det ena paret efter det andra från föräldrapoolen för att alstra avkomma. En annan möjlighet är att välja en kromosom från hela populationen med en sannolikhet som baserar sig på en tillordnad vikt antingen beroende på dess kostnadsrankning eller på den relativa kostnaden. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
8 Den populäraste metoden är att ordna turneringar, där två eller flere deltagare väljs slumpmässigt, och vinnaren är den som har den bästa (lägsta) kostnaden. Observera, att varje medlem av poolen får delta, men endast i en match. Hälften av kromosomerna i poolen (n r = n g /2) väljs till föräldrar utan fördubbling. Denna metod leder till att den bästa kromosomen stannar kvar, och den sämsta elimineras. Några andra turneringsmetoder tillåter fördubblingar. Man kan t.ex. få två kopior av den bästa kromosomen genom att låta varje kromosom delta i två matcher. Man brukar också blanda om indexen före matcherna, så att deltagarna väljs ut slumpmässigt med lika stor sannolikhet. Alstrandet av genpooler har hittills baserat sig på slumpmässigt valda bitar, och därefter har vissa gener utsetts till föräldrar. Nästa steg är att hitta på ett sätt att utforska kostnadsytan. Det finns två operationer i den genetiska algoritmen, som kan behandla hela variabelrummet. Den ena operationen kallas crossover (överkorsning), som efterliknar den naturliga reproduktionsprocesssen. Vi kan välja ett par föräldrar ur föräldrapoolen, dela varje föräldrakromosom i två segment vid en viss punkt, och sedan förena den ena förälderns högra segment med den andra förälderns vänstra segment, och tvärtom. På detta sätt alstras två nya kromosomer för avkomman. Om t.ex. de två föräldrakromosomerna är w 1 = { } och w 2 = { }, så är de två kromosomerna för avkomman w 3 = { } och w 4 = { }, om korsningspunkten väljs i mitten av kromosomerna. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
9 Överkorsning är ett av de effektivaste sätten att utforska kostnadsytan för alla de tänkbara konformationerna. Vi har beskrivit ett schema med endast en korsningspunkt, men det finns också andra metoder, där man använder flere delningspunkter. Observera, att vi har varje gång parat ihop två medlemmmar från föräldrapoolen för att alstra två ättlingar genom korsningsmetoden. Vi kan också välja föräldrarna på annat sätt från poolen. Sedan vi avslutat reproduktionen av n r = n g /2 ättlingar, måste vi ordna på nytt alla kromosomer, både föräldrar och avkomma, i ökande kostnadsordning. Detta är nödvändigt för att förbereda genpoolen för mutationer, som vi härnäst skall studera. Ett annat sätt att utforska kostnadsytan i den genetiska algoritmen är att använda mutationsprocessen. Detta sker genom slumpmässig omkastning av bitarna i slumpmässigt valda kromosomer, varvid man väljer ett slumptal, som anger positionen för den bit i kromosomen som skall bytas ut. Det finns två saker att beakta vid mutation. Den ena är hur stor del av bitarna i hela genpoolen som skall muteras i varje generation. Ofta väljer man omkring 1 % av bitarna slumpmässigt för mutation (0 1 och 1 0). Ju flere bitar som väljs, desto större blir fluktuationen. Men om en större bråkdel av bitarna muteras kan kostnadsytan utforskas snabbare, vilket kan betyda att den lägsta kostnaden förbigås i denna process. Därför måste man experimentera med olika mutationsprocenter för en given kostnadsfunktion för att kunna finna en kompromiss som tillåter oss att utforska kostnadsytan tillräckligt snabbt utan att förbigå den bästa kostnadskonfigurationen. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
10 En annan viktig sak är antalet konfigurationer, som vi önskar att skall vara opåverkade av mutation. I alla mutationsmetoder förblir den bästa kromosomen alltid oförändrad. Men vi kanske också vill låta några av de nästbästa kromosomerna vara oförändrade. Detta gör utforskningen av kostnadsytan långsammare vid mutation, men det ökar konvergenshastigheten, eftersom konfigurationerna redan kan innehålla en stor andel utmärkta gener i sina kromosomer. I praktiken måste vi experimentera för att finna den lämpligaste bråkdelen bitar som skall muteras i ett bestämt problem. Schematiskt skulle man kunna beskriva en genetisk algoritm på följande sätt: 1) Initialisera populationen {r i, i = 1, 2,..., n}. 2) Beräkna kostnadsfunktionens värden g(r 1, r 2,..., r n ). 3) Korsa två utvalda kromosomer: r i, r j r. 4) Mutera r r. 5) Beräkna kostnadsfunktionens värde g(r ) för den nya kromosomen. 6) Spara kromosomen r i den nya populationen. 7) Avsluta om lösningen är bra; upprepa annars proceduren. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
11 13.2. Thomsons problem Som en tillämpning skall vi studera Thomsons problem, som introducerades av J.J. Thomson år 1904 då han utvecklade sin plumpudding-modell för atomen. Problemet som gällde hur man kan finna grundtillståndet för ett antal klassiska elektroner på ytan av en sfär, kan också formuleras allmännare så att man söker den laddningskonfiguration som minimerar den elektrostatiska energin under ett antaget jämviktsvillkor. Man kan t.ex. visa att varje ledare i ett system bildar en ekvipotentialyta om laddningen på varje ledare är konstant och den totala elektrostatiska energin minimeras. Emellertid uppstår det problem om man försöker bestämma jämviktskonfigurationen för ett större antal diskreta laddningar, t.ex. den stabila geometrin för n c identiska punktladdningar på ytan av en enhetssfär (Thomsons problem). Problemet är komplext på grund av dess olinjära egenskaper och det stora antalet låga energinivåer. Exakta lösningar känner man endast i vissa fall. Vi kan t.ex. visa, att laddningarna kommer att täcka hela ytan likformigt då n c, och att vissa symmetriska konfigurationer leder till stabila konfigurationer för små värden av n c. För n c = 3 får man t.ex. en liksidig triangel, för n c = 4 en tetraeder, för n c = 8 ett sammantryckt kubiskt antiprisma etc. Ju större n c blir, desto svårare blir problemet. Då n c är 200, blir antalet lågtliggande energinivåer omkring Problemet anses fortfarande vara olöst för stora värden av n c. De bästa resultaten för n c 200 har erhållits med en genetisk algoritm 2. 2 J.R. Morris, D.M. Deaven, och K.M. Ho, Phys. Rev. B, 53 (1996) R1740. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
12 Matematiskt kan man uttrycka Thomsons problem så, att man söker efter den konfiguration som minimerar den elektrostatiska energin X U = q2 nc 1 4πɛ 0 r i r j, i>j=1 om laddningen q på varje partikel är konstant, ɛ 0 är den elektriska permittiviteten i vakuum, och r i är den i:te laddningens positionsvektor. Eftersom alla laddningarna begränsas till ytan av en sfär, så är r i = 1. För enkelhetens skull brukar man sätta q 2 /4πɛ 0 = 1. Om de kartesiska koordinaterna uttrycks i sfäriska koordinater, fås x i = sin θ i cos φ i y i = sin θ i cos φ i z i = cos θ i (r i = 1). I den genetiska algoritmen kommer givetvis kostnadsfunktionen att motsvaras av den elektrostatiska energin. Thomsonproblemet är intressant, eftersom antalet lågtliggande exciterade tillstånd växer exponentiellt med antalet laddningar. Å andra sidan vet vi att lösningen är den konfiguration, som sprider ut laddningarna så likformigt som möjligt, laddningarna försöker att undvika varandra så mycket som möjligt, men emedan de är begränsade till en ändlig yta leder det till en kompromiss. En Java applet för att lösa problemet med olika metoder finns här: Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
13 Morris beskriver den genetiska algoritmen som användes i den nämnda artikeln på följande sätt. Utgående från ett litet antal initiala geometrier konstruerades ett antal strukturer, som härleder sina egenskaper från två av de ursprungliga geometrierna. Av denna population utvaldes de strukturer som hade de lägsta energierna (dvs de bästa strukturerna) och fick ersätta de ursprungliga geometrierna. Genom upprepning av denna procedur erhölls strukturer med lägre energi. I allmänhet kan man också använda andra sökkriterier som beaktas på så sätt, att man först konstruerar en lämplighetsfunktion, som avspeglar de olika kriterierna, och därpå optimerar denna funktion med en urvalsprincip. En av svårigheterna är att energiberäkningar tar tid, speciellt om man använder noggranna strukturmodeller. I stället för arbeta med genetiska sekvenser, vilket är ineffektivt då man vill studera strukturer, arbetade Morris direkt med själva strukturerna. En ny struktur genererades från två slumpmässigt valda hälfter av föräldrastrukturer, under antagandet att antalet partiklar bevarades. Varje struktur underkastades därpå relaxation. På detta sätt kunde man alstra nya strukturer som bevarade föräldrastrukturernas viktigaste egenskaper, och kunde ändå utforska olika lokala minimer på funktionsytan. Vid beräkningen alstrades först fyra slumpmässiga geometrier. Med hjälp av alla de möjliga paren av initialgeometrier konstruerades därpå 16 nya strukturer, och av dessa 20 strukturer valdes de fyra bästa kandidaterna ut under antagandet att ingen struktur får dominera hela populationen. På detta sätt kunde man finna strukturer ända upp till n c = 200. Liknande metoder har också använts på mera realistiska atommodeller, såsom Lennard-Jones potentialmodeller och atomkluster. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
Grundläggande Idéer Algoritmens komponenter Numerisk optimering Genetisk Programmering. Genetiska Algoritmer
Genetiska Algoritmer 1 Grundläggande Idéer 2 3 4 Exempel Parallell optimering inspirerad av biologisk evolution Parallell optimering inspirerad av biologisk evolution Population av hypoteser Urvalprocess
Läs merGenetiska algoritmer. Henrik Hansson (hhn00001@student.mdh.se) Rapport, CDT212 Mälardalens Högskola
Genetiska algoritmer Henrik Hansson (hhn00001@student.mdh.se) Rapport, CDT212 Mälardalens Högskola 1 Sammanfattning Genetiska algoritmer har rötter i 60-talet och efterliknar evolutionsteorin på så sätt
Läs merGenetisk programmering i Othello
LINKÖPINGS UNIVERSITET Första versionen Fördjupningsuppgift i kursen 729G11 2009-10-09 Genetisk programmering i Othello Kerstin Johansson kerjo104@student.liu.se Innehållsförteckning 1. Inledning... 1
Läs merRegression med Genetiska Algoritmer
Regression med Genetiska Algoritmer Projektarbete, Artificiell intelligens, 729G43 Jimmy Eriksson, jimer336 770529-5991 2014 Inledning Hur många kramar finns det i världen givet? Att kunna estimera givet
Läs merSymboler och abstrakta system
Symboler och abstrakta system Warwick Tucker Matematiska institutionen Uppsala universitet warwick@math.uu.se Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 1 Vad är ett komplext system?
Läs merGenetiska Algoritmer. 10 mars 2014
Genetiska Algoritmer Johan Sandberg Jsg11008@student.mdh.se 10 mars 2014 Niklas Strömberg Nsg11001@student.mdh.se 1 SAMMANFATTNING Genetiska algoritmer är en sorts sökalgoritm som är till för att söka
Läs merHKGBB0, Artificiell intelligens
HKGBB0, Artificiell intelligens Kortfattade lösningsförslag till tentan 3 november 2005 Arne Jönsson 1. Vad karaktäriserar dagens AI-forskning jämfört med den AI-forskning som bedrevs perioden 1960-1985.
Läs mergenetiska algoritmer
Introduktion till genetiska algoritmer CT3620 Vetenskapsmetodik 2005-10-21 Ylva egerfeldt ydt01001@student.mdh.se SAMMANFATTNING enna rapport är tänkt som en introduktion till genetiska algoritmer. Först
Läs merGenetiska algoritmer
GA Genetiska algoritmer Warwick Tucker Matematiska institutionen Uppsala universitet warwick@math.uu.se 1 Reseproblem Reseproblem Du önskar att resa inom Europa genom att besöka London, Paris, Rom, Stockholm
Läs merBeräkningsvetenskap introduktion. Beräkningsvetenskap I
Beräkningsvetenskap introduktion Beräkningsvetenskap I Kursens mål För godkänt betyg ska studenten kunna redogöra för de grundläggande begreppen algoritm, numerisk metod, diskretisering maskinepsilon,
Läs merGenetiska Algoritmer
Linköpings Universitet Intutionen för datavetenskap Artificiell Intelligens HKGBB0 HT-2003, oktober Genetiska Algoritmer Som problemlösning Anna Skoglund annsk334@student.liu.se 0 Abstract Genetiska algoritmer
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs merBeräkningsvetenskap introduktion. Beräkningsvetenskap I
Beräkningsvetenskap introduktion Beräkningsvetenskap I Kursens mål För godkänt betyg ska studenten kunna redogöra för de nyckelbegreppen som ingår i kursen* utföra enklare analys av beräkningsproblem och
Läs merBeräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi
Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,
Läs merStokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet
Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som
Läs merFöreläsninsanteckningar till föreläsning 3: Entropi
Föreläsninsanteckningar till föreläsning 3: Entropi Johan Håstad, transkriberat av Pehr Söderman 2006-01-20 1 Entropi Entropi är, inom kryptografin, ett mått på informationsinnehållet i en slumpvariabel.
Läs merMångfald inom en art. Genotyp. Genpool. Olika populationer. Fig En art definieras som
Mångfald inom en art Population och art. Vad är skillnaden? Vad är en art? Genetisk variation Genetiskt olika populationer Tillämpningar av genetisk variation Etiska problem En art En art definieras som
Läs merMångfald inom en art. Genotyp. Genpool. Olika populationer. Fig En art definieras som
Mångfald inom en art Population och art. Vad är skillnaden? Vad är en art? Genetisk variation Genetiskt olika populationer Tillämpningar av genetisk variation Etiska problem En art En art definieras som
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs merLAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning
TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merFK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00
FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med
Läs merHjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0
LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift
Läs merKomponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska
Matlab-föreläsning 3 (4), 17 september, 2015 Innehåll Sekvenser (från förra föreläsningen) Upprepning med for-slingor och while-slingor Villkorssatser med if - then -else - Logik Sekvenser - repetion från
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merTekniska beräkningar. Vad är tekn beräkningar? Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi. Informationsteknologi
Tekniska beräkningar stefan@it.uu.se Vad är tekn beräkningar? Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska
Läs merAnalys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken
Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen
Läs merGenetiska algoritmer. vem raggar på vem? Petter Bergqvist, kogvet 2
Genetiska algoritmer vem raggar på vem?, kogvet 2 petbe082@student.liu.se petbe082@student.liu.se 2(13) Jag har valt att skriva om genetiska algoritmer för att jag finner metoden ytterst intressant, att
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merKontrollera att följande punkter är uppfyllda innan rapporten lämnas in: Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan)
Statistiska institutionen VT 2012 Inlämningsuppgift 1 Statistisk teori med tillämpningar Instruktioner Ett av problemen A, B eller C tilldelas gruppen vid första övningstillfället. Rapporten ska lämnas
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merSpeciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merRealism och anti-realism och andra problem
Realism och anti-realism och andra problem Vetenskap och verkligheten Vetenskapen bör beskriva verkligheten. Men vad är verkligheten? Är det vi tycker oss se av verkligheten verkligen vad verkligheten
Läs mer4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella
KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.
Läs merSammanfattning av föreläsning 11. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 12. Simulering. Föreläsning 12. Numeriska metoder och Simulering
Sammanfattning av föreläsning 11 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 12. Simulering Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Index för en DAE Antalet derivationer som behövs för att lösa ut ż
Läs merFöreläsning 8: Aritmetik och stora heltal
2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 8: Aritmetik och stora heltal Datum: 2006-11-06 Skribent(er): Elias Freider och Ulf Lundström Föreläsare: Per Austrin Den här föreläsningen
Läs merFaktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen
Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar Lars Engebretsen 003-11-18 Bakgrund Vanliga datorer styrs av klassiska fysikens lagar. Vanliga datorer kan simuleras av turingmaskiner i polynomisk tid. Kanske
Läs merLösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna
Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs mera n β n + a n 1 β n a 0 + a 1 β 1 + a 2 β , x = r β e ; 0.1 r < 1; e = heltal.
De iakttagna fenomenen beror på avrundningsfel, och vi skall därför studera talframställningen i datorer. Vid beräkningar för hand är det vanligt att man uttrycker tal i tiopotensframställningen, men i
Läs merTANA81: Simuleringar med Matlab
TANA81: Simuleringar med Matlab - Textsträngar och Texthantering. - Utskrifter till fil eller skärm. - Exempel: Slumptal och Simulering. - Exempel: Rörelseekvationerna. - Vanliga matematiska problem. Typeset
Läs merInledande matematik för I1. MVE011 läsperiod Matlab vecka 2 övningsuppgifter
Inledande matematik för I1 MVE011 läsperiod 1 010 Matlab vecka övningsuppgifter Linjära ekvationssystem Matlab har många kraftfulla redskap för att hantera matriser och därmed också linjära ekvationssystem.
Läs merMatematik. Kursprov, vårterminen Bedömningsanvisningar. för samtliga skriftliga provdelar
Kursprov, vårterminen 2012 Matematik Bedömningsanvisningar för samtliga skriftliga provdelar 1a Prov som återanvänds omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Detta prov
Läs merMatematik. Kursprov, vårterminen Bedömningsanvisningar. för samtliga skriftliga provdelar
Kursprov, vårterminen 2012 Matematik Bedömningsanvisningar för samtliga skriftliga provdelar 1b Prov som återanvänds omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Detta prov
Läs mer7 november 2014 Sida 1 / 21
TANA09 Föreläsning 2 Talrepresentation i datorer. Flyttalssystem. Datoraritmetik och Beräkningsfel. Beräkningsfelsanalys och Kancellation. Serier och Resttermsuppskattningar. Tillämpning - Beräkning av
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merGrundläggande programmering med matematikdidaktisk inriktning för lärare som undervisar i gy eller komvux gy nivå, 7,5 hp
Grundläggande programmering med matematikdidaktisk inriktning för lärare som undervisar i gy eller komvux gy nivå, 7,5 hp Dag Wedelin, bitr professor, och K V S Prasad, docent Institutionen för data- och
Läs merAlla datorprogram har en sak gemensam; alla processerar indata för att producera något slags resultat, utdata.
Att förstå variabler Alla datorprogram har en sak gemensam; alla processerar indata för att producera något slags resultat, utdata. Vad är en variabel? En variabel är en plats att lagra information. Precis
Läs merKommer sig osäkerheten av att vår beskrivning av naturen är ofullständig, eller av att den fysiska verkligheten är genuint obestämd?
Inte mycket verkar säkert här...? Våg-partikeldualitet Ett system kan ha både vågoch partikelegenskaper i samma experiment. Vågfunktionen har en sannolikhetstolkning. Heisenbergs osäkerhetsrelation begränsar
Läs merInstuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7
Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor
Läs merMS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I
MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober
Läs merFörsta sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan) Alla frågor som nns i uppgiftstexten är besvarade
HT 2011 Inlämningsuppgift 1 Statistisk teori med tillämpningar Instruktioner Ett av problemen A, B eller C tilldelas gruppen vid första övningstillfället. Rapporten ska lämnas in senast 29/9 kl 16.30.
Läs merExperimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband
Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Per Lötstedt, tel. 47 2986 Saleh Rezaeiravesh Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 206-0-4 Skrivtid: 4 00 7 00 (OBS!
Läs merLogik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra
Logik F4 Logik Boolesk algebra EDAA05 Roger Henriksson Jonas Wisbrant Konsten att, och vetenskapen om, att resonera och dra slutsatser. Vad behövs för att man ska kunna dra en slutsats? Hur kan man dra
Läs mer1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1
Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens
Läs merExplorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merLinköpings Tekniska Högskola Instutitionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson, Erik Nilsson Lab 2: Underprogram
Mål Lab 2: Underprogram Följande laboration introducerar underprogram; procedurer, funktioner och operatorer. I denna laboration kommer du att lära dig: Hur man skriver underprogram och hur dessa anropas.
Läs merEvolution. Hur arter uppstår, lever och försvinner
Evolution Hur arter uppstår, lever och försvinner Aristoteles 384-322 f.kr Idéhistoria Carl von Linné 1707-1778 Georges de Buffon 1707-1788 Jean Babtiste Lamarck 1744-1829 Idéhistoria Cuvier Malthus Lyell
Läs merMonte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo
Monte Carlo-metoder 0 Målen för föreläsningen På datorn Bild från Monte Carlo http://en.wikipedia.org/wiki/file:real_monte_carlo_casino.jpg 1 Begrepp En stokastisk metod ger olika resultat vid upprepning
Läs merProgrammeringsuppgift Game of Life
CTH/GU STUDIO TMV06a - 0/0 Matematiska vetenskaper Programmeringsuppgift Game of Life Analys och Linär Algebra, del A, K/Kf/Bt Inledning En cellulär automat är en dynamisk metod som beskriver hur komplicerade
Läs merEkvivalensrelationer
Abstrakt datatyp för disjunkta mängder Vi skall presentera en abstrakt datatyp för att representera disjunkta mängder Kan bl.a. användas för att lösa ekvivalensproblemet avgör om två godtyckliga element
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merEvolution. Hur arter uppstår, lever och försvinner
Evolution Hur arter uppstår, lever och försvinner Aristoteles 384-322 f.kr Idéhistoria Carl von Linné 1707-1778 Georges de Buffon 1707-1788 Jean Babtiste Lamarck 1744-1829 De fem rikena Växter Djur Svampar
Läs merAnders Logg. Människor och matematik läsebok för nyfikna 95
Anders Logg Slutsatsen är att vi visserligen inte kan beräkna lösningen till en differentialekvation exakt, men att detta inte spelar någon roll eftersom vi kan beräkna lösningen med precis den noggrannhet
Läs merInnehåll. Förord...11. Del 1 Inledning och Bakgrund. Del 2 Teorin om Allt en Ny modell: GET. GrundEnergiTeorin
Innehåll Förord...11 Del 1 Inledning och Bakgrund 1.01 Vem var Martinus?... 17 1.02 Martinus och naturvetenskapen...18 1.03 Martinus världsbild skulle inte kunna förstås utan naturvetenskapen och tvärtom.......................
Läs merDIGITALA TAL OCH BOOLESK ALGEBRA
DIGITALA TAL OCH BOOLESK ALGEBRA Innehåll Talsystem och koder Aritmetik för inära tal Grundläggande logiska operationer Logiska grindar Definitioner i Boolesk algera Räknelagar BINÄRA TALSYSTEMET Binärt
Läs merGenJam En musikalisk genetisk algoritm?
GenJam En musikalisk genetisk algoritm? Kognitionsvetenskapliga programmet Abstract GenJam är en modell av en jazzmusiker som lär sig att improvisera. Det är en interaktiv genetisk algoritm som interagerar
Läs merDigital- och datorteknik
Digital- och datorteknik Föreläsning #3 Biträdande professor Jan Jonsson Institutionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Logikgrindar Från data till digitala byggblock: Kursens
Läs merIT OCH PROGRAMMERING I SKOLAN. Jan Erik Moström Peter Vinnervik
IT OCH PROGRAMMERING I SKOLAN Jan Erik Moström Peter Vinnervik VILKA ÄR VI OCH VAD KOMMER VI ATT PRATA OM? Jan Erik Moström - undervisar på institutionen för datavetenskap Peter Vinnervik - doktorand vid
Läs merDigitalitet. Kontinuerlig. Direkt proportionerlig mot källan. Ex. sprittermometer. Elektrisk signal som representerar ljud.
Analog Digitalitet Kontinuerlig Direkt proportionerlig mot källan Ex. sprittermometer Elektrisk signal som representerar ljud Diskret Digital Representation som siffror/symboler Ex. CD-skiva Varje siffra
Läs merFlervariabelanalys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Matematiska Vetenskaper 28 september 2012 3 Multipelintegraler 3.1 ubbelintegraler I detta kapitel skall vi studera olika sätt på vilket man kan
Läs merAD-DA-omvandlare. Mätteknik. Ville Jalkanen. ville.jalkanen@tfe.umu.se 1
AD-DA-omvandlare Mätteknik Ville Jalkanen ville.jalkanen@tfe.umu.se Inledning Analog-digital (AD)-omvandling Digital-analog (DA)-omvandling Varför AD-omvandling? analog, tidskontinuerlig signal Givare/
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-06-01 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merFöreläsning 2. Variabler, tilldelning och kodblock{} if-satsen Logiska operatorer Andra operatorer Att programmera
Föreläsning 2 Variabler, tilldelning och kodblock if-satsen Logiska operatorer Andra operatorer Att programmera Variabler Det är i variabler som all data (information) lagras. Genom att ändra värde på
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merFaktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen
Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar Lars Engebretsen 00-1-03 Lars Engebretsen 00-1-03 Bakgrund Vanliga datorer styrs av klassiska fysikens lagar. Vanliga datorer kan simuleras av turingmaskiner
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merKombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av
Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merBose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin
Bose-Einsteinkondensation Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin 3 mars, 009 Inledning Denna laboration går ut på att studera Bose-Einsteinkondensation för bosoner i en tredimensionell harmonisk-oscillatorpotential.
Läs merTATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form
TATA4: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form Johan Thim 9 mars 9 Lagranges form för resttermen Vi har tidigare använt resttermen på ordo-form med goda resultat. Oftast i samband med gränsvärden, extrempunktsundersökningar
Läs merIteration while-satsen
Datatypen double TDA143 I1 Programmerade system Föreläsning 3 (OH-bilder 3) Iteration while-satsen Christer Carlsson I en dator kan man inte lagra hur stora eller hur små tal som helst. De enkla datatyperna,
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 12 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 10 december 2015 Anton Grensjö ADK Övning 12 10 december 2015 1 / 19 Idag Idag Komplexitetsklasser Blandade uppgifter
Läs mer4.3. Programmering i MATLAB
4.3. Programmering i MATLAB MATLAB används ofta interaktivt, dvs ett kommando som man skriver, kommer genast att utföras, och resultatet visas. Men MATLAB kan också utföra kommandon som lagrats i filer,
Läs mer6. Ge korta beskrivningar av följande begrepp a) texteditor b) kompilator c) länkare d) interpretator e) korskompilator f) formatterare ( pretty-print
Datalogi I, grundkurs med Java 10p, 2D4112, 2002-2003 Exempel på tentafrågor på boken Lunell: Datalogi-begreppen och tekniken Obs! Andra frågor än dessa kan komma på tentan! 1. Konvertera talet 186 till
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merUppgift 1 (grundläggande konstruktioner)
Uppgift 1 (grundläggande konstruktioner) a) Skriv ett program som låter användaren mata in 7 heltal och som gör utskrifter enligt nedanstående körexempel. Mata in 7 heltal: 1 0 0 3 1 1 1 Tal nr 2 var en
Läs merOptimala koder. Övre gräns för optimala koder. Gränser. Övre gräns för optimala koder, forts.
Datakompression fö 3 p.3 Datakompression fö 3 p.4 Optimala koder Övre gräns för optimala koder En prefixkod kallas optimal om det inte existerar någon annan kod (för samma alfabet och sannolikhetsfördelning)
Läs merMatematik. Kursprov, vårterminen Bedömningsanvisningar. för samtliga skriftliga provdelar
Kursprov, vårterminen 2012 Matematik Bedömningsanvisningar för samtliga skriftliga provdelar 1c Prov som återanvänds omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Detta prov
Läs merOptimala koder. Det existerar förstås flera koder som har samma kodordsmedellängd. Enklaste fallet är att bara byta 0:or mot 1:or.
Datakompression fö 3 p.1 Optimala koder En prefixkod kallas optimal om det inte existerar någon annan kod (för samma alfabet och sannolikhetsfördelning) som har lägre kodordsmedellängd. Det existerar förstås
Läs merIntroduktion till programmering SMD180. Föreläsning 9: Tupler
Introduktion till programmering Föreläsning 9: Tupler 1 1 Sammansatta datatyper Strängar Sekvenser av tecken Icke muterbara Syntax: "abcde" Listor Sekvenser av vad som helst Muterbara Syntax: [1, 2, 3]
Läs merEtt urval D/A- och A/D-omvandlare
Ett urval D/A- och A/D-omvandlare Om man vill ansluta en mikrodator (eller annan digital krets) till sensorer och givare så är det inga problem så länge givarna själva är digitala. Strömbrytare, reläer
Läs mer