Det globala positioneringssystemet GPS så fungerar det. ett arbete inom kursen Vetenskapsmetodik för teknikområdet på Mälardalens högskola
|
|
- Christian Lundqvist
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Det globala positioneringssystemet GPS så fungerar det ett arbete inom kursen Vetenskapsmetodik för teknikområdet på Mälardalens högskola Utfört av: Johan Nilsson, mekatronikprogrammet, åk 4, Ansvarig lärare: Gordana Dodig-Crnkovic Lärarstaben: Jan Gustafsson, Birgitta Bergsten, Ylva Bäcklund, Hillevi Gavel, Tord Heljeberg, Sten Lindstam Datum: 21 oktober 2005
2 Omslagsfoto: Uppskjutning av Boeings Delta II-raket, innehållande en GPS-satellit av typen IIR november [BOEING] 2
3 SAMMANFATTNING Det globala positioneringssystemet - GPS är i dag en mogen teknik som hjälper människan med positionering, bestämning av hastigheter och kartläggning av markområden. Det finns ett stort antal applikationer till denna teknik. Positionsbestämning med GPS bygger på att avståndet mellan satellit och mottagare kan bestämmas. En satellit skickar ut radiosignaler. Genom att bestämma tiden det tar för signalen att nå mottagaren, så kan avståndet beräknas eftersom signalens hastighet är känd. Satellitens position är hela tiden känd. För att kunna bestämma en position, krävs det att minst fyra satelliter är synliga. Fyra avstånd ringar in en mottagare på önskat sätt. Både satelliter och GPS-mottagare har varsin klocka. Satellitens klocka är ett mycket exakt atomur. I signalen finns data om när signalen lämnade satelliten. När signalen når mottagaren, används mottagarens klocka för att bestämma tiden för mottagandet. Tiden för signalens färd kan nu räknas ut om klockorna är synkroniserade. En alternativ till GPS är att använda GSM-systemet för att positionera sig. Här är satelliterna ersatta av telemaster. Fördelen med GSM-positionering är att den även fungerar under tak. En GPS-mottagare måste ha fri sikt mot himlen. En nackdel är den dåliga täckningen. Ofta finns det inte tillräckligt med master i närheten för att positionen ska kunna beräknas.
4 INNEHÅLLSFÖRTECKNING SAMMANFATTNING... 3 INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 4 INLEDNING... 5 HISTORIA... 6 DET GLOBALA POSITIONERINGSSYSTEMET GPS... 7 Allmänt... 7 Systemet... 7 Navigering... 8 Funktion... 8 Den fjärde dimensionen, tiden ALTERNATIV TEKNIK SLUTSATSER TERMER REFERENSER KÄLLOR BILAGA A - TYPER AV SATELLITER
5 INLEDNING Jägarna, sjöfararna och krigarna, är några exempel på grupper som alltid har varit beroende av att hitta i sin omgivning. Kunskapen om hur landet såg ut och hur man hittade hem har varit livsavgörande. I dagens samhälle kan den moderna positioneringstekniken förutom att hjälpa oss och öka säkerheten, även roa och förenkla livet. Utvecklingen av det högteknologiska globala positioneringssystemet GPS, började 1973, på uppdrag av den amerikanska militären. Det består av ca 24 satelliter och ett antal markstationer. Nya satelliter ansluter till systemet innan de gamla tjänat ut. Syftet med denna rapport är att beskriva hur GPS fungerar. Målet är att intresserade på ett enkelt sätt ska kunna förstå grundprincipen för hur tekniken fungerar. Rapporten börjar med historik, och fortsätter med systemets uppbyggnad. Därefter visas hur positioneringen går till. Som avslutning jämförs denna teknik med GSM-positionering. I bilaga A finns intressant information om de olika typerna av satelliter som skickats upp, och när det skedde. Arbetet är baserat på inhämtning av information från en bok, artiklar och internetsidor. Ord som är kursiva finns med under rubriken Termer, där ordet förklaras. 5
6 HISTORIA I alla tider har det varit viktigt för människan att veta var hon befinner sig, att hitta i sin miljö och att kunna hitta hem igen om hon reste iväg till nya trakter. Tidiga hjälpmedel för att lokalisera sig var fasta referenser i miljön, t.ex. träd, vattendrag och stenar. På himlen fanns nattetid månen, stjärnorna och våra planeter. Senare kom kartan och kompassen. Det blev lantmätarnas uppgift att bestämma landgränser och ta fram kartor över omgivningen. Triangelmätning (eng. triangulation) var en tidig metod för att bestämma ett objekts placering i landskapet och på så sätt bygga upp kartor. Triangelmätning kan gå till på olika sätt, och ett exempel ges här. Målet är att man ska bestämma avståndet till en punkt genom att räkna fram en triangels sida. Två vinklar mäter man sig fram till med något lämpligt verktyg för vinkelmätning. α x β Fyrkanten är den sökta positionen. De två cirklarnas positioner är kända, därför är längden på triangelns bas känd. De två vinklarna α och β mäter man sig fram till och därefter kan man räkna fram avståndet x. Nackdelen med triangelmätning är att det krävs en siktlinje. Ofta var träd och berg i vägen. Sextanten var ett instrument som användes för att mäta vinkeln mellan två objekt på olika höjd (t.ex. solen och horisonten), där den tredje punkten var observatören. I trianglarna som mättes, ingick generellt s.k. fixstjärnor. Kontinenternas inbördes relation förblev dock dåligt kända. De första mer noggranna försöken att bestämma kontinenternas inbördes placering, skedde när den ryska satelliten Sputnik sköts upp I början av satelliternas era, användes en optisk metod baserad på stjärn-triangelmätning. Metoden utvecklades i Finland Se [HOFMANN 01a] för en utförligare beskrivning. Den närmaste föregångaren till dagens GPS är NNSS; the Navy Navigation Satellite System, även kallat TRANSIT-systemet. Systemet bestod av sex satelliter och utvecklades av den amerikanska militären, i syfte att positionera fartyg och flygplan. Systemet hade dock två nackdelar; täckningen och noggrannheten var dålig. GPS däremot kan snabbt, exakt och kontinuerligt, svara på frågorna om tid, position och hastighet. Detta dygnet runt och överallt på jorden. Direktiven om att starta detta projekt kom från amerikanska försvarsdepartementet Ansvaret för genomförandet låg på the Joint Program Office (JPO), som är en del av rymdcentret i Kalifornien. 6
7 Det globala positioneringssystemet GPS Allmänt Syftet med det globala positioneringssystemet GPS, var från början att bestämma position och hastighet för objekt på jorden eller i dess närhet. Ganska snart utvecklades metoder för att med hjälp av systemet mäta och kartlägga markområden. Det blev alltså ett utmärkt hjälpmedel för lantmätare. Applikationer som baserar sig på GPS finns i ett stort antal, precisionsodling är ett. Där är målet att behandla varje del av fältet på ett optimalt sätt. Variationerna på en åker kan vara stora. I behandlingen kan det ingå kalkning, gödsling och besprutning. Om man dessutom låter satelliterna styra arbetsredskapen, så kan överlappet mellan vändorna på åkern minskas från tio procent av maskinbredden ner till bara två centimeter. Se vidare [DN05]. All teknik kan användas på tvivelaktiga sätt. Det finns t.ex. applikationer som använder GPS för att varna bilister för hastighetskameror. Användare av dessa system är naturligtvis fartsyndare som ökar risken för olyckor. En allmän kunskap är att det används störsystem för att minska noggrannheten för civila användare. Detta upphörde i maj Det finns teknik för att störa positioneringen i utvalda områden. Systemet Systemet består av tre segment. Det rymdbaserade segmentet, kontrollsegmentet och brukarsegmentet. Se fig. 1. Figur 1 Kontrollsegmentet: markstationer, Rymdbaserade segmentet: satelliter, Brukarsegmentet: GPS-mottagare 7
8 Den rymdbaserade delen Det krävs att minst fyra satelliter är synliga för GPS-mottagaren på marken. För att uppfylla det kravet behövs 24 satelliter. De har en omloppstid på 12 timmar och är placerade i sex omloppsbanor på en höjd av km (nära halva jordens omkrets). Satelliterna har en begränsad livslängd och systemet utvecklas, därför skickas nya satelliter upp med jämna mellanrum. Ibland finns det därför fler än 24 satelliter. Satelliterna vet sin position i rymden. Varje satellit innehåller ett mycket noggrant atomur, transceivers (av typ radio), solpaneler för kraftförsörjning, datorer och framdrivningssystem för att justera omloppsbanan. Framdrivningssystemet används också för stabilitetskontroll. Se bilaga A för mer information om olika satellittyper och uppskjutningsår. Kontrollsegmentet Det består av fem markstationer. De är fasta referenspunkter för systemet. Stationernas uppgift är att läsa av satelliternas banor och klockor, och sedan justera dessa med hjälp av data som laddas upp till satelliterna. Brukarsegmentet Här hittar vi användarens s.k. GPS-mottagare. Det är GPS-mottagaren som är intresserad av data, t.ex. position. Den innehåller bl.a. en enklare klocka. Navigering Ett mål med navigering är kontinuerlig positionering och hastighetsbestämning. Dessa mål kunde det nya systemet GPS uppfylla. Funktion Principen för positionsbestämning är avståndsmätning från satelliter till brukaren av GPS:n. Satelliten skickar en signal med information om tidpunkten. När signalen når mottagaren, så bestäms överföringstiden med hjälp av mottagarens klocka och tidpunkten då signalen skickades. Avståndet räknas nu fram med hjälp av tiden och signalens hastighet. För att förstå hur positioneringen går till, glömmer vi bort jorden för ett ögonblick. Vi tänker oss istället ett tomrum med bara en satellit och en mottagare (se fig. 2). Satelliten är punkten i sfärens centrum. Själva sfärens yta motsvarar ett avstånd från satelliten. Avståndet är lika med sträckan mellan satelliten och mottagaren. Det innebär att om du positionerar dig mot en satellit, så får du det avståndet som svar. Det innebär att du kan befinna dig var som helst på sfärens yta. Figur 2 8
9 Nu lägger vi till ytterligare en satellit, och får då två avstånd. Eftersom de två positionspunkterna måste sammanfalla, så befinner vi oss någonstans på ellipsen, där sfärerna skär varandra. Figur 3 Slutligen placeras en tredje satellit ut, och de tre sammanfallande avstånden uppstår i två punkter, se fig. 4. De ligger på den stående ellipsen, en högst upp, och den andra längst ned. Figur 4 Om nu jordklotet läggs in i bilden, så ser vi att en av de två punkterna kan tas bort, eftersom den ligger långt ut i rymden. Punkten som återstår är vår position. Figur 5 Detta resonemang stämmer dock inte med det tidigare påståendet om att det krävs fyra satelliter för positionsbestämning. Förklaringen kommer under nästa rubrik. 9
10 Den fjärde dimensionen, tiden Som sagt, avståndet bestäms med hjälp av två tider. Dels tiden då signalen från satelliten skickas iväg, dels tiden då signalen når mottagaren. Ett problem med det är att klockorna förmodligen inte går lika, eftersom klockan i en GPS-mottagare är en enkel kristallklocka. Avståndet kommer alltså att bli fel. Det är här som den fjärde satelliten kommer in. Fenomenet förklaras tillsammans med bilderna nedan, samtidigt används bara två rumsdimensioner för att förenkla förklaringen. Antag att det tar två sekunder för signalen att nå oss från den ena satelliten, och tre sekunder från den andra. Om satellitens klocka och mottagarens klocka visar samma tid, så skulle vi placeras rätt i punkt X1. Skulle däremot klockan i GPS-mottagaren gå en sekund före, så skulle tiderna istället bli tre respektive fyra sekunder. Vår position blir X2. Figur 6 Det är nu vi får hjälp av den tredje satelliten (den fjärde i ett tredimensionellt system). Se fig. 7. Om mottagarens klocka går rätt får vi vår position där de streckade bågarna skär varandra. När klockan går fel, så hittas ingen gemensam skärningspunkt. GPS-mottagaren försöker nu hitta tidsfelet genom att justera GPS-klockans tid tills den hittar en möjlig gemensam skärningspunkt. I vårt fall ska en sekund dras bort. Mottagarens klocka synkroniserar sedan sin tid med satellitens atomur. Figur 8 visar positioneringen med synkroniserade klockor. Figur 7 Figur 8 10
11 ALTERNATIV TEKNIK En annan teknik som kan användas för positionsbestämning är GSM-systemet. Principen är densamma, men här har satelliterna ersatts med signalmaster. Ju fler master som finns inom räckhåll, desto bättre noggrannhet. Masterna vet sin position. Fördelar med GPS-positionering full täckning över hela jorden noggrannhet ± meter Fördelar med GSM-positionering fungerar även under tak Nackdelar med GPS-positionering måste ha fri sikt till satelliterna. Nackdelar med GSM-positionering täckning saknas på vissa områden noggrannhet i bästa fall ± 200 meter SLUTSATSER Det finns mycket material om GPS och det är lätt att dra gränsen för innehållet. Det är också relativt lätt att förstå principerna för systemets funktion, men om det hade funnits utrymme så hade en alternativ grafisk förklaringsmodell tagits med som visar principen för positioneringen. Under rubriken Funktion valde jag en mer personlig ton, vilket normalt undviks i en teknisk beskrivning. En fortsättning på arbetet skulle börja ge detaljerade beskrivningar och kanske även matematiska uttryck, om inte en annan inriktning valts, t.ex. applikationer för GPS. En sådan rubrik skulle kunna ge mer material på en populärvetenskaplig nivå. 11
12 TERMER Fixstjärna, en synlig himlakropp som befinner sig så långt bort från solsystemet att dess egenrörelse är försumbar i förhållande till planeternas rörelser. Praktiskt taget är detta detsamma som att himlakroppen befinner sig utanför solsystemet. [WIKIPEDIA] Transceiver, kombinerad sändare och mottagare. REFERENSER [BOEING] [HOFMANN01a] [WIKIPEDIA] [DN05] Boeings internetsida, < ta_ii/delta2_gps_iir-13.htm>, (1 oktober 2005) B. Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger, J. Collins, GPS theory and practice, issue 5, page 2, Springer Wien New York, Encyklopedi på internet < (12 oktober 2005) Dagens Nyheter, < >, (1 oktober 2005) KÄLLOR B. Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger, J. Collins, GPS theory and practice, issue 5, chapter 1-2, Springer Wien New York, Personlig sida på KTH:s domän, < (5 oktober 2005), bildkälla Artikel hämtad från söksystemet Elin. Scientific American; May 2004, Vol. 290 Issue 5 12
13 Bilaga A - Typer av satelliter Det finns sex typer av satelliter. De är Block I, Block II, Block IIA, Block IIR, Block IIF och Block III. Grå rutor nedan visar uppskjutningsår första Block IIA Block I 1989 första Block II 1997 första Block IIR 2007 första Block IIF 2030 första Block III Block I: 845 kg, beräknad livslängd 4,5 år, men för vissa blev livslängden mer än 10 år. Signalerna var till fullo tillgängliga för civila användare. Block II: 1500 kg, beräknad livslängd 7,5 år, men för vissa blev livslängden mer än 10 år. Vissa signaler var inte tillgängliga för civila användare. De första block II-satelliterna kostade $ Block IIA: A står för advanced. De hade utrustning för tvåvägskommunikation och reflektorer som möjliggjorde spårning av satelliterna med hjälp av laser. Block IIR: R står för replacement kg, beräknad livslängd 10 år. Block IIRsatelliterna kostar $ Block IIF: F står för follow on kg, beräknad livslängd 15 år. Block III: en generation under utveckling, som tar över från
Global Positioning System GPS
Global Positioning System GPS (Navstar 2) Mahtab Nasiri mni03001@student.mdh.se CIDEV 2 Handledare: Gordana Dodig Grnkovic Västerås 2004-10-18 Sammanfattning Syftet med denna rapport är att ge en grundläggande
Läs merGlobal Positioning System GPS i funktion
Global Positioning System GPS i funktion Martin Åhlenius ECOP mas00001@student.mdh.se Andreas Axelsen ECOP aan00006@student.mdh.se 15 oktober 2003 i Sammanfattning Denna rapport försöker förklara funktionen
Läs merGPS-SYSTEMET. Vetenskapsmetodik, CDT212 Mälardalens Högskola, Västerås Magnus Andersson, CIDEV4
Vetenskapsmetodik, CDT212 Mälardalens Högskola, Västerås 2007-10-16 Magnus Andersson, CIDEV4 man04011@student.mdh.se GPS-SYSTEMET Figur 1: GPS-satellit SAMMANFATTNING Att kunna överblicka har genom historien
Läs mer10. Relativitetsteori Tid och Längd
Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur är en
Läs merVälkomna A Astronomisk navigation B Elteknik C Modernt navigationsstöd D Göstas information E Inte att förglömma SSRS sparbössa
Dagordning Välkomna A B Elteknik C Modernt navigationsstöd D Göstas information E Inte att förglömma SSRS sparbössa Översikt A 1 Inledning 2 Hur gjorde vikingarna? 3 Solen, månen och övriga planeter 4
Läs merGPS. Robin Rikberg 30029. 16 februari 2009
GPS Robin Rikberg 30029 16 februari 2009 Innehåll 1 Inledning 1 2 Satellitnavigeringens historia och framtid 1 2.1 Transit.............................. 1 2.2 GPS............................... 1 2.3 GLONASS...........................
Läs merForskning GNSS. Grundkonfigurationen av GPS består av 24 satelliter men idag cirkulerar närmare 30 satelliter runt jordklotet
Forskning GNSS GNSS (Global Navigation Satellite Systems) är samlingsnamnet för globala satellitbaserade system för navigation, positionsbestämning och tidsöverföring. Det mest kända och använda systemet
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merFör varje barns rätt att upptäcka världen
För varje barns rätt att upptäcka världen Lär dig använda din GPS 1 Vad är GPS? GPS står för Global Positioning System (Global Positions System). GPS använder sig av 27 satelliter som cirkulerar runt jordklotet,
Läs merAstronomiövningar som kräver observationer
Astronomiövningar som kräver observationer Här följer några övningar som jag vill att Du skall göra. Vi börjar med lite uppvärmning! 1 Fyra fel på fyra bilder: Här är de första fyra bilderna. Ta en kritisk
Läs merEXAMENSARBETE. Totalstation jämförd med mmgps. David Olsson. Högskoleexamen Bygg och anläggning
EXAMENSARBETE Totalstation jämförd med mmgps David Olsson Högskoleexamen Bygg och anläggning Luleå tekniska universitet Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser Totalstation jämförd med mmgps
Läs merMaria Österlund. Ut i rymden. Mattecirkeln Tid 2
Maria Österlund Ut i rymden Mattecirkeln Tid 2 NAMN: Hur mycket är klockan? fem i åtta 10 över 11 5 över halv 7 20 över 5 10 över 12 kvart i 2 5 över 3 20 i 5 5 i 11 kvart i 6 5 i halv 8 5 över halv 9
Läs mer4-4 Parallellogrammer Namn:..
4-4 Parallellogrammer Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat bl.a. med linjer och vinklar. En linje är ju någonting som bara har en dimension, längd. Men när två linjer skär varandra och det bildas
Läs merUppgifter. Uppgifter. Uppgift 2. Uppgift 1
Uppgift 1 Uppgift 2 Det första målet är att beräkna vinkeldiametern på ringen, det vill säga ringens apparenta diameter sedd från jorden i bågsekunder. Detta är vinkel a. De relativa positionerna för stjärnorna
Läs merBFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 10 Relativitetsteori den 26 april 2012.
Föreläsning 10 Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur
Läs mer5-2 Likformighet-reguladetri
5-2 Likformighet-reguladetri Namn:. Inledning Du har nu lärt dig en hel del om avbildningar, kartor och skalor. Nu är du väl rustad för att studera likformighet, och hur man utnyttjar det faktum att med
Läs merRÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.
RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker
Läs merPosition Nokia N76-1
Nokia N76-1 2007 Nokia. Alla rättigheter förbehållna. Nokia, Nokia Connecting People, Nseries och N76 är registrerade varumärken som tillhör Nokia Corporation. Andra produkt- och företagsnamn som det hänvisats
Läs merGlobal Positionering System (GPS)
Global Positionering System (GPS) Sadegh Jamali Baserat på material från: Mohammad Bagherbandi, Stig-Göran Mårtensson, Faramarz Nilfouroushan (HIG); Lars Ollvik och Sven Agardh (LTH) 1 Traditionella metoder
Läs merRadio-ockultation med GNSS för atmosfärsmätningar
Radio-ockultation med GNSS för atmosfärsmätningar Rymdforum 9-10 mars 2015 Joel Rasch Molflow Innehåll Radio-ockultation, kort historik Radio-ockultation med GNSS Dagens satelliter Användningsområden 2
Läs merTentamen Relativitetsteori , 27/7 2019
KOD: Tentamen Relativitetsteori 9.00 14.00, 27/7 2019 Hjälpmedel: Miniräknare, linjal och bifogad formelsamling. Observera: Samtliga svar ska lämnas på dessa frågepapper. Det framgår ur respektive uppgift
Läs merGlobal Positionering System (GPS)
Global Positionering System (GPS) Sadegh Jamali kredit: Mohammad Bagherbandi, Stig-Göran Mårtensson, Faramarz Nilfouroushan (HIG); Lars Ollvik och Sven Agardh (LTH) 1 Traditionella metoder i lantmäteri
Läs mer3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner
3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner Brytning av vågor som passerar gränsen mellan två material Eftersom utbredningshastigheten för en mekanisk våg med största sannolikhet ändras då den passerar
Läs merGPS-sändare: en ny era för studier av beteendeekologi hos vilda djur
GPS-sändare: en ny era för studier av beteendeekologi hos vilda djur Håkan Sand, Per Ahlqvist och Olof Liberg I slutet av 196-talet revolutionerades viltforskningen genom att det blev möjligt att studera
Läs merPLANGEOMETRI I provläxa med facit ht18
PLANGEOMETRI I provläxa med facit ht18 På det här avsnittet kommer du i första hand att utveckla din begrepps metod och kommunikations förmåga. Det är nödvändigt att ha en linjal för att klara avsnittet.
Läs merKartläggningsmaterial för nyanlända elever SVENSKA. Geometri Matematik. 1 2 Steg 3
Kartläggningsmaterial för nyanlända elever Geometri Matematik 1 2 Steg 3 SVENSKA Kartläggningsmaterial för nyanlända elever Geometri åk 3 MA 1. Rita färdigt bilden så att mönstret blir symmetriskt. 2.
Läs mer7F Ma Planering v2-7: Geometri
7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs mer4-8 Cirklar. Inledning
Namn: 4-8 Cirklar Inledning Du har arbetat med fyrhörningar (parallellogrammer) och trehörningar (trianglar). Nu skall du studera en figur som saknar hörn, och som består av en böjd linje. Den kallas för
Läs mer8F Ma Planering v2-7 - Geometri
8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs mer9E Ma Planering v2-7 - Geometri
9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar
Läs mer7. Max 0/1/1. Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar
7. Max 0/1/1 Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar +1 C PL +1 A PL 8. Max 0/1/1 a) Korrekt svar (Alternativ E: 5 y 3 ) +1 C B b) Godtagbart svar (0) +1 A B 9. Max
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merRedan på 1600-talet upptäckte Johannes Kepler att planeternas banor
Thomas Lingefjärd & Sture Sjöstedt Heltalspunkter på ellipsen Att undersöka matematiska samband har alltid varit en drivkraft inom matematiska vetenskaper och ibland leder en sådan undersökning fram till
Läs merCHALMERS LINDHOLMEN Instuderingsuppgifter Nav-E sid 1 ( 5 )
CHALMERS LINDHOLMEN Instuderingsuppgifter Nav-E sid 1 ( 5 ) A Radiovågor 1:A 1 Vilken hastighet har radiovågor i rymden? 2:A 2 Vilket samband finns mellan radiovågors hastighet, frekvens och våglängd?
Läs mer1. Mattias säljer tomater på torget. Anders köper två tomater av Mattias. Vad kostar tomaterna per kg?
NOG 2000 vår Högskoleverket 2 1. Mattias säljer tomater på torget. Anders köper två tomater av Mattias. Vad kostar tomaterna per kg? (1) Anders betalar 3,40 kr för tomaterna. (2) Den ena tomaten väger
Läs merEleverna betraktar solens väg över himlen, och hur den skiftar beroende på tid på dagen och året. Det hjälper eleverna att förstå solenergi.
SOLENS VÄG Övningens mål Eleverna betraktar solens väg över himlen, och hur den skiftar beroende på tid på dagen och året. Det hjälper eleverna att förstå solenergi. Sammanfattning av övningen Eleverna
Läs merVektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Läs merTentamen Relativitetsteori , 27/7 2013
KOD: Tentamen Relativitetsteori 9.00 14.00, 27/7 2013 Hjälpmedel: Miniräknare, linjal och bifogad formelsamling. Observera: Samtliga svar ska lämnas på dessa frågepapper. Det framgår ur respektive uppgift
Läs mer5-1 Avbildningar, kartor, skalor, orientering och navigation
Namn:. 5-1 Avbildningar, kartor, skalor, orientering och navigation Inledning Nu skall du studera hur man avbildar verkligheten. Vad skall man göra det för? undrar du eftersom du skall ifrågasätta allt.
Läs merLärarhandledning: 4 minuter om. Författad av Jenny Karlsson
Lärarhandledning: Författad av Jenny Karlsson Målgrupp: Grundskola 1-3, Grundskola 4-6, Grundskola 7-9 Speltid: 4 minuter Produktionsår: 2016 Lärarhandledning: INNEHÅLL: Laser Kompassen GPS Arkimedes och
Läs merRepetitionsuppgifter 1
Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Läs merMatematik- Geometri och taluppfattning
Matematik- Geometri och taluppfattning Skolprogram att utföra på egen hand eller tillsammans med handledare från Aeroseum. Lärarhandledning På de nästföljande sidorna finns ett antal uppdrag eller uppgifter
Läs merFör varje barns rätt att upptäcka världen
För varje barns rätt att upptäcka världen Lär dig använda ditt trygghetslarm med GPS för barn tryggt och sunt! Innehållsförteckning Vad är GPS? Hur fungerar GPS? Vad är GSM? Trygghetslarm med GPS Hur använder
Läs merSwepoint. DoGps. 3:e generationens gps-pejl är här! trygghet för Dig och Din hund
3:e generationens gps-pejl är här! Swepoint DoGps PRO net BASIC Obegränsad räckvidd Skallindikator och ringuppfunktion Spåra dina kamrater = Trygghet för laget trygghet för Dig och Din hund Topptestad
Läs merMatematiktävling för högstadieelever. Kvalificeringstest. Tid : 60 minuter Antal uppgifter: 15 Max poäng: 15 poäng. C: 1,101 D:!!!
PYTHAGORAS QUEST Matematiktävling för högstadieelever Kvalificeringstest Tid : 60 minuter Antal uppgifter: 15 Max poäng: 15 poäng. 1 Vilket av talen nedan är närmast talet 1? A: " B: "" C: 1,101 D: """
Läs merKOMPONENTER. Klocka. Klockan. Öppning av armband. Kontakt för batteriladdning. ON/OFF Magnet. Elektronikenhet. Laddnings- indikator
Manual KOMPONENTER Klocka Klockan Öppning av armband Kontakt för batteriladdning Laddnings- indikator ON/OFF Magnet Elektronikenhet Statusindikatorindikator GPS antenn Anhörigenhet USB-kontakt ON/OFF Batteriladdare
Läs merMOBILTELEFONI. Julia Kleiman, Frida Lindbladh & Jonas Khaled. onsdag 16 maj 12
MOBILTELEFONI Julia Kleiman, Frida Lindbladh & Jonas Khaled Introduktion Det var först år 1956 som företaget TeliaSonera och Ericsson som skapade mobiler i bilen som man kunde prata i telefon i på det
Läs merLärarhandledning: 4 minuter om. Författad av Jenny Karlsson
Lärarhandledning: Författad av Jenny Karlsson Målgrupp: Grundskola 1-3, Grundskola 4-6, Grundskola 7-9 Speltid: 4 minuter Produktionsår: 2016 INNEHÅLL: Laser Kompassen GPS Arkimedes och flytvästen Bakterier
Läs merSLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara?
SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara? Av Marie Hansson Ju mer man börjar tänka på vad en slalomingång innebär, desto mer komplicerat blir det! Det är inte lite vi begär att hundarna ska lära sig och hålla
Läs merTentamen Relativitetsteori
KOD: Tentamen Relativitetsteori 9.00 14.00, 16/7 2011 Hjälpmedel: Miniräknare, linjal och bifogad formelsamling. Observera samtliga svar ska lämnas på dessa frågepapper. Det framgår ur respektive uppgift
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merLektion i geometri. Lektionens innehåll. Centralt innehåll matematik 1b och matematik 1C. Mål med lektionen. Lektionsupplägg.
Lektion i geometri Lektionens innehåll Lektionen kommer genomföras i åk ett på gymnasiet och behandla området geometri. Under lektionen kommer eleverna genomföra beviset att de tre mittpunktsnormalerna
Läs merMa7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
Ma7-Per: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser
Läs mer4-2 Linjära mått och måttsystem Namn:.
4-2 Linjära mått och måttsystem Namn:. Inledning I det här kapitlet skall lära dig vad en linje är och vilka egenskaper en linje har. Du kommer även att repetera vilka enheter avstånd mäts i. Varför skall
Läs merPM Riksläger 2016 Allmän information Kontrol markering: Kontrol Definition: Kartritare: Banläggare: Observera!
PM Riksläger 2016 Allmän information Kontrollmarkering: Vid varje kontroll sitter en orange/vitt snitsel med kodsiffra (se bild). Kontroll Definition: Kontrolldefinition finns tryckt på kartan. Kartritare:
Läs mersträckan = tiden. hastigheten hastigheten = sträckan tiden 210 hastigheten = 3 = 70 Bilisten kör 70 km/h. tiden =
Enheter och skala I det här kapitlet kan du lära dig mer om hastighet att skriva minuter som del av timme att räkna om km/h till m/s något om hastigheter till sjöss om volymenheterna cm 3, dm 3 och m 3
Läs meratt båda rör sig ett varv runt masscentrum på samma tid. Planet
Tema: Exoplaneter (Del III, banhastighet och massa) Det vi hittills tittat på är hur man beräknar radien och avståndet till stjärnan för en exoplanet. Omloppstiden kunde vi exempelvis få fram genom att
Läs merBilaga 1: GPS-teknik, en liten ordlista
Bilaga 1: GPS-teknik, en liten ordlista SATELLITSYSTEM GPS Global Positioning System. Amerikanskt satellitbaserat navigationssystem uppbyggt av USA:s försvarsmakt. Systemet är globalt täckande och används
Läs merOvi Kartor för mobilenheter. Utgåva 1
Ovi Kartor för mobilenheter Utgåva 1 Innehåll Planera en rutt 11 Kartor översikt 3 Min position 3 Visa din position och kartor 3 Kartvy 4 Ändra kartans utseende 4 Ladda ned och uppdatera kartor 4 Använda
Läs merTentamen Relativitetsteori , 29/7 2017
KOD: Tentamen Relativitetsteori 9.00 14.00, 29/7 2017 Hjälpmedel: Miniräknare, linjal och bifogad formelsamling. Observera: Samtliga svar ska lämnas på dessa frågepapper. Det framgår ur respektive uppgift
Läs merKängurutävlingen Matematikens hopp
Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs mera) trettiotvåtusen femhundrasju b) femhundratusen åttiotre a) ett udda tal b) det största jämna tal som är möjligt A B C A B C 3,1 3,2
Alternativdiagnos 1 1 Skriv med siffror a) trettiotvåtusen femhundrasju b) femhundratusen åttiotre 2 Använd siffrorna 2, 3, 4 och 5 och skriv a) ett udda tal b) det största jämna tal som är möjligt 3 Vilka
Läs merLäxa 9 7 b) Dividera 84 cm med π för att få reda på hur lång diametern är. 8 1 mm motsvarar 150 / 30 mil = = 5 mil. Omvandla till millimeter.
LEDTRÅDAR LÄXOR Läa Förläng så att du får ett heltal i nämnaren. Använd division. Varje sekund klipper Karin, m =, m. Läa 0 ml = 0,0 liter Använd sambandet s = v t. Räkna ut hur mycket vattnet väger när
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Läs mer4 Solsystemet. OH1 Tidszonerna 2 Tidszonerna 3 En jordglobs skala OH2 Årstiderna 4 Varför har vi årstider?
4 Solsystemet 4.1 1 Varför har vi dag och natt OH1 Tidszonerna 2 Tidszonerna 3 En jordglobs skala OH2 Årstiderna 4 Varför har vi årstider? 4.2 5 Månen vår största satellit 6 Ordfläta OH3 Solen, jorden
Läs merHögskoleprovet Kvantitativ del
Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. XYZ Matematisk problemlösning
Läs merHögskoleverket NOG 2007-10-27
Högskoleverket NOG 2007-10-27 Uppgifter 1. En kock försöker att skala en potatis i så långa remsor som möjligt. Hur lång är den längsta remsa som kocken lyckas åstadkomma? (1) Medianlängden av de tre längsta
Läs merAnvändarhandbok för Nokia Trådlös GPS-modul LD-3W 9246490/1
Användarhandbok för Nokia Trådlös GPS-modul LD-3W 9246490/1 KONFORMITETSDEKLARATION Vi, NOKIA CORPORATION, tillkännager under vårt ensamma ansvar att produkten LD-3W uppfyller villkoren i följande EUdirektiv:
Läs merInformation om ämnet Militärteknik med diagnostiskt självtest av förkunskaper till blivande studerande på Stabsutbildningen (SU)
Sida 1 (6) Information om ämnet Militärteknik med diagnostiskt självtest av förkunskaper till blivande studerande på Stabsutbildningen (SU) Militärteknik kan sägas vara läran om hur tekniken interagerar
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs mer1. Situationer när korrigering är nödvändig
1. Situationer när korrigering är nödvändig Aktuell position ska korrigeras när: Du byter däck (utför automatisk korrigering). (Avståndskorrigering). Aktuell position bör korrigeras när: Fordonets positionsmärke
Läs merVENTUS GPS G730 DATA LOGGER. Bruksanvisning
VENTUS GPS G730 DATA LOGGER Bruksanvisning Observera Läs detta före användning: Global position system (GPS) tillhandahålls av American Ministry of National Defense, amerikanska försvarsministeriet, som
Läs merSPINNIES AND THINGIES
Andreas Sjögren asjogre@kth.se Arvid Olovsson arvidol@kth.se Axel Vidmark vidmarik@kth.se Daniel Henell dhenell@kth.se Matts Göhran gohran@kth.se Mikroelektronikprogrammet - Kungliga Tekniska Högskolan
Läs merRepetitionsuppgifter 1
Repetitionsuppgifter 1 1 Vilka tal pekar pilarna på? a) b) Skriv talen med siffror 2 a) trehundra sju b) femtontusen fyrtiofem c) tvåhundrafemtusen tre 3 a) fyra tiondelar b) 65 hundradelar c) 15 tiondelar
Läs merMånen. Månen i perigeum, Kalifornien
Månen Månen i perigeum, Kalifornien Hur kan månen lysa? Allmänt om månen Månen bildades för över 4 miljarder år sedan. En jättestor planet krockade med vår jord som då var en glödande klump. Kollisionen
Läs merTentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19
Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling. Jourtelefon:
Läs merbergerdata hb www.bergerdata.se/guidemaster info@bergerdata.se 0708-72 23 00 1.10 2015-05-19 Sid 1 (11)
bergerdata hb www.bergerdata.se/guidemaster info@bergerdata.se 0708-72 23 00 1.10 2015-05-19 Sid 1 (11) Vad, varför och hur?...2 Vad är?...2 Varför?...3 Hur fungerar?...3 Några tips om användningen...3
Läs merUTTRYCK ÅLDER 5. ALGEBRA P M K. Linda är 5 år äldre än Amanda. Amanda är x år. a) Skriv ett uttryck för hur gamla de är tillsammans.
UTTRYC ÅLDER Linda är 5 år äldre än Amanda. Amanda är x år. 5. ALGEBRA P M a) Skriv ett uttryck för hur gamla de är tillsammans. b)om de tillsammans är 29 år, hur gammal är var och en? E orrekt svar (a)
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs mer17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2
17 Trigonometri Övning 17.1 En likbent triangel har arean 10 cm. De båda lika långa sidorna i triangeln är 0 cm. estäm vinkeln mellan dessa sidor. Här är det dags för areasatsen = s1 s sin v där v ligger
Läs merSKOGLIGA TILLÄMPNINGAR
STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig
Läs merResledaren Användarguide iphone Innehåll
Resledaren Användarguide iphone Innehåll Planera Ny Resa... 3 Visa Mina Resor... 13 Ta bort sparad resa... 14 Ändra planerad resa... 15 Påminnelser... 15 Under Resan... 17 Inaktivera Pågående Resa... 20
Läs merMatematik 2b (Typ) E-uppgifter på hela kursen
Matematik 2b (Typ) E-uppgifter på hela kursen I Räta linjens ekvation och linjära modeller (1 6) II Ekvationssystem (7 11) III Algebra (12 14) IV Andragradsfunktioner ( inklusive funktioner med komplexa
Läs merVikingarna. Frågeställning: Ämne: Historia, vikingarna.
Frågeställning: Ämne: Historia, vikingarna. Jag vill fördjupa mig i vikingatiden. Vad de åt, hur de levde, o.s.v. Jag tänkte dessutom jämföra med hur vi lever idag. Detta ska jag ta reda på: Vad var städerna
Läs merWALLENBERGS FYSIKPRIS 2011
WALLENBERGS FYSIKPRIS 2011 Tävlingsuppgifter (Kvalificerings- och lagtävlingen) Riv loss detta blad och häfta ihop det med de lösta tävlingsuppgifterna. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla. Fyll
Läs merTrappist-1-systemet Den bruna dvärgen och de sju kloten
Trappist--systemet Den bruna dvärgen och de sju kloten Trappist- är en sval dvärgstjärna, en brun dvärg, som man nyligen upptäckte flera planeter kring. För tillfället känner man till sju planeter i omloppsbana
Läs merInstuderingsfrågor Krafter och Rörelser
1. Hur stor tyngd har ett föremål med massan: a) 4 kg b) 200 g Instuderingsfrågor Krafter och Rörelser 2. Hur stor massa har ett föremål om tyngden är: a) 8 N b) 450 N 3. Hur stor är jorden dragningskraft
Läs merSTARTAKTIVITET 2. Bråkens storlek
STARTAKTIVITET 2 Bråkens storlek Arbeta gärna två och två. Rita en stjärna över de bråk som är mindre än 1 2. Sätt ett kryss över de bråk som är lika med 1 2. Rita en ring runt de bråk som är större än
Läs merFigur 5.1. En triangel där nedre högra hörnet har en rät vinkel (90 ).
STUDIEAVSNITT 5 TRIGONOMETRI I det här asnittet kommer i att studera hur man beräknar inklar och sträckor för gina figurer. Ordet trigonometri innebär läran om förhållandet mellan inklar och sträckor i
Läs merLantmäteriets testmätningar med RTK och Galileo i SWEPOS fram till januari 2017
PM 2017-01-24 Lantmäteriets test med RTK och Galileo i SWEPOS fram till januari 2017 STEFAN ÖBERG, DAN NORIN, FREDRIK STEDT Sammanfattning SWEPOS Nätverks-RTK-tjänst har under många år använt kombinationen
Läs merDin manual NOKIA N81 8GB http://sv.yourpdfguides.com/dref/826668
Du kan läsa rekommendationerna i instruktionsboken, den tekniska specifikationen eller installationsanvisningarna för NOKIA N81 8GB. Du hittar svar på alla dina frågor i instruktionsbok (information, specifikationer,
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs mer150 cm 2 m 70 dm. 280 cm 3,5 m 40 dm 3,50 0,50. 200 cm 1,5 2,5. 6 m. 30 cm 4 dm 500 mm. 2 m. 70 dm. 150 cm. 3,5 m. 40 dm. 280 cm.
Skriv sträckorna i storleksordning. Längdenheter: meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm) och millimeter (mm). Längden 15 cm kan skrivas på olika sätt: 15 cm = 1 m 5 cm = 1,5 m eller 15 dm cm eller
Läs merExtramaterial till Matematik Y
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik Y NIVÅ TVÅ Geometri ELEV Desmos Geometry är ett matematikverktyg som bland annat kan hjälpa dig att avbilda geometriska figurer och
Läs merGymnasiets Cadet. a: 2 b: 4 c: 5 d: 6 e: 11
Gymnasiets Cadet Avdelning 1. Trepoängsproblem 1. I en klass finns 1 flickor och 9 pojkar. Hälften av eleverna i klassen är förkylda. Vilket är det minsta antalet flickor som är förkylda? a: 2 b: 4 c:
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merMatematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP
Geometri Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp
Läs mer