Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden
|
|
|
- Bernt Sundström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Niels Chr. Overgaard c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 1 / 17
2 Data från 1 vuxna män vikt (kg) längd (m) 58 1, , , , ,8 75 1,8 83 1, , , ,9 9 1,9 115,00 c N. Chr. Overgaard Förel logoonly / 17
3 BMI BMI (Body Mass Index) beräknas enligt formeln: BMI = vikt längd längd [ kg m ] För personer med normal vikt gäller: 18, 5 BMI < 5 BMI är alltså relativt konstant. Vi vill undersöka om vi kan hitta en konstant k sådan att vikt = k (längd) Då kommer k vara en skattning av försökspopulationens BMI. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 3 / 17
4 BMI BMI (Body Mass Index) beräknas enligt formeln: BMI = vikt längd längd [ kg m ] För personer med normal vikt gäller: 18, 5 BMI < 5 BMI är alltså relativt konstant. Vi vill undersöka om vi kan hitta en konstant k sådan att vikt = k (längd) Då kommer k vara en skattning av försökspopulationens BMI. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 3 / 17
5 BMI BMI (Body Mass Index) beräknas enligt formeln: BMI = vikt längd längd [ kg m ] För personer med normal vikt gäller: 18, 5 BMI < 5 BMI är alltså relativt konstant. Vi vill undersöka om vi kan hitta en konstant k sådan att vikt = k (längd) Då kommer k vara en skattning av försökspopulationens BMI. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 3 / 17
6 Transformation av data y = vikt (kg) x = längd (m ) 58, , ,0 77 3,4 99 3, , , , , ,69 9 3, ,00 c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 4 / 17
7 Vilken är den bästa räta linjen (genom origo)? c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 5 / 17
8 Problemformulering (principskiss) y y = kx y 5 y 4 y y 1 y 3 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Hur väljar man lutningen k så att den räta linjen bäst beskriver mätdata? c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 6 / 17
9 Problemformulering (principskiss) y y = kx y 5 y 4 y y 1 y 3 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Hur väljar man lutningen k så att den räta linjen bäst beskriver mätdata? c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 6 / 17
10 Modell och residualer För ett givet val av k kommer modellen att göra följande prediktioner: y y = kx y 1 ŷ 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Fel = (y 1 ŷ 1 ) c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 7 / 17
11 Modell och residualer För ett givet val av k kommer modellen att göra följande prediktioner: y y = kx y 1 ŷ 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Fel = (y 1 ŷ 1 ) c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 7 / 17
12 Modell och residualer För ett givet val av k kommer modellen att göra följande prediktioner: y y = kx y 1 ŷ 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Fel = (y 1 ŷ 1 ) c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 7 / 17
13 Modell och residualer För ett givet val av k kommer modellen att göra följande prediktioner: y y = kx y 1 ŷ 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Fel = (y 1 ŷ 1 ) + (y ŷ ) c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 8 / 17
14 Modell och residualer För ett givet val av k kommer modellen att göra följande prediktioner: y y = kx y 1 ŷ 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Fel = (y 1 ŷ 1 ) + (y ŷ ) c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 8 / 17
15 Modell och residualer För ett givet val av k kommer modellen att göra följande prediktioner: y y = kx y 1 ŷ 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Fel = (y 1 ŷ 1 ) + (y ŷ ) + (y 3 ŷ 3 ) + (y 4 ŷ 4 ) + (y 5 ŷ 5 ) = (y 1 kx 1 ) + (y kx ) + (y 3 kx 3 ) + (y 4 kx 4 ) + (y 5 kx 5 ) c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 9 / 17
16 Modell och residualer För ett givet val av k kommer modellen att göra följande prediktioner: y y = kx y 1 ŷ 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Fel = (y 1 ŷ 1 ) + (y ŷ ) + (y 3 ŷ 3 ) + (y 4 ŷ 4 ) + (y 5 ŷ 5 ) = (y 1 kx 1 ) + (y kx ) + (y 3 kx 3 ) + (y 4 kx 4 ) + (y 5 kx 5 ) c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 9 / 17
17 Modell och residualer För ett givet val av k kommer modellen att göra följande prediktioner: y y = kx y 1 ŷ 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x Fel = (y 1 ŷ 1 ) + (y ŷ ) + (y 3 ŷ 3 ) + (y 4 ŷ 4 ) + (y 5 ŷ 5 ) = (y 1 kx 1 ) + (y kx ) + (y 3 kx 3 ) + (y 4 kx 4 ) + (y 5 kx 5 ) c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 9 / 17
18 Minsta kvadratmetoden: Problemformulring Problem: Bestäm det värde på lutningen k som gör att Fel = (y 1 kx 1 ) + (y kx ) + (y 3 kx 3 ) + (y 4 kx 4 ) + (y 5 kx 5 ) blir så liten som möjligt. Introducerar vektorerna x = (x 1, x, x 3, x 4, x 5 ) R 5 och y = (y 1, y, y 3, y 4, y 5 ) R 5 och observera att kx = (kx 1, kx, kx 3, kx 4, kx 5 ). Problemet ovan blir: Problem : Bestäm k R som löser y k x = min y kx k R c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 10 / 17
19 Minsta kvadratmetoden: Problemformulring Problem: Bestäm det värde på lutningen k som gör att Fel = (y 1 kx 1 ) + (y kx ) + (y 3 kx 3 ) + (y 4 kx 4 ) + (y 5 kx 5 ) blir så liten som möjligt. Introducerar vektorerna x = (x 1, x, x 3, x 4, x 5 ) R 5 och y = (y 1, y, y 3, y 4, y 5 ) R 5 och observera att kx = (kx 1, kx, kx 3, kx 4, kx 5 ). Problemet ovan blir: Problem : Bestäm k R som löser y k x = min y kx k R c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 10 / 17
20 Minsta kvadratmetoden: Problemformulring Problem: Bestäm det värde på lutningen k som gör att Fel = (y 1 kx 1 ) + (y kx ) + (y 3 kx 3 ) + (y 4 kx 4 ) + (y 5 kx 5 ) blir så liten som möjligt. Introducerar vektorerna x = (x 1, x, x 3, x 4, x 5 ) R 5 och y = (y 1, y, y 3, y 4, y 5 ) R 5 och observera att kx = (kx 1, kx, kx 3, kx 4, kx 5 ). Problemet ovan blir: Problem : Bestäm k R som löser y k x = min y kx k R c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 10 / 17
21 Allmänna problemet och dess lösning Problem: Givet vektorer x och y i R n. Bestäm det tal k R som uppfyller y k x = min y kx, k R d.v.s. det tal k som minimerar funktionen k y kx. Kom ihåg att skalärprodukt och längd definieras för vektorer x = (x 1, x,..., x n ) och y = (y 1, y,..., y n ) i R n som x y = x 1 y 1 + x y + + x n y n och = x x = x 1 + x + + x n c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 11 / 17
22 Det allmänna problemet och dess lösning II Lösningen beror på vårt hemliga vapen : kvadratkomplettering! kx y = (kx y) (kx y) = kx kx kx y + y y = k x kx y + y = k x k x x y + y ( = k x y ) ( x y ) + y c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 1 / 17
23 Det allmänna problemet och dess lösning II Lösningen beror på vårt hemliga vapen : kvadratkomplettering! kx y = (kx y) (kx y) = kx kx kx y + y y = k x kx y + y = k x k x x y + y ( = k x y ) ( x y ) + y c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 1 / 17
24 Det allmänna problemet och dess lösning II Lösningen beror på vårt hemliga vapen : kvadratkomplettering! kx y = (kx y) (kx y) = kx kx kx y + y y = k x kx y + y = k x k x x y + y ( = k x y ) ( x y ) + y c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 1 / 17
25 Det allmänna problemet och dess lösning II Lösningen beror på vårt hemliga vapen : kvadratkomplettering! kx y = (kx y) (kx y) = kx kx kx y + y y = k x kx y + y = k x k x x y + y ( = k x y ) ( x y ) + y c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 1 / 17
26 Det allmänna problemet och dess lösning II Lösningen beror på vårt hemliga vapen : kvadratkomplettering! kx y = (kx y) (kx y) = kx kx kx y + y y = k x kx y + y = k x k x x y + y ( = k x y ) ( x y ) + y c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 1 / 17
27 Det allmänna problemet och dess lösning II Lösningen beror på vårt hemliga vapen : kvadratkomplettering! kx y = (kx y) (kx y) = kx kx kx y + y y = k x kx y + y = k x k x x y + y ( = k x y ) ( x y ) + y c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 1 / 17
28 Det allmänna problemet och dess lösning II Lösningen beror på vårt hemliga vapen : kvadratkomplettering! kx y = (kx y) (kx y) = kx kx kx y + y y = k x kx y + y = k x k x x y + y ( = k x y ) ( x y ) + y c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 1 / 17
29 Det allmänna problemet och dess lösning III Vi har alltså uttrycket: ( kx y = k x y ) ( x y ) + y Felet blir minst möjligt om vi väljer k = k = x y, ty då blir första (icke-negativa) parentesen noll. Tolkning: Den vektor på formen kx som ligger närmast y är: Vi känner igen projektionsformeln! y := k x = x y x c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 13 / 17
30 Det allmänna problemet och dess lösning III Vi har alltså uttrycket: ( kx y = k x y ) ( x y ) + y Felet blir minst möjligt om vi väljer k = k = x y, ty då blir första (icke-negativa) parentesen noll. Tolkning: Den vektor på formen kx som ligger närmast y är: Vi känner igen projektionsformeln! y := k x = x y x c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 13 / 17
31 Det allmänna problemet och dess lösning III Vi har alltså uttrycket: ( kx y = k x y ) ( x y ) + y Felet blir minst möjligt om vi väljer k = k = x y, ty då blir första (icke-negativa) parentesen noll. Tolkning: Den vektor på formen kx som ligger närmast y är: Vi känner igen projektionsformeln! y := k x = x y x c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 13 / 17
32 Allmänna problemet och dess lösning IV Resultatet ovan ger oss följande bonus: 0 k x y = ( y x y ) alltså (x y) x y Cauchy-Schwarz olikhet För alla vektorer x och y i R n gäller olikheten x y x y. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 14 / 17
33 Allmänna problemet och dess lösning IV Resultatet ovan ger oss följande bonus: 0 k x y = ( y x y ) alltså (x y) x y Cauchy-Schwarz olikhet För alla vektorer x och y i R n gäller olikheten x y x y. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 14 / 17
34 Det allmänna problemet och dess lösning V Vi har redan definierat: där vi har y x. y = k x = x y x Sätter vi ser man att y = y k x = y y ( x y = x y x y ) x = x y x y = 0, så y x. Komposantuppdelning i R n : y = y + y där y x och y x. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 15 / 17
35 Det allmänna problemet och dess lösning V Vi har redan definierat: där vi har y x. y = k x = x y x Sätter vi ser man att y = y k x = y y ( x y = x y x y ) x = x y x y = 0, så y x. Komposantuppdelning i R n : y = y + y där y x och y x. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 15 / 17
36 Det allmänna problemet och dess lösning V Vi har redan definierat: där vi har y x. y = k x = x y x Sätter vi ser man att y = y k x = y y ( x y = x y x y ) x = x y x y = 0, så y x. Komposantuppdelning i R n : y = y + y där y x och y x. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 15 / 17
37 Resultat för populationen Beräkning av bästa räta linjen (genom origo) ger: k = x y = 5.16 Vilket resulterar grafen: c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 16 / 17
38 En känd matematikprofessor (numerisk analytiker) har sagt: BMI divides the weight by too large a number for short people and too small a number for tall people. So short people are misled into thinking that they are thinner than they are, and tall people are misled into thinking they are fatter. Nick Trefethen Tack till de personer från KCE och Matematikinstitutionen (+ 3 till) som bidragit med real world data. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 17 / 17
39 En känd matematikprofessor (numerisk analytiker) har sagt: BMI divides the weight by too large a number for short people and too small a number for tall people. So short people are misled into thinking that they are thinner than they are, and tall people are misled into thinking they are fatter. Nick Trefethen Tack till de personer från KCE och Matematikinstitutionen (+ 3 till) som bidragit med real world data. c N. Chr. Overgaard Förel logoonly 17 / 17
14. Minsta kvadratmetoden
58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.
Pre-Test : M3M - Linear Algebra. Test your knowledge on Linear Algebra for the course M3M by solving the problems in this test. It should not take you longer than 9 minutes. M3M Problem : Betrakta fyra
Linjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Den räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Den räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Exempel :: Spegling i godtycklig linje.
c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.
SF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Exempel :: Spegling i godtycklig linje.
INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
x 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden
24 november, 206, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden. Projektionssatsen - ortogonal projektion på generella underrum Om W är ett underrum till R n,
DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)
Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Funktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så
Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D,
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje
8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.
MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra
25 november, 2015, Föreläsning 20. Tillämpad linjär algebra
25 november, 205, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Minsta-kvadratmetoden. Minsta kvadratmetoden - motivation Inom teknik och vetenskap arbetar man ofta med modellering av data, dvs att
Linjära ekvationer med tillämpningar
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel
LYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Att beräkna:: Avstånd
Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1
Lathund, samband & stora tal, åk 8
Lathund, samband & stora tal, åk 8 Den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta tallinjen kallas y-axeln. Punkten där tallinjerna skär varandra kallas origo (0,0). När man beskriver en punkt i
Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n
Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma:
Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.
Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
September 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och
Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor
P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013
TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.
TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen 016-10-8 - Lösningsskiss 1. a) 1 1 1 0 0 1 0 + 1 0 Sedvanligt teckenschema visar att detta är uppfyllt [,0[. Svar: [,0[. b) Vi löser ekvationen 1 = genom att studera
Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Minsta kvadratmetoden
Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva
Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Linjär algebra kurs TNA002
Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Föreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 3 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Samband mellan två kvantitativa variabler Matematiska samband Statistiska samband o Korrelation Svaga och starka samband När beräkna korrelation?
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E
Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Uppgifter ur Nationella prov Kurs A Ur del II utan räknare: När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för
Numeriska metoder, grundkurs II. Dagens program. Hur skriver man en funktion? Administrativt. Hur var det man gjorde?
Numeriska metoder, grundkurs II Övning 1 för I2 Dagens program Övningsgrupp 1 Johannes Hjorth hjorth@nada.kth.se Rum 163:006, Roslagstullsbacken 35 08-790 69 00 Kurshemsida: http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/2d1240/numi07
KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Lösningar kommer att läggas ut på kurshemsidan första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK.
Matematik Chalmers tekniska högskola 8-8-7 Tentamen Linjär algebra D (TMV6), Linjär algebra GU (MMGD) Telefonvakt: Carl Lundholm, ankn 679 Plats och tid: Johanneberg, 4:-8: Inga hjälpmedel. Kalkylator
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Kontsys F7 Skalärprodukt och normer
Repetition Skalärprodukt Norm Kontsys F7 Skalärprodukt och normer Pelle 11 februari 2019 Linjära rum Repetition Skalärprodukt Norm Linjära rum Linjärt underrum Ett linjärt rum över R är en mängd H där
VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion
VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,
7. Max 0/1/1. Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar
7. Max 0/1/1 Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar +1 C PL +1 A PL 8. Max 0/1/1 a) Korrekt svar (Alternativ E: 5 y 3 ) +1 C B b) Godtagbart svar (0) +1 A B 9. Max
3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller
tal. Mängden av alla trippel av reella tal betecknas med R 3 och x 1 x 2 En sekvens av n reella tal betecknas med (x 1, x 2,, x n ) eller
Augusti, 5 Föreläsning Tillämpad linjär algebra Innehållet: linjen R, planet R, rummet R, oh vektor rummet R n Matriser punkter oh vektorer i planet, rummet, oh R n Linjen, planet, rummet, oh vektor rummet
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Planering för kurs A i Matematik
Planering för kurs A i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs A Antal timmar: 90 (80 + 10) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att A-kursen studeras på 90 klocktimmar.
Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall
Omtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9
Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja
Övningsuppgifter till Originintroduktion
UMEÅ UNIVERSITET 05-08-01 Institutionen för fysik Ylva Lindgren Övningsuppgifter till Originintroduktion Uppgift 1. I ett experiment vill man bestämma fjäderkonstanten k för en viss fjäder. Med olika kraft
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 26 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 6 Minsta kvadrat problem. Polynom. Interpolation. Rötter. Tillämpningar:
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Bedömningsanvisningar
NpMab vt 01 Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.
Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna
MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats.
Planering Funktioner och algebra år 9
Planering Funktioner och algebra år 9 Innehåll Övergripande planering... 2 Begrepp... 3 Metoder... 4 Bedömning... 4 Kommer du ihåg dessa begrepp från årskurs 8?... 5 Facit till Diagnos... 6 Arbetsblad...
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren
Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.
Tentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p
{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 8 december 2015 Sida 1 / 22
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 8 december 2015 Sida 1 / 22 Föreläsning 8 God programmeringsstil. Sammansatta datatyper: Poster. Cell-matriser.
Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
F12 Regression. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 28/ /24
1/24 F12 Regression Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 28/2 2013 2/24 Dagens föreläsning Linjära regressionsmodeller Stokastisk modell Linjeanpassning och skattningar